2011届高考数学总复习直通车课件-基本初等函数(I)

得 t +bt+c=0.
2
2
2
①
②
要使①有7个解，则②必须有两解，即f(x)=| x +2x|与f(x)=t有7个交点 （如图），所以方程②必有两个解，而f(x)=t中的一条直线必过f(x)=|x +2x|折上去的顶点，故②式有一解为t 1 1 ，另一直线与f(x)=|x +2x|
2 2
的图象有4个交点，故②式的另一解 2 必在（0,1)上，所以 t1 t 2 b 0 b 0,t1t 2 c 0 ，所以b<c. 答案:C
2
2
2
与y轴的交点D(0,1)，再任取一点
E(-2,1)，过这五个点画出图象，如图.
学后反思（1）由本例可以看出，根据配方法及函数的性质画函数 图象，可以直接选取关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简 便，使图象更精确. (2)二次函数的图象是一条抛物线，其基本特征是有顶点，有对称 轴，有开口方向，在画其图象时往往取顶点，以及与坐标轴的交 点为特征点进行画图.
学后反思 函数y=kx+b(k≠0)解析式中参数k与函数单调性有 关,k>0时,函数图象是上升的;k<0时,函数图象是下降的.b反 映了函数图象与y轴交点的位臵,b>0时,交于x轴上方;b=0时, 交于原点;b<0时,交于x轴下方.b又叫做直线y=kx+b在y轴上的 截距.
举一反三
1. 已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m为何值时： (1)这个函数为一次函数? (2)函数值y随x的增大而减小? (3)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x轴上? 解析: (1)当m≠ 2 时,这个函数为一次函数. 1 (2)根据一次函数的性质,可知当2m-1<0,即m< 2 时,y随 x的增大而减小. (3)直线y=x+1与x轴交于点(-1,0), 将其代入y=(2m-1)x+1-3m中,得1-2m+1-3m=0, 2 ≨m= 5 .
t
题型四
二次函数在特定区间上的最值问题
2 【例4】已知函数f(x)=- x +2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2,求a的值.
分析 作出函数图象,因对称轴x=a位臵不定,故分类讨论对称轴位臵 以确定f(x)在[0,1]上的单调情况. 解 当对称轴x=a<0时,如图1所示. 当x=0时,y有最大值, ymax =f(0)=1-a. ≨1-a=2,即a=-1，且满足a<0, ≨a=-1. 图1图2当0≤a≤1时,如图2所示. 即当x=a时,y有最大值, ymax =f(a)=- a2+2 a2+1-a= a2 -a+1. 2 a -a+1=2, ≨ 1 5 解得a= 2 .图3 1 5 ≧0≤a≤1,≨a= 2 舍去. 当a>1,如图3所示. 由图可知，当x=1时y有最大值, ymax =f(1)=2a-a=2, ≨a=2,且满足a>1,≨a=2. 综上可知，a的值为-1或2.
3. 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系 判别式
b2 4ac
0
0
0
二次函数的图像
y ax2 bx ca 0
一元二次方程的根 y ax2 bx ca 0
2 ax bx c 0a 0
有两相异实根 有两相等实数 b x1 x 2） 根 x1 x 2 2a x1、 2 （ x
1
题型二
确定二次函数的解析式
【例2】二次函数f(x)与g(x)的图象开口大小相同，开口方向也相同. 已知函数g(x)的解析式和f(x)图象的顶点，写出函数f(x)的解析式. 2 (1)函数g(x)= x ,f(x)图象的顶点是(4,-7). 2 ( x1) ,f(x)图象的顶点是(-3,2). (2)函数g(x)=-2 分析 题中给出了顶点坐标，可用顶点式设出二次函数，再由g(x) 确定a的值. 解 如果二次函数的图象与y=ax 的图象开口大小、方向都相同，设顶点 坐标为(h,k),则其解析式为y=a( x h) +k. 2 x 的图象开口大小、方向都相同，f(x)的图象的 (1)因为f(x)与g(x)= 2 2 顶点是（4，-7），所以f(x)= ( x4) -7= x -8x+9. 2 ( x1) 的图象开口大小、方向都相同,f(x)图象的 (2)因为f(x)与g(x)=-2 2 2 顶点是(-3,2)，所以f(x)=-2 ( x3) +2=-2x -12x-16.
