多体系统动力学2拓扑结构的描述
分析多体动力学在机械工程领域的应用
分析多体动力学在机械工程领域的应用作者：王萌来源：《商情》2015年第11期【摘要】伴随科学技术的不断发展，机械工程也随之得到了广泛的发展。
当前机械工程领域中将多体动力学作为了研究的重点内容，同时也研究的难点内容。
多体动力学能够为机械航空领域、机器人领域以及兵器领域提供有利的理论工具以及技术支撑。
在机械工程领域，应当加大对多体动力学的研究，旨在机械工程领域能够得到更好的发展，为人们创造更大的价值。
【关键词】多体动力学，机械工程，航天器，机器人多体力学是一门综合性质的学科，这门学科中包含了计算力学与工程力学等很多学科，是推动机械工程产业的重要支撑学科之一。
一般机械系统能够通过多体系统获得较为全面的以及完整抽象的有效描述与高度概括，在对机械系统进行研究与分析时，是一个最优模型形式。
在当前先进的航空航天也、技术制造也以及人体与假肢等高科技领域中，多体系统这门高新学科得到了广泛的推动与发展。
在机械工程领域，多体力学有着十分重要的作用，并且逐渐的也引起了人们的重视。
一、对多体力学进行模型构建机械多体系统是由很多不同的部件进行连接进而构建而成的，机械装置中的每个部件都会在机械设备进行运作时发生位移、更改速度以及其它方面的作用力参数。
在对多体力学系统实施建模的过程中，一般需要构建出系统中的坐标系、构建系统中各个部件的模型并且还要对一些相关的约束以及力偶进行定义。
在对多体动力学进行研究的过程中，最为主要的两个方向就是动力学与运动学。
同经典力学相比较而言，使用多体力学来研究出的系统一般都会较为复杂，同时每个部件在自由度方面都会存在着不同程度的区别，并且各个部件在相对位移上也会发生很大的变化。
故此，建立与求解运动微分方程的过程都是十分复杂的，并且想要准确的对运动方程进行求解还需要计算机技术辅助。
（一）多体动力学模型在表述上的分析。
机械系统中的基础构件就是多体动力学中的各个部件，这些部件会承受来自于系统内外其他部件施加的约束作用，在对多体动力学进行机械设备模型的构建时，就会涉及到对各个部件的定义。
多体机械系统的建模、控制与容错
多体机械系统的建模、控制与容错杨浩;张泽君;姜斌【摘要】M ultibody mechanical systems have been a difficult aspect in the control field in recent years . The paper firstly introduces the general structure and characteristics of multibody mechanical systems .Then ,frequently used modeling methods are analyzed andcompared .Advantages and drawbacks of these methods are given afterwards .Moreover ,the paper gives a detailed review of recent results on dif-ferent control schemes and fault-tolerant control methods applied to the multibody mechanical systems . Finally ,some perspectives are provided .%多体机械系统是近年来控制领域研究的难点.本文首先介绍了多体机械系统的结构和基本特性.其次,总结了近年来多体机械系统动力学常用的建模方法,分析了各种建模方案的优缺点.进一步介绍了近年来针对多体机械系统所采用的不同控制方法.最后,列举了容错控制在多体机械系统中的应用,并对多体机械系统控制未来的发展趋势进行了展望.【期刊名称】《南京航空航天大学学报》【年(卷),期】2017(049)005【总页数】10页(P612-621)【关键词】多体系统;建模理论;控制;容错控制【作者】杨浩;张泽君;姜斌【作者单位】南京航空航天大学自动化学院 ,南京 ,210016;南京航空航天大学自动化学院 ,南京 ,210016;南京航空航天大学自动化学院 ,南京 ,210016【正文语种】中文【中图分类】O313.7随着控制系统规模的日益增大和机器人技术的迅速发展，各类复杂机械系统大规模涌现，如车辆、各类航天器、机械臂、机器人及人体科学等。
五轴联动车铣复合加工中心误差补偿技术的研究
２１ ０ ２年 ９月
范 晋伟 ， ：五 轴联 动 车铣 复合加 工 中心误 差 补偿 技术 的研 究 等
・ ９・ ３
它 的结构 示意 图如 图 １所示 ； 其 抽象 和 提 炼 为 图 ２ 将 所 示 的 ｒ ｉ ｇ ｏ ｈ ｓｓ ｃ ｏ ｄ ｎ ｃ ｍｐｌｘ ｔｕ ｔ ｒ ｃ ａ ａ ｔｒｓｉｓ ｆ ｔ ｅ ｕ ｎ ｎ ＆ ｅ ｓｒ ｃ ｕ ｅ ｈ ｒ ｃｅ ｉｔｃ ｏ ｈ ｔｒ ｉ ｇ ｍ
ｉｌ ｇ ｅ ｔｒ ｗｅ ａ ｂ ｉｄ ｈ ｌ ｎ ｃ ｎ ｅ ， ｉ ｃ ｎ ｕ ｌ ｔ ｅ
收稿 日期 ： ０ ２— ２一 ３ ２ １ ０ Ｏ
基 金项 目 ： 国家 自然 科 学 基 金 赞 助 项 目（ ０７ ０ ４ ； 京 市 教 委 资 助项 目（ Ｍ２０ １０ ５０ ） ５７ ５ ０ ） 北 Ｋ ０ １０ ０ ０３ 作 者简 介 ： 晋 伟 （９ ５ ） 男 ， 西 人 ， 京 工业 大学 机 电学 院 教 授 ， 士 生 导 师 ， 范 １６ 一 ， 山 北 博 主要 从 事 数 字 化 精 密 加 工 与 检 测 方 面 的 研 究 ， Ｅ—ｍａ ） （ ｉ ｌ
在有 误差 条件 下 ， 可得 典 型 体 Ｂ 上 任 意给 定 点 Ｐ在其 低 序体 Ｂ 中的矢量 ｒ 变换关 系 为 ：
［ ］Ａ ［’［］， ［］Ｊ ［ 】ｚ ’［］１＝，［］ ，［Ｉ （ ＝， ］Ａ Ａ Ｋ ’ ） Ｋ ＫＡ ＫＡ
其 中［ ］ 有误 差条 件下 多体 系统 中典 型体 日 为 及 其 低 序 体 Ｂ 坐 标 间 的矩 阵 变 换 ； Ａ Ｋ］、 Ａ Ｋ］ ， ［Ｊ ［Ｊ ［ Ｊ ［ Ｊ 分 别表 示静 止位 置特 征矩 阵 、 止 位 Ａ Ｋ］、 Ａ Ｋ］ 静 置误 差特 征 矩 阵、 动 特 征 变 换 矩 阵 和运 动 误 差 特 运 征矩 阵 。将 它们展 开 如下 ：
多智能体事件触发matlab代码
多智能体事件触发是一种在多智能体系统中协调和控制各个智能体行为的方法。
在这种方法中，智能体之间通过一定的规则和算法来响应其他智能体的状态变化，从而实现系统整体的协调运行。
在实际应用中，多智能体事件触发方法可以应用于无人系统协同控制、智能交通系统、分布式能源管理等领域。
在Matlab中，可以通过编写特定的代码来实现多智能体事件触发控制。
下面将介绍在Matlab中实现多智能体事件触发的基本步骤和代码实现。
1. 确定多智能体系统模型需要确定多智能体系统的模型，包括每个智能体的动力学方程、通信拓扑结构以及事件触发规则。
以双车间隔控制系统为例，系统的动力学方程可以表示为：x1' = -a*x1 + b*(x2 - x1)x2' = -a*x2 + b*(x1 - x2)其中，x1和x2分别代表两个智能体的状态变量，a和b为系统参数。
拓扑结构可以表示为一个邻接矩阵，描述智能体之间的通信连接。
事件触发规则可以选择为定期触发或者条件触发，在代码实现中需要根据具体的规则进行编程。
