无线通信技术-第四章 信道编码技术
无线通信网络中的信道编码技术
无线通信网络中的信道编码技术随着移动通信技术的快速发展，无线通信网络已经成为现代社会中不可或缺的重要组成部分。
然而，由于无线信道的特殊性，如噪声、多径效应和干扰等，使得信号在传输过程中容易受到损坏和失真。
这就导致了在无线通信中需要采用合适的信道编码技术来提高数据传输的可靠性和效率。
一、概述信道编码技术是指在传输数据之前，对数据进行编码处理，通过引入冗余信息以增强数据的可靠性。
在无线通信网络中，由于信道质量较差，因此使用信道编码技术是非常必要的。
信道编码技术可以通过纠错码和压缩码来实现。
纠错码主要用于纠正传输过程中的错误，而压缩码则用于减少数据传输所需的带宽。
二、纠错码纠错码是一种在发送数据之前引入冗余信息以允许接收端可以检测和纠正传输中的错误的编码技术。
常见的纠错码包括海明码、RS码、LDPC码和卷积码等。
这些纠错码通过在传输数据中加入冗余信息，使得接收端可以通过检查冗余信息来确定是否接收到了正确的数据，并在发现错误时进行纠正。
三、压缩码压缩码是一种通过减少数据传输所需的带宽来提高传输效率的编码技术。
常见的压缩码包括哈夫曼编码、算术编码和字典编码等。
这些压缩码可以通过统计数据中出现频率较高的符号来表示，从而减少数据传输的长度。
在无线通信网络中，压缩码可以有效地减少数据传输的带宽，提高传输效率。
四、混合编码混合编码是将纠错码和压缩码相结合的一种编码技术。
通过同时使用纠错码和压缩码，可以在提高数据传输可靠性的同时，减少传输所需的带宽。
在无线通信网络中，混合编码技术可以有效地提高无线传输的可靠性和效率。
五、应用和挑战信道编码技术在无线通信领域有着广泛的应用。
例如，在移动通信系统中，使用卷积码和海明码来提高数据传输的可靠性；在数字电视等广播系统中，使用压缩码来减少信号传输所需的带宽。
然而，信道编码技术的应用也面临一些挑战。
例如，如何选择合适的编码方案以满足不同的应用场景；如何在有限的频谱资源下实现高效的编码和解码等。
无线通信中的信道编码与解码技术研究
无线通信中的信道编码与解码技术研究近几十年来，无线通信技术的发展突飞猛进，成为现代社会不可或缺的一部分。
而信道编码与解码技术作为无线通信领域的重要组成部分，发挥着至关重要的作用。
本文将深入探讨无线通信中的信道编码与解码技术，包括其基本概念、分类、工作原理以及相关应用等方面的研究。
一、信道编码的基本概念与分类1.1 信道编码的基本概念信道编码是指在无线通信过程中，对要传输的信息进行编码处理，以提高传输的可靠性和效率。
主要目的是对抗信道中的噪声、干扰、多径衰落等影响，确保信息能够正确地传输到接收端。
1.2 信道编码的分类根据编码方式的不同，信道编码可以分为线性编码和非线性编码。
线性编码包括卷积码、块码等，而非线性编码主要包括Turbo码、LDPC码等。
二、信道编码的工作原理信道编码的工作原理主要涉及编码器、解码器和编码表等三个方面。
2.1 编码器编码器负责将待传输的信息进行编码处理，将其转换成编码序列进行传输。
编码器的选择主要取决于通信系统的需求和性能要求。
目前常用的编码器包括卷积编码器、Turbo编码器和LDPC编码器等。
2.2 解码器解码器是信道编码的核心部分，主要作用是对接收到的编码序列进行解码，恢复出编码前的原始信息。
解码过程一般包括信道估计、软判决、迭代解码等步骤。
常见的解码算法包括Viterbi算法、BCJR算法和Belief Propagation算法等。
2.3 编码表编码表是编码器和解码器之间的重要组成部分，用于存储编码信息和解码信息的对应关系。
通过编码表，解码器能够根据接收到的编码序列，准确地恢复出原始信息。
三、信道编码与解码技术的应用信道编码与解码技术在无线通信中有广泛的应用，主要包括自然语言通信、图像传输、音频传输等方面。
3.1 自然语言通信自然语言通信是指人们在无线通信过程中使用的语言进行交流。
通过信道编码与解码技术，可以在有限的信道带宽下，实现高效而可靠的自然语言传输。
常见的应用场景包括手机短信、语音通话等。
无线通信系统的信道编码与调制技术
无线通信系统的信道编码与调制技术无线通信系统是现代通信领域中至关重要的一部分。
