吉林省历年中考数学命题人员名单
审题人
组长
成员
2014年
李志学
李德水
孙大力徐明国冯海波
2013年
崔安玲
李志学
崔英发
2012年
孟祥静
朱航
李德水姜秀敏崔英发张小芳
2011年
崔安玲
李志学
2010年
孟祥静
朱航
齐丽娟
2009年
崔安玲
2008年
崔安玲
晁振英
2007年
孟祥静
郭奕津
朱航朱丽雅李红梅刘凤琴
2006年
孟祥静
李志学
张茂辉王永会王磊
2005年
孟祥静
1994年
张凤才
1993年
张宝昌
孟祥静
1992年
孟祥静
1991年
张凤才
1990年
孙滌寰
孟祥静王曾义
1989年
孙滌寰
孟祥静晁振英
孟祥静
晁振英
朱航周发熊宇红郭洪奎
2004年Βιβλιοθήκη 侯敏仪2003年孟祥静
2002年
孟祥静
王艳梅刘凤琴马希利
2001年
侯敏仪
2000年
孟祥静
1999年
孟祥静
晁振英
孟祥静
1998年
孟祥静
段富强
都占臣
1997年
李浩明
衣坤
1996年
侯敏仪
祝成亮
郭奕津李明林
吉林省中考数学命题人员名单
名分
审题人
组长
成员
1995年
王国珍
2023年吉林省中考数学真题试卷及答案
2023年吉林省中考数学真题试卷一、选择题（本大题共8小题,每小题3分,共24分）1. 实数a ,b ,c ,d 伍数轴上对应点位置如图所示,这四个数中绝对值最小的是（ ）A. aB. bC. cD. d2. 长春龙嘉国际机场T3A 航站楼设计创意为“鹤舞长春”,如图所示,航站楼的造型如仙鹤飞翔,蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程按照满足2030年旅客吞吐量38000000人次目标设计的,其中38000000这个数用科学记数法表示为（ ）A. 80.3810⨯B. 63810⨯C. 83810⨯D. 73.810⨯ 3. 下列运算正确的是（ ）A. 32a a a -=B. 23a a a ⋅=C. ()325a a =D. 623a a a ÷= 4. 下图是一个多面体的表面展开图,每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③,则多面体的上面是（ ）A. 面③B. 面③C. 面③D. 面③5. 如图,工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳,卡钳交叉点O 为AA '、BB '的中点,只要量出A B ''的长度,就可以道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（ ）A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C. 两余直线被一组平行线所截,所的对应线段成比例D. 两点之间线段最短6. 学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB 到地面,如图所示．已彩旗绳与地面形成25︒角（即25BAC ∠=︒）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即32AC =米）,则彩旗绳AB 的长度为（ ）A. 32sin 25︒米B. 32cos 25︒米C. 32sin 25︒米D. 32cos 25︒米 7. 如图,用直尺和圆规作MAN ∠的角平分线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是（ ）A. AD AE =B. AD DF =C. DF EF =D. AF DE ⊥8. 如图,在平面直角坐标系中,点A ,B 在函数(0,0)k y k x x=>>的图象上,分别以A ,B 为圆心,1为半径作圆,当A 与x 轴相切,B 与y 轴相切时,连结AB ,AB =则k 的值为（ ）A. 3B.C. 4D. 6二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,共8分）9. 分解因式：21a -=____．10. 若关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是_________．11. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑,某同学参加了7.5公里健康跑项目,他从起点开始以平均每分钟x 公里的速度跑了10分钟,此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x 的代数式表示）12. 如图,ABC 和A B C '''是以点O 为位似中心的位似图形,点A 在线段OA '上．若12OA AA '=::,则ABC 和A B C '''的周长之比为__________．13. 如图,将正五边形纸片ABCDE 折叠,使点B 与点E 重合,折痕为AM ,展开后,再将纸片折叠,使边AB 落在线段AM 上,点B 的对应点为点B ',折痕为AF ,则AFB '∠的大小为__________度．14. 2023年5月8日,C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场,穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图③,在一次“水门礼”的预演中,两辆消防车面向飞机喷射水柱,喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图③,当两辆消防车喷水口A,B 的水平距离为80米时,两条水柱在物线的顶点H 处相遇,此时相遇点H 距地面20米,喷水口A,B 距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米,两条水柱的形状及喷水口A ',B '到地面的距离均保持不变,则此时两条水柱相遇点H '距地面__________米．三、解答题（本大题共10小题,共78分）15. 先化简．再求值：2(1)(1)a a a ++-,其中3a =．16. 班级联欢会上有一个抽奖活动,每位同学均参加一次抽奖,活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上,每个杯子内放入一个彩蛋,彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子,记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面,重新打乱杯子的摆放位置,再从中随机选中一个杯子,记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖,颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法,求某同学获一等奖的概率．17. 某工厂计划制作3000个玩偶摆件,为了尽快完成任务,实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍,结果提前5天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？18. 将两个完全相同的含有30 角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A ,E ,B ,D 依次在同一直线上,连结AF ,CD ．（1）求证：四边形AFDC 是平行四边形;（2）己知6cm BC ,当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．19. 近年来,肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素．目前,国际上常用身体质量指数（Body Mass Indcx ,缩写BMI ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康,其计算公式是22kg BMI=m 体重（单位：）身高（位置：）例如：某人身高1.60m ,体重60kg ,则他的260BMI 23.41.60=≈． 中国成人的BMI 数值标准为：BMI<18.5为偏瘦;18.5BMI 24≤<为正常;24BMI 28≤<为偏胖;BMI 28≥为肥胖．某公司为了解员工的健康情况,随机抽取了一部分员工的体检数据,通过计算得到他们的BMI 值并绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）补全条形统计图;（2）请估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数;（3）基于上述统计结果,公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高1.70m ,BMI 值为27,他想通过健身减重使自己的BMI 值达到正常,则他的体重至少需要减掉_________kg ．（结果精确到1kg ）20. 图③,图③,图③均是55⨯的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点．点A,B 均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作ABC ,点C 在格点上．（1）在图③中,ABC 的面积为92; （2）在图③中,ABC 的面积为5（3）在图③中,ABC 是面积为52的钝角三角形． 21. 甲、乙两个相约登山,他们同时从入口处出发,甲步行登山到山顶,乙先步行15分钟到缆车站,再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y （米）与甲登山的时间x （分钟）之间的函数图象如图所示．（1）当1540x ≤≤时,求乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式;（2）求乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．22. 【感知】如图③,点A ,B,P 均在O 上,90AOB ∠=︒,则锐角APB ∠的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图③,O 是等边三角形ABC 的外接圆,点P 在AC 上（点P 不与点A,C 重合）,连结PA ，PB ，PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现,延长PA 至点E ,使AE PC =,连结BE .通过证明PBC EBA ≌△△,可推得PBE 是等边三角形,进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ,使AE PC =,连结BE四边形ABCP 是O 的内接四边形180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒BCP BAE ∴∠=∠． ABC 是等边三角形．BA BC ∴=(SAS)PBC EBA ∴≌请你补全余下的证明过程．【应用】如图③,O 是ABC 的外接圆,90ABC AB BC ∠=︒=，,点P 在O 上,且点P 与点B 在AC 的两侧,连结PA ,PB ,PC ．若PB =,则PB PC 的值为__________． 23. 如图③．在矩形ABCD ．35AB AD ==，,点E 在边BC 上,且2BE =．动点P 从点E 出发,沿折线EB BA AD --以每秒1个单位长度的速度运动,作90PEQ ∠=︒,EQ 交边AD 或边DC 于点Q ,连续PQ ．当点Q 与点C 重合时,点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（0t >）（1）当点P 和点B 重合时,线段PQ 的长为__________;（2）当点Q 和点D 重合时,求tan PQE ∠;（3）当点P 在边AD 上运动时,PQE 的形状始终是等腰直角三角形．如图③．请说明理由; （4）作点E 关于直线PQ 的对称点F ,连接PF ,QF ,当四边形EPFQ 和矩形ABCD 重叠部分图形为轴对称四边形时,直接写出t 的取值范围．24. 在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线22y x bx =-++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ,点B 在该抛物线上,横坐标为1m -．其中0m <．（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标;（2）当点B 在x 轴上时,求点A 的坐标;（3）该抛物线与x 轴的左交点为P ,当抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m -时,求m 的值．（4）当点B 在x 轴上方时,过点B 作BC y ⊥轴于点C ,连结AC ,BO ．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC 的顶点）,设这两个交点分别为点E ,点F ,线段BO 的中点为D ．当以点C ,E ,O ,D （或以点C ,F ,O ,D ）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时,直接写出所有满足条件的m 的值．2023年吉林省中考数学真题试卷答案一、选择题.1. B2. D3. B4. C5. A6. D7. B8. C解：如图所示,过点A B ，分别作y x ，轴的垂线,垂足分别为E D ，,AE BD ，交于点C .依题意,B 的横坐标为1,A 的纵坐标为1,设(),1A k ,()1,B k③()1,1C .则1,1AC k BC k =-=-.又③90ACB ∠=︒,AB =③()()(22211k k -+-= ③13k -=（负值已舍去）解得：4k =.故选：C ． 二、填空题.9. ()()11a a +-．10. 1m <11. ()7.510x -12. 1:313. 45解：③正五边形的每一个内角为()5218101508-⨯︒=︒. 将正五边形纸片ABCDE 折叠,使点B 与点E 重合,折痕为AM . 则111085422BAM BAE ∠=∠=⨯︒=︒. ③将纸片折叠,使边AB 落在线段AM 上,点B 的对应点为点B ',折痕为AF . ③11542722FAB BAM '∠=∠=⨯︒=︒,108AB F B '∠=∠=︒. 在AFB '中,1801801082745AFB B FAB ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒. 故答案为：45．14. 19解：由题意可知：()40,4A -,()40,4B ,()0,20H .设抛物线解析式为：220y ax =+.将()40,4A -代入解析式220y ax =+. 解得：1100a =-. 220100x y ∴=-+. 消防车同时后退10米,即抛物线220100x y =-+向左（右）平移10米. 平移后的抛物线解析式为：()21020100x y +=-+.令0x =,解得：19y =.故答案为：19． 三、解答题.15. 31a +1 16. 4917.原计划平均每天制作200个摆件．解：设原计划平均每天制作x 个,根据题意得. 3000300051.5x x=+ 解得：200x =经检验,200x =是原方程的解,且符合题意. 答：原计划平均每天制作200个摆件． 18. （1）见解析;（2）18【小问1详解】证明：由题意可知ACB DFE △≌△. AC DF =∴,30CAB FDE ∠=∠=︒. DF AC //∴四边形AFDC 地平行四边形;【小问2详解】如图,在Rt ACB △中,90ACB ∠=︒,30CAB ∠=︒,6cm BC . 212cm AB BC ∴==,60ABC ∠=︒. 四边形AFDC 是菱形.AD ∴平分CDF ∠.30CDA FDA ∴∠=∠=︒.ABC CDA BCD ∠=∠+∠.603030BCD ABC CDA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒. BCD CDA ∴∠=∠.6cm BC BD ∴==.18cm AD AB BD ∴=+=.故答案为：18．19. （1）见解析 （2）110人（3）9【小问1详解】抽取了735%20÷=人.属于偏胖的人数为：202738---=.补全统计图如图所示.【小问2详解】8320011020+⨯=（人） 【小问3详解】设小张体重需要减掉kg x .依题意,227241.70x -< 解得：8.67x >答：他的体重至少需要减掉9kg.故答案为：9．20. 【小问1详解】解：如图所示.以3AB =为底,设AB 边上的高为h . 依题意得：19·22ABC SAB h == 解得：3h =即点C 在AB 上方且到AB 距离为3个单位的线段上的格点即可.答案不唯一;【小问2详解】由网格可知.AB =以10AB 为底,设AB 边上的高为h .依题意得：1·52ABC S AB h ==解得：h =将AB 绕A 或B 旋转90︒,过线段的另一个端点作AB 的平行线,与网格格点的交点即为点C . 答案不唯一.【小问3详解】如图所示. 作5BD AB ==,过点D 作CD AB ∥,交于格点C .由网格可知.BD AB ==,AD =③ABD △是直角三角形,且AB BD ⊥③CD AB ∥ ③15·22ABC S AB BD ==． 21. （1）12180y x =-（2）180【小问1详解】解：设乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+,将()15,0,()40,300代入得. 15040300k b k b +=⎧⎨+=⎩. 解得：12180k b =⎧⎨=-⎩. ③12180y x =-()1540x ≤≤【小问2详解】设甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为11y k x b =+()2560x ≤≤将点()()25,16060,300，代入得.11112516060300k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：11460k b =⎧⎨=⎩. ③460y x =+()2560x ≤≤;联立12180460y x y x =-⎧⎨=+⎩解得：30180x y =⎧⎨=⎩ ③乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米22. 感知：45;探究：见解析;应用：3． 【详解】感知：由圆周角定理可得1245APB AOB ∠=∠=︒. 故答案为：45;探究： 证明：延长PA 至点E ,使AE PC =,连结BE . 四边形ABCP 是O 的内接四边形.180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒.BCP BAE ∴∠=∠． ABC 是等边三角形．BA BC ∴=.(SAS)PBC EBA ∴≌.③PB EB =,PBC EBA ∠=∠.60EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒. PBE ∴是等边三角形.PB PE ∴=.PB PE PA AE PA PC ∴==+=+.即PB PA PC =+;应用：延长PA 至点E ,使AE PC =,连结BE .四边形ABCP 是O 的内接四边形.180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒.BCP BAE ∴∠=∠．AB CB =.(SAS)PBC EBA ∴≌.③PB EB =,PBC EBA ∠=∠.90EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒. PBE ∴是等腰直角三角形.222PB BE PE ∴+=.222PB PE ∴=.即PE =.PE PA AE PA PC =+=+.PA PC ∴+=. 2PB =.4PA PC PA ∴+==. 3PC PA ∴=.33PB PC PA ∴==.故答案为：3．23. （1（2）32（3）见解析（4）0t <≤176t =或7t =【小问1详解】解：如图所示,连接BQ .③四边形ABCD 是矩形③90BAQ ABE ∠=∠=︒③90PEQ ∠=︒.③四边形ABEQ 是矩形.当点P 和点B 重合时.③3QE AB ==,2BE =在Rt QBE △中,BQ ===【小问2详解】如图所示.③90PEQ ∠=︒,90PBE ECD ∠=∠=︒. ③1290,2390∠+∠=︒∠+∠=︒.③13∠=∠③PBE ECD ∽. ③PE BE DE CD=. ③2BE =,3CD AB ==. ③2tan 3PE BE PQE DE CD ∠===; 【小问3详解】如图所示,过点P 作PH BC ⊥于点H .③90PEQ ∠=︒,90PHE ECQ ∠=∠=︒. ③1290,2390∠+∠=︒∠+∠=︒.则四边形ABHP 是矩形.③PH AB =3=又③523EC BC BE =-=-=③PH EC =.③PHE ECQ ≌③PE QE =③PQE 是等腰直角三角形;【小问4详解】③如图所示,当点P 在BE 上时.③3,2QE QF AQ BE ====.在Rt AQF △中,AF ===则3BF =③PE t =,则2BP t =-,PF PE t ==. 在Rt PBF 中,222PF PB FB =+.③(()22232t t =-+-解得：t =当92t -<时,点F 在矩形内部,符合题意.③902t -<≤符合题意.③当P 点在AB 上时,当,F A 重合时符合题意,此时如图.则2PB t BE t =-=-,PE =()325AP AB PB t t =-=--=-. 在Rt PBE △中,222PE PB BE =+()()222522t t -=-+. 解得：176t =. ③当点P 在AD 上,当,F D 重合时,此时Q 与点C 重合,则PFQE 是正方形,此时2327t =++=综上所述,0t <≤或176t =或7t =． 24. （1）222y x x =-++;顶点坐标为()1,3（2）()A（3）1m =-或2m =-或m =或12m =（4）2m =-+2m =-或12m =- 【小问1详解】解：将点(2,2)代入抛物线22y x bx =-++,得. 2422b =-++解得：2b =③抛物线解析式为222y x x =-++;③222y x x =-++()213x =--+.③顶点坐标为()1,3.【小问2详解】解：由222y x x =-++.当0y =时,2220x x -++=.解得：1211x x ==.③抛物线上的点B 在x 轴上时,横坐标为1m -．其中0m <． ③1m 1->③11m -=解得：m =③点A 的坐标为(,0)m .③()A ;【小问3详解】③如图所示,当1113m <-<+,即30m -<<时.抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点为顶点,最低点为点P .③顶点坐标为()1,3,()1P则纵坐标之差为303-=依题意,32m =-解得：1m =-;③当11m -≥+即m ≤.③()()()21,1212B m m m ---+-+,即()21,3B m m --+. 依题意,()2332m m --+=-.解得：2m =-或1m =（舍去）. ③当1311m -<-<,即03m <<时.则232m m -+=-.解得：12m =或12m -=（舍去）.③当11m -≤-即m ≥.则()2032m m --+=-.解得：m =m =.综上所述,1m =-或2m =-或m =或m = 【小问4详解】解：如图所示.③B 在x 轴的上方.③111m <-<③m <<③以点C ,E ,O ,D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半,线段BO 的中点为D ③BCD COD S S =③AOBC AOC BOC S S S =+,BOC BCD COD S S S =+③当E 是AC 的中点,如图所示则2AOBC CEOD S S =. ③23,22m m E ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭代入222y x x =-++. 即22322222m m m -+⎛⎫=-+⨯+ ⎪⎝⎭.解得：2m =（舍去）或2m =-③同理当F 为AO 的中点时,如图所示,ACF CFO SS =,BCD COD S S =,则点C ,F ,O ,D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半.③12m =解得：2m =-.③如图所示,设BOC S S =,则12DBC S S =. ③以点C ,E ,O ,D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半,线段BO 的中点为D ③12CDF FDB AOC S S S S +=+ 即1122CDF CDF AOC S S S S S +=-+ ③12AOC CDF S S = ③CF AO =.③()2,3F m m --+.③,B F 关于1x =对称.③112m m -+-=. 解得：12m =-.综上所述,2m =-或2m =-12m =-．。