2. 编写Matlab代码在Matlab中，可以使用ODE45函数对多智能体系统的动力学方程进行数值求解。
需要编写事件触发规则的判定条件，以及根据条件来更新触发时刻。
以下是一个简单的Matlab代码示例：```matlabfunction event_triggered_controla = 1;b = 1;tspan = [0 10];x0 = [0.5; 1];options = odeset('Events', et_events);[t, x] = ode45(et_odefun, tspan, x0, options, a, b);plot(t, x);xlabel('Time');ylabel('State Variables');legend('x1', 'x2');endfunction dxdt = et_odefun(t, x, a, b)dxdt = [-a*x(1) + b*(x(2) - x(1));-a*x(2) + b*(x(1) - x(2))];endfunction [value, isterminal, direction] = et_events(t, x, a, b)value = norm(x(2) - x(1)) - 0.1;isterminal = 1;direction = 0;end```在上面的代码中，首先定义了双车间隔控制系统的动力学方程et_odefun，然后通过ode45函数求解系统的状态变量随时间的变化。
数学中的拓扑动力系统研究
数学中的拓扑动力系统研究数学中的拓扑动力系统研究是一门研究动力学系统中拓扑结构的学科。
拓扑动力系统的研究领域非常广泛，涉及到了多个数学分支，如拓扑学、动力系统理论、微分方程等。
本文将从拓扑动力系统的定义、研究方法以及实际应用等多个方面对该领域进行探讨。
一、拓扑动力系统的定义拓扑动力系统是指在拓扑空间上定义的时间演化系统。
它由两部分组成，一部分是拓扑空间，另一部分是演化规律。
具体地说，拓扑空间可以是欧几里得空间、流形或者更一般的拓扑空间，演化规律则可以用函数、映射或者微分方程等方式来描述。
拓扑动力系统研究的重点是系统的稳定性、周期性以及混沌性质等。
二、拓扑动力系统的研究方法1. 相空间方法：相空间是拓扑动力系统研究中一个重要的概念。
相空间可以看作是系统可能状态的集合，其中每一个点对应着系统的一个状态。
通过研究相空间中的轨迹，可以揭示系统的运动规律。
相空间方法在研究拓扑动力系统的轨道、吸引子等性质时具有重要作用。
2. 不动点理论：不动点是指在动力系统中不受演化规律影响的点。
不动点理论通常用来研究系统的稳定性。
通过分析不动点的性质，可以得到系统在不同参数下的稳定解。
不动点理论在拓扑动力系统的平衡态分析中起到了关键作用。
3. 分岔理论：分岔是指在动力系统中参数变化时出现解的突变现象。
分岔理论的研究可以帮助我们理解系统在不同参数下的行为，在系统发生分岔时，解的性质发生了显著变化，从而使我们可以探索系统的多样性。
三、拓扑动力系统的实际应用拓扑动力系统的研究不仅仅是理论性的，它也有着广泛的实际应用。
以下是一些典型的应用领域：1. 生物科学：拓扑动力系统可用于描述生物种群的迁移、扩散等动态过程。
通过研究系统的稳定解和周期解，可以揭示种群演化规律，对生态系统的保护和管理起到指导作用。
2. 经济学：拓扑动力系统可以用来描述经济系统的动态行为。
通过建立合适的模型，可以研究经济系统中的不稳定现象和周期性波动，为政策制定者提供决策依据。
多体系统动力学基本理论
The orientation cosine matrix is A A1 A2 A3 (i j k i3 j3 k3 )
k 2 (k3 ) k (k1 )
j3
j2
1
i
j