通过无线通信系统，人们可以实现移动电话通信、无线互联网、卫星通信等。
而在无线通信系统中，信道编码与调制技术是实现高效传输和抗干扰的关键。
一、信道编码技术的作用和原理1. 信道编码的作用信道编码是一种将信息按照一定规则转换为编码信号，以便在信道中传输，并在接收端进行解码恢复原始信息的技术。
信道编码具有以下作用：- 提高错误控制能力：信道编码可以在一定程度上纠正由于信道噪声或干扰引起的传输错误。
- 提高传输效率：信道编码可以通过增加冗余信息，使得传输信号的频谱利用率更高，从而提高数据传输速率。
2. 信道编码的原理信道编码的原理是基于冗余编码的思想。
冗余编码通过在原始信息中引入冗余度，使得接收端在接收到有损的信号后，仍然能够从中恢复出原始信息。
常用的信道编码技术有：- 奇偶校验码：通过在信息中添加一个校验位，使得信息位的个数为偶数个或奇数个，可以检测并纠正传输中的错误。
- 海明码：通过在信息中引入冗余位，使得接收端可以检测并纠正多个错误位。
二、调制技术的作用和原理1. 调制技术的作用调制技术是将数字信号转化为模拟信号以便在传输中进行传播的关键技术。
调制技术具有以下作用：- 将数字信号转换为适合传输的模拟信号：数字信号具有离散的特点，无法直接在传输介质中传播，通过调制技术可以将数字信号转换为模拟信号，使得信号能够在传输介质中传输。
- 提高传输效率：调制技术可以将低频的数字信号转换为高频的模拟信号，从而提高传输效率。
- 提高抗干扰能力：调制技术可以将数据信息分散到不同频带上，使得信号在传输过程中更加抗干扰。
2. 调制技术的原理调制技术的原理是利用调制信号的频率、相位或振幅等特性来表示传输的信息。
常见的调制技术有：- 幅移键控调制（ASK）：调制信号的幅度变化表示数字信号的逻辑状态。
- 频移键控调制（FSK）：在不同的频率对应不同的数字信号。
无线通信中的信道编码技术的使用注意事项
无线通信中的信道编码技术的使用注意事项无线通信是现代社会中不可或缺的一部分，信道编码技术作为其中的重要组成部分，起到了确保数据传输的可靠性和稳定性的关键作用。
然而，在使用信道编码技术时，也存在一些需要注意的事项。
本文将探讨无线通信中信道编码技术的使用注意事项。
首先，选择合适的编码方案。
在无线通信中，有许多不同的编码方案可供选择，如卷积码、Turbo码、低密度奇偶校验码（LDPC）等。
在选择编码方案时，需要考虑传输的数据类型、信道的特性以及性能和功耗的平衡。
不同的编码方案具有不同的性能特点，有些可能适合在高信噪比条件下使用，而有些则适用于低信噪比条件下。
其次，确定适当的编码率。
在信道编码中，编码率是指输入和输出之间的比例关系。
低编码率可以提供更好的信道容量利用率，但可能导致更高的传输错误率。
相反，高编码率可以提供更低的传输错误率，但会牺牲信道容量利用率。
因此，在确定编码率时，需要根据实际需求平衡容量和错误率。
此外，需要注意译码算法的选择。
信道编码通常采用迭代译码算法，如迭代译码（IT）和信道软改正（SC）等。
迭代译码算法通过多轮迭代来提高译码性能，但需要更多的计算资源。
因此，在选择译码算法时，需要权衡算法性能和计算复杂度。
在实际使用中，还需要注意信道条件的变化。
无线通信中，信道条件可能随着时间、位置和环境的变化而改变。
例如，移动通信中车辆的移动会导致多径效应和衰落效应。
因此，在使用信道编码技术时，需要对信道进行实时监测，以便根据实际条件进行适当的调整和优化。
此外，还需要考虑信道编码的灵活性。
灵活性是指编码方案对不同需求的适应能力。
例如，在实时通信中，要求低延迟和高吞吐量；而在存储系统中，要求高可靠性和低复杂度。
因此，信道编码技术应具备灵活性，能够根据不同需求进行自适应调节。
最后，需要注意与其它通信组件的集成。
无线通信系统是由多个组件组成的，如传输系统、解调器、编码器等。
因此，在使用信道编码技术时，需要考虑与其它组件的兼容性和集成性。
信道编译码技术
信道编译码技术信道编码与解码技术（Channel Coding and Decoding）是数字通信领域的一个重要技术，其作用是提高数据传输的可靠性和安全性。
在数字通信中，信道（Channel）指的是信号在传输过程中可能遭受到的各种扰动，如噪声、衰落、多径等。
