第四章-树和二叉树-说课教案
树与二叉树基本操作ppt课件
F
G
H
I
；.
6
二叉树的定义 树的度不超过2的有序树，非常重要的数据结构。
A
B
C
D
F
G
H
I
；.
7
二叉树的性质
性质1：二叉树第i层上至多有2^(i-1)个结点（i≥1） 性质2：深度为h的二叉树至多有2^h-1个结点。
满二叉树：各层结点均达到2^(i-1) 完全二叉树：除最后一层外，其余各层均满，且最后一层的结点集中在左边。
D
E
完全二叉树 理想平衡树
A
B
C
E
G
理想平衡树
10
二叉树的存储结构
1、线性存储 顺序存储二叉树，首先将二叉树按照完全二叉树中对应
的位置进行标号，然后，以每个结点的标号为下标，将对 应的值存储到一个一维数组中。
i 12345678911 01
T ABCDF
G
HI
可见：完全二叉树用顺序存储极好，但一般二叉 树容易造成空间浪费。
end；
end；
；.
13
2．删除二叉树
Procedure dis(Var bt:tree)； begin
If bt<>Nil then begin dis(bt^.lchild)； {删左子树} dis(bt^.rchild)； {删右子树} dispose(bt)； {释放父结点} end；
end；
{按先序次序输入二叉树中结点的值，
begin
生成二叉树的单链表存储结构}
read(ch)；
if ch=‘’ Then bt:=Nil
{’’表示空树}
else begin
New(bt)；
树与二叉树PPT学习教案
树的深度——指所有结点中最大的层数（Max{各结点的层次}）
(或高度)
问：右上图中的结点数＝13；树的度＝ 3；树的深度＝ 4
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10
3. 树的逻辑结构
(特点)： 一对多（1:n），有多个直接后继（如家谱 树、目录树等等），但只有一个根结点， 且子树之间互不相交。
4. 树的存储结构 讨论1：树是非线性结构，该怎样存储？ ————仍然有顺序存储、链式存储等方式。
data link 1 link 2 ...
link n
麻烦问题：应当开设多少个链域?
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6
左孩子－右兄弟表示法
( A ( B ( E ( K, L ), F ), C ( G ), D ( H ( M ), I, J ) ) )
数据
A
左孩子 右兄弟
B
C
D
E
F
G
HI
J
K
L
M
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A3：易求出总层数和末层叶子数。总层数k=log2n＋1 =10; 且前9层总结点数为29-1=511 (完全二叉树的前k-1层肯定是满的) 所由以于最末后层一叶层子叶数子数为为1408090个-5，1是1奇=数48，9说个明。有1个结点只有非
空左子树；而完全二叉树中不可能出现非空右子树(0个)。
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双亲 ——即上层的那个结点(直接前驱) 孩子 ——即下层结点的子树的根(直接后继) 兄弟 ——同一双亲下的同层结点（孩子之间互称兄弟） 堂兄弟 ——即双亲位于同一层的结点（但并非同一双亲） 祖先 ——即从根到该结点所经分支的所有结点 子孙 ——即该结点下层子树中的任一结点
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4.1树与二叉树教学设计高中信息技术浙教版选修1数据与数据结构
-通过问卷调查Leabharlann 访谈等形式，了解学生的学习需求和反馈意见。
7.延伸拓展，引导学生关注树与二叉树的前沿技术和应用，激发学生的创新意识；
-介绍树与二叉树在人工智能、大数据等领域的研究成果和最新应用；
-鼓励学生参加相关竞赛和科研项目，提升学生的综合素质。
四、教学内容与过程
1.采用启发式教学方法，引导学生自主探究树与二叉树的基本概念和性质，培养学生的自主学习能力；
2.利用实例分析，让学生从实际问题中抽象出树与二叉树的结构，培养学生将理论知识与实际应用相结合的能力；
3.通过小组合作，让学生在讨论、交流中掌握二叉树的遍历方法，培养学生的团队协作能力；
4.引导学生运用递归思想解决问题，培养学生的逻辑思维能力；
