同济高数(二)第八章 空间解析几何(1)——基本概念
高数下 第八章空间解析几何.PDF
平行向量对应坐标成比例
当 a 0 时,
bx = by = bz ax ay az
bx = ax by = ay bz = az
例1 已知两点 在AB直线上求一点M ，使
及实数 −1，
A
解 设 M 的坐标为
如图所示
M
B
AM = MB OM − OA = ( OB − OM )
第八章 空间解析几何与向量代数
第一讲 向量及其线性运算
回顾
基本概念 向量的定义、向量的模、单位向量、零向量、负向量、 向量之间的关系：向量平行、 向量相等、 向量共面、 向量的线性运算与坐标表示：平面向量的线性运算、 平面向量的坐标表示、 平面向量平行的坐标表示等
一 、空间直角坐标系
过空间一个定点 O，作三条互相垂直的数轴， 这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系.
C(x, Байду номын сангаас, z)
oo
x P(x, 0, 0)
M y
Q(0, y, 0) A(x, y, 0)
z
o
x
坐标面
坐标轴
y
视频2
二、向量的坐标表示
在空间直角坐标系下，任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量，设点 M 的坐标为
M (x , y , z) , 则 OM = ON + NM = OA + OB + OC
及
解 设该点为 M (0, 0, z),
因为 M A = M B ,
(−4)2 +12 +(7 − z)2 = 32 +52 +(−2 − z)2 解得 故所求点为 M (0, 0,14 ) . 9
高等数学第八章空间解析几何
任一点， 那么向量 M 0M 与L的方向向量 平s行.
所以,
两向量的 对应坐标成比例, 由于
M0M
(xx 0，yy 0，zz 0)，
s(m，n，p)，
从而有
此方程组就是直线 L 的方程，叫做直线的对称式方程或 点向式方程．
第六页，共30页。
z
s
M
M0
O
y
x
第七页，共30页。
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量
第二页，共30页。
二、空间直线的对称式方程与参数方程 空间直线的方向向量：如果一个非零向量平行于
一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量． z
s
O
y
x
第三页，共30页。
二、空间直线的对称式方程与参数方程
空间直线的方向向量：如果一个非零向量平行于
一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量．
x2t，y3t，z42t，
代入平面方程中，得
2(2t)(3t)(42t)60．
2x y z 6 0
解上列方程，得t1．
将 t 1 代 入 直 线 的 参 数 方 程 ， 得 所 求 交 点的坐标为
x1，y2，z2．
第二十一页，共30页。
例6 求过点P(2，1，3)且与直线
垂直相交的直线的方程．
二、如何将直线的一般方程化为对称式方程？ 三、两直线的位置关系 四、直线与平面的位置关系
五、关于平面束方程的概念
第二十九页，共30页。
谢 谢！
第三十页，共30页。
即
(1l)x(1l)y(1l)z(1l)0，
其中l为待定的常数．这平面与平面xyz0垂直的条件是
同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解析几何