这些扰动会使信号发生失真，使接收端无法正确解读信号。
为了保证数据能够正确地传输，需要采用信道编码技术对原始数据进行编码和解码，以实现数据的纠错和校验。
信道编码的原理是通过在信号中添加冗余信息，使得即使在信道受到扰动的情况下，接收端仍能够正确还原出原始信号。
这种冗余信息一般是一些校验码或纠错码，它们能够使得接收端检错并纠正信号中的错误位。
常见的信道编码方案有卷积码、海明码、BCH码、RS码等。
卷积码是一种线性编码，其原理是通过将输入数据与一个预定义的信道决策器进行卷积运算，得到一个编码后的序列。
在接收端，利用与发送端相同的决策器对编码序列进行解码，得到原始数据。
卷积码的主要缺点是码长较短，冗余信息较少，因此在高信噪比的信道中表现良好，但在低信噪比下表现不佳。
BCH码是一种多项式编码，其原理是将信息序列看作一个多项式，通过除法得到余数，将余数作为纠错码添加到信息序列中，得到一个编码序列。
在接收端，利用BCH解码器进行解码，可以检测并纠正多个错误位。
BCH码适用于低速率的数字通信系统和存储系统中。
信道编码技术对于提高数字通信的可靠性和安全性至关重要。
各种编码方案都有其特点和适用范围，我们需要根据实际应用场景选择适合的编码方案。
下面我们来深入了解一下信道编码的相关概念和性质。
1. 码率与编码效率信道编码系统中，码率是指源码经过信道编码后变成的码字的速率，通常用R表示，单位为咪比特/秒（Mbits/s）。
编码效率是指码率与信源熵率之比，即R/H(X)，表示利用编码所能达到的信息传输效率。
编码效率越高，表示可以用更少的码字传输更多的信息，同时也意味着在相同的信道条件下，可以得到更高的传输速率。
高速无线通信中的信道编码和解码技术研究
无线通信：在无线通信系统中， 信道解码技术用于恢复原始信息， 提高通信质量。
卫星通信：在卫星通信系统中， 信道解码技术用于恢复卫星传输 的信号，提高通信可靠性。
移动通信：在移动通信系统中， 信道解码技术用于恢复移动终端 传输的信号，提高通信效率。
互联网：在互联网系统中，信道 解码技术用于恢复网络传输的信 号，提高网络性能。
跨层优化设计 的优势：可以 提高通信系统 的可靠性、效 率和灵活性
01
02
跨层优化设计 的挑战：需要 在不同通信层 之间进行协调 和优化，需要 解决各种技术 问题
03
跨层优化设计 的应用：已经 在高速无线通 信系统中得到 广泛应用，如 5G、Wi-Fi等
04
高速无线通信系网统络中设的的计信频干与道移谱扰优编动分抑化码用配制与户与技解接管术码入理研技策究术略研研究究
多径衰落：信号在传播过程中受 到反射、散射等影响，导致接收 信号强度波动
信道编码：为了对抗多径衰落， 需要采用信道编码技术，如卷积 码、Turbo码等
解码技术：在接收端，需要采用 相应的解码技术，如最大似然解 码、最小二乘解码等
影响：多径衰落会导致信道编码 和解码性能下降，需要采用先进 的信道编码和解码技术来应对
频谱资源紧张导致 信道编码和解码技 术需要更高效地利 用频谱资源
信道编码和解码技 术需要适应高速无 线通信环境的变化， 如多径效应、信道 衰落等
信道编码和解码技 术需要满足高速无 线通信的数据传输 速率要求，如5G、 Wi-F通 信安全威胁，如窃 听、干扰等
汇报人：xxx
信道编码的目的：提高通信系统的可靠性和效率
信 道 编 码 技 术 ： 包 括 卷 积 码 、 Tu r b o 码 、 L D P C 码 等
无线通信系统中信道编码技术的使用教程与性能分析
无线通信系统中信道编码技术的使用教程与性能分析引言：随着无线通信技术的不断发展，越来越多的设备通过无线方式进行通信。
然而，无线信道存在多径、干扰和衰落等问题，这些问题对信号传输和接收造成了一定的影响。
为了保证数据的可靠传输，信道编码技术在无线通信中扮演着重要的角色。
本文将介绍无线通信系统中的信道编码技术的使用教程，并对其性能进行分析。
一、信道编码的基本概念1.1 信道编码的定义信道编码是指通过在传输过程中对数据进行编码，以提高数据传输的可靠性和效率。
通过增加冗余信息，信道编码可以在数据传输过程中检测和纠正传输中可能发生的错误。
1.2 信道编码的分类信道编码可分为前向纠错编码（Forward Error Correction, FEC）和自适应编码两种类型。
