天津市六校联考高三数学上学期期末试卷 理(含解析)

2015-2016学年天津市六校联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，M={2，3，4，6}，N={1，4，5}，则{1，5}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∩N D．M∩∁U N2．若{b n}满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3 B．4 C．7 D．23．执行如图的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 B．C．1 D．﹣14．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=2，BC=，∠CAB=120°，则∠AOB对应的劣弧长为（）A．πB．C．D．5．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，cosA=，b=2，面积S=3，则a为（）A．B． C． D．6．给出下列命题：①若a，b，m都是正数，且，则a＜b；②若f'（x）是f（x）的导函数，若∀x∈R，f'（x）≥0，则f（1）＜f（2）一定成立；③命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是真命题；④“|x|≤1，且|y|≤1”是“|x+y|≤2”的充分不必要条件．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④7．已知双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）的交点为：A、B，A、B连线经过抛物线的焦点F，且线段AB的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．3 D．8．已知定义在R上的函数，当x∈[0，2]时，f（x）=8（1﹣|x﹣1|），且对任意的实数x∈[2n ﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，且n≥2），都有f（x）=，若方程f（x）=|log a x|有且仅有四个实数解，则实数a的取值范围为（）A．B．C．（2，10） D．[2，10]二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上）9．若复数的实部和虚部互为相反数，则b= ．10．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是．11．如图，函数y=x2与y=kx（k＞0）的图象所围成的阴影部分的面积为，则k= ．12．一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为．13．圆O中，弦，则的值为．14．已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为．三、解答题（本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1，且f（x）的周期为2．（Ⅰ）当时，求f（x）的最值；（Ⅱ）若，求的值．16．在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知a2=2，S5=15．公比为2的等比数列{b n}满足b2+b4=60．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．17．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC 的中点，F在SE上，且SF=2FE．（1）求证：AF⊥平面SBC；（2）在线段上DE上是否存在点G，使二面角G﹣AF﹣E的大小为30°？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由．18．椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为4，且以双曲线=1的实轴为短轴，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．19．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+（﹣1）n（n∈N*）．（1）若b n=a2n﹣1﹣，求证：数列{b n}是等比数列并求其通项公式；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证： ++…+＜3．20．已知函数h（x）=﹣2ax+lnx．（1）当a=1时，求h（x）在（2，h（2））处的切线方程；（2）令f（x）=x2+h（x）已知函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1•x2＞，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在x0∈[1+，2]，使不等式f（x0）+ln（a+1）＞m（a2﹣1）﹣（a+1）+2ln2对任意a（取值范围内的值）恒成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年天津市六校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，M={2，3，4，6}，N={1，4，5}，则{1，5}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∩N D．M∩∁U N【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据1、5∉M，而且A显然不符合条件，从而得出结论．【解答】解：∵1、5∉M，故排除 B、D，A显然不符合条件，故选：C．【点评】本题主要考查元素与集合的关系判定，两个集合的交集、补集运算，属于基础题．2．若{b n}满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3 B．4 C．7 D．2【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z=x+2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．执行如图的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 B．C．1 D．﹣1【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；归纳法；算法和程序框图．