第五篇 向量代数与空间解析几何第八章 向量代数与空间解析几何解析几何得基本思想就是用代数得方法来研究几何得问题,为了把代数运算引入几何中来,最根本得做法就就是设法把空间得几何结构有系统得代数化,数量化、 平面解析几何使一元函数微积分有了直观得几何意义,所以为了更好得学习多元函数微积分,空间解析几何得知识就有着非常重要得地位、本章首先给出空间直角坐标系,然后介绍向量得基础知识,以向量为工具讨论空间得平面与直线,最后介绍空间曲面与空间曲线得部分内容、第1节 空间直角坐标系1、1 空间直角坐标系用代数得方法来研究几何得问题,我们需要建立空间得点与有序数组之间得联系,为此我们通过引进空间直角坐标系来实现、1、1、1 空间直角坐标系过定点,作三条互相垂直得数轴,这三条数轴分别叫做x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴),它们都以为原点且具有相同得长度单位、 通常把x 轴与y 轴配置在水平面上,而z 轴则就是铅垂线;它们得正方向要符合右手规则:右手握住轴,当右手得四指从x 轴得正向转过角度指向y 轴正向时,大拇指得指向就就是z 轴得正向,这样就建立了一个空间直角坐标系(图81),称为直角坐标系,点叫做坐标原点、图81在直角坐标系下,数轴Ox ,,Oz 统称为坐标轴,三条坐标轴中每两条可以确定一个平面,称为坐标面,分别为,,,三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫做一个卦限(图82),分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示、图821、1、2 空间点得直角坐标设为空间中得任一点,过点分别作垂直于三个坐标轴得三个平面,与轴、轴与轴依次交于、、三点,若这三点在轴、轴、轴上得坐标分别为,,,于就是点就唯一确定了一个有序数组,则称该数组为点在空间直角坐标系中得坐标,如图83.,,分别称为点得横坐标、纵坐标与竖坐标.图83反之,若任意给定一个有序数组,在轴、轴、轴上分别取坐标为,,得三个点、、,过这三个点分别作垂直于三个坐标轴得平面,这三个平面只有一个交点,该点就就是以有序数组为坐标得点,因此空间中得点就与有序数组之间建立了一一对应得关系.注:、、这三点正好就是过点作三个坐标轴得垂线得垂足.1、2 空间中两点之间得距离设两点,,则与之间得距离为(811) 事实上,过点与作垂直于平面得直线,分别交平面于点与,则∥,显然,点得坐标为,点得坐标为(如图84).图84由平面解析几何得两点间距离公式知,与得距离为:.过点作平行于平面得平面,交直线于,则∥,因此得坐标为,且,在直角三角形中,,所以点与间得距离为2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=.例1 设与为空间两点,求与两点间得距离. 解 由公式(811)可得,与两点间得距离为.例2 在轴上求与点与等距得点.解 由于所求得点在轴上,因而点得坐标可设为,又由于,由公式(811),得.从而解得,即所求得点为.习题811.讨论空间直角坐标系得八个卦限中得点得坐标得符号.2.在坐标轴上得点与在坐标平面上得点得坐标各有何特点？3.在空间直角坐标系中,画出下列各点: ;;;.4.求点关于各坐标平面对称得点得坐标.5.求点关于各坐标轴对称得点得坐标.6.求下列各对点间得距离: (1) 与; (2) 与.7.在坐标平面上求与三点、与等距得点.8.求点与原点、各坐标平面与各坐标轴得距离.9、 证明以为顶点得三角形△ABC 就是一等腰三角形、第2节 空间向量得代数运算2、1 空间向量得概念在日常生活中,我们经常会遇到一些量,如质量、时间、面积、温度等,它们在取定一个度量单位后,就可以用一个数来表示.这种只有大小没有方向得量,叫做数量(或标量).但有一些量,如力、位移、速度、电场强度等,仅仅用一个实数就是无法将它们确切表示出来,因为它们不仅有大小,而且还有方向,这种既有大小又有方向得量,叫做向量(或矢量).在数学上,我们用有向线段来表示向量,称为向量得起点,称为向量得终点,有向线段得长度就表示向量得大小,有向线段得方向就表示向量得方向.