-例如，通过组织结构图引入树的概念，让学生了解树在现实生活中的应用；
-通过分析算术表达式的计算过程，引出二叉树的表达和求解方法。
2.利用直观教具和多媒体辅助教学，帮助学生建立树与二叉树的直观认识，降低学习难度；
-使用树形结构图和动画演示，直观展示树与二叉树的结构和操作过程；
-通过编程软件的实时演示，让学生更直观地理解算法实现。
4.1树与二叉树教学设计高中信息技术浙教版选修1数据与数据结构
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解树的基本概念，包括树的定义、基本术语（如根节点、叶子节点、子树、深度、高度等）；
2.学会使用树的结构表示现实世界中的层次关系和数据组织结构；
3.掌握二叉树的特点，了解满二叉树、完全二叉树等特殊二叉树的概念；
-组织小组汇报，分享学习成果，培养学生的表达和沟通能力。
5.强化编程实践，通过上机操作和编程练习，提高学生的实际操作能力；
树和二叉树PPT演示课件
12
三、树的孩子-兄弟(二叉链表)表示法
root
A
A
BC D
B C
EF
A
GB C
E
D
F
G
E
D
F
G
13
14
C语言的类型描述: 结点结构: firstchild data nextsibling
typedef struct CSNode{ ElemType data; struct CSNode *firstchild, *nextsibling;
// 返回该树的深度 if ( T.n == 0) return 0; else return Depth( T, T.r );
} // TreeDepth
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int Depth( CTree T, int root ){
max = 0;
p = T.nodes[root].firstchild;
while ( p ) {
} *ChildPtr;
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双亲结点结构 data firstchild
typedef struct { ElemType data; ChildPtr firstchild;
// 孩子链的头指针 } CTBox;
11
树结构:
typedef struct { CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n , r ; // 结点数和根结点的位置
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6.6.1 最优二叉树（赫夫曼树）
路径长度定义为： 从树中一个结点到另一个结点之间
的分支构成这两个结点之间的路径，路 径上的分支数目叫做路径长度。
树的路径长度定义为： 从树根到每个结点的路径长度
树和二叉树PPT演示课件
先根遍历时结点的
A
JK
EF
G
后根遍历时结点的 访问次序：
EFBCIJKHGDA
H
IJK
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森林
可以分解成三部分：
BCD
EF
G
H
IJK
1. 森林中第一棵树 的根结点；
2. 森林中第一棵 树的子树森林；
3. 森林中其它树构 成的森林。
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森林的遍历
先序遍历 若森林不空，则 访问森林中第一棵树的根结点; 先序遍历森林中第一棵树的子树森林; 先序遍历森林中(除第一棵树之外)其
} PTNode;
6
树结构: typedef struct {
PTNode nodes [MAX_TREE_SIZE]; int r , n ;
// 根结点的位置和结点个数 } PTree;
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二、孩子(链表)表示法:
第一种解决方案
data child1 child2 child3
childd
其中d是结点的度;
应当注意的是，和树对应的 二叉树，其左、右子树的概念 已改变为： 左是孩子，右是兄弟
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6.4.3 树和森林的遍历
