上海市松江区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案)

高三数学 第1页 共9页松江区2018学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟） 2018．12一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．设集合{1}A x x =>，{0}3xB xx =<-，则A B = ▲ ．2．若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z = ▲ ．3．已知函数()y f x =的图像与函数xy a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a = ▲ ．4．已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++= ▲ ．5．若增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+m m m m 2111的线性方程组无解，则实数m 的值为 ▲ ．6．已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 ▲ ．7．若向量a ，b 满足()7a b b +⋅=，且3a =，2b =，则向量a 与b 夹角为 ▲ ． 8．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,若()22π6,3c a b C =-+=，则ABC ∆的面积= ▲ ． 9．若函数lg(1)1()sin 0x x f x xx ⎧->=⎨<⎩，则()x f y =图像上关于原点O 对称的点共有 ▲对．10．已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点，若||||AB AC =，则AB AC ⋅的最小值是 ▲ ．11．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当21e y e x OP +=时，则称有序实数对()y x ,为点P 的广义坐标．若点B A 、的广义坐标分别为()()2211,,y x y x 、．对于下列命题： ①线段B A 、的中点的广义坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ； ②B A 、两点间的距离为()()221221y y x x -+-；③向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221y x y x =；高三数学 第2页 共9页④向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是02121=+y y x x ． 其中的真命题是 ▲ ．（请写出所有真命题的序号）12．已知函数)(x f 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x R ∈都成立．若当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为]2,1[，则当[100,100]x ∈-时，函数)(x f 的值域为 ▲ ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．13．过点 (0,1) 且与直线210x y -+=垂直的直线方程是A ． 210x y +-=B ． 210x y ++=C ． 220x y -+=D ． 210x y --= 14．若0a >，0b >，则x y a b x y a b +>+⎧⎨⋅>⋅⎩是x ay b>⎧⎨>⎩的A ． 充分非必要条件B ． 必要非充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分又非必要条件 15．将函数()2sin(3)4f x x π=+的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若12()()9g x g x ⋅=，其中[]12,0,4x x π∈，则12x x 的最大值为 A ．9B ．375C ．3D ．116．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作()C P d ,．若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集(){}1,|≤=C P d P D 所表示的图形的面积为A ．36B ．3336-C ．π+36D ．π+-3336三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知向量(3sin ,1)a x =， (cos ,1)b x =-． （1）若a ∥b ，求tan2x 的值；高三数学 第3页 共9页（2）若()()f x a b b =+⋅，求函数)(x f 的最小正周期及当]2,0[π∈x 时的最大值．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数2()21x f x a =-+ （常数a R ∈） （1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）当)(x f 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有()2x mf x ≥成立，求m 的最大值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干个月内,该产品每月的收入平均比上一月增长50%．同时，该产品第1个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元． (1) 分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出，并判断第6个月该产品的收入是否足够支付第6个月的维护费支出？(2) 从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总支出包括维护费支出和研发投资支出）20． （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知曲线Γ上的任意一点到两定点1(1,0)F -、2(1,0)F的距离之和为l 交曲线Γ于A 、B 两点，O 为坐标原点． （1）求曲线Γ的方程；高三数学 第4页 共9页（2）若l 不过O 点且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ．求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若OA OB ⊥，求AOB ∆面积的取值范围．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于给定数列{}n a ，若数列{}n b 满足：对任意*N n ∈，都有()()011<--++n n n n b a b a ，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“相伴数列”．（1）若n n n b a c =+，且数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，试写出{}n c 的一个通项公式，并说明理由；（2）设12-=n a n ，证明：不存在等差数列{}n b ，使得数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”；（3）设12-=n n a ，1-⋅=n n q b b （其中0q <），若{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，试分析实数qb 、的取值应满足的条件．2018.12松江区2018学年度第一学期高三期末考试 数学试卷参考答案一、填空题1．{13}x x << ； 2． 1 ； 3． 2 ； 4． 12； 5． -1； 6． 1 ； 7． 6π8．29．4； 10．12-； 11．①③； 12． 100100[2,2]-；12．令1t x =+，则有()(2)4f t f t ⋅-=，即4(2)()f t f t -=当[0,1]t ∈时，2[1,2]t -∈，又()[1,2]f t ∈，∴4[2,4]()f t ∈ 即当[1,2]x ∈时，()f x 的值域为[2,4] ∴当[0,2]x ∈时，()f x 的值域为[1,4]高三数学 第5页 共9页∵)(4)2()2(4)()(1)(4)1()1(1)()(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f =+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-⇒⎩⎨⎧=-⋅+=-⋅∴当[2,4]x ∈时，()f x 的值域为[4,16]，[4,6]x ∈时，()f x 的值域为6[16,2]，依此类推可知，当[2,22]x k k ∈+时，()f x 的值域为222[2,2]k k +， ∴当[0,100]x ∈时，()f x 的值域为100[1,2]又，1()()f x f x =-，当[100,0]x ∈-时，[0,100]x -∈，100()[1,2]f x -∈ ∴100()[2,1]f x -∈ 综上，当[100,100]x ∈-时，函数)(x f 的值域为100100[2,2]-.二、选择题13．A 14．B 15．A 16．D17．解：（1）由//a b 得, cos x x =， ……………………………………2分∴tan x =……………………………………………4分∴22tan tan 1tan xx x==-……………………………………………6分 （2）2()()3sin cos cos f x a b b x x x =+⋅=+ ………………………………………8分1112cos2sin(2)2262x x x π=++=++ …………………………………10分 ∴函数)(x f 的最小正周期为22T ππ== …………………………………12分当]2,0[π∈x 时，72666x πππ≤+≤∴当262x ππ+=，即6x π=时，max 3()()62f x f π== …………………………………14分18．解：（1）若)(x f 为奇函数，必有(0)10f a =-= 得1a =，……………………2分当1a =时，221()12121x x x f x -=-=++，2112()()2121x xx x f x f x -----===-++∴当且仅当1a =时，)(x f 为奇函数 ………………………4分又2(1)3f a =-，4(1)3f a -=-，∴对任意实数a ，都有(1)(1)f f -≠∴)(x f 不可能是偶函数 ………………………6分 （2）由条件可得：222()2(1)(21)32121x x xx x m f x ≤⋅=-=++-++恒成立， ……8分 记21x t =+，则由[2,3]x ∈ 得[5,9]t ∈， ………………………10分高三数学 第6页 共9页此时函数2()3g t t t=+-在[5,9]t ∈上单调递增， ………………………12分 所以()g t 的最小值是12(5)5g =， ………………………13分所以125m ≤ ，即m 的最大值是125 ………………………14分19．解：记产品从第一个月起，每个月的收入为数列{}n a ，每个月的维护费支出为数列{}n b ， 则1340()2n n a -=⋅，10050(1)n b n =+- ………………………4分(1) 第6个月的收入为：56340()303.752a =⋅≈万元，第6个月的维护费为：610050(61)350b =+⋅-=万元，………………………6分∴第6个月的收入还不足以支付第6个月的维护费 ………………………7分(2)到第n 个月，该产品的总收入为340[1()]3280()803212n n n S ⋅-==⋅-- …………9分 该产品的总支出为2(1)1005040025754002n n n T n n n -=+⨯+=++ …………11分 由题意知，只需 0n n S T ->，即23515()(6)021616n n n -++> …………12分 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=10.∴从第10个月起，该产品的总收入首次超过总支出 ………………14分注：921023515()38.44,99639.75216163515()57.66,1010646.6321616≈⋅+⋅+≈≈⋅+⋅+≈20. 