通常在印刷时用黑体小写字母,,,…来表示向量,手写时用带箭头得小写字母来记向量、向量得长度称为向量得模,记作或,模为得向量叫做单位向量,模为得向量叫做零向量,记作0,规定:零向量得方向可以就是任意得.本章我们讨论得就是自由向量,即只考虑向量得大小与方向,而不考虑向量得起点,因此,我们把大小相等,方向相同得向量叫做相等向量,记作、规定:所有得零向量都相等、与向量大小相等,方向相反得向量叫做得负向量(或反向量),记作. 平行于同一直线得一组向量称为平行向量(或共线向量).平行于同一平面得一组向量,叫做共面向量,零向量与任何共面得向量组共面、 2、2 向量得线性运算 2、2、1 向量得加法我们在物理学中知道力与位移都就是向量,求两个力得合力用得就是平行四边形法则,我们可以类似地定义两个向量得加法.定义1 对向量,,从同一起点作有向线段、分别表示与,然后以、为邻边作平行四边形,则我们把从起点到顶点得向量称为向量与得与(图85),记作.这种求与方法称为平行四边形法则.图85 图86若将向量平移,使其起点与向量得终点重合,则以得起点为起点,得终点为终点得向量就就是与得与(图86),该法则称为三角形法则.多个向量,如、、、首尾相接,则从第一个向量得起点到最后一个向量得终点得向量就就是它们得与 (图87).图87对于任意向量,,,满足以下运算法则:(1)(交换律).(2) (结合律).(3).2、2、2 向量得减法定义2向量与得负向量得与,称为向量与得差,即.特别地,当时,有、由向量减法得定义,我们从同一起点作有向线段,分别表示,,则.也就就是说,若向量与得起点放在一起,则,得差向量就就是以得终点为起点,以得终点为终点得向量(图88).图882、2、3数乘向量定义3 实数与向量得乘积就是一个向量,记作,得模就是,方向: 当时,与同向;当时,与反向;当时,.对于任意向量,以及任意实数,,有运算法则: (1) . (2) . (3) .向量得加法、减法及数乘向量运算统称为向量得线性运算,称为,得一个线性组合.特别地,与❒a 同方向得单位向量叫做❒a 得单位向量,记做,即、上式表明:一个非零向量除以它得模得结果就是一个与原向量同方向得单位向量、 例1 如图89,在平行六面体中,设,试用来表示对角线向量图89解 ; 、由于向量与平行,所以我们通常用数与向量得乘积来说明两个向量得平行关系、即有, 定理1 向量与非零向量平行得充分必要条件就是存在一个实数,使得、 2、3 向量得坐标表示2、3、1向量在坐标轴上得投影设为空间中一点,过点作轴得垂线,垂足为,则称为点在轴上得投影(图810).图810若为空间直角坐标系中得一点,则在轴、轴、轴上得投影为、、,如图811所示.图811设向量得始点与终点B在轴u得投影分别为、,那么轴u上得有向线段得值叫做向量在轴u上得投影,记作,轴u称为投影轴、图812当与轴同向时,投影取正号,当与轴反向时,投影取负号.注 (1) 向量在轴上投影就是标量.(2)设为空间直角坐标系中得一个向量,点得坐标为,点得坐标为,显然,向量在三个坐标轴上得投影分别为,,.2、3、2向量得坐标表示取空间直角坐标系,在轴、轴、轴上各取一个与坐标轴同向得单位向量,依次记作,它们称为坐标向量.空间中任一向量,它都可以唯一地表示为数乘之与.事实上,设,过、作坐标轴得投影,如图813所示..由于与平行,与平行,与平行,所以,存在唯一得实数,使得,,,即. (821)图 813我们把(821)式中系数组成得有序数组叫做向量得直角坐标,记为,向量得坐标确定了,向量也就确定了.显然,(821)中得就是向量分别在轴、轴、轴上得投影.因此,在空间直角坐标系中得向量得坐标就就是该向量在三个坐标轴上得投影组成得有序数组.例2 在空间直角坐标系中设点,,求向量及得直角坐标.解 由于向量得坐标即为向量在坐标轴上得投影组成得有序数组,而向量得各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量得差.所以向量得坐标为,向量得坐标为.