2014年中考专题--二次函数中的面积问题
O
A
Q P B
x
例3 已知二次函数的图象如图， （1）求二次函数的解析式 ；
5 4 1 2 3 -1 N -2Ｃ M -3
x
【解】（１） 由图象看出A（-1，0），B（2，0） C （O，-2） 设抛物线解析式为：y=a（x- 2）（ｘ＋１）Ｃ在 抛物线上，∴ａ＝１ ∴抛物线解析式为：ｙ＝ｘ２－ｘ－２
9 其中 0＜t＜ 4
例3 已知二次函数的图象如图， （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P 使△ PAC为Rt△ ？若存在，求出所有符合条 件的点P的坐标；若不存在，说明理由。
解 ：设P（m，n）则ｎ＝ｍ２－ｍ－２ １）当Ｒｔ△ ＰＡＣ是以ＰＣ为斜边时 有ＰＣ２＝ＰＡ２＋ＡＣ２ 即ｍ２＋（ｎ＋２）２＝（ｍ＋１）２＋ｎ２＋５ 把ｎ＝ｍ２－ｍ－２ 代入得 y 5 4 3 2 1
Q
A
P
B
例4:如图、等腰直角三角形的腰长和正方形的边长为 4，等腰三角形以2米/秒的速度沿直线向正方形移动， 直到AB与CD重合。设x秒时，三角形与正方形重叠部分 的面积为y平方米. (1)写出y与x的函数关系式及自变量的取值范围
m
5 2
或
7 n 4 ∴点Ｐ１（ 5 ， 7 ） 4 2
ｍ＝－１ （舍） -3 ｎ＝０
Q B A -2 -1 O 1 2 3 -1 N -2Ｃ M -3
x
２）当Ｒｔ△ ＰＡＣ以ＰＡ为斜边时 则 ＰＡ２＝ＰＣ２＋ＡＣ２ 即（ｍ＋１）２＋ｎ２＝ｍ２＋（ｎ＋２）２＋５ 把ｎ＝ｍ２－ｍ－２代入得
3 m 2
(1)设运动开始后第t秒钟后,五边形QPBCD的面积为Scm2, 写出S与t的函数关系式; t为何值时,S最小?最小值是多少? (2)求四边形QAPC的面积； 提出一个与计算结果有关的结论；
D Q
A C
P
B
例5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x 轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，与y轴交 于点M。抛物线的顶点为P，且PB=2 5 。
∴ 花圃宽为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6）
4ac b 2 b (2)当x＝ 2a 3 时，S最大值＝ 4a
A
D
B
C
＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6 ∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
例3、在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发， 沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出 发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在 分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： （1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2 （2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2， 写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； D C （3）t为何值时S最小？求出S的最小值。
（2）求S△ABC （3）在抛物线上（除点C外）， 是否存在点N，使得 S△NAB = S△ABC， 若存在，求出点N的坐标， 若不 存在，请说明理由。
A O C
B
x
.N1
抛物线上的面积问题
已知二次函数 y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点 （A在B的左边），与y轴交于点C.
y
（4）若点P是抛物线的顶点, 求四边形ACPB的面积.
（2）①抛物线顶点在 x 轴上 y=a（x+m）2
② 顶点在 y 轴上（对称轴是 y 轴） y=ax2+c y=ax2+bx ③图象经过原点 ④ 图象的顶点在原点 y=ax2
抛物线上的面积问题
已知二次函数 y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点 （A在B的左边），与y轴交于点C. (1)求出点A、B、C的坐标 y .N2 及A、B的距离 .N3
A O
NB
x
（5）设M（a，b）（其中0<a<3）是 抛物线上的一个动点，试求四边 形OCMB面积的最大值， 及此时点M的坐标。
C
Q
P
.M
y
y
y
A C
O
B
x
A C
O
B
x
A
O C H P
B
x
P
P
练习:运动中的面积问题
在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边 从点A出发向B以2cm/秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开 始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒 表示移动的时间（0＜t＜6）那么：
2014年中考专题
二次函数中的面积问题
y=ax2+c y=ax2 直线x=0
y=a（x+m）2 ∆=0
y=ax2+bx C=0
A B C D （1）你能说出上列的函数的图象对应是下面哪个的函数的 解析式？ ① y=ax2+c ② y=ax2 ③y=a（x+m）2+k
④ y=a（x+m）2
⑤y=ax2+bx
1 9 ，－ ） 2 4
y 5 4 3 2
1 Q B 3 A ｙ＝ ｘ－３ 2 -3 -2 -1 O 1 2 3 ∵QＮ=t ∴把ｙ＝ｔ代入直线 -1 N ＭＢ的解析式， 2 -2Ｃ M 得ｘ＝２－ ｔ -3 3 1 1 2 ∴S＝ ×２×１＋ （２＋ｔ）（2－ t） 2 2 3
x
1 2 1 即S＝- t ＋ t ＋3 3 3
或
ｍ＝０ （舍） ｎ＝－２ y 5 4 3
5 n 4
3 ∴点Ｐ２（ 2
， 5 4 ）
2
Q B A -2 -1 O 1 2 3 -1 N -2Ｃ M -3 1
∴存在符合条件的点Ｐ，坐标为 ∴点Ｐ１（ 5 ， 7 ） 4 2
-3
x
3 Ｐ２（ 2
，
5 4
）
例3:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N 作x轴的垂线， 垂足为Q，当点N在线段BM上运动时（不与点B、点M 重合）设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S 与ｔ间的函数关系式及自变量的取值范围；
解（2）设过B（2，0） M（ 的解析式为：ｙ＝ｋｘ＋ｂ 3 则 ｋ＝ ｂ＝－３ 2 ∴直线ＢＭ的解析式为：
中考数学总复习《二次函数中的面积问题》专题训练-附答案