25
一、树的遍历 二、森林的遍历
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树的遍历:
先根(次序)遍历:
若树不空，则先访问根结点，然后 依次按先根遍历各棵子树。
后根(次序)遍历:
若树不空，则先依次按后根遍历各 棵子树，然后访问根结点。
4
一、双亲表示法:
data parent
A BC D
0 A -1 r=0 1 B 0 n=7 2C 0
EF
3D 0 4E 2
G
5F 2 6G 5
数据结构详细教案——树与二叉树
数据结构详细教案——树与二叉树一、教学目标1.了解树和二叉树的基本概念和特点；2.掌握树和二叉树的基本操作；3.能够通过递归遍历树和二叉树。
二、教学重难点1.树和二叉树的基本概念和特点；2.递归遍历树和二叉树。
三、教学内容1.树的概念和特点1.1树的定义树是n（n>=0）个节点的有限集。
当n=0时，称为空树；如果不为空树，则1. 树有且仅有一个特殊节点被称为根（Root）；2.其余节点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1，T2，...，Tm，其中每个集合又是一棵树。
1.2节点间的关系- 父节点（parent）是当前节点的直接上级节点；- 子节点（child）是当前节点的直接下级节点；- 兄弟节点（sibling）是具有同一父节点的节点；- 祖先节点（ancestor）是通过从当前节点到根的任意路径可以到达的节点；- 子孙节点（descendant）是通过从该节点到子树的任意节点可以到达的节点。
1.3树的特点-树是一个有层次的结构，可以看作是一个鱼骨图；-树中的每个节点都可以有多个子节点，但只有一个父节点；-树中的节点之间是唯一的，不存在重复节点；-树中的任意两个节点之间都有且仅有一条路径连接。
2.二叉树的概念和特点2.1二叉树的定义二叉树是一种特殊的树结构，它的每个节点最多只能有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
2.2二叉树的特点-二叉树的度最大为2，即每个节点最多有两个子节点；-二叉树的第i层最多有2^(i-1)个节点；-对于任意一颗二叉树，如果其叶子节点数为n0，度为2的节点数为n2，则有n0=n2+1；-完全二叉树是一种特殊的二叉树，除了最后一层的叶子节点外，每一层的节点都是满的。
四、教学过程1.讲解树和二叉树的基本概念和特点，引导学生理解树和二叉树的定义和节点间的关系。
2.分析树和二叉树的基本操作，并通过实例演示操作过程，让学生掌握操作的步骤和方法。
3.运用递归算法遍历树和二叉树的过程，详细讲解前序遍历、中序遍历和后序遍历的定义和实现方法。
树和二叉树PPT课件
有两归个纳孩基子：结点i =，1则层每时一，层只均有比一上个一根层结的点结，点个数多一
倍。
2i-1 = 20 = 1；
归纳假设：假设对所有的 j，1≤ j i，命题成立;
按照归等纳比证数明列：的二定叉义树，上每每一个项结都点可至以多看有作两是棵相子应树每，一则层第
上的结点个数，i 则层，的a结i=点ai*数qi-1=22i-1i-2 2 = 2i-1 。
Dl，Dr
(3)若Dl ， Dr都不为空集，则Dl ， Dr本身又是一棵符 合
本定义的二叉树，称为根root的左右子树。
基本操作P：(见教材)
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} ADT BinaryTree
二叉树的5种基本形态
二叉树的定义
A
A
A
A
B
B
BC
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
空二叉树
根和空的 根和左子树 根和右子树 左右子树
线性表和广义表 栈和队列 数组和广义表
树
……
线性表 广义表
栈
队列 ……
8
树的定义
树的定义
树是由n (n 0)个结点组成的有限集合。 如果n = 0，称为空树； 如果n > 0，则:
有一个特定的称之为根(root)的结点，它只有后继，但没有前
驱；
除根以外的其它结点划分为m(m>0)个互不相交的有限集合T1, T2, …, Tm。
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树的定义