【分析】框图首先给变量S，k赋值S=2，k=1，然后判断k＜2016是否成立，成立则执行S=，否则跳出循环，输出S，然后依次判断执行，由执行结果看出，S的值呈周期出现，根据最后当k=2015时算法结束可求得S的值．【解答】解：框图首先给变量S，k赋值S=2，k=1．判断1＜2016，执行S==﹣1，k=1+1=2；判断2＜2016，执行S==，k=2+1=3；判断3＜2016，执行S==2，k=3+1=4；判断4＜2016，执行S==﹣1，k=4+1=5；…程序依次执行，由上看出，程序每循环3次S的值重复出现1次．而由框图看出，当k=2015时还满足判断框中的条件，执行循环，当k=2016时，跳出循环．又2015=671×3+2．所以当计算出k=2015时，算出的S的值为．此时2016不满足2016＜2016，跳出循环，输出S的值为．故选：B．【点评】本题考查了程序框图，是当型结构，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件，跳出循环，算法结束，解答的关键是算准周期，是基础题．4．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=2，BC=，∠CAB=120°，则∠AOB对应的劣弧长为（）A．πB．C．D．【考点】圆周角定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】由正弦定理求出sin∠ACB=，从而∠AOB=，进而OB=，由此能求出∠AOB对应的劣弧长．【解答】解：由正弦定理知：=， =，∴sin∠ACB==，∴，∴∠AOB=，∴OB=，∴∠AOB对应的劣弧长： =π．故选：C．【点评】本题考查劣弧长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．5．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，cosA=，b=2，面积S=3，则a为（）A．B． C． D．【考点】正弦定理．【专题】方程思想；综合法；解三角形．【分析】由同角三角函数基本关系可得sinA，再由面积公式可得c值，由余弦定理可得．【解答】解：在△ABC中cosA=，∴sinA==，∵b=2，面积S=3，∴S=bcsinA，∴3=×2c×，解得c=5，∴由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，=b2+c2﹣2bccosA=13，即a=．故选：A．【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题．6．给出下列命题：①若a，b，m都是正数，且，则a＜b；②若f'（x）是f（x）的导函数，若∀x∈R，f'（x）≥0，则f（1）＜f（2）一定成立；③命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是真命题；④“|x|≤1，且|y|≤1”是“|x+y|≤2”的充分不必要条件．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】①根据不等式的性质进行判断．②根据函数单调性和导数的关系进行判断．③根据含有量词的命题的否定进行判断．④根据充分条件和必要条件进行判断．【解答】解：①若a，b，m都是正数，且，则等价为ab+bm＞ab+am，即bm＞am，则b＞a，即a＜b；成立，故①正确，②若f′（x）是f（x）的导函数，若∀x∈R，f'（x）≥0，则f（1）＜f（2）不一定成立，比如f（x）=3，f′（x）=0，满足∀x∈R，f'（x）≥0，但f（1）=f（2），故②错误；③命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣2x+1≥0，∵（x﹣1）2≥0恒成立，故③正确；④若“|x|≤1，且|y|≤1”，则﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，则﹣2≤x+y≤2，即|x+y|≤2成立，反之，若x=3，y=﹣3，满足|x+y|≤2，但|x|≤1，且|y|≤1不成立，即“|x|≤1，且|y|≤1”是“|x+y|≤2”的充分不必要条件，故④正确，故选：D【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，但难度不大．7．已知双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）的交点为：A、B，A、B连线经过抛物线的焦点F，且线段AB的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．3 D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知条件推导出|AB|=2p=2b，从而得到A（），由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）的交点为：A、B，A、B连线经过抛物线的焦点F，且线段AB的长等于双曲线的虚轴长，∴|AB|=2p=2b，即p=b，∴A（），把A（）代入双曲线，得，整理，得：b2=8a2，∴c2=a2+b2=9a2，∴c=3a，∴e==3．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线、抛物线的简单性质．8．已知定义在R上的函数，当x∈[0，2]时，f（x）=8（1﹣|x﹣1|），且对任意的实数x∈[2n ﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，且n≥2），都有f（x）=，若方程f（x）=|log a x|有且仅有四个实数解，则实数a的取值范围为（）A．B．C．（2，10） D．[2，10]【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；分类讨论；转化法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）=|log a x|，分别作出函数f（x）和y=|log a x|的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：当x∈[0，2]时，f（x）=8（1﹣|x﹣1|），当n=2时，x∈[2，6]，此时﹣1∈[0，2]，则f（x）=f（﹣1）=×8（1﹣|﹣1﹣1|）=4（1﹣|﹣2|），当n=3时，x∈[6，14]，此时﹣1∈[2，6]，则f（x）=f（﹣1）=×4（1﹣|﹣|）=2（1﹣|﹣|），分别作出函数f（x）和y=|log a x|的图象，若0＜a＜1，则此时两个函数图象只有1个交点，不满足条件．