关于曲线拟合的广义Bezier方法
计算机图形学--第十一讲 Bezier曲线
任课教师：李陶深教授tshli@任课教师：李陶深教授tshli@12 曲线的基本概念Bézier 曲线5曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线NURBS 曲线 常用的曲面Bézier曲线是由法国雷诺汽车公司工程师的Pierre Bézier在1971年发明的一种构造样条曲线和曲面的方法, 用来进行雷诺汽车的车身设计, 现在Bézier曲线曲面广泛应用在计算机图形学中的外形设计, 以及字体表示中.◆Bé◆在折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上且作为曲线的起始处和终止处，其他的点用于控制曲线的形状及阶次。
◆曲线的形状趋向于多边形折线的形状，要修改曲线，只要修改折线的各顶点就可以了。
多边形折线又称的控制多边形，其顶点称为控制点。
6.3 Bézier 曲线—曲线的定义Bézier 曲线是由一组控制顶点和Bernstein 基函数混合(blending)得到的曲线.()[],0(), 0,1n i i n i t B t t ==∈∑C P 其中, P i (i =0,1,…,n)称为控制顶点; 顺序连接控制顶点生成控制多边形.()()[],1,0,1n i i i i n n B t C t t t -=-∈为Bernstein 基函数.Bézier 曲线的次数, 就是Bernstein 基函数的次数; Bézier 曲线的阶数, 就是控制顶点的个数. 阶数为次数加1.6.3 Bézier曲线—定义（2）给定空间n+1个点的位置矢量P i（i=0，1，2，…，n），则n次Bézier曲线上各点坐标的插值公式定义为：B i,n(t)是n次Bernstein基函数P i构成该Bézier曲线的特征多边形6.3 Bézier曲线—曲线的定义（3）Bézier曲线曲线的形状趋于特征多边形的形状①正性②权性由二项式定理可知：③对称性: 若保持原全部顶点的位置不变, 只是把次序颠倒过来, 则新的Bézier曲线形状不变, 但方向相反。
Bezier曲线和BSpline曲线的拟合问题
Bzeier曲线和BS pline曲线 目录一、 重述 .................................................. 错误！未定义书签。
二、r曲线 和 ........................ 错误！未定义书签。
r曲线 定义 ............................... 错误！未定义书签。
r曲线 性质 ............................... 错误！未定义书签。
2.3 三次Bezier曲线 .................... 错误！未定义书签。
2.3.1 三次r 算法错误！未定义书签。
2.3.2 三次r 算法.错误！未定义书签。
2.3.3 两种Bezier算法 ..... 错误！未定义书签。
r曲线 ............................... 错误！未定义书签。
三、n e曲线 和 ...................... 错误！未定义书签。
n e曲线 定义 ............................. 错误！未定义书签。
3.2 B样条性质........................................ 错误！未定义书签。
3.3 均匀B样条......................................... 错误！未定义书签。
3.4 三次B样条 算法.......................... 错误！未定义书签。
3.4 三次样条 算法错误！未定义书签。
3.5 两种BSpline .................... 错误！未定义书签。
四、r曲线与e曲线 区别和联系错误！未定义书签。
1、 述算法 ........ 错误！未定义书签。
一、 重述 两 两 一 两 两 。
第三节 贝塞尔Bézier曲线 - 北京化工大学.