抽象数据类型树的定义
ADT Tree { 数据对象D：D是具有相同特性的数据元素的集合。 数据关系R：若D为空集，则称为空树； 否则: (1) 在D中存在唯一的称为根的数据元素root, (2) 当n>1时，其余结点可分为m (m>0)个互
第四章-树和二叉树-说课教案
第五章树和二叉树说课教案姓名：仇环单位：信息工程系年级与科目：08级计算机应用《数据结构》课题：树和二叉树职称：讲师教龄：1年（各位老师下午好，我说课的题目是树和二叉树）说课的内容包括：一．教学大纲分析二．教材分析三、学情分析四．教学目标五、教学重点与难点六、教学方法七、教学过程八、教学效果预测及教学后记一、教学大纲分析：高职高专教育的人才培养特征是高级技术应用型人才，具体到计算机专业来说，就是培养从事计算机产品生产、维修和编程和实际应用的技术人才。
在计算机专业的课程体系中，《数据结构》不仅是一门重要的专业基础课程，而且是计算机程序设计重要的理论基础，更是计算机等级、专升本等考试的必考课程之一。
它在整个学科体系中具有重要作用，有着不可替代的地位。
本课程的教学不仅重视学生对理论知识的理解和掌握，锻炼学生抽象思维能力和想象能力，更注重实践动手的能力，要求学生能够设计出结构清晰、可读性好、运行效率高的算法，并能够用一种或多种计算机高级程序设计语言实现。
学好这门课程，对培养学生程序设计的能力、设计算法的能力和运用计算机进行数据处理的能力有着深远的意义。
其前导课程为：《C语言程序设计》或《C++语言》。
二、教材分析本教材属于“21世纪高职高专规划教材”，这套教材主要面向高职高专院校学生。
教材内容力求体现以应用为主体，强调理论知识的理解和运用，实现专科教学以实践体系及技术应用能力培养为主的目标。
1、教材特点：本教材的特点可总结为：（1）基础理论知识的阐述由浅入深、通俗易懂。
内容的组织和编排以应用为主线，省略了一些理论推导和数学证明过程，淡化了算法的设计分析和复杂的时空分析。
（2）各章都配有应用举例，列举分析了很多实用的例子，且大多数算法都直接给出了相应的C语言程序，以便上机练习和实践。
（3）便于复习和掌握每章的重点，每章的起始处都给出了要点，并在每章结尾处给出了小结。
2、教材内容：本书共分为8章。
第一章叙述数据、数据结构、算法等基本概念。
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第五章树和二叉树说课教案姓名：仇环单位：信息工程系年级与科目：08级计算机应用《数据结构》课题：树和二叉树职称：讲师教龄：1年（各位老师下午好，我说课的题目是树和二叉树）说课的内容包括：一．教学大纲分析二．教材分析三、学情分析四．教学目标五、教学重点与难点六、教学方法七、教学过程八、教学效果预测及教学后记一、教学大纲分析：高职高专教育的人才培养特征是高级技术应用型人才，具体到计算机专业来说，就是培养从事计算机产品生产、维修和编程和实际应用的技术人才。
在计算机专业的课程体系中，《数据结构》不仅是一门重要的专业基础课程，而且是计算机程序设计重要的理论基础，更是计算机等级、专升本等考试的必考课程之一。
它在整个学科体系中具有重要作用，有着不可替代的地位。
本课程的教学不仅重视学生对理论知识的理解和掌握，锻炼学生抽象思维能力和想象能力，更注重实践动手的能力，要求学生能够设计出结构清晰、可读性好、运行效率高的算法，并能够用一种或多种计算机高级程序设计语言实现。
学好这门课程，对培养学生程序设计的能力、设计算法的能力和运用计算机进行数据处理的能力有着深远的意义。
其前导课程为：《C语言程序设计》或《C++语言》。
二、教材分析本教材属于“21世纪高职高专规划教材”，这套教材主要面向高职高专院校学生。
教材内容力求体现以应用为主体，强调理论知识的理解和运用，实现专科教学以实践体系及技术应用能力培养为主的目标。
1、教材特点：本教材的特点可总结为：（1）基础理论知识的阐述由浅入深、通俗易懂。
内容的组织和编排以应用为主线，省略了一些理论推导和数学证明过程，淡化了算法的设计分析和复杂的时空分析。
（2）各章都配有应用举例，列举分析了很多实用的例子，且大多数算法都直接给出了相应的C语言程序，以便上机练习和实践。
（3）便于复习和掌握每章的重点，每章的起始处都给出了要点，并在每章结尾处给出了小结。
2、教材内容：本书共分为8章。
第一章叙述数据、数据结构、算法等基本概念。
第2~6章分别讨论了线性表、栈和队列、串和数组、树和二叉树、图等的基本数据结构及其应用。