中考数学总复习《二次函数中的面积问题》专题训练-附答案 学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知顶点为325,28M ⎛⎫ ⎪⎝⎭的抛物线过点()3,2D ，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C 、点P 是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线AD 上方时，求PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．2．在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点(6,0)E ，y 的最大值为9，点A 在x 轴正半轴上，点A 向右平移2个单位得到点B ，过点A ，B 作x 轴的垂线分别交抛物线于点D ，C ，设A 的坐标为(,0)t ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若OAD △与BCE 的面积分别记作1S 和2S ，当04t <<时，求12S S +的值；(3)若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积记作S ．①当04t <<时，求S 的最大值；①当3t ≥时，直接写出14S =时t 的值．4．如图，直线210y x =-分别与x 轴，y 轴交于点A 和B ，点C 为OB 的中点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，C 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 是直线AB 上方的抛物线上的一点，且ABD 的面积为452． ①求点D 的坐标；①点P 为抛物线上一点，若APD 是以PD 为直角边的直角三角形，求点P 到抛物线的对称轴的距离．5．如图，在Rt ABC △，90ABC ∠=︒该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数2y ax bx c =++过(1,0)A -，(0,2)B 和(4,0)C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 为该二次函数第一象限上一点，当BCP 的面积最大时，求P 点的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -，(4,0)B 和(0,4)C 三点．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标：(2)在抛物线的对称轴上探求一点M 的坐标，使得点M 到点A 、点C 的距离之和最小；(3)在直线BC 上方的抛物线上探求一点P ，使得PBC 的面积最大，并求出PBC 的面积的最大值．7．在如图所示平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点()0,3C -．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，求PBC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)将该抛物线向上平移433个单位得到新的抛物线，点E 是新抛物线上一点，点F 是已知抛物线对称轴上一点，若以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形，写出点E 的坐标，并把求其中一个点E 的过程写出来．8．抛物线2y ax x c =-+与x 轴交于点()4,0A -和()2,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)若点D 为第二象限内抛物线上一动点，点D 的横坐标为m ，四边形AOCD 的面积为S ．求S 关于m 的函数解析式，并求出S 的最大值．9．已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过原点()0,0和()()1,3,1,5A B --三点．(1)求抛物线的解析式．(2)设抛物线与x 轴的另一个交点为C ．以OC 为直径作M ，如果过抛物线上一点P 作M 的切线PD ，切点为D ，且与y 轴的正半轴交于点E ，连接MD ．已知点E 的坐标为()0,m ，求四边形EOMD 的面积．（用含m 的代数式表示）(3)延长DM 交M 于点N ，连接,ON OD ，当点P 在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得DON EOMD S S =△四边形？请求出此时点P 的坐标．10．如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点()1,0A -和点()0,5B -．(1)求该二次函数的解析式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得ABP 的周长最小，请求出点P 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点M ，使ACM ABC SS =若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．为抛物线上一点，且ABP的面积为13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过()4,0A -，()0,4B -和()2,0C 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式(3)求出S 的最大值；14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(2)3y x k =--+（k 为常数）的顶点为C ，与x 轴交于点(1,0)A -和点B ；点D 在抛物线上，且位于抛物线上点A ，C 之间（不与点A ，C 重合），回答下列问题：(1)求点B 的坐标；(2)求ACB △的面积；(3)若ACD 的周长为14，则四边形ABCD 的周长为________．15．抛物线22y x x m =-++与x 轴交于点A 和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．(1)求m 的值；(2)求BCD △的面积；(3)若点P 是抛物线上的一点，当点P 在直线BC 的上方的抛物线上运动时，PBC 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由．第 11 页 共 13 页参考答案： 1．(1)213222y x x =-++ (2)PAD S ∆有最大值4，此时点P 的坐标为()13，．2．(1)抛物线的函数表达式为26y x x =-+(2)当04t <<时1216S S +=(3)①当2t =时，S 有最大值16；①3t =或 5.5t =3．（1）24y x x =-+；（2）()2520299y x =--+；（3）()44D ,或()4,7D 或()4,1D -或()1,1D -- 4．(1)265y x x =-+-(2)①()2,3D ；①0或152+或512- 5．(1)抛物线的解析式为213222y x x =-++； (2)当BCP 的面积最大时()23P ，．6．(1)234y x x =-++ 325,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)当点P 坐标为()2,6时，PBC S 最大，最大值为8．(2)PBC的面积取值最大值为点E的坐标为．(1)1y=-2第12页共13页第 13 页 共 13 页 14．(1)(5,0)(2)18(3)20 15．(1)3m =(2)3(3)PBC S 有最大值，最大值为278 315,24P ⎛⎫⎪⎝⎭。