2. 二次函数的性质与图象 2 (1)函数y ax bx ca 0 叫做二次函数,它的定义域是 R. (2)二次函数有如下性质: b 4ac b2 , ①函数的图象是一条抛物线 ,抛物线顶点的坐标是 2a 4a , b 抛物线的对称轴是x 2a ; b b f x 2 a 处取 最小值 2a ②当a>0时,抛物线开口向上,函数在 ;在 b b , 区间 2a 上是减函数,在 2a , 上是增函数; b b x 向下 ③当a<0时,抛物线开口 ,函数在 2a 处取最大值 f 2a ;在 b b , 区间 , 2a 上是增函数,在 2a 上是减函数; ④与y轴的交点是 (0,c) ⑤当Δ=b2-4ac>0时,与x轴两交点的横坐标 x1、 2 分别是方程a x 2 b y 的 ax bx ca 0 的两根;当Δ=0时,与x轴切于一点 2a ,0 ;当 Δ<0时,与x轴 没有交点 ; ⑥当b≠0时,是非奇非偶函数；当b=0时,是偶函数 ; ⑦对于函数f(x),若对任意自变量x的值,都有f(a+x)=f(a-x),则 f(x)的图象关于直线 x=a 对称.
值是8,试确定此二次函数.
解 方法一:利用二次函数一般式. 设f(x)=a x 2+bx+c(a≠0). 由题意得, 4a 2b c 1
a b c2 1 4ac b 8 4a
解得
a 4 b4 c7
≨所求二次函数为y=-4 x2+4x+7. 方法二:利用二次函数的顶点式. 设f(x)=a ( x m)2 +n(a≠0). ≧f(2)=f(-1),
2 2 2
2 1 1 2 2
1
题型三
二次函数的图象和性质
2
【例3】将函数y=-3 x -6x+1配方，确定其对称轴和顶 点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画 出它的图象. 分析 配方后，利用二次函数的性质解决. 解 y=-3 x -6x+1=-3( x1) +4，由于x 项的系 数为负数，所以函数图象开口向下；顶点坐 标为(-1,4);对称轴为x=-1;函数在区间(≦,-1］上单调递增，在区间［-1,+≦)上单 调递减；函数有最大值，没有最小值，函数 的最大值为4.采用描点法画图,选顶点A( 2 3-3 2 3-3 0 1,4)，与x轴的交点B（ - 3 ， ， 0）和C 3
典例分析
题型一 一次函数性质的应用
【例1】一次函数y=(m+2)x+2m-1是增函数,且它的图象与y轴的交点 在x轴的下方,求实数m的取值范围.
分析 当k>0时，y=kx+b(k≠0)为增函数,其图象与y轴的交点 为(0,b). 解 ≧y=(m+2)x+2m-1是增函数, ≨m+2>0. ① 又≧函数y=(m+2)x+2m-1的图象与y轴的交点在x轴下 方,≨2m-1<0. ② 1 由①、②解得-2<m< 2 .
2
2
2
、 ③两根式:y= a( x x1)( x x 2) (a、x1 x 2为常数，a≠0).
（3）要确定二次函数的解析式就是确定解析式中的待定系数（常
数），由于每种形式中都含有三个待定系数，所以需要三个独立条
件，这数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大
b
2
举一反三
4. （2010· 唐山综测)已知函数f(x)= -2ax+3 数f(x)的最大值和最小值. -1(a>0,0≤x≤1)，求函
解析：f(x)=x -2ax+3a -1=
2
2
( x a)
没有实数根
的解集
2 ax bx c 0a 0
x x x 或x x
1 2
x x x
1
x x R

的解集
x x x x
1 2

4. 二次函数在闭区间上的最值问题 y=f(x)=a xh2 +k(a>0)在[m,n]上的最值问题. (1)h∈[m,n]时, ymin =k, ymax =max{f(m),f(n)}； (2)h [m,n ]时,当h<m时,f(x)在[m,n]上单调递增 , ymin= f(m) ymax = f(n) 当h>n时,f(x)在[m,n]上单调递减, ymin = f(n), ymax = f(m) .
≨抛物线对称轴为x= ，≨m= . 2 又根据题意函数有最大值y=8, 1 ≨y=f(x)=a x 2 +8. 1 ≧f(2)=-1,≨a 2 2 +8=-1，解得a=-4. ≨f(x)=-4 x 1 +8=-4x2 +4x+7. 2 方法三:利用二次函数的两根式. 由已知f(x)+1=0的两根为 x1 =2,x2 =-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即f(x)=ax2 -ax-2a-1. 2 ymax =8,即 4a 2a 1 a =8, 又函数有最大值 4a 解得a=-4或a=0(舍去). 2 ≨所求函数解析式为f(x)=-4 x +4x+7.