第7章和第8章分别讨论了查找和排序的各种实现方法及其应用。
因为此教材与我们通用的蔚学敏老师的《数据结构》（清华大学版）内容有一定的区别，所以在教材处理上参考了其他《数据结构》教材，对本教材进行了补充。
我说课的内容是第五章第一节。
在《数据结构》中，树这一章既是这门课程的难点也是该课程的重点。
第一节的内容是对第五章内容的基础，对于第五章内容的学习有很重要的意义。
3、文献资料清单：扩大学生的知识面并培养学生的自学能力，为学生的研究性学习和自主学习的开展提供下列文献资料清单：《数据结构》（C语言版），严蔚敏，吴伟民，清华大学出版社。
《数据结构习题集》（C语言版），严蔚敏，清华大学出版社。
《数据结构》，陈雁，高等教育出版社。
三、学情分析本人所教的学生属计算机类专业，08级计算机班共有学生46人，年龄在18-21岁之间，他们正处于自我表现意识和协作学习的愿望最强时期。
拥有较多的业余时间，可利用的课外资源也比较丰富；同时拥有较强的自我意识和自我管理能力，学习目标和职业目标也比较明确，有充分的自主学习条件。
但从他们自身的理论基础而言，他们先行课的掌握不足。
C语言程序设计是《数据结构》的前导课程之一。
学生对它的熟悉、掌握程度，直接关系到数据结构课程的教学效果。
由于C语言是学生最先接触的程序设计语言，编程思想与以往的思维方式不同，教学难度比较大，使得教学时间大部分花费在基本概念上。
而学生对数组、结构体、指针这三种数据类型的认识和理解不深，甚至印象模糊，对函数、函数的参数、函数的返回值、函数调用的理解也不够，对递归及递归过程更是难以理解。
但是，这些内容是数据结构课程的重要基础，在数据结构课程中使用频率很高。
而且数据结构这门课理论性很强，比较抽象，学生掌握起来比较困难，因此我在教学中穿插补充了了C语言中的数组、结构体、指针，在教学过程中更是多以多种形式生动具体的讲述理论知识。
四、教学目标对学生在知识、素质及能力方面的目标如下：1、知识目标（1）掌握树的各种术语，如根、叶子、父结点、兄弟、祖先、子孙等；（2）掌握双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法；（3）掌握二叉树的定义、性质及应用。
2、素质目标（1）工作方法：遇到问题能进行全面分析、解决；（2）合作精神：能够与他人进行合作，具有协调工作能力和组织管理能力。
3、能力与技能要求（1）提高学生的认知能力；（2）培养学生自主学习和团结协作的能力；（3）阅读基本算法程序；（4）能进行算法评价。
五、教学重点与难点1、重点（1）树的各种术语，如根、叶子、父结点、兄弟、祖先、子孙等；（2）掌握双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法；（3）掌握二叉树的定义、性质及应用。
2、落实方法：通过各种教学方法使抽象的概念、算法具体化。
3、难点（1）二叉树的性质及应用；4、突破方法：通过启发法、归纳总结等方法对二叉树的性质逐步分析、最终得到二叉树的性质。
六、教学方法准确的目标为教学活动指明了方向，好的教学方法则为教学活动顺利进行提供了保障。
在计算机教学中努力倡导“以学生为中心，以培养学生应用能力为重点”的教学思想，多种教学方法相结合，鼓励并允许学生充分参与课堂教学活动，从真正意义上实现师生互动，教学相长的良好教学关系。
从激发学生兴趣入手，在课堂教学中灵活运用多种形式来展示教学内容。
本门课程理论性较强、抽象，理解起来比较困难。
因此我用的教学方法多是为引起学生兴趣，激发学生积极性，使学生的思维从抽象到具体再由具体到抽象便于学生理解的方法，如启发式教学、案例法教学、画图法教学、任务驱动式教学、讨论法教学，传统教学手段与多媒体教学相结合等。
1、启发式教学对于数据结构中的某些内容，特别是一些抽象的概念、算法，应尽可能地先从直观意义或直观解释入手，引出实例，进而分析讨论。
比如介绍栈和队列以及树这些抽象的概念的时候，先列举现实生活中的一些例子，这些例子都与这些概念有着密切的关系，这样学生就很容易接受并记住这些概念。
通过这样一个从特殊到一般，从具体到抽象的逐步启发过程之后，往往能够达到很好的效果。
2、示例法本门课程理论性很强，比较抽象难以理解，对于抽象理论知识的学习学生往往会觉得空洞而枯燥，为了使教学更有针对性，我们常常结合一些具体例题。
利用示例的方式，把教学内容与这些内容有机地结合起来。