历年吉林省中考数学试卷(含答案)
2017年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）计算（﹣1）2的正确结果是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣22．（2分）如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（）A．B．C．D．3．（2分）下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a6D．（ab）2=ab24．（2分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（2分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（）A．70°B．44°C．34°D．24°6．（2分）如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB 交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）2016年我国资助各类家庭困难学生超过84 000 000人次．将84 000 000这个数用科学记数法表示为．8．（3分）苹果原价是每千克x元，按8折优惠出售，该苹果现价是每千克元（用含x的代数式表示）．9．（3分）分解因式：a2+4a+4=．10．（3分）我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线a∥b的根据是．11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为．12．（3分）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为m．13．（3分）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．14．（3分）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y=kx+b 与y=bx+k互为交换函数．例如：y=4x+3的交换函数为y=3x+4．一次函数y=kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）某学生化简分式+出现了错误，解答过程如下：原式=+（第一步）=（第二步）=．（第三步）（1）该学生解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是；（2）请写出此题正确的解答过程．16．（5分）被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．17．（5分）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率．18．（5分）如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：万元）如下表：（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：（2）甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明理由．20．（7分）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．21．（7分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67．）22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与函数y=（x＞0）的图象交于点A（m，2），B（2，n）．过点A作AC平行于x轴交y轴于点C，在y轴负半轴上取一点D，使OD=OC，且△ACD的面积是6，连接BC．（1）求m，k，n的值；（2）求△ABC的面积．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD 沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；（2）四边形ABC'D′的周长为；（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．24．（8分）如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．（1）正方体的棱长为cm；（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A 出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC 重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．26．（10分）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y 随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．2017年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）（2017•吉林）计算（﹣1）2的正确结果是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】根据有理数乘方的定义计算即可．【解答】解：原式=1．故选A．【点评】本题考查有理数的乘方，记住乘方法则是解题的关键．2．（2分）（2017•吉林）如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（）A．B．C．D．【分析】根据正六棱柱的俯视图为正六边形，即可得出结论．【解答】解：正六棱柱的俯视图为正六边形．故选B．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记正六棱柱的三视图是解题的关键．3．（2分）（2017•吉林）下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a6D．（ab）2=ab2【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）a2与a3不是同类项，故A错误；（B）原式=a5，故B错误；（D）原式=a2b2，故D错误；故选（C）【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．4．（2分）（2017•吉林）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先求出原不等式的解集，再根据解集即可求出结论．【解答】解：∵x+1≥2，∴x≥1．故选A．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．5．（2分）（2017•吉林）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（）A．70°B．44°C．34°D．24°【分析】由AB=BD，∠B=40°得到∠ADB=70°，再根据三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB=BD，∠B=40°，∴∠ADB=70°，∵∠C=36°，∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=34°．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．6．（2分）（2017•吉林）如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据勾股定理，可得OB的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由勾股定理，得OB==13，CB=OB﹣OC=13﹣5=8，故选：D．【点评】本题考查了切线的性质，利用勾股定理得出OB的长是解题关键．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）（2017•吉林）2016年我国资助各类家庭困难学生超过84 000 000人次．将84 000 000这个数用科学记数法表示为8.4×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：84 000 000=8.4×107，故答案为：8.4×107．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8．（3分）（2017•吉林）苹果原价是每千克x元，按8折优惠出售，该苹果现价是每千克0.8x元（用含x的代数式表示）．【分析】按8折优惠出售，就是按照原价的80%进行销售．【解答】解：依题意得：该苹果现价是每千克80%x=0.8x．故答案是：0.8x．【点评】本题考查了列代数式．解题的关键是理解“按8折优惠出售”的含义．9．（3分）（2017•吉林）分解因式：a2+4a+4=（a+2）2．【分析】利用完全平方公式直接分解即可求得答案．【解答】解：a2+4a+4=（a+2）2．故答案为：（a+2）2．【点评】此题考查了完全平方公式法分解因式．题目比较简单，注意要细心．10．（3分）（2017•吉林）我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线a∥b的根据是同位角相等，两直线平行．【分析】关键题意得出∠1=∠2；∠1和∠2是同位角；由平行线的判定定理即可得出结论．【解答】解：如图所示：根据题意得出：∠1=∠2；∠1和∠2是同位角；∵∠1=∠2，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；故答案为：同位角相等，两直线平行．【点评】本题考查了复杂作图以及平行线的判定方法；熟练掌握平行线的判定方法，根据题意得出同位角相等是解决问题的关键．11．（3分）（2017•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为1．【分析】B′C=5﹣B′D．在直角△AB′D中，利用勾股定理求得B′D的长度即可．【解答】解：由旋转的性质得到AB=AB′=5，在直角△AB′D中，∠D=90°，AD=3，AB′=AB=5，所以B′D===4，所以B′C=5﹣B′D=1．故答案是：1．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质．解题时，根据旋转的性质得到AB=AB′=5是解题的关键．12．（3分）（2017•吉林）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为9m．【分析】由条件可证明△OCD∽△OAB，利用相似三角形的性质可求得答案．【解答】解：∵OD=4m，BD=14m，∴OB=OD+BD=18m，由题意可知∠ODC=∠OBA，且∠O为公共角，∴△OCD∽△OAB，∴=，即=，解得AB=9，即旗杆AB的高为9m．故答案为：9．【点评】本题主要考查相似三角形的应用，证得三角形相似得到关于AB的方程是解题的关键．13．（3分）（2017•吉林）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB=1，则阴影部分图形的周长为π+1（结果保留π）．【分析】由五边形ABCDE可得出，AB=BC=CD=DE=EA=1、∠A=∠D=108°，利用弧长公式可求出、的长度，再根据周长的定义，即可求出阴影部分图形的周长．【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB=1，∴AB=BC=CD=DE=EA=1，∠A=∠D=108°，∴==•πAB=π，=++BC=π+1．∴C阴影故答案为：π+1．【点评】本题考查了正多边形和圆、弧长公式以及周长的定义，利用弧长公式求出、的长度是解题的关键．14．（3分）（2017•吉林）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y=kx+b与y=bx+k互为交换函数．例如：y=4x+3的交换函数为y=3x+4．一次函数y=kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为1．【分析】根据题意可以得到相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，，解得，，故答案为：1．【点评】本题考查两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）（2017•吉林）某学生化简分式+出现了错误，解答过程如下：原式=+（第一步）=（第二步）=．（第三步）（1）该学生解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是分式的基本性质；（2）请写出此题正确的解答过程．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）一、分式的基本性质用错；（2）原式=+==故答案为：（1）一、分式的基本性质用错；【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．16．（5分）（2017•吉林）被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．【分析】设隧道累计长度为x km，桥梁累计长度为y km，根据“隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设隧道累计长度为x km，桥梁累计长度为y km，根据题意得：，解得：．答：隧道累计长度为126km，桥梁累计长度为216km．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．17．（5分）（2017•吉林）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之和是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有4种情况，∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．（5分）（2017•吉林）如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．【解答】证明：∵BE=FC，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE；又∵AB=DC，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠A=∠D．【点评】此题考查简单的角相等，可以通过全等三角形来证明，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）（2017•吉林）某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：万元）如下表：（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：（2）甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明理由．【分析】（1）根据算术平均数、众数、中位数的定义解答；（2）根据平均数意义进行解答．【解答】解：（1）=（7.2+9.6+9.6+7.8+9.3）=8.7（万元）把乙按照从小到大依次排列，可得5.8，5.8，9.7，9.8，9.9；中位数为9.7万元．丙中出现次数最多的数为9.9万元．故答案为：8.7，9.7，9.9；（2）我赞同甲的说法．甲的平均销售额比乙、丙都高．【点评】本题考查了众数、中位数、加权平均数的定义，学会分析图表是解题的关键．20．（7分）（2017•吉林）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．【分析】（1）根据等腰三角形的定义作图可得；（2）根据平行四边形的判定作图可得．【解答】解：（1）如图①、②所示，△ABC和△ABD即为所求；（2）如图③所示，▱ABCD即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，熟练掌握等腰三角形的定义和平行四边形的判定是解题的关键．21．（7分）（2017•吉林）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67．）【分析】在Rt△AOC中，求出OA、OC，在Rt△BOC中求出OB，即可解决问题．【解答】解：由题意可得：∠AOC=90°，OC=5km．在Rt△AOC中，∵tan34°=，∴OA=OC•tan34°=5×0.67=3.35km，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，∴OB=OC=5km，∴AB=5﹣3.35=1.65≈1.7km，答：求A，B两点间的距离约为1.7km．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．（7分）（2017•吉林）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与函数y=（x ＞0）的图象交于点A（m，2），B（2，n）．过点A作AC平行于x轴交y轴于点C，在y轴负半轴上取一点D，使OD=OC，且△ACD的面积是6，连接BC．（1）求m，k，n的值；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由点A的纵坐标为2知OC=2，由OD=OC知OD=1、CD=3，根据△ACD的面积为6求得m=4，将A的坐标代入函数解析式求得k，将点B坐标代入函数解析式求得n；（2）作BE⊥AC，得BE=2，根据三角形面积公式求解可得．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（m，2），AC平行于x轴，∴OC=2，AC⊥y轴，∵OD=OC，∴OD=1，∴CD=3，∵△ACD的面积为6，∴CD•AC=6，∴AC=4，即m=4，则点A的坐标为（4，2），将其代入y=可得k=8，∵点B（2，n）在y=的图象上，∴n=4；（2）如图，过点B作BE⊥AC于点E，则BE=2，∴S=AC•BE=×4×2=4，△ABC即△ABC的面积为4．【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据三角形的面积求得点A的坐标及待定系数法求函数解析式是解题的关键．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）（2017•吉林）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；（2）四边形ABC'D′的周长为4；（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．【分析】（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此进行证明即可；（2）先判定四边形ABC'D'是菱形，再根据边长AB=AD=，即可得到四边形ABC'D′的周长为4；（3）根据两种不同的拼法，分别求得可能拼成的矩形周长．