二次函数中的面积计算问题(包含铅垂高)
(D)二次函数中的面积计算问题【典型例子】例如，如图所示，二次函数2y x bx c =++图像x 在A 和B 两点（A 在B 的左边）与y 轴相交，在C 点与轴相交，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形，图像的对称轴是一条直线2-=x ，该点P 是两点之间抛物线上的移动点,A C ，则PAC ∆面积的最大值为（C ）A.274 B. 112C 。
278D.3 二次函数中常见的面积问题类型：1.选择填空的简单应用2.不规则三角形的面积用S=3.使用4.使用相似的三角形5.使用分割法将不规则图形转为规则图形例 1如图 1 所示，已知正方形ABCD 的边长为 1 ， E , F , G , H 为每边的点， AE=BF=CG=DH ，设面积为小s 正方形EFGH 为, AE 为x , 那么about s 的x 函数图大致为 (乙)示例 2.回答以下问题：如图1所示，抛物线的顶点坐标为C 点( 1,4 )，与x 轴相交于A 点( 3 , 0)，与y 轴相交于B 点。
抛物线和直线AB 的解析公式；(2)求△ CA AB 和S △ CAB 的垂直高度CD ；(3)假设点P 是抛物线上（第一象限）上的一个移动点，是否存在点P ，使得S △ PA B = 89S △ CA B ，如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请解释原因。
思想分析这个问题是二次函数中的常见面积问题。
该方法不是唯一的。
可以使用截补法，但是有点麻烦。
如图第10题xyABCOM图1B铅垂高水平宽ha图2A xC Oy ABD 112所示，我们可以画出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆即三角形的面积等于水平宽度与前导垂直乘积的一半。
掌握了这个公式之后，思路就直截了当，过程也比较简单，计算量也相对少了很多。
答： （1）据已知，抛物线的解析公式可以设为y 1 = a ( x - 1 ) 2+ 4 ( a ≠ 0 ) 。
将A (3, 0)代入解析表达式，得到a = - 1 ，∴抛物线的解析公式为y 1 = - ( x - 1 ) 2+ 4，即y 1 = - x 2+2 x +3。
中考数学压轴题：二次函数中的面积问题(含答案)
学生/课程年级日期学科时段课型数学授课教师核心内容二次函数中求面积最值，图形平移或折叠面积问题1.会利用函数的图象性质来研究几何图形的面积最值问题；教学目标重、难点2.掌握几种求图形面积的常见解题方法与技巧，如：割补法、平行等积变换法等。
3.掌握图形平移或折叠变换过程中找等量关系列函数解析式求图形面积问题的一般方法．割补法求三角形面积，动态问题一般解题思路。
了解学生的学习情况S△ = a h或S△ = a d (d表示已知点到直线的距离)以动点作垂直(平行)x轴的直线，即铅垂高，再分别过点A,C作PF的高，即和为水平宽。
S△ = ×水平宽×铅垂高如下图：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．如图，AD∥BC中，AC与BD交点O，则S△ABC = S△DBC，S△AOB = S△COD2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx －8mx＋4m＋2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x ，10），C（x ，0），且x －x ＝4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线，直线AD2 2 1的交点分别为P，Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值．图形面积的求法常见有三种，分别是：(1)_______________________________(2)_______________________________(3)_______________________________[学有所获答案] (1)直接公式求法 割补法 平行线等积变换法(2)(3) 2 如图，已知抛物线y ＝x ＋bx ＋c 与 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与 轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ，点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点（点P 在第三象限）（1）求抛物线的函数表达式和直线BC 的函数表达式；（2）当△CDE 是直角三角形，且∠CDE ＝90°时，求出点P 的坐标；（3）当△PBC 的面积为 时，求点E 的坐标．2 如图，已知抛物线y ＝ x ＋ax ＋4a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴负半轴交于点C 且OB ＝OC ，点P 为抛物线上的一个动点，且点P 位于x 轴下方，点P 与点C 不重合．（1）求该抛物线的解析式；（2）若△PAC 的面积为 ，求点P 的坐标；（3）若以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形面积记作S ，则S 取何值时，对应的点P 有且只有2个?将（）的图像如何平移到的图像。
中考压轴复习：二次函数中的面积问题
二次函数中的面积问题一、运用∣y ∣.1. 已知二次函数y=-x 2+2x+3的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 、C 三点.(1)若D 为抛物线上的一动点(点D 与点C 不重合)，且S △ABD =S △ABC ；求点D 的坐标.(2)点N 为直线BC 上方的二次函数图象上的一个动点（点N 与B 、C 不重合），过点N 作y 轴的平行线交BC 于点F.若点N 的横坐标为m ，请你表示出△NBC面积，并求出△NBC 面积的最大值.二、运用s=21（水平宽⨯铅垂高） 2. 如图，抛物线213222y x x =--的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．三、运用相似3．（广东）如图，抛物线213y=x x 922--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作直线l 平行BC ，交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．四、运用分割方法1．