若a＞1，在（0，1）上两个函数有一个交点，要使方程f（x）=|log a x|有且仅有四个实数解，则等价为当x＞1时，两个函数有3个交点，由图象知当对数函数图象经过A时，两个图象只有2个交点，当图象经过点B时，两个函数有4个交点，则要使两个函数有3个交点，则对数函数图象必须在A点以下，B点以上，∵f（4）=4，f（10）=2，∴A（4，2），B（10，2），即满足，即，解得，即2＜a2＜10，∵a＞1，∴＜a＜，故则a的取值范围为是（，），故选：A【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数零点和方程之间的关系，将条件转化为两个函数交点问题，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一点的难度．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上）9．若复数的实部和虚部互为相反数，则b= ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部和虚部互为相反数求得b值．【解答】解：，由题意可得：2﹣2b=b+4，解得：b=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是21 ．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】先通过给x赋值1得到展开式的各项系数和；再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为﹣3得到展开式中的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数和为2n∴2n=128解得n=7∴展开式的通项为T r+1=令7﹣=﹣3，解得r=6∴展开式中的系数为3C76=21故答案为：21．【点评】本题考查求展开式的各项系数和的方法是赋值法，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．11．如图，函数y=x2与y=kx（k＞0）的图象所围成的阴影部分的面积为，则k= 3 ．【考点】定积分．【专题】计算题．【分析】先联立两个解析式解方程，得到积分区间，然后利用积分的方法表示出阴影部分面积让其等于，列出关于k的方程，求出解即可得到k的值．【解答】解：直线方程与抛物线方程联立解得x=0，x=k，得到积分区间为[0，k]，由题意得：∫0k（kx﹣x2）dx=（x2﹣x3）|0k=﹣==，即k3=27，解得k=3．故答案为： 3【点评】此题是一道基础题，要求学生会利用积分求平面图形的面积．12．一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为15+．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得该几何体为以正视图为底面的棱柱，棱柱的高为1，进而根据柱体的表面积公式得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体为：以正视图为底面的棱柱；高为1，∴几何体的表面积为：2（1+1+1+）+（8+）=15+．故答案为：15+．【点评】本题考查的知识点为：由三视图求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．13．圆O中，弦，则的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】过点O作OD⊥BC交BC于点D，连接AD．则D为BC的中点，．．又，，即可得出．【解答】解：如图所示，过点O作OD⊥BC交BC于点D，连接AD．则D为BC的中点，．．又，，∴=====．故答案为：．【点评】本题考查了三角形外心性质、向量是三角形法则、平行四边形法则、数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，化为=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：∵实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，∴=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．∴k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的直线的斜率．设直线l：y=k（x﹣2），则，化为，解得．∴的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1，且f（x）的周期为2．（Ⅰ）当时，求f（x）的最值；（Ⅱ）若，求的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2ωx+），由T=2，利用周期公式可求ω，由，可得范围，利用正弦函数的图象和性质可得解f（x）的最值；（Ⅱ）由题意可得，解得，利用诱导公式可求cos（）的值，利用二倍角的余弦函数公式即可得解的值．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵=，…（1分）∵T=2，∴，…（2分）∴，…（3分）∵，∴，∴，…（4分）∴，…（5分）当时，f（x）有最小值，当时，f（x）有最大值2．…（6分）（Ⅱ）由，所以，所以，…（8分）而，…（10分）所以，…（12分）即．…（13分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期公式，正弦函数的图象和性质，诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知a2=2，S5=15．公比为2的等比数列{b n}满足b2+b4=60．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=2，S5=15，∴，解得，∴a n=1+（n﹣1）=n．∵公比为2的等比数列{b n}满足b2+b4=60．∴=60，解得b1=6，∴b n=6×2n﹣1=3×2n．（Ⅱ）==•，则T n=．令R n=+…+．则=++…++．两式作差得： =+…+﹣=﹣=1﹣﹣．∴R n=2﹣．故T n=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC 的中点，F在SE上，且SF=2FE．（1）求证：AF⊥平面SBC；（2）在线段上DE上是否存在点G，使二面角G﹣AF﹣E的大小为30°？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）通过证明AF与平面SBC内的两条相交直线垂直即可；（2）抓住两点找到问题的求解方向：一是点G的预设位置，二是二面角G﹣AF﹣E的位置，计算即可．【解答】（1）证明：由AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E是BC的中点，得．因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AE．在Rt△SAE中，，所以．因此AE2=EF•SE，又因为∠AEF=∠AES，所以△EFA∽△EAS，则∠AFE=∠SAE=90°，即AF⊥SE．