【解答】解：（1）∵BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，∴∠ADB=60°，由平移可得，B'C'=BC=AD，∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°，∴AD∥B'C'∴四边形AB'C'D是平行四边形，∵B'为BD中点，∴Rt△ABD中，AB'=BD=DB'，又∵∠ADB=60°，∴△ADB'是等边三角形，∴AD=AB'，∴四边形AB'C'D是菱形；（2）由平移可得，AB=C'D'，∠ABD'=∠C'D'B=30°，∴AB∥C'D'，∴四边形ABC'D'是平行四边形，由（1）可得，AC'⊥B'D，∴四边形ABC'D'是菱形，∵AB=AD=，∴四边形ABC'D′的周长为4，故答案为：4；（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：∴矩形周长为6+或2+3．【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．24．（8分）（2017•吉林）如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．（1）正方体的棱长为10cm；（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．【分析】（1）直接利用一次函数图象结合水面高度的变化得出正方体的棱长；（2）直接利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用函数图象得出自变量x 的取值范围；（3）利用一次函数图象结合水面高度的变化得出t的值．【解答】解：（1）由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为10cm，12秒后水槽内高度变化趋势改变，故正方体的棱长为10cm；故答案为：10；（2）设线段AB对应的函数解析式为：y=kx+b，∵图象过A（12，10），B（28，20），∴，解得：，∴线段AB对应的解析式为：y=x+（12≤x≤28）；（3）∵28﹣12=16（s），∴没有立方体时，水面上升10cm，所用时间为：16秒，∵前12秒由立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒，∴将正方体铁块取出，经过4秒恰好将此水槽注满．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，正确利用函数图象获取正确信息是解题关键．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）（2017•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ 与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为x cm（用含x的代数式表示）；（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．【分析】（1）国际已知条件得到∠AQP=45°，求得PQ=AP=2x，由于D为PQ中点，于是得到DQ=x；（2）如图①，延长FE交AB于G，由题意得AP=2x，由于D为PQ中点，得到DQ=x，求得GP=2x，列方程于是得到结论；（3）如图②，当0＜x≤时，根据正方形的面积公式得到y=x2；如图③，当＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH=AB=2，根据正方形和三角形面积公式得到y=﹣x2+20x﹣8；如图④，当1＜x＜2时，PQ=4﹣2x，根据三角形的面积公式得到结论；（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，得到x=1，当Q为BC的中点时，BQ=，得到x=，于是得到结论．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，∴∠AQP=45°，∴PQ=AP=2x ，∵D 为PQ 中点，∴DQ=x ，故答案为：x ；（2）如图①，延长FE 交AB 于G ，由题意得AP=2x ，∵D 为PQ 中点，∴DQ=x ，∴GP=2x ，∴2x +x +2x=4，∴x=；（3）如图②，当0＜x ≤时，y=S 正方形DEFQ =DQ 2=x 2，∴y=x 2；如图③，当＜x ≤1时，过C 作CH ⊥AB 于H ，交FQ 于K ，则CH=AB=2，∵PQ=AP=2x ，CK=2﹣2x ，∴MQ=2CK=4﹣4x ，FM=x ﹣（4﹣4x ）=5x ﹣4，∴y=S 正方形DEFQ ﹣S △MNF =DQ 2﹣FM 2，∴y=x 2﹣（5x ﹣4）2=﹣x 2+20x ﹣8，∴y=﹣x 2+20x ﹣8；如图④，当1＜x ＜2时，PQ=4﹣2x ，∴DQ=2﹣x ，∴y=S △DEQ =DQ 2，∴y=（2﹣x ）2，∴y=x 2﹣2x +2；（4）当Q 与C 重合时，E 为BC 的中点，即2x=2，∴x=1，当Q为BC的中点时，BQ=，PB=1，∴AP=3，∴2x=3，∴x=，∴边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围为：1＜x＜．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，图形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键．26．（10分）（2017•吉林）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y 随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．【分析】【问题】：把（0，0）代入可求得a的值；【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值；【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h≥1；分三部分进行讨论：①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，根据h≥1，列不等式解出即可；②如图③，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方；③P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4．【解答】解：【问题】∵抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，∴0=a（0﹣2）2﹣，a=，故答案为：；【操作】：如图①，抛物线：y=（x﹣2）2﹣，对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣（x﹣2）2+如图②，图象G对应的函数解析式为：y=；【探究】：如图③，由题意得：当y=1时，（x﹣2）2﹣=0，解得：x1=2+，x2=2﹣，∴C（2﹣，1），F（2+，1），当y=1时，﹣（x﹣2）2+=0，解得：x1=3，x2=1，∴D（1，1），E（3，1），由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x 增大而增大；【应用】：∵D（1，1），E（3，1），∴DE=3﹣1=2，=DE•h≥1，∵S△PDE∴h≥1；①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，（m﹣2）2≥10，m﹣2≥或m﹣2≤﹣，m≥2+或m≤2﹣，②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，∵H（2，），∴HM=﹣1=＜1，∴点P不可能在DE的上方；③∵MN=1，且O（0，0），a（4，0），∴P不可能在CO（除O点）、OD、EA（除A点）、AF上，∴P与O或A重合时，符合条件，∴m=0或m=4；综上所述，△PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、对称性、二次函数的性质、图形和坐标特点、折叠的性质；运用了数形结合的思想和分类讨论的思想，应用部分有难度，根据面积的条件，先求出底边的长和确定高的取值是关键．。
2024年吉林长春中考数学试题及答案
2024年吉林长春中考数学试题及答案本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．根据有理数加法法则，计算()23+-过程正确的是（ ）A ．()32++B ．()32+-C ．()32-+D ．()32--2．南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（ ）．A ．主视图B ．俯视图C ．左视图D ．右视图3．在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则α∠的大小为（ ）A ．54oB ．60C ．70D ．724．下列运算一定正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．236a a a ⋅=C ．()222ab a b =D ．()235a a =5．不等关系在生活中广泛存在．如图，a 、b 分别表示两位同学的身高，c 表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）A ．若a b >，则a c b c+>+B ．若a b >，b c >，则a c >C ．若a b >，0c >，则ac bc >D ．若a b >，0c >，则a b c c>6．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A 时，位于海平面R 处的雷达测得点R 到点A 的距离为a 千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL 为（ ）A ．sin a θ千米B ．sin a θ千米C ．cos a θ千米D ．cos a θ千米7．如图，在ABC 中，O 是边AB 的中点．按下列要求作图：①以点B 为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO 于点D ，交BC 于点E ；②以点O 为圆心、BD 长为半径画弧，交线段OA 于点F ；③以点F 为圆心、DE 长为半径画弧，交前一条弧于点G ，点G 与点C 在直线AB 同侧；④作直线OG ，交AC 于点M ．下列结论不一定成立的是（ ）A ．AOM B∠=∠B ．180OMC C ∠+∠= C ．AM CM =D ．12OM AB =8．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，点()4,2A 在函数()0,0k y k x x=>>的图象上．将直线OA 沿y 轴向上平移，平移后的直线与y 轴交于点B ，与函数()0,0k y k x x =>>的图象交于点C ．若BC =，则点B 的坐标是（ ）A ．(B ．()0,3C ．()0,4D ．(0,二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．9．单项式22a b -的次数是 ．10= ．11．若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是 ．12．已知直线y kx b =+（k 、b 是常数）经过点()1,1，且y 随x 的增大而减小，则b 的值可以是 ．（写出一个即可）13．一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示的方式摆放，边AB 与直线l 重合，12cm AB =．现将该三角板绕点B 顺时针旋转，使点C 的对应点C '落在直线l 上，则点A 经过的路径长至少为 cm ．（结果保留π）14．如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，连结AD ．给出下面四个结论：①ABD DAC ∠=∠；②AF FG =；③当2DG =，3GB =时，FG =④当 2BD AD =，6AB =时，DFG上述结论中，正确结论的序号有 ．三、解答题：本题共10小题，共78分．15．先化简，再求值：32222x x x x ---，其中x =．16．2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成A 、B 、C 三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．17．《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．18．如图，在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，O 是边AB 的中点，AOD BOC ∠=∠．求证：四边形ABCD 是矩形．19．某校为调研学生对本校食堂的满意度，从初中部和高中部各随机抽取20名学生对食堂进行满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a ．高中部20名学生所评分数的频数分布直方图如下图：（数据分成4组：67x ≤<，78x ≤<，89x ≤<，910x ≤≤）b ．高中部20名学生所评分数在89x ≤<这一组的是：8.0 8.1 8.2 8.2 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8c ．初中部、高中部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下：平均数中位数初中部8.38.5高中部8.3m根据以上信息，回答下列问题：(1)表中m 的值为________；(2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”．①在被调查的学生中，设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为a 、b ，则a ________b ；（填“>”“<”或“=”）②高中部共有800名学生在食堂就餐，估计其中对食堂“非常满意”的学生人数．20．图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD ，使其是轴对称图形且点C 、D 均在格点上．(1)在图①中，四边形ABCD 面积为2；(2)在图②中，四边形ABCD 面积为3；(3)在图③中，四边形ABCD 面积为4．21．区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶112小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y （千米）与在此路段行驶的时间x （时）之间的函数图象如图所示．(1)a 的值为________；(2)当112x a ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式；(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）22．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边ABC 中，3AB =，点M 、N 分别在边AC 、BC 上，且AM CN =，试探究线段MN 长度的最小值．【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．【问题解决】如图②，过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：AM MP =；（2）CAP ∠的大小为 度，线段MN 长度的最小值为________．【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，ABC 是等腰三角形，四边形BCDE 是矩形，2AB AC CD ===米，30ACB ∠=︒．MN 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M 在AC 上，点N 在DE 上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM DN =．钢丝绳MN 长度的最小值为多少米．23．如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =．点D 是边BC 上的一点（点D 不与点B 、C 重合），作射线AD ，在射线AD 上取点P ，使AP BD =，以AP 为边作正方形APMN ，使点M 和点C 在直线AD 同侧．(1)当点D 是边BC 的中点时，求AD 的长；(2)当4BD =时，点D 到直线AC 的距离为________；(3)连结PN ，当PN AC ⊥时，求正方形APMN 的边长；(4)若点N 到直线AC 的距离是点M 到直线AC 距离的3倍，则CD 的长为________．（写出一个即可）24．在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线22y x x c =++（c 是常数）经过点()2,2--．点A 、B 是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m 、m -，点C 的横坐标为5m -，点C 的纵坐标与点A 的纵坐标相同，连结AB 、AC ．(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求证：当m 取不为零的任意实数时，tan CAB ∠的值始终为2；(3)作AC 的垂直平分线交直线AB 于点D ，以AD 为边、AC 为对角线作菱形ADCE ，连结DE ．①当DE 与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE 的面积；②当此抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大时，直接写出m 的取值范围．1．D【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键．根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答．【详解】解：()()2332+---=．故选D ．2．B【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键．根据三视图主视图、俯视图、左视图的定义即可解答．【详解】解：由题意可知图③是从“四角亭”上方看到的，即为俯视图．故选B ．3．D【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键．根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论．【详解】解：(52)180180725α-⨯︒∠=︒-=︒，故选：D ．4．C【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则计算并判断A ；根据同底数幂的乘法法则计算并判断B ；根据积的乘方运算法则计算并判断C ；根据幂的乘方运算法则计算并判断D ．【详解】解：A ．2236a a a ⋅=，故本选项不符合题意；B ．235a a a ⋅=，故本选项不符合题意；C ．()222ab a b =，故本选项符合题意；D ．()236a a =，故本选项不符合题意；故选：C ．5．A【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答．【详解】解：由作图可知：a b >，由右图可知：a c b c +>+，即A 选项符合题意．故选：A ．6．A【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解【详解】解：由题意得：sin AL AL AR a θ==∴sin AL a θ=千米故选：A7．D【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出AOM B ∠=∠，根据平行线的判定得出OM BC ∥，根据平行线的性质得出180OMC C ∠+∠= ，根据平行线分线段成比例得出1AM AO CM OB==，即可得出AM CM =．【详解】解：A ．根据作图可知：AOM B ∠=∠一定成立，故A 不符合题意；B ．∵AOM B ∠=∠，∴OM BC ∥，∴180OMC C ∠+∠= 一定成立，故B 不符合题意；C ．∵O 是边AB 的中点，∴AO BO =，∵OM BC ∥，∴1AM AO CM OB==，∴AM CM =一定成立，故C 不符合题意；D ．12OM AB =不一定成立，故D 符合题意．8．B【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．如图：过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D ，先根据点A 坐标计算出sin OAE ∠、k 值，再根据平移、平行线的性质证明DBC OAE ∠=∠，进而根据sin sin CD DBC OAE BC∠==∠求出CD ，最后代入反比例函数解析式取得点C 的坐标，进而确定2CD =,4OD =，再运用勾股定理求得BD ，进而求得OB 即可解答．【详解】解：如图，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D ，则AE y ∥轴，∵()4,2A ，∴4OE =，OA =∴sin OE OAE OA ∠===∵()4,2A 在反比例函数的图象上，∴428k =⨯=．∴将直线OA 向上平移若干个单位长度后得到直线BC ，∴OA BC ∥，∴OAE BOA ∠=∠，∵AE y ∥轴，∴DBC BOA ∠=∠，∴DBC OAE ∠=∠，∴sin si n CD DBC OAE BC ∠===∠=2CD =，即点C 的横坐标为2，将2x =代入8y x=，得4y =，∴C 点的坐标为()2,4，∴2CD =,4OD =，∴1BD ==，∴413OB OD BD =-=-=,∴()0,3B 故选：B ．9．3【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【详解】单项式22a b -的次数是：213+=，故答案为：3．10【分析】利用二次根式的性质化简，再相减．==【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质．11．