i0
i0
n
n
P B ni ni,n 1 t Pi Bi,n 1 t , t 0,1
i0
i0
这个性质说明Bézier曲线在起点处有什么几何性 质，在终点处也有相同的性质。
3.凸包性
定理6.3.2 Bézier曲线落在控制点构成的凸包内
证明 ： 由于
边形称为Bézier多边形。
Ct 定Bé义zi的er曲曲线线称如为图由6.P3i.1为所控示制。顶点的n次
p2 p1
p3
p2
p4
p4 p1
p3
图6.3.1
二. Betnstein基函数的性质
正性
Bi
,n
t
0 0
t 0 ,1
t 0,1,i 1,2,n
2. 端点性质
Bi,n
0
1
0
i 0
其他
Bi,n
1
1
0
i n
其他
3. 权性
n
Bi,n t 1
t 0,1
i0
由二项式定理可知：
n
n
Bi,n t Cni t i 1 t ni 1 t tn 1
i0
图6.3.2 0 ~ 5阶Bernstein基函数的图像
5. 递推性
Bi,n t 1 tBi,n1t tBi1,n1t i 0,1,n
即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的
Bernstein调和函数线性组合而成。因为：
Bi,n t
6. 导函数
Bi,n t n Bi1,n1 t Bi,n1 t ,
广义bezier曲线
Key Words: Curve and surface modeling; Lupas q-analogue of Bernstein operator; B´ ezier curves and surfaces; Shape parameter; Weight factors; Degree evaluation formula; De Casteljau algorithm
VI
目 录
摘要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 第一章 绪论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 研究背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 经典的参数曲线曲面造型方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 带形状参数的广义B´ ezier曲线曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 基于q-整数的广义B´ ezier方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
bezier 曲线拟合算法
bezier 曲线拟合算法
贝塞尔曲线（Bezier Curve）是一种数学曲线，常用于图形设计和计算机图形学中的曲线拟合。
贝塞尔曲线可以通过控制点来描述曲线的形状。
在曲线拟合中，常用的一种算法是贝塞尔曲线拟合算法，其基本想是通过调整控制点的位置来逼近给定的数据点集合。
以下是一个简单的贝塞尔曲线拟合算法的步骤：
1.给定一组数据点集合，这些点将成为贝塞尔曲线要拟合的目标。
2.选起始控制点和结束控制点，这两个控制点定义了曲线的起始和
结束位置。
3.根据需求选择其他控制点的数量，每个控制点都会对曲线形状产
生影响。
4.根据控制点的位置，使用贝塞尔曲线公式计算出曲线上的各个点。
5.使用某种误差度量方法（例如最小二乘法），将拟合曲线与原始数
据点进行比较，并调整控制点的位置以减小误差。
6.重复步骤4和步骤5，直至达到满意的拟合效果或收敛。
需要注意的是，贝塞尔曲线拟合算法的具体实现方式可能因应用环境和需求而有所差异，这里只是提供了一种基本的算法框架。
在实际应用中，您可以根据具体情况进行调整和优化。
同时，还有其他的曲线拟合算法，如多项式拟合、样条曲线等，您也可以根据自己的需求选择适合的算法。
bezier曲线生成算法
bezier曲线生成算法Bezier曲线是一种重要的曲线生成算法，被广泛应用于计算机图形学、CAD、动画等领域。
它是Bernstein多项式的线性组合，利用微积分和矩阵运算等数学知识进行计算。
下面将分步骤介绍Bezier曲线生成算法。
1.选择控制点决定Bezier曲线形状的有多个控制点。
一条曲线至少需要两个控制点，但大部分曲线使用的是三到四个控制点。
选择控制点要根据实际需要来确定，例如需要画一个弧度比较小的圆弧，那么就只需要选择少数几个点。
2.计算Bezier曲线的轨迹根据控制点求解Bezier曲线的轨迹有多种方法，如迭代法、递推法等。
这里我们使用递推公式，可具体分为三步：(1)首先计算Bezier曲线的一阶导数，即B0'(u)、B1'(u)、B2'(u)、B3'(u)；(2)然后根据一阶导数计算Bezier曲线的二阶导数，即B0''(u)、B1''(u)、B2''(u)、B3''(u)；(3)最后根据二阶导数计算Bezier曲线的轨迹，即B(u)=B0(u)、B1(u)、B2(u)、B3(u)。
其中B0(u)、B1(u)、B2(u)、B3(u)是Bezier基函数，u为Bezier曲线的参数。