k i1 k2 k k1 sin j2 cos k2 sin (sin i3 cos j3 ) cos k3 i1 i2 cos i3 sin j3 k2 k3
i1 j1 k1
cos sin 0 A1 sin cos 0 0 0 1
i
i1 (i2 ) i3
j
i1 j1 k1
i1 i2 j j 1 A2 2 , k1 k 2
(i1 )
i2 j2 k2
0 0 1 A2 0 cos sin 0 sin cos
i2 j2 k2
(k 2 )
i3 j3 k3
i2 i3 cos sin 0 j2 A3 j3 , A3 sin cos 0 k 2 k3 0 0 1 i i1 i2 i3 j j j j A1 1 A1 A2 2 A1 A2 A3 3 k k1 k 2 k3
Name DADS ADAMS Formulation method Newton Euler First Lagrange Results Time history Animation Time history Animation Frequency Response Time history
闭环多体系统拓扑结构的动态搭建及其自动规则标号
以手工的方式推导， 因而多体系统核心任务之一是
通过软件建立和求解复杂的系统动力学方程． 只需 输入必要的系统构成信息， 多体系统动力学分析软
件 应 自动完 成 系统 动 力学 方 程 的 建立 ． 中 ， 统 其 系 拓扑结 构对 任何 软 件 都是 必 要 的输 入． 原则 上 ， 铰
添加 该铰 后 ， 连通 矩 阵 中行 列 指 标 属 于集 合 ， 令 ＝
其 中， 标 ｉ 指 和 的取值 范 围为 ０到 ／． 通矩 阵具 １连 有 以下几 个重要 性质 ： １ ．连通矩 阵是 对称矩 阵
１ 动态连通矩 阵及 其切 断铰 的自动选取
只要保 证多 体 系统 中物 体 和 铰 的标 号 是 连 续 的， 系统 的拓 扑结 构就 可 由铰 与物体 之 间 的关 联 矩 阵
与物体之间的连接状况包含了全部系统拓扑信息 ，
但现实中很多软件要求使用者提供切断铰信息 ， 有
的甚 至要 求 号 ［－］Ａ Ａ Ｓ由于采 用欧拉 建模 方法 从 而避 １ ．Ｄ Ｍ ６
Ｉ ： Ｈ … Ｈ、 Ｈ ：
Ｊ Ｉ Ｈ ＝ Ｈ
ｉ …
Ｈ： １
Ｉ
（） １
和
免了对物体和铰进行规则标号 ， 其代价是要求求解 器能够可靠高效地求解维数较 高的微分代数混合 方程组． ｉｐｃ 采用 了铰坐标从而降低 了系统方 Ｓ ａｋ ｍ 程的维数 ， 但却要求使用者指定切断铰． 然而 ， 如果 系统构型很复杂 ， 人为选定切断铰和规则编号 的过 程中很容易出现各种错误． 系统拓扑传统的切断铰定 义为系统 回路 中的
的连通 状况．
ｆ 如果物体 Ｂ 和 连通或者 ｉ １ 。 ＝
“¨ １ 如 物 不 通 一０ 果 体Ｂ和 连
多体动力学在机械工程领域的应用_刘又午
{D( x) } = [ Ex ] - 1 {$ ( x) }
(8)
适当选取测点位置, 可得唯一解。同理可辨识 Y 和
Z 向的 12 项误差。并可由直线度误差算出轴间垂 直度误差[ 18] 。
当在加工中心上安装测头进行工件在机测量
时, 除应对机床误差进行补偿外, 还应辨识测头测
量误差: Dp x 、Dpy 、Dp z、Ep x 、Epy 、Ep z 和测头安装误差: Dtx 、Dty 、Dtz、Etx 、Ep y、Etz [ 19] , 并给予补偿。当机床具有
如以 4 × 4 矩阵 AJ K 取代 3 × 3 矩阵, 则有
p k1
[AJ K] =
SJ K
p k2
(5)
p k3
0 0 01
式中, p k1、pk2 和 pk3 为相邻典型点间的距离分量,
可含位置、位移和误差等。两种矩阵可视不同情况
采用, 结果相同。