14c >【分析】本题主要考查了抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点问题，掌握抛物线2y ax bx c =++与x 轴没有交点与20x x c -+=没有实数根是解题的关键．由抛物线与x 轴没有交点，运用根的判别式列出关于c 的一元一次不等式求解即可．【详解】解：∵抛物线2y x x c =-+与x 轴没有交点，∴20x x c -+=没有实数根，∴2141140c c ∆=-⨯⨯=-<，14c >．故答案为：14c >．12．2（答案不唯一）【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“0k >，y 随x 的增大而增大；0k <，y 随x 的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出1k b =+，由y 随x 的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出0k <，若代入1k =-，求出b 值即可．【详解】解：∵直线y kx b =+（k 、b 是常数）经过点()1,1，∴1k b =+．∵y 随x 的增大而减小，∴0k <，当1k =-时，11b =-+，解得：2b =，∴b 的值可以是2．故答案为：2（答案不唯一）13．203π【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键．由旋转的性质可得60ABC A BC '∠=∠=︒,即120ABA '∠=︒，再根据点A 经过的路径长至少为以B 为圆心，以AB 为半径的圆弧的长即可解答．【详解】解：∵将该三角板绕点B 顺时针旋转，使点C 的对应点C '落在直线l 上，∴60ABC A BC '∠=∠=︒,即120ABA '∠=︒，∴点A 经过的路径长至少为12010201803ππ︒⋅⋅=︒．故答案为：203π．14．①②③【分析】如图：连接DC ，由圆周角定理可判定①；先说明BDE AGD ∠=∠、ADE DAC ∠=∠可得DF FG =、AF FD =，即AF FG =可判定②；先证明 ∽ADG BDA 可得AD GD BD AD=,即AD GDDG BG AD=+,代入数据可得AD =，然后运用勾股定理可得AG =，再结合AF FG =即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O ，连接,,OD CO CD ，易得60AOD DOC ∠=∠=︒，从而证明,AOD ODC 是等边三角形，即ADCO 是菱形，然后得到30DAC OAC ∠=∠=︒，再解直角三角形可得DG =ADG S = 【详解】解：如图：连接DC ，∵D 是 AC 的中点，∴ AD DC =,∴ABD DAC ∠=∠，即①正确；∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，∴90DAC AGD ∠+∠=︒，∵DE AB⊥∴90BDE ABD Ð+Ð=°,∵ABD DAC ∠=∠，∴BDE AGD ∠=∠，∴DF FG =，∵90BDE ABD Ð+Ð=°，90BDE ADE ∠+∠=︒,∴ADE ABD ∠=∠，∵ABD DAC ∠=∠，∴ADE DAC ∠=∠，∴AF FD =，∴AF FG =,即②正确；在ADG △和BDA △,90ADG BDA DAG DBA ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩，∴ ∽ADG BDA ，∴AD GD BD AD =,即AD GD DG BG AD =+,∴223AD AD=+，即AD =∴AG ==∵AF FG =，∴12FG AG ==如图：假设半圆的圆心为O ，连接,,OD CO CD ，∵ 2BD AD =，6AB =，D 是AC 的中点，∴ 1,3AD DC AB ==∴60AOD DOC ∠=∠=︒，∵OA OD OC ==，∴,AOD ODC 是等边三角形，∴6OA AD CD OC OD =====，即ADCO 是菱形，∴1302DAC OAC DAO ∠=∠=∠=︒，∵90ADB ∠=︒，∴tan tan 30DG DAC AD ∠=︒=6DG =，解得：DG =∴11622ADG S AD DG =⋅=⨯⨯= ，∵AF FG=∴12DFG ADG S S == ，即④错误．故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．15．2x ，2【分析】本题考查了分式的化简求值问题，先算分式的减法运算，再代入求值即可．【详解】解：原式()23222222x x x x x x x --===--∵x =，∴原式2=16．13【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．先列表确定出所有等可能的结果数以及这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果数，然后再利用概率公式计算即可．【详解】解：列表如下：A B CA A ，A A ，B A ，CB B ，A B ，B B ，CC C ，A C ，B C ，C共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有3种，所以这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为3193=．17．共33人合伙买金，金价为9800钱【分析】设共x 人合伙买金，金价为y 钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设共x 人合伙买金，金价为y 钱，依题意得：4003400300100x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得：339800x y =⎧⎨=⎩．答：共33人合伙买金，金价为9800钱．【点睛】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18．证明见解析．【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用SAS 可证明AOD BOC ≌△△，得出AD BC =，根据90A B ∠=∠=︒得出AD BC ∥，即可证明四边形ABCD 是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形ABCD 是矩形．【详解】证明：∵O 是边AB 的中点，∴OA OB =，在AOD △和BOC 中，90A B OA OB AOD BOC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AOD BOC ≌△△，∴AD BC =，∵90A B ∠=∠=︒，∴AD BC ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵90A B ∠=∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形．19．(1)8.3(2)①>；②估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人【分析】（1）由题意知，高中部评分的中位数为第1011，位数的平均数，即8.28.42m +=，计算求解即可；（1）①利用中位数进行决策即可；②根据4580020+⨯，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知，高中部评分的中位数为第1011，位数的平均数，即8.28.48.32m +==，故答案为：8.3；（2）①解：由题意知，初中部评分的中位数为8.5，高中部评分的中位数为8.3，∴a b >，故答案为：>；②解：∵45 80036020+⨯=，∴估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人．【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，利用中位数进行决策，用样本估计总体．熟练掌握条形统计图，中位数，利用中位数进行决策，用样本估计总体是解题的关键．20．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键．（1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形ABCD即可．（2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形ABCD即可．（3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形ABCD即可．【详解】（1）解：如图①：四边形ABCD即为所求；（不唯一）．（2）解：如图②：四边形ABCD即为所求；（不唯一）．（3）解：如图③：四边形ABCD 即为所求；（不唯一）．21．(1)15(2)11902125y x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭(3)没有超速【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．（1）由题意可得：当以平均时速为100/千米时行驶时，a 小时路程为20千米，据此即可解答；（2）利用待定系数法求解即可；（3）求出先匀速行驶112小时的速度，据此即可解答．【详解】（1）解：由题意可得：10020a =，解得：15a =．故答案为：15．（2）解：设当11125x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系式为()0y kx b k =+≠，则：11761205k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：902k b =⎧⎨=⎩，∴11902125y x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭．（3）解：当112x =时，19029.512y =⨯+=，∴先匀速行驶112小时的速度为：19.5114/12÷=（千米时），∵114120＜，∴辆汽车减速前没有超速．22．问题解决：（1）见解析（2）30，32；方法应用：线段MN【分析】（1）过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ，根据平行四边形性质证明结论即可；（2）先证明30CAP MPA Ð=Ð=°，根据垂线段最短求出最小值；（3）过点D 、M 分别作MN 、ED 的平行线，并交于点H ，作射线AH ，连接AD ，求出15MAH Ð=°，进而得45DAH ∠=︒，利用垂线段最短求出即可．【详解】解：问题解决：（1）证明：过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ，∴四边形MNCP 是平行四边形，NC MP MN PC\==，AM NC= AM MP ∴=；（2）在等边ABC 中，60ACB ∠=︒，MP CN∥60PMC ACB \Ð=Ð=°AM MP= 30CAP MPA \Ð=Ð=°；当CP AP ⊥时，CP 最小，此时MN 最小，在Rt ACP 中，3,30AC CAP =Ð=°13322CP \=´=，∴线段MN 长度的最小值为32；方法应用：过点D 、M 分别作MN 、ED 的平行线，并交于点H ，作射线AH ，连接AD ，∴四边形MNDH 是平行四边形，,ND MH MN DH MH ED\==，∥AM ND= AM MH ∴=，四边形BCDE 是矩形，,90BC ED BCD \Ð=°∥BC MH\∥30ACB CMH \Ð=Ð=°AM MH= 15MAH \Ð=°3m,120AC CD ACD ACB BCD ==Ð=Ð+Ð=°30DAC ∴∠=︒45DAH ∴∠=︒∴当DH AH ⊥时，DH 最小，此时MN 最小，作CR AD ⊥于点R ，在Rt ACR 中，3,30AC CAR =Ð=°13322CR \=´=，AR \2AD AR \==在Rt ADH 中，45AD DAH =Ð=°DH AH \=，∴线段MN 米．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键．23．(1)4(2)85(3)177(4)256或259【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握面积法是解题的关键；（1）根据等腰三角形三线合一性质，利用勾股定理即可求解；（2）利用面积法三角形面积相等即可；（3）设AP x =，则BD x =，6CD x =-，过点D 作DH AC ⊥于Q，根据AQ CQ AC +=，建立方程；即可求解；（4）第一种情况，M ，N 在AC 异侧时，设MQ m =，3NQ m =，则4AN m =，证明CDE ANQ ∽，得到CE CD NQ AQ=，即可求解；第二种情况，当M ，N 在AC 同侧，设CD x =，则35CH x =，45DH x =，3425AH x =⨯，求得3345525x x +⨯=，解方程即可求解；【详解】（1）解：根据题意可知： 5AB AC ==，ABC ∴ 为等腰三角形，故点D 是边BC 的中点时，AD BC ⊥；在Rt ADC 中，4AD ====；（2）根据题意作DH AC ⊥，如图所示；当4BD =时，则2CD =，设点D 到直线AC 的距离为DH h =，1124522ACD S h =⨯⨯=⨯⨯ ，解得：85h =；（3）如图，当NP AC ⊥时，点M 落在AC 上，设AP x =，则BD x =，6CD x =-，过点D 作DH AC ⊥于Q 则()33655CQ CD x ==-，()44655DQ CD x ==-()44655AQ DQ CD x ===-，AQ CQ AC += ，()()3466555x x ∴-+-=解得：177x =故177=AP ，所以正方形APMN 的边长为177；（4）如图，M ，N 在AC 异侧时；设MQ m =，3NQ m =，则4AN m=ANQ ∴ 三边的比值为3:4:5，AQN C ∴∠=∠，CAD C ∴∠=∠，∴CDE ANQ∽CE CDNQ AQ=∴5525326CD =⨯=当M ，N 在AC 同侧设MQ m =，则3AN AP m ==，2PQ m =，APO ∴三边比为2:AQD ∴三边比为2:设CD x =，则35CH x =，45DH x =，3425AH x =⨯3345525x x ∴+⨯=解得：259CD x ==综上所述：CD 的长为256或25924．(1)222y x x =+-(2)见详解(3)①9ADCE S =菱形；②3m ≤-或10m -≤<或04m <≤【分析】（1）将()2,2--代入22y x x c =++，解方程即可；（2）过点B 作BH AC ⊥于点H ，由题意得()()22,22,,22A m m m B m m m +----，则4A B BH y y m =-=，2A B AH x x m =-=，因此tan 2BH CAB AH∠==；（3）①记,AC DE 交于点M ， ()25,22C m m m -+-，而对称轴为直线=1x -，则512m m -+=-，解得：12m =，则32AM =，3AC =，由tan 232DM DM CAB AM ∠===，得3DM =，则6DE =，因此9ADCE S =菱形；②分类讨论，数形结合，记抛物线顶点为点F ，则()1,3F --，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当0m >时，符合题意；当m 继续变大，直至当直线CD 经过点F 时，符合题意，过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，由CAD FCQ ∠=∠，得到()()2223215m m m +---=---，解得：4m =或4m =+（舍），故04m <≤，当4m >侧的抛物线，不符合题意；当0m <时，符合题意：当m 继续变小，直至点A 与点F 重合，此时1m =-，故10m -≤<；当m 继续变小，直线AE 经过点F 时，也符合题意， 过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，同上可得，()222321m m m +---=--，解得：3m =-或1m =-（舍），当m 继续变小时，仍符合题意，因此3m ≤-，故m 的取值范围为：3m ≤-或10m -≤<或04m <≤【详解】（1）解：将()2,2--代入22y x x c =++，得：442c -+=-，解得：2x =-，∴抛物线表达式为：222y x x =+-；（2）解：过点B 作BH AC ⊥于点H ，则90AHB ∠=︒，由题意得：()()22,22,,22A m m m B m m m +----，∴4A B BH y y m =-=，2A B AH x x m =-=，∴在Rt AHB △中，4tan 22m BH CAB AH m∠===；（3）解：①如图，记,AC DE 交于点M ，由题意得，()25,22C m m m -+-，由2122b a -=-=-，得：对称轴为直线：=1x - ∵四边形ADCE 是菱形，∴点A 、C 关于DE 对称，2,2AC AM DE DM ==，∵DE 与此抛物线的对称轴重合，∴512m m -+=-，解得：12m =，∴12A x =，∴()13122AM =--=∴3AC =，∵tan 232DM DM CAB AM∠===，∴3DM =，则6DE =，∴192ADCE S DE AC =⨯=菱形；②记抛物线顶点为点F ，把=1x -代入222y x x =+-，得：=3y -，∴()1,3F --，∵抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大，∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当0m >时，如图，符合题意，当m 继续变大，直至当直线CD 经过点F 时，符合题意，如图：过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，∵四边形ADCE 是菱形，∴DA DC =，∴CAD FCQ ∠=∠，∴tan tan 2FQ FCQ CAD CQ∠=∠==，∴()()2223215m m m +---=---，解得：4m =4m =（舍），∴04m <≤，当4m >当0m <时，如图，符合题意：当m 继续变小，直至点A 与点F 重合，此时1m =-，符合题意，如图：∴10m -≤<；当m 继续变小，直至直线AE 经过点F 时，也符合题意，如图：过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，同上可得，tan 2FQ FAQ AQ ∠==，∴()222321m m m+---=--，解得：3m =-或1m =-（舍），当m 继续变小时，仍符合题意，如图：∴3m ≤-，综上所述，m 的取值范围为：3m ≤-或10m -≤<或04m <≤【点睛】本题考查了抛物线与几何的综合，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，求锐角的正切值，正确理解题意，利用数形结合的思想，找出临界状态是解决本题的关键．。
2024年吉林省吉林市中考二模考试数学试卷
2024年吉林省吉林市中考二模考试数学试卷一、单选题(★) 1. 下列各数中是无理数的是（）A．B．0C．D．(★★) 2. 下列四种体育用球的主视图、左视图和俯视图都相同的是（）A．羽毛球B．乒乓球C．橄榄球D．冰球(★) 3. 如图，直线被直线所截，．下列说法错误的是（）A．B．C．D．(★★) 4. 下列各式运算结果为的是（）A．B．C．D．(★★) 5. 台湾省，简称“台”，是中华人民共和国省级行政区，省会为台北市．在地图上如果把城市看作一点，下列城市与台北市之间的距离最大的是（）A．吉林市B．西安市C．海口市D．福州市(★★) 6. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时 1 斤＝16 两，故有“半斤八两”这个成语）．设总共有x个人，根据题意所列方程正确的是（）A．7x - 4 = 9x+8B．7x+4 = 9x-8C．D．二、填空题(★) 7. 比较大小： ______ （填“”“”或“”）．(★★) 8. 若关于和的单项式与是同类项，则 ______ ．(★★) 9. 不等式组的解集为 ______ ．(★★) 10. 如图，在中，．按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点；②作直线交于点；③连接．若，，则 ______ ．(★★) 11. 《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》是唐代大诗人李白的诗作，笑笑默写该诗如图所示．如果用表示“杨”字的位置，那么图中错别字的位置表示为______ ．(★★) 12. 高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为取整函数，也称高斯函数，即表示不超过的最大整数，例如，则 ______ ．(★★) 13. 构建几何图形解决代数问题体现的是数形结合思想．如图，在中，，．延长线段到点，使，连接，可得，所以．利用此图形可以得出．通过类比这种方法，可以得出 ______ ．(★★★) 14. 如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点，连接，．若，则阴影部分图形周长的最小值为 ______ （结果保留）．三、解答题(★★) 15. 先化简，再求值：，其中，．(★★) 16. 如图，和相交于点，，，求证：．(★★) 17. 为了提高教育教学质量，吉林市某中学数学教研组召开了一次教研工作会．在如图所示的场地里摆放了把椅子，每个方框代表一把椅子，横为排，竖为列，其中圆点表示已有位老师入座，又有郝老师和所老师两位老师随机入座．根据会议安排，郝老师需要坐第二排，所老师需要坐第三排．假设这两位老师在每一排选择座位的可能性相同，请用画树状图或列表法求两位老师刚好坐同一列的概率．(★★) 18. 根据图中两姐妹的对话记录，求姐姐购买一部华为手机的预算为多少元？(★★) 19. 某款亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流I（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求台灯的电流关于电阻的函数解析式．(2)当时，求的取值范围．(★★★) 20. 如图1、图2均是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，矩形的顶点均在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺画图，不要求写画法．(1)在图1中，在上找一点，连接，使得，(2)在图2中，在上找一点，连接，使得平分．(★★★) 21. 如图1是汽车内常备的千斤顶，图2是它的平面示意图，四边形是菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变线段的长度，同时改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即点与点之间的距离）．经测量，．(1)当时，求的长（结果保留整数）．(2) 从增加到时，这个千斤顶高度升高了______cm（结果保留整数）．（参考数据：，，）(★★★) 22. 小婷利用统计知识分析《春秋经传引得》《三国志》《汉书》《后汉书》《史记》五本古文经典和某期现代汉语文本《人民日报》的词汇长度、词汇数量（单位：个）分布情况，研究古人与现代人在撰写文章时的用词习惯，由于十字词以上的词汇数量过少，所以不做研究．下面给出了部分信息：a．五本古文经典的词汇长度折线图：b．五本古文经典的词汇数量扇形图：c．五本古文经典和《人民日报》的词汇长度条形图：根据以上信息，回答下列问题：(1)五本古文经典中词汇长度数量最多的是______字词，其次是三字词．(2)《后汉书》共出现词汇个，计算五本古文经典的词汇数量总数为多少个．(3)通过分析古今的词汇长度、词汇数量分布情况，说明古人与现代人在撰写文章时用词习惯的共同点（写出一条即可）．(★★★) 23. 随着科技的进步，传统的人工生产方式开始向自动化和智能化转变．某工厂工人每日上下午各工作3小时，中间休息2小时．假设每名工人和每台机器人工作时的效率不变，一台机器人每日工作量（件），一名工人每日工作量（件）分别与机器人工作时间（小时）之间的函数关系如图所示．(1)机器人的工作效率为______件/小时．(2)当时，求关于的函数解析式．(3)当时，一台机器人比一名工人多生产______件产品．(★★★★) 24. 如图，在等腰直角三角形中，，动点分别从点，同时出发，点沿折线向终点运动，在上的速度为，在上的速度为，点以的速度沿线段向终点运动，连接，．设运动时间为，的面积为．(1) 的长为______ （用含的代数式表示）．(2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围．(3)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围．(★★★★) 25. 如图，四边形是边长为5正方形，线段绕点顺时针旋转到处，旋转角为，连接，点在射线上，连接，使，连接，．(1)①当时，______ ．②______（用含有的代数式表示）．(2)求证：（可直接利用问题（1）中②的结论）．(3)连接，当时，直接写出的长．(★★★★) 26. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，连接．点为线段上方抛物线上任意一点，连接交于点，以点为圆心作圆．(1)求抛物线的解析式及点的坐标．(2)当点和点同时在上时．①直接写出点与的位置关系．②求点的坐标．(3)当点在上，且的值最大时，直接写出连接点与上各点的所有线段中，最短线段的长度．。
