七年级数学上册 第三章 第5框 探索与表达规律(一)课件 (新版)北师大版
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3.5探索与表达规律(1)-2024-2025学年第一学期数学北师大七年级课件
结论:绿色方框中九个数之和=9×正中间的数
新知探究
十字形中的数字有何规律？你是如何验证的？
规律: 十字形中五数之和=5×中间数
新知探究
“H”形中的数字有何规律？你是如何验证的？
规律: “H”形中七数之和=7×中间数
新知探究
你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？
“X”形
课堂小结
得
出
结
论
探索规律的一般步骤：
意的设计图.
新知探究
一 数式变化中的规律
合作探究
请同学们认真观察日历表，回答下列问题：
新知探究
(1)请找出同一横线上三个相邻数之间的关系：
(2)请同学们找一找竖列三个相邻数之间的关系；
(3)请同学们找一找左上右下对角线上三个相邻数
之间的关系；
(4)请同学们找一找左下右上对角线上三个相邻数
之间的关系.
摆桌椅
桌子的张数/张
可坐人数/人
1
6
2
3
4
5
…
8 10 12 14
桌椅的摆放方式不一样，
所呈现的规律也不同.
n
2n+4
创造活动：
1.新都快餐厅改扩建后，要在新餐厅摆放一批前图
中所示的桌椅，餐厅为正方形，要安排40人同时
就餐，请设计一种桌椅摆放方案，使没有剩余桌
椅（要求选用前图中的摆放方式），请画出你满
7
31根火柴棒.
（2）搭10个这样的正方形需要 ＿
（3）搭100个这样的正方形需要多少根柴
棒？你是怎样得到的？
（4）如果用n表示所搭正方形的个数，那么
搭n个这样的正方形需要多少根火柴棒？
(5)根据你的算法，搭200个这样的正方形需要
新知探究
十字形中的数字有何规律？你是如何验证的？
规律: 十字形中五数之和=5×中间数
新知探究
“H”形中的数字有何规律？你是如何验证的？
规律: “H”形中七数之和=7×中间数
新知探究
你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？
“X”形
课堂小结
得
出
结
论
探索规律的一般步骤：
意的设计图.
新知探究
一 数式变化中的规律
合作探究
请同学们认真观察日历表，回答下列问题：
新知探究
(1)请找出同一横线上三个相邻数之间的关系：
(2)请同学们找一找竖列三个相邻数之间的关系；
(3)请同学们找一找左上右下对角线上三个相邻数
之间的关系；
(4)请同学们找一找左下右上对角线上三个相邻数
之间的关系.
摆桌椅
桌子的张数/张
可坐人数/人
1
6
2
3
4
5
…
8 10 12 14
桌椅的摆放方式不一样，
所呈现的规律也不同.
n
2n+4
创造活动：
1.新都快餐厅改扩建后，要在新餐厅摆放一批前图
中所示的桌椅，餐厅为正方形，要安排40人同时
就餐，请设计一种桌椅摆放方案，使没有剩余桌
椅（要求选用前图中的摆放方式），请画出你满
7
31根火柴棒.