- FEC编码：采用固定的编码方式，通过增加冗余信息和校验位，实现对传输过程中出现的错误进行检测和纠正。
- 自适应编码：根据当前信道的质量情况动态选择合适的编码方式。
根据信道状态的变化，自适应编码可以在传输过程中动态地选择最适合的编码方式，从而提高数据的传输质量。
二、信道编码的应用2.1 无线通信系统中信道编码的作用在无线通信系统中，信道编码的作用主要有两个方面：提高传输的可靠性和提高传输的效率。
- 可靠性：通过增加冗余信息，信道编码可以对受到干扰和衰落影响的数据进行纠错，从而保证数据的可靠传输。
- 效率：通过合理选择编码方式，信道编码可以在保证可靠性的前提下，最大限度地提高数据传输的效率，减少传输的时间和功耗。
2.2 信道编码的应用场景信道编码广泛应用于无线通信系统中的各个环节，包括无线传输、数据存储和语音视频传输等。
常见的应用场景包括：- 移动通信：对于3G、4G、5G等移动通信系统，在物理层中采用了多种信道编码技术，用于提高信号的传输可靠性和容量。
如卷积码、低密度奇偶校验码（Low Density Parity Check, LDPC）等。
通信系统中的信道编码技术
通信系统中的信道编码技术在现代通信系统中，信道编码技术起着至关重要的作用。
它通过在数据传输过程中添加冗余信息，以提高通信的可靠性和容错能力。
本文将介绍几种常见的信道编码技术，并探讨它们在通信系统中的应用。
1. 前言通信系统中的传输链路往往存在噪声、干扰和传输错误等问题。
因此，为了确保数据能够准确可靠地传输，信道编码技术应运而生。
信道编码技术可以通过添加冗余信息来实现纠错和检错，提高数据传输的可靠性。
2. 海明码海明码是一种经典的信道编码技术，通过添加校验位来实现错误检测和纠正。
海明码可以检测出并纠正单个位的错误，对于较少的错误也具有一定的纠正能力。
海明码广泛应用于存储介质和数字通信系统中。
3. 球码球码是一种针对高信噪比信道设计的编码技术。
它通过在编码过程中创建球体，然后将待发送的数据映射到球体的表面上。
球码具有较高的容错能力和编码效率，但对于噪声较大的信道来说，纠错能力会降低。
4. 卷积码卷积码是一种比较复杂的信道编码技术，它通过状态转移来实现编码。
卷积码可以提供较强的纠错和检错能力，对于信号传输中的突发错误具有较好的容错性能。
卷积码在无线通信和卫星通信等领域得到广泛应用。
5. Turbo码Turbo码是一种近年来发展起来的高效信道编码技术。
它通过多个卷积码的交织和迭代解码来实现更好的纠错性能。
Turbo码具有非常强的容错能力和低误码率，已被广泛应用于高速通信和移动通信系统中。
6. LDPC码LDPC码是一种低密度奇偶校验码，它通过稀疏矩阵来实现编码和解码。
LDPC码具有低复杂度、较好的纠错性能和高编码效率，被广泛应用于无线通信和光纤通信等领域。
7. 物联网中的信道编码随着物联网的快速发展，对于低功耗、低复杂度的信道编码技术的需求越来越大。
在物联网中，通信节点往往具有较低的计算和存储能力，因此需要设计适用于物联网场景的新型信道编码技术，如极化码和重复编码等。
8. 结论信道编码技术在现代通信系统中起着重要的作用，可以提高通信的可靠性和容错能力。
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s eHT
信道编码技术
伴随式解码
错误图案e与伴随式的对应关系表：
No e0 e1 e2 e e3 e4 e5 s0 S No s1 s2 e0 e1 e2 e3 e4 e5 s0 s1 s2 e s
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
注意如果一共有2k 个码字, 那 么共有 k 个基底码字
如果一种编码是线性的，那么它的 最小距离就等于它的最小权重
即在任意码字中的“1”的个数的 最小值（全0码除外）
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信道编码技术
生成矩阵
将基底码字作为矩阵的行
生成矩阵
b1 1 1 0 1 0 0 G b 2 0 1 1 0 1 0 b3 1 0 1 0 0 1