已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C 其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．2．将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G ，使△AGC 的面积与（2）中△APE 的最大面积相等?若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．x(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．4．已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C 其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．五、运用等积变形 4.（湖北十堰）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． A Cx y B OA B O P Mx y3 －3 2 －2 (1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋mx ＋n 经过点A (3，0)、B (0，－3)，点P 是直线AB上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ．(1)分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式． (2)若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积．(3)是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．6. (浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．7.【恩施】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值； A（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．8.（宁波）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2,2），点B的坐标为（6，6）,抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E，（1）求点E的坐标（2）求抛物线的函数解析式（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求⊿BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标（4）连结AN，当⊿BON面积最大时，在坐标平面内求使得⊿BOP与⊿OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标。
中考二次函数面积最值问题(含答案)
For personaluse only in study and research; not for c o m m e r c i a l u s e 之樊仲川亿创作创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日二次函数最值问题例1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积S(单位：cm 2)随x(单位：cm)的变更而变更． (1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；(2)当x 是多少时，这个三角形面积S 最大?最大面积是多少? 解：（1）x 02x 212+-=S（2）∵a=21-<0 ∴S 有最大值∴0221202a2b x =-⨯-=-=）（∴ S 的最大值为200200220212=⨯+⨯-=S∴当x 为20cm 时，三角形面积最大，最大面积是200cm 2。
2.如图，矩形ABCD 的两边长AB =18cm ，AD =4cm ，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 2）.（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）求△PBQ 的面积的最大值. 解：（1）∵S △PBQ =21PB ·BQ,PB=AB －AP=18－2x ，BQ=x ，∴y=21（18－2x ）x ，即y=－x 2+9x （0<x ≤4）;（2）由（1）知：y=－x 2+9x ，∴y=－(x －29）2+481,∵当0<x ≤29时，y 随x 的增大而增大，而0<x ≤4，∴当x=4时，y最大值=20，即△PBQ 的最大面积是20cm 2.3．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P ，Q 两点同时出发，分别到达B ，C 两点后就停止移动． （1）设运动开始后第t 秒钟后，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围． （2）t 为何值时，S 最小？最小值是多少？解：（1）第t 秒钟时，AP=tcm ，故PB=（6﹣t ）cm ，BQ=2tcm ， 故S △PBQ =•（6﹣t ）•2t=﹣t 2+6t∵S 矩形ABCD =6×12=72．∴S=72﹣S △PBQ =t 2﹣6t+72（0＜t ＜6）；（2）∵S=t2﹣6t+72=（t﹣3）2+63，∴当t=3秒时，S有最小值63cm．4．在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成如图，若设花园的BC边长为x（m）花园的面积为y（m2）（1）求y与x之间的函数关系式，并求自变量的x的范围．（2）当x取何值时花园的面积最大，最大面积为多少？解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∵BC=xm，AB+BC+CD=40m，∴AB=，∴花园的面积为：y=x•=﹣x2+20x（0＜x≤15）；∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣x2+20x（0＜x≤15）；（2）∵y=﹣x2+20x=﹣（x﹣20）2+200，∵a=﹣＜0，∴当x＜20时，y随x的增大而增大，∴当x=15时，y最大，最大值y=187.5．∴当x取15时花园的面积最大，最大面积为187.5．5.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4） 易知CN=4-x ，EM=4-y ． 过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴PHBHBF AF =，即3412--=y x， ∴521+-=x y ，x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ．6．