因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥BC，又BC⊥AE，所以BC⊥底面SAE，则BC⊥AF．又SE∩BC=E，所以AF⊥平面SBC．（2）结论：在线段上DE上存在点G使二面角G﹣AF﹣E的大小为30°，此时DG=．理由如下：假设满足条件的点G存在，并设DG=t．过点G作GM⊥AE交AE于点M，又由SA⊥GM，AE∩SA=A，得GM⊥平面SAE．作MN⊥AF交AF于点N，连结NG，则AF⊥NG．于是∠GNM为二面角G﹣AF﹣E的平面角，即∠GNM=30°，由此可得．由MN∥EF，得，于是有，．在Rt△GMN中，MG=MNtan30°，即，解得．于是满足条件的点G存在，且．【点评】本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18．椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为4，且以双曲线=1的实轴为短轴，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得椭圆的c=2，由双曲线的性质可得b=2，由a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理，由题意可得右焦点F在圆内部，即为＜0，运用向量的数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的焦距为4，∴c=2，又以双曲线的实轴为短轴，∴b=2，a==2，∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由得（1+2k2）x2+4kx﹣6=0，∴x1+x2=，x1x2=，由（1）知右焦点F坐标为（2，0），∵右焦点F在圆内部，∴＜0，∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＜0，即x1x2﹣2（x1+x2）+4+k2 x1x2+k（x1+x2）+1＜0，∴＜0，∴k＜．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆和双曲线的性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+（﹣1）n（n∈N*）．（1）若b n=a2n﹣1﹣，求证：数列{b n}是等比数列并求其通项公式；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证： ++…+＜3．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；等比数列的性质；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用已知递推关系式推出a2n+1=4a2n﹣1﹣1，然后证明，即可证明数列{b n}是等比数列，即可求其通项公式；（2）利用（1）两个数列的关系式，通过n为奇数与偶数求数列{a n}的通项公式；（3）通过n为奇数与偶数分别求解++…+的和，然后判断与3的大小关系即可．．【解答】（本小题满分15分）解：（1）=，…（2分），又．所以{b n}是首项为，公比为4的等比数列，且．…（5分）（2）由（1）可知，…（7分）．…（9分）所以，或…（10分）（3）∴．===…（12分）当n=2k时，=当n=2k﹣1时，＜＜3∴++…+＜3．…（15分）【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，前n项和的求法，数列与不等式的关系，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．20．已知函数h（x）=﹣2ax+lnx．（1）当a=1时，求h（x）在（2，h（2））处的切线方程；（2）令f（x）=x2+h（x）已知函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1•x2＞，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在x0∈[1+，2]，使不等式f（x0）+ln（a+1）＞m（a2﹣1）﹣（a+1）+2ln2对任意a（取值范围内的值）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）当a=1时，h（x）=﹣2x+lnx，h′（x）=﹣2+，求出切线斜率、切点坐标，即可求h（x）在（2，h（2））处的切线方程；（2）对函数求导，由题意可得f′（x）=0有两个不等式实数根x1、x2，且x1•x2＞，根据方程的根与系数关系建立关于a的不等式，从而可求a的范围（3）由（2）中a的范围可判断f（x）在（0，x1），（x1，x2），（x2，+∞）上的单调性及x2=1+＜1+，可得f（x）在[1+，2]单调递增，从而可求f（x）max=f（2），由已知整理可得不等式ln（a+1）﹣ma2﹣a+m﹣ln2+1＞0对任意的a（1＜a＜2）恒成立．通过研究函数g（a）=ln（a+1）﹣ma2﹣a+m﹣ln2+1的单调性可求【解答】解：（1）当a=1时，h（x）=﹣2x+lnx，h′（x）=﹣2+，x=2时，h′（2）=﹣，h（2）=﹣4+ln2，∴h（x）在（2，h（2））处的切线方程为y+4﹣ln2=﹣（x﹣2）；（2）对函数求导可得，f′（x）=（x＞0），令f′（x）=0可得ax2﹣2ax+1=0∴，解得a的取值范围M=（1，2）．…（6分）（3）由ax2﹣2ax+1=0，解得x1=1﹣，x2=1+，而f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增∵1＜a＜2，∴x2=1+＜1+，∴f（x）在[1+，2]单调递增∴在[1+，2]上，f（x）max=f（2）=﹣2a+ln2．∴∃x0∈[1+，2]，使不等式f（x0）+ln（a+1）＞m（a2﹣1）﹣（a+1）+2ln2对∀a∈M恒成立，等价于不等式﹣2a+ln2+ln（a+1）＞m（a2﹣1）﹣（a+1）+2ln2恒成立即不等式ln（a+1）﹣ma2﹣a+m﹣ln2+1＞0对任意的a（1＜a＜2）恒成立．令g（a）=ln（a+1）﹣ma2﹣a+m﹣ln2+1，则g（1）=0，g′（a）=，①当m≥0时，g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上递减．g（a）＜g（1）=0，不合题意．②当m＜0时，g′（a）=，∵1＜a＜2若﹣（1+）＞1，即﹣＜m＜0时，则g（a）在（1，2）上先递减，∵g（1）=0，∴1＜a＜2时，g（a）＞0不能恒成立；若﹣（1+）≤1，即m≤﹣时，则g（a）在（1，2）上单调递增，∴g（a）＞g（1）=0恒成立，∴m 的取值范围为（﹣∞，﹣]．【点评】本题主要考查了函数的导数的应用：函数的导数在求解函数的极值、函数的单调性及函数的最值中的应用，要注意分类讨论思想及构造转化思想的应用．21。