2023年吉林省长春市中考数学真题(解析版)
2023年长春市初中学业水平考试数学本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分20分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 实数a 、b 、c 、d 伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ）A. aB. bC. cD. d【答案】B【解析】 【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数. 【详解】解：由图可知，3a >，01b <<，01c <<，23d <<，比较四个数的绝对值排除a 和d ，根据绝对值的意义观察图形可知，c 离原点的距离大于b 离原点的距离，<b c ∴，∴这四个数中绝对值最小的是b .故选：B .【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小.2. 长春龙嘉国际机场T3A 航站楼设计创意为“鹤舞长春”，如图所示，航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程按照满足2030年旅客吞吐量38000000人次目标设计的，其中38000000这个数用科学记数法表示为（ ）A. 80.3810×B. 63810×C. 83810×D. 73.810×【答案】D【解析】 【分析】根据科学记数法公式转换即可，科学记数法公式为：10n a ×，1<10a ≤，n 为整数的位数减1．详解】解：738000000 3.810=×，故选：D ．【点睛】本题考查了科学记数法；解题的关键是熟练掌握科学记数法的定义．3. 下列运算正确的是（ ）A. 32a a a −=B. 23a a a ⋅=C. ()325a a =D. 623a a a ÷= 【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．【详解】A. 3a 与2a 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；B. 23a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；C. ()326a a =，故该选项不正确，不符合题意；D. 624a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．4. 下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ）【A. 面①B. 面②C. 面⑤D. 面⑥【答案】C【解析】 【分析】根据底面与多面体的上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，且没有公共顶点，即可求解．【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，故选：C ．【点睛】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．5. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳，卡钳交叉点O 为AA ′、BB ′的中点，只要量出A B ′′的长度，就可以道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（ ）A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C. 两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D. 两点之间线段最短【答案】A【解析】【分析】根据题意易证()SAS AOB A OB ′′ ≌，根据证明方法即可求解．【详解】解：O 为AA ′、BB ′的中点，OA OA ∴′=，OB OB ′=，AOB A OB ′′∠=∠ （对顶角相等），∴在AOB 与A OB ′′△中，OA OA AOB A OB OB OB= ∠=∠ =′′ ′，()SAS AOB A OB ′′∴△≌△，AB A B ′′∴=，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．6. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB 到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成25°角（即25BAC ∠=°）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即32AC =米），则彩旗绳AB 的长度为（ ）A. 32sin 25°米B. 32cos 25°米C. 32sin 25°米 D. 32cos 25°米【答案】D【解析】【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案.【详解】解： AC 表示的是地面，BC 表示是图书馆，AC BC ∴⊥，ABC ∴ 为直角三角形，32cos 25cos 25ACAB ∴==°°（米）.故选：D .【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念.7. 如图，用直尺和圆规作MAN ∠的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）A. AD AE =B. AD DF =C. DF EF =D. AF DE ⊥【答案】B【解析】【分析】根据作图可得,AD AE DF EF ==，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：根据作图可得,AD AE DF EF ==，故A ，C 正确；�,A F 在DE 的垂直平分线上，�AF DE ⊥，故D 选项正确，而DF EF =不一定成立，故B 选项错误，故选：B ．【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．8. 如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，分别以A 、B 为圆心，1为半径作圆，当A 与x 轴相切、B 与y 轴相切时，连结AB ，AB =，则k 的值为（ ）A. 3B.C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】过点,A B 分别作,y x 轴的垂线，垂足分别为,E D ，,AE BD 交于点C ，得出B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k，()1,B k ，则1,1AC k BC k =−=−，根据AB =【详解】解：如图所示，过点A B ，分别作y x ，轴的垂线，垂足分别为E D ，，AE BD ，交于点C ，依题意，B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k�()1,1C ，则1,1AC k BC k =−=−，又�90ACB ∠=°，AB =�()()(22211k k −+−�13k −=（负值已舍去）解得：4k =，故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共8分）9. 分解因式：21a −=____．【答案】()()11a a +−．【解析】【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案【详解】解：()()2111a a a −+−．故答案为：()()11a a +−【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．10. 若关于x 的方程220x x m −+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_________．【答案】1m <【解析】【分析】根据根的判别式求出2(2)41440m m ∆=−−××=−>，再求出不等式的解集即可．【详解】解： 关于x 的方程220x x m −+=有两个不相等的实数根，2(2)41440m m ∴∆=−−××=−>解得：1m <，故答案为：1m <．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，解题的关键是能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程20ax bx c ++=(,,a b c 为常数，0)a ≠，①当240b ac ∆=−>时，方程有两个不相等的实数根，②当240b ac ∆=−=时，方程有两个相等的实数根，③当24<0b ac ∆=−时，方程没有实数根．11. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x 公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x 的代数式表示）【答案】()7.510x −【解析】【分析】根据题意列出代数式即可．【详解】根据题意可得，他离健康跑终点的路程为()7.510x −．故答案为：()7.510x −．【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．12. 如图，ABC 和A B C ′′′ 是以点O 为位似中心的位似图形，点A 在线段OA ′上．若12OA AA ′=::，则ABC 和A B C ′′′ 的周长之比为__________．【答案】1:3【解析】【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：12OA AA ′= ::，:1:3OA OA ′∴=，设ABC 周长为1l ，设A B C ′′′ 周长为2l ，ABC 和A B C ′′′ 是以点O 为位似中心的位似图形，1213l OA l OA ∴==′． 12:1:3l l ∴=．ABC ∴ 和A B C ′′′ 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．13. 如图，将正五边形纸片ABCDE 折叠，使点B 与点E 重合，折痕为AM ，展开后，再将纸片折叠，使边AB 落在线段AM 上，点B 的对应点为点B ′，折痕为AF ，则AFB ′∠的大小为__________度．【答案】45【解析】 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为()5218101508−×°=°，根据折叠的性质求得,,BAM FAB ′∠∠在AFB ′V 中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为()5218101508−×°=°， 将正五边形纸片ABCDE 折叠，使点B 与点E 重合，折痕为AM ， 则111085422BAM BAE ∠=∠=×°=°， ∵将纸片折叠，使边AB 落在线段AM 上，点B 的对应点为点B ′，折痕为AF ，∴11542722FAB BAM ′∠=∠=×°=°，108AB F B ′∠=∠=°， 在AFB ′V 中，1801801082745AFB B FAB ′′∠=°−∠−∠=°−°−°=°， 故答案为：45．【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 14. 2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A 、B 的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H 处相遇，此时相遇点H 距地面20米，喷水口A 、B 距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A ′、B ′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H ′距地面__________米．【答案】19【解析】【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令0x =求平移后的抛物线与y 轴的交点即可．【详解】解：由题意可知：()40,4A −、()40,4B 、()0,20H ，设抛物线解析式为：220y ax =+， 将()40,4A −代入解析式220y ax =+， 解得：1100a =−， 220100x y ∴=−+， 消防车同时后退10米，即抛物线220100x y =−+向左（右）平移10米，平移后的抛物线解析式为：()21020100x y +=−+，令0x =，解得：19y =，故答案为：19． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15. 先化简．再求值：2(1)(1)a a a ++−，其中a =【答案】31a +1+【解析】【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．【详解】解：2(1)(1)a a a ++− 2221a a a a =+++−31a =+当a =311=+=+ 【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．16. 班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．【答案】49【解析】【分析】依题意画出树状图，运用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下：共有9种可能，获一等奖即两次颜色不相同可能有4种，则某同学获一等奖的概率为：49， 答：某同学获一等奖的概率为49．【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键．17. 随着中国网民规模突破10亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？【答案】原计划平均每天制作200个摆件． 【解析】【分析】设原计划平均每天制作x 个，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原计划平均每天制作x 个，根据题意得，的3000300051.5x x=+ 解得：200x =经检验，200x =是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每天制作200个摆件．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．18. 将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A ，E ，B ，D 依次在同一直线上，连结AF 、CD ．（1）求证：四边形AFDC 是平行四边形；（2）己知6cm BC =，当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ． 【答案】（1）见解析； （2）18 【解析】【分析】（1）由题意可知ACB DFE △≌△易得AC DF =，30CAB FDE ∠=∠=°即AC DF ∥，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；（2）如图，在Rt ACB △中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得212cm AB BC ==，60ABC ∠=°；由菱形得对角线平分对角得30CDA FDA ∠=∠=°，再由三角形外角和易证BCD CDA ∠=∠即可得6cm BC BD ==，最后由AD AB BD =+求解即可．【小问1详解】证明：由题意可知ACB DFE △≌△，AC DF =∴，30CAB FDE ∠=∠=°， AC DF \∥，∴四边形AFDC 地平行四边形；【小问2详解】如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=°，30CAB ∠=°，6cm BC =，212cm AB BC ∴==，60ABC ∠=°， 四边形AFDC 是菱形，AD ∴平分CDF ∠，30CDA FDA ∴∠=∠=°， ABC CDA BCD ∠=∠+∠ ，603030BCD ABC CDA ∴∠=∠−∠=°−°=°， BCD CDA ∴∠=∠， 6cm BC BD ∴==， 18cm AD AB BD ∴=+=，故答案为：18．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．19. 近年来，肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素．目前，国际上常用身体质量指数（Body MassIndcx ，缩写BMI ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是 22kg BMI=m 体重（单位：）身高（位置：）例如：某人身高1.60m ，体重60kg ，则他的260BMI 23.41.60=≈． 中国成人的BMI 数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5BMI 24≤<为正常；24BMI 28≤<为偏胖；BMI 28≥为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的BMI 值并绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息回答下列问题： （1）补全条形统计图；（2）请估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；（3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高1.70m ，BMI 值为27，他想通过健身减重使自己的BMI 值达到正常，则他的体重至少需要减掉_________kg ．（结果精确到1kg ） 【答案】（1）见解析 （2）110人 （3）9 【解析】【分析】（1）根据属于正常的人数除以占比得出抽取的人数，结合条形统计图求得属于偏胖的人数，进而补全统计图即可求解；（2）用属于偏胖和肥胖的占比乘以200即可求解；（3）设小张体重需要减掉kg x ，根据BMI 计算公式，列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】抽取了735%20÷=人，属于偏胖的人数为：202738−−−=， 补全统计图如图所示，【小问2详解】8320011020+×=（人） 【小问3详解】设小张体重需要减掉kg x ， 依题意，227241.70x−< 解得：8.67x >,答：他的体重至少需要减掉9kg ， 故答案为：9．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，一元一次不等式的应用，根据统计图表获取信息是解题的关键．20. 