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡局面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡局面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为350x-米，设面积为S 平方米． ∴当25=x 时，3625max =S (平方米)即：鸡场的长度为25米时，面积最大．(2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x米，设面积为S 平方米．则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米)由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．7．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式． 解：∵∠APQ =90°, ∴∠APB +∠QPC =90°. ∵∠APB +∠BAP =90°,∴∠QPC =∠BAP ，∠B =∠C =90°∴△ABP ∽△PCQ.,86,yxx CQ BP PC AB =-=∴x x y 34612+-=．8.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变更而变更．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解：（1）根据题意，得x x x xS 3022602+-=⋅-= 自变量的取值范围是（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值当时，答：当为15米时，才干使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．9.较难如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，∴AB===10．如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t．∵PQ∥BO，∴，即，解得t=，∴当t=秒时，PQ∥BO．（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，∴，即，解得PD=6﹣t．S=AQ•PD=•2t•（6﹣t）=6t﹣t2=﹣（t﹣）2+5，∴S与t之间的函数关系式为：S=﹣（t﹣）2+5（0＜t＜），当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）．创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日。
最全二次函数中的面积问题(中考数学必考题型)
二次函数中的面积问题二次函数中的面积问题是中考的热点，面积问题如果是规则图形可以用常见的面积公式解决问题的就直接用面积公式，如果不能直接用面积公式在坐标系中处理面积问题，通常有以下三种思路：第一是割补法：分割求和、补形作差，其中用的最多的是铅垂线法；第二是同底等高利用平行线转化求面积；第三如果遇到的是面积比可以考虑用相似的性质得到线段比去解决相关问题。
【引例1】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【铅垂法】()11112222ABCACDBCDC D B A SSSCD AE CD BF CD AE BF y y x x =+=⋅+⋅=+=-⋅-【方法梳理】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D 坐标求得铅垂高； （5）12S =⨯水平宽铅垂高．二、转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ， 若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，PQ △AB ． 当P ,Q 在AB 异侧时，AB 平分PQPABQQBA PDEF OyxCBA 铅垂高水平宽DA BCxyOE三、面积比类型例1.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝x 2﹣6x +5经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ．若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△ABM 的面积等于△ABC 面积的，求此时点M 的坐标；例2.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．（1）过点P 作PH△x 轴交BC 边于点H ，求PH 的最大值；（2）求△PBC 面积的最大值（可以用铅垂线法和平行线法）；PyxO CB A变式1.如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D为抛物线的顶点，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，求△BCD 的面积；变式2.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3；与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，直线BC方程为y＝x﹣3．点P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求P 的坐标；变式3.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．变式4.如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．若点D为第四象限内二次函数图象上的动点，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．例3.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求出点P的坐标；【引例2】如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．当CP与x轴不平行时，求的最大值；（化斜为直）例4.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A和点B，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF ＝3：2时，求点D的坐标．变式1.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．变式2.已知：如图，二次函数y＝﹣x2+x+4；点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE△AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；变式3.