使学生在学习本课程的过程中，对理论知识的应用、科学研究方法与手段、本学科的前沿研究成果有所了解和掌握。
3、画图法本课程的很多算法是通过图示来解释其过程，如果要理解算法可以把算法的每一步画成图。
特别是线性表、栈和队列、树、图这些存储结构一定要多画图，以图加强理解。
4、开展讨论，培养能力《数据结构》中基本概念、算法较多, 彼此间具有连贯性，一味单纯地讲授教学，学生往往是被动地接受知识，枯燥乏味，往往难以激发学习兴趣。
因此，在课堂教学中，让学生参与教学过程，调动学生的主动性，引导学生发现问题和分析问题，让他们能够自由地、充分地、广泛地进行课堂讨论，从而达到解决问题的目的。
比如，针对课程中的主要问题或疑难问题让学生们展开讨论。
首先，在进行课堂讨论之前，应该确定讨论题目并提出具体要求指导学生搜集有关资料。
其次，在讨论时，要鼓励他们进行独立思考，各抒己见，引导他们逐步深入地对问题进行实质性的分析。
我主要控制讨论的进程，合理分配讨论的时间，并进行及时的总结，从而指导学生进一步思考。
实践证明，课堂讨论可以加深学生对理论知识的理解和记忆，有助于学生养成独立思考问题、相互交流意见的习惯，从而提高他们分析和解决问题的能力。
5、传统教学手段与多媒体技术相结合多媒体技术以其多样生动的形式在计算机教学中为师生创造了一个丰富多彩的互动交际平台。
作为一种新型的教学手段，多媒体教学有助于在计算机教学中帮助学生理解抽象的内容和算法。
《数据结构》中的线性表、栈等对于初学者而言，指针的操作、储存方式过于抽象；递归算法概念在生活经验中缺乏可供模拟的例子，教材在呈现数据结构概念时经常由于受到篇幅的限制，常省略算法部分细节过程，而让学生自己发挥想象力去补足；虽然，有时也会使用黑板及投影片，通过图解或举例的方式来帮助学生。
但在问题或概念越复杂时，便越难以图解或举例说明。
为了解决学生学习抽象概念的困扰，借助多媒体教学。
利用多媒体技术教学，除了可以运用Flash 动画软件演示算法运行过程外，还可以将课前预习内容，课后复习内容用简短的语句以课件的形式表现出来，加深学生印象，督促学生认真完成任务。
另外，还可以给学生播放一些成熟的优秀的视频教学软件，可以启发学生从不同老师的认识和解决问题的角度去加深理解所学内容。
6、加强实践环节，实施教学方法多样化：由于<数据结构)中稍微复杂一些的算法设计常常涉及到多种技术和方法。
同时，隐含于教材中各种算法的设计技巧丰富、形式多样。
因而学生在学习过程中常常觉得教科书中的内容与具体的算法设计题相距甚远，无从下手。
要使学生真正学好、学懂数据结构。
除了在课堂上要采用行之有效的教学方法外，诸如案例法、讨论法等。
还应加强实践环节。
可以通过三种实践方式：一是做习题。
二是上机实践。
三是课程设计。
习题主要限于章节的内容。
使学生加深对各章节主要的理论、概念、方法、结构等的理解。
由于专业课程的理论与技术往往表现出较强的综合性、前沿性、探索性。
是发展中的科学。
通过课程设计让学生撰写自己的小论文或总结报告，使学生时刻跟踪本课程的最新动态。
上机实践则不仅能进一步提高学生灵活运用《数据结构》的能力，而且使学生在编程、上机操作、程序调试与正确性验证等基本技能方面受到严格的训练。
七、教学过程这节课把整个教学过程安排如下六个教学段：（一）精心设计，复习检查。
（二）创设情境，导入新课。
（三）运用各种教学方法，讲授新课，并对重、难点逐个突破。
（四）讨论归纳，突出重点、难点。
（五）布置作业，延伸到下节课内容。
通过多种摸式教学，充分调动学生学习的积极性和主动性，突出学生的主体作用，并能培养发现问题、解决问题的能力和学生互助合作精神，最终达到我们预定的目标。
第一教学段，精心设计，复习检查。
(3分钟)（1）栈和队列的定义、特性；（2）栈和队列空、满时的判定。
第二教学段，创设情景，导入新课。
（5分钟）通常我们会用开枝散叶也就是树来形容人类的繁衍生息，所以我从人类的族谱说起，以我们人类的族谱来说明树的基本概念及其术语。
例如祖先、双亲、孩子、兄弟等等。
这里主要是激发学生学习这章内容的兴趣，促进学习的主动性和积极性，便于下面内容的学习。
第三教学段，运用各种教学方法，讲授新课，并对重、难点逐个突破。
（25分钟）在这一教学段，我分为三个阶段来完成新课的教授，这三个阶段是：第一个阶段：实例法讲树的三种存储结构——双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。