具体到数控机床, 一般以床身为惯性参考系,
从参考系到刀具和工件的切削点形成两个分支。
图 1 驱动转矩实验的时间历程
图 2 驱动转矩计算结果
2. 2 频率域分析[ 16]
仍 以 PU MA 760 工业机器人为例, 用上述程
序, 在单位脉冲力作用下, 按动力学正问题, 可解
得 各广义坐标的时域解 xl ( t) 。经采样加窗, 可得
离散的时域函数
x*l ( t) = xl( t) s( t) w( t)
差: Dx ( x) 、Dy( x ) 、Dz( x) ;
角 位 移 误 差: Ex ( x) 、 Ey ( x) 、Ez ( x) 。此 6 项误差
皆与 X 坐标位置 x 有关。
对三坐标数控机床应有
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H2 H3 B1
的 描
对于规则编号的系统仅需要i+即可
H1 B0
述 关联数组是描述系统拓扑的最简单形式，常用于程序的
输入。
多 体
关联矩阵
系
统 动 力
定义(NB+1)NH阶二维数组： 第i行反映了Bi与各铰的联结关系
NB=Number of Body
第j列反映了Hj与各刚体的联结关系
学
二
1 S* 1
构
1
的 或写成矩阵形式为：
描 述 01n T T
1n @114,1,21,.4..31T
n个
该式是一个一般的公式，适用于任何系统。
多 体
关联矩阵和通路矩阵的特点
系
统
动 力
TS ST E
学
S0T [1, 1, 1,..., 1] 1nT
二
拓
扑 在符号规则下：
结 S、T均为上三角阵
ωω23
= =
ω0 ω0
+ +
Ω1 Ω1
+ +
Ω2 Ω3
二 的转动角速度为Ωi，而每个刚
ω4 = ω0 + Ω1 + Ω3 + Ω4
拓 扑
体的绝对角速度为ωi，则有
ω5 = ω0 + Ω1 + Ω3 + Ω5
利用 Tji，可以把上式写成一个统一的公式
5
结
ωi ω0 Tji Ωj (i 1, 2,...5)
多 体
本节内容
系
统
动 问题：如何描述多体系统中刚体的运动？
力
学
二 内容1：R-W方法 拓 内容2：多体系统的拓扑结构 扑 结 构 的 描 述
多 体
R-W方法
系
统 动 力 学
ω1 = ω0 + Ω1
ωω23
= =
ω0 ω0
+ +
Ω1 Ω1
+ +
Ω2 Ω3
二
ω4 = ω0 + Ω1 + Ω3 + Ω4
拓 扑 结 构 的 描 述
多 体
多体系统的拓扑构型
系
统 铰一般可以用一个或两个点表示其位置。
动
力
例：旋转副：一点。
学
滑移副：两点。
二
多体系统中各体的联系方式称 为系统的拓扑构型（拓扑）Βιβλιοθήκη 拓 需要一个已知运动的物体作为
扑 结
基础(B0)。
构 铰定义为有方向的线段：
的
描述体间的相对运动
描 述
定义体间作用力的方向
动 力
规律为已知的物体有铰联系，称该系统为有根系统。
学 与系统外运动规律为已知的物体无任何铰联系的系统
二 称为无根系统。
拓
扑
结
构
的
描 述
如果将描述无根系统运动的参考系记为B0，通过一个虚 铰与系统中某体相关联，则无根系统与有根系统在拓
扑结构上取得一致。
多 体
树系统和非树系统
系
统 任意两个物体之间路为唯一的多体系统称为树系统，
的 6
H2 2
B1
描 述
B5
H1 1
B0
Stanford机械手
多 体
关联数组
系
统 动
定义两个NH(Number of Hinge)阶一维整数数组：
力
学
i 0 1 1 3 3
B4
二
i 1 2 3 4 5
拓
铰：1 2 3 4 5
扑 i+对应于铰的内接体
结 i-对应于铰的外接体
构
H4
B5
B2
H5 B3
拓 系统结构，用数学语言进行了成功的描述，给出的多 扑 刚体系统动力学一般公式的矩阵形式。