图①、图②、图③均是55×的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作ABC ，点C 在格点上．（1）在图①中，ABC 的面积为92； （2）在图②中，ABC 的面积为5 （3）在图③中，ABC 是面积为52的钝角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】【分析】（1）以3AB =为底，设AB 边上的高为h ，依题意得19·22ABC S AB h == ，解得3h =，即点C 在AB 上方且到AB 距离为3个单位的线段上的格点即可； （2）由网格可知，AB =AB AB 边上的高为h ，依题意得1·52ABCS AB h ==，解得h =，将AB 绕A 或B 旋转90°，过线段的另一个端点作AB 的平行线，与网格格点的交点即为点C ； （3）作BD AB ==，过点D 作CD AB ∥，交于格点C ，连接A 、B 、C 即可．【小问1详解】 解：如图所示，以3AB =为底，设AB 边上高为h ，依题意得：19·22ABC S AB h == 解得：3h =即点C 在AB 上方且到AB 距离为3个单位的线段上的格点即可，的答案不唯一；【小问2详解】由网格可知，AB =以AB 为底，设AB 边上的高为h ，依题意得：1·52ABC S AB h ==解得：h =将AB 绕A 或B 旋转90°，过线段的另一个端点作AB 的平行线，与网格格点的交点即为点C ， 答案不唯一，【小问3详解】如图所示，作BD AB ==，过点D 作CD AB ∥，交于格点C ，由网格可知，BD AB，AD =，�ABD △是直角三角形，且AB BD ⊥ ∵CD AB ∥∴15·22ABCS AB BD == ． 【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直．21. 甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚垂直高度y （米）与甲登山的时间x （分钟）之间的函数图象如图所示．（1）当1540x ≤≤时，求乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式； （2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．【答案】（1）12180y x =− （2）180 【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）求得甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为460y x =+()2560x ≤≤，联立12180y x =−()1540x ≤≤，即可求解．【小问1详解】解：设乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，将()15,0，()40,300代入得， 15040300k b k b +=+=， 解得：12180k b ==−，∴12180y x =−()1540x ≤≤； 【小问2详解】设甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为11y k x b =+()2560x ≤≤的将点()()25,16060,300，代入得， 11112516060300k b k b +=+= 解得：11460k b = = ， ∴460y x =+()2560x ≤≤； 联立12180460y x y x =−=+解得：30180x y = =∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．22. 【感知】如图①，点A 、B 、P 均在O 上，90AOB ∠=°，则锐角APB ∠的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ， 四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=°．180BAP BAE ∠+∠=° ，BCP BAE ∴∠=∠．ABC 是等边三角形．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，O 是ABC 的外接圆，90ABC AB BC ∠=°=，，点P 在O 上，且点P 与点B 在AC 的两侧，连结PA 、PB 、PC ．若PB =，则PBPC的值为__________．【答案】感知：45． 【解析】【分析】感知：由圆周角定理即可求解；探究：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明(SAS)PBC EBA ≌，可推得PBE 是等边三角形，进而得证；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明(SAS)PBC EBA ≌得，可推得PBE 是等腰直角三角形，结合PE PA PC =+与PE =可得3PC PA =，代入PBPC即可求解． 【详解】感知：由圆周角定理可得1245APB AOB ∠=∠=°， 故答案为：45； 探究：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ， 四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=°．180BAP BAE ∠+∠=° ，BCP BAE ∴∠=∠．ABC 是等边三角形．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，�PB EB =，PBC EBA ∠=∠，60EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=°，PBE ∴ 是等边三角形， PB PE ∴=，PB PE PA AE PA PC ∴==+=+，即PB PA PC =+；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ， 四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=°．180BAP BAE ∠+∠=° ，BCP BAE ∴∠=∠．AB CB = ，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，90EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=°，PBE ∴ 是等腰直角三角形，222PB BE PE ∴+=， 222PB PE ∴=，即PE =，PE PA AE PA PC =+=+ ， PA PC ∴+， PB =，4PA PC PA ∴+==，3PC PA ∴=，PB PC ∴=．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造PBC EBA ≌，进行转换求解．23. 如图①．在矩形ABCD ．35AB AD ==，，点E 在边BC 上，且2BE =．动点P 从点E 出发，沿折线EB BA AD −−以每秒1个单位长度的速度运动，作90PEQ ∠=°，EQ 交边AD 或边DC 于点Q ，连续PQ ．当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（0t >）（1）当点P 和点B 重合时，线段PQ 的长为__________；（2）当点Q 和点D 重合时，求tan PQE ∠；（3）当点P 在边AD 上运动时，PQE 的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由； （4）作点E 关于直线PQ 的对称点F ，连接PF 、QF ，当四边形EPFQ 和矩形ABCD 重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t 的取值范围．【答案】（1（2）32（3）见解析 （4）0t <≤176t =或7t = 【解析】【分析】（1）证明四边形ABEQ 是矩形，进而在Rt QBE △中，勾股定理即可求解．（2）证明PBE ECD ∽，得出2tan 3PE BE PQE DE CD ∠===； （3）过点P 作PH BC ⊥于点H ，证明PHE ECQ ≌得出PE QE =，即可得出结论（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点P 在BE 上时，②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，连接BQ ，∵四边形ABCD 是矩形∴90BAQ ABE ∠=∠=°∵90PEQ ∠=°，�四边形ABEQ 是矩形，当点P 和点B 重合时，∴3QE AB ==，2BE =在Rt QBE △中，BQ ，．【小问2详解】如图所示，�90PEQ ∠=°，90PBE ECD ∠=∠=°，∴1290,2390∠+∠=°∠+∠=°，�13∠=∠∴PBE ECD ∽， �PE BEDE CD =，∵2BE =，3CD AB ==， ∴2tan 3PEBE PQE DE CD ∠===；【小问3详解】如图所示，过点P 作PH BC ⊥于点H ，�90PEQ ∠=°，90PHE ECQ ∠=∠=°，∴1290,2390∠+∠=°∠+∠=°，则四边形ABHP 是矩形，�PH AB =3=又�523EC BC BE =−=−=∴PH EC =，∴PHE ECQ ≌∴PE QE =∴PQE 是等腰直角三角形；【小问4详解】①如图所示，当点P 在BE 上时，�3,2QE QF AQ BE ====，在Rt AQF △中，AF ，则3BF =�PE t =，则2BP t =−，PF PE t ==，在Rt PBF 中，222PF PB FB =+，�(()22232t t =+−解得：t =当t <F 在矩形内部，符合题意，�0t <≤符合题意， ②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，则2PB t BE t =−=−，PE =()325AP AB PB t t =−=−−=−，在Rt PBE △中，222PE PB BE =+()()222522t t −=−+， 解得：176t =， ③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，此时2327t =++=综上所述，0t <≤或176t =或7t =． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．24. 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx =−++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ，点B 在该抛物线上，横坐标为1m −．其中0m <．（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；（2）当点B 在x 轴上时，求点A 的坐标；（3）该抛物线与x 轴的左交点为P ，当抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m −时，求m 的值．（4）当点B 在x 轴上方时，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，连结AC 、BO ．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC 的顶点），设这两个交点分别为点E 、点F ，线段BO 的中点为D ．当以点C 、E 、O 、D （或以点C 、F 、O 、D ）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时，直接写出所有满足条件的m 的值．【答案】（1）222y x x =−++；顶点坐标为()1,3（2）()A（3）1m =−或2m =−或m =或m =（4）2m =−2m =−或12m =−【解析】【分析】（1）将点(2,2)代入抛物线解析式，待定系数法即可求解；（2）当0y =时，2220x x −++=，求得抛物线与x 轴的交点坐标，根据抛物线上的点B 在x 轴上时，横坐标为1m −．其中0m <，得出m =，即可求解；（3）①如图所示，当111m <−<0m <<时，②当11m −≥+m ≤时，③当111m <−<，即0m <<11m −≤−，即m ≥，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为2m −，建立方程，解方程即可求解；（4）根据B 在x 轴的上方，得出m <<E 是AC 的中点，②同理当F 为AO 的中点时，③12AOC CDF S S = ，根据题意分别得出方程，解方程即可求解．【小问1详解】解：将点(2,2)代入抛物线22y x bx =−++，得，2422b =−++解得：2b =∴抛物线解析式为222y x x =−++；∵222y x x =−++()213x =−−+，∴顶点坐标为()1,3，【小问2详解】解：由222y x x =−++，当0y =时，2220x x −++=，解得：1211x x −+，∵抛物线上的点B 在x 轴上时，横坐标为1m −．其中0m <．∴1m 1−>∴11m −=解得：m =，∵点A 坐标为(,0)m ，∴()A ；【小问3详解】①如图所示，当111m <−<+，即0m <<时，抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点为顶点，最低点为点P ，的∵顶点坐标为()1,3，()1P则纵坐标之差为303−=依题意，32m =−解得：1m =−；②当11m −≥m ≤时，∵()()()21,1212B m m m −−−+−+，即()21,3B m m −−+，依题意，()2332m m −−+=−，解得：2m =−或1m =（舍去），③当111m <−<，即0m <<则232m m −+=−，解得：m =或m =，④当11m −≤，即m ≥，则()2032m m −−+=−，解得：m =m =，综上所述，1m =−或2m =−或m =或m =；【小问4详解】解：如图所示，∵B 在x 轴的上方，∴111m −<−<+∴m <<∵以点C 、E 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，线段BO 的中点为D ∴BCD COD S S =∵AOBCAOC BOC S S S =+ ,BOC BCD COD S S S =+ ①当E 是AC 的中点，如图所示则2AOBC CEOD S S =， ∴23,22m m E −+ 代入222y x x =−++， 即22322222m m m −+ =−+×+，解得：2m −（舍去）或2m =−②同理当F 为AO 的中点时，如图所示，ACF CFO S S = ，BCD COD S S = ，则点C 、F 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，∴12m =，解得：2m =−，③如图所示，设BOC S S = ，则12DBC S S = ， ∵以点C 、E 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，线段BO 的中点为D ∴12CDF FDB AOC S S S S +=+ 即1122CDF CDF AOC S S S S S +=−+ ∴12AOC CDF S S = ， ∴CF AO =，∴()2,3F m m −−+，∵,B F 关于1x =对称， ∴112m m −+−=， 解得：12m =−，综上所述，2m =−+或2m =−或12m =−．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．31。
吉林省长春市农安县2024-2025学年九年级上学期10月期中考试数学试题
吉林省长春市农安县2024-2025学年九年级上学期10月期中考试数学试题一、单选题1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）．A ．21x y -=B ．2210x x -+=C ．2240x y -+=D ．223x x+=2．若25a b =，则ab =（）A ．25B ．52C ．2D ．53．方程2421x x -=-的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A ．4、2-、1-B ．4、2、1-C ．4、2-、1D ．4、2、14．一元二次方程2650x x -+=配方可变形为（）A ．()234-=xB ．()2314x +=C ．()2314x -=D ．()234x +=5．下列运算正确的是（）A B =C ．4=D ．1=6．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（）A ．1a =，2b =，3c =，4d =B ．5a =，6b =，7c =，8d =C ．1a =，b =，c =d =D ．4a =，6b =，6c =，8d =7．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）ABC D 8．如图，MN 是凸透镜的主光轴，点O 是光心，点F 是焦点．若蜡烛PM 的像为NB ，测量得到:5:3OM ON =，蜡烛高为10cm ，则像BN 的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm，9．如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点O，测得OA OBDE=，那么A，B两点间的距离是（）的中点分别是点D，E，且15mA．20m B．24m C．30m D．28m10．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（）.A．（32﹣2x）（20﹣x）=570B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570D．32x+2×20x﹣2x2=570二、填空题11=．12在实数范围内有意义，则实数x能合并，则m的值为．1314．一元二次方程方程2310x x--=的根的判别式的值为．15．已知1x，2x是方程22510x x--=的两个根，则1+2的值是．16．地图上两地间的距离（图上距离）为3厘米，比例尺是1：1000000，那么两地间的实际距离是米．17．如图在ABC V 中，G 是三角形的重心，AG GC ⊥，8AC =，则BG 的长为．18．如图，AD BE CF ∥∥，若2AB =，5AC =，4DE =，则EF 的长是．19．如图，四边形DBCE 中，DE BC ∥，若19EOD BOC S S = ：：，则OB OE =：．20．按下列方法，将ABC V 的三边缩小为原来的12，如图所示，任取一点O ，连接AO ，BO ，CO ，并取它们的中点D ，E ，F ，连接D ，EF ，FD 得到DEF ，则下列说法正确的序号有．①ABC V 与DEF 是位似图形；②ABC V 与DEF 是相似图形；③ABC V 与DEF 的周长之比为2:1；④ABC V 与DEF 的面积之比为2:1．三、解答题21．计算：(1)(2)+22．解方程(1)()2116x +=(2)2610x x -+=23．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，且两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．24．求证：对于任意实数m ，关于x 的方程22220x mx m -+-=总有两个不相等的实数根．25．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边BC 上一点，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且AFE B ∠=∠．求证：ADF DEC ∽△△．26．如图，在平面直角坐标系中，AOB V 的顶点坐标分别为()2,1A 、0,0、()1,2B -．(1)画出将AOB V 向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的111A O B ；(2)以原点O 为位似中心，位似比为1:2，在y 轴的左侧，画出将111A O B 放大后的222A O B △；(3)判断AOB V 与222A O B △，能否是关于某一点Q 为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点Q 的坐标．27．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如：221⋅=-=；223⋅=-=，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：227⋅==+=，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化．解决问题：(1)3的有理化因式是____________；(2)“<”“>”或“=”填空）；(3)⋅⋅⋅+．28．【感知】如图①，在正方形ABCD 中，E 为AB 边上一点，连结DE ，过点E 作EF DE ⊥交BC 于点F ．易证：AED BFE △∽△．（不需要证明）【探究】如图②，在矩形ABCD 中，E 为AB 边上一点，连结DE ，过点E 作EF DE ⊥交BC 于点F ．（1）求证：AED BFE ∽ ；（2）若10AB =，6AD =，E 为AB 的中点，求BF 的长．【应用】如图③，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，4AB =．E 为AB 边上一点（点E 不与点A 、B 重合），连结CE ，过点E 作45CEF ∠=︒交BC 于点F ．当CEF △为等腰三角形时，BE 的长为__________．。
中考强化训练2022年吉林省长春市南关区中考数学一模试题(含答案及解析)