已知二次函数解析式为y＝3x2﹣3，直线l的解析式为y＝，点P 为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交AD于M，作PN△AD 于N，当△PMN面积有最大值时，求点P的坐标；例4.如图抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A（﹣1，0），点C（0，3），点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．变式1.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3．与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．若直线y＝mx﹣m﹣4将四边形ACDB的面积分为1：2两部分，则m的值为多少作业：1.已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（）A．1B．C．2D．42.已知抛物线y＝x2﹣x+3；经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△P AB 的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点，点P为线段MB上一个动点，过点P作PD△x轴于点D，若OD＝m．设△PCD 的面积为S，试判断S有最大值或最小值吗？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；。
2014年中考数学-二次函数的面积专题学习2
第四讲：二次函数的面积专项学习2一．典型例题解析例题1、二次函数625412+-=x x y 的图象与x 轴从左到右两个交点依次为A 、B ，与y 轴交于点C 。
（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）如果P(x ，y)是抛物线AC 之间的动点，O 为坐标原点，试求△POA 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）是否存在这样的点P ，使得PO=PA ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。
相应练习1.(2011杭州模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线4-2-2x x y =与直线x y =交于点A 、B ，M 是抛物线上一个动点，连接OM 。
（1） 当M 为抛物线的顶点时，求△OMB 的面积；（2） 当点M 在抛物线上，△OMB 的面积为10时，求点M （3） 当点M 在直线AB 的下方且在抛物线对称轴的右侧，M △OMB 的面积最大；例题2.（广东肇庆）已知抛物线2243m mx x y -+=（m >0）与x 轴交于A 、B 两点． （1）求证：抛物线的对称轴在y 轴的左侧；（2）若3211=-OA OB （O 是坐标原点），求抛物线的解析式； （3）设抛物线与y 轴交于点C ，若∆ABC 是直角三角形，求∆ABC 的面积．相应练习2.已知抛物线y=－x 2+2(m+1)x+m+3与x 轴有两个交点A ，B 与y 轴交于点C ，其中点A 在x 轴的负半轴上， 点B 在x 轴的正半轴上，且OA:OB=3:1。
（1）求m 的值；（2）若P 是抛物线上的点，且满足S ΔPAB =2S ΔABC ，求P 点坐标。
例题3.（上海市模拟）已知：抛物线2y ax bx c =++经过点()0,0O ，()7,4A ，且对称轴l 与x 轴交于点()5,0B .（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点E 、F 分别是y 轴、对称轴l 上的点，且四边形EOBF 是矩形，点55,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭是BF 上一点，将BOC ∆沿着直线OC 翻折，B 点与线段EF 上的D 点重合，求D 点的坐标；（3）在（2）的条件下，点G 是对称轴l 上的点，直线DG 交CO 于点H ，:1:4DOH DHC S S ∆∆=，求G 点坐标.相应练习3.（2011湖北荆州，22，9分）（本题满分9分）如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴是，B （4,2），一次函数1-=kx y 的图象平分它的面积，关于x 的函数k m x k m mx y +++-=2)3(2的图象与坐标轴只有两个交点，求m 的值.二、自我检查你好，老师希望你能独立的在十五分钟内完成下面的一道题，并进行检查以了解自己的学习情况。
中考复习之二次函数压轴之面积问题,含详细参考答案
二次函数压轴之面积问题问题简介：1.抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)，点B（3，0），与y轴交于点C，直线y＝kx-3，经过点B，C．(1)求抛物线的解析式(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求 PBC面积最大时点P的坐标；2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．（1）求A点、C点的坐标；（2）点P是第四象限内的抛物线上一点，连接AC，CP，BP，若四边形ACPB面积为63 8请求出此时点P的坐标；3.如图，抛物线y ＝24832999x x -++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为D ．点P 为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为m ，直线AD 交y 轴于点C ，过点P 作PF ∥AD ，交x 轴于点F ，PE ∥x 轴，交直线AD 于点E ，交直线DF 于点M ． （1）求直线AD 的表达式及点C 的坐标；（2）当四边形AFPE 的面积与△ADF 的面积相等时，求m 的值；4.如图，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）设点Q 是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q ，使S △QAB ＝S △CAB ，若存在，直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图1，抛物线y ＝12x 2+b x +c 与x 轴、y 轴分别交于点B （6，0）和点C （0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，其横坐标为m ，连接PB 、PC ，当△PBC 的面积为152时，求m 值；6.已知抛物线y ＝12x 2﹣3x +52与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上在第四象限的点，PBC S 13PAB S ∆∆=时．求点P 的坐标；7.已知二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A，B（点A在点B左侧），AB＝3，交y轴于点C，设抛物线的对称轴为直线x＝m，且m≥0．