解：（1）由题意知曲线Γ是以原点为中心，长轴在x 轴上的椭圆， …………1分设其标准方程为22221x y a b+=，则有1a c ==，所以2221b a c =-=，∴2212x y += …………4分 （2）证明：设直线l 的方程为(0,0)y kx b k b =+≠≠， ……………………5分 设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y则由2212y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得222()2x kx b ++=，即222(12)4220k x kbx b +++-=∴122412kb x x k +=-+，∴12022212x x kb x k +==-+ ……………………8分高三数学 第7页 共9页2002221212k b by kx b b k k =+=-+=++，0012OM y k x k==-， ……………………9分∴直线OM 的斜率与 l 的斜率的乘积=1122OM k k k k ⋅=-⋅=-为定值 …………10分（3）解法一：设1122(,),(,)A x y B x y则由OA OB ⊥知，12120x x y y +=，即1212x x y y =-，∴22221212x x y y = ………11分AOB S ∆==………12分 因A 、B 两点在椭圆上，有 221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 也即 22221122(2)(2)4x y x y ++= 得222222122112522x y x y x x +=-∴AOB S ∆=…………………13分 又由221122221212x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 得2222222222121212121211(1)(1)1()2224x x y y x x x x x x =--=-++=∴22221212122()434x x x x x x +=-≥ ∴ 2212409x x ≤≤ …………………15分∴2[3AOB S ∆= …………………………………………16分 解法二：当直线OA 、OB 分别与坐标轴重合时，易知AOB ∆的面积2AOB S ∆=，…11分 当直线OA 、OB 的斜率均存在且不为零时，设直线OA 、OB 的方程为：y kx =、 1y x k=-， 点1122(,),(,)A x y B x y ，由2212y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得22222x k x +=，∴212221x k =+，代入y kx = 得2212221k y k =+ …………………………………12分 同理可得222222k x k =+，22222y k =+高三数学 第8页 共9页∴12AOBS OA OB ∆=⋅= …………………………………………13分 令21t k =+，[1,)t ∈+∞，则12AOB S OA OB ∆=⋅===………14分 由[1,)t ∈+∞知2[,32AOB S ∆∈ …………………………………………15分 综上可知，2[,32AOB S ∆∈ …………………………………………16分 21． 解：（1）(1)nn c =-， …………………………………………2分此时，1211111()()[(1)][(1)](1)0n n n n n n n n n n n a b a b a a a a ++++++--=------=-< 所以{}n b 是数列{}n a 的“相伴数列”． …………………………………………4分 注：答案不唯一，{}n c 只需是正负相间的数列．（2）证明，假设存在等差数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，则有11b ≠ …………5分 若11b <，则由12(1)(3)0b b --< 得23b >…①， 又由23(3)(5)0b b --< 得35b <又因为{}n b 是等差数列，所以13226b b b +=<，得23b <，与①矛盾 …………7分 同理，当11b >，则由12(1)(3)0b b --< 得23b <…②， 又由23(3)(5)0b b --< 得35b >又因为{}n b 是等差数列，所以13226b b b +=>，得23b >，与②矛盾 ……………9分所以，不存在等差数列{}n b ，使得数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列” ………………10分（3）由于12-=n n a ，易知0≠b 且1≠b ，①当1>b 时，11a b >，由于对任意*N n ∈，都有()()011<--++n n n n b a b a ，故只需2221210k k k k a b a b ++->⎧⎨-<⎩*()k N ∈， ………………12分 由于0q <，所以当*,2N k k n ∈=时，n k n a bqb <<=-012， 故只需当*,12N k k n ∈+=时，n k k n a bq b =>=222，即b q k<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22对*N k ∈恒成立，得2-≤q ； ………………13分 ②当10<<b 时，11a b <，220a bq b <<=，与()()02211<--b a b a 矛盾，不符合题意； ……14分 ③当1-<b 时，11a b <，当*,12N k k n ∈+=时，n k n a bq b <<=02，高三数学 第9页 共9页故只需当*,2N k k n ∈=时，n k k n a bqb =>=--12122， 即b q k >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-122对*N k ∈恒成立，得2-≤q ； ……………15分 ④当01<≤-b 时，11a b <，则222=>=a bq b ，下证只需2>bq ： 若2>bq ，则bq 2<，当*,12N k k n ∈+=时，n kn a bq b <<=02，当*,2N k k n ∈=时，n k k k k k n a bb b bqb =≥⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅>=-----12122212122212， 符合题意． ……………17分综上所述，实数q b 、的取值应满足的条件为：()()(]2,,,11-∞-∈+∞-∞-∈q b ，或[)2,0,1>-∈bq b ………………18分。