结
构
它山之石，可以攻玉
的
描
述
多 体
图论
系 统
图论是研究图的一门学科，由欧拉开始。
动 力
图是指由线（边、弧）连接的点（顶点）的集合，顶点
学 的位置分布和边的长短曲直都无关紧要，重要的是图的
联接结构。
二 哥尼斯堡七桥问题。
拓
ω5 = ω0 + Ω1 + Ω3 + Ω5
扑 写成矩阵形式：
结 构
01n T T
1n @114,1,21,.4..31T
的
n个
描
如何写出矩阵T？
述
多 体
R-W方法
系
统
动 美国圣地亚哥大学的Roberson 和德国卡尔斯路大学的
力 学
Wittenburg 进行了合作。
二
他们首先在多刚体系统动力学的研究中引入了数学中 图论(Graph Theory)的有关概念，把千姿百态的具体
0 0
0 0
0 1 0 0 0 1
H1 B0
多 体
关联矩阵
系
统 关联矩阵描述了系统的拓扑构型。
动
力
学
1 0 0 0 0
S0
二
1
1
1
0
0
拓 扑
0 1 0 0
S
0
0 1 1
0
1
S
结
0 0 0 1 0
构 的
0 0 0 0 1
描 述
对于规则标号法:S0的第一个元素为1，其它为0； S为上三角阵，且对角元素为-1。
ij
如果Bi与H
j
相关联，且Bi为H
的起点
j
如果Bi与H
j
相关联，且Bi为H
的终点
j
拓
0
如果Bi与H
不相关联
j
B4
扑
H1 H2 H3 H4 H5
结
B0 1 0 0 0 0
H4
B5
构 的 描 述
B1
1
1
1
0
S*
B2
0
1
0
0
B3 0 0 1 1
0
0
1
B2 H2
H5 B3 H3 B1
B4 B5
多 体
通路
系
统 动
如果由物体Bi，沿一系列物体和铰到达物体Bj，其中没有一
力 学
个铰被重复通过，则这组铰(或物体)构成物体Bi至Bj的路。
二
H
H
拓 H Bi
扑
i
j
H Bi
Bj
i
j
Bj
结 构
H2
B2
的
B1
描 H1
述
B0
H2 B2
B1 H1
B0
多 体
有根系统和无根系统
系
统 工程中大多数对象的多体系统力学模型与系统外运动
多 体
通路矩阵
系
统 动
T @(Tji )NHNB
第i列反映了Bi返回B0时要经过的铰。
力
学
二
1 Tji 1
H j在Bi B0的路上，且H j指向B0 H j在Bi B0的路上，且H j背向B0
拓
0
H j不在Bi B0的路上
B4
扑 结
B1 B2 B3 B4 B5
构
O1 1 1 1 1 1
的 描 述
O2
0
T O3 0
O4
0
1 0
0
0
0 1 1 1
0
0
1
0
O4
B5
B2
O5 B3
O2 O3 B1
O5 0 0 0 0 1
O1
B0
多 体
通路矩阵
系
统 动 力 学
通路矩阵可以很方便用于描述
系统内部相对运动的关系。如
图，设 B0 运动已知，每个刚体 相对其前置刚体（内接刚体）
ω1 = ω0 + Ω1
多 体
树系统的规则标号方法
系
统 动
限定只有一个铰与B0连接
力
学
二 拓 扑 结 构 的 描 述
多 体
树系统的规则标号方法
系
H
统 动
铰的方向一律背离零刚体B0
力 体的序号大于其内接体的序号
H Bi
i
j
Bj
学
体的序号与其内接铰序号相同
二
B3
H2 B2
拓
B4
扑
4
H4
Z3
H3
B2
B1 H1
B0
结 构
5 H5
动 力
反之称为带回路的系统，或者非树系统。
学
二 拓 扑 结 构 的 描 述 树系统
树系统
非树系统
多 体
树系统的内接和外接
系
统 沿着路的方向称为外接，反之为内接。
动
力 学
在体Bi的内(外)侧且与Bi相邻的体称为Bi的内(外)接体。
二 与体Bi相连且在Bi内侧的铰称为Bi的内接铰。
拓 扑 结 构 的 描 述