例3(定比分点公式) 设与为两已知点,有向线段上得点将它分为两条有向线段与,使它们得值得比等于数,即,求分点得坐标、图814 解 如图814,因为与在同一直线上,且同方向,故,而 ,所以 ,, 解得当λ=1, 点得有向线段得中点, 其坐标为, , 、2、3、3向量得模与方向余弦得坐标表示式向量可以用它得模与方向来表示,也可以用它得坐标式来表示,这两种表示法之间得就是有联系得、设空间向量与三条坐标轴得正向得夹角分别为,规定: ,称为向量❒a 得方向角、 图815因为向量❒a公式(8、2、2)中出现得cos ,cos αβ❒a 得方向余弦、而就是与向量❒a 同方向得单位向量、而❒a =, ,故向量得模为(823)从而向量得方向余弦为cos a αβγ===(824)并且 、例4 已知两点与,求向量得模、方向余弦与方向角、 解; ; 、例5 已知两点与,求与同方向得单位向量、 解 因为所以 于就是2、4 向量得数量积在物理中我们知道,一质点在恒力得作用下,由点沿直线移到点,若力与位移向量得夹角为,则力所作得功为.类似得情况在其她问题中也经常遇到.由此,我们引入两向量得数量积得概念. 定义1 设,为空间中得两个向量,则数叫做向量与得数量积(也称内积或点积),记作,读作“点乘”.即(825)其中表示向量与得夹角,并且规定.两向量得数量积就是一个数量而不就是向量,特别地当两向量中一个为零向量时,就有、由向量数量积得定义易知: (1) ,因此.(2) 对于两个非零向量,,与垂直得充要条件就是它们得数量积为零,即.注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用. 数量积得运算满足如下运算性质: 对于任意向量,及任意实数,有 (1) 交换律:. (2) 分配律:.(3) 与数乘结合律:.(4) 当且仅当时,等号成立. 例6 对坐标向量,,,求, ,,,,.解 由坐标向量得特点及向量内积得定义得, .例7 已知,,,求,,.解 由两向量得数量积定义有..,因此.在空间直角坐标系下,设向量,向量,即,.则.由于,,所以.(826)也就就是说,在直角坐标系下,两向量得数量积等于它们对应坐标分量得乘积之与.同样,利用向量得直角坐标也可以求出向量得模、两向量得夹角公式以及两向量垂直得充要条件,即设非零向量,向量,则. (827). (828). (829) 例8在空间直角坐标系中,设三点,,.证明:就是直角三角形.证明由题意可知,,则,所以.即就是直角三角形.2、5向量得向量积在物理学中我们知道,要表示一外力对物体得转动所产生得影响,我们用力矩得概念来描述.设一杠杆得一端固定,力作用于杠杆上得点处,与得夹角为,则杠杆在得作用下绕点转动,这时,可用力矩来描述.力对得力矩就是个向量,得大小为.得方向与及都垂直,且,,成右手系,如图816所示.图8162、5、1向量积得定义在实际生活中,我们会经常遇到象这样由两个向量所决定得另一个向量,由此,我们引入两向量得向量积得概念.定义2 设,为空间中得两个向量,若由,所决定得向量,其模为. (8210) 其方向与,均垂直且,,成右手系(如图817),则向量叫做向量与得向量积(也称外积或叉积).记作,读作“叉乘”.注 (1) 两向量与得向量积就是一个向量,其模得几何意义就是以,为邻边得平行四边形得面积.(2)这就是因为夹角θ=0,所以图817(3)对两个非零向量与,与平行(即平行)得充要条件就是它们得向量积为零向量.∥.向量积得运算满足如下性质:对任意向量,及任意实数λ,有(1) 反交换律:.(2) 分配律:,.(3) 与数乘得结合律:.例9对坐标向量,,,求,,,,,.解 .,,.2、5、2向量积得直角坐标运算在空间直角坐标系下,设向量,向量,即,,因为.,,,,,.则121212121212()()+()()()()x y y x y z z y x z z x -⨯-⨯--⨯=i j j k k i .为了便于记忆,借助于线性代数中得二阶行列式及三阶行列式有.注 设两个非零向量,,则∥,.若某个分母为零,则规定相应得分子为零.例10 设向量,,求得坐标. 解 .因此得直角坐标为.例11 在空间直角坐标系中,设向量,,求同时垂直于向量与得单位向量. 解 设向量,则同时与,垂直.而,所以向量得坐标为.再将单位化,得,即与为所求得向量.例12 在空间直角坐标系中,设点,,,求得面积.解 由两向量积得模得几何意义知:以、为邻边得平行四边形得面积为,由于,,因此,所以.故得面积为.2、6向量得混合积定义3 给定空间三个向量,如果先作前两个向量与得向量积,再作所得得向量与第三个向量得数量积,最后得到得这个数叫做三向量得混合积,记做或、说明:三个不共面向量得混合积得绝对值等于以为棱得平行六面体得体积、定理 如果,,,那么习题821.,,,,,().ABCD AB AD AC DB MA M ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点a b.a b12.,().2M AB O OM OA OB =+u u u r u u u u r u u u r u u u r设为线段的中点,为空间中的任意一点证明2223.?(1)()();(2)();(3)()().==⨯=⨯g g g g g g 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b5、设为单位向量,且满足,求6、7、已知三点得坐标、模、方向余弦与方向角、8、一向量得终点在点B(2,1,7),它在x轴、y轴与z轴上得投影依次为4,4与7、求这向量得起点A得坐标、9.设,,,求,,.10.设向量,,两两垂直,且,,,求向量得模及.11.在空间直角坐标系中,已知,,求:(1); (2) ;(3) ;(4).12、已知向量,计算(1)(2)(3)、13.设向量,得直角坐标分别为与,若,求得值.14.设向量,,求以为邻边构造得平行四边形面积.15.求同时垂直于向量与纵轴得单位向量.16.已知三角形三个顶点,,,求得面积.第3节空间中得平面与直线方程在本节我们以向量为工具,在空间直角坐标系中讨论最简单得曲面与曲线——平面与直线、3、1平面及其方程首先利用向量得概念,在空间直角坐标系中建立平面得方程,下面我们将给出几种由不同条件所确定得平面得方程.3、1、1平面得点法式方程若一个非零向量垂直于平面,则称向量为平面得一个法向量.显然,若就是平面得一个法向量,则 (为任意非零实数)都就是得法向量,即平面上得任一向量均与该平面得法向量垂直.由立体几何知识知道,过一个定点且垂直于一个非零向量有且只有一个平面.设为平面上得任一点,由于,因此.由两向量垂直得充要条件,得,而,,所以可得. (831) 由于平面上任意一点都满足方程(831),而不在平面上得点都不满足方程(831),因此方程(831)就就是平面得方程.由于方程(831)就是给定点与法向量所确定得,因而称式(831)叫做平面得点法式方程.图818例1 求通过点且垂直于向量得平面方程.解由于为所求平面得一个法向量,平面又过点,所以,由平面得点法式方程(614)可得所求平面得方程为,整理,得.例2 求过三点,, 得平面得方程.解所求平面得法向量必定同时垂直于与.因此可取与得向量积为该平面得一个法向量.即.由于,,因此,因此所求平面得方程为,化简得一般地,过三点得平面方程为称为平面得三点式方程。
高数下册知识点
高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
同济版高等数学第二册8-1
2. 方向角与方向余弦的坐标表示式 空间两向量的夹角的概念：
a 0, b 0, a b 的夹角 向量a 与向量 (a , b ) (b , a ) (0 )
记为 r ( x, y, z )
向径： r OM (点M关于原点O)
( x, y, z ) 既表示向量 OM的坐标, 又表示点 M的坐标.
1 1 空间的点 有序数组 ( x , y , z )
称为点M的坐标，x称为横坐标, y称为纵坐标， z称为竖坐标. 记为 M ( x, y, z ) 特殊点的坐标表示: 坐标轴上的点 P , Q , R, 坐标面上的点 A, B , C , O(0,0,0)
5 1 (1 3)a 1 5 b 2 5
5 2a b . 2
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为 (1) 0, a 与a 同向， | a | | a |
表示与非零向量 设ea a 同方向的单位向量，
z
R(0,0, z )
B(0, y , z )
C ( x,0, z )
M ( x, y, z )
o
Q(0, y ,0)
y
x
P ( x ,0,0)
A( x , y ,0)
z
坐标轴 : 轴 轴
O
x
坐标面:
y
轴
四、利用坐标作向量的线性运算
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
a (a x , a y , az ), b (bx , by , bz ),
PP2 ( x )2 12 ( 1)2 x 2 2,
第八章 空间解析几何与向量代数(同济六版)ppt课件
z
坐标轴 :
o
y
x轴
y轴
y0 z0
z0 x0
x
坐标面 : xoy面 z 0
x 0 z轴 y 0
x 0 yoz面 zox面 y 0
目录 上页 下页 返回 结束
2. 向量的坐标表示
i , j , k 分别表示坐标轴x, y, z上的单位向量
(1)设点 M (x, y, z), 则
第八章 空间解 析几何与向量 代数(同济六版 )
§1 向量及其线性运算
§2 数量积，向量积 §3 平面及其方程
§4 空间直线及其方程
§5 曲面及其方程
§6 空间曲线及其方程
目录 上页 下页 返回 结束
§1 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
第一次课
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
目录 上页 下页 返回 结束
【例1】如果四边形对角线互相平分，则它是
解: 如图 M 为四边形ABCD 对角线的交点, 则
D
A B a b ， 1 1
b
2
a
M
b1
C
2
D C a b 2 2
a
A
1
B
由已知 a a ,b b 1 2 1 2 所以
A B D C
所以ABCD为平行四边形.
( 2 , 3 , )
c a 2 ( 2 )( 1 3 )( 1 ) 0
6 2 0 取λ =1，则μ =3
c (, 58 , 2 )
特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标面上的点 A , B , C
同济高等数学第八章学习指导及习题详解
462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。
高数同济第七版-第八章重点内容
高数同济第七版-第八章重点内容接下来你将看到的是由我个人整理的各章重点，不保证都是最终考试的考点，也可能会有缺失，如果你也有类似的整理，并且愿意向大家分享，希望你在公众号内回复我们，我们会在第一时间联系你，期待你的分享本次的内容为第八章的重点，所有内容均为本人个人根据老师画的重点总结，仅供参考。
本文最终解释权归本人所有。
一．向量及其运算（基本概念）1.向量的模、方向余弦、方向角2.两向量的数量积3.两向量的向量积（1-3点详细概念见书P9起，在此不再赘述）4.特殊情景：两向量若垂直，则点乘机为零，若平行，则叉乘机为零。
二．空间解析几何1.平面及其方程（1）点法式设一平面通过已知点),,(0000z y x M 且垂直与非零向量N=(A ，B ，C)，则该平面方程可表示为：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A（2）一般式)0(0222≠++=+++C B A D z C y B x A（3）两平面的夹角两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.设平面一的法向量为：),,(1111C B A n =，平面二的法向量为：),,(2222C B A n =。
则两平面夹角的余弦为： 2121cos n n n n ?=θ（4）点到平面的距离公式：222000C B A D z C y B x A d +++++=2.空间直线：对称式：m x x 0-ny y 0-=p z z 0-= 参数式：设m x x 0-n y y 0-=p z z 0-== t,则参数式为： t m x x +=0t n y y +=0t p z z +=03.旋转曲面：一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面。
该定直线叫做旋转轴。
例：求坐标面xoz 上的双曲线12222=-cz a x 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解绕 x 轴旋转所成曲面方程为122222=+-cz y a x 绕 z 轴旋转所成曲面方程为122222=-+cz a y x （绕那个轴旋转，那个坐标不变。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
故 0 , 即 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
“
” 已知 b＝ a , 则 b＝ 0 a , b 同向
a ∥b
a , b 反向
例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点,
试用 a 与 b 表示 MA , MB , MC , MD .
a b AC b a BD
O A OA 6( 1 OA , 2
, 因点 A 在第一卦限 , 故 cos 1 2 于是
2 1 , ) 2 2
(3 , 3 2 , 3)
故点 A 的坐标为 (3 , 3 2 , 3) .
第二节 目录
上页
下页
返回
结束
第二节 数量积 向量积 *混合积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
2 MA 2 MB
MD 1 (b a ) 2
机动 目录
D
b
C
MA 1 (a b) 2 MC 1 (a b) 2
A MB 1 ( b a ) 2
M
a
B
上页
下页
返回
结束
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. z z 轴(竖轴) Ⅱ • 坐标原点 Ⅲ
M3
返回
结束
例5. 在 z 轴上求与两点
离的点 .
及
等距
解: 设该点为 M (0 , 0 , z ) , 因为 M A M B ,
(4) 2 12 (7 z ) 2
解得
3 5 (2 z )
2 2
9
2
故所求点为 M (0 , 0 , 14 ) .
机动
目录
上页
下页
返回
解: 2×① －3×② , 得 x 2 a 3 b (7 , 1,10) 代入②得 1 y (3 x b ) (11, 2 ,16) 2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例3. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
及实数 1, 如图所示
A M B
中点公式:
x1 x2 , 2
y1 y2 , 2
z1 z 2 2
机动 目录 上页 下页 返回
B M
结束
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 设 r ( x , y , z ), 作 OM r , r OM OP OQ OR 由勾股定理得 r OM 对两点 与 因
第八章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数
第二部分
空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
第八章
二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
OM ON NM OA OB OC
r x i y j z k (x , y , z )
(点积) .
机动
目录
上页
下页
返回
结束
b 在 a 上的投影为
b
故
记作
b Pr ja
b a b a Pr ja 同理 ,当 b 0 时,
2. 性质
a 0, b 0
则 a b 0
则有
(1) a a (2) a , b 为两个非零向量,
a b 0
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 a5
s
a2 a1
机动
目录
上页
下页
返回
结束
2. 向量的减法
a
三角不等式
机动
目录
上页
下页
返回
结束
3. 向量与数的乘法 规定 :
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
机动 目录 上页 下页
1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式: M x1 x2 y1 y2 , , B 1 1 z1 z 2 o 1 A
说明: 由
当 1 时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
M1 M2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M 2 M 3 (5 7) 2 (2 1) 2 (3 2) 2 6 M 1M 3 (5 4) 2 (2 3) 2 (3 1) 2 6 M 2 M 3 M 1M 3
即 M 1M 2 M 3 为等腰三角形 .
机动 目录 上页
M1 M2
下页
坐标轴上的点 P, Q , R ;
z
坐标面上的点 A , B , C
R(0,0, z )
B(0, y, z )
C ( x, o, z )
o
r
M
Q(0, y,0)
y
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z
坐标轴 :
o
y
x
坐标面 :
机动
目录
上页
下页
返回
结束
2. 向量的坐标表示
两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a (b c)
c
bc
b ab
三角形法则:
a
ab
b
ab
b
a
运算规律 : 交换律
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
平行向量对应坐标成比例: 当 a 0 时,
四、利用坐标作向量的线性运算
bx a x by a y bz a z
bx b y bz ax a y az
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 ① 5x 3y a ② 3x 2 y b 其中 a （ 2， 1， 2 ） ,b （ 1， 1， 2 ） .
机动
任取空间一点 O ,
称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
a , b 的夹角.
z
o x
目录 上页 下页 返回
r
y
结束
x x cos r x2 y2 z 2 y y cos r x2 y2 z 2 z z cos r x2 y2 z 2
3
,
2 cos 2 3 4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例8. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 轴 y 轴的夹
, , 角依次为 3 4 且 O A 6 , 求点 A 的坐标 .
, 则 , 解: 已知 3 4 cos 2 1 cos 2 cos 2 1 4
c0
时, 显然成立 ;
当c 0时
a Pr j b a b c c Pr jc a b c Pr jc c
b ac bc a c Pr jc c Pr jc
可见 a a 总之: 1a a ; 运算律 : 结合律 ( a ) ( a ) a 1 a a ; 分配律 (a b ) a b 1 a . 则有单位向量 a a a a a 因此
结束
例6. 已知两点
解: A B
和
求
AB
AB 3 1 2 , , 14 14 14
1 (3 ,1, 2) 14
机动
目录
上页
下页
返回
结束
2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. x x cos r x2 y2 z 2