3.绘制Bezier曲线根据Bezier曲线轨迹的坐标可以用直线或者曲线来连接，从而得到Bezier曲线的效果。
当然，为了获得更光滑、更细腻的曲线效果，我们一般使用二次或三次Bezier曲线。
4.应用Bezier曲线Bezier曲线有着广泛的应用，如计算机图形学中的曲面建模、动画制作中的路径控制、CAD绘图等。
在绘制曲线和曲面时，Bezier曲线可以很好的展现出几何图形的优美形态，所以在计算机辅助绘图和工程制图中被广泛应用。
综上所述，Bezier曲线生成算法是一种强大而优美的数学方法。
通过选择控制点、计算Bezier曲线的轨迹、绘制Bezier曲线以及应用Bezier曲线等步骤，可以生成出各种美妙的曲线和曲面。
CAD中的曲线平滑和拟合技巧
CAD中的曲线平滑和拟合技巧在CAD设计中，曲线的平滑和拟合是非常关键的技巧。
通过合理的应用这些技巧，可以使设计更加流畅和美观。
本文将介绍一些实用的CAD软件中的曲线平滑和拟合方法，帮助您提升设计效果。
一、曲线平滑技巧1. Bezier曲线平滑：Bezier曲线是使用数学公式来描述曲线形状的一种方法。
在CAD软件中，可以通过调整Bezier曲线上的控制点来控制曲线的形状。
要使曲线更加平滑，可以增加或减少曲线上的控制点，并调整它们的位置和曲率。
2. 样条曲线平滑：样条曲线是一种有特定控制点组成的曲线，CAD软件中常用的是B样条曲线。
要使曲线更加平滑，可以增加或减少样条曲线上的控制点，并调整它们的位置和权重。
通过适当的调整，可以使曲线在控制点之间更加连续和平滑。
3. 近似曲线平滑：有时候，通过少量的控制点来描述曲线形状效果更好。
在CAD软件中，可以使用近似曲线来实现这一目标。
近似曲线是通过连接相邻的控制点来构建的，可以调整连接方式和控制点之间连接的平滑度，以达到曲线平滑的效果。
二、曲线拟合技巧1. 最小二乘法拟合：最小二乘法拟合是一种常用的曲线拟合方法，可以通过最小化曲线和实际数据之间的误差来拟合曲线。
在CAD软件中，可以使用最小二乘法拟合工具来实现曲线拟合，在拟合过程中可以调整拟合曲线的阶数和误差容限，以达到最佳的拟合效果。
2. 圆弧拟合：在CAD设计中，经常需要使用圆弧来描述曲线形状。
CAD软件中通常提供了圆弧拟合工具，可以通过选择一系列点，将其拟合成最佳的圆弧。
在进行圆弧拟合时，可以调整拟合的半径和误差容限，以达到预期的拟合效果。
三、注意事项1. 控制点的选择：在进行曲线平滑和拟合时，正确选择控制点非常重要。
控制点的数量和位置会直接影响曲线的形状和平滑度。
因此，在选择控制点时，要根据设计的需要进行合理的选择，同时注意控制点之间的距离和曲线的曲率，以获得更好的设计效果。
2. 平滑和拟合的平衡：在进行曲线平滑和拟合时，要注意平滑和拟合之间的平衡。
Bezier曲线B样条曲线
是一种特殊情况
Y
0 X
5.1 曲线的参数表 示
• 向量P与时间t有关: P=P(t),就是说P是时 间t的函数。用坐标表示为 :
• 若把参数t 换成一个普通意义的参数u， 则曲线的参数形式为:
• 例如:
是一条空
• 间曲线的参数形式。
• 注: 这是一条以点(0,1,3)为起点，
(3,2,5)为终点的线段
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
• 3）三次Bezier曲线 • 当n=3时为三次Bezier曲线，此时P(t)为三
次多项式，有四个控制点，由于三次Bezier 曲线是用3根折线定义的3阶曲线，则有:
用矩阵表示为:
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
且第一点和最后一点在曲线上，第一条和最
后一条折线分别表示出曲线在起点和终点处
的切线方向。 Bezier曲线通常由特征多边形
的n+1个顶点定义一个n次多项式，即给定空
间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，
n），则Bezier参数曲线上各点坐标的参数方
程其式中参(插数t的值取值公范式围为)[是 0,1]: ,i是有序集0~n中的一个整数值，表示 顶点顺序号。
但从计算机图形学和计算几何的角度来看, 还
是使用参数表示较好, 因为采用参数方法表示
曲线和曲面, 可以将其形状从特定坐标系的依
附性中解脱出来, 很容易借助计算机得以实现。
• 一个动点的u轨1 迹可以用位置向量P来描述，
如• 注下:图这所里示讨: 论的动点轨u2 迹是
Z
u
在三维空间中所表示的 曲线, 平面轨迹曲线只
是一个Bezier曲线特征多边形顶点的
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据 上 述 0()12 定 理 ! 是 否 可 以 建 立 满 足 导 数 条 件 的 %&’(&) 方 法 ! 从而对计算机辅助几何造型有所帮助 * 基于这样的思考 ! 本 文 在 0()12 逼 近 定 理 的 基 础 上 ! 建 立 相 应 的 %&’(&) 方 法 + 我 们 称之为广义 %&’(&) 曲线拟合方法 %( 特别对 $+. 的情形 ! 分析了 带切线控制条件的广义 %&’(&) 曲线的一些性质 , 大量的曲线拟 合例子表明 ! 带切线控制条件的广义 %&’(&) 曲线拟合可以作为 几何造型的有用的补充手段应用于某些工程问题 $
