湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
华中师大一附中2015—2016学年度第一学期期中检测高二年级数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 1．直线t t y t x (70sin 70cos 3⎩⎨⎧︒-=︒+=为参数)的倾斜角为A ．︒20B ．︒70C ．︒110D ．︒1602．双曲线12422=-y x 的焦点到渐近线的距离为 A ．2 B ．2 C ．6 D ．363．方程)0(02222≠=-++a ay ax y x 表示的圆 A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于直线0=-y x 对称D ．关于直线0=+y x 对称4．两圆36)3()4(22=++-y x 与10022=+y x 的位置关系是 A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切5．当32<<k 时，曲线13222=-+-k y k x 与曲线12322=+y x 有相同的 A ．焦点 B ．准线 C ．焦距D ．离心率6．若过点)2,32(--P 的直线与圆422=+y x 有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是 A ．)6,0(πB ．]3,0[πC ．]6,0[πD ．]3,0(π7．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线x y =无公共点，则离心率e 的取值范围是A ．]2,1(B ．)2,1(C ．]2,1(D ．)2,1(8．若椭圆的中心在原点，一个焦点为)2,0(F ，直线73+=x y 与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为 A ．1201622=+y xB ．1161222=+y x C ．181222=+y x D ．112822=+y x9．与圆122=+y x 和圆07822=+-+x y x 都相切的圆的圆心轨迹是 A ．椭圆 B ．椭圆和双曲线的一支C ．双曲线和一条直线（去掉几个点）D ．双曲线的一支和一条直线（去掉几个点）10．过抛物线x y 42=的焦点F 作斜率为1的直线，交抛物线于A 、B 两点，若)1(>=λλ， 则λ等于 A ．12+B ．13+C ．15+D ．322+ 11．若所有满足)0,0(1||||>>=+b a y b x a 的实数x ,y均满足12122222+-+++++y y x y y x22≤，则b a 2+的取值范围为 A ．),2[+∞ B ．]2,1[ C ．),1[+∞ D ．]2,0(12．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB =2AD ，设θ=∠D A B ，)2,0(πθ∈，以A 、B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C 、D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则12e e ⋅A ．随着θ角的增大而增大B ．随着θ角的增大而减小C ．为定值1D ．为定值2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．在极坐标系中，经过点)3,4(π且与极轴垂直的直线的极坐标方程为 ．14．在平面直角坐标系中，已知△ABC 顶点)0,4(-A 和)0,4(C ，顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则=+BCA s i n s i n s i n ．15．直角△ABC 的三个顶点都在给定的抛物线x y 42=上，且斜边AB 和y 轴平行，则△ABC 斜边上的高的长度为 ．16．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,1(F ，设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．若直线AB 的斜率k 满足330≤<k ，则椭圆离心率e 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，18至22题每题12分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．求与直线07=-+y x 相切于点(3, 4)，且在y 轴上截得的弦长为72的圆的方程．18．已知在直角坐标系xOy 中，曲线t t y t x C (,233,211:1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=为参数，)2≠t ，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρsin 32:2=C ，曲线θρcos 2:3=C ．（Ⅰ）求C 2与C 3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C 2与C 1相交于点A ，C 3与C 1相交于点B ，求||AB 的值．19．为捍卫钓鱼岛及其附属岛屿的领土主权，中国派出海警“2102”、“海警2307”和“海警2308”海警船编队在钓鱼岛领海巡航。
某日，正巡逻在A 处的海警“2102”突然发现来自P 处的疑似敌舰的某信号，发现信号时“海警2307”和“海警2308”正分别位于如图所示的B 、C 两处，其中A 在B 的正东方向相距6千米处，C 在B 的北偏西30°方向相距4千米处。
由于B 、C 比A 距P 更远，因此，4秒后B 、C 才同时发现这一信号（该信号的传播速度 为每秒1千米），试确定疑似敌舰相对于A 的位置．20．已知动点P 与两定点)0,2(-A 、)0,2(B 连线的斜率之积为41- （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若过点)0,3(-F 的直线l 交轨迹C 于M 、N 两点，且轨迹C 上存在点E 使得四边形OMEN (O 为坐标原点)为平行四边形，求直线l 的方程．21．已知M 为抛物线)0(22>=p px y 上一动点，)0)(0,(>a a A 为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线的另一个交点为N ．当A 为抛物线的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，△OMN 的面积为29． （Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）记||1||1AN AM t +=，若t 的值与M 点位置无关， 则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳CBPA 30定点”，若没有，请说明理由．22．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，左、右焦点分别为E 、F ，椭圆上的点P 满足PF PE ⊥，且△PEF 的面积为1，抛物线px y 22=经过点(2, 2)．（Ⅰ）分别求椭圆与抛物线的方程；（Ⅱ）已知)1)(0,(≠t t Q 为x 轴上一点，倾斜角为θ的直线01:=--my x l 交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，直线QM 交抛物线于C 、D 两点，四边形ACBD 的面积记为S ，若对任意直线l ，都存在点Q ，使得||cos QF S λθ<，求实数λ的取值范围．华中师大一附中2015—2016学年度第一学期期中检测高二年级数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1.C2.A3.D4.B5.C6.B7.C8.D9.C 10.D 11.A 12.C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. cos 2ρθ= 14.54 15. 4 16.13e ≤< 三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，18至22题每题12分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 解：由题意圆心在10x y -+=上，设圆心为(,1)a a +，则2222(3)+(+14)a a a +=--，解得1a =或11，所以r =，所以圆的方程为22(1)(2)8x y -+-=或22(11)(12)128x y -+-=------------------------------------10分（少一个方程扣2分）18. 解：（1）曲线2C的普通方程为：220x y +-=，曲线3C 的普通方程为：2220x y x +-=。
联立解得交点坐标为（0,0）和3(2 -------------------------------------4分（2）将1C的方程代入220x y +-=解得15t =，将1C 的方程代入2220x y x +-=解得23t =，所以122AB t t =-=--------------------------------------------------------------------12分19. 解：以线段AB 的中点为原点，正东方向为x)32,5()0,3()0,3(--C B A ，， 依题意得4||||=-PA PB所以P 在以B A 、为焦点的双曲线的右支上这里5322===b c a ，，，其方程为 15422=-y x )2(≥x -----------4分 又||||PC PB =所以P 又在线段BC 的垂直平分线上073=+-y x 分由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-204507322y x y x 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==358y x （负值舍去）即 (8,P ，由于3=AP k ，可知P 在A 的北偏东30°方向相距10千米处。
---------------------------------------------12分 20. 解：（1）221(0)4x y y +=≠ -----------------------------------------------------3分（2）易知直线l 的斜率不为0,故可设直线:l x my =设1122(,)(,),M x y N x y 、因为四边形OMEN 为平行四边形，所以12121212(,)(,),OE OM ON x x y y E x x y y =+=++⇒++uu u r uuu r uuu r联立2222(4)10440x my m y x y ⎧=⎪⇒+--=⎨+-=⎪⎩ ⇒ 12y y += 1212()x x m y y +=+-=1212(,)P x x y y ++在椭圆上，所以22221212()4()44x x y y +++=⇒+=⇒424320m m --=，解得 m =±故直线l 的方程为0x -+=或0x += ----------------12分21. 解：（Ⅰ）由题意2119||||222222MONp p S OA MN p ∆=⋅⋅=⋅⋅== 3=∴p ，抛物线C的方程为x y 62=-------------------------------------------3分（Ⅱ）设1122(,)(,)M x y N x y ，,直线MN的方程为x my a =+联立26x my a y x=+⎧⎨=⎩得0662=--a my y ，024362>+=∆a mm y y 621=+,a y y 621-=--------------------------------------------------5分因为0>a 时, 1260y y a =-<,21y y ，∴异号,又2111||||t AM AN y =+=+=-22121221222122122)(4)(11)()-(11y y y y y y m y y y y m t -+⋅+=⋅+=∴ )11321(13624361122222m a a a a m m +-+=+⋅+=---8分所以,仅当2103a -=,即32a =时,t 与m 无关,此时A 即抛物线C 的焦点,即抛物线C 对称轴上仅有焦点3(,0)2这一个“稳定点”---------------------------------------12分 22. 解：（1）因为2224PE PFc +=，∴22()24PE PF PE PF c +-=，∴22PE PF b =，2112PEF S PE PF b ∆===，∴1b =，又∵2c e a ==，解得22a =，所以椭圆方程为2212x y +=。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题附答案
华中师大一附中2018—2019学年度下学期期中检测高二年级理科数学试题时限：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i 为虚数单位，复数=3+i z ，则表示复数1+iz的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．一物体的运动方程是21(2s at a =为常数)，则该物体在0t t =时的瞬时速度是A ．012at B ．02at C ．0at D ．0at -3．曲线sin =+xy x e 在点（0,1）处的切线斜率是 A ．1- B ．1 C ．2 D ．2-4．已知三个正态分布密度函数22()2()2i i x i ix μσϕπσ--=（x ∈R ，=1,2,3i ）的图象如图所示，则A ．123μμμ<=，123σσσ=>B ．123μμμ<=，123σσσ=<C ．123μμμ>=，123σσσ=>D ．123μμμ>=，123σσσ=< 5．设01p <<，随机变量X 的分布列是X0 1 2P 2p 12p -12则当p 在(0,1)内增大时， A ．()E X 增大B ．()E X 减小C ．()E X 先增大，后减小D ．()E X 先减小，后增大6．设0()sin f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，n ∈N ，则2019()f x = A ．sin x -B ．sin xC ．cos x -D ．cos x7．一次考试中，某班级数学成绩不及格的学生占20％，数学成绩和物理成绩都不及格的学生占 15％，已知该班某学生数学成绩不及格，则该生物理成绩也不及格的概率为 A ．0.15B ．0.2C ．0.3D ．0.758．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示， 则导函数()f x '的图象可能是A B C D9．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A ，“第2枚为正面”为事件B ，“2枚结果相同”为事件C ，有下列三个命题： ①事件A 与事件B 相互独立； ②事件B 与事件C 相互独立； ③事件C 与事件A 相互独立． 以上命题中，正确的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．310．若130()3()d f x x f x x =+⎰，则10()d f x x =⎰A ．1-B ．13-C ．14-D ．18-11．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围是A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,2)-∞-D ．(,1)-∞-12．若函数()f x 满足2()2()e x xf x f x x '-=，2(2)2e f =-，则当0x >时，()f xA ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值又无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设复数z 满足1i 1zz+=-，则||z = . 14．如图，CDEF 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，点H 是劣弧EF 的中点，将一颗豆子随机地扔到圆O 内，用A 表示事件“豆子落在扇形OCFH 内”，B表示事件“豆子落在正方形CDEF 内”，则(|)P B A = .15．某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，则部件正常工作.设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布)50,1000(2N ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm 且以每秒1cm 的等速率缩短，而长度以每秒20cm 的等速率增长.已知神针之底面半径只能从12cm 缩到4cm 为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为10cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为 cm . 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知1i z =+，a ，b 为实数． （1）若234z z ω=+-，求||ω； （2）若221i 1z az b z z ++=--+，求a ，b 的值．18．（12分）袋中有20个大小相同的球，其中标号为0的有10个，标号为n 的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号.求X 的分布列、数学期望和方差.19．（12分）已知221()(ln )x f x a x x x-=-+，a ∈R ．求()f x 的单调增区间.20．（12分）Monte-Carlo 方法在解决数学问题中有广泛的应用．下面利用Monte-Carlo 方法来估算定积分140d x x ⎰．考虑到140d x x ⎰等于由曲线4y x =，x 轴，直线1x =所围成的区域M 的面积，如图，在M 外作一个边长为1正方形OABC ．在正方形OABC 内随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为mn，此即为定积分140d x x ⎰的估计值．现向正方形OABC 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目．（1）求X 的期望()E X 和方差()D X ；（2）求用以上方法估算定积分140d x x ⎰时，140d x x ⎰的估计值与实际值之差在区间（-0.01，0.01）的概率．21．（12分）已知函数2()ln(1)(0)(0)2f x x f x f x '=+--+.（1）求)(x f 的解析式； （2）若2()f x x ax b ≤++，求32b a -+的最小值． 22．（12分）已知函数2()e l n x f x a x b x =+，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为(3e 1)(1)e y x =--+.（e 2.71828=2e 1.649,e 7.389≈，e0.495≈1.640，e-0.703≈0.495）（1）求a ，b 的值； （2）证明：11()10f x >.华中师大一附中2018—2019学年度下学期期中检测高二理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1－5.DCCBB6－10.CDADD11－12.AB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．114．2π15.91616.4三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．(1)2(1i)3(1i)41i ω=++--=--，所以||2ω=5分 (2)由条件，得()(2)i1i ia b a +++=-，所以()(2)i 1i a b a +++=+所以121a b a +=⎧⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩……………………………………………………………………………5分18．X 的分布列为……………………………………………………………………………………………………………………4分∴11131()01234 1.522010205E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………………………………4分∴2222211131()(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5)22010205D x =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ 2.75=……………………………………………………………………………………………………………………4分19．()f x 的定义域为(0,)+∞，223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=…………………………………2分 当0a ≤时，若(0,1)x ∈，则'()0f x >，()f x 单调递增…………………………………………………2分 当0a >时，3(1)22'()a x f x x x x a a ⎛-=⎝(i)当02a <<21a> 当(0,1)x ∈或2,x a ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，'()0f x >，()f x 单调递增………………………………………2分 (ii)当2a =21a，在(0,)+∞上，'()0f x ≥，()f x 单调递增……………………………………2分 (iii)当2a >时，201a<当2x a ⎛∈ ⎝或(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增………………………………………2分 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增当02a <<时，()f x 在(0,1)，2,a ⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增 当2a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时，()f x 在2x a ⎛∈ ⎝，(1,)+∞上单调递增……………………………………………………2分20．(1)依题意，每个点落入M 中的概率为1400.2p x dx ==⎰，~(100000.2)X B ，所以()100000.22000E X =⨯=，()100000.20.81600D X =⨯⨯=……………………………6分 (2)依题意，所求概率为0.010.20.0110000X P ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭2099100001000019010.010.20.01(19002100)0.20.810000tt t t X P P X C -=⎛⎫-<-<=<<=⨯⨯ ⎪⎝⎭∑209919001000010000100001000000.20.80.20.80.99330.00620.9871tt ttt t t t CC --===⨯⨯-⨯⨯=-=∑∑………………………………………………………………………………………………………………………12分21．(1)由已知得(0)2f =，2()ln(1)(0)22f x x f x x '=+--+从而1()2(0)21f x f x x ''=--+，(0)1f '=- 于是2()ln(1)22f x x x x =++-+由于2121()2211x f x x x x -'=+-=++，故当2(1,)2x ∈--时，()0f x '>；当2(22x ∈-时，()0f x '<；当2()x ∈+∞时，()0f x '> 从而()f x 的单调增区间为2(1,-和2)+∞ 单调减区间为22(22-……………………………………………………………………………………6分(2)由已知条件得ln(1)(2)2b x a x ≥+-++设()ln(1)(2)2g x x a x =+-++，则1()(2)1g x a x '=-++ ①若20a +≤，则()0g x '>，()g x 无最大值 ②若20a +>，则当1(1,1)2x a ∈--+时，()0g x '>；当1(1,)2x a ∈-+∞+时，()0g x '< 从而()g x 在1(1,1)2a --+上单调递增，在1(1,)2a -+∞+上单调递减故()g x 有最大值1(1)3ln(2)2g a a a -=+-++所以2()f x x ax b ≤++等价于3ln(2)b a a ≥+-+ 因此3ln(2)22b a a a a --+≥++ 设ln(2)()2a a h a a -+=+，则21ln(2)()(2)a h a a ++'=+ 当12,2ea ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0h a '<；当12,e a ⎛⎫∈-+∞⎪⎝⎭时，()0h a '> 所以()h a 在12,2e⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在12,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 故()h a 有最小值1(2)1e eh -=- 从而31e 2b a -≥-+当且仅当12,e3ln(2),a b a a ⎧=-⎪⎨⎪=+-+⎩即12,e 12,e a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩时，32b a -+的最小值为1e -……………………………………………………………………………………………………12分22.(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()2(1)e x b f x ax x x'=++由题意可得(1)e=e f a =,(1)3e 3e 1f a b '=+=-故1a =，1b =-………………………………………………………………………………………………4分 (2)解法一：由(1)知，2()e ln x f x x x =-，从而11()10f x >等价于152211ln e 10xx x x+>设函数12e ()x g x x=，则321()()e 2x g x x x -'=-所以当1(0,)2x Î时，()0g x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0g x '>故()g x 在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增，从而()g x 在(0,)+∞的最小值为121()2e 2g =设函数5211ln 10()x h x x+=，则7275()(ln )42h x x x -'=-+所以当710(0,e )x -Î时，()0h x '>；当710(e,)x -∈+∞时，()0h x '<故()h x 在710(0,e)-单调递增，在710(e ,)-+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为771042(e)e 5h -=因为5625e 4>54e 2172422e e 5> 综上，当0x >时，()()g x h x >，即11()10f x >…………………………………………………………12分分。
高中物理实验基础与实战：12.把电流表改装成电压表 Word版含答案
设计与创新能力:要求考生将教材中的实验原理、实验方法迁移到新的背景中,以完成新的实验要求的设计性实验,将逐步取代对原教材中实验的考查。
[实验目的]1．将电流表改装为电压表2．用半偏法测电流表内阻[实验原理]（1）半偏法测电流表内阻我们用图可以测电流表的内阻r g。
图中的R为 ,R′用。
（2）设电流表的满偏电压为U g,内阻为r g,则要将电流表改装成量程为U的电压表,则电阻R= 。
在方框中画出实验电路图（写推导过程）[实验器材]电流表,学生电源（10V）,电键,导线若干,电压表（用于校准）还需要[实验内容]一．半偏法测电流表内阻1．按图连接电路,电键S1闭合前,R接入电路阻值最大2．闭合S1,调整R的阻值,使电流表指针偏转到满刻度（注意量程）3．合上开关S2,调整R′的阻值,使电流表指针偏转到正好是满偏刻度的一半,记下此时的R′4．当R比R′大很多时,可以认为r g=R′电流表内阻r g=二．将电流表改装成电压表1．改装成量程为U=2V,则需要 联的电阻R =2．连接电路:将分压电阻R 与电流表串联,引出二个接线柱,并将电流表刻度盘改为电压表刻度盘。
3．校对电压表①按如右图所示的电路连线。
②先将触头移动到最左端,然后闭合电键,移动触头位置,使改装后电压表的示数从零逐渐增大到量程,每移动一次记下改装的电压表和标准电压表示数,并计算满刻度时的百分误差:百分误差=100"⨯-UUU ℅将数据填入下列表格中。
[注意事项]1．半偏法测电阻时,滑动变阻器的阻值R 1应远大于电流表内阻。
2．闭合电键前应检查变阻器触头位置是否正确,应使回路电流最小。
3．校对改装后电压表时,应采用分压式电路,变阻器阻值应较小,使改装电压表的示数从零开始增加。
[问题与讨论]1、半偏法测电阻时,为什么当R 比R ′大很多时,可以认为r g =R ′？2、试分析本实验中采取的“半偏法”测电流表内阻的系统误差。
3、如何将满偏电压为U g ,内阻为R V 的电压表改装成量程为I 的电流表？ [基础练习]1．有一量程为0、6A 的电流表,其刻度盘如右图13-3所示,今在此电流表的两端并联一电阻,其阻值等于该电流表内阻的1/2,使之成为一个新的电流表,则此时刻度盘上的每一个小格表示 A 。
湖北省华中师范大学第一附属中学2020~2021学年第一学期期中检测高一数学试题及答案
华中师大一附中2020～2021学年度上学期期中检测高一年级数学试题试卷总分150分 考试时间120分钟一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．已知A ＝{3-，0，1 }，B ＝{4-，3-，1}，则A ∪B 的真子集的个数为（ ）A ．3B ．7C ．15D ．312．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话中，“不便宜”是“好货”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，函数()(21)g x f x =-，则函数()g x 的定义域为 （ ）A ．(1,1)-B ．(0, 1)C ．(3,1)-D ．((3),(1))f f - 4．若正实数a ，b 满足1a b +=，则12a b+的最小值为（ ）A．B ．6C ．D ．3+5．函数(f x（ ）A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．[0，2]D ．[2，4]6．若关于x 的不等式2|1||2|1()x x a a a -+-≤++∈R 的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10a -<<B ．01a <<C ．12a <<D ．1a <-7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，(2)0f -=，则不等式()0xf x > 的解集为（ ）A ．(,2)(0,2)-∞-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(2,0)(0,2)-D ．(2,0)(2,)-+∞8．已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞-B ．[3,)+∞C ．(,3][3,)-∞-+∞D ．(,3)(3,)-∞-+∞二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．已知a ，b ，c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是 （ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 10．下列各结论中正确的是（ ） A ．“0ab >”是“0ab>”的充要条件． B．函数y =2．C ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃≤，200x x -≤” ． D ．若函数21y x ax =-+有负值，则实数a 的取值范围是2a >或2a <-．11．定义域为R 的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >．以下结论正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数C ．()f x 为增函数D ．()f x 为减函数12．设定义域为R 的函数1, 1|1|()1, 1x x f x x ⎧≠-⎪+=⎨⎪=-⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有且仅有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1 < x 2 < x 3．下列说法正确的是 （ ）A ．2221235x x x ++=B ．10a b ++=C ．1322x x x +>D ．132x x +=-三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若AB B =，则实数a 的取值集合为____________．14．关于x 的一元二次方程2210x kx k ++-=在区间(1,2)-内、外各有一个实数根，则实数k 的取值范围是___________．15．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则第______种购物方式比较经济．16．已知函数2()=x ax a f x x++在(]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围为____________．四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知集合26{||1|2}{|1}4x A x x B x x -=-≤=<-，，定义{|}A B x x A x B -=∈∉且. （1）求A B -；（2）求B A -．18．（本题满分12分）已知非空集合()(){}2|312310A x x a x a =-++-<，集合(){}223|220B x x a a x a a =-++++<.命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.19．（本题满分12分）已知函数2()1mx nf x x +=+是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f = （1）求m ，n 的值；判断函数()f x 的单调性并用定义加以证明； （2）求使2(1)(1)0f a f a -+-<成立的实数a 的取值范围．20．（本题满分12分）已知函数2()(1)()f x x a x a =-++∈R ．（1）若对于任意[1,2]x ∈，恒有2()2f x x ≥成立，求实数a 的取值范围； （2）若2a ≥，求函数()f x 在区间[0, 2]上的最大值()g a ．21．（本题满分12分）华师一附中为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设荣誉室的左右两面墙的长度均为x 米(36)x ≤≤．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价； （2）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为1800(1)a x x+元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数a 的取值范围．22．（本题满分12分）若函数()y f x =自变量的取值区间为[a , b ]时，函数值的取值区间恰为22[,]b a，就称区间[a , b ]为()y f x =的一个“和谐区间”．已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()3g x x =-+．（1）求()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”；（3）若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，是否存在实数m ，使集合2{(,)|()}{(,)|}x y y h x x y y x m ==+恰含有2个元素．若存在，求出实数m 的取值集合；若不存在，说明理由．高一年级数学试题参考答案一、单选题1．C 2．B 3．B 4．D 5．D 6．A 7．A 8．C 二、多选题9．BC 10．AD 11． AC 12．ABD 三、填空题13．{-1,0,2} 14．3,04⎛⎤- ⎥⎝⎦15．二 16．12a ≤-或1a ≥四、解答题17．解：{||1|2}{|13}A x x x x =-≤=-≤≤， (2)分26{|1}{|24}4x B x x x x -=<=<<- (4)分（1）{|12}A B x x -=-≤≤ (7)分（2）{|34}B A x x -=<< (10)分18．解：()(){}|2310A x x x a =---<⎡⎤⎣⎦，()(){}2|20B x x a x a ⎡⎤=--+<⎣⎦.∵22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，∴22a a +>.∴{}2|2B x a x a =<<+. (2)分∵p 是q 的充分条件，∴A B ⊆. (3)分① 当1a =时，312a -=，A =∅，不符合题意； (5)分② 当1a >时，312a ->，{}|231A x x a =<<-，要使A B ⊆，则212312a a a a ⎧>⎪≤⎨⎪-≤+⎩ ∴12a <≤. (8)分③ 当1a <时，312a -<，{}|312A x a x =-<<，要使A B ⊆，则213122a a a a ⎧<⎪≤-⎨⎪≤+⎩ ∴112a ≤<. (11)分综上所述，实数a 的取值范围是1[,1)(1,2]2. (12)分19．（1）解法一：因为函数()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，则()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得012n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得20m n =⎧⎨=⎩， (2)分经检验2m =，0n =时，()221xf x x =+是定义在[1,1]-上的奇函数. (3)分法二：()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，则()()f x f x -=-，即2211mx n mx nx x -+--=++，则0n =，所以()21mxf x x =+，又因为()11f =，得2m =，所以2m =，0n =. ………………3分设12,[1,1]x x ∀∈-且12x x <，则()()22121221211212222222121212222(1)2(1)2()(1)11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++1211x x -≤<≤ 222112120,10,(1)(1)0x x x x x x ∴->-<++>()()120f x f x ∴-< ()()12f x f x ∴< ()f x ∴在[1,1]-上是增函数 (6)分（2）由（1）知()221xf x x =+，()f x 在[1,1]-上是增函数， 又因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，由()()2110f a f a -+-<，得()()211f a f a -<-， (7)分2211111111a a a a -≤-≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪-<-⎩， (10)分即2020221a a a ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-<<⎩，解得01a ≤<． 故实数a 的取值范围是[0，1)． (12)分20．（1）解法一：对任意的[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥，即22(1)2x a x x -++≥，整理得23(1)0x a x -+≤对任意的[]1,2x ∈恒成立， (2)分构造函数()23(1)g x x a x =-+，其中[]1,2x ∈，则()max0g x ≤，即()()1020g g ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，…… 4分 即3(1)0122(1)0a a -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得5a ≥，因此，实数a 的取值范围是[)5,+∞.………………6分解法二：对任意的[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥，即22(1)2x a x x -++≥，整理得23(1)0x a x -+≤对任意的[]1,2x ∈恒成立， (2)分max 1(3)6a x ∴+≥= (5)分因此，实数a 的取值范围是[)5,+∞. (6)分（2）()()22211(1)24a a f x x a x x ++⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭． 2a ≥ 102a +∴> (7)分①当122a +<，即23a ≤<时，函数()y f x =在10,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 在1,22a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()()21124a a g a f ++⎛⎫== ⎪⎝⎭； (9)分②当122a +≥，即3a ≥时，()y f x =在[0, 2]上单调递增，此时()()222g a f a ==-．………………11分 综上所述，2(1),23()422,3a a g a a a ⎧+≤<⎪=⎨⎪-≥⎩． (12)分21．（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则72163006400144001800()14400(36)y x x x x x =⨯+⨯+=++≤≤， ………………2分161800()14400180021440028800x x ++≥⨯=， ………………4分 当且仅当16x x =，即x = 4时等号成立． ………………5分故当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，最低报价为28800元． ……6分（2）由题意可得161800(1)1800()14400a x x x x+++>对任意的[3,6]x ∈恒成立． 故2(4)(1)x a x x x ++>，从而2(4)1x a x +>+恒成立， ………………8分令1x t +=，22(4)(3)961x t t x t t++==+++，[4,7]t ∈． 又96y t t =++在[4,7]t ∈为增函数，故min 494y =. ………………11分所以a 的取值范围为49(0,)4． (12)分22．（1）因为()g x 为R 上的奇函数，∴(0)0g =又当(0,)x ∈+∞时，()3g x x =-+所以，当(,0)x ∈-∞时，()()(3)3g x g x x x =--=-+=--；3,0()0,03,0x x g x x x x --<⎧⎪∴==⎨⎪-+>⎩ (3)分 （2）设0a b <<，∵()g x 在(0,)+∞上递单调递减，2()32()3g b b b g a a a⎧==-+⎪⎪∴⎨⎪==-+⎪⎩，即,a b 是方程23x x =-+的两个不等正根． ∵0a b << ∴12a b =⎧⎨=⎩ ∴()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”为[1,2]． ………………6分 （3）设[a , b ]为()g x 的一个“和谐区间”，则22a b b a <⎧⎪⎨<⎪⎩，∴a ，b 同号． 当0a b <<时，同理可求()g x 在(,0)-∞内的“和谐区间”为[2,1]--．[1,2]3,()[2,1]3,h x x x x x -+∈⎧⎨----∈∴=⎩ (8)分依题意，抛物线2y x m =+与函数()h x 的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此，m 应当使方程23x m x +=-+在[1,2]内恰有一个实数根，并且使方程23x m x +=--，在[2,1]--内恰有一个实数.由方程23x m x +=-+，即230x x m ++-=在[1,2]内恰有一根，令2()3F x x x m =++-，则(1)10(2)30F m F m =-≤⎧⎨=+≥⎩，解得31m -≤≤；由方程23x m x +=--，即230x x m +++=在[2,1]--内恰有一根，令2()3G x x x m =+++，则(1)30(2)50G m G m -=+≤⎧⎨-=+≥⎩，解得53m -≤≤-. 综上可知，实数m 的取值集合为{3}-． ………………12分（用图象法解答也相应给分）。
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三上学期期中考试数学(文)试题
湖北省武汉华中师一附中2015届高三上学期期中考试数学（文）试题（考试时间120分钟 ，满分150分）★祝考试顺利★一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{1,2},{}M N a ==，则“1a =”是“N M ⊆”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则15S 的值为A ．250B ．260C ．350D ．3603．已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（-1，4）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．15B ．30C ．45D ．604．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是A ．//,,l n αβαβ⊂⊂⇒//l nB ．,l αβα⊥⊂⇒l β⊥C ．,l n m n ⊥⊥⇒//l mD ．,//l l αβ⊥⇒βα⊥5．已知向量)3,2(=a ，)2,1(-=b ，若 b n a m + 与 b a2- 共线，则 n m等于A ．21- B ．21 C ．2- D ．26．偶函数()()f x x R ∈满足：(4)(1)0f f -==，且在区间[0，3]与[3,)+∞上分别递减和递增，则不等式()0xf x <的解集为A ．(,4)(4,)-∞-+∞ B ．(4,1)(1,4)-- C ．(,4)(1,0)-∞--D ．(,4)(1,0)(1,4)-∞--7．若41)6sin(=-θπ，则=+)232cos(θπA ．87-B ．41- C ．41D ．879．若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 都成立，则实数a 的取值范围是A ．3[22-，）B ．322-（，）C ．3[32-，）D ．332-（，）10．如图，A 地在高压线l (不计高度)的东侧0.50km 处，B 地在A 地东北方向1.00km 处，公路沿线PQ 上任意一点到A 地与高压线l 的距离相等．现要在公路旁建一配电房向A 、B 两地降压供电(分别向两地进线) ．经协商，架设低压线路部分的费用由A 、B 两地用户分摊, 为了使分摊费 用总和最小，配电房应距高压线l A ．1.21km B ．0.50km C ．0.75kmD ．0.96km二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．化简：2)2(lg 50lg 2lg 25lg ++= ．12．若,x y R ∈，且162=+y x ，则 xy 的最大值为 ． 13．已知五个实数1,,,,16a b c 依次成等比数列，则a b c ++ = ．14．若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是_________．l15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．（（第15题图） （第16题图）16．把边长为1的正方形ABCD 如图放置，A 、D 别在x 轴、y 轴的非负半轴上滑动． （1）当A 点与原点重合时，OB OC ⋅= ； （2）OB OC ⋅的最大值是_________．17．用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如3]5.2[-=-，[2.5]2=，设函数]][[)(x x x f =． (1)=)6.3(f ；（2）若函数)(x f 的定义域是)0[n ，，+∈N n ，则其值域中元素个数为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）已知函数2()sin2f x x x a =-． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）设[0,]()2x f x π∈时的最小值是2-，求()f x 的最大值．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥-P ABCD 中，PA ABCD ⊥底面，ABCD 是矩形， E 是棱PD 的 中点，4PA AD ==，3AB =． （1）证明//PB ACE 平面；（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．ABCDEP21．（本小题满分14分）已知椭圆的中心为原点，焦点在x ，且经过点(4,1)M ，直线:l y x m =+交椭圆于异于M 的不同两点,A B ．直线MA MB x 、与轴 分别交于点E F 、． （1）求椭圆标准方程； （2）求m 的取值范围；（3）证明MEF ∆是等腰三角形．22．（本小题满分14分） 已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=．（1）求)(x f 的解析式； （2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设n 是正整数，用!n 表示前n 个正整数的积，即n n ⋅⋅⋅⋅= 321!．求证： 4)1(!+<n n en ．华中师大一附中2014-2015学年度上学期高三期中检测数学（文科）试题参考答案三、解答题18．解析：（1）()sin2cos2)f x x x a =+sin 2x x a =+2sin(2)3x a π=-+，令3222232+≤-≤+k x k πππππ，得511,1212+≤≤+∈k x k k Z ππππ，()∴f x 的单调递减区间 511[,]()1212++∈k k k Z ππππ ……6分（2）20,22333x x ππππ≤≤∴-≤-≤，sin(2)13x π≤-≤ min ()f x a ∴=； max ()=f x 2a +，令 2,2a a =-得，所以 ma x ()=f x 23……12分 19．解析：（1）连BD 交AC 于O ，连EO则EO 是PBD ∆的中位线，所以//PB EO ， 因为PB ACE ⊄平面，EO ACE ⊂平面，//PB ACE 所以平面． ………6分 (2)BH AC H PH ⊥作于，连P A A B C D P A C A B ⊥⊥因为底面，所以平面平面 由两平面垂直的性质定理得，BH PAC ⊥平面所以BPH PB PAC ∠就是直线与平面所成的角， 因为 125,5PB BH ==，1225BH BPH PB ∠==所以sin ， 即直线PB PAC 和平面所成角的正弦值是1225． ………12分20．解析：（1）当*2,n n N ≥∈时：114121341213(1)n n n n T S nT S n ---=⎧⎨-=-⎩，两式相减得：41213n n b a -=，∴1334n n b a =+534n =--， 又1174b =-也适合上式，∴数列{b }n 的通项公式为n b 534n =--．A BC D E POH（也可直接求出n T ，再求n b ） ………7分 （2）由（1）得 3n c n =-，于是 111111()9(1)91n n c c n n n n +==-++ 所以12231111n n c c c c c c ++++ 111111[(1)()()]92231n n =-+-++-+ 11(1)919(1)nn n =-=++ 令9(1)nn +11100>，得99n >所以n 的最小值为100 ． ………13分21．解析：（1）设椭圆的方程为22221,x y a b+=因为e =，所以224a b =，又因为椭圆过点(4,1)M ，所以221611a b +=，解得225,20b a ==，故椭圆标准方程为 221205x y += ………4分（2）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200,x mx m ++-=令 2(8)m ∆=220(420)0m -->，解得 55m -<<． 又由题设知直线不过M(4,1)，所以3,14-≠≠+m m ，所以m 的取值范围是 )5,3()3,5(-⋃--． ………8分1221(1)(4)(1)(4)y x y x --+--1221(1)(4)(1)(4)x m x x m x =+--++--=122x x +12(5)()8(1)m x x m -+--22(420)8(5)8(1)55m m m m --=--- =0，120k k ∴+=，所以MEF ∆是等腰三角形． ……………14分 22．解析（1）∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且曲线()y f x =过点1(1,)2-， ∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-.所以 ()ln 2xf x x =-…………4分（2）由（1）得当1x >时，()0k f x x +<恒成立即 ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. 令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=. 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112g x g >=. 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ∴ k 的取值范围是1(,]2-∞. ………11分（3）由（2）知，当1x >时，()0f x <（0k =时），又 1x =时()0f x <也成立， 所以当1≥x 时，2ln xx <， 于是211ln <，222ln <，233ln <， ，2ln n n <。
【全国百强校】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试化学试题
【全国百强校】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试化学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．苏轼的《格物粗谈》有这样的记载：“红柿摘下未熟，每篮用木瓜三枚放入，得气即发，并无涩味。
”按照现代科技观点，该文中的“气”是指A．脱落酸B．乙烯C．生长素D．甲烷2．下列有机物一氯取代物的数目相等的是①2，3，4-三甲基己烷①①2，3，4-三甲基戊烷①间甲乙苯A．①①B．①①C．①①D．①①3．下列有机物的系统命名，正确的是A．2-甲基-2-氯丙烷B．2-甲基-1-丙醇C．1, 3, 4-三甲苯D．2-甲基-3-丁炔4．下列说法中正确的是A．仅用水不能区分己烷、溴乙烷、乙醇三种液态有机物B．碳原子数小于或等于6的单烯烃，与HBr加成反应的产物只有1种结构，符合条件的单烯烃有3种C．苯、乙烷、乙烯、乙炔分子中碳碳键的键长分别为a、b、c、d，则b c a>>>d D．等质量的烃完全燃烧，耗氧量最多的是甲烷5．己烯雌酚是一种激素类药物，结构简式如图所示，下列有关叙述中正确的是A．该有机物属于芳香烃C．该分子对称性好，所以没有顺反异构D．该有机物分子中，最多可能有18个碳原子共平面6．红色基B(2-氨基-5-硝基苯甲醚)的结构简式如图所示，它主要用于棉纤维织物的染色，也用于制一些有机颜料，则分子式与红色基B相同，且氨基(—NH2)与硝基(—NO2)直接连在苯环上并呈对位关系的同分异构体的数目(包括红色基B)为A．7种B．8种C．9种D．10种7．如图两种化合物的结构或性质描述正确的是（）A．两种化合物均是芳香烃B．两种化合物互为同分异构体，均能与溴水反应C．两种化合物分子中共平面的碳原子数相同D．两种化合物可用红外光谱区分，但不能用核磁共振氢谱区分8．下列实验操作简便、科学、易成功且现象正确的是A．将乙酸和乙醇的混合液注入浓硫酸中制备乙酸乙酯B．将铜丝在酒精灯外焰上加热变黑后再移至内焰，铜丝恢复原来的红色C．在试管中注入2mL苯酚溶液，再滴入几滴FeCl3溶液后，溶液即有紫色沉淀生成D．向苯酚溶液中滴加几滴稀溴水出现白色沉淀9．卤素互化物与卤素单质性质相似。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷
2015学年第一学期期中考试高二年级 数学试卷答卷时间：120分钟； 满分：150分； 命题人：温从赐 审核人：鲁兴冠参考公式：棱柱的体积公式： V Sh =其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高棱锥的体积公式：13V Sh =其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高棱台的体积公式：)(312211S S S S h V ++=其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高球的表面积公式：24S R π=； 球的体积公式： 334R V π= 其中R 表示球的半径一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，总共40分.）1.10y -+=的倾斜角为（ ）A.30B.150C.60D.120 2.直线()1:110l a x y -+-=和2:320l x ay ++=垂直，则实数a 的值为（ ）A.12B.32C.14D.34 3.用斜二测法画水平放置的边长为1的正方形所得的直观图面积是（ ）D. 4.若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是（ ）A.α内的所有直线与a 异面B.α内不存在与a 平行的直线C.α内存在唯一的直线与a 平行D.α内的直线与a 都相交 5.已知实数,x y 满足22230x x y -+-=，则x y -的最大值是（ ）A.1B.1-C.1-D.6.已知直线():10l x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（ ）A.2B. C .6 D.7.已知圆()2214x y ++=的圆心为C ，点P 是直线:540l mx y m --+=上的点，若该圆上存在点Q 使得30CPQ ∠=，则实数m 的取值范围为（ ）A.[]1,1-B.[]2,2-C. D.120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8.设四边形EFGH 的四条边长为,,,a b c d ，其四个顶点分别在单位正方形ABCD 的四条边上，则222222a b c d +++的最小值为（ ）A.3B.6C. D.83二、填空题（本题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分.）9.已知直线1:10l x y --=和2:2240l x y -+=，则1l 在y 轴上的截距是 ，直线1l 与2l 间的距离是 .10.在正方体1111ABCD A B C D -中，棱11A D 与棱1BB 所成的夹角是 ，异面直线1AD 与BD 所成的角是 .11.设三棱锥ABC S -的三个侧面两两垂直，且a SC SB SA ===，则其外接球的表面积为 ，体积为 .12.已知变量,x y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则点(),x y 对应的区域面积是__________，22x y u xy+=的取值范围为__________．13.在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是_____ __.14.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PAB ∆面积的最大值是 .15.在平面直角坐标系xOy 中，设()1,1,,A B C -是函数()10y x x=>图象上的两点，且ABC ∆为正三角形，则ABC ∆的高为 .三、解答题（本题共5小题，共74分；解答过程应写出必要的过程步骤与详细解答情况.） 16.（本题满分14分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图甲所示，墩的上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -.图乙、图丙分别是该标识墩的正视图和俯视图.（1）画出该安全标识墩的侧视图，并标出相应的刻度； （2）求该安全标识墩的体积.17.（本题满分15分）过点()2,1P 作直线l 交x 轴、y 轴的正半轴于,A B 两点，O 为坐标原点.（1）当AOB ∆的面积为92时，求直线l 的方程； （2）当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程.18.（本题满分15分）已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆()()22:231C x y -+-=交于,M N 两点.（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .19.（本题满分15分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点,A B . （1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线():4L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.20.（本题满分15分）已知圆()44:22=++y x C 与x 轴交于B A 、两点，P 是圆C 上的动点，直线AP 与PB 分别与y 轴交于N M 、两点.（1）若()4,2P -时，求以MN 为直径圆的面积；（2）当点P 在圆C 上运动时，问：以MN 为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由.x龙湾中学2015学年第一学期期中考试高二年级数学试卷参考答案 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，总共40分.）二、填空题（本题共小题，前题每空分，后题每空分，共分.）9. 1- 10. 2π；3π11. 3223,3a a ππ12.85102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦13. ()2,4 14. 52 15. 2 三、解答题（本题共5小题，共74分；解答过程应写出必要的过程步骤与详细解答情况.） 16.（本题满分14分） 解析：（1）侧视图如下图所示2010201020cm40cm（2）364000cm . 17.（本题满分15分）解析：（1）30x y +-=或460x y +-=；（2）min 4S =，此时l 的方程为240x y +-=. 18.（本题满分15分）19.（本题满分15分）20.（本题满分15分）（1）解析：当()4,2P -时，直线AP 方程是6y x =+，所以()0,6M ；直线BP 方程是2y x =--，所以()0,2M -，因此8MN =.所以以MN 为直径圆的面积是16π.（2）解法1：设直线()6:+=x k y AP 交y 轴于()k M 6,0；同法可设直线()21:+-=x ky BP 交y 轴于⎪⎭⎫ ⎝⎛-k N 2,0，线段MN 的中点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k D 13,02.所以以MN 为直径的圆的方程为：222221313⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+k k k k y x ，展开后得()012132222=---+y k k y x ， 令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32-.解法2：设()()b N a M ,0,,0，线段线段MN 的中点⎪⎭⎫⎝⎛+2,0b a D .所以以MN 为直径的圆的方程为：22222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+b a b a y x ，展开后得()022=++-+ab y b a y x ，考虑到PB PA ⊥，有⇒-=⇒-=⋅12126ab ba ()01222=-+-+yb a y x ， 令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32-.。
湖北省部分重点中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题_Word版含答案
湖北省部分重点中学2015-2016上学期高二期中考试数学试题(文科)命题人：武汉中学 张怡 审题人：武汉市49中 唐宗保一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1.下列命题正确的是（ ）A. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N （N≥2）和实数a 1，a 2，…，a n ，输出A ，B ，则（ ） A ．A+B 为a 1，a 2，…，a n 的和 B ．为a 1，a 2，…，a n 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a n 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a n 中最小的数和最大的数 3.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线方程是（ ）A ．250x y -+=或250x y --=B ．250x y ++=或250x y +-=C ．250x y -+=或250x y --=D ．250x y ++=或250x y +-=4.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是（ ） A ．B ．C ．D ．与P 点位置有关5.在同一坐标系下，直线ax+by=ab 和圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=r 2（ab ≠0，r ＞0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6. 在梯形ABCD 中，∠ABC=，AD//BC ，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A ．B.C.D.27. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ） A ．2B ．C ．D ．38.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A ．11.8万元B ．11.4万元C ．12.0万元D ．12.2万元9. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a=（ ） A ．0 B ．2C ．4D ．1410. 如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)．且点C 与点D 在函数1,0()11,02x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ） A ．16 B ．14 C ．38 D ．1211. 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F ∥平面D 1AE ，则A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值构成的集合是（ ） A ．{t|} B ．{t|≤t ≤2}C ．{t|2} D ．{t|2}xyOBCDAF12. 已知△ABC的三边分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上一点，P是平面ABC外一点，下列四个命题正确的是（）①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，M是AB边上中点，则有PA=PB=PC；③若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC是的距离为．其中正确命题的序号是A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.与直线3x+4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为．14. 已知直线kx﹣y+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有（O为坐标原点），则实数k=．15. 在棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的表面积为．16. 已知AC、BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD 的面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本题满分10分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严[0，50]（50，100]（100，150][ （150，200]空气污染指数（单位：μg/m3）监测点个数15 40 y 10（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）在空气污染指数分别为50～100和150～200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？18.（本题满分12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC中点，AA1=AB=a．（Ⅰ）求证：AD⊥B1D；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）求三棱锥C﹣AB1D的体积．19.（本题满分12分）PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095﹣2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2015年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值频数如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）：（I）求空气质量为超标的数据的平均数与方差；（II）从空气质量为二级的数据中任取2个，求这2个数据的和小于100的概率；（III）以这12天的PM2.5日均值来估计2015年的空气质量情况，估计2012年（366天）大约有多少天的空气质量达到一级或二级．20.（本题满分12分）已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x ﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上．（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；（2）已知直线l：（1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．21.（本题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，F是PB的中点．（1）求证：DF⊥AP；（2）在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？若存在，说明点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．22.（本题满分12分）已知圆O：x2+y2=4内一点P（0，1），过点P的直线l交圆O于A，B两点，且满足（λ为参数）．（1）若，求直线l的方程；（2）若λ=2，求直线l的方程；湖北省部分重点中学2015-2016学年度上学期高二期中考试文科数学参考答案一、选择题(每小题5分,共60分)二、填空题(每小题5分,共20分)13. 3x ﹣4y+5=0 14. 0 15. 50π 16. 5三、解答题（共70分） 17解：（Ⅰ）∵，∵15+40+y+10=100，∴y=35…（2分） ∴，，频率分布直方图如图所示…（5分）（Ⅱ）在空气污染指数为50～100和150～200的监测点中分别抽取4个和1个监测点． 设空气污染指数为50～100的4个监测点分别记为a ，b ，c ，d ； 空气污染指数为150～200的1个监测点记为E ． 从中任取2个的基本事件分别为（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，E ），（b ，c ），（b ，d ）， （b ，E ），（c ，d ），（c ，E ），（d ，E ）共10种，…（7分） 其中事件A “两个都为良”包含的 基本事件为（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ）共6种，…（9分）所以事件A “两个都为良”发生的概率是．…（10分）18（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1正三棱柱，D 是BC 中点 ∴BB 1⊥AD ，BC ⊥AD ∵BB 1∩BC=B ， ∴AD ⊥面BB 1D ， ∴AD ⊥B 1D（Ⅱ）证明：取C 1B 1的中点E ，连接A 1E ，ED ，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 答案 A C D C D C D A B BDB则四边形B1DCE为平行四边形，于是有B1D∥EC，又A1E∥AD，B1D∩AD=D，A1E∩EC=E，∴平面A1EC∥平面AB1D，A1C⊂平面A1EC，∴A1C∥平面AB1D．（Ⅲ）解：由图知，AA1=AB=a∴=S△ADC BB1=．19解：（I）空气质量为超标的数据有四个：77，79，84，88平均数为（2分）方差为（4分）（II）空气质量为二级的数据有五个：47，50，53，57，68任取两个有十种可能结果：{47，50}，{47，53}，{47，57}，{47，68}，{50，53}，{50，57}，{50，68}，{53，57}，{53，68}，{57，68}．两个数据和小于100的结果有一种：{47，50}．记“两个数据和小于100”为事件A，则即从空气质量为二级的数据中任取2个，这2个数据和小于100的概率为（8分）（III）空气质量为一级或二级的数据共8个，所以空气质量为一级或二级的频率为（10分），所以2015年的366天中空气质量达到一级或二级的天数估计为244天．（12分）20解：（1）由l AB：x﹣3y﹣6=0且AD⊥AB，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上∴AD所在直线的方程是：y﹣1=﹣3（x+1）即3x+y+2=0由得A（0，﹣2）…（3分）∴|AP|==2，∴矩形ABCD的外接圆的方程是：（x﹣2）2+y2=8…（6分）（2）直线l的方程可化为：k（﹣2x+y+4）+x+y﹣5=0l可看作是过直线﹣2x+y+4=0和x+y﹣5=0的交点（3，2）的直线系，即l恒过定点Q（3，2）由于（3﹣2）2+22=5＜8知点在圆内，∴直线与圆恒有交点，设PQ与l的夹角为θ，则d=|PQ|sinθ=sinθ，当θ=90°时，d最大，|MN|最短，此时l的斜率为PQ斜率的负倒数﹣，∴l：y﹣2=﹣（x﹣3），即x+2y﹣7=021.证明：（1）取AB中点E，连接EF，DE∵E，F分别是AB，PB的中点，∴EF∥AP，∴AP 和DF所成的角即为EF和DF所成的角，即∠DFE或其补角；由已知四边形ABCD是正方形，假设PD=DC=a，则有∴cos∠DFE==0，∴DF⊥EF，∴DF⊥AP．（2）解：G是AD的中点时，GF⊥平面PCB．证明如下：取PC中点H，连接DH，HF．∵PD=DC，∴DH⊥PC．又∵BC⊥平面PDC，∴DH⊥BC，∵DH⊥PC，DH⊥BC，PC∩BC=C，PC，BC⊂平面PBC∴DH⊥平面PCB．∵，∴HF GD，∴四边形DGFH为平行四边形，DH∥GF，∴GF⊥平面PCB．22.解：（I）当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不满足条件．故可设所求直线l的方程为y=kx+1，即kx﹣y+1=0．由弦长|AB|=，圆O：x2+y2=4的半径等于2，可得弦心距d==，即圆心（0，0）到kx﹣y+1=0的距离等于，即=，求得k=±1，故要求的直线l的方程为y=x+1或y=﹣x+1．（II）当直线l的斜率不存在时，或，不满足条件，故可设所求直线l的方程为y=kx+1代入圆的方程，整理得（1+k2）x2+2kx﹣3=0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程（*）的两根，由可得x1=﹣2x2 ，则有．（1）2÷（2）得，解得，所以直线l的方程为．。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题(解析版)
华中师大一附中2023-2024学年度上学期高二期中检测数学试题时限：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c === ，则BM = （ ）A. 1122−+ a b cB. 1122++a b cC. 1122−−+ a b cD. 1122a b c −++【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算进行求解.【详解】1111111111111()()()22222BM BB B M BB A D A B AA AD AB c b a a b c =+=+−=+−=+−=−++.故选：D2. 平面内到两定点(6,0)A −、(0,8)B 的距离之差等于10的点的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线C. 双曲线的一支D. 以上选项都不对【答案】D 【解析】【分析】根据动点满足的几何性质判断即可.【详解】因为(6,0)A −、(0,8)B ，所以10AB ==，而平面内到两定点(6,0)A −、(0,8)B 的距离之差等于10的点的轨迹为一条射线.故选：D3. “4k >”是“方程22(2)50x y kx k y +++−+=表示圆的方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据()22250x y kx k y +++−+=表示圆得到2k <−或4k >，然后判断充分性和必要性即可. 【详解】若()22250x y kx k y +++−+=表示圆，则()222450k k +−−×>，解得2k <−或4k >， 4k >可以推出()22250x y kx k y +++−+=表示圆，满足充分性， ()22250x y kx k y +++−+=表示圆不能推出4k >，不满足必要性， 所以4k >是()22250x y kx k y +++−+=表示圆的充分不必要条件. 故选：A.4. 已知椭圆22:141x y C k +=+的离心率为12，则实数k 的值为（ ）A. 2B. 2或7C. 2或133D. 7或133【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆的标准方程、椭圆的离心率公式分析运算即可得解.【详解】由题意，椭圆22:141x y C k +=+，则10k +>，且14k +≠，由离心率12c e a ==，解得：2234b a =，若椭圆的焦点在x 轴上，则221344b k a +==，解得：2k =； 若椭圆的焦点在y 轴上，则224314b a k ==+，解得：133k =； 综上知，2k =或133. 故选：C.5. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上．由椭圆的一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知112BF F F ⊥，153F B =，124F F =．若透明窗DE 所在的直线与截口BAC 所在的椭圆交于一点P ，且1290F PF ∠=°，则12PF F △的面积为（ ）A. 2B.C.D. 5【答案】D 【解析】【分析】由椭圆定义12||||6PF PF +=，根据1290F PF ∠=°，结合勾股定理可得可得12||||F P P F ⋅的值，则即可求12F PF △的面积．【详解】由112BF F F ⊥，1||F B =12||4F F =，得213||3BF ==， 则椭圆长轴长122||||6a F B F B =+=，由点P 在椭圆上，得12||||26PF PF a +==，又1290F PF ∠=°， 则2222121212121216||||||(||||)2||||362||||F F PF PF PF PF PF PF PF PF =+==+−=−， 因此12||||10PF PF ⋅=，所以12F PF △的面积为121||||52PF PF ⋅=. 故选：D6. 已知圆221:()(3)9C x a y −++=与圆222:()(1)1C x b y +++=外切，则ab 的最大值为（ ）A. 2B.C.52D. 3【答案】D 【解析】【分析】利用两圆外切求出,a b 的关系，再利用基本不等式求解即得.【详解】圆221:()(3)9C x a y −++=的圆心1(,3)C a −，半径13r =，圆222:()(1)1C x b y +++=的圆心2(,1)C b −−，半径21r =，依题意，1212||4C C r r =+=， 于是222()24a b ++=，即22122224a b ab ab ab ab =++≥+=，因此3ab ≤，当且仅当a b =时取等号，所以ab 的最大值为3. 故选：D7. 如图所示，三棱锥A BCD −中，AB ⊥平面π,2BCD BCD ∠=，222BC AB CD ===，点P 为棱AC 的中点，,E F 分别为直线,DP AB 上的动点，则线段EF 的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立EF 的函数关系求解即可. 【详解】三棱锥A BCD −中，过C 作Cz ⊥平面BCD ，由π2BCD ∠=，知BC CD ⊥， 以C 为原点，直线,,CD CB Cz 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，如图，由AB ⊥平面BCD ，得//AB Cz ，则1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(0,1,)2C D B A P ，令1(1,1,)(,,)22t DE tDP t t t ==−=− ，则(1,,)2tE t t −，设(0,2,)F m ，于是||EF ==≥， 当且仅当33,224t tm ===时取等号，所以线段EF. 故选：B8. 已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆E 上存在两点,A B 使得梯形12AF F B 的高为c （c 为该椭圆的半焦距），且124AF BF =，则椭圆E 的离心率为（ ）A.B.45C.D.56【答案】C 【解析】【分析】根据124AF BF =，可得12AF BF ∥，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，所以2PF c =，则可求得1230PF F ∠=°，再结合124AF BF =，建立,,a b c 的关系即可得出答案.【详解】如图，由124AF BF =，得12//AF BF ，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，则21F P AF ⊥，由梯形12AF F B 的高为c ，得2PF c =，在12Rt F PF 中，122F F c =，则有1230PF F ∠=°，1230AF F ∠=°， 在12AF F △中，设1AF x =，则22AF a x =−，22221121122cos30AF AF F F AF F F =+−°，即()22224a x x c −=+−，解得1AF x ==，在12BF F △中，21150BF F ∠=°，同理2BF =，又124AF BF =，所以4=，即3a =，所以离心率c e a ==. 故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 直线:10l x y −+=与圆22:()2(13)C x a y a ++=−≤≤的公共点的个数可能为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，求出圆心到直线l 距离的取值范围，即可判断得解.【详解】圆22:()2C x a y ++=的圆心(,0)C a −，半径r =当13a −≤≤时，点(,0)C a −到直线l 的距离d， 因此直线l l 与圆C 的公共点个数为1或2. 故选：BC10. 下列四个命题中正确的是（ ）A. 过点(3,1)，且在x 轴和y 轴上的截距互为相反数的直线方程为20x y −−=B. 过点(1,0)且与圆22(1)(3)4x y ++−=相切的直线方程为51250x y +−=或1x = C. 若直线10kx y k −−−=和以(3,1),(3,2)M N −为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为12k ≤−或32k ≥D. 若三条直线0,0,3x y x y x ay a +=−=+=−不能构成三角形，则实数a 所有可能的取值组成的集合为{1,1}−【答案】BC 【解析】【分析】利用直线截距式方程判断A ；求出圆的切线方程判断B ；求出直线斜率范围判断C ；利用三条直线不能构成三角形的条件求出a 值判断D.【详解】对于A ，过点(3,1)在x 轴和y 轴上的截距互为相反数的直线还有过原点的直线，其方程为13y x =，A 错误；对于B ，圆:C 22(1)(3)4x y ++−=的圆心(1,3)C −，半径2r =，过点(1,0)斜率不存在的直线1x =与圆C 相切，当切线斜率存在时，设切线方程为(1)y k x =−2=，解得512k =−，此切线方程为51250x y +−=，所以过点(1,0)且与圆22(1)(3)4x y ++−=相切的直线方程为51250x y +−=或1x =，B 正确； 对于C ，直线10kx y k −−−=恒过定点(1,1)P −，直线,PM PN 的斜率分别为 ()()211131,312312PN PM k k −−−−====−−−−，依题意，PM k k ≤或PN k k ≥，即为12k ≤−或32k ≥，C 正确；对于D ，当直线0,3x y x ay a +=+=−平行时，1a =，当直线0,3x y x ay a −=+=−平行时，1a =−，显然直线0,0x y x y +=−=交于点(0,0)，当点(0,0)在直线3x ay a +=−时，3a =， 所以三条直线0,0,3x y x y x ay a +=−=+=−不能构成三角形，实数a 的取值集合为{}113−,,，D 错误. 故选：BC11. 已知椭圆2225:1092x y C k k+=<<的两个焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆22:(2)(4)2E x y −+−=上任意一点．若2||PQ PF +的最小值为4（ ）A. k =B. 12PF PF ⋅的最大值为5C. 存在点P 使得12π3F PF ∠= D. 2||PQ PF −的最小值为6−【答案】ABC 【解析】【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断E 在椭圆外部，在2|||PQ PF PE +≥求出2EF ，即可求出k ，再根据数量积的运算律及椭圆的性质判断B 、C ，根据椭圆的定义判断D.【详解】椭圆2225:1092x y C k k+=<<，则3a =，所以1226PF PF a +==，圆22:(2)(4)2E x y −+−=的圆心为()2,4E ，半径r =所以2222419k+>，所以点E 在椭圆外部，又2|||PQ PF PE +≥，当且仅当E 、P 、2F 三点共线（P 在E 2F 之间）时等号成立，所以24EF ，解得2c =，所以294k −=，解得k =（负值舍去），故A 正确；()()1212PF PF PO OF PO OF ⋅=+⋅+21122PO PO OF PO OF OF OF +⋅+⋅+⋅()21121PO PO OF OF OF OF +⋅+−⋅22214PO OF PO =−=− ，又PO ∈ ，所以[]25,9PO ∈ ，所以[]121,5PF PF ⋅∈ ，即12PF PF ⋅的最大值为5，当且仅当P 在上、下顶点时取最大值，故B 正确；设B 为椭圆的上顶点，则OB =，22OF =，所以2tan OBF ∠> 所以2π6OBF ∠>，所以12π3F BF ∠>，则存在点P 使得12π3F PF ∠=，故C 正确；因为()121||||6||6PQ PF PQ PF PQ PF −=−−=+−11||666PE PF EF ≥+−≥−−，当且仅当E 、Q 、P 、1F 四点共线（且Q 、P 在E 1F 之间）时取等号，故D 错误.故选：ABC12. 在棱台1111ABCD A B C D −中，底面1111,ABCD A B C D 分别是边长为4和2的正方形，侧面11CDD C 和侧面11BCC B 均为直角梯形，且113,CC CC =⊥平面ABCD ，点P 为棱台表面上的一动点，且满足112PD PC =，则下列说法正确的是（ ）A. 二面角1D AD B −−B. 棱台的体积为26C. 若点P 在侧面11DCC D 内运动，则四棱锥11P A BCD −D. 点P 【答案】ACD【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量相关公式求出二面角的余弦值；B 选项，利用棱台体积公式求出答案；C 选项，设出(),0,P u v ，求出轨迹方程，得到P 点的轨迹，从而得到点P 到平面11A BCD的最短距离为43PF EF EP =−=−，利用体积公式求出答案；D 选项，考虑点P 在各个面上运算，求出相应的轨迹，求出轨迹长度，相加后得到答案. 【详解】A 选项，因为1CC ⊥平面ABCD ，,BC CD ⊂平面ABCD ， 所以11,CC BC CC CD ⊥⊥，又底面1111,ABCD A B C D 分别是边长为4和2的正方形， 故BC CD ⊥，故1,,CC BC CD 两两垂直，以C 为坐标原点，1,,CD CB CC 所在直线分别为,,x y z 建立空间直角坐标系， 则()()()()112,0,3,4,4,0,4,0,0,0,0,3D A D C ，平面ADB 的法向量为()0,0,1n =，设平面1D AD 的法向量为()1,,n x y z =，则()()()()111,,0,4,040,,2,4,32430n AD x y z y n AD x y z x y z ⋅=⋅−=−= ⋅=⋅−−=−−+= ， 解得0y =，令3x =得，2z =，故()13,0,2n =，则111cos ,n n n n n n ⋅==⋅， 又从图形可看出二面角1D AD B −−为锐角， 故二面角1D ADB −−A 正确；B选项，棱台的体积为(221243283V=+×=，B 错误；C 选项，若点P 在侧面11DCCD 内运动，112PD PC =， 设(),0,P u v，整理得()22216339u v ++−=， 故P 点的轨迹为以2,0,33E−为圆心，43为半径的圆在侧面11DCC D 内部（含边界）部分，如图所示，圆弧QW 即为所求，过点E 作EF ⊥1CD 于点F ，与圆弧QW 交于点P ， 此时点P 到平面11A BCD 的距离最短，由勾股定理得1CD =，因为11128233ED EC CD =+=+=，1111sin C C CD C CD ∠=1118sin 3EF D E CD C =∠=故点P 到平面11A BCD 的最短距离为43PF EF EP =−=−， 因为11A D 与BC 平行，且BC ⊥平面11CDD C ， 又1CD ⊂平面11CDD C ，所以BC ⊥1CD ，故四边形11A BCD 为直角梯形，故面积为()1112A D BC CD +⋅=，则四棱锥11P A BCD −体积的最小值为1433 ×× ，C 正确； D 选项，由C 选项可知，当点P 在侧面11DCC D 内运动时，轨迹为圆弧QW ，设其圆心角为α，则1213cos 423C E EW α===，故π3α=， 所以圆弧QW 的长度为π433⋅当点P 在面1111D C B A 内运动时，112PD PC =， 设(),,3P s t整理得2221639s t ++=，点P 的轨迹为以2,0,33E−为圆心，43为半径的圆在侧面1111D C B A 内部（含边界）部分，如图所示，圆弧QR 即为所求轨迹，其中1213cos 423C E QER ER ∠===，故π3QER ∠=， 则圆弧QR 长度为π44π339⋅=，若点P 面11BCC B 内运动时，112PD PC =， 设()0,,P k l，整理得()22433k l +−=，点P 的轨迹为以()10,0,3C 11BCC B 内部（含边界）部分， 如图所示，圆弧GH 即为所求，此时圆心角1π2GC H =， 故圆弧GH长度为π2经检验，当点P 在其他面上运动时，均不合要求， 综上，点P的轨迹长度为π4π29×=，D 正确. 故选：ACD在【点睛】立体几何中体积最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立所求体积的目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(,4)P m Q m −，且直线PQ 与直线:20+−=l x y 垂直，则实数m 的值为______． 【答案】1 【解析】【分析】首先求出直线l 的斜率，由两直线垂直得到斜率之积为1−，即可求出PQ k ，再由斜率公式计算可得.【详解】因为直线:20+−=l x y 的斜率1k =−， 又直线PQ 与直线:20+−=l x y 垂直，所以1PQ k =，即412m m−=−−，解得1m =.故答案为：114. 以椭圆2251162x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为______．【答案】221916y x −=【解析】【分析】根据给定的椭圆方程求出双曲线的顶点及焦点坐标，即可求出双曲线方程.【详解】椭圆2251162x y +=的长轴端点为(0,5),(0,5)−，焦点为(0,3),(0,3)−，因此以(0,3),(0,3)−为顶点，(0,5),(0,5)−4=，方程为221916y x −=. 故答案为：221916y x −=15. 椭圆22:44E x y +=上的点到直线20x y +−=的最远距离为______．【解析】【分析】设出椭圆上任意一点的坐标，再利用点到直线距离公式，结合三角函数性质求解即得.【详解】设椭圆22:14x E y +=上的点(2cos ,sin )(02π)P θθθ≤<，则点P到直线20x y +−=的距离：π2sin 4dθ=−+， 显然当5π4θ=时，max d =， 所以椭圆22:44E x y +=上的点到直线20x y +−=16. 已知点A 的坐标为(0,3)，点,B C 是圆22:25O x y +=上的两个动点，且满足90BAC ∠=°，则ABC 面积的最大值为______．【解析】【分析】设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 的中点(,)P x y ，由题意求解P 的轨迹方程，得到AP 的最大值，写出三角形ABC 的面积，结合基本不等式求解． 【详解】设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 的中点(,)P x y ，点B ，C 为圆22:25O x y +=上的两动点，且90BAC ∠=°，∴121225y x =+，222225x y +=①，122x x x +=，122y y y +=②，1212(3)(3)0x x y y +−−=③由③得1212123()90x x y y y y +−++=，即121269x x y y y +=−④， 把②中两个等式两边平方得：221122224x x x x x ++=，222121224y y y y y ++=， 即221212502()44x x y y x y ++=+⑤，把④代入⑤，可得2234124x y+−= ，即P 在以30,2为半径的圆上．则AP 的最大值为．所以()22222111244ABC S AB AC AB AC BC AP =≤+==≤ ．当且仅当AB AC =，P 的坐标为 时取等号．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 的顶点(4,1)A ，边AB 上的高线CH 所在的直线方程为10x y +−=，边AC 上的中线BM 所在的直线方程为310x y −−=． （1）求点B 的坐标； （2）求直线BC 的方程． 【答案】（1）(1,4)−−；（2）7110x y ++=. 【解析】【分析】（1）由垂直关系求出直线AB 的方程，再求出两直线的交点坐标即得.（2）设出点C 的坐标，利用中点坐标公式求出点C 坐标，再利用两点式求出直线方程. 【小问1详解】由边AB 上的高线CH 所在的直线方程为10x y +−=，得直线AB 的斜率为1， 直线AB 方程为14y x ，即3y x =−，由3310y x x y =− −−=，解得1,4x y =−=−， 所以点B 的坐标是(1,4)−−.【小问2详解】由点C 在直线10x y +−=上，设点(,1)C a a −，于是边AC 的中点2,122a a M+−在直线310x y −−=上，因此3611022a a+−+−=，解得2a =−，即得点(2,3)C −，直线BC 的斜率4371(2)k −−==−−−−， 所以直线BC 的方程为37(2)y x −=−+，即7110x y ++=. 18. 如图，在三棱柱111ABC A B C 中底面为正三角形，1114,2,120AA AB A AB A AC ==∠=∠=°．（1）证明：1AA BC ⊥；（2）求异面直线1BC 与1AC 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）根据数量积的运算律及定义得到10AA BC ⋅=，即可得证； （2）取AB 中点M ，连接1AC 交1AC 于点O ，连接CM 、OM ，即可得到COM ∠为异面直线1BC 与1AC 所成角或其补角，再由余弦定理计算可得.【小问1详解】因为BC AC AB=−，所以()1111AA BC AA AC AB AA AC AA AB ⋅=⋅−=⋅−⋅1111cos ,cos ,0AA AC AA AC AA AB AA AB =⋅−⋅=，所以1AA BC ⊥，即1AA BC ⊥.【小问2详解】取AB 的中点M ，连接1AC 交1AC 于点O ，连接CM 、OM ，则O 为1AC 的中点，所以1//OM BC ，所以COM ∠为异面直线1BC 与1AC 所成角或其补角， 在等边三角形ABC中CM =在平行四边形11ACC A 中()222211112AC AC AA AC AC AA AA =−=−⋅+22122244282−×××−+，所以1A C =，所以OC =，因为1AA BC ⊥，11//AA BB ，所以1BB BC ⊥， 在矩形11BCC B中1BC，所以OM =在OCM中由余弦定理cos COM ∠=的所以异面直线1BC 与1AC.19. 已知圆C 的圆心在x 轴上，其半径为1，直线:8630l x y −−=被圆CC 在直线l 的下方．（1）求圆C 的方程；（2）若P 为直线1:30l x y +−=上的动点，过P 作圆C 的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，当||||PC AB ⋅的值最小时，求直线AB 的方程．【答案】（1）()2211x y −+=（2）2x y +=【解析】【分析】（1）设圆心C (),0a ，根据直线l 被圆Ca ，然后写圆的方程即可； （2）根据等面积的思路得到当1PC l ⊥时，PC AB 最小，然后根据直线AB 为以PC 为直径的圆与圆C 的公共弦所在的直线求直线方程.【小问1详解】设圆心C (),0a 到直线l 的距离为d，则12d =1a =或14−， 因为点C 在直线l 的下方，所以1a =，()1,0C ， 所以圆C 的方程为()2211x y −+=. 【小问2详解】因为12PACB S PC AB PA AC =⋅==，所以PC AB 最小即PC 最小， 当1PC l ⊥时，PC 最小，所以此时1PC k =，PC 的直线方程为：1y x =−，联立130y x x y =− +−= 得21x y = = ，所以()2,1P ，PC 中点31,22 ，PC =所以以PC 为直径的圆的方程为：22311222x y −+−=， 直线AB 为以PC 为直径的圆与圆C 的公共弦所在的直线，联立()222231122211x y x y −+−=−+= 得2x y +=， 所以直线AB 的方程为2x y +=. 20. 已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，离心率e =，点B 为椭圆上的一动点，且12BF F △面积的最大值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，点(,)P m n 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴交于点Q ，且PAQ △为等边三角形，求点P 的横坐标．【答案】（1）22142x y += （2）25− 【解析】【分析】（1）根据三角形12BF F 的面积、离心率以及222a b c =+列出关于,,ab c 的方程组，由此求解出,a b的值，则椭圆C 的方程可求；（2）表示出AP 的垂直平分线方程，由此确定出Q 点坐标，再根据PAQ △为等边三角形可得AP AQ =，由此列出关于,m n 的等式并结合椭圆方程求解出P 点坐标.【小问1详解】依题意当B 为椭圆的上、下顶点时12BF F △面积的取得最大值，则2221222c ab c a b c = ×= =+，解得2a b = = ， 所以椭圆C 方程为：22142x y +=. 【小问2详解】依题意(,)P m n ，则22142m n +=，且()2,0A −， 若点P 为右顶点，则点Q 为上（或下）顶点，则4AP =，AQ =， 此时PAQ △不是等边三角形，不合题意，所以2m ≠±，0n ≠.设线段PA 中点为M ，所以2,22m n M −， 因为PA MQ ⊥，所以1PA MQ k k ⋅=−， 因为直线PA 的斜率2AP n k m =+，所以直线MQ 的斜率2MQ m k n +=−， 又直线MQ 的方程为2222n m m y x n +− −=−−， 令0x =，得到()()2222Q m m n y n+−=+， 因为22142m n +=，所以2Q n y =−， 因为PAQ △为正三角形，的所以AP AQ =，即， 化简，得到2532120m m ++=， 解得25m =−，6m =−（舍） 故点P 的横坐标为25−.【点睛】关键点点睛：解答本题第二问关键在于AP 垂直平分线方程的求解以及将PAQ △的结构特点转化为等量关系去求解坐标，在计算的过程中要注意利用P 点坐标符合椭圆方程去简化运算. 21. 如图，在多面体ABCDEF 中，侧面BCDF 为菱形，侧面ACDE 为直角梯形，//,,AC DE AC CD N ⊥为AB 的中点，点M 为线段DF 上一动点，且2,120BC AC DE DCB =∠=°．（1）若点M 为线段DF 的中点，证明：//MN 平面ACDE ；（2）若平面BCDF ⊥平面ACDE ，且2DE=，问：线段DF 上是否存在点M ，使得直线MN 与平面的ABF 所成角的正弦值为310?若存在，求出DM DF的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）存在，1DM DF=−【解析】【分析】（1）根据中位线和平行四边形的性质得到MN DG ∥，然后根据线面平行的判定定理证明； （2）建系，然后利用空间向量的方法列方程，解方程即可.【小问1详解】取AC 中点G ，连接NG ，GD ，因为,N G 分别为,AB AC 中点，所以NG BC ∥，12NG BC =， 因为四边形BCDF 为菱形，M 为DF 中点， 所以DM BC ∥，12DM BC =， 所以NG DM ∥，NG DM =，则四边形NGDM 为平行四边形，所以MN DG ∥，因为MN ⊄平面ACDE ，DG ⊂平面ACDE ，所以MN ∥平面ACDE .【小问2详解】取DF 中点H ，连接CH ，CF因为平面BCDF ⊥平面ACDE ，平面BCDF ∩平面ACDE CD =，AC CD ⊥，AC ⊂平面ACDE ， 所以AC ⊥平面BCDF ，因为CH ⊂平面BCDF ，CB ⊂平面BCDF ，所以AC CH ⊥，AC CB ⊥，因为120DCB ∠=°，四边形BCDF 为菱形，所以三角形DCF 为等边三角形，因为H 为DF 中点，所以CH DF ⊥，CH CB ⊥，所以,,CH CB AC 两两垂直，以C 为原点，分别以,,CA CB CH 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，()N ，()4,0,0A，()0,B，()F，()0,D，()0,DF =，()4,AB =−，()AF =−，()2,ND =−− 设DM DF λ=，则()0,,0DM DF λ==，()2,NM ND DM =+=−− ， 设平面ABF 的法向量为(),,m x y z = ，则40430m AB x m AF x z ⋅=−+= ⋅=−++=，令x =2y =，z =，所以m = ，3cos ,10NM m NM m NM m ⋅==，解得1λ=或1+（舍去）， 所以线段DF 上存在点M ，使得直线MN 与平面ABF 所成角的正弦值为310， 此时1DM DF =−22. 已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F ，过点A 且斜率为(0)k k ≠的直线l交椭圆C 于点P ．（1）若||AP =k 的值； （2）若圆F 是以F 为圆心，1为半径的圆，连接PF ，线段PF 交圆F 于点T ，射线AP 上存在一点Q ，使得QT BT ⋅ 为定值，证明：点Q 在定直线上．【答案】（1）1±（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设():2l y k x =+，(),P P P x y ，联立直线与椭圆方程，求出P 点坐标，再由两点间的距离公式求出k ；（2）由P 点坐标可求得PF 斜率，进而得到PF 方程，与圆的方程联立可得T 点坐标；设()(),2Q m k m +，利用向量数量积坐标运算表示出()224841k m QT BT k −⋅=+ ，可知若QT BT ⋅ 为定值，则2m =，知()2,4Q k ；当直线PF 斜率不存在时，验证可知2m =满足题意，由此可得定直线方程.【小问1详解】依题意可得()2,0A −，可设():2l y k x =+，(),P P P x y ， 由()222143y k x x y =+ += ，消去y 整理得()2222341616120k x k x k +++−=， ()22Δ483441440k k ∴=+−=>，221612234P k x k −∴−=+， 226834P k x k −∴=+，222681223434P k k y k k k −=+= ++ ， 2226812,3434k k P k k −∴ ++，所以A P=21k =或23132k =−（舍去）， 所以1k =±.【小问2详解】 由（1）知2226812,3434k k P k k − ++，()1,0F ， 若直线PF 斜率存在，则2414PF k k k =−，∴直线214:14k PF x y k−=+，由()222141411k x y k x y −=+ −+= 得222441k y k = + ，又点T 线段PF 上， 所以22241441x k ky k = + = + ，即2224,4141k T k k ++ ，又()2,0B ， 22284,4141k k BT k k ∴=− ++， 设()(),2Q m k m +，则()()322242242,4141m k m k mk m QT k k −++−−+−= ++， ()()()()()()()22422222228421628448414141k mk m m k m k k m k QT BT k k −+−++−−+∴⋅=++ ()224841k m k −=+； 当480m −=时，0QT BT ⋅= 为定值，此时2m =，则()2,4Q k ，此时Q 在定直线2x =上；当480m −≠时，QT BT ⋅ 不为定值，不合题意；若直线PF 斜率不存在，由椭圆和圆的对称性，不妨设31,2P ，从而有()1,1T ，()2,0B ， 此时12AP k =，则直线()1:22AP y x =+， 设()1,22Q m m +，则()11,122QT m m =−−+ ，()1,1BT =− ，112QT BT m ∴⋅=− ， 则2m =时，0QT BT ⋅=，满足题意； 综上所述：当0QT BT ⋅= 为定值，点Q在定直线2x =上.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与向量的综合应用问题，涉及到椭圆中的向量数量积问题的求解；本在题求解点Q 所在定直线的关键是能够根据Q 点横纵坐标之间的关系，结合向量数量积坐标运算化简QT BT ⋅ ，将QT BT ⋅ 化为关于Q 点横坐标和直线斜率的关系式，从而分析确定定值后，再得到Q 点坐标的特征.。
2015～2016学年上学期高二年级第一次阶段考试成绩
学号姓名语文语文校次语文班次数学数学校次数学班次英语英语校次英语班次物理物理校次物理班次化学化学校次化学班次生物生物校次生物班次总分总分校次总分班次2014001048季成旺1171114411131.911911199119811680.911 2014001064肖清壮9917141352283.82725842297229622594.822 2014001017任胜男109221189890.62121813392558688576.633 2014001003陈蒙蒙104871111817108.15578669255791716572.144 2014001062王晓卫9917141189888.8242372111197229433568.855 2014001022孙丽菲108441131615117.533473635821817831010550.566 2014001058宋先闯885641116121196.9151574998514148855547.977 2014001042范德文9144321214461.96146778895449144536.988 2014001006董一丁100151212144100111159202079222169423452899 2014001031袁焱娜104871141514101.999651515743231665243524.91010 2014001054梅新旗8762441214459.47149794490778499520.41111 2014001005程园园904735102262578.1373372111189998855519.11212 2014001037周杨帆10655102262599.41212523130762524801212515.41313 2014001040晁振长1031110111181776.94136691313762524782019513.91414 2014001053马亚州972218112171679.43331592020861212791716512.41515 2014001027肖皓月106551207793.81717434541743231694234505.81616 2014001025王 京9242311243371.35343651515733534791716504.31717 2014001065张树坚88564177795777.5403579448810108855497.51818 2014001023汤盼盼1021211836147111.344592020792221636248497.31919 2014001024田晓彤895238904640108.155611818802120646046492.12020 2014001018任亚杰953022924136121.322404944782423627054488.32121 2014001052刘轩轩972218117111031.9140637866811918801212484.92222 2014001038祝朵朵953022943734106.977473635694441694234480.92323 2014001020石慧敏857750105232291.32020493433723836742724476.32424 2014001001常峥峥97221886504275.64438533029881010752522474.62525 2014001051刘艮跃838751103252471.95142572525841515752522473.92626 2014001030杨淑敏91443295353396.91515444239752726684638469.92727 2014001044关永超90473591433859.471496614149077733227469.42828 2014001060孙社伟819555*********.84739611818752726674940467.82929 2014001016任 聪943426992927101.999464037664845607356466.93030 2014001029闫盼茹1092280685082.52826414742713937655745448.53131 2014001066张震达895238115141343.811358552928655148801212447.83332 2014001002晁可可953022116121154.48153483534704138646046447.43433 2014001036赵艳欣8010156110201941.311759562726841515762220447.33534 2014001041段永琪701476397343273.84739513332752726801212446.83635学号姓名语文语文校次语文班次数学数学校次数学班次英语英语校次英语班次物理物理校次物理班次化学化学校次化学班次生物生物校次生物班次总分总分校次总分班次2014001035赵亚晨1048772986371.35343562726645651703730437.33736 2014001039晁储灿8387519929276067485823237335346362484363837 2014001056盛亚东91443279725276.94136337555861212703730435.93938 2014001047霍超迪5517666104242379.43331404944811918762220435.44039 2014001009管世娟5917365865042104.488376149752726713629432.44140 2014001008高荟翠87624499292793.11818366350674542489661430.14241 2014001012李芹义89523876825898.11313395246616154665243429.14342 2014001043冯超超94342687484191.91919385548704138489661428.94443 2014001061王 昀83875192413697.51414299057556758723428428.54544 2014001057宋绍辉87624499292748.19556651515664845636248428.14645 2014001033张艳静95302279725284.42624444239596355518959412.44746 2014001050李晓洋87624476825880.63129346954664845684638411.64847 2014001045郝晨晨781125980685026.915964731010674542821111406.94948 2014001028薛欣欣90473593393557.57551366350674542636248406.55049 2014001055任志凯93393076825861.36447464037655148636248404.35150 2014001049靳欢欢885641107222124.417065582323596355674940403.45251 2014001010井 潭991714531456670.65545395246655148742724400.65352 2014001014刘 爽98211799292753.88354327656409964742724396.85453 2014001034赵沙沙791085878755481.32927356652488061703730391.35754 2014001011库腾瑞87624485554456.97752414742704138509160389.95855 2014001015彭晓曼96272181664989.4222226101615175604510664388.45956 2014001026王瑞婷801015683614772.549412212663635853674940387.56057 2014001007冯 魏83875191433878.137332212663596355528658385.16158 2014001013梁盼盼94342684604633.113462299057743231703730384.16359 2014001046侯 冉87624478755450885527100607527266362483806560 2014001059宋占元10015128555445194665231306456516171553676761 2014001032张贝贝94342674936281292735665240996441131663656862 2014001021宋亚旗75127607110064461005726101615271596073563308163 2014001019任亚婷741336154144658131292892594099644799633248464 2014001063王振亮7114262758861401196022126634587636942343228865 2014001004陈亚萍651586478755434131611416966468462441176528112366学号姓名语文语文校次语文班次数学数学校次数学班次英语英语校次英语班次物理物理校次物理班次化学化学校次化学班次生物生物校次生物班次总分总分校次总分班次2014002049马德慧876210884726261114049250771058769385621 2014002024张茹梦102121711001677415385544195173914038368662 2014002020杨英瑞8195208068871558356610449014538311364693 2014002058徐梦达8484186910618451073020136406551377212360714 2014002033封光明71142427588112317355395237139280121359725 2014002023张丹丹751273595351783742892224099183914038355736 2014002019杨苗苗96274511524073497221263546841266525354747 2014002016宋志新92425601312788252161585039106224312531338788 2014002011柳翠芳391896275881153851818145468317161718329829 2014002054田明伟8674144616851508820366393910622665253238510 2014002055王少乐7213739855543214044385545271844117263238611 2014002010刘梦洁80101236711521626111261012537113274799173199012 2014002025张晓芳972235513932499122818764439215665253189113 2014002014任丽迎857715601312764601028922240991841131343189214 2014002034谷令邦57175577493133912237308117606245286133129515 2014002053孙远珂69152488650350882030811729140414799173119616 2014002009孔振茹8762106910618411173530811736117304799173109717 2014002027边庆骉69152487682102616052327615537075383113099818 2014002037何方信72137398166718187632610125409918723443099919 2014002046刘宇昂87621071100168192663855421172577427329910420 2014002044梁少栋71142427493133015047346911439215441172629610621 2014002012马会利8577155813329461002726101253711327391403829110822 2014002064张龙龙7711630521463745107303469113811125451062129110923 2014002001白瑞杰781122856138317545616158503512033291695128911024 2014002032房振坤701474669106183313440308117409918441172628611225 2014002008孔慧玲885674916146221775837618361173054821028611526 2014002045林振凯7910826511524060671326101253013539391403828511727 2014002061杨赢港731353872981540119361814546331233449921528511727 2014002047栾泽家751273567115213015047385542714946461032028311929 2014002021袁雪珂88567461685149932418145463711327451062128312030 2014002043李振风71142426212526211806032761551759451062128212131 2014002051彭彦坤661555066118242616052241103055676451062128212131 2014002031窦永水6615550551393216189644442156665441172628112433 2014002059杨世存87621077799211806014169573910622421293328012534 2014002003郜海芳89526521463751861924110302714946351514527812735学号姓名语文语文校次语文班次数学数学校次数学班次英语英语校次英语班次物理物理校次物理班次化学化学校次化学班次生物生物校次生物班次总分总分校次总分班次2014002005郭海燕9917251152406067138187643113238281725327712836 2014002013马亚茹8856750158434797252013640458713261785627613037 2014002007侯梦荣78112284716649461042920136403811125401393726913438 2014002029常云达76119315813329391223724110303312334381464226813539 2014002036管世彪49182598263531147463469112316553411313426014340 2014002028曹久诒819520521463747972522126351518562411313425814441 2014002015宋亚媛829319471664932140441416957331233449921525714642 2014002004关淑慧857715421755654811722126352117257321644825614743 2014002056王晓彤7611931451725449912216158502615650431253125514944 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璐56219503514025341242623218521921852322105119922052 2014006035陈峧龙66199442518238261583822.5219532421551242235518822353 2014006004高亚妮51224533514025261654115229563020448302155218722454 2014006001陈路洁63207471022654261654126208483120045242235518022555 2014006048鲁振行5222352523155291433225211504015631262205317722656学号姓名语文语文校次语文班次数学数学校次数学班次英语英语校次英语班次政治政治校次政治班次历史历史校次历史班次地理地理校次地理班次总分总分校次总分班次2014007005段彤彤114117626241231190.511842170161555711 2014007050赵肖肖106669111111134482.5878421745455022 2014007031邱兰兰102161410555989984.576815468232253933 2014007024刘贝贝10577949997101085.565682825781152744 2014007027鲁巧玲10412118415151143386.54363433370161552155 2014007033任乐乐105777825231016682.5877511972111051366 2014007008高慧芳10577978888202079.51716595742745450277 2014007021李雪莉107331006675323182.58763433372111050088 2014007007付单单934227861212997782111069222070161549999 2014007032任欢欢9249338317179977762220778672111049999 2014007065赵选超9437241113364413776.52119778674544971111 2014007011管明欣100201683171796121265563674151374544921212 2014007022李一帆1073384151593171775.523216634286244304881313 2014007017季翠萍81133578612121015570.53927751197016154841414 2014007042王丽蕊94372485141481222286.5436922206244304781515 2014007052蔡忠奇906340107446738368016156922206434254771616 2014007046张安茹99252071333094141480.51413751195486484741717 2014007056高俊宇86915111911311386072.53425834378114691818 2014007009耿雪蓉1002016987778272664.564426922205865394681919 2014007055封德坤95282183171760514289.522761086434254682020 2014007037宋彦秀10118157231288025246845327119177211104642121 2014007045魏金硕1132265433781222275252354855574544622222 2014007029马晓迪75168626053411162275.523217021196244304582323 2014007054樊健健104121179242276302965563660503874544582424 2014007014韩市芳9342278022219119196845326437306053354562525 2014007047张亚轩10315137133308221216943306437306434254532626 2014007006冯瑞莹9342275470489415158112116536296244304492727 2014007048张紫腾91573757614497101070.539275957427016154442828 2014007044王志星95282166393593171767.547346050386244304442929 2014007016贺层层81133578317175362466943307415136627244263130 2014007038孙雪程1073367373378272652128616050386053354243231 2014007002常婷婷87844657614463453965563678657211104223332 2014007013郭莹莹10577949961504153120585485555486484213433 2014007034史素春94372452795095131374292456715148129594193534 2014007010谷艳红9342276247397135336280495485556823224103635学号姓名语文语文校次语文班次数学数学校次数学班次英语英语校次英语班次政治政治校次政治班次历史历史校次历史班次地理地理校次地理班次总分总分校次总分班次2014007023廉蒙珍934227451005869373577.519176730265677454083736 2014007036宋晓迪100201657614454594480.514135580536053354073837 2014007058黄远伟77156601132218215626087536148377016153993938 2014007026刘婷婷87844637130617532316372457119176053353934139 2014007001安楠楠859552451005894151565563657644746143623924240 2014007012郭宵娅92493351835478272663.5684357644750111563924341 2014007043王秀敏87844675272544815362.575465957425865393864442 2014007004陈会静100201647935776302946.5145636050385677453854743 2014007020李晶晶90634031153625754437136267218166434253854844 2014007060栾好练887744723128361145765563674151350111563854945 2014007051朱利苗90634053734964423863.568435764475677453835046 2014007063张 晓7715660732926506748811211461276052102553795147 2014007035宋瑞蒙92493363453847714970412957644750111563795248 2014007041王红玲878446527950467751599155751195486483735449 2014007040王 骞90634061504061494053.51175748115595865393725550 2014007003陈冰雪91573757614454594460.5835159574248129593705651 2014007059李自涛781505960534144865460.583516922205865393695752 2014007028逯丹丹7516862301576379262562.57546451336276333685953 2014007057高照森85955260534136114576280496437305865393656154 2014007019黎亚茹859552673733261586177.5191763433342177633616455 2014007015韩婷婷87844650845547714952.5124606730265486483576656 2014007039谭 芳85955252795039101556556365197586434253566957 2014007030牛雪晨952821663935371065665.55435401566448129593517358 2014007018库卿然91573750845546775159.5895446127605865393507559 2014007025刘瑞芳8311256241986471363462.575465580535486483497660 2014007061田春光924933527950172196354112565957427016153447961 2014007064张欣欣6919264732926361145746148646246365486483408362 2014007062杨胜康93422771333052336451.5131625671515486483319263 2014007049张紫微887744431086051664753120584413963421776332110564 2014007053杜姜勤023265023465023465023365022665023265023465。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题(解析版)
华中师大一附中2022-2023学年度上学期高三年级期中检测数学试题本试题共4页，四大题．全卷满分150分，考试用时120分钟．请将答案填涂在答题上．命题人：胡兵华方牡丹审题人：张丹王文莹一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足()1i 13iz +=-，则复数z =（）A.12i + B.12i-+ C.12i- D.12i--【答案】D 【解析】【分析】由题意可得13i1iz -=+，再根据复数的四则运算计算即可.【详解】解：因为()1i 13i z +=-，所以13i (13i)(1i)134i12i 1i (1i)(1i)2z -----====--++-.故选：D.2.集合{}cos 0,R A x x x ==∈，{}2R 50x x x =∈-≤，则A B = （）A.[]0,2B.0,2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C.2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.3,22ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】先解出集合A ，B 的具体区间，再按照交集的定义求解即可.【详解】对于集合A ，()cos 0,,Z 2x x k k ππ==+∈；对于集合B ，250,05x x x -≤≤≤；由于3π52π2<<，0,1k ∴=，3,22A B ππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；故选：D.3.在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为锐角三角形”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】若ABC ∆为锐角三角形,则2B C π+>,则2B C π>-,进而可得tan tan 2B C π⎛⎫>- ⎪⎝⎭,利用诱导公式可得tan cot 0B C >>,即tan tan 1B C >,即可得到结果.【详解】若ABC ∆为锐角三角形,则2B C π+>,即2B C π>-,又02B π<<,02C π<<,则022C ππ<-<,所以tan tan 2B C π⎛⎫>- ⎪⎝⎭,则tan cot 0B C >>,所以tan tan 1B C >；若tan tan 1B C >,则tan 0,tan 0B C >>,即,B C 均为锐角,所以1tan tan B C>,即tan cot tan 2B C C π⎛⎫>=- ⎪⎝⎭,所以2B C π>-,则2B C π+>,即2A π<,所以ABC ∆为锐角三角形；故“tan tan 1B C >”是“ABC ∆”的充要条件,故选:C【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定,考查诱导公式在三角形中的应用.4.已函数()f x 及其导函数()f x '定义域均为R ，且()()0f x f x '->，()01f =，则关于x 的不等式()e x f x >的解集为（）A.{}0x x > B.{}0x x < C.{}1x x < D.{}1x x >【答案】B 【解析】【分析】根据已知不等式构造函数，利用导数判断所构造的新函数的单调性，然后利用单调性进行求解即可.【详解】由()()e 1ex xf x f x >⇒>，设()()()()()()0eexxf x f x f xg x g x g x '-'=⇒=<⇒是实数集上的减函数，且()01g =，所以由()()()1100exf xg x g x >⇒>=⇒<，故选：B5.已知0x >，0y >，且2x y +=，则2221x y x y+++的最小值为（）A.5B.72C.72D.5【答案】C 【解析】【分析】由2221x y x y+++12232⎛⎫=+++⎪⎝⎭y x y x ，再利用基本不等式求解即可.【详解】因为0x >，0y >，2x y +=，所以()22212112122⎛⎫+++=+++=+++ ⎪⎝⎭x y x y x y x y x y xy (12172323222⎛⎫=+++≥++=+ ⎪⎝⎭y x x y 当且仅当22y x x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即24x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩等号成立.故选：C.6.函数2e ,0()4,0xx f x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪--⎩，方程()()20f x tf x -=有6个不同的实根，则实数t 的取值范围为（）A.e 4t <<B.4t >C.e t <D.e 4t ≤≤【答案】A 【解析】【分析】方程()()20fx tf x -=有6个不同的实根，等价于()y f x =的图象与直线,0y t y ==有6个不同的交点，作出函数的图象可得答案．【详解】由方程()()20fx tf x -=得()f x t =或()0f x =，则方程()()20fx tf x -=有6个不同的实根，等价于()y f x =的图象与直线,0y t y ==有6个不同的交点，当0x >时，e ()xf x x =，则2(1)()x x e f x x-'=，令()0f x '=，得：1x =，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，故1x =时，()f x 取极小值(1)e f =，当0x 时，22()4(2)4f x x x x =--=-++，当(,2)x ∈-∞-时，()f x 单调递增；当(2,0)x ∈-时，()f x 单调递减，且(4)(0)0,(2)4f f f -==-=，根据以上信息，作出()f x 的大致图象如图，由图可知，()y f x =的图象与直线0y =有2个不同的交点，由题意，只需()y f x =的图象与直线y t =有4个不同的交点，则e 4t <<，综上得：t 的取值范围是e 4t <<．故选：A ．7.定义在()0,4上的函数()f x 满足()()22f x f x -=+，02x <≤时()ln f x x =，若()f x kx >的解集为{}04x x a b x <<<<或，其中a b <，则实数k 的取值范围为（）A.ln 2,2+∞⎛⎫⎪⎝⎭B.ln 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知：函数()f x 关于2x =对称，作出函数()f x 在区间(0,4)上的图象，然后根据函数的图象和不等式的解集确定实数k 的取值范围即可.【详解】因为函数()f x 满足()()22f x f x -=+，所以函数()f x 关于2x =对称，作出函数()f x 在区间(0,4)上的图象，又因为不等式()f x kx >的解集为{}04x x a b x <<<<或，其中a b <，根据图象可知：当直线y kx =过点(2,ln 2)时为临界状态，此时ln 22k =，故要使不等式()f x kx >的解集为{}04x x a b x <<<<或，其中a b <，则ln 22k ≥，故选：B .8.随着越来越多的家庭选择自驾到公园游玩，公园停车位严重不足.如图所示，公园里有一块扇形空地AOB ，其半径为20m ，90AOB ∠=︒，C 为弧AB 的中点，要在其内接矩形MNPQ （点M 、Q 分别在半径OA 、OB 上，点N 、P 在弧AB 上，且MN OC ∥）上修建停车场，则停车场面积最大值为（单位：2m ）（）A.50πB.25πC.)4001D.【答案】C 【解析】【分析】连接OP ，设POB θ∠=，利用正弦定理表示出PQ 和PN 的长，再用θ的表达式表示出矩形的面积，利用三角函数求解最值问题【详解】连接OP ，OC 交PN 于点E ，设POB θ∠=， 四边形MNPQ 为矩形，并且MN OC ∥，∴90PEO ∠=︒，又 C 为弧AB 的中点，20m OB OC OA ===，∴45COB ∠=︒，45COP θ∠=︒-，在直角三角形POE 中，sin(45)20PEθ=︒-，∴240sin(45)PN PE θ==︒-，在OPQ △中，4590135PQO ∠=︒+︒=︒，由正弦定理sin135sin OP PQθ=︒得，PQ θ=.矩形MNPQ 的面积()2240sin 45sin cos sin22S PQ PN θθθθθ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅︒-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦)4004πθ+-，由题意可得04πθ<<，32444πππθ<+<，∴当242ππθ+=时，矩形MNPQ面积最大为)4001.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设z 为复数，a ，R b ∈，则下列说法正确的是（）A.若i z a b =+，则z 的实部和虚部分别为a 和bB.设z 为z 的共轭复数，则z z =C .22||z z =D.若3i n z =+，*N n ∈，则z 在复平面内对应的点位于第一象限或第四象限【答案】AB 【解析】【分析】结合复数的定义和复数的相关性质即可得出答案【详解】由复数的概念可知，i z a b =+复数的实部为a ，虚部为b ，所以A 正确，i z a b =+和=i z a b -可知||||z z ==，所以B 正确，对于C ，||222z a b =+是一个实数，而22=(i)z a b +不一定为实数，所以C 错误，当n 取偶数时，z 为实数，在复平面对应的点在实轴上，所以D 错误故选：AB10.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2*11,R,Nn S an n b a b n =++∈∈，则下列说法正确的是（）A.0b =是{}n a 为等差数列的充要条件B.{}n a 可能为等比数列C.若0a >，R b ∈，则{}n a 为递增数列D.若1a =-，则n S 中，5S ，6S 最大【答案】ABD 【解析】【分析】计算111a a b =++，当2n ≥时，211n an a a +=-，验证知A 正确，当0a b ==时是等比数列，B 正确，举反例知C 错误，计算60a =得到D 正确，得到答案.【详解】211n S an n b =++，1111a S a b ==++；当2n ≥时，()()221111111211n n n an n b a n n b an a a S S -++----=-+==--，当0b =时，111a a =+，满足通项公式211n an a a +=-，数列为等差数列；当{}n a 为等差数列时，121111b a a a a -=+=++，0b =，故A 正确；当0a b ==时，11n a =，是等比数列，B 正确；2311a a =+，取2b a =，则21a a =，C 错误；当1a =-时，从第二项开始，数列递减，且212n a n =-+，故60a =，故5S ，6S 最大，D 正确.故选：ABD11.如图，ABC 中，13BD BC = ，12AE AC =，AD 与BE 交于点F ，则下列说法正确的是（）A.1233AD AB AC=+ B.12BF BE=C.:1:3BFD AFE S S =△△D.20AF BF CF ++=【答案】BCD 【解析】【分析】根据向量的三角形法则逐项计算判断即可．【详解】解：为了判断下面的有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件，设,,A B C 三点共线，O 为线外一点，则()1OB mOC m OA =+-，即OA 与OC前系数和为1，证：,,A B C 三点共线，AB mAC ∴= ，()OB OA m OC OA ∴-=- ，()1OB mOC m OA ∴=+- ．()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，故A 错；,,B F E 三点共线，()()112AF AB AE AB AC λλλλ-∴=+-=+，,,A F D 三点共线，233AF AD AB AC μμμ∴==+ ，23132μλμλ⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩，解得1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1122AF AB AE ∴=+ ，∴F 为BE 的中点，12BF BE ∴=，故B 对；111443BFD ABD ABC S S S ==⨯⋅△△△，111222AFEABE ABC S S S ==⨯⋅△△△，:1:3BFD AFE S S ∴=△△，故C 对；取AB 中点G ，BC 中点H ，如下图，则,,G F H 三点共线，()()()()2AF BF CF AF BF BF CF FB FB F FA C ⎡⎤∴++=-++++=++⎣⎦()(220FG FH EA EC =-+=-+=，故D 对．故选：BCD ．12.函数()exax f x =和()ln xg x ax =有相同的最大值b ，直线y m =与两曲线()y f x =和()y g x =恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为123,,x x x ，则下列说法正确的是（）A.1a = B.1b e=C.1322x x x += D.2132x x x =【答案】ABD 【解析】【分析】利用导数的性质，根据最大值的定义，结合数形结合思想、指数与对数恒等式进行求解即可.【详解】()()(1)e e x xax a x f x f x -'=⇒=，当0a >时，当1x >时，()()0,f x f x '<单调递减，当1x <时，()()0,f x f x '>单调递增，所以当1x =时，函数()f x 有最大值，即()()max 1eaf x f ==；当a<0时，当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当1x <时，()()0,f x f x '<单调递减，所以当1x =时，函数()f x 有最小值，没有最大值，不符合题意，由()()2ln 1ln x xg x g x ax ax-'=⇒=，当0a >时，当e x >时，()()0,g x g x '<单调递减，当0e x <<时，()()0,g x g x '>单调递增，所以当e x =时，函数()g x 有最大值，即()()max 1e eg x g a ==；当a<0时，当e x >时，()()0,g x g x '>单调递增，当0e x <<时，()()0,g x g x '<单调递减，所以当e x =时，函数()g x 有最小值，没有最大值，不符合题意，于是有111,0,1,e ea a a ab ae =⇒=±>∴== ，因此选项AB 正确，两个函数图象如下图所示：由数形结合思想可知：当直线y m =经过点M 时，此时直线y m =与两曲线()y f x =和()y g x =恰好有三个交点，不妨设12301e x x x <<<<<，且12312223ln ln e e x x x x x x m x x ====，由()()1212212ln 2ln ln ln e ex x x x x f x f x x ==⇒=，又121,ln ln e 1x x <<=，又当1x <时，()f x 单调递增，所以12ln x x =，又()()3233223ln 3ln ln ln e ex x x x x f x f x x ==⇒=，又231,ln ln e 1x x >>=，又当1x >时，()f x 单调递减，所以23ln x x =，332222ln 1ln ln x x x x x x m===，22121ln x x x x m ==，于是有23213212x x x x x x x =⇒=，所以选项D 正确，故选：ABD【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，结合等式log b a a b =是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13.已知向量a 与b不共线，且3a b λ- 与2a b λ- 共线，则λ=___________．【答案】【解析】【分析】根据向量共线定理列方程求解即可.【详解】因为3a b λ- 与2a b λ-共线，所以存在唯一实数μ，使3(2)a b a b λμλ-=-，即32a b a b λμλμ-=-，因为向量a 与b不共线，所以32λμλμ=⎧⎨=⎩，解得λ=，故答案为：14.函数()π2sin 2(0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为__________．【答案】16【解析】【分析】由π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭得到πππ2π,2π666x ωωω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，结合正弦函数图象得到不等式组，求出21236k k ω-+≤≤+，Z k ∈，利用21236106k k k ⎧-+<+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，求出0k =，从而得到106ω<≤，得到答案.【详解】π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则πππ2π,2π666x ωωω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，因为0ω>，所以要想()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，需要满足πππ2π26k ω+≥-+且ππ2π2π62k ω+≤+，Z k ∈，解得：21236k k ω-+≤≤+，Z k ∈，所以21236106k k k ⎧-+<+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得：1566k -<<，因为Z k ∈，所以0k =，因为0ω>，所以106ω<≤，ω的最大值是16.故答案为：16.15.函数()f x 及其导函数()f x '定义域均为R ，且()32f x +是偶函数，记()()g x f x '=，()1g x +也是偶函数，则()2022f '=___________．【答案】0【解析】【分析】根据函数的奇偶性得到()()4g x g x =--+，根据导函数的奇偶性得到()()2g x g x =-+，确定函数的周期为4，得到()()()202220222f g g '==，计算得到答案.【详解】()32f x +是偶函数，()()3232f x f x +=-+，两边求导得到()()332332f x f x ''+=--+，即()()3232g x g x +=--+，即()()4g x g x =--+，取2x =，()()22g g =-，()20g =，()1g x +也是偶函数，故()()11g x g x +=-+，即()()2g x g x =-+，故()()24g x x g -+--+=，即()()2g x g x =-+，()()24g x g x +=-+.故()()4g x g x =+，4是函数的一个周期，()()()2022202220f g g '===.故答案为：016.设A ，B ，C 是ABC 的三个内角，ABC 的外心为O ，内心为I ．0OI ≠ 且OI 与BC共线．若11tan tantan22k A B C =+，则k =___________．【答案】2【解析】【分析】由O ，I 分别是三角形的外心和内心，利用OI 与BC 共线得到线段的长度关系，用tan 2B，tan2C 表示出相应线段，得到等式.【详解】设内切圆半径为r ，过O ，I 分别作BC 的垂线，垂足分别为M ，D ，则tan2r BD B =，tan2r CD C =，因为OI 与BC共线，所以OM ID r ==，又因为2BOC A ∠=∠，BOM A ∠=∠，所以tan BM r A =∠，因为2BM BD CD =+，所以2tan tantan22r r r A B C =+，即112tan tantan22A B C =+，所以2k =.故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.函数()()()sin 0,πf x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，其中//MN x轴．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将()y f x =的图像向右平移π4个单位，再向上平移2个单位得到()y g x =的图像，求π8g ⎛⎫⎪⎝⎭的值．【答案】（1）()5πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）6224+【解析】【分析】（1）根据图象可求函数的对称方程及34T ，故可求函数的解析式；（2）根据图象平移可求()g x 的解析式，故可求π8g ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【小问1详解】由图象可得函数图象的一条对称轴为πππ2623x --==-，故32π5ππ3π41234ω⨯=+=，故2ω=，故()()sin 2f x x ϕ=+，而π2πsin 133f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2ππ2π,Z 32k k ϕ-+=+∈即7π2π,Z 6k k ϕ=+∈而π<ϕ，故5π6ϕ=-，故()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】将()y f x =的图像向右平移π4个单位，再向上平移2个单位得到()y g x =的图像，故()π5ππsin 22sin 22263g x x x ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故πππππππππsin 2sin 22sin cos cos sin 843343434g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6224=+.18.已知数列{}n a 满足11a =，()*1121n n a a n n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和．【答案】（1）12n n na -=（2）11222n n n n S +---=【解析】【分析】（1）根据构造法得出数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为12的等比数列即可；（2）根据错位相减求前前n 项和即可.【小问1详解】由题知，11a =，()*1121n n a a n n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 因为()*11121n n n n a a a n n n ++⎛⎫⎛⎫=+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，所以1112n na a n n+=⨯+，所以1112n n a n a n ++=因为1101a=≠，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为12的等比数列，所以1111122n n n a n --⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，所以12n n n a -=.【小问2详解】由（1）得12n n n a -=，所以01221123122222n n n n n S ---=+++++ ①，23111231222222n n n n n S --=+++++ ②，由①②错位相减得：211111122222n n n n S -=++++-11122212212nn n n n n +⎛⎫- ⎪--⎝⎭=-=-所以11222n n n n S +---=.19.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c)2222sin a b c bc A +-=．（1）求22sin cos A B +的取值范围；（2）若D 是AB 边上的一点，且:1:2AD DB =，2CD =，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）1,12⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭（2）332【解析】【分析】（1）先求出C ，再根据三角变换公式化简22sin cos A B +，利用余弦函数的性质可求其取值范围；（2）根据题设可得1233CD CB CA =+，平方后利用基本不等式可求()max 6ab =，故可求面积的最大值.【小问1详解】)2222sin a b cbc A +-=)22222cos 2sin ab a b ab C bc A +--+=，整理得到：cos 2sin C bc A =cos sin C c A =，cos sin sin A C C A =，而A 为三角形内角，故sin 0A >，sin C C =，故tan C =C 为锐角三角形内角，故π3C =.()221sin cos 1cos 2cos 22A B B A +=+-12π1cos 2cos 223B B ⎡⎤⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦14π1cos 2cos 223B B ⎡⎤⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦13π1cos 2sin 21cos 222226B B B ⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为三角形为锐角三角形，故π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，故ππ62B <<，故ππ7π2266B <+<，故π1cos 206B ⎛⎫-≤+< ⎪⎝⎭，故2231sin cos 12A B -≤+<.【小问2详解】由题设可得2BD DA =，故()2CD CB CA CD -=- ，整理得到：1233CD CB CA =+，故222144999CD CB CA CB CA =++⋅ 即22144149992a b ab =++⨯，整理得到：223642426a b ab ab ab ab =++≥+=，当且仅当a b ==时等号成立，故()max 6ab =.故三角形面积的最大值为13336222⨯⨯=.20.已知函数()23ln f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，R a ∈．（1）若()f x 的定义域为{|0,R}x x x ≠∈，值域为R ，求a 的值；（2）若0a >，且对任意的1,13c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当1x，2x ∈时，总满足()()12ln2f x f x -≤，求a 的取值范围．【答案】（1）0a =（2）45,7∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）由定义域为{|0,R}x x x ≠∈，可得230a x +>恒成立；由值域为R 可得，23a x+能取到(0,)+∞内任意实数，即可得a 的值；（2）对()f x 求导，根据导数的正负判断出()f x在上单调递减，将问题转化为任意的1,13c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，33ln ln ln22a a c c ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，令()33g =ln ln 2x a a x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，1,13c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求导，利用max ()ln 2g x ≤求解即可．【小问1详解】解：因为()f x 的定义域为{|0,R}x x x ≠∈，所以0x ∀≠且x ∈R ，230a x +>恒成立，则23a x>-，又20x >，所以0a ≥又因为()f x 值域为R ，所以23a x+能取到(0,)+∞内任意实数，所以0a ≤故0a =；【小问2详解】解：因为()23ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()332216616333x f x x ax x ax ax -⋅--===⨯+'++，所以当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当,()0x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以()f x在上单调递减，12max 33()()2)ln ln 2f x f x f f a a c c ⎛⎫⎛⎫∴-=-+=+-+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，问题可转化为：任意的1,13c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，33ln ln ln22a a c c ⎛⎫⎛⎫+-+≤⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭恒成立，令()33g =ln ln 2x a a x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()()()()()()222222332344633033332232232x ax a x g x x ax x a x x a x x ax a a x x --+-++=-=-=<+⎡⎤++++++++⎣⎦+'+，所以()g x 在1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()max 19ln 9ln 37g x g a a ⎛⎫⎛⎫==+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()9ln 9ln ln27a a ⎛⎫+-+≤⎪⎝⎭，则929790907aa a a +⎧≤⎪+⎪⎪⎪+>⎨⎪⎪+>⎪⎪⎩，解得457a ≥，故a 的取值范围为：45,7∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭．21.已知函数()()2142f x a x =-．（1）若6a =，求()f x 在区间[]2,12上的最小值；（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x （12x x <且11x ≠），且不等式2122t a->恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）13ln 32+（2）(],1-∞【解析】【分析】（1）利用导数研究()f x 在区间[]2,12上的单调性，进而求得()f x 在区间[]2,12上的最小值（2）利用极值点建立12,x x2122t a->-，利用构造函数法，结合导数来求得t 的取值范围.【小问1详解】()()()211ln 4022f x a x x x =+->，当6a =时，()()()213ln 402f x x x x =+->，()()()2133434x x x x f x x x x x---+'=+-==，所以()f x 在区间()()()2,3,0,f x f x '<递减；在区间()()()3,12,0,f x f x >'递增.所以()f x 在区间[]2,12上的最小值为()133ln 32f =+.【小问2详解】()()()211ln 4022f x a x x x =+->，()()2284022a x x af x x x x x-+'=+-=>，由于()f x 有两个不同的极值点12,x x ，12x x <且11x ≠，所以方程2280x x a -+=有两个不同的正根12,x x ，所以1212Δ64804002280a x x ax x a =->⎧⎪+=>⎪⎪⎨⋅=>⎪⎪-+≠⎪⎩，解得08a <<且6a ≠.因为120x x <<，所以21114,02x x x x =-><<且11x ≠.依题意，2122t a->-恒成立，即()212211ln 2421x t x x x x ->-，()212211ln 2421x t x x x x ->-，2111ln 212x t x x ->-，1211ln 221x x t x ⋅-<-，()()11112ln 211x x t x x ⋅-+<-，()()11112ln 2101x x t x x ⋅--+>-，()()()11112ln 2101xx t x x ⋅--+>-，()()211111212ln 01t x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣-⋅⎦-+>-，当101x <<时，1101x x >-；当112x <<时，1101xx <-.令()()()()2212ln 02t x h x x x x--=+<<，()()()2222202t x x t h x x x-++-'=<<.①当2t ≥时，()0h x '>，()h x 在()0,2上递增，()10h =，所以当()1,2x ∈时，()0h x >，()()2212ln 01t x x x x x ⎡⎤--⎢⎥⋅+<-⎢⎥⎣⎦不符合题意.②当2t <时，令()()()222202p x t x x t x =-++-<<，()2442t ∆=--，当0∆≤，即1t ≤时，()0h x '≤，()h x 在()0,2上递减，()10h =，所以当01x <<时，()0,01x h x x>>-，则()()2212ln 01t x x x x x ⎡⎤--⎢⎥⋅+>-⎢⎥⎣⎦；当12x <<时，()0,01x h x x<<-，则()()2212ln 01t x x x x x ⎡⎤--⎢⎥⋅+>-⎢⎥⎣⎦；所以()()2212ln 01t x x x x x ⎡⎤--⎢⎥⋅+>-⎢⎥⎣⎦对任意()()0,11,2x ∈ 恒成立.当0∆>，即12t <<时，二次函数()()()222202p x t x x t x =-++-<<的开口向下，对称轴为112x t =>-，且()()2121212220p t t t =-⨯+⨯+-=->，令01,22x t ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，则当()01,x x ∈时，()0p x >，即()0h x '>，所以()h x 在()01,x 上递增，()10h =，所以()h x 在()01,x 上有()0h x >，()()2212ln 01t x x x x x ⎡⎤--⎢⎥⋅+<-⎢⎥⎣⎦不符合题意.综上所述，t 取值范围是(],1-∞.【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可以考虑利用化归与转化的数学思想方法化简恒成立的不等式，将其转化为可以利用导数进行研究的形式.也可以考虑分离常数法，分离常数后利用构造函数法，结合导数来进行研究.22.已知函数()=e cos sin 1x f x x x ⋅--（e 为自然对数的底数）．（1）证明：当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤；（2）①证明：()f x 在区间()0,5π内有4个零点；②记①中的4个零点为1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，求证：1423+>+x x x x ．【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）对函数()f x 求导，引入()()='g x f x 再求导，可得()g x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是减函数，结合()00g =可得()0f x '≤进而得()f x 是减函数，又(0)=0f 根据单调性可得结论；（2）①求出()g x '在()0,5π有四个零点，把函数()g x 在区间()0,5π划分为五个单调区间，进一步找到()g x 在()0,5π有四个零点，又把函数()f x 在区间()0,5π划分为五个单调区间，结合单调性以及零点存在性定理，可得()f x 在区间()0,5π内有4个零点；②根据函数表达式可求得13=π2x ，37=π2x ，把要证的不等式转化为证明422π>x x -成立，通过找点锁定422π,x x -均在区间ππ2π+,2π+32⎛⎫ ⎪⎝⎭内，而()f x 在ππ2π+,2π+32⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，转化为证明()()422π<f x f x -即可，利用)4=0f x ，可证()()422π<0=f x f x -，使得命题得证.【小问1详解】()=e cos e sin cos x x f x x x x --'，设()()='g x f x ，则()()=e cos e sin e sin e cos +sin =sin 12e x x x x x g x x x x x x x ----'，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()0g x '≤，所以()g x 单调递减，又()00g =，所以()0g x ≤，即()0f x '≤，所以()f x 单调递减，又()0=0f ，所以()0f x ≤；【小问2详解】①由（1）知()()=sin 12e x g x x -'，令()=0g x '得πx =，2π，3π，4π，且()0,πx ∈，()g x 单调递减，()π,2πx ∈，()g x 单调递增，()2π,3πx ∈，()g x 单调递减，()3π,4πx ∈，()g x 单调递增，()4π,5πx ∈，()g x 单调递减，又()00g =，()π=1e <0g π-，()2π2π=e 1>0g -，()3π3π=1e <0g -，()4π4π=e 1>0g -，()5π5π=1e <0g -，所以存在()π,2πa ∈，()2π,3πb ∈，()3π,4πc ∈，()4π,5πd ∈使()()()()====0g a g b g c g d ，且()0,x a ∈，()()=<0f x g x '，()f x 递减，(),x a b ∈，()()=>0f x g x '，()f x 递增，(),x b c ∈，()()=<0f x g x '，()f x 递减，(),x c d ∈，()()=>0f x g x '，()f x 递增，(),5πx d ∈，()()=<0f x g x '，()f x 递减，又()()<0=0f a f ，()()>2π>0f b f ，()()<3π<0f c f ，()()>4π>0f d f ，()5π<0f ，所以()1,x a b ∃∈，()2,x b c ∈，()3,x c d ∈，()4,5πx d ∈，使()()()()1234====0f x f x f x f x ，所以()f x 在()0,5π上有4个零点．②由①知，()1,2πx a ∈，又3π=02f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以13=π2x ，()3,4πx c ∈，又7π=02f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以37=π2x ，所以要证1423+>+x x x x 即证：42>2πx x -，即证422π>x x -，因为π4π+3π134π+=e 1>0322f ⋅-⎛⎫ ⎪⎝⎭，π4π+=2<02f -⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以4ππ4π+,4π+32x ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，又π2π+2π132π+=e 1>0322f ⋅-⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2π+=2<02f -⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2ππ2π+,2π+32x ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以4ππ2π2π+,2π+32x -∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为ππ2π+,2π+32x ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x '递减，又ππ2π+2π+33π112π+=e e <03222f ⋅-⋅'⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()0f x '<，所以()f x 在ππ2+,2π+32x ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以只需证()()422π<f x f x -，又()()()442π2π444442π=e cos 2πsin 2π1=e cos sin 1x x f x x x x x ---⋅----⋅--，又()4=0f x ，所以444e cos sin 1=0x x x ⋅--，所以()()()44442π2π444422π=e cos e cos =cos e e <0=x x x x f x x x x f x ---⋅-⋅⋅-，所以422π>x x -，所以42>2πx x -．【点睛】本题先考查了函数与导数基本概念和运算，利用导数判断单调性，对导函数进行二次求导判断单调性，结合端点函数值，推证()0f x ≤作了深入考查，在判断()f x 四个零点以及证明不等式时，解题难度进一步增加，要求学生具有严密的逻辑推理能力，很强的直观想象能力，分层求导，由下及上是基本的解题环节，题目在知识层面，能力层面创新层面要求很高，区分度和选拔功能很强.第25页/共25页。