（1）用含m的代数式表示出点A、点B的坐标；（2）若抛物线上存在点P使得S△ABP＝S△ABC＝3（点P与点C不重合），且这样的点P 恰好存在两个，求此时抛物线的解析式；8．如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），且OA＝OC，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若M（﹣2，y）是抛物线上一点，P是抛物线上另一点（点P与点D不重合），当S△BDM＝S△BPM时，求出此时点P的坐标；9.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C在x轴上有一动点E（m，0）（其中m为实数，0＜m＜3），过动点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线解析式及点C的坐标；（3）连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM若△AEM的面积等于△MON面积的2倍，求m的值．10.如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，OB＝OC＝3OA．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点E的坐标为（0，7），若过点E作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H，直线y＝kx﹣2k﹣5（k≠0）与抛物线交于F、G两点，求当k为何值时，△FGH面积最小，并求出面积的最小值；参考答案1. 解：方法一：过点P 作PD||y 轴交BC 于点D ，设P(m ,m 2-2m -3),易知BC 的解析式为y =x -3，则D(m ,m -3)铅垂高PD=m -3-(m 2-2m -3)=-m 2+3m 水平宽x B -x C =3，S △PBC =32(-m 2+3m),当m =32时，△PBC 的面积取最大值，此时P(32，154-) 方法二：将BC 向下平移，当它与抛物线相切时，此时△PBC 的面积最大设平移后的直线l解析式为y=x+m 与抛物线y =x 2-2x -3联立得x 2-3x -(m+3)=0,此时△=0，即有9+4(m +3)=0，m =214-此时方程的根为x 1=x 2=32，P 点的坐标为(32，154-) 方法三：过点P 作EF||x 轴，过点B 作BF△EF 于点F ，设P(m,m 2-2m -3)S △PBC =S 四EFBO -S △BOC -S △PCE -S △PBF =32(-(m 2-2m -3)-12(3-m)(m 2-2m -3)-12m(-(m 2-2m -3-3)=32(-m 2+3m),当m =32时，△PBC 的面积取最大值，此时P(32，154-)2. 解：(1)A(-1,0),C(0,-3)(2)易知AB=4，OC=3，故S △ABC =6，而S 四ACBP =S △ABC +S △BCP ，故S △BCP =158设P(m ，m 2-2m -3)，直线BC 的解析式为y=x -3，过点P 作PD||y 轴交BC 于点D ，则D(m ，m -3)，PD=m -3-(m 2-2m -3)=-m 2+3m ，S △BCP =32(-m 2+3m)=158得m 1=12，m 2=52，此时P 点的坐标为(12，154-)或(52，74-)3. 解：(1)y =43x +83，C(0，83) (2) 作DG 、PH 垂直于x 轴于点G 、H ，P(m ，24832999m m -++)，PH=|24832999m m -++|S AFPE =AF∙PH ，S △ADF =12AF∙DG ，即有|24832999m m -++|=2，解得m 1=1+2，m 2=1-2(舍去)m 3=1+2,m 4=1-2(舍去)，故m 的值为1+2或1+24. 解：(1)y =-x 2+2x +3(2)作CD||y 交AB 于点D ，易知直线AB 的解析式为y =-x +3，故D(1，2)，S ABC =3， 方法一：设Q(m ，-m2+2m+3)则E(m,-m+3)，则QE=|-m 2+2m+3-(-m+3)|=|-m 2+3m|S ABQ =32|-m2+3m|=3，解得m 1=1,m 2=2，m 3=32，m 4=32，故Q 点的坐标为(1，4)或(2，3)或(32+，12-)或(32，12-+)5. 解：(1)y=12x 2-52x -3 (3) 易知直线BC 的解析式为y =12x -3设P(m,12m 2-52m -3)，E(m ，12m -3)，PE=12m -3-(12m2-52m -3)=-12m2+3m,S PBC =12∙6∙(-12m 2+3m)=152，解得m 1=1，m 2=56. 解：(1)A(1，0)，B(5，0)y ＝12x2﹣3x+52 (2)易知直线BC 的解析式为y=-12x+52,设P(m,12m2﹣3m+52)，则E(m,-12m+52),PE=-12m+52-(12m2﹣3m+52)=-12m2+52m ，S PBC =52(-12m2+52m)，而S PAB =2(12m2﹣3m+52),PBC S 13PAB S ∆∆=得22152(3)1225153()222m m m m -+=+7. 解：(1)A(m -1.5,0)B(m+1.5,0)(2)1.a <0时，x 轴下方恰好存在两个纵坐标为-2的点，而x 轴上方有且仅有一点C ，则C 为最高点时，满足题意，故b =0，对称轴为直线x=0，m =0，得a =-89,抛物线的解析式为y=-89x 2+22. a >0时，x 轴上方有一个纵坐标为2的点，x 轴下方有一个纵坐标为-2的点，故(m ,-2)为其顶点，设y=a (x -m )2-2，点B(m+1.5，0)和(0,2)代入得a =89，m=2,故抛物线的解析式为y =89(x-2)2-28. 解:(1)y=x 2+2x -3(2) 易知M(-2，-3)故直线BM 的解析式为y =35x -95，D(-1，-4)过点D 、P 分别作DE 、PF 平行于y 轴，E(-1，-125),故DE=85，S △BDM =12∙385=125，设P(m ,m 2+2m -3)则F(m ,35m -95) PF=|35m -95-(m 2+2m -3)|=|-m 2+135m+65|,故S △BMP =12∙3|-m 2+135m+65|=125,解得m 1=0,m 2=-3(舍),m 3=12-,m 4=12-+，故点P 的坐标为(0，-3)或(12-，12)或(12-+，12)9. 解：(1)y=-x 2+2x+3(3) E(m ，0)，M(m ，-m 2+2m+3),直线BM 的表达式为y=(-m -1)x+3m+3，x=0时，y=3m+3, 故N(0，3m+3),S AEM =21(1)(23)2m m m +-++,2S MON =(3m+3)m,即21(1)(23)2m m m +-++=(3m+3)m ，解得m=-2或-1(舍去负值)，故-210. 解：(1)y=-x 2+2x+3(2) 设直线EH 的解析式为y =mx +7，与抛物线y=-x 2+2x +3联立得x 2+(m -2)x +4=0，∆=0，即有(m -2)2=16，得m=-2或6(舍),y =-2x +7，H(2,3)而M(2,-5)，HM=8；联立y =kx -2k -5抛物线y =-x 2+2x +3得x 2+(k -2)x -2k -8=0，x F +x G =2-k ,x F ∙x G =-2k -8, x G -x FS FGH k =-2时，面积最小，最小值为。