2022年吉林省长春市南关区中考数学一模试题 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、已知0b a <<，那么下列不等式组无解的是（ ） A ．x a x b >⎧⎨<⎩ B ．x a x b >-⎧⎨<-⎩ C ．x a x b <⎧⎨>-⎩ D ．x a x b >-⎧⎨<⎩ 2、已知{x =2x =−1 是关于x ,x 的二元一次方程2x +xx =7的解，则x 的值为( ) A ．3 B ．-3 C ．92 D ．-113、如图，正方形ABCD 边长为4，对角线AC 上有一动点P ，过P 作PE BC ⊥于E ，PF AB ⊥于F ，连结EF ，则EF 的最小值为（ ） ·线○封○密○外A ．B ．2C ．4D ．4、在一条东西向的跑道上，小亮向东走了8米，记作“＋8米”；那么向西走了10米，可记作（ ）A ．＋2米B ．﹣2米C ．＋10米D ．﹣10米5、如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D 的坐标是（ ）A ．（2，10）B ．（﹣2，0）C ．（2，10）或（﹣2，0）D ．（10，2）或（﹣2，0）6、如图，在ABC ∆中，70CAB ∠=︒，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转到''AB C ∆的位置，使得'CC AB ，则'BAB ∠的度数是（ ）A ．70︒B ．35︒C ．40︒D ．50︒7、矩形的周长为12cm ，设其一边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 的函数关系式及其自变量x 的取值范围均正确的是（ ）A ．y =﹣x 2+6x （3＜x ＜6）B ．y =﹣x 2+12x （0＜x ＜12）C ．y =﹣x 2+12x （6＜x ＜12）D ．y =﹣x 2+6x （0＜x ＜6） 8、若分式12x x +-有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．2x ≠B ．2x =C ．1x =-D ．0x =9、一元二次方程2610x x --=配方后可变形为（ ） A ．()238x -= B ．()238x += C ．()2310x += D ．()2310x -= 10、在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（ ） A ．顺时针旋转90，向右平移B ．逆时针旋转90，向右平移C ．顺时针旋转90，向下平移D ．逆时针旋转90，向下平移第Ⅱ卷（非选择题 70分） 二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a +b +c ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③abc ＞0；④4a ﹣2b +c ＞0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是_____．2、如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠B＝30°，则∠D＝________． ·线○封○密○外3、把抛物线y=﹣x2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得的抛物线是________．4、如图，点B是反比例函数y＝2x（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴并交反比例函数y＝﹣3x（x＜0）的图象于点A，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则平行四边形ABCD的面积为_____．5、如图，已知三角形ABC的面积为16，8BC=，现将三角形ABC沿直线BC向右平移a个单位到三角形DEF的位置，当边AB所扫过的面积为32时，那么a的值为__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、357 (36)()469 -⨯-+2、在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B在网格格点上，若点C也在网格格点上，分别在下面的3个图中画出△ABC使其面积为2(形状完全相同算一种).3、如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．（1）α＝ （2）求边x 、y 的长度．4、如图,在10×10的正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位长度.△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上,且通过两次平移(沿网格线方向作上下或左右平移)后得到△A′B′C′,点C 的对应点是直线上的格点C′. (1)画出△A′B′C′. (2)△ABC 两次共平移了___个单位长度． (3)试在直线上画出点P,使得由点A′、B′、C′、P 四点围成的四边形的面积为9.5、如图，已知△ABC 为等边三角形，CF ∥AB ，点P 为线段AB 上任意一点（点P 不与A 、B 重合），过点P 作PE ∥BC ，分别交AC 、CF 于G 、E ． （1）四边形PBCE 是平行四边形吗？为什么？ （2）求证：CP ＝AE ； （3）试探索：当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么样的特殊四边形？并说明理由． ·线○封○密○外-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”，即可得出答案.【详解】A：大大小小，因此不等式组无解，故选项A正确；B：大小小大取中间，因此不等式组的解集为-a<x<-b，故选项B错误；C：大小小大取中间，因此不等式组的解集为-b<x<a，故选项C错误；D：大小小大取中间，因此不等式组的解集为-a<x<b，故选项D错误.因此答案选择A.【点睛】本题主要考查的是求不等式组的解集，注意解集确定的口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.2、B【解析】【分析】 把{x =2x =−1 代入二元一次方程2x +xx =7，求解即可． 【详解】解：把{x =2x =−1 代入二元一次方程2x +xx =7 得4-a =7，解得a=-3 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了二元一次方程的解的概念，解题的关键是把解代入原方程． 3、A 【分析】连接PB ，由矩形性质可知EF=BP ，由垂线段最短可知，当BP⊥AC 时，BP 最小，利用正方形性质求得AC 的长，从而利用三角形面积求得BP 的长即可即可． 【详解】 解：连接PB ，∵PE BC ⊥，PF AB ⊥，正方形ABCD 中，∠ABC=90° ∴四边形PFBE 是矩形 ∴EF=BP 当BP⊥AC 时，BP 最小，即EF 最小 在正方形ABCD中，AC ==∴1122AC BP AB BC =，1124422BP⨯=⨯⨯ 解得：BP =·线○封○密○外∴EF的最小值为故选：A．【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质，正方形性质的应用，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．4、D【分析】向东为“+”，则向西为“-”，由此可得出答案．【详解】解：向东走8米，记作“+8米”，则向西走10米，记作“-10米”．故选D．【点睛】本题考查正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．5、C【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．【详解】解：∵点D（5，3）在边AB上，∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，①若顺时针旋转，则点D 在x 轴上，O D ＝2，所以，D （﹣2，0），②若逆时针旋转，则点D 到x 轴的距离为10，到y 轴的距离为2，所以，D （2，10），综上所述，点D 的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．6、C 【分析】 根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB 得∠ACC′=∠CAB=70°，则∠AC′C=∠ACC′=70°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=40°，所以∠B′AB=40°． 【详解】 ∵ABC ∆绕点A 逆时针旋转到''AB C ∆的位置， ∴'AC AC =，''B AB C AC ∠=∠， ∴''AC C ACC ∠=， ∵'CC AB ， ∴'70ACC CAB ∠=∠=︒，∴''70AC C ACC ∠=∠=︒，∴'18027040CAC ∠=︒-⨯︒=︒，∴'40B AB ∠=︒，故选C. ·线○封○密·○外【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．7、D【分析】已知一边长为xcm，则另一边长为（6-x）cm，根据矩形的面积公式即可解答．【详解】解：已知一边长为xcm，则另一边长为（6-x）cm．则y=x（6-x）化简可得y=-x2+6x，（0＜x＜6），故选：D．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是用x表示出矩形的另一边，此题难度一般．8、A【解析】【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．【详解】解：由题意，得x-2≠0，解得x≠2，故选：A．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．9、D【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项．【详解】2610x x --=， 261x x ∴-=， ∴26919x x -+=+，∴()2310x -=， 故选：D ． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．10、A【详解】分析：运用旋转和平移性质可得.详解：由已知可得，顺时针旋转90°，向右平移，能把右下角完全填补.只有选项A 符合条件，其他选项不能符合条件. 故选A. 点睛：本题考核知识点：旋转和平移.解题关键点：理解旋转性质和平移性质，同时理解游戏规则即可.二、填空题1、①②③④⑤．【分析】·线○封○密·○外x=对应的函数值即可判断①的正误；①根据1②根据抛物线与x轴交点情况可判断②的正误；③由对称轴的位置可判断ab的正负，由抛物线与y轴的交点判断c的正负，从而可判断③的正误；x=-对应的函数值即可判断④的正误；④根据2⑤根据c的值及a的正负即可判断⑤的正误．【详解】解：① x＝1时，y＝a+b+c＜0，正确，符合题意；② 抛物线与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0正确，符合题意；③ 对称轴在y轴左侧，则ab＞0，而抛物线与y轴的交点为(0,1)，所以c＞0，故abc＞0正确，符合题意；④ 由函数的对称性知，x＝﹣2和x＝0对称，故x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝1＞0，正确，符合题意；⑤ 抛物线与y轴的交点为(0,1)，所以c＝1，抛物线开口向下，所以a＜0，故c﹣a＞1，正确，符合题意．故答案为：① ② ③ ④ ⑤．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2、150°【解析】【分析】圆内接四边形的对角互补，据此进行解答即可.【详解】解：由圆的内接四边形性质可得∠D +∠B=180°，则∠D=180°-30°=150°.故答案为：150°.【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质.3、y=﹣（x+3）2+2【详解】试题分析：根据二次函数的平移的规律：上加下减，左加右减，直接可得y=-x²平移后的图像为：y=-（x+3）²+2.点睛：此题主要考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”，分别对函数的横纵坐标进行变化，直接代入即可求解，解题时一定要注意平移的方向，以及关系式中的符号变化.4、5．【分析】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b,即可求得AB的横坐标,则AB的长度即可求得,然后利用平行四边形的面积公式即可求解【详解】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b把y=b代入y＝2x得,b=2x则x=2b,即B的横坐标是2b同理可得:A的横坐标是：3-b则AB=2b -（3-b）=5b则 S ABCD四边形 =5b×b=5.·线○封·○密○外故答案为5【点睛】此题考查反比例函数系数k 的几何意义，解题关键在于设A 的纵坐标为b5、8【分析】边AB 扫过的图形即为平行四边形ABED,可由三角形ABC 的面积求出底边BC 上的高，再结合平行四边形的面积即知底边BE 的长,即a 的值.【详解】解：如图，连接AD ，过点A 作AG BC ⊥交BC 于G.1181622ABC S BC AH AH ∆==⨯⨯= 4AH ∴=由题意可得324ABED S AH BE BE ===平行四边形8BE ∴=8a ∴=故答案为8【点睛】本题考查了图形的平移，灵活运用图形面积间的关系是解题的关键.三、解答题1、﹣25【分析】利用乘法对加法的分配律，可以使运算简便．【详解】 解：357(36)()469-⨯-+ =357(36)(36)(36)469-⨯--⨯+-⨯ =273028-+- =-25． 故答案为：-25． 【点睛】 本题考察有理数的混合运算，解题过程中注意运算顺序和运用运算律． 2、见解析 【解析】 【分析】 根据三角形的面积为2构造底和高即可求解. 【详解】如图所示. ·线○封○密○外【点睛】此题主要考查网格的作图，解题的关键是根据面积公式构造底和高.3、（1）83°；（2）x ＝12，y ＝332． 【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等求得答案；（2）利用相似多边形的对应边成比例列式求得x 、y 的值.【详解】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°，∴α＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，故答案为83°；（2）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴8x ＝11y ＝96，解得：x ＝12，y ＝332． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边成比例，对应角相等． 4、（1）见解析（2）7（3）见解析【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；（2）由△ABC 与△A′B′C′的位置即可得出结论；（3）在直线上画出点P ，使所组成的三角形面积相等即可．【详解】(1)如图所示；(2)∵由图可知,△A′B′C′由△ABC 向右平移3个单位长度，向下平移4个单位长度而成， ∴△ABC 两次共平移了7个单位长度． 故答案为7；(3)如图所示,P1,P2即为所求．【点睛】此题考查作图-平移变换，解题关键在于掌握作图法则 ·线○封○密○外5、（1）四边形PBCE是平行四边形，理由详见解析；（2）详见解析；（3）当P为AB的中点时，四边形APCE是矩形，理由详见解析.【分析】（1）根据条件PE∥BC，CF∥AB，利用两条对边互相平行的四边形是平行四边形可直接的证出结论；（2）证出PB=EC，∠B=∠2再加上条件BC=CA，可得△BPC≌△CEA，可得到CP=AE；（3）首先证明四边形APCE是平行四边形，再证明∠APC=90°，AC=PE，即可以证出四边形APCE是矩形．【详解】解：（1）四边形PBCE是平行四边形理由：∵CF∥AB（即CE∥BP），PE∥BC，∴四边形PBCE是平行四边形；（2）证明：（如图1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠1＝60°，BC＝CA，∵CF∥AB，∴∠2＝∠1，∴∠B＝∠2，又由（1）知四边形PBCE为平行四边形，∴PB＝EC，在△BPC和△CEA中，PB＝EC，∠B＝∠2，BC＝CA，∴△BPC≌△CEA，∴CP＝AE；（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是矩形（如图2）， 理由：∵P 为AB 的中点， ∴AP ＝BP ， 又由（2）证得：BP ＝CE ， ∴AP ＝CE ， ∵CF ∥AB ， 即EC ∥AP ， ∴四边形APCE 是平行四边形 又∵△ABC 是等边三角形，P 为AB 的中点， ∴CP ⊥AB （“三线合一”）， ∴∠APC ＝90°， ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC ＝AC ， 又∵四边形PBCE 是平行四边形， ∴PE ＝BC ， ∴AC ＝PE ， ·线○封○密○外∴四边形APCE是矩形．【点睛】此题考查矩形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和平行四边形的判定，解题关键在于根据已知条件两组对边相互平行证明平行四边形。
2023年吉林吉林市中考数学真题及答案
2023A．B．C．D．3．下列算式中，结果等于5a 的是（）A．23a a +B．23a a ⋅C．23()a D．102a a ÷4．一元二次方程2520x x -+=根的判别式的值是（A．33B．23C．17D．175．如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，过点D 作DE BC ∥于点E ．若23AD BD =，，则AEAC的值是（）A．70︒二、填空题（每小题3-=_________.7．计算：5x->的解集为__________．8．不等式480a b+=_________．9．计算：(3)10．如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________． 中，11．如图，在ABC作弧，两孤交于点D，作直线__________度．12．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出缺45钱；每人出7钱，还缺3x人，可列方程为__________．13．如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点半径r为15m，点A，B是圆上的两点，果保留π）14．如图，在Rt ABC △中，90C BC ∠=︒，接DE ，将BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点303CB E CE '∠=︒=，，则BC 的长为__________．三、解答题（每小题5分，共20分）15．下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中该例题的解答过程补充完整．例先化简，再求值：211a a aM -++，其中解：原式()()2111a a a a a =-++……16．2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作C ，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．17．如图，点C 在线段BD 上，在求证：AC DC =．20．笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：频率f（MHz）101550波长λ（m）30206(1)求波长λ关于频率f的函数解析式．f=时，求此电磁波的波长λ．(2)当75MHz21．某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日活动任务：测量古树高度活动过程【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测α=________．AB=．1.54m BD=．10m20182022-年吉林省粮食总产量及其增长速度（以上数据源于《2022年吉林省国民经济和社会发展统计公报》注：-=⨯本年粮食总产量去年粮食总产量增长速度去年粮食总产量根据此统计图，回答下列问题：(1)2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多__________万吨．(2)20182022-年全省粮食总产量的中位数是__________万吨．(3)王翔同学根据增长速度计算方法得出2017年吉林省粮食总产量约为结合所得数据及图中信息对下列说法进行判断，正确的画“√”①20182022-年全省粮食总产量增长速度最快的年份为全省粮食总产量最高．（）②如果将20182022-年全省粮食总产量的中位数记为总产量的中位数记为b万吨，那么a b<．（五、解答题（每小题8分，共16分）23．甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和()my与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．24．【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形中判定的依据是__________．【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条≤），其中AB EFFG BC∠=∠=，B，与边AD分别交于点M，N．求证：FG EH【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条BC或CB平移，且EF始终在边BC上．当图③．若四边形ECPH的周长为40，的面积为_________．(1)BP 的长为__________cm ，CM 的长为_________cm ．（用含x 的代数式表示）(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 的值．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y x x c =-++经过点(0,1)A ．点P ，Q 在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．