循环码
对于二进制码组，多项式的每个系数不是0就是1，x仅是码元位置的标 志。因此，这里并不关心x的取值。 例如，表中的第7码字可以表示为：
预备知识点：整数运算中的模n运算 若一个整数m可以表示为: 那么在模n运算下，有m≡p（模n），也就是说，在模n运算下，一整 数m等于其被n除所得的余数。 比如1+2=3≡1（模2），3+4=7 ≡ 2（模5）
无线通信技术 线通信技术
翟旭平 zhaixp@shu edu cn zhaixp@
2013-4-28
信道编码技术
4.1.1 编码技术概述
编码技术是用一系列编码后的信息取代原始信息的技术，其作用是 编码技术是用 系列编码后的信息取代原始信息的技术 其作用是 帮助原始信息的重构
Coding g Cryptography to preserve secrecy Line coding to improve spectral characteristics
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信道编码技术
线性和基底
如果一个编码是线性的，可以 选择码字中的一些子集来生成 其他的任意码字 其 的任意码字
这些码字称为基底 在前面给出的码字例子中我们选择
(a) (b) 01110 10011
举例
一个编码的码字为
000000, 000000 110100, 011010, 101110, , 101001 011101 110011 000111
信道编码技术
编码的分类
分组码、卷积码
– 分组码:
• 校验比特仅取决于传输信息的一 校验比特仅取决于传输信息的 个有限分组 • 码的表示方式(n,k) --- n=码字 长度, k=信息比特长度, n-k=校验 比特长度 • 有时候表示方式中还会出现第三 个数，dmin, 或可纠正的错误比特 数
例如:
G 为 k n; 码字 c 长度为n; 一个码字的校验部分p的长度为 (n - k)
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信道编码技术
校验矩阵
校验矩阵H 定义为:
GH 0
T
即：H的行 是与G的行正交的 即 是与G的行 交的 利用该矩阵可以检验一个接 收到的码字r是否是有效码字
dGHT 0 if r is a codeword s rH otherwise 0
T
对于一个系统二进制码，我 们可以从G中构造H: T In k P 如果 G P Ik then put H
其中 Ik 代表一个k k 单位矩阵
那么: 那
I n k GHT P I k PP 0 P
注意这里仍然为模2加
1 1 0 1 0 0 G 0 1 1 0 1 0 [P [ | I3] 1 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1 H 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 HT 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1
伴随式解码
4、接收码字的伴随式为 s rHT
1 0 0 [ [0 1 1 1 1 0] ] 1 0 1
0 0 1 0 0 1 [1 1 0] ] [ 1 0 1 1 0 1
5、查表可得，伴随式[1 1 0]所对应的错误图案为e=[0 0 0 1 0 0]，所以接收 码字纠错后为 ’ r + e =[0 码字纠错后为r’= [0 1 1 0 1 0]
选出其中的三个作为基底:
000000, 101001 110100, , 011101 011010, 110011 1 = 1 1 1 0 1 以上加法为模2加（或异或） 因此，所有的码字都可以由这 些码字的和来生成，通过乘以 1或0
注意信息比特会出现在码字中
即该编码为系统码
这是因为生成矩阵包含一个单位 阵I:
G P I c dP I p d
我们可以通过给生成矩阵G相 乘信息比特向量d来得到任意的 码字c :
注意使用模2加
b1 c dG 1 1 0 b2 1 b1 1 b2 0 b3 b3 110100 011010 000000 101110