二次函数综合问题——面积问题
专题5 二次函数综合问题——面积问题一、情景导入例：Y=x2-2x-3(以下分类的函数解析式)（1）和最小，差最大在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求P的坐标在对称轴上找一点P，使得PB-PC的和最大，求P的坐标（2）求面积最大连接AC，在第四象限找一点P，使得△ACP的面积最大，求P坐标（3）讨论直角三角形连接AC，在对称轴上找一点P，使得△ACP为直角三角形，求出P的坐标或者在抛物线上求出点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形二、坐标系中的线段距离1.竖直线段2.水平线段2121y y y y AB -=-=（纵坐标相减，上减下） 1221x x x x AB -=-=（横坐标相减，右减左）3.倾斜线段=AB)y ,2)2,y四．典例精析1【例1】如图，已知二次函数y=-x 2-2x+3的图象交x 轴于A 、B 两点（A 在B 左边），交y 轴于C 点。
（1）求A 、B 、C 三点的坐标和直线AC 的解析式；（2）点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A,C 重合），过点P 作y 轴平行线交直线AC 于Q 点，求线段PQ 的最大值；变式1：水平线段−−→−转化竖直线段 点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A,C 重合），过点P 作x 轴平行线交直线AC 于M 点，求线段PM 的最大值； 分析：PM=PQ ；变式2：斜线段−−→−转化竖直线段 CyBOAx(0,3)()0,145︒xyAB C OPM D(3,0)-Q点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A,C 重合），求P 点到直线AC 距离的最大值。
提示：作直线AC 的平行线l 与抛物线相切于点P.问题2：你能求出△PQH 周长的最大值吗？（三角形周长−−→−转化竖直线段）答案：)415,23(-∴P 829；PQmax=9/4；4)12(9+变式3：(三角形面积−−→−转化竖直线段) 点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A,C 重合），连接PA,PC,求△PAC 面积的最大值；答案：827【变式练习】（2014 ·重庆中考A 卷25题）如图，抛物线y= -x 2-2x+3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点。
中考压轴之二次函数中的面积问题,方法集锦与题型归纳
面积求解方法：1.定义法，适合可以直接看出底和高的规则图形； 2.割补法，适合不规则的图形； 3.铅垂法，普遍适用于求三角形面积； 方法１：定义法x y o AB AOB AOB A(4,0)(0,2)S =1OA=4OB=2S =24=42B ∆∆-⨯⨯已知，点和，则？解：，，方法２：补法ABC ABC BCD ABE DEFO AFOC A(6,1),B(3,5),C(0,2)S =A B D F S =S -S -S -S 11165-33-34-3622221=2x y ∆∆∆∆⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯矩梯已知，点则？解：过、作、轴的垂线于、两点＝x y o B CAD EF方法３：割法ABC ABC BCD ABD 12ABC A(6,1),B(3,5),C(0,2)S =B BD AC D S =S +S 137AC 2,D(3,)6223,3171721S =3322222x y x BD h h ∆∆∆∆∆=-+===⨯⨯+⨯⨯=已知，点则？解：过作垂直于轴交于点直线：故x y o BC AD 1h 2h方法４：铅垂法D |H 1=D H 2B A x x PMS ∆-=⨯水平宽铅垂高水平宽铅垂高＝｜x y o B C ADEF ABC ABC A(6,1),B(3,5),C(0,2)S =B BD AC D 137AC 2,D(3,)6221721S =6=222x y x BD ∆∆=-+=⨯⨯已知，点则？解：过作垂直于轴交于点直线：故中考压轴之二次函数中的面积问题，方法集锦与题型归纳二次函数背景下的面积问题考查方式：1.面积最值问题； 2.面积等量关系； 3.面积倍分关系； 223A B C BC P BCP P y x x x y =--∆二次函数与轴交于点、与轴交于点在直线下方的抛物线上找一点使的面积最大，求出点坐标xy o A BCP方法一：割补法xy o A BCP D E 222222PBE PCD CDEB 222P B P(m,m -2m-3)PD=m,PE=3-m CD=-2-(m -2m-3)m +2m+1,BE=-m +2m+3-S -S =(m +2m+1-m +2m+3)-113(3-m)(-m +2m+3)(m +2m+1)m=(3)2223315(,)224PBC PBC x y S S m m m S P ∆∆∆∆=-=----+=-梯解：过点、分别作、轴的平行线设则当时，可取最大值，此时优点：易理解缺点：计算过程略显繁杂方法二：铅垂法2222P BC P(m,m -2m-3)BC 3,3(-2m-3)=313(3)23315(,)224PBC PBC x y x m m m m S m m m S P ∆∆=----+=⨯⨯-+=-解：过点轴的垂线交于点Ｍ设直线：故Ｍ(m,m-3)水平宽=3，水平高＝当时，可取最大值，此时xyo A BCP Ｍ中考压轴之二次函数中的面积问题，方法集锦与题型归纳x y o A BCP 方法三：平移法2212BC PBC :+m 233(3)0,0,3342315(,)24l y x y x x x x m m x x P ∆==----+=∆==-==解：将直线向下平移，至与抛物线只有一个交点此时面积最大，由平行设与抛物线联立得：可得代入可得此时223A B C P P BCP ABC y x x x y S ∆∆=--=二次函数与轴交于点、与轴交于点在抛物线上找一点使S ; 求出点坐标xy o A BCPx y o A BCP 推荐１：铅垂法2222A 2A 1214P BC P(m,m -2m-3)BC 3,3(-2m-3)=3133=621=33=621,4P (1,0)P (4,5)PBC BC PBC BC x y x m m m m S m m S S S m m m m ∆∆∆∆=----+=⨯⨯-+⨯⨯-+=-=-解：过点作轴的垂线交于点Ｍ设直线：故Ｍ(m,m-3)水平宽=3，水平高＝｜｜，，｜｜，得故xy o A BCP推荐２：平移法1214A BC 11,4P (1,0)P (4,5)y x x x =+=-=-解：１.过点作的平行线；可得直线与抛物线联立得故将直线再向下平移4个单位，此时与抛物线无交点。