（2）搭10个这样的正方形需要 ＿
（3）搭100个这样的正方形需要多少根柴
棒？你是怎样得到的？
（4）如果用n表示所搭正方形的个数，那么
搭n个这样的正方形需要多少根火柴棒？
(5)根据你的算法，搭200个这样的正方形需要
北师大版七年级数学上册：3.5 探索与表达规律 课件(共19张PPT)
…… n …… 2n+4
折一折 议一议
将一张普通的纸对折，可得到一条折痕。 继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保 持平行。连续对折并观察完成下表。
① 对折次数与所得层数的变化关系表：
对折次数 1 2 3 4 … n
所得层数 2 4 8 16
2n
② 对折次数与所得折痕数的变化关系表：
对折次数 1 2 3 4 … n
仔细观察，15周围的数与它都有着什么样的关系呢？
议一议： 研究其它月份：
这样的方框中的数字关系也成立吗？
这样存在的普遍规律，你 能用数学方法来解释吗？
若中间这个
数为a，则 另8个数怎
？？ ？
么表示?这9
？a？
个数的和是 多少？
？？？
a？-8 a？-7 a？-6
a？-1 a a+？ 1
a+？6 a+？7 a+？ 8
折痕条数 1 3 7 15 … 2n-1
小结
探索规律的一般思路： 观察、比较
推理、分析
总结、验证
课后作业
1、习题3.7
2、课后延伸 （1）与家长分享你所发现的规律。 （2）试从生活中找出一种规律， 并用字母表示这个规律。
北师大版数学教材七年级上册 第三章 整式及其加减
一物生来真稀奇， 身穿三百多件衣，
每天给它脱一件， 日 年底只剩一张皮。 历
（打一日常用品）
探Байду номын сангаас1
如图，是一张残缺了一些日期的日历，你们能很 快地把它补充完整吗？
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
北师大版七年级数学上册课件-3.5-探索与表达规律 1PPT优秀课件
•
6. 对于那些认为现实走在小说家想象 力前面 的作家 而言， 困难在 于如何 把握生 活的复 杂结构 和本质 内容。
•
7. 对艺术家而言，日新月异的变革时 代，既 意味着 巨大挑 战，也 能激发 创作热 情，促 使他们 投身沸 腾的生 活。
•
8. 博物馆是一个城市的历史见证。在 博物馆 里，处 处是珍 品，步 步是文 化，那 些流逝 着历史 智慧的 文物， 让人惊 叹不已 。
北师大版七年级数学上册课件-3.5-探 索与表 达规律 1PPT优秀课件
2、按下图方式摆放餐桌和椅子：
(1)1张餐桌可坐4人,2张餐桌可坐__6_人. (2)按照上图的方式继续排列餐桌，完 成下表。
桌子张数 可坐人数
3
4
n
8 10 2n+2
北师大版七年级数学上册课件-3.5-探 索与表 达规律 1PPT优秀课件
我们在探索规律时,要认真观察 数据,先把数据中不变的量分离出来, 再把变化中的共同规律归纳出来,列 成式子，然后进行验证，从而得出正 确的能反应数量关系的规律。
北师大版七年级数学上册课件-3.5-探 索与表 达规律 1PPT优秀课件
北师大版七年级数学上册课件-3.5-探 索与表 达规律 1PPT优秀课件
问题5:若按下图方式将桌 子拼在一起.
(2)一家餐厅有40张这样的长方形桌子,按 照上图方式每5张拼成1张大桌子, 则40张 桌子可拼成8张大桌子, 共可坐 112 人.
(3)在(2)中, 若改成每8张桌子拼成1张大 桌子, 则共可坐 100 人.
北师大版七年级数学上册课件-3.5-探 索与表 达规律 1PPT优秀课件
•
4．抽象的内容能加以阐发。所谓“抽 象”，是 与“具 体”相 对而言 ，抽象 的也就 是概括 的。所 谓“阐 发”就 是化抽 象、概 括为具 体。阐 发常见 的有两 种形式 ：一是 举出实 例，一 是分析 因果。
(2024秋新版本)北师大版七年级数学上册 《 探索与表达规律》PPT课件
课堂检测
基础巩固题
1．用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则 摆第n个“口”字需用棋子( A )
A．4n枚 C．(4n+4)枚
B．(4n-4)枚 D．n2 枚
课堂检测
基础巩固题
2.用正方形套住日历中的任意 9 个数，若中间的数是 14， 则这 9 个数的和是__1_2_6__．
课堂检测
如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字， 那么这个两位数可以表示为10a+b ,则可得，
5（2a+3）+b=10a+b+15
规律：结果为原两位数与15的和.
探究新知
方法归纳
用代数式表示数的变化的规律： （1）数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面是否存在
规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律; （2）数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系； （3）若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每个等式对应写好，
=7+13+14+15+21 =70 5×中间数 =5 ×14
=70
规律: 十字形中五数之和=5×中间数.
探究新知
日一二三四五六
H形中七数之和
1234 5
=10+12+17+18+19+24+26
6 7 8 9 10 11 12
=126.
13 14 15 16 17 18 19
7×中间数=7×18=126.