s rHT dG e HT dGH T eHT eHT
这样，译码纠错的步骤就可以总结为： 1、找出生成矩阵； 找出校验 阵； 2、找出校验矩阵； 3、列出错误图案与伴随式表格； 4、列出接收码字的伴随式； 5 纠错 5、纠错； 下面来看一个例题。
可见，伴随式仅取决于错误图案。 伴随式 案 由此就可以列出一个错误图案及其 对应的伴随式的表格，然后我们对每 个接收到的信号找到对应的伴随式， 查询错误图案，来纠正其中的传输错 误
纠错只有在加入校验比特后采用可能
汉明距离是指两个码字之间相同位置 明 离是指两个码字 间相同位置 上的比特信息不同的位置数之和 使用纠错码的其他应用:
– 拼写错误 – 电视画面噪声
编码后可能的传输信号称之为 码字
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汉明距离
00000 2 4 3 3 4 4 3 3 00110 1 01110
思考：1、伴随式与错误图案是一一对应的关系吗？Why？ 2 为什么只是选择了错误图案[000100]，而没有选择错误图案[110000]来纠错？ 2、为什么只是选择了错误图案[000100]，而没有选择错误图案[110000]来纠错？
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4.1.3 循环码
信道编码技术
循环码
信道编码技术
一种编码可以检测 dmin - 1 个 错误比特, 同时纠正每个码 字中的dmin/2 个错误比特。 个错误比特
d min d min 2
最佳编码是所有码字间均具 有最大距离
3 11101
10011
最小汉明距离dmin 是任意两 个码字间汉明距离的最小值
越长的码字意味着越多的错 误比特可以被纠正过来 代价是: 代价是 – 传输信息速率下降, – 复杂度增加
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0
0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
– 卷积码: 编码序列取决于数个分组
• 码的表示方式(n,k,m),第三个数通 常表示的是约束长度
从这些码字中不能直接读出哪些是信息 这些码字中 能直接读出哪些是信息 比特。
线性码
–任意两个码字的和（模2加）是另一个 码字 –码字中包含全0码
编码速率- 每个码字中信息比特数 所占的百分比---》k/n
信道编码技术
4.1.2 FEC编码原理
加入冗余，使得原始信号在传 输中被破坏后仍然能够被恢复 出来
例如： 2 比特二进制信息，我们加 入校验比特
信息比特：校验比特 0 0 : 0 0 0 0 1 : 1 1 0 1 0 : 0 1 1 1 1 : 1 0 1
假设接收码字为0 0 1 1 0 – 可以检测出有错误发生- 接收码字 不在可能传输的码字范围内 – 传输错误可以通过选择具有“最 近距离”的码字纠正过来 01110
系统码、非系统码
–系统码：码字中明显地包含信息比特
0000 000, 0010 111, 0101 110, 0111 001 1001 011 , 1011 100, 1100 101, 1110 010 –非系统码：码字中无对应的信息比特 例如，将下列信息比特映射为四种码字:
00: 00 01: 10: 11: 00000 11101 00111 11010
Source coding to compress d data
信道 编码 编
Error-control coding to permit robust transmission of data
Error-detection coding allows re-transmission of erroneous data
信道编码技术
伴随式解码
伴随式可以被用来解码：当传输发生 错误时，一个接收到的码字r可以表 示成一个有效码字c和一个错误错误 G e 图案e 的和：r c e dG 其中 c=(co,c1,…,cn-1),e=(e0,e1,…,en-1) ci , ei∈(0,1) 这样，伴随式可以写为: