北京市丰台区2020届高三数学第二学期统一练习(二) 理(丰台二模)

xyO π2π1-1丰台区2020年高三年级第二学期统一练习（二）数 学（理科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数121iz i-=+对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限(D) 第四象限2．下列四个命题中，假命题为(A) x ∀∈R ，20x> (B) x ∀∈R ，2310x x ++> (C) x ∃∈R ，lg 0x >(D) x ∃∈R ，122x =3．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，xy a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)4．参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数)和极坐标方程4sin ρθ=所表示的图形分别是(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D) 椭圆和圆 5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是(A) 120 (B) 84 (C) 60(D) 486．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A) 441sin()555y x =+(B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =-(D)41sin(2)55y x =+本题就是考查正弦函数的图象变换。

最好采用排除法。

考查的关键是A ，ω，φ每一个字母的意义。

7．已知直线l ：0Ax By C ++=(A ，B 不全为0)，两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，若OO O O x x xxyyyy1 11 1111 11122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++>++，则(A) 直线l 与直线P 1P 2不相交(B) 直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交 (C) 直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交(D) 直线l 与线段P 1P 2相交本题就是考查线性规划问题。

关键是1）1122()()0Ax By C Ax By C ++++>的含义：点在直线的同侧；2）1122Ax By C Ax By C ++>++的含义：点到直线的距离的大小关系。

8．已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a >0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是 (A) 1(0,]2(B) 1[,3]2(C) (0,3] (D) [3,)+∞本题虽然是一道小题，但完全可以改成一道大题，处理的关键是对“任意”、“存在”的理解。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．圆C ：222220x y x y ++--=的圆心到直线3x +4y +14=0的距离是 ． 10．如图所示，DB ，DC 是⊙O 的两条切线，A 是圆上一点，已知 ∠D =46°，则∠A = ． 11．函数23sin cos sin y x x x =-的最小正周期为 ，最大值为 ．考查的目的是没考三角，12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．13．如果执行右面的程序框图，那么输出的a =___．14．如图所示，∠AOB =1rad ，点A l ，A 2，…在OA 上，点B 1，B 2，…在OB 上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M 从O 点出发，沿着实线段和以O 为圆心的圆弧匀速运动，速度为l 长度单位／秒，则质点M 到达A 3点处所需要的1 1正视图侧视图20.62.4 俯视图0.6ABDO开始35a =，1n =结束11a a=-1n n =+2011n ≤输出a 是否OA 1A 2A 3 A 4B 1 B 2 B 3B 4 AB时间为__秒，质点M 到达A n 点处所需要的时间为__秒．本题考查了弧度制的定义，数列的基础知识。

解题关键是由特殊到一般，通过对特殊情况的观察，就可得到应进行分类讨论。

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，a 2=4， S 5=35． （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足n an b e =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．本题是由下面的题经过改编后得到的，可作为练习。

已知等比数列{}n a 中，a 2=9， a 5=243． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式a n ； （Ⅱ）若数列{}n b 满足3,(),log ,()n n n a n b a n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数．求数列{}n b 的前100项的和。

（Ⅰ）通项公式3nn a =。

（Ⅱ）因为等比数列{}n a ，所以偶数项构成首相为a 2=9，公比为32=9的等比数列。

因为 22223213213332223log log log 23log 23log 223kkk k k k a a -+--⋅-=⋅-⋅==⋅(k ∈N)，所以 奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列。

1001299100313339924100=(log +log ++log )+(++)S b b b b a a a a a a =+++++L L L505150499(19)17(5012)9249821988⨯-=⨯+⨯+=⋅+-所以数列{}n b 的前100项的和是51179249888⋅+。

若再增加难度，可将100改成n 。

16.（本小题共14分）张先生家住H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线（如1图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35． （Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．关于概率统计问题，几次考查都没有将概率与统计图表结合起来，请老师们注意，在复练时要有意识的进行练习。

17.（本小题共13分）已知平行四边形ABCD 中，AB =6，AD =10，BD =8，E 是线段AD 的中点．沿BD 将△BCD 翻折到△BC D '，使得平面BC D '⊥平面ABD ． （Ⅰ）求证：C D '⊥平面ABD ； （Ⅱ）求直线BD 与平面BEC '所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D BE C '--的余弦值．本题重点考查的是翻折问题。

在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变的学生必须非常清楚。

18.（本小题共13分）已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值．19.（本小题共14分）已知抛物线P ：x 2=2py (p >0)．（Ⅰ）若抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离为3．（ⅰ）求抛物线P 的方程；（ⅱ）设抛物线P 的准线与y 轴的交点为E ，过E 作抛物线P 的切线，求此切线方程； （Ⅱ）设过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，连接AO ，BO 并延长分别交抛物线的准线于C ，D 两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．20.（本小题共13分）用[]a 表示不大于a 的最大整数．令集合{1,2,3,4,5}P =，对任意k P ∈和N*m ∈，定义51(,)[i f m k ==∑，集合{N*,}A m k P =∈∈，并将集合A 中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列{}n a ． （Ⅰ）求(1,2)f 的值； （Ⅱ）求9a 的值；（Ⅲ）求证：在数列{}n a中，不大于m 00(,)f m k 项．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2020年高三年级第二学期数学统一练习（二）数 学（理科）参考答案2020.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．3 10．67° 11．π，1212．12 13．23- 14．6，(1),2(3),2n n n n a n n n +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数.注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，a 2=4， S 5=35． （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足n an b e =，求数列{}n b 的前n 项的和n T ．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ．则1145(51)5352a d a d +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ ∴113a d =⎧⎨=⎩， ………………5分 ∴ 32n a n =-．∴前n项和(132)(31)22n n n n n S +--==． ………………7分 （Ⅱ）∵32n a n =-，∴32n n b e -=，且b 1=e ． ………………8分 当n ≥2时，3233(1)21n n n n b e e b e----==为定值， ………………10分∴ 数列{}n b 构成首项为e ，公比为e 3的等比数列． ………………11分 ∴33133(1)11n n n e e e e T e e +--==--． ………………13分 数列{}n b 的前n 项的和是3131n n e e T e +-=-．16.（本小题共14分）张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35． （Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由． 解：（Ⅰ）设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则10312331111()=()()2222P A C C ⨯+⨯⨯=． ………………4分所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为12． （Ⅱ）依题意，X 的可能取值为，1，2． ………………5分331(=0)=(1)(1)4510P X -⨯-=，33339(=1)=(1)(1)454520P X ⨯-+-⨯=， 339(=2)=4520P X ⨯=． ………………8分01210202020EX =⨯+⨯+⨯=． ………………10分（Ⅲ）设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，1(3,)2Y B :，所以13322EY =⨯=．………………12分 因为EX EY<，所以选择L 2路线上班最好． ………………14分17.（本小题共13分）已知平行四边形ABCD 中，AB =6，AD =10，BD =8，E 是线段AD 的中点．沿直线BD 将△BCD 翻折成△BC D '，使得平面BC D '⊥平面ABD ．（Ⅰ）求证：C D '⊥平面ABD ；（Ⅱ）求直线BD 与平面BEC '所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D BE C '--的余弦值．证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD 中，AB =6，AD =10，BD =8， 沿直线BD 将△BCD 翻折成△BC D ' 可知CD =6，BC ’=BC =10，BD =8，即222''BC C D BD =+，ABDEC ' C故'C D BD ⊥． (2)分∵平面BC D '⊥平面ABD ，平面BC D 'I 平面ABD =BD ，C D '⊂平面BC D '， ∴C D '⊥平面ABD ． ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知C D '⊥平面ABD ，且CD BD ⊥，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D xyz -． ………………6分则(0,0,0)D ，(8,6,0)A ，(8,0,0)B ，'(0,0,6)C ． ∵E 是线段AD 的中点，∴(4,3,0)E ，(8,0,0)BD =-u u u r．在平面BEC '中，(4,3,0)BE =-u u u r ，'(8,0,6)BC =-u u u u r， 设平面BEC '法向量为(,,)n x y z =r，∴ 0'0BE n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r，即430860x y y z -+=⎧⎨-+=⎩， 令3x =，得4,4y z ==，故(3,4,4)n =r． ………………8分设直线BD 与平面BEC '所成角为θ，则||sin |cos ,|41||||n BD n BD n BD θ⋅=<>==⋅r u u u rr u u u r r u u u r ………………9分∴ 直线BD 与平面BEC '所成角的正弦值为． ………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BEC '的法向量为(3,4,4)n =r， 而平面DBE 的法向量为(0,0,6)DC '=u u u u r，∴cos ,||||n C D n C D n C D ''<>=='⋅r u u u u rr u u u u r g r u u u u r ，因为二面角D BE C '--为锐角，所以二面角D BE C '--的余弦值为41． ………………13分18.（本小题共13分）已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值． 解：（Ⅰ）∵2()ln (2)f x x ax a x =-+-， ∴函数的定义域为(0,)+∞． ………………1分∴2112(2)(21)(1)()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x-+---+'=-+-==． ………………3分∵()f x 在1x =处取得极值，即(1)(21)(1)0f a '=--+=，∴1a =-． ………………5分当1a =-时，在1(,1)2内()0f x '<，在(1,)+∞内()0f x '>， ∴1x =是函数()y f x =的极小值点． ∴1a =-． ………………6分（Ⅱ）∵2a a<，∴01a <<． ………………7分2112(2)(21)(1)()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x-+--+'=-+-==-∵ x ∈(0,)+∞， ∴10ax +>， ∴()f x 在1(0,)2上单调递增；在1(,)2+∞上单调递减， ………………9分①当102a <≤时， ()f x 在2[,]a a 单调递增， ∴32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-； ………………10分②当21212a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即12a <<时，()f x 在21(,)2a 单调递增，在1(,)2a 单调递减，∴max 12()()ln 21ln 22424a a a f x f -==--+=--； ………………11分③当212a ≤，即12a ≤<时，()f x 在2[,]a a 单调递减， ∴2532max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-． ………………12分综上所述，当102a <≤时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-；当122a <<时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --；当a ≥时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．………………13分19.（本小题共14分）已知抛物线P ：x 2=2py (p >0)．（Ⅰ）若抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离为3．（ⅰ）求抛物线P 的方程；（ⅱ）设抛物线P 的准线与y 轴的交点为E ，过E 作抛物线P 的切线，求此切线方程； （Ⅱ）设过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，连接AO ，BO 并延长分别交抛物线的准线于C ，D 两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ． 解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离与到准线距离相等，即(,2)M m 到2py =-的距离为3； ∴ 232p-+=，解得2p =． ∴抛物线P的方程为24x y =． ………………4分（ⅱ）抛物线焦点(0,1)F ，抛物线准线与y 轴交点为(0,1)E -，显然过点E 的抛物线的切线斜率存在，设为k ，切线方程为1y kx =-．由241x y y kx ⎧=⎨=-⎩， 消y 得2440x kx -+=， ………………6分216160k ∆=-=，解得1k =±． ………………7分∴切线方程为1y x =±-． ………………8分（Ⅱ）直线l 的斜率显然存在，设l ：2p y kx =+， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由222x py py kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 消y 得 2220x pkx p --=． 且0∆>． ∴ 122x x pk +=，212x x p ⋅=-；∵ 11(,)A x y ， ∴ 直线OA ：11y y x x =， 与2p y =-联立可得11(,)22px p C y --， 同理得22(,)22px pD y --． ………………10分 ∵ 焦点(0,)2pF ，∴11(,)2pxFC p y =--u u u r ，22(,)2pxFD p y =--u u u r ， ………………12分∴ 1212(,)(,)22px px FC FD p p y y ⋅=--⋅--u u u r u u u r 22212121212224px px p x x p p y y y y =+=+ 2442221222212120422p x x p p p p p x x x x p p p=+=+=+=- ∴ 以CD为直径的圆过焦点F ． ………………14分20.（本小题共13分）用[]a 表示不大于a 的最大整数．令集合{1,2,3,4,5}P =，对任意k P ∈和N*m ∈，定义51(,)[i f m k ==∑，集合{N*,}A m k P =∈∈，并将集合A 中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列{}n a ． （Ⅰ）求(1,2)f 的值； （Ⅱ）求9a 的值；（Ⅲ）求证：在数列{}n a中，不大于m 00(,)f m k 项． 解：（Ⅰ）由已知知(1,2)f =++++ 110002=++++=．所以(1,2)2f =． ………………4分（Ⅱ）因为数列{}n a是将集合{N*,}A m k P =∈∈中的元素按从小到大的顺序排成而成，所以我们可设计如下表格从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大．<<<<<<<<<<‥‥所以9a=．………………8分（Ⅲ）任取12,*m m∈N，12,k k P∈，若m m=，则必有1212,m m k k==．即在（Ⅱ）表格中不会有两项的值相等．对于m1m的数不大于m则1m m≤1m≤，所以1m=，同理，第二行共有2m的数不大于m2m=，第i行共有i m的数不大于m i m=．所以，在数列{}na中，不大于m51[im=∑项，即00(,)f m k项．………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。