CDE(%+0(& ; LHG++ 1R 3&*&)GH(’&N %&’(&) R(,,(*I LM)2& [(,U L1*N(,(1* 1R ,G*I&*, 2&L,1)+ (+ +,MN(&N (* ,U(+ \G\&)$OU& F&,U1N (+ ]G+&N 1* ,U& 0()12 G\\)1J(FG,(1* ,U&1)&F$V+(*I ,U(+ F&,U1N !(, LG* +\&L(RW ,U& ,G*I&*, 2&L,1)+ G, &2&)W L1*,)1H \1(*, (* GN2G*L&$S1 ! (, LG* GNXM+, ,U& +UG\& 1R R(,,(*I LM)2& " 3&*&)GH(’&N %&’(&) LM)2& % F1)& R)&&HW GLL1)N(*I ,1 ,U& I(2&* ,G*I&*, 2&L,1)+$41[&2&) !,U& N&I)&& 1R 3&*&)GH(’&N %&’(&) LM)2& (*L)&G+&+ 1*HW 1*&$Z, (+ U&H\RMH R1) ,U& &*I(*&&) [U1 [G*,+ ,1 L1*,)1H +UG\& 1R LM)2& ]W M+(*I %&’(&) +LU&F& (* :;3<$ F"GH3%-E & 3&*&)GH(’&N %&’(&) +LU&F& !0()12 ,U&1)&F !LM)2&7R(,,(*I !L1F\M,&) G(N&N I&1F&,)(L N&+(I*
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2 #! 因 此 还 可 以 曲线拟合时 ! 由于关系式 &! $ 并 未 完 全 确 定 %
进一步对端点处的曲率作出要求 ! 这通过 &0 $ 可以达到目的 * 如果要求曲线在端点处是凹的 ! 即端点处二阶导数为正 ! 也即 ’
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关于曲线拟合的广义 !"#$"% 方法
宋瑞霞 .
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王小春 !
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! 北方工业大学理学院 "北京 ."""C. #
!北京林业大学基础科学与技术学院 " 北京 ."""DB $ B % 澳门科技大学资讯科技学院 $
E7FG(H &+1*I)JK*LM,$&NM$L*
摘
要
基于 0()12 逼近定理 " 研究了一类带有附加导数条件的广义 %&’(&) 曲线拟合方法 & 该方法可以在每个型值点再
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!""#$!" 计算机工程与应用
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带导数控制条件的广义 &’()’* 曲线
假 定 给 定 型 值 点 向 量 !"!!%!" !!" 此 外 ! 给 出 导 数 相 应 的
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特别端点处有 ’
0 !/! &% 0 !*% 0 %$ ’1"!% &%"!%%!"!%"(" $+" &".%$!!%!.!"!!% 0 ".!$ 2 "/! &% 2 ".%*% ’1"!% &%"!%%!"!%"(% $+" &".%$!!%"/!"!!%
广 义 &’()’* 曲 线 ’"!% &!"!!%! " !!"(( $!( ","$%- 具 有 如 下 特 点’ &% $ 通过端点 从表达式直接计算 ! 并令 (+" !% ! 有 ’
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! ! ! ! 众所周知 !%&’(&) 曲线 " 面 # 在计算 机 辅 助 几 何 设 计 中 占 有
重 要 地 位 ! 工 程 师 运 用 %&’(&) 方 法 作 造 型 设 计 ! 可 以 像 他 们 熟 悉的作图工具那样得心应手 $ 由于 %&’(&) 曲线 " 面 % 有诸多良好 性 质 ! 人 们 进 一 步 建 立 了 有 理 %&’(&) 方 法 ! 并 广 泛 地 应 用 于 解 决工程问题 $ 当 使 用 %&’(&) 方 法 时 ! 首 先 给 定 所 谓 型 值 点 " 也 就 是 控 制 多边形的顶点 %! 则拟合曲线通过首末两个端点 ! 并在首末两个 端点处 ! 分别与控制多边形的首末两个边相切 $ 显然 ! 人们不能 对曲线提出另外的附加控制条件 $ 然而 ! 在实际工程问题中 ! 为 了 控 制 曲 线 的 整 体 或 局 部 形 状 !有 时 会 增 加 约 束 !这 时 通 常 的 手段是不得不分片特殊处理 $ 于是 ! 使用传统的 %&’(&) 方法则 事倍功半 $ 在实际工程问题中 ! 最常见的曲线拟合约束是除了 给定型值点之外! 再给出切线条件$ 本文基于一类推广了的