北师大版 数学 七年级 上册
3.3 探索与表达规律 （第1课时）
导入新知
请同学们伸出左手，一起做下面的游 戏：从大拇指开始，像图中显示的这只手 那样依次数数字1，2，3，4，5，……， 请问数字20落在哪个手指上？
3.5探索与表达规律(第一课时)(课件)-七年级数学上册课堂教学精品系列(北师大版)
探究新知
（2）这个关系对其他这样的 方框成立吗？你能用代数式表示 这个关系吗？ 解：成立
设方框中第一个数是x，则第二个数是（x+1），第三个数是 （x+2），第四个数是（x+3），第五个数是（x+4），第六个数 是（x+5），第七个数是（x+6），第八个数是（x+7），第九个 数这九是年（数x+的8）和。： x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+（x+6） +（x+7）+（x+8）=9 x+36
解：第二行的3个数的和，第二列3个数的和，两对角 线上3个数的和都相等。
探究新知
想一想
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14 15 16 17
18
19
20 21 22 23 24
25
26
27 28 29 30 31
（1）如图“十”字形 框，你能发现哪些规律？
请问数字20落在哪个手指上？ 200呢？ 2000呢？
观察下表，按数数的方法填写下表
大拇指 1 9
17
…
食指 2 8
10 16 18
…
中指 3 7
11 15 19
…
无名指 4
6 12 14 20
…
小指 5
13
21
数字20落在无名指上
解：除第一行是5个数之外，其它的都是4个数，从无名指到大 拇指再到小指的过程是一个循环，一个循环就是8个数字，接下 来又从无名指开始另一次循环，由此用20、200、2000，看求 出的得数，如果是整数，答案就是此循环数中的最后一个数， 如果有余数，看余数在循环数中第几个数对应的手指即可． 解答： 解：（20-5）÷8=1…7， 余数是7，所以是从无名指开始第7个，就是无名指； （200-5）÷8=24…3， 余数是3，所以是从无名指开始第3个，就是食指； （2000-5）÷8=249…3， 余数是3，所以是从无名指开始第3个，就是食指．
新北师大版七年级数学上册课件第三章5 探索与表达规律 (共31张PPT)
1+3+5+7=42，…，所以1+3+5+7+…+2 017=1 0092=1 018 081.
探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，
认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规
律，并取特殊值代入验证.
以偏概全，把部分数字的规律作为整组数字的变 化规律 例2 某推理小说里出现一串神秘排列的数字，将这串 令人费解的数字按从小到大的顺序排列为1，1，2，3， 5，8，… .求这串数字的第7个数字和第8个数字.
三个图形是一个7×2的长方形，最多可分成(3×4+2)个小正方形，
方法点拨 图形变化规律的解题方法：
（1）数图形，先将图形转化为数字问题，再
利用数字规律解决问题；
（2）通过直观观察，从图形中直接寻找规律.
解读中考：
本节知识是中考命题的热点，主要考点是探索与 表述规律，其目的是考查学生的创新意识与实践 能力，题型有选择题和填空题，难度中等.
考点一 寻找数（或式子）的规律
例6 （ 山东日照中考）一个整数的所有正因数之和可以按如
下方法求得，如 6=2×3，则6的所有正因数之和为（1+3） +(2+6)=(1+2)×(1+3)=12; 12=22×3，则12的所有正因数之和为
(1+3)+(2+6)+(4+12)=(1+2+22)×(1+3)=28;
解：观察发现，这串数字的排列规律为从第3个 数字开始，每一项的数值都是它之前与它相邻的
两个数字之和.所以这串数字的第7个数字和第8
个数字分别是13，21.
观察发现“1，2，3”只是这串数字的一部分，它 的变化规律不是整串数字的变化规律，不能以偏 概全.
探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，
认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规
律，并取特殊值代入验证.
以偏概全，把部分数字的规律作为整组数字的变 化规律 例2 某推理小说里出现一串神秘排列的数字，将这串 令人费解的数字按从小到大的顺序排列为1，1，2，3， 5，8，… .求这串数字的第7个数字和第8个数字.
三个图形是一个7×2的长方形，最多可分成(3×4+2)个小正方形，
方法点拨 图形变化规律的解题方法：
（1）数图形，先将图形转化为数字问题，再
利用数字规律解决问题；
（2）通过直观观察，从图形中直接寻找规律.
解读中考：
本节知识是中考命题的热点，主要考点是探索与 表述规律，其目的是考查学生的创新意识与实践 能力，题型有选择题和填空题，难度中等.
考点一 寻找数（或式子）的规律
例6 （ 山东日照中考）一个整数的所有正因数之和可以按如
下方法求得，如 6=2×3，则6的所有正因数之和为（1+3） +(2+6)=(1+2)×(1+3)=12; 12=22×3，则12的所有正因数之和为
(1+3)+(2+6)+(4+12)=(1+2+22)×(1+3)=28;
解：观察发现，这串数字的排列规律为从第3个 数字开始，每一项的数值都是它之前与它相邻的
两个数字之和.所以这串数字的第7个数字和第8
个数字分别是13，21.
观察发现“1，2，3”只是这串数字的一部分，它 的变化规律不是整串数字的变化规律，不能以偏 概全.
探索与表达规律课件-七年级数学上册(北师大版)
规律：结果为原两位数与15的和.
新课讲授
典例分析
例2.正整数按下图的规律排列，则第20行，第21列的数字是_3_8_0_.
新课讲授
典例分析
例3.将棱长为1的正方体层层叠放如图所示，问第(5)个、第(6)个 图形各需多少个正方体？
解：第(5)个图形需1＋(1＋2)＋(1＋2＋3) ＋(1＋2＋3＋4)＋(1＋2＋3＋4＋5)＝ 35(个)正方体．同理，第(6)个图形需56个 正方体．
新课讲授
(3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
成立
星星星星星星星 期期期期期期期 日一二三四五六
设日历中间的某数为a，则月历中数 的排列规律：
a–8 a–7 a–6
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
a–1 a
a+1
a+6 a+7 a+8
12345 6 7 8 9 10 11 12 套色方框9个数之和是90，是正中间的 13 14 15 16 17 18 19 数10的9倍. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
新课讲授
星期 日
6 13 20 27
星期 一
7 14 21 28
星期 二 1 8 15 22 29
星期 三 2 9 16 23 30
星期 四 3 10 17 24 31
星期 五 4 11 18 25
星期 六 5 12 19 26
(2)这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
套色方框中9个数之和是144，是正中心数16的9倍．
a-8+a-7+a-6-a-1+a+a+1+a+6+a+7+a+8=9a
新课讲授
典例分析
例2.正整数按下图的规律排列，则第20行，第21列的数字是_3_8_0_.
新课讲授
典例分析
例3.将棱长为1的正方体层层叠放如图所示，问第(5)个、第(6)个 图形各需多少个正方体？
解：第(5)个图形需1＋(1＋2)＋(1＋2＋3) ＋(1＋2＋3＋4)＋(1＋2＋3＋4＋5)＝ 35(个)正方体．同理，第(6)个图形需56个 正方体．
新课讲授
(3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
成立
星星星星星星星 期期期期期期期 日一二三四五六
设日历中间的某数为a，则月历中数 的排列规律：
a–8 a–7 a–6
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
a–1 a
a+1
a+6 a+7 a+8
12345 6 7 8 9 10 11 12 套色方框9个数之和是90，是正中间的 13 14 15 16 17 18 19 数10的9倍. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
新课讲授
星期 日
6 13 20 27
星期 一
7 14 21 28
星期 二 1 8 15 22 29
星期 三 2 9 16 23 30
星期 四 3 10 17 24 31
星期 五 4 11 18 25
星期 六 5 12 19 26
(2)这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
套色方框中9个数之和是144，是正中心数16的9倍．
a-8+a-7+a-6-a-1+a+a+1+a+6+a+7+a+8=9a
北师大版初一数学上册3.5探索与表达规律(一)课件
28
29
30
31
（5）任意圈出一竖列（斜列）上相邻三个数也有同样的
关系吗？为什么？
日历的秘密
证明：若设中间数字为a，则如图所示的竖列、 斜列上的数字可分别表示为：
a-7 a-8
a-6
a
a
a
a+7
a+8 a+6
则可算出每种情况下，三个数的和均为3a .
日历的秘密
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
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24
25
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31
(6)你还能发现这样的方框中9个数之间的其它关系吗？请
用代数式表示.
日历的秘密
若日历表中某3×3Biblioteka 框中的中间一个数为a， 请补全下表.
a
日历的秘密
若日历表中某3×3方框中的中间一个数为a， 请补全下表.
1
2
3
4
5
6
7
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12
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23
24
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27
28
29
30
（1）日历图的十字框中5个数之间有哪些关
系？这五个数的和与中间一个数有何关系？
日历的秘密
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想 一 想 ？
1、数到20时，刚好落在哪个手指上？
2、数到200时又会落在哪个手 指上呢？2000呢?
