专题四 三角函数与解三角形第十一讲 三角函数的综合应用答案(1)
专题四三角函数与解三角形第十一讲三角函数的综合应用答案部分2019 年1.解析解法一：（1）过A作AE ⊥BD ，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形， DE =BE =AC = 6, AE =CD = 8 .'因为PB⊥AB，8 4所以cos ∠PBD = sin ∠ABE ==.10 5所以 PB =BDcos ∠PBD=12= 15 .45因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，联结AD，由（1）知 AD =AD2 +AB2 -BD27 =10 ，从而cos ∠BAD ==> 0 ，所以∠BAD为锐角.2AD ⋅AB 25所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小AE2 +ED2152 - 62 21 (-13 + 4)2 + (9 + 3)234于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设 P 1 为l 上一点，且 P 1B ⊥ AB ，由（1）知，P 1 B =15，此时 P 1D = P 1B sin ∠P 1BD = P 1B cos∠EBA = 15⨯ 5= 9 ；当∠OBP >90°时，在△PP 1B 中， PB > P 1B =15 . 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ = = = 3 .此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ = 3 时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+ 3 21 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+ 3 21 （百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H. 以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 3 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为 .4因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为- ， 3直线PB 的方程为 y = - 4 x - 25 .3 3所以P （−13，9）， PB = = 15 .QA 2 - AC 2 2132 + 42 21 21 21 21 21 21 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），3所以线段AD ： y = - 4x + 6(-4剟x154) .在线段AD 上取点M （3， 4 ），因为OM = < 5 ，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设 P 1 为l 上一点，且 P 1B ⊥ AB ，由（1）知， P 1 B =15，此时 P 1 （−13，9）；当∠OBP >90°时，在△PP 1B 中， PB > P 1B = 15 . 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q（a ，9），由 AQ = = 15(a > 4) ，得a = 4 + 3 ，所以Q （4 + 3 ，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4 + 3 ，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ = 4 + 3 - (-13) = 17 + 3 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17 + 3 （百米）32 + ⎛ 15 ⎫2 ⎝ 4 ⎭⎪ (a - 4)2 + (9 - 3)2m 2 +1 m 2 +1| m 2 +1( m m 2 +1 m 2+1m 2+1 sin θ - 1cos θ ) + 2 | m 2+1m 2+1| 2 - m 2 +1 | m 2 +1 2 + m 2 +1 m 2 +1 21．C 【解析】由题意可得d =2010-2018 年== =（其中cos ϕ =， sin ϕ =），∵ -1≤ sin(θ - ϕ) ≤1 ,∴ ≤ d ≤ ， = 1+ 2 ， m 2 +1∴当m = 0 时， d 取得最大值 3，故选 C ． 2．B 【解析】由于 f ( x ) = sin 2x + b sin x + c =1 - cos 2x + b sin x + c ．2当b = 0 时， f (x ) 的最小正周期为π ； 当b ≠ 0 时， f (x ) 的最小正周期2π ；c 的变化会引起 f ( x ) 的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选 B ．注：在函数 f ( x ) = h ( x ) + g ( x ) 中， f ( x ) 的最小正周期是h ( x ) 和 g ( x ) 的最小正周期的公倍数．3．C 【解析】由图象知： y min = 2 ，因为 y min = -3 + k ，所以-3 + k = 2 ，解得： k = 5 ，所以这段时间水深的最大值是 y max = 3 + k = 3 + 5 = 8 ，故选 C ． 4．D 【解析】对于 A ，当 x = π 或5π时， sin 2x 均为 1，而sin x 与 x 2+ x 此时均有两个44值，故 A 、B 错误；对于 C ，当 x =1或 x = -1 时， x 2+1 = 2 ，而| x +1| 由两个值，故 C 错误，选 D ．π π π5．B 【解析】由于 f (0) = 2, f ( ) =1+ 5, f ( ) = 2 < f ( ) ，故排除选项 C 、D ；当4 2 4点 P 在 BC 上时，f (x ) = BP + AP = tan x +的图象是非线性，排除 A ．4 + tan 2x (0 ≤ x ≤ π ) ．不难发现 f (x ) 4| m 2 +1 m 2 +1m 2+1 m 2 +13 3 2 3 3 1π π ba 3 sin(x -ϕ)dx = - cos(x -ϕ) | 3 =cos ϕ - 16．C 【解析】由题意知，f (x ) =| cos x | ⋅sin x ，当π x ∈[0, π ] 21 时，f (x ) = sin x cos x = 1 sin 2x ；2 当 x ∈ ( ,π ] 时， f (x ) = - cos x sin x = - 2 sin 2x ，故选 C ．22π2π⎰0 02 2得 tan ϕ = ，所以ϕ = π + k π (k ∈ Z ) ，所以 f (x ) = sin(x - π- k π )(k ∈ Z ) ，3 3π π由正弦函数的性质知 y = sin(x - - k π ) 与 y = sin(x - 3) 的图象的对称轴相同，3 令 x - π = k π + π ，则 x = k π + 5π (k ∈ Z ) ，所以函数 f (x ) 的图象的对称轴为3 2 6 x = k π + 5π (k ∈ Z ) ，当k = 0 ，得 x = 5π，选 A ．6 8． 1【解析】2cos 2 x + sin 2x = 62 sin(2x + π) +1 ，所以 A = 42,b = 1.9．7【解析】画出函数图象草图，共 7 个交点．10． 1 【解析】∵ a ∥ b ，∴ sin 2θ = cos2θ ，∴ 2 sin θ cos θ = cos 2 θ ，∵θ ∈ 2∴ tan θ = ．2(0, π) ，211．（1）3；（2） 【解析】（1） y = f '(x ) = ω cos(ω x + ϕ) ，当ϕ = ，点 P 的坐标为（0，46）时ω cos π = ,∴ω = 3 ；2 6 22π（2）曲线 y = f '(x ) = ω cos(ω x + ϕ) 的半周期为 π，由图知 AC = T = ω = π，ω2 2 ω S V ABC= 1 AC ⋅ω = π，设 A , B 的横坐标分别为a , b ．设曲线段¼ABC 与 x 轴所围成的 2 2区域的面积为 S 则 S =⎰af '(x )dx = f (x ) b= sin(ωa + ϕ) - sin(ωb + ϕ) = 2 ， y 1xO-13 3 7．A 【解析】由 sin ϕ + cos ϕ = 0 ，DC KθE O Hπ由几何概型知该点在△ABC 内的概率为 P =S V ABC = 2 = π． S 2 412．【解析】(1)连结 PO 并延长交 MN 于 H ，则 PH ⊥ MN ，所以OH =10．PGM AB N过O 作OE ⊥ BC 于 E ，则OE ∥ MN ，所以∠COE = θ ， 故OE = 40 cos θ ， EC = 40 sin θ ，则矩形 ABCD 的面积为2 ⨯ 40 cos θ (40 sin θ +10) = 800(4 sin θ cos θ + cos θ ) ，∆CDP 的面积为 1⨯ 2⨯ 40 cos θ (40 - 40sin θ ) = 1600(cos θ - sin θ cos θ ) ．2过 N 作GN ⊥ MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和 K ，则GK = KN = 10 ．令∠GOK = θ，则sin θ = 1 ，θ ∈ π．4(0, 6 )当θ ∈[θ , π) 0 2 时，才能作出满足条件的矩形 ABCD ，所以sin θ 的取值范围是[ 1,1) ．4答：矩形 ABCD 的面积为800(4 sin θ cos θ + cos θ ) 平方米， ∆CDP 的面积为1600(cos θ - sin θ cos θ ) ， sin θ 的取值范围是[ 1,1) ．4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (k > 0) ，则年总产值为4k ⨯800(4 sin θ cos θ + cos θ ) + 3k ⨯1600(cos θ - sin θ cos θ )= 8000k (sin θ cos θ + cos θ ) ，θ ∈[θ , π ) ． 0 2 设 f (θ ) = sin θ cos θ + cos θ ，θ ∈[θ , π ) ， 0 2则 f '(θ ) = cos 2 θ - sin 2 θ - sin θ = -(2 s in 2θ + sin θ -1) = -(2 s in θ -1)(sin θ +1) ．令 f '(θ ) = 0 ，得θ = π，6π 当θ ∈(θ , π ) 0 6时， f ′(θ )>0 ，所以 f (θ ) 为增函数； 当θ ∈ (π , π ) 6 2时， f ′(θ )<0 ，所以 f (θ ) 为减函数， 因此，当θ = π时， f (θ ) 取到最大值．6 答：当θ = 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 613．【解析】（1）由正棱柱的定义， CC 1 ⊥ 平面 ABCD ，所以平面 A 1 ACC 1 ⊥ 平面 ABCD ， CC 1 ⊥ AC ． 记玻璃棒的另一端落在CC 1 上点 M 处．因为 AC = 10所以 MN = ， AM = 40 ．= 30 ，从而sin ∠MAC = 3． 4记 AM 与水平的交点为 P 1 ，过 P 1 作 P 1Q 1 ⊥ AC ，Q 1 为垂足，则 P 1Q 1 ⊥ 平面 ABCD ，故 P 1Q 1 =12 ，从而 AP 1 = P 1Q 1 sin ∠MAC= 16 ．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为 16cm.( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24cm)7 402- (10 7 )2π 3 （2）如图， O ， O 1 是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义， OO 1 ⊥平面 EFGH ， 所以平面 E 1EGG 1 ⊥平面 EFGH ， OO 1 ⊥ EG .同理，平面 E 1EGG 1 ⊥平面 E 1F 1G 1H 1 ， OO 1 ⊥ E 1G 1 .记玻璃棒的另一端落在GG 1 上点 N 处.过G 作GK ⊥ E 1G 1 ， K 为垂足， 则GK = OO 1 =32.因为 EG = 14，E 1G 1 = 62， 所以 KG =62 -14= 24 ，从而GG === 40 . 1 2 1设∠EGG = α ,∠ENG = β , 则sinα = sin( +∠KGG ) = cos ∠KGG = 4. 1 2 因为 < α < π ，所以cos α =- . 1 1 52 540 在△ENG 中，由正弦定理可得 sin α 因为0 < β < π ，所以cos β = 24.14sin β，解得sin β =7 . 25 2 25于是sin ∠NEG = sin(π - α - β ) = sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β= 4 ⨯ 24 + (- 3) ⨯ 7 = 3 . 5 25 5 25 5记 EN 与水面的交点为 P 2 ，过 P 2 作 P 2Q 2 ⊥ EG ，Q 2 为垂足，则 P 2Q 2 ⊥平面 EFGH ，故 PQ =12，从而 EP =P 2Q 2= 20 .2 22sin ∠NEG答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为 20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 20cm)1+ cos(2x + π)14．【解析】（Ⅰ）由题意 f (x ) = 1 sin 2x - 2 = 1 sin 2x - 1 + 1 sin 2x 2 2 = sin 2x - 1 ．2π π π2 2 2π 由 - + 2k π ≤ 2x ≤ 2 + 2k π ( k ∈ Z )，可得- 2 + k π ≤ x ≤ 4 + k π ( k ∈ Z )；4=2 - 32 +3 2 + 3 3 由 π+ 2k π ≤ 2x ≤3π 2 2+ 2k π ( k ∈ Z )，得 π 4 + k π ≤ x ≤ 3π4 + k π ( k ∈ Z )； 所以 f (x ) 的单调递增区间是[- π4 + k π , π 4+ k π ] （ k ∈ Z ）；单调递减区间是[π 4 A + k π , 3π4 1 + k π ] （ k ∈ Z ）．1（Ⅱ）Q f ( ) = sin A - = 0 ，∴sin A = ，2 2 2由题意 A 是锐角，所以 cos A =3 ．2由余弦定理： a 2 = b 2 + c 2- 2bc cos A ，可得1+ 3bc = b 2 + c 2≥ 2bc∴bc ≤1= 2 + ，且当b = c 时成立．∴bc sin A ≤ ．∴∆ABC 面积最大值为 ．4 4π 1 π π π 15．【解析】（Ⅰ）因为 f (t ) -10 - 2( cos t + sin t ) -10 - 2sin( t + ) ，2 12 2 12 12 3又0 ≤ t < 24 ，所以 π ≤ π t + π < 7π ， -1 ≤ sin( π t + π) ≤ 1 ，3 12 3 3 π π 12 3 π π当t = 2 时， sin( t + 12 ) = 1；当t = 14 时， sin( t + 3 12 ) = -1 ；3于是 f (t ) 在[0,24) 上取得最大值 12，取得最小值 8.故实验室这一天最高温度为12︒C ，最低温度为8︒C ，最大温差为4︒C （Ⅱ）依题意，当 f (t ) > 11时实验室需要降温. 由（Ⅰ）得 f (t ) = 10 - 2 sin(π 12t + π) ，3所以10 - 2 sin( π t + π) > 11 ，即sin( π t + π ) < - 1，12312 3 2又0 ≤ t < 24 ，因此7π6< π t + π 123<11π，即10 < t < 18，6故在 10 时至 18 时实验室需要降温.16．【解析】（1）Q a ，b ，c 成等差数列，∴ a + c = 2b 由正弦定理得sin A + sin C = 2 sin B32 2 ∴ ≥ = ∴ - ≥ - = = π Q sin B = sin[π - ( A + C )] = sin( A + C )∴sin A + sin C = 2 sin ( A + C )（2）Q a ，b ，c 成等比数列，∴b 2= 2aca 2 + c 2 -b 2a 2 + c 2 - ac 2ac - ac 1 由余弦定理得cos B == = =2ac 2ac 2ac 2Q a 2 + c 2 ≥ 2ac （当且仅当a = c 时等号成立）a 2 + c 21（当且仅当a c 时等号成立）2aca 2 + c 2 1 1 11 （当且仅当a c 时等号成立）2ac 2 2 21 1即cos B ≥ ，所以cos B 的最小值为2 217．【解析】（Ⅰ）由函数 f (x ) = sin(ω x + ϕ) 的周期为π ， ω > 0 ，得ω = 2又曲线 y =f (x ) 的一个对称中心为( , 0) ， ϕ ∈ (0,π ) 4故 f (π ) = sin(2 ⨯ π + ϕ) = 0 ，得ϕ = π，所以 f (x ) = cos 2x4 4 2将函数 f (x ) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）后可得 y = cos x 的图象，再将 y = cos x 的图象向右平移 π个单位长度后得到函数 g (x ) = sin x2π π 1（Ⅱ）当 x ∈ ( , ) 时， < sin x < ，0 < cos 2x < 1 ， 6 4222所以sin x > cos 2x > sin x cos 2x ．问题转化为方程2 c os 2x = sin x + sin x cos 2x 在π π( , ) 内是否有解 6 4设G (x ) = sin x + sin x cos 2x - 2 cos 2x ， x ∈ (π , π)6 4则G '(x ) = cos x + cos x cos 2x + 2 sin 2x (2 - sin x )因为 x ∈π (π , π ) 6 41，所以G '(x ) > 0 ， G (x ) 在π π π ( , ) 内单调递增 6 4 又G ( ) = - < 0 ， G ( ) = > 06 4 4 2cos 2x 且函数G (x ) 的图象连续不断，故可知函数G (x ) 在π π 内存在唯一零点 x ，π π即存在唯一的 x 0 ∈ ( 6 , 4) 满足题意．( , ) 06 4（Ⅲ）依题意， F (x ) = a sin x + cos 2x ，令 F (x ) = a sin x + cos 2x = 0当sin x = 0，即 x = k π (k ∈ Z ) 时，cos 2x = 1，从而 x = k π (k ∈ Z ) 不是方程 F (x ) = 0的解，所以方程 F (x ) = 0 等价于关于 x 的方程a =- ，x ≠ k π (k ∈ Z )sin x现研究 x ∈ (0,π ) U(π , 2π ) 时方程解的情况 令 h (x ) =-cos 2x ， x ∈ (0,π ) U(π , 2π )sin x则问题转化为研究直线 y = a 与曲线 y = h (x ) 在 x ∈ (0,π ) U(π , 2π ) 的交点情况' cos x (2sin 2 x +1)'π 3πh (x ) =，令h (x ) = 0 ，得 x = 或 x = ．sin 2 x2 2当 x 变化时， h (x ) 和h '(x ) 变化情况如下表当 x > 0 且 x 趋近于0 时， h (x ) 趋向于-∞ 当 x < π 且 x 趋近于π 时， h (x ) 趋向于-∞ 当 x > π 且 x 趋近于π 时， h (x ) 趋向于+∞ 当 x < 2π 且 x 趋近于2π 时， h (x ) 趋向于+∞故当a >1时，直线 y = a 与曲线 y = h (x ) 在(0,π ) 内有无交点，在(π , 2π ) 内有2 个交点；当a < -1时，直线 y = a 与曲线 y = h (x ) 在(0,π ) 内有2 个交点，在(π , 2π ) 内无交点；当-1 < a < 1时，直线 y = a 与曲线 y = h (x ) 在(0,π ) 内有2 个交点，在(π ,2π )内有2 个交点由函数h(x) 的周期性，可知当a ≠±1时，直线y =a 与曲线y =h(x) 在(0, nπ) 内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y =a 与曲线y =h(x) 在(0, nπ)内恰有2013 个交点；当a =±1 时，直线y =a 与曲线y =h(x) 在(0,π) U (π, 2π) 内有3 个交点，由周期性， 2013 = 3⨯671，所以n = 671⨯ 2 =1342 综上，当a =±1，n = 1342 时，函数F (x) = f (x) +ag(x) 在(0, nπ) 内恰有2013 个零点。
专题四 三角函数与解三角形第十一讲 三角函数的综合应用答案
由
2
2k
2x
3 2
2k
(kZ
)，得
4
k
x
3 4
k
(kZ
)；
所以
f
( x) 的单调递增区间是[
4
k
,
4
k ] （
k
Z
）；
单调递减区间是 [4
k
,
3 4
k ] （ k
Z
）．
（Ⅱ）
f
(
A 2
)
sin
A
1 2
0
，sin
2
x
；
当
x (2
, ] 时，
f
(x)
cos
x sin
x
1 2
sin
2x
，故选
C．
7．A【解析】由
2 3 0
sin( x
)dx
cos( x
)
2
|03
1 2
cos
3 2
sin
cos
0
，
得 tan
3
，所以
3
k
(k
Z)
，所以
f
(x)
13．【解析】（1）由正棱柱的定义， CC1 平面 ABCD ，
所以平面 A1ACC1 平面 ABCD ， CC1 AC ．
记玻璃棒的另一端落在 CC1 上点 M 处．
因为 AC 10 7 ， AM 40 ．
2021届高考(理)热点题型：三角函数与解三角形(含答案解析)
2021届高考（理）热点题型：三角函数与解三角形（含答案解析）三角函数与解三角形热点三角函数的图象与性质注意对基本三角函数y＝sinx，y＝cosx的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.十、【例1】已知函数f(x)＝sinx－23sin22.(1)求f(x)的最小正周期；2π??(2)求f(x)在区间?0，?上的最小值.3.（1）因为f（x）=SiNx+3cosx-3？π?＝ 2分钟？x＋？－三3??所以F（x）的最小正周期是2π。
2 π(2)解因为0≤x≤3，ππ所以3≤ x+3≤ ππ2π当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值.332π 2π?所以f(x)在区间?0，?上的最小值为f??＝－3.3.3.【相似问题的一般方法】求函数y=asin（ωx＋φ）＋B的循环模板和最大值第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝asin(ωx＋φ)＋h或y＝acos(ωx＋φ)＋h的形式；第二步：由t＝求最小正周期|ω| 2π第三步：确定f(x)的单调性；第四步：确定每个单调区间结束时的函数值；第五步：明确规范地表达结论.三【对点训练】设函数f(x)＝2－3sin2ωx－sinωxcosωx(ω＞0)，且y＝f(x)的π从图像的一个对称中心到最近对称轴的距离为4（1）Begω值；3π?? （2）在区间π中求f（x），2?上的最大值和最小值.?三解(1)f(x)＝2－3sin2ωx－sinωxcosωx1－cos2ωx13＝2－3－2sin2ωx2π?31?＝2cos2ωx－2sin2ωx＝sin？两个ωx-？。
3??π因为y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，故该函数的周期π t＝4×4＝π。
而且ω＞0，所以2π=π，所以ω＝一点二ωπ??（2）从（1），f（x）=sin？2x－？。
三角函数与解三角形的综合应用(解析版)
专题05 三角函数与解三角形的综合应用【例1】（三种三角函数间的综合）已知函数()sin()4f x x π=π+和函数()cos()4g x x π=π+在区间57[,]44-上的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积是A B C D 【答案】C 由已知，得sin()cos()44x x πππ+=π+，即tan()14x ππ+=，所以44x k πππ+=π+，即x k =（Z k ∈），又57[,]44x ∈-，所以1x =-，0，1.于是两函数图象的交点为(1,A -，B ，(1,2C -，则△ABC 的面积为12(222⨯⨯+=【例2】（三角函数性质的综合）已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，f (x )的图象向左平移π3个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则f (x +π12)+f (x −π6)的最大值为 A ．√2 B ．√3 C ．1D ．2【答案】A 因为函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，所以ω=2，f (x )=sin(2x +φ)，且其图象向左平移π3个单位后得到的f (x )=sin(2x +2π3+φ)为偶函数，则2π3+φ=π2+kπ,k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ=−π6，f (x )=sin(2x −π6)，则f (x +π12)+f (x −π6)=sin2x +sin (2x −π2)=sin2x −cos2x =√2sin(2x −π4)≤√2.故选A ． 【例3】（三角函数型图象问题）函数cos ()2([π,π])xf x x =∈-的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C []cos()cos π,π,()22()()x x x f x f x f x -∈--===∴，为偶函数，则图象关于y 轴对称，排除A 、D ，把πx =代入得1(π)20.5f -==，故图象过点(π0.5)，，C 选项适合，故选C ． 【例4】（三角函数与平面几何的综合）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>． （1）若2ω=，把函数()f x 的图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位后得到函数()g x 的图象，求()g x 在区间ππ[,]22-上的值域； （2）若函数()f x 的图象上有如图所示的,,A B C 三点，且满足AB BC ⊥，求ω的值．【解析】()cos f x x x ωω=+1cos )22x x ωω=+π2sin()6x ω=+． （1）若2ω=，则π()2sin(2)6f x x =+，把函数()f x 的图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数π2sin()6y x =+的图象，再向右平移π3个单位后得到函数π()2sin()6g x x =-的图象.由ππ22x -≤≤，得2πππ363x -≤-≤，所以π1sin()6x -≤-≤所以π22sin()6x -≤-≤()g x 在区间ππ[,]22-上的值域为[-． （2）由图知点B 是函数()f x 图象的最高点，设0(,2)B x ，函数()f x 的最小正周期为， 则003(,0),(,0)44T T A x C x -+，所以(,2)4T AB =，3(,2)4T BC =-，因为AB BC ⊥， 所以234016T AB BC ⋅=-=，解得264,3T T ==2π2π8T ω===．【例5】（三角函数与解三角形的综合）已知2()cos 2cos 1f x x x x =-+. （1）求函数()f x 的单调递增区间；T（2）ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2f A =，且3b =，ABC △的面积S =，求a .【解析】（1）2()cos 2cos 1f x x x x =-+2cos 2x x =-2(sin 2cos sin cos 2)66x x ππ=- 2sin(2)6x π=-. 由222262k x k ππππ-≤-≤π+（k ∈Z ），解得63k x k πππ-≤≤π+（k ∈Z ）.故函数()f x 的单调递增区间为[,]63k k πππ-π+（k ∈Z ）.（2）由()2f A =，即2sin(2)26A π-=，得sin(2)16A π-=. 所以2262A k ππ-=π+（k ∈Z ），解得3A k π=π+（k ∈Z ）. 因为(0,)A ∈π，所以3A π=.由已知ABC △的面积11sin 3sin 603322S bc A c ==⨯⨯⨯=4c =.由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-2234234cos60=+-⨯⨯13=. 所以a =【例6】（三角恒等变换与解三角形的综合）已知ABC △中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且4a =，5b c +=B ，则ABC △的面积为A B C D 【答案】C 根据两角和的正切公式有()()tan tan tan 1tan tan A B A B A B +=+-，依题意有()tan A B +=故2ππ,33A B C +==.由余弦定理得222π2cos 3c a b ab =+-，即22164c b b =+-，联立5b c +=，解得32b =，故面积为13π4sin 223⋅⋅⋅=. 【例7】（解三角形与向量的综合）已知在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()cos ,cos C C =-n ，且12⋅=-m n ．（1）求角C 的大小； （2，求ABC △的面积．【解析】（1）由已知得21cos cos 2C C C =-，由倍角公式和降幂公式得1cos 212,sin 21226C C C +π⎛⎫=-∴-= ⎪⎝⎭． ()0,,C ∈π2,62C C πππ∴-=∴=．（2解得b =或b =当b =时，11sin 322ABC S ab C ==⨯⨯=△当b =时，11sin 22ABC S ab C ==⨯⨯=△．综上所述，3ABC S =△或ABC S =△．【例8】（三角函数与向量、函数与方程的综合）已知向量2,1),(cos ,cos 1)x x x ωωω==+m n ，设函数()f x b =⋅+m n ．（1）若函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，且[0,3]ω∈时，求函数()f x 的单调增区间； （2）在（1）的条件下，当[0,]12x 7π∈时，函数()f x 有且只有一个零点，求实数b 的取值范围.【解析】2()cos cos 1f x b x x x b ωωω=⋅+=+++m n1332cos 2sin(2)2262x x b x b ωωωπ=+++=+++. （1）∵函数()f x 的图象关于直线6x π=对称， ∴2,662k k ωπππ⋅+=π+∈Z ，解得31,k k ω=+∈Z ， ∵[0,3]ω∈， ∴1ω=，∴3()sin(2)62f x x b π=+++，由222,262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，得2,366k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，所以函数()f x 的单调增区间为[,],36k k k πππ-π+∈Z ．（2）由（1）知3()sin(2)62f x x b π=+++，∵[0,]12x 7π∈，∴2[,]663x ππ4π+∈，∴2[,]662x πππ+∈，即[0,]6x π∈时，函数()f x 单调递增； 2[,]623x ππ4π+∈，即[,]612x π7π∈时，函数()f x 单调递减．又(0)()3f f π=，∴当()0()312f f π7π>≥或()06f π=时()f x 有且只有一个零点．即32022b b +>≥-++或3102b ++=，所以满足条件的5({}2b ∈--．备考指南（1）在解决已知三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象关于某条直线0x x =（或某点0(,0)x ）对称的问题时，常用的解决方法是将横坐标代入原式中，让其等于正弦函数的对称轴（或对称中心），即0ππ2x k ωϕ+=+（或0πx k ωϕ+=），k ∈Z ，再解出参数即可；（2）在解决已知函数()()f x g x b =+的零点个数求参数，或者讨论函数的零点个数问题时，常用分离参数的方法，将问题转化为()g x b =-，画出()g x 的图象，通过对直线y b =-进行上下平移，从而得到参数b 的取值范围或零点个数的不同情况.【例9】（三角函数与导数的综合）已知函数()y f x =对任意的ππ(,)22x ∈-满足()cos ()sin f x x f x x '+0>(其中()f x '是函数()f x 的导函数)，则下列不等式成立的是A ππ()()34f -<-B ππ()()34f <C ．π(0)2()3f f >D ．π(0)()4f >【答案】A 【解析】令()()()()()()()()22cos cos cos sin ,cos cos cos f x f x x f x x f x x f x x g x g xxx x'''-+'===则，由对任意的ππ(,)22x ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>可得()0g x '>，所以函数()x g 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，所以ππ34g g ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ34ππcos cos 34f f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ34f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．考点三 平面几何中的解三角形问题【例10】△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,2sin sin 2sin cos A C B C +=. （1）求B 的大小；（2）若3a =,且AC边上的中线长为2,求△ABC 的面积. 【解析】（1）由△ABC 中πA B C ++=可得()sin sin A B C =+, 因为2sin sin 2sin cos A C B C +=,所以()2sin 2sin cos sin 0B C B C C +-+=,即2cos sin sin 0B C C +=,即()sin 2cos 10C B +=, 因为0π,sin 0C C <<≠, 所以2cos 10B +=,12πcos ,23B B =-=. （2）由2π3B =得, ,① 在△ABC 中,取中点,连接.所以在△CBD 中,222cos 2BC CD BD C BC CD+-=⋅=221944b a ab+-, ② 把①代入②,化简得,解得,或（舍去）, 所以.所以△ABC 的面积112πsin 35sin 223S ac B ==⨯⨯⨯=. 222239b a c ac c c =++=++AC D BD 23100c c --=5c =2c =-5c =备考指南几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.考点四 三角函数的应用问题【例11】（解三角形的应用）某观察站C 与两灯塔A ，B 的距离分别为a 米和b 米，测得灯塔A 在观察站C 北偏西60︒，灯塔B 在观察站C 北偏东60︒，则两灯塔A ，B 间的距离为AB 米CD【答案】C【解析】依题意，作出示意图（图略），因为6060120ACB ∠=︒+︒=︒，AC a =，BC b =，所以由余弦C ．【例12】（三角函数、解三角形的应用）如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中π,,2AB a B BC =∠==.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN ，且两边是两个关于走道MN 对称的三角形（AMN △和A MN '△）.现考虑绿地最大化原则，要求点M 与点,A B 均不重合，A '落在边BC 上且不与端点,B C 重合，设AMN θ∠=.（1）若π3θ=，求此时公共绿地的面积； （2）为方便小区居民的行走，设计时要求,AN A N '的长度最短，求此时绿地公共走道MN 的长度. 【解析】（1）由图得：ππ23BMA θ∠=-='， ∴1122BM A M AM ='=， 又BM AM a AB +==，∴32AM a =， ∴23AM a =，∴公共绿地的面积2221π422sin 239AMN S S AM a ==⋅⋅⋅==△. （2）由图得：()cos π2AM A M AB a θ+-=='且AM A M ='， ∴()21cos π21cos 22sin a a a AM A M θθθ====+--'，在AMN △中，由正弦定理可得:πsin sin π3AN AMθθ=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴sin 2π2πsin 2sin sin 33AM aAN θθθθ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 记2π2π2π2sin sin 2sin sin cos cos sin 333t θθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos 2π1cos sin sin 2sin 22262θθθθθθ-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭， 又ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴ππ262θ-=， ∴π3θ=时，t 取最大，AN 最短，则此时23MN AM a ==.能力突破1．已知命题p ：函数()sin f x x x =图象的一条对称轴是7π6x =；命题(): cos cos cos q αβαβαβ∀∈-≥-R ，，，则下列命题中的真命题为 A ．()p q ⌝∧ B ．()p q ∧⌝ C ．()p q ⌝∨D ．()p q ⌝∨【答案】B【解析】7π7π7π7ππ:sin2sin 266663p f ⎛⎫⎛⎫==+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴p 为真命题． :q 当2π,παβ==时，παβ-=，()cos 1αβ-=-，cos cos 2αβ-=，∴()cos cos cos αβαβ-<-，∴q 为假命题，∴()p q ∧⌝为真命题．故选B ． 2．已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）和函数π()sin 2g x x =，若()f x 与()g x 两图象只有3个交点，则a 的取值范围是A ．19(,1)(1,)52 B ．19(0,)(1,)72 C ．11(,)(3,9)72D ．11(,)(5,9)73【答案】D【解析】作出函数()f x 与()g x 的图象如图所示，当1a >时，()f x 与()g x 两图象只有3个交点，可得59a <<，当01a <<时，()f x 与()g x 两图象只有3个交点，可得1173a <<，所以a 的取值范围是11(,)(5,9)73，故选D ．3．存在实数ϕ，使得圆面224x y +≤恰好覆盖函数πsin()y x kϕ=+图象的最高点或最低点共三个，则正数k 的取值范围是___________．【答案】 【解析】由题意，知函数πsin()y x k ϕ=+图象的最高点或最低一定在直线1y =±上，则由2214y x y =±⎧⎨+≤⎩，得x ≤≤2π2πT k k==，2T T ≤，解得正数k的取值范围为．4．在△ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，53sin =A ． （1）求C sin 的值；（2）设D 为AC 的中点，若BD 的长为√1532，求△ABC 的面积．【解析】（1）由AB AC BA BC ⋅=⋅得()0AB AC BC ⋅+=， 即22()()||||0AC BC AC BC AC BC -⋅+=-=， 故|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 从而A B =，A 与B 都是锐角， 则cosA =√1−sin 2A =45.sinC =sin (A +B )=sin2A =2sinAcosA =2425，即sinC =2425. (2)由（1），得cosC =cos (π−2A )=−cos2A =2sin 2A −1=−725， 设BC =AC =x ，在BCD △中，由余弦定理得BD 2=CD 2+BC 2−2CD ∙BC ∙cosC =x 24+x 2−2×x 22×(−725)=1534，解得x =5，则S ∆ABC =12×5×5×2425=12.5π. （1）求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的最小正周期； （2，若在[]0,πx ∈内，方程2[12()]3()20a g x ag x -+-=有且仅有两解，求a 的取值范围.【解析】（1，∴πT =，∴2ω=.()f x 图象上，∴ππ2π32k ϕ+=+， π最小正周期πT =.（2 ∴原方程可化为()213sin 2sin 2a x x +-=，则0a ≠. ∵[]0,πx ∈，∴[]sin 0,1x ∈，213sin 2sin 0x x +->，∴2221732sin 3sin 12sin 84x x x a ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭，令sin t x =，则[]0,1t ∈，作出()2173284f t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭及2y a =的图象，当21a ≤2<或2178a =时，两图象在[]0,1内有且仅有一解，即方程221732sin 84x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有两解，此时a 的取值范围为16|12 17a a a ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭或. 高考通关1．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是A. 30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B. 30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D. 60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n ︒︒=⨯，每条边长为302sin n︒， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.2．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示. 3．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【名师点睛】本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【答案】D【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；π所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错． 5．【2018年高考北京卷理数】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值， 所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω， 因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查考生的逻辑推理能力以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.6．【2018年高考全国Ⅲ理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.7．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】24【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==∴1sin 22△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD cos BDC ∠=．8.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】AB AC ⊥，AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos30132112CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.9．（2017江苏）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan x =． 又x ∈[0，π]， 所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ． 因为x ∈[0，π]， 所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，f (x )取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，f (x )取到最小值-10．（2018新课标Ⅰ理）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB =︒∠，所以sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯ 25=.所以5BC =.11．（2018北京理）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17． （1）求∠A ；（2）求AC 边上的高．【解析】（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B ．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A ，∴sin A ． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A 11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7∴AC ．12．（2018上海）设常数R a ∈，函数()2sin22cos f x a x x =+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求方程()1f x =[]ππ-，上的解．【答案】(1)0a =;(2)5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-.【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【详解】（1）∵()2sin22cos f x a x x =+，∴()2sin22cos f x a x x -=-+，∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，∴22sin22cos sin22cos a x x a x x -+=+，∴2sin20a x =，∴0a =；（2）∵π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2ππsin 2cos 1124a a ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，∴a =∴()2π2cos cos212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，∵()1f x =∴π2sin 2116x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，∴πsin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴ππ22π64x k +=-+，或π52π2πZ 64x k k +=+∈，， ∴5ππ24x k =-+，或13ππZ 24x k k =+∈，，∵[]ππx ∈-，， ∴5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-【点睛】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．13．【2020年高考全国II 卷理数】ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．【解析】（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，①由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，② 由①，②得1cos 2A =-.因为0πA <<，所以2π3A =.（2）由正弦定理及（1）得sin sin sin ACABBCB C A ===从而AC B =，π)3cos AB A B B B =--=-.故π33cos 3)3BC AC AB B B B ++=++=++.又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值3+14．【2020年高考浙江】在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知2sin 0b A =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin B A A =，故sin B =， 由题意得π3B =. （Ⅰ）由πA BC ++=得2π3C A =-， 由ABC △是锐角三角形得ππ(,)62A ∈.由2π1cos cos()cos 32C A A A =-=-+得11π13cos cos cos cos sin()]22622A B C A A A ++++=++∈.故cos cos cos A B C ++的取值范围是3]2. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.15．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形． 【解析】（1）由已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=． 所以21(cos )02A -=，1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A -=．由（1）知23B C π+=，所以2sin sin()33B B ππ--=．即11sin 22B B =，1sin()32B π-=． 由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形． 【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．16．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A C a b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）(82. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A C AB A +=． 因为sin A ≠0，所以sin sin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B =． 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+． 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是82⎛ ⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.。
专题01 三角函数的实际应用(解析版)
一、三角函数的实际应用知识点拨一、在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定义边范围数量关系正弦斜边的对边A A ∠=sin c a A =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)余弦斜边的邻边A A ∠=cos cb A =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =BA sin cos =1cos sin 22=+A A 正切的邻边的对边A tan ∠∠=A A baA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)余切的对边的邻边A A A ∠∠=cot ab A =cot 0cot >A (∠A 为锐角)B A cot tan =B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数)1cot tan =⋅AA 二、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值三角函数0°30°45°60°90°αsin 02122231αcos 12322210αtan 03313不存在αcot 不存在31330三、常见术语：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
对边邻边AC(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l =。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi l α==。
例题演练一．选择题（共20小题）1．如图，为了测量旗杆AB 的高度，小明在点C 处放置了高度为2米的测角仪CD ，测得旗杆顶端点A 的仰角∠ADE ＝50.2°，然后他沿着坡度为i ＝的斜坡CF 走了20米到达点F ，再沿水平方向走8米就到达了旗杆底端点B ．则旗杆AB 的高度约为（ ）米．（参考数据：sin50.2°≈0.77，cos50.2°≈0.64，tan50.2°≈1.2）．A ．8.48B ．14C ．18.8D ．30.8【解答】解：如图，延长AB 交水平线于M ，作FN ⊥CM 于N ，延长DE 交AM 于H ．:i h l=hlα在Rt△CFN中，∵＝，CF＝20米，∴FN＝BM＝12米，CN＝16米，∴DH＝CM＝16+8＝24米，在Rt△ADH中，AH＝DH•tan50.2＝24×1.2＝28.8米，∴AB＝AM﹣BM＝AH+HM＝BM＝28.8+2﹣12＝18.8米，故选：C．2．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C 处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A 的仰角为22°，已知CD的坡度：i＝1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（ ）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．60B．70C．80D．90【解答】解：作AH⊥ED交ED的延长线于H，设DE＝x米，∵CD的坡度：i＝1：2，∴CE＝2x米，由勾股定理得，DE2+CE2＝CD2，即x2+（2x）2＝（30）2，解得，x＝30，则DE＝30米，CE＝60米，设AB＝y米，则HE＝y米，∴DH＝y﹣30，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝y，∴AH＝BE＝y+60，在Rt△AHD中，tan∠DAH＝，则≈0.4，解得，y＝90，∴高楼AB的高度为90米，故选：D．3．小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D 处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A ，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB约为（ ）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．146.4米B．222.9米C．225.7米D．318.6米【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CR⊥DH于R，设AB＝x米，则AH＝（x﹣130）米．∵AB：BC＝1：0.75，∴BC＝RH＝0.75x（米），BH＝CR＝130米，在Rt△DCR中，DR＝＝＝65（米），∵tan∠ADH＝，∴＝0.4，解得x≈222.9，∴AB＝222.9（米），故选：B．4．重庆实验外国语学校某数学兴趣小组，想测量华岩寺内七佛塔的高度，他们在点C处测得七佛塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得七佛塔顶部A的仰角为37°，七佛塔AB所在平台高度EF为0.8米，则七佛塔AB的高约为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．20.8B．21.6C．23.2D．24【解答】解：根据题意可知：∠AHC＝90°，∠ACH＝45°，∴AH＝HC，∵DN：NC＝i＝1：2.4，CD＝5.2米，∴DN＝2米，CN＝4.8米，设DG⊥AB，垂足为G，在Rt△ADG中，∠ADG＝37°，∵AG＝AB﹣GB＝AB﹣（DN﹣EF）＝AB﹣1.2，又DG＝NH＝CN+HC＝4.8+AH＝4.8+AB+0.8＝AB+5.6，∴tan∠ADG＝，∴×（5.6+AB）≈AB﹣1.2，解得AB＝21.6（米），答：碧津塔AB的高约为21.6米．故选：B．5．春节期间，某老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为5.2米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B 之间的距离约为（ ）（参考数据：＝1.732）A．2.33米B．2.35米C．2.36米D．2.42米【解答】解：如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥BE于点F，则∠CED＝60°，∵AB的坡比为1：2.4，∴＝＝，设AF＝5x，BF＝12x，在Rt△ABF中，由勾股定理知，5.22＝25x2+144x2．解得：x＝0.4，∴AF＝5x＝2（米），BF＝12x＝4.8（米），由题意得：AC＝6米，∠CAG＝∠C＝60°，AG∥DF，∴∠EAF＝90°﹣60°＝30°，∠AEF＝∠CAG＝60°，∴EF＝AF＝（米），AE＝2EF＝（米），∵∠C＝∠CED＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CE＝AC+AE＝（6+）米，∵BD＝DE﹣EF﹣BF＝6+﹣﹣4.8≈2.35（米），即浮漂D与河堤下端B之间的距离约为2.35米，故选：B．6．如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度i＝1：2.4的斜坡CD的D点测得塔顶A的仰角为52°，斜坡CD长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）A．10.5米B．16.1米C．20.7米D．32.2米【解答】解：如图，延长AB交过点D的水平面于F，作CE⊥DF于E，由题意得：CD＝26米，BC＝EF＝9米，BF＝CE，在Rt△CDE中，i＝1：2.4，CD＝26米，∴BF＝CE＝10米，ED＝24米，在Rt△AFD中，∠AFD＝90°，FD＝EF+ED＝33米，∠ADF＝52°，∴AF＝FD•tan52°≈33×1.28＝42.24（米），∴AB＝AF﹣BF＝42.24﹣10≈32.2（米）；即建筑物AB的高度为32.2米；故选：D．7．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．16.8米B．28.8米C．40.8米D．64.2米【解答】解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，则四边形EDHF为矩形，∴FH＝DE＝12米，EF＝DH，∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，∴设BH＝12x，CH＝5x，由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝522，解得，x＝4，则BH＝12x＝48米，CH＝5x＝20米，则EF＝DH＝DC+CH＝60+20＝80（米），在Rt△AEF中，tan∠AEF＝，则AF＝EF•tan∠AEF≈80×0.81＝64.8（米），∴AB＝AF+HF﹣BH＝64.8+12﹣48＝28.8（米），故选：B．8．小明和好朋友一起去三亚旅游，他们租住的酒店AB坐落在坡度为i＝1：2.4的斜坡CD上，酒店AB高为129米．某天，小明在酒店顶楼的海景房A处向外看风景，发现酒店前有一座雕像C（雕像的高度忽略不计），已知雕像C距离海岸线上的点D的距离CD为260米，雕像C与酒店AB的水平距离为36米，他站在A处还看到远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°．则轮船E距离海岸线上的点D的距离ED的长大约为（ ）米．（参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45）A．262B．212C．244D．276【解答】解：如图，延长AB交ED的延长线于G，过C作CH⊥DG于H，CF⊥BG于F，则四边形CFGH是矩形，∴HG＝CF＝36（米），FG＝CH，在Rt△CDH中，CD＝260米，CH：DH＝1：2.4，∴CH＝100（米），DH＝240（米），在Rt△BCF中，CF＝36米，BF：CF＝1：2.4，∴BF＝15（米），FG＝CH＝100（米），∴DG＝DH+HG＝276（米），AG＝AB+BF+FG＝244（米），∵tan27°＝≈0.5，即≈，解得：DE≈212（米），故选：B．9．保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的D同一水平线的A处，测得AD＝20米，沿坡度i＝0.75的斜坡AB走到B点，测得塔顶E仰角为37°，再沿水平方向走20米到C处，测得塔顶E的仰角为22°，则塔高DE为（ ）米．（结果精确到十分位）（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）A．18.3米B．19.3米C．20米D．21.2米【解答】解：连接DE，作BF⊥DE于F，BG⊥DA于G，如图：则DF＝BG，BF＝DG＝AD+AG，∵AB＝斜坡AB的坡度i＝0.75＝，∴设BG＝3xm，则AG＝4xm，BF＝DG＝20+4x（m），CF＝BF+BC＝20+4x+20＝40+4x （m），由题意得：∠EBF＝37°，∠ECF＝22°，∵tan∠BEF＝＝，tan∠ECF＝＝，∴EF＝tan37°（20+4x），EF＝tan22°（40+4x），∴0.75（20+4x）＝0.40（40+4x），解得：x＝，∴DF＝BG＝3x＝（m），EF＝0.40（40+4x）＝（m），∴DE＝DF+EF＝+≈19.3（m）；故选：B．10．小李同学想测量广场科技楼CD的高度，他先在科技楼正对面的智慧楼AB的楼顶A点测得科技楼楼顶C点的仰角为45°．再在智慧楼的楼底B点测得科技楼楼顶C点的仰角为61°，然后从楼底B点经过4米长的平台BF到达楼梯F点，沿着坡度为i＝1：2.4的楼梯向下到达楼梯底部E点，最后沿水平方向步行20米到达科技楼楼底D点（点A、B、C、D、E 、F在同一平面内，智慧楼AB和科技楼CD与水平方向垂直）．已知智慧楼AB的高为24米，则科技楼CD的高约为（ ）米．（结果精确到0.1，参考数据：sin61°≈0.87．cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）A．54.0B．56.4C．56.5D．56.6【解答】解：作AM⊥CD于M，FN⊥CD于N，FG⊥DE于点G，则四边形AMNB，四边形NDGF是矩形．在Rt△FEG中，FG：EG＝1：2.4，设FG＝5x，则EG＝12x，∴FN＝DG＝12x+20，AB＝24米，AM＝BN＝（24+12x）米，∵∠CAM＝45°，∴AM＝CM＝（24+12x）米，∴CN＝CM+MN＝（48+12x）米，∵∠CBN＝61°，∴tan∠CBN＝＝，∴x＝，∴CD＝CM+MN+DN＝24+12x+24+5x＝24+17×+24＝56.5（米）．故选：C．11．某游客乘坐“金碧皇宫号游船”在长江和嘉陵江的交汇处A点，测得来福士最高楼顶点F的仰角为45°，此时他头顶正上方146米的点B处有架航拍无人机测得来福士最高楼顶点F的仰角为31°，游船朝码头方向行驶120米到达码头C，沿坡度i＝1：2的斜坡CD 走到点D，再向前走160米到达来福士楼底E，则来福士最高楼EF的高度约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）A．301.3米B．322.5米C．350.2米D．418.5米【解答】解：如图所示：延长AC和FE交于点G，过点B作BM⊥FE于点M，作DH⊥AG于点H，得矩形ABMG、DHEG，设DH＝x，则HC＝2x，BM＝AG＝160+120+2x＝280+2x．EG＝DH＝x，∵∠FAG＝45°，∠FGA＝90°，∴∠AFG＝45°，∴FG＝AG，EF＝FG﹣EG＝AG﹣EG＝280+2x﹣x＝280+x，∴FM＝FG﹣MG＝280+2x﹣146＝134+2x，在Rt△FBM中，tan31°＝，即＝0.6，解得x＝42.5，则EF＝280+x＝322.5．故选：B．12．如图是杨家坪步行街某天桥扶梯横截面的平面图．身高为1.5米的小明站在距离扶梯底端A处8米远的点P处，测得扶梯顶端B的仰角为18°，扶梯AB的坡度i＝3：4，已知扶梯顶端B到天桥顶部的距离为2.3米，则小明所在位置点P到天桥顶部的距离是（ ）（参考数据：sin18°≈0.29，cos18°≈0.95，tan18°≈）A．12.3米B．9.8米C．7.9米D．7.5米【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD⊥BC于点D，∵扶梯AB的坡度i＝3：4，∴，设BC＝3x米，则AC＝4x米，∵AP＝8米，QP＝1.5米，∴DQ＝（4x+8）米，BD＝（3x﹣1.5）米，∵∠BQD＝18°，tan∠BQD＝，tan18°≈，∴≈，解得x＝2.5，∴BC＝3x＝7.5，∵点B到顶部的距离是2.3米，∴点C到顶部的距离是2.3+7.5＝9.8（米），即点P到顶部的距离是9.8米，故选：B．13．如图，在某山坡前有一电视塔．小明在山坡坡脚P处测得电视塔顶端M的仰角为60°，在点P处小明沿山坡向上走39m到达D处，测得电视塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝1：2.4，请你计算电视塔的高度ME约为（ ）m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）A．59.8B．58.8C．53.7D．57.9【解答】解：如图，作DC⊥EP延长线于点C，作DF⊥ME于点F，作PH⊥DF于点H，则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，∵山坡坡度i＝DC：CP＝1：2.4，PD＝39，设DC＝5x，则CP＝12x，根据勾股定理，得（5x）2+（12x）2＝392，解得x＝3，则DC＝15，CP＝36，∴DH＝CP＝36，FE＝DC＝15，设MF＝y，则ME＝MF+FE＝y+15，在Rt△DMF中，∠MDF＝30°，∴DF＝y，在Rt△MPE中，∠MPE＝60°，∴PE＝（y+15），∵DH＝DF﹣HF，∴y﹣（y+15）＝36，解得y＝7.5+18，∴ME＝MF+EF＝7.5+18+15≈53.7（m）．答：电视塔的高度ME约为53.7米．故选：C．14．如图，万达广场主楼楼顶立有广告牌DE，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度i＝1：0.75的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为45°，广告牌顶部E的仰角为53°（小辉的身高忽略不计），已知广告牌DE＝15米，则该主楼AD的高度约为（ ）（结果精确到整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）A．80m B．85m C．89m D．90m【解答】解：过C作CF⊥AE于F，CG⊥AB于G，如图所示：则四边形AFCG是矩形，∴AF＝CG，∵斜坡AB的坡度i＝1：0.75＝＝，BC＝50米，∴BG＝30（米），AF＝CG＝40（米），设DF＝x米．在Rt△DCF中，∠DCF＝45°，∴CF＝DF＝x米．在Rt△ECF中，∠ECF＝53°，∴EF＝tan53°•CF＝1.3x（米），∵DE＝15米，∴1.3x﹣x＝15，∴x＝50，∴DF＝50米，∴AD＝AF+DF＝40+50＝90（米），故选：D．15．图中的阴影部分是某水库大坝横截面，小明站在大坝上的A处看到一棵大树CD的影子刚好落在坝底的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面的夹角为60°，在A处测得树顶D的俯角为15°，如图所示，已知斜坡AB的坡度i＝：1，若大树CD的高为8米，则大坝的高为（ ）米（结果精确到1米，参考数据≈1.414 ≈1.732）（ ）A．18B．19C．20D．21【解答】解：如图，过点D作DP⊥AB于点P，作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，∵∠DBC＝60°、CD＝8，∴BD＝＝＝16，∵AB的坡度i＝tan∠ABQ＝，∴∠ABQ＝∠EAB＝60°，∴∠ABD＝60°，∴PD＝BD sin∠ABD＝16×＝8，BP＝BD cos∠ABD＝16×＝8，∵∠EAD＝15°，∴∠DAP＝∠BAE﹣∠EAD＝45°，∴PA＝PD＝8，则AB＝AP+BP＝8+8，∴AQ＝AB cos∠ABQ＝（8+8）×＝4+12≈19，故选：B．16．3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏．如图，有一棵樱花树AB垂直于水平平台BC，通往平台有一斜坡CD，D、E在同一水平地面上，A、B、C、D、E均在同一平面内，已知BC＝3米，CD＝5米，DE＝1米，斜坡CD的坡度是，李同学在水平地面E处测得树冠顶端A的仰角为62°，则樱花树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）A．9.16米B．12.04米C．13.16米D．15.04米【解答】解：过C作CG⊥DE交ED的延长线于G，延长AB交ED的延长线于H，如图所示：则四边形BHGC为矩形，∴BH＝CG，GH＝BC＝3米，∵斜坡CD的坡度是＝，∴设CG＝3x米，则DG＝4x，由勾股定理得，CD2＝CG2+DG2，即52＝（3x）2+（4x）2，解得：x＝1，∴BH＝CG＝3（米），DG＝4（米），∴EH＝DE+DG+GH＝1+4+3＝8（米），在Rt△AHE中，tan∠AEH＝＝tan62°≈1.88，∴AH≈1.88EH＝1.88×8＝15.04（米），∴AB＝AH﹣BH≈15.04﹣3＝12.04（米），故选：B．17．某数学兴趣小组在歌乐山森林公园借助无人机测量某山峰的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方120米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则山峰的垂直高度AB约为（ ）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．141.4米B．188.6米C．205.7米D．308.6米【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CR⊥DH于R，设AB＝x米，则AH＝（x﹣120）米．∵AB：BC＝1：0.75，∴BC＝RH＝0.75x（米），BH＝CR＝120米，在Rt△DCR中，DR＝≈＝60（米），∵tan∠ADH＝，∴＝0.4，解得x≈205.7，∴AB＝205.7（米），故选：C．18．小菁在数学实践课中测量路灯的高度．如图，已知她的身高AB1.2米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°．那么该路灯顶端O到地面的距离约为（ ）（sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2 .1）A．3.2米B．3.9米C．4.4米D．4.7米【解答】解：过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∴BF＝BD+DF＝3+x，∵tan65°＝，∴OF＝x tan65°，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x≈0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15（米），∴OE＝3.15+1.2＝4.35≈4.4（米），故选：C．19．如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物DEFC的高度．他们从点A出发沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α＝35°，建筑物底端D的俯角β＝30°．若AD为水平的地面，则此建筑物的高度CD约为（ ）米．（参考数据：≈1.7，tan35°≈0.7）A．23.1B．21.9C．27.5D．30【解答】解：如图所示：过点B作BN⊥AD，BM⊥DC垂足分别为：N，M，∵i＝1：2.4，AB＝26m，∴设BN＝x，则AN＝2.4x，∴AB＝2.6x，则2.6x＝26，解得：x＝10，故BN＝DM＝10m，则tan30°＝＝＝，解得：BM＝10，则tan35°＝＝＝0.7，解得：CM≈11.9（m），故DC＝MC+DM＝11.9+10＝21.9（m）．故选：B．20．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方2m处的点C出发，沿坡度l＝1：2的斜坡CD前进5m到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5m，已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥D E，则旗杆AB的高度是（ ）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.732，≈2.236，结果保留一位小数）A．8.2B．8.4C．8.6D．8.8【解答】解：延长ED交BC的延长线于点F，作EG⊥AB于G，DH⊥AB于H，则四边形GHDE为矩形，∴GH＝DE＝1.5，GE＝DH，设DF＝x，∵斜坡CD的坡度为1：2，∴CF＝2x，由勾股定理得，x2+（2x）2＝52，解得，x＝，则DF＝，CF＝2，∴GE＝DH＝BC+CF＝2+2，在Rt△AGE中，tan∠AEG＝，则AG＝EG•tan∠AEG≈（2+2），∴AB＝AG+GH+BH≈4.85+1.5+2.24≈8.6（米），故选：C．。
课时作业11：解三角形的综合应用
§4.8解三角形的综合应用A组专项基础训练(时间：40分钟)1．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为()A. 6 kmB. 2 kmC. 3 km D．2 km2．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10 2 海里B．10 3 海里C．20 3 海里D．20 2 海里3.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A．8 km/h B．6 2 km/hC．234 km/h D．10 km/h4．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A．240(3＋1) m B．180(2－1) mC．120(3－1) m D．30(3＋1) m5．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．5 6 B．153C．5 2 D．1566．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m. 7．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m. 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A、∠B、∠C所对的边a、b、c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．10.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 m D ．150 m12．如图，一艘船上午9∶30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距82n mile.此船的航速是________ n mile/h.13．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．14．(2015·杭州二中月考)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________ km.15．在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m．设此山对于地平面的斜度为θ，则cos θ＝________.答案解析1． A [如图，在△ABC 中，由已知可得∠ACB ＝45°，2．∴AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝22×32＝ 6.] 3． A [如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，4．根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．]3．B [设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎫110v 2＝⎝⎛⎭⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.选B.]4．C [如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan 30°＝60 3 m ，在Rt △ABD 中，BD ＝ADtan ∠ABD＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)m ，∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.] 5．D [在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得BC sin 30°＝30sin 135°，所以BC ＝15 2. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6.] 6．103解析 如图，OM ＝AO tan 45°＝30 (m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝10 3 (m)， 在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝10 3 (m)． 7.4003解析 如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°，∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°. 又AB ＝200 m ，∴AC ＝4003 3 m.在△ACD 中，由余弦定理得， AC 2＝2CD 2－2CD 2·cos 120°＝3CD 2， ∴CD ＝13AC ＝4003 m.8．(1，2]解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin Bsin C ＝sin A ＋cos A＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4.又A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin π4＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4≤sin π2，即x ∈(1，2]．9．解 (1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α. 在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28. 所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/小时．(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α， 由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.10．解 (1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74，故P A ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α， 所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34. 11．A [设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，BC ＝3h . 在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m ．] 12．32解析 设航速为v n mile/h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，∴v ＝32.13．507解析 如图，连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC ＝507.14．7解析 因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D ＋B ＝π.在△ABC 和△ADC 中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D )＝32＋52－2×3×5×cos D ，cos D ＝－12，代入得AC 2＝32＋52－2×3×5×⎝⎛⎭⎫－12＝49， 故AC ＝7. 15.3－1解析 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，所以∠ACB ＝30°. 又AB ＝100 m ，由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.。
解三角形综合与实际应用 - 解析版
解三角形综合与实际应用（讲案）一、面积公式的应用【例题讲解】★★☆例题1．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c 。
向量(,3)m a =与(cos ,sin )n A B =平行。
（1） 求A ；（2） 若2a b ==，求ABC ∆的面积。
）由//m n 可得sin a★★☆练习1．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c 。
设(,)m a b =，(sin ,sin ),(2,2)n B A p b a ==−−． （1） 若//m n ，求证：ABC ∆为等腰三角形； （2） 若m p ⊥，2,3c C π=∠=，求ABC ∆的面积。
解析：（1）由//m n 得sin sin a A b B =，即22a b =，所以ABC ∆为等腰三角形；（2）由m p ⊥得(2)(2)0a b b a −+−=，化简得ab a b =+。
由余弦定理得2222cos c a b ab C =+−，代★★☆练习2．锐角ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，且2sin a B =。
（1） 求A ∠的大小；（2） 若6,8a b c =+=，求ABC ∆的面积。
二、完全平方公式思想【例题讲解】★★☆例题2．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=。
（1） 求C ；（2） 若c =ABC ∆的面积为2，求ABC ∆的周长。
★★☆练习1．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，已知cos cos 1A C a c b+=，且2,b a c =>。
（1） 求ac 的值；（2） 若ABC ∆的面积2S =，求,a c 的值。
★★☆练习2．已知(2cos 23sin ,1),(,cos )a x x b y x =+=，且//a b 。
（1）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；（2）ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，若()3f B =，9,32BA BC a c ⋅=+=+b 。
第十一课 解三角形、正弦(余弦)定理(含答案)
第十二讲 解三角形、正弦（余弦）定理(含答案）一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos25=C ，1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．2．(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π 3．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A =4．（2016年天津）在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠= ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．45．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =A B C ．- D ．-6．(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =A ．5BC ．2D ．17．(2014重庆)已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+，面积S 满足12S ≤≤，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是A ．8)(>+c b bcB ．()ab a b +>C ．126≤≤abcD ．1224abc ≤≤ 8．（2014江西）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239 C ．233 D ．33 9．（2014四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于A．1)m B．1)mC ．1)mD ．1)m 10．（2013新课标Ⅰ）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos A +cos20A =，7a =，6c =，则b =A ．10B ．9C ．8D ．511．（2013辽宁）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠=A ．6πB ．3πC ．23π D．56π12．（2013天津）在△ABC 中，,3,4ABBC ABC π∠===则sin BAC ∠=ABCD 13． （2013陕西）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定14．（2012广东）在ABC ∆中，若60,45,AB BC ︒︒∠=∠==AC =A ．B．C D 15．（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a A B b A +=，则=abA ．B ．C D16．（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为CA ．3 B ．6 C ．3 D ．616．（2010湖南）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=，c =，则A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定 二、填空题18．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．19．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =，则sin B =___________，c =___________．20．（2017浙江）已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =． 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．21．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。
正余弦定理及三角函数的综合应用及答案
正余弦定理及三角函数的综合应用1、若x 为三角形中的最小内角，则函数y ＝sin x ＋cos x 的值域是( )A ．(0，32]B ．(1，2]C ．[12，22]D ．(12，22] 2、函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)(a >0)的一条对称轴方程为：x ＝π2，则a ＝( ) A ．1 B. 3 C ．2 D ．33、已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin α＝( ) A.3365 B.6365 C ．－3365 D ．－63654、f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最大值分别为( )A ．2π，3B ．2π，1C ．π，3D ．π，15、在△ABC 中，sin 2A2＝c －b 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对应边)，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形6、钝角三角形的三边长为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是( )A ．0<a <3 B.32≤a <3 C ．2<a ≤3 D ．1≤a <527、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定8、E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( ) A.1627 B.23 C.33 D.349、已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km10、2009年8月4日发生的2009年第8号台风“莫拉克”造成台湾省461人死亡，192人失踪，其台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )A.2063米 B ．106米 C.1063米 D ．202米 11、如右图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得它在货轮的东北方向，则货轮的速度为( ) A ．20(2＋6)海里/小时 B ．20(6－2)海里/小时C ．20(3＋6)海里/小时D ．20(6－3)海里/小时12、如右图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30米至C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103米至D 处，测得顶端A 的仰角为4θ，则θ的值为( )A ．15°B ．10°C ．5°D ．20°13、如右图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( ) A. 3 B ．5 3 C ．6 3 D ．7 314、某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15米B ．5米C ．10米D ．12米二、填空题：15、在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 16、已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sinC ＝________.17、在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B的值是________． 18、如右图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距10海里的C 处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向20海里的B 处的乙船，甲船需要________小时到达B 处．19、在直径为30 m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为________ m.20、已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A 、B 两船间的距离为3 km ，则B 船到达灯塔C 的距离为________km.三、解答题(共55分)21、某人在山顶观察A 、B 两个目标，测得A 在南偏西60°距山底1000米处，B 在南偏东60°距山底800米处，求A 、B 之间的距离．22、如右图，为了计算渭河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B 与C之间的距离(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参数数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236)．23、某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？。
专题四、三角综合应用
专题 四、三 角综合应用
一张和 发
一
、
考 点 归 纳
体 的高等 ）．
由 ｔ ａ ｎ ａ＝
Ｌ
ｍ ＋ｎ ｔ ａ ： ’ …
，
１ ． 熟 练掌握三角变 换公式 、三角函数 图像性 质 、
掌握 三角形 中边 角关 系 （ 正弦定理 、余 弦定理 、面积 公式 ） ，并能用其解决相关的综合问题． ２ ． 能 够运 用正 弦定理 、余 弦定 理 以及 三角 变换 公式等解决一些 与测量 和几何计算有关 的实 际问题 ．
ｑ ，Ｃ Ｄ ＝ ｈ ，／ ＿ Ｂ ＡＣ ＝ ｏ ｌ ，Ｚ ＿ Ｄ Ｂ Ｃ ＝ １ ｆ ．
ＡＣ ＝
Ｔ ４ ＝ ａ ｓ ｉ ｎ （ ￣ ） ；
＋
＋ ６
丽 丽
ｒ 面ａ ｓ ｌ ｎ Ｔ ・
① 知 ｍ，ｏ Ｌ ， 卢 ，求 ｈ （ Ｃ到线路 Ａ Ｂ的距 离或物
ＡＡＤＣ， Ａ Ｂ
④检验 ：检验上述所求是否符合实际意义 ：
⑤作答 ：问什么答什么．
（ ３ ）常见类 型 ： 不少 常见三 角应用 题可归 结为
中应 用正 弦定 理得 ：
图 中知部分量求其他量 的问题．
图形 １ ：Ｃ Ｄ＿ Ｌ Ａ Ｂ，Ａ Ｂ＝ ｍ，Ｂ Ｄ＝ ｎ ，ＡＣ ＝ ｐ，Ｂ Ｃ ＝
（ ４ ）三角与几何综合 ；
△ＡＢ Ｃ 中 ， 由 正 弦
定 理 得
ＳＩ Ｉ Ｉ ￣
… … … …
： ２ Ｒ，
…
（ 特别 注意在解析几何 与立体几何 中涉及 三角形
的计算时要 有解 三角形 的思想 ）
７分
Ｂ
Ｃ
Ｄ
（ ５ ）三角与数列综合 ．
三角函数及解三角形解答题答案详解
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页一、解答题1．已知函数()221()cos sin cos ()2f x x x x x x R =+-∈.(1)求()f x 的单调递增区间.(2)在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (A )=1，c =10，cosB =17，求ΔABC 的中线AD 的长.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c，角B 的平分线BDa .3．在ABC △中，2sin cos sin())C A A C A C +-+=（1）求角B 的大小；（2）设BAC ∠的角平分线AD 交BC 于D ，且3AD =，2BD =，求cos C 的值.4．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 。
（1）求 的大小.（2）若 ，求 的面积.5．如图，在△ABC 中，边AB =2，1cos 3B =，且点D 在线段BC 上，(I)若34ADC π∠=，求线段AD 的长； (II)若BD =2DC，sin sin BADCAD∠=∠，求△ABD 的面积.6．已知函数()21cos cos 2f x x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期，以及()f x 单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8bc =，b ，a ，c 成等差数列；若函数()f x 的图象经过点1,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，求a 的值.第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页7．已知()sin 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，ABC △中，角,,A B C 所对的边为,,a b c . （1）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域； （2）若()13f A =，a =2b =，求sin B 的值.8．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2212sin 2ac B a c =+-，且2b =（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值.9．已知(3cos,cos )44x x m =，(sin ,cos )44x xn =，设函数()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，求()f B 的取值范围．10．已知(2cos ,sin cos )a x x x =-r ，,sin cos )b x x x =+r，记函数()f x a b =⋅. （1）求()f x 的表达式，以及()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）设ABC ∆三内角A ，B ，C的对应边分别为a ，b ，c ，若a b +=c =()2f C =，求ABC ∆的面积.11．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()22a b c ab -=-. （1）求角C ； （2）若4cos sin 02c A b C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1a =，求ABC ∆的面积.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。