(3)当PAQ ∠的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m -=时，直接写出m 的值．参考答案1．B【分析】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负即可求解．【详解】解：平均温度零上126C ︒，记作+126C ︒，夜间平均温度零下150C ︒，应记作150C -︒，故选：B．【点睛】本题主要考查正负数与实际问题的综合，掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键．2．A【分析】主视图是从几何体正面观察到的视图．【详解】解：领奖台从正面看，是由三个矩形组成的．三个矩形，右边最低，中间最高，故选A．【点睛】本题考查主视图，掌握三视图的特征是解题关键．3．B【分析】根据同底数幂的运算法则即可求解．【详解】解：A 选项，不是同类项，不能进行加减乘除，不符合题意；B 选项，根据同底数幂的乘法可知，底数不变，指数相加，结果是235a a +=，符合题意；C 选项，根据幂的乘方可知，底数不变，指数相乘，结果是236a a ⨯=，不符合题意；D 选项，根据同底数幂的除法可知，底数不变，指数相减，结果是1028a a -=，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查同底数幂的混合运算法则，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键．4．C【分析】直接利用一元二次方程根的判别式24b ac =-△求出答案．【详解】解：∵1a =，=5b -，2c =，∴()224541172b ac =-=-⨯⨯-= ．故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．5．A由树状图可以看出，所有等可能出现的结果一共有所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：A B CA AA BA CA如图①，22125AC AB ==+=，则ABC 是等腰三角形，且ABC 是锐角三角形，如图②，22125AD AB ==+=，221310BD =+=，则22AD AB +=等腰直角三角形，如图③，22125AE AB ==+=，则ABE 是等腰三角形，且ABE 是钝角三角形，【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．20．(1)300fλ=；在Rt CAE △中，CE AE =∴8.39CD CE ED =+=+【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，∴ANP CQM ≌，∴()cm MC AP x ==故答案为：()4x -；x ．（2）解：当02x <≤时，点Q 在BC 上，由（1）可得ANP CQM ≌，同理可得PBQ MDN ≌，∵4,2,PB x QB x MC x =-==，42QC x =-，则222MCQ BPQy AB S S =-- ()()164242x x x x =--⨯--241216x x =-+；当24x <≤时，如图所示，则AP x =，224AN CQ x CB x ==-=-，()244PN AP AN x x x =-=--=-+，∴()44416y x x =-+⨯=-+；综上所述，()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩；当四边形PQMN 是菱形时，则∴()()(222424x x x -+=+解得：0x =（舍去）；②如图所示，当PB CQ =424x x -=-，解得83x =当四边形PQMN 是菱形时，则综上所述，当四边形PQMN 【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．26．(1)221y x x =-++(2)12m =(3)点P 与点Q 的纵坐标的差为(4)13m =或54m =则021m <<∴102m <<∵()2,21P m m m -++，(2Q ∴(212P A h y y m m =-=-++22441Q A h y y m m =-=-++∵21h h m-=∴22442m m m m m-++-=解得：13m =或0m =（舍去）②当,P Q 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，则211m m ≥≤，，即12m ≤≤则2122,21h m m h =-+=-=∴212m m m +-=，解得：352m -=（舍去）或③当点P 在1x =的右侧且在直线1211h =-=，(224h m =--∴24411m m m-+-=解得：54m =或0m =（舍去）④当P 在直线1y =上或下方时，即()2212212h m m m m =--++=-()22224414h m m m =--++=-()2244121m m m m ∴-+--+=解得：1m =（舍去）或0m =综上所述，13m =或54m =．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。
2024年吉林省吉林市中考一模数学试题(含答案)
吉林市2023—2024学年度初中毕业年级第一次阶段性教学质量检测数学本试卷包括六道大题，共26道小题．共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．3-的绝对值是（）A．3-B．3C．D．1 32．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③同角的余角相等；④垂线段最短．其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知关于x的一元二次方程214x m-+=有两个相等的实数根，若n=，则m与n的大小关系为（）A．m n>B．m n=C．m n<D．无法确定5．如图，AB，AC是O的弦，OB，OC是O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP，若45BAC∠=︒，则BPC∠的度数可能是（）（第5题）A．50︒B．90︒C．110︒D．150︒6．某数学兴趣小组借助数学软件探究函数()2y ax x b=-的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象如图所示，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（）A ． 0a <，0b <B ． 0a >，0b <C ． 0a <，0b >D ． 0a >，0b >二、填空题（每小题3分，共24分）7．分解因式：322a a a -+=______．8在实数范围内有意义，则x 的取值范围是______．9．2023年12月31日晚，“新时代新江城”吉林市2024迎新年大型烟花秀精彩上演，约有41万人前往现场观看，在线观看更是达到了1222.7万人次．数据1222.7万用科学记数法表示为______．10．若边长为5cm 的正多边形的一个外角是72︒，则该正多边形的周长为______cm ．11．如图，在矩形ABCD 中，AB AD >，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交AB 于点E ；②分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 长为半径画弧，两弧交于点F ；③画射线AF ，交D C 于点G ，则AGC ∠______︒．（第11题）12．小莹计划购买一台圆形自动扫地机，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm ）分别是：34，34.5，37，39.5，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机尺寸最多有______种．（第12题）13．如图是浩洋老师办公桌上的2024年台历，台历上显示的是2024年1月的月历，通过此月历，可以推算出2025年1月1日是星期______．14．如图，AD 平分BAC ∠，AE 平分BAD ∠，AF 平分DAC ∠，点O 为射线AF 上一点，以点O 为圆心，AO 长为半径画圆．若80BAC ∠=︒，3AO =，则图中阴影部分的面积是______（结果保留π）．（第14题）三、解答题（每小题5分，共20分）15．先化简，再求值：2211x x x x+⋅-，其中521x =．16．舒兰大米种植区域处于北纬43度世界黄金水稻带．舒兰大米具有营养丰富、绵软柔糯等特点．某校食堂计划采购甲、乙两种舒兰大米，若购进甲种大米500千克和乙种大米300千克需花费11000元；若购进甲种大米200千克和乙种大米600千克需花费9200元．求每千克甲种大米和每千克乙种大米的价格．17．以下内容节选自人教版初中数学教材八年级上册．请说明内容中的尺规作图的原理，即求证O O '∠=∠．图12.2—4作法：（1）如图12.2—4，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）画一条射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；（3）以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D '；（4）过点D '画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠．18．如图，在左边托盘A （固定）中放置一个重物，在右边托盘B （可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．托盘B 中的砝码质量m 随着托盘B 与点O 的距离d 变化而变化，已知m 与d 是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：托盘B 与点O 的距离d /厘米510152025托盘B 中的砝码质量m /克3015107.56（1）根据表格数据求出m 关于d 的函数解析式．（2）当砝码质量为12克时，求托盘B 与点O 的距离．（第18题）四、解答题（每小题7分，共28分）19．在2023年高考期间，吉林市委“爱在江城温馨高考”的暖心举措温暖着江城每一位考生和家长．其中吉林市第一中学校考点设置了家长休息区，共搭建了121个遮阳篷．图①是一个遮阳篷的实物图，图②是它的侧面示意图，AD 长为2.13m ，太阳光线AB 与地面BC 的夹角为44︒时，求BD 的长（结果精确到0.01m ）．（参考数据：sin 440.69︒≈，cos 440.72︒≈，tan 440.97︒≈）图①图②（第19题）20．游神民俗文化活动，主要在中国的闽台地区流行，是一项流传了数百年的习俗，在甲辰龙年春节爆火出圈，无数网友对游神前的掷筊杯仪式感到好奇．掷筊杯是民间一种问卜的方式，每次将两个筊杯掷向地面，根据筊杯落地后的状态来推测行事是否顺利．每个筊杯都有一个平面，一个凸面．筊杯落地的结果如图所示，如果是两个平面称之为笑杯，表示行事状况不明；如果是两个凸面称之为阴杯，表示不宜行事；如果是一个平面和一个凸面称之为圣杯，表示行事会顺利．假设每个筊杯形状大小相同，掷筊杯落地后平面朝上和凸面朝上的可能性也相同．笑杯阴杯圣杯（第20题）（1）笑笑同学想要计算将两个筊杯连续掷两次都得到圣杯的概率，她采用面树状图的方法，请将她的求解过程补充完整．解：根据题意，可以画出如下的树状图：（2）在中国台湾电影《周处除三害》中有一段场景，主角陈桂林用签杯问卜，将两个筊杯连续掷九次．请问连续掷筊杯九次都出现圣杯的概率是______．21．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保留作图痕迹，不要求写面法．（1）在图①中画线段EF 平分AB ，且点E ，F 均在格点上．（2）在图②中画线段CD ，线段CD 平分ABC △的面积．（3）如图③，点P ，Q 均在格点上，连接PQ 交AC 于点M ，连接BM ，则BCM △的面积是______．图①图②图③（第21题）22．书籍是人类进步的阶梯，中国图书出版已有十多年保持着持续、稳定、快速发展的良性态势．下面的统计图反映了2013年到2022年国家图书总印数和图书总印数年变化率的情况．说明：图书总印数年变化率100%-=⨯当年图书总印数上一年图书总印数上一年图书总印数．根据图中信息，解答下列问题：（1）计算2018年到2022年这五年国家图书总印数的平均数．（2）下列说法正确的是______（下列选项中，有多项符合题目要求，全部选对得满分，部分选对得部分分，选错或未选得0分）．A ．2013年到2022年国家图书总印数变化率最低的是2022年，所以2022年国家图书总印数最少．B ．2013年到2022年国家图书总印数出现增长量最大的是2021年．C ．2013年到2022年国家图书总印数变化率的中位数是4.65%．D ．2013年到2017年国家图书总印数的方差记为21s ，2018年到2022年国家图书总印数的方差记为22s ，则2212s s <．五、解答题（每小题8分，共16分）23．新能源汽车中的油电混合动力汽车，兼具纯电动汽车和燃油汽车的优势．某油电混合动力汽车先采用锂电池工作，当锂电池电量耗完后自动转换为油路工作，汽车油路工作时不能为锂电池进行充电．该汽车一次充满电，可以行驶最大里程是120千米；油电混合行驶时，满电满油可以行驶最大里程是720千米．下图为该汽车仪表盘显示电量1y （单位：％），仪表盘显示油量2y （单位：％）与某次行驶里程x （单位：千米）之间的函数图象．（1） m =______，n =______．（2）求2y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（第23题）24．【实践操作】操作一：如图①，将正方形纸片ABCD 对折，使点A 与点D 重合，点B 与点C 重合，再将正方形纸片ABCD 展开，得到折痕PQ ．操作二：如图②，将正方形纸片ABCD 的左上角沿AP 折叠，得到点B 的对应点为B '，AB '交PQ 于点E ．操作三：如图③，将正方形纸片ABCD 的右上角沿PB '折叠再展开，折痕PB '交CD 于点M ．【问题解决】（1）求证B M DM '=．（2）tan EAQ ∠=______·【拓展应用】（3）在图③中延长AB '交CD 于点N ，则MNCD=______．图①图②图③（第24题）六、解答题（每小题10分，共20分）25．如图，四边形ABCD 是矩形，6AB =，BC =，连接AC ．点G 从点D 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边DC 向终点C 匀速运动，线段DG 绕点D 逆时针方向旋转60︒得到线段DE ，以线段DG ，DE 为边作菱形DEFG ．设菱形DEFG 与ABC △重叠部分图形的面积为y （0y >），点G 运动的时间为x 秒．（1）ACD ∠=______︒．（2）当点F 落在AC 上时，x =______秒．（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（第25题）（备用图）26．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 为抛物线211:262W y x x =--上任意一点．连接OP ，设点P '为线段OP 的中点，通过求出相应的点P '，再把相应的点P '用平滑的曲线连接起来，可以得到一条新的抛物线记为W ．（1）求抛物线1W 与x 轴的交点坐标．（2）求抛物线2W 的解析式．（3）过点P 作线段PQ x ∥轴，点P 在点Q 的右侧，6PQ ，设点P 的横坐标为m ．①当线段PQ 与抛物线2W 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．②当线段PQ 与抛物线1W 和2W 一共有3个公共点时，直接写出m 的取值范围．（第26题）吉林市2023—2024学年度初中毕业年级第一次阶段性教学质量检测数学参考答案一、单项选择题1．B2．B3．C4．A5．C6．D二、填空题7． ()21a a -8． 1x ≥9． 71.222710⨯10．2511．13512．213．三14．3π+三、解答题15．解：原式()()21111x x xx x x x +=⋅=+--当521x =时，原式5215215211520==-16．解：设每千克甲种大米价格是x 元，每千克乙种大米价格是y 元．500300110002006009200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1610x y =⎧⎨=⎩答：每千克甲种大米价格是16元，每千克乙种大米价格是10元．17．证明：由作图得DC OD O C O D ''''===，CD C D ''=，在COD △和C O D '''△中OC O C OD O D CD C D ''=⎧⎪''=⎨⎪''=⎩，∴()SSS COD C O D '''≌△△，∴O O'∠=∠（第17题）18．解：（1）设m 关于d 的函数解析式为()0kmk d=≠当5d =时，30m =，所以305k=，解得150k =∴m 关于d 的函数解析式为150m d=．（2）把12m =代入150m d =得15012d=，解得12.5d =答：托盘B 与点O 的距离为12.5厘米．19．解：在Rt ABD △中，44ABD ∠=︒， 2.13AD =，∵tan AD ABD BD ∠=，∴ 2.132.20tan tan 44AD BD ABD ==≈∠︒答：BD 的长约为2.20m ．20．解：（1）根据题意，可以画出如下的树状图：由树状图可以看出，所有等可能出现的结果共有16种，其中两次都得到圣杯的情况有4种，所以()41164P ==两次都得到圣杯；（2）151221．解（1）图①（2）图②（3）23．22．解：（1）()1100.1106103.7119.6114108.685++++=（亿）答：2018年到2022年国家图书总印数的平均数为108.68亿．（2）B ，C ，D23．解：（1）120，270．（2）当120270x <≤时，设()20y kx b k =+≠，将()120,25和()270,0代入得120252700k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1645k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴()1451202706y x x =-+<≤．（第23题）24．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴90B D ∠=∠=︒，AB AD =，由折叠得90AB P B '∠=∠=︒，AB AB '=，∴18090AB M AB P ''∠=︒-∠=︒，AB AD '=，连接AM ，在Rt AB M '△和Rt ADM △中，AM AMAB AD=⎧⎨'=⎩，∴()Rt Rt HL AB M ADM'≌△△，∴B M DM '=．（2）34．（3）512．（第24题）25．解：（1）30．（2）1．（3）当312x <≤时，622332x x x --=-，()))21333312y x x x =⨯--=-当322x <≤时，()2123332y x x x =-+-=-．当23x <≤时，)())2111613333222y x x x =⨯-⨯-⨯-=-．综上，)))2223102322323x x y x x x x ⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭⎪⎪-<≤⎪⎩（第25题）备用图26．解：（1）把0y =代入21262y x x =--，得212602x x --=，解得12x =-，26x =，∴抛物线1W 与x 轴的交点坐标为()2,0-，()6,0．（2）把0x =代入21262y x x =--，得6y =-．∴抛物线1W 与y 轴交点为()0,6-∴()1,0-，()3,0，()0,3-均为点P '的坐标．设抛物线2W 的解析式为()20y ax bx c a =++≠，把()1,0-，()3,0，()0,3-代入2y ax bx c =++得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴抛物线2W 的解析式为223y x x =--．（3）①2m <+12m >+．②2+或512m <≤-．（第26题。
2024吉林中考数学试卷分析报告模板
2024吉林中考数学试卷分析报告模板1. 引言本报告旨在对2024年吉林中考数学试卷进行全面分析，以便了解试卷的难易程度、题型分布以及考察内容等方面的特点。
通过分析各个方面的数据，可以为教师和学生提供参考，以便更好地备考和提高学习效果。
2. 试卷概述2024年吉林中考数学试卷共分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，每部分包括选择题、填空题和解答题。
试卷难度适中，题目涵盖了中考数学知识的各个方面，考察了学生的计算、推理和解决问题的能力。
3. 题型分布分析3.1 选择题选择题在试卷中占据了较大的比重，共计40道题。
题目涵盖了数与代数、空间与图形、统计与概率等多个知识点。
其中，多项式和方程的应用是选择题的主要考点，占比约为30%。
其他考点包括平面图形的性质和运算、数据的收集和处理等。
3.2 填空题填空题共计20道，主要考察学生计算和推理的能力。
题目主要涵盖了数与代数、空间与图形、函数与方程等多个知识点。
其中，整数和分数运算是填空题的重点考察内容，占比约为25%。
其他考点包括几何图形的性质和计算、函数的应用等。
3.3 解答题解答题共计5道，主要考察学生的解决问题和证明能力。
题目涵盖了代数式的计算、平面图形的性质和应用等多个知识点。
其中，函数的应用是解答题的主要考点，占比约为40%。
其他考点包括几何图形的性质和证明、运算规律的应用等。
4. 难易程度分析通过对试卷的难度进行客观评估，可以更好地了解试卷的整体难度水平，以便学生和教师进行备考和教学参考。
根据试卷的选、填、解各个题型的难度分布以及每道题的平均得分情况，可以得出以下结论： - 选择题整体难度适中，高分率较高； - 填空题整体难度适中，高分率适中； - 解答题整体难度较高，高分率较低。
5. 考察重点分析通过对试卷的题目内容和难度进行综合分析，可以得出以下结论： - 数与代数是整个试卷的主要考察内容，占比约为40%； - 几何图形和函数的应用是试卷的重要考点，占比约为30%； - 统计与概率和空间与图形等知识点的考察比例相对较低。