一展身手
观察下表，你能解释数的数字与手指的对应关系吗？
大拇指 食指
1
2
中指 3
无名指 4
小指 5
一展身手
观察下表，你能解释数的数字与手指的对应关系吗？
大拇指 食指 中指 无名指 小指
1
2
3
4
5
大家来归纳
对折1次,折痕为1. 对折2次，折痕为3，即3=22-1 对折3次，折痕为7，即7=23-1
对折4次，折痕为15,即15=24-1 对折5次，折痕为31,即31=25-1。
…… 对折n次，折痕为2n-1。
想一想
10 11
87
9
2
3
6 4
1
5
活动一:
请同学们伸出左 手,从大拇指开始象 左边显示的这只手 那样数数字1,2,3……
竖行中的相邻三个数字之间的规律n__-7__、__n__、__n_+_7_
右对角线上相邻三个数字之间的规律是n__-6__、__n__、__n_+6
左对角线上相邻三个数字之间的规律是_n_-_8_、__n__、__n_+8
做一做：按规律抢答日历框图中缺少的数字
8 9 10 (1)
1 9 17
(3)
21 , 32
……中得到巴尔末公式,从而打开了光谱奥
妙的大门,按照这种规律写出的第七个数据( ).
81 A、77
81
64
B、
70
C、 77
64
D、
70
【典例“讲”解】
例1 按规律填空，并用字母表示一般规律；
（1）2，4，6，8，__1_0_，12，14，… 2n ；
2 （2）1，3，5，7， 9 ，11，13，… 2nn 1；
探索与表达规律（一）
日历中的规律
日一二三四五六 1234
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
试一试：你能找出日历中的相邻三个数字之间有哪些规律?
1横行中的相邻三个数字之间的规律是_n_-1_、__n__、__n_+_1_
在一个10×10的方框中框出9个数，如上表,请有兴趣的同学 在课后作进一步的探讨，我相信大家一定会有更多的发现和 收获。我更相信未来的数学家就在我们身边。
活动二：让学生拿出一张长方形的纸对折，可
以得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕 与上次的折痕保持平行，连续折6次后，可以得 到几条折痕？如果对折10次呢？对折n次呢？
么关系？
问题2: 这个关系对其他这样的方框成立吗？ 问题3: 这个关系对任何一个月的日历都成立吗？
问题4: 你能用代数式表示本节日历 “3×3”框图中的9个数吗? 日一二三四五六
a
规律二： (a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8)
= a-8+a-7+a-6+a-1+a+a+1+a+6+a+7+a+8 = 9a （在日历中，3×3方框中9个数字的和是中间数字的9倍。）
n2 1 。
想一想
1．研究下列算式，你发现了什么规律？用字母表示 这个规律。
1×5+4=9=3×3；
9
8
7
6
10
11
12
13
17
16
15
14
……
…… ……
总结方法:除了第一排5个数字以外，其它的按从右到左再至 右的顺序，是8个数一组，故我们只需把要数的数字减去5， 再除以8，将得到的余数从无名指开始向左数再向右数就可以 了，比如：数2000，先计算（2000－5）÷8＝249…3，我只 需从无名指开始向左数3就可以了，即为食指.
（3）2，4，8， 16 ，32，64，…
；
n （4）1，4，9，16，25， 36 , 49,… 2 ;
（5）2，6，12，20， 30，42，… n(n 1) .
拓展练习：
1．观察数串，表示第n个数.
（1）12,
3, 4
5, 8
7, 16
9, 32
,
（2）2,5,10,17,26,37,…
2n 1 2n
1、完成表格内容:
类别 顶点数 棱数 面数
四棱柱
五棱住
十棱住 … n棱住
2、用火柴棒按下图方式搭三角形：
……
（1）填写下表
三角形个数
1
2
3
4
5
火柴棒根数
（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少 根火柴棒？
知识点延伸
3、瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据
9 5
16 , 12
,
25 36
?2
9
1?6 (2)
3?
9
1?5 (4)找一找:来自日历中“3×3”框图中数字的规律
日 一二三四五六
123 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 问题1: 日历图的彩色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什
星期四
3 10 17 24 31
星期五
4 11 18 25
星期六
5 12 19 26
课后 思考
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
活动二:
在日历中,从其它区域上考察还能发现哪些规律? 如: 十字形区域,H形区域 , W形区域 , X形区域等.
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
星期日 星期一 星期二
星期三 星期四
星期五
星期六
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
星期日
6 13 20 27
星期一
7 14 21 28
星期二
1 8 15 22 29
星期三
2 9 16 23 30