曲线的凸性和拐点
微积分 第四章 第五节 曲线的凸性、拐点与渐近线
曲线 在 [0,) 为下凸的；
点(0,0)是曲线的拐点.
y
y x3
Ox
7
例2 求曲线 y 3x4 4 x3 1的凹凸区间及拐点.
解 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36 x( x 2).
3
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
， ex(1) y e x (1 )e y
取 ，即得 ． 1
ex ey
x y
e 2
2
2
11
故 (0, 0) 不是拐点.
所以曲线无拐点.
y
y 3 x2
o
x
10
利用函数曲线弧的凹凸性可以证 明一些不等式
*例 4
试证明 ex
ey
x y
e 2
，其中 x
y．
2
证 令 y ex ，显然 y ex 0 ，所以 y 在 ex (,) 上是凹的，
据定义有，对于任意 x y 及 (0,1) ，有
第五节 曲线的凸性与拐点
一、曲线的凸性与拐点
问题:如何研究曲线的弯曲方向? y
o
x
1
曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向.
设 f ( x) 是定义在区间 I 上的函数， P1 , P2 是曲线 C：
y f ( x) ( x I ) 上的任意两点, 线段 P1P2 称为曲线 C 的
弦，C 上介于 P1 , P2 之间的曲线段 P1P2 称为 C 的弧.
y f (x)
o x1 x1 x2 x2
2
xo
x1 x1 x2 x2
曲线的凹凸性与拐点【一元分析学经典讲义】
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例1 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 . 解 ∵ y′ = 3 x 2 , y′′ = 6x ,
当x < 0时， y′′ < 0,
∴ 曲线 在(−∞ ,0]为上凸的； −∞ 为上凸的；
当x > 0时， y′′ > 0, ∴曲线 在[0,+∞ )为凸的；
注意到, 注意到 点( 0,0 )是曲线由凹变凸的分界 点.
则 f ′′( x ) = [ f ′( x )]′在x0两边变号 ,
∴ f ′( x )在x0取得极值 ,由可导函数取得极值的 条件,
∴ f ′′( x0 ) = 0.
方法1: 方法1:设函数 f ( x )在x0的邻域内二阶可导 , 且f ′′( x0 ) = 0,
(1) x0两近旁 f ′′( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点; ( 2) x0两近旁 f ′′( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
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图形上任意弧段位 于所张弦的上方
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I , 定义 设f ( x)在区间 上有定义 若∀x1 , x2 ∈ I和∀λ ∈(0,1) 恒有 f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf ( x1 ) + (1 − λ) f ( x2 ), 那末称 f ( x)为I上的下凸函数 简称凸函数 ; ，
( 理2 定 2 如 f (x)在 x0 − δ , x0 + δ )内 在 阶 理 果 存 二 导
( x0 , f ( x0 ))是拐点的必要条件是f "( x0 ) = 0. 数则 , 点
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y y
o
x
o
x
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y y
o
凹
x
o
x
弦在曲线上方
凸
弦在曲线下方
一、曲线凹凸的定义
凹
y f ( x1 )
凸
f ( x)
y
f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x2 )
x1 x 2 x x 2 2
o
x1 x1 x 2 2
x2 x
o
x1
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
一、曲线凹凸的定义
对 I 上任意两点x1 , x2， 定义1：若函数 f ( x)在区间 I上连续，
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) （1）如果恒有 f ( 2 ) 2 那么称 f ( x)在 I 上的图形是凸的。
_
（2）如果恒有 那么称
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
f ( x )的极值点. 拐点：
凹
f ( x) 0
凸
f ( x) 0
f ( x )
f ( x )
拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的 点.
四、计算凹凸区间与拐点的步骤
1）求函数的定义域； 2）求 f ( x)； 3）求出 f ( x) 0的点，和 f ( x) 不存在的点；
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点在数学中，曲线的凹凸性以及拐点对于研究曲线的性质和变化具有重要的意义。
凹凸性可以帮助我们理解曲线的弯曲程度以及变化趋势，而拐点则是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该处发生方向的变化。
本文将介绍曲线的凹凸性与拐点的概念，以及它们在数学和其他实际应用中的重要性。
一、凹凸性的定义与判断凹凸性是描述曲线在某一区间上的弯曲程度的性质。
我们有以下两个定义来判断曲线的凹凸性：1. 凹曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线上方，则称该曲线为凹曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凹曲线。
2. 凸曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线下方，则称该曲线为凸曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凸曲线。
凹凸性的判断可以通过曲线的二阶导数来进行。
如果曲线的二阶导数大于0，则曲线为凹曲线；如果二阶导数小于0，则曲线为凸曲线。
而当二阶导数恰好为0时，需要考虑其他方法。
二、拐点的定义与判断拐点是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该点处方向发生改变。
我们有以下定义来判断曲线是否存在拐点：1. 拐点：如果曲线在某一点处既没有切线也没有二阶切线（即曲线在该点处没有明确的方向），则称该点为拐点。
判断曲线是否存在拐点可以通过曲线的三阶导数来进行。
如果曲线的三阶导数存在不连续的点，则该点即为拐点。
值得注意的是，如果曲线的三阶导数的符号在该点的左右两侧不同，也可以判断该点为拐点。
三、凹凸性与拐点的应用与意义凹凸性和拐点不仅仅在数学领域中有重要性，还被广泛应用于其他学科和实际问题中，如物理学、经济学等。
在物理学中，凹凸性可以帮助解释某一物体的形状和弯曲程度，例如在光学中，曲率半径越小的曲面会导致光线的弯曲程度越大。
因此，通过研究光线在曲面上的传播可以利用凹凸性来分析光的折射和反射现象。
在经济学中，凹凸性可以用来描述供需曲线的变化趋势。
曲线的凹凸性与拐点
曲线上的
七、作业
知识回顾 Knowledge Review
若函数上连续在内具有一二阶导数则1若果在内有2若果在内有拐点三拐点拐点
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
yoxFra bibliotekox
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
凹
弦在曲线上方
o
x
凸
弦在曲线下方
那么称 f (x)在 I上的图形是凹的。
二、曲线凹凸的判定
观察：
y
y
o
x
凹：切线的的斜率递增 f (x) 递增，即 f (x) 0
o
x
凸：切线的的斜率递减 f (x) 递减，即 f (x) 0
二、曲线凹凸的判定
定理：若函数f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一、 二阶导数，则
（1）若果在(a, b)内有 f (x) 0， 那么 f (x)在[a,b]内图像是凸的.
（2）若果在(a, b)内有 f (x) 0， 那么 f (x)在[a,b]内图像是凹的.
三、拐点
拐点：连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点。 拐点
凸凹
凸
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
4）判断二阶导数在上述点左右两侧的符号，确定曲 线的凹凸区间和拐点。
五、应用举例
例判断函数 f (x) 2x3 3x2 36x 25的凹凸区间与拐点.
六、小结
1.凹凸的定义：曲线与弦的位置关系 点和弦上点的位置关系 2.凹凸的判定：二阶导数的符号；
《高等数学》曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点上一节我们利用导数研究了函数的单调性和极值。
函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升和下降，但曲线在上升或下降的过程中还有一个弯曲方向的问题。
例如，图143--中有两条曲线弧，虽然它们都是上升的，但图形却有显著不同，ACB 是向上凸的曲线弧，而ADB 是向上凹的曲线弧，它们的凹凸性不同，接下来我们就来研究曲线的凹凸性及其拐点。
一、曲线凹凸性的定义从几何上看，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联结着两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方（图)(243a --），而有的曲线弧，则正好相反（图)(243b --）。
曲线的这种性 图143-- 质就是曲线的凹凸性 。
因此曲线的凹凸性可以用联结曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述，下面给出曲线凹凸性的定义。
)(a )(b图243--定义1 设)(x f 在区间I 连续，若对于I 上任意两点1x 和2x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；若恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。
一般情况下，在函数的整个定义域内，其曲线的凹凸性并不一致。
通常把连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。
二、曲线凹凸性的判定曲线的凹凸性有明显的几何特征。
当x 逐渐增加时，对于凹曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐增加的（如图)(343a --），即导函数)(x f '是单调增加函数；而对于凸曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐减少的（如图)(343b --），即导函数)(x f '是单调减少函数。
与此几何特征相对应，有下述判断曲线凹凸性的定理。
)(a )(b图343--定理1 设函数)(x f 在I 内具有一阶和二阶导数，若在I 内 （1）0)(>''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凹的； （2）0)(<''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凸的。
曲线的凹凸性与拐点
o
x
凸：切线的的斜率递减 f (x) 递减，即 f (x) 0
二、曲线凹凸的判定
定理：若函数f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一、 二阶导数，则 （1）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
那么 f (x)在[a,b]内图像是凸的. （2）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
o
x
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
凹
弦在曲线上方
o
x
凸
弦在曲线下方
一、曲线凹凸的定义
凹
y f ( x1)
f (x) f (x2 )
那么 f (x)在[a,b]内图像是凹的.
三、拐点
拐点：连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点。 拐点
凸凹
凸
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
三、拐点
拐点
凸
f (x) 0
凹
f (x) 0
凸
f (x) 0
f (x)
f (x)
f (x)
拐点：f (x)的极值点.
拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的 点.
凸
y
f (x)
f ( x1)
f (x2 )
o x1 x1 x2 2
x2 x
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
2
2
o x1
x1 x2
曲线的凹凸性及曲率
第十八页
例3. 描绘
解: 1) 定义域为
的图形.
无对称性及周期性.
2) y x2 2x , y 2x 2,
令 y 0,
令 y 0,
1 1 2 3
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y
0
0
y
0
y
2
4 3
x 1 3 (极大)
2a
即抛物线的顶点处曲率最大
第二十六页
4、2 曲率圆与曲率半径
设 P 为曲线 C 上任一点 , 在点 y
D
P 处作曲线的切线和法线, 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使
C
R P1
P
T
DP R 1
o
x
K
R lim s
s0
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 P 处的
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.
(3) 若 ( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y f ( x) 的拐点， 且 f ( x) 在 x0 连续，则 f ( x0 ) 0 ，
第七页
求拐点的一般步骤：
①求函数的二阶导数 f (x) ；
②令 f (x) 0，解出全部根，并求出所 有二阶导数不存在的点；
③对步骤②求出的每一个点，检查其左、 右邻近的 f (x) 的符号，如果异号则该点为曲 线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．
的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一 点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸
的．
y
y f (x) B
y f (x)
y
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【导语】
前面我们研究了函数的单调性．但同样是上升(或下降)的曲
线弧却有不同的弯曲状况，如图，弧 ACB 向上弯曲， 弧 ADB 却
向下弯曲．本节主要研究曲线的弯曲状况，即曲线的凸性．
【正文】
§4.7 曲线的凸性和拐点(1)
在一些曲线弧上，如果任取两点，则连接这两点间的弦总位于这两点间的弧段上方（如图(1)）
，而有的曲线弧，则正好相反（如图(2)）．曲线的这种性质就是曲线的凸性．
定义2 设函数()f x 在(,)a b 上有定义．如果对任意的12,(,)x x a b ∈，及任意的01α≤≤，都有
1212((1))()(1)()f x x f x f x αααα+−+−≤
成立，则称函数)(x f 在区间),(b a 内下凸，(,)a b 称为函数()f x 的下凸区间；
如果对任意的12,(,)x x a b ∈，及任意的01α≤≤，都有
1212((1))()(1)()f x x f x f x αααα+−+−≥
成立，则称)(x f 在区间),(b a 内上凸，(,)a b 称为函数()f x 的上凸区间．
Remark1 若函数)(x f 在区间),(b a 内下凸，则曲线)(x f y =也称为区间),(b a 内的下凸曲线．
Remark2 可以证明：若函数()f x 在区间(,)a b 上是下凸函数，则()f x 在区间(,)a b 上连续． Remark3 可以证明：函数)(x f 在区间),(b a 内下凸的充分必要条件是：对任意的12,,,(,)n x x x a b ∈ ，及任意n (2)n ≥个非负数12,,,n ααα ，121n ααα+++= ，都有
11221122()()()()n n n n f x x x f x f x f x αααααα++++++ ≤
成立．
例1 用定义证明函数2()f x x =是下凸函数．
证 设,αβ非负，且1αβ+=，则
21212()()f x x x x αβαβ+=+
221122()2()x x x x ααββ=++
22221122()()()x x x x ααββ+++≤
2212
()()x x ααββαβ=+++ 221212()().x x f x f x αβαβ=+=+
所以2()f x x =是下凸函数．
如果函数)(x f 在区间),(b a 内具有二阶导数，
那么可以利用二阶导数的符号来判定函数的凸性．
定理10 设函数)(x f 在区间),(b a 内具有二阶导数．
（1）若当),(b a x ∈时，0)(>′′x f ，则函数)(x f 在区间),(b a 内下凸；
（2）若当),(b a x ∈时，0)(<′′x f ，则函数)(x f 在区间),(b a 内上凸．
定义3 设))(,(00x f x M 为曲线)(x f y =上一点．若曲线在点M 的两侧有不同的凸性，则点M 称为曲线)(x f y =的拐点．
注 极值点和驻点是指x 轴上的点，而拐点是指曲线上的点．
定理11（拐点的必要条件） 若函数)(x f 在0x 的某个邻域0(,)U x δ内具有二阶导数，
且))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点，则0)(0=′′x f ．
0)(0=′′x f 仅仅是拐点的必要条件．例如，对于函数4x y =，由于2120y x ′′=≥，因此曲线4x y =在),(∞+−∞内是下凸的，这时虽然0)0(=′′y ，但)0,0(并不是该曲线的拐点．
定理12 设函数)(x f 在0x 的某个邻域内具有二阶导数，且0)(0=′′x f ．如果)(x f ′′在0x 的左、右两侧异号，那么))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点；如果)(x f ′′在0x 的左、右两侧同号，那么))(,(00x f x 不是曲线)(x f y =的拐点．
对于)(x f ′′不存在的点0x ，))(,(00x f x 也可能是曲线)(x f y =的拐点．
判别曲线的凸性与拐点的一般步骤如下：
① 确定函数的定义域； ② 求)(x f ′′，并找出定义域内0)(=′′x f 与)(x f ′′不存在的点，这些分界点将定义域分成若干区间；
③ 列表，由)(x f ′′在分界点两侧的符号判别曲线的凸性与拐点．
【本讲总结与下讲预告】。