九年级数学(上册)第一章
九年级上册数学第一章笔记
九年级上册数学第一章笔记一、一元二次方程的定义。
1. 基本形式。
- 一元二次方程的一般形式是ax^2+bx + c = 0(a≠0)。
这里的a就像是这个方程的老大，它不能是0哦，要是a = 0了，那ax^2这一项就没了，方程就变成一元一次方程了，那就不是我们现在研究的一元二次方程啦。
- 比如说2x^2+3x - 1 = 0，这里a = 2，b = 3，c=-1。
2. 判断方程是否为一元二次方程。
- 就看它能不能化成ax^2+bx + c = 0(a≠0)这种形式。
- 像x(x + 1)=x^2-1，乍一看好像有点复杂，但是我们把左边展开x^2+x=x^2-1，然后移项得到x+1 = 0，这就不是一元二次方程啦，因为它最后化成了一元一次方程。
二、一元二次方程的解（根）1. 定义。
- 使一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)左右两边相等的未知数的值就是这个方程的解，也叫根。
- 比如说方程x^2-3x + 2 = 0，当x = 1的时候，1^2-3×1 + 2=1 - 3+2 = 0，所以x = 1就是这个方程的一个根；当x = 2时，2^2-3×2+2 = 4 - 6 + 2 = 0，x = 2也是这个方程的根。
2. 检验根的方法。
- 很简单，就是把这个值代入方程，看等式两边是不是相等。
就像上面那个例子，把x = 1和x = 2代入方程x^2-3x + 2 = 0，如果等式成立，那这个值就是方程的根。
三、一元二次方程的解法。
1. 直接开平方法。
- 适用于形如(x + m)^2=n(n≥0)的方程。
- 比如说(x - 3)^2=4，那x - 3=±2，这里要注意是正负两种情况哦。
- 当x - 3 = 2时，x = 5；当x - 3=-2时，x = 1。
就像打开一个盒子，里面的东西可能有两种情况呢。
2. 配方法。
- 对于一般的一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，我们要把它变成完全平方式。
北师大版九年级数学上册第一章四边形1矩形及其性质
③矩形的四个角都是直角；
④矩形的对角线相等.
教师讲评
注意：(1)矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过对称中心
的任意直线可将矩形分成全等的两部分.
(2)矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(通过对边中点的直线).对
称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心).
(3)矩形具有平行四边形的所有性质.矩形的性质可以从三个方面看：
点O.点 E,F 分别是AO,AD的中点,连接EF,则△AEF的周长为(
)
A.12
B.18
C.20
D.16
典例精讲
【题型一】利用矩形的性质求线段的长度
例 2: 如图,在矩形 ABCD中,对角线 AC,BD 相交于点O,已知
∠AOB=120°,AB=1,则BC 的长为
.
典例精讲
【题型二】利用矩形的性质求角度
九年级北师上册
2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形及其性质
1、通过自主探究掌握矩形的概念和矩形的性质定理，会用
矩形的性质定理进行推导证明，发展学生的分析能力.
2.了解矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，经历探索矩形
的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识.
3.在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充
(2)已学过的直角三角形性质有①直角三角形两个锐角互余；②直角三角
形两条直角边的平方和等于斜边的平方；③在直角三角形中，如果一个
锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
(3)直角三角形斜边上的中线性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
典例精讲
【题型一】利用矩形的性质求线段的长度
例 1: 如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=16,对角线AC,BD相交于
九年级数学上册第一章知识点
九年级数学上册第一章知识点
第一章知识点主要包括以下内容：
1. 数的性质和数的读法：正数、负数、零，自然数、整数、有理数、实数等的定义和性质；数的读法和数的表示方法。
2. 实数的分类：根据有理数和无理数的性质，了解实数的分类及其示意图。
3. 数轴和数轴上的点：数轴的定义、数轴上点的位置和相对位置的确定，不同点之间的距离和有序数对的概念。
4. 整数的整除性：整数除法的概念和性质，整除性的定义、性质及其运算法则；数的倍数和公倍数的概念。
5. 约数和倍数：约数和倍数的概念及其性质，约数和倍数的运算法则；最大公约数和最小公倍数的概念及其求法。
6. 素数和合数：素数的定义、性质和判定方法，合数的定义和性质，与素数和合数相关的定理和问题的解决方法。
7. 分数的数值和整数之间的关系：分数的定义、性质和读法，分数和整数之间的大小关系，分数的约简和分数的各种等价形式。
8. 分数和小数的转换：分数和小数之间的相互转化方法及其应用，循环小数的概念和转化方法。
9. 分数的四则运算：分数的加、减、乘、除法的运算法则，分数的混合运算。
10. 带分数和连分数：带分数的概念、性质及其运算法则，连分数的概念和应用。
九年级数学上册第一章
九年级数学上册第一章一、二次根式的概念。
1. 定义。
- 形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。
其中“√()”称为二次根号，a叫做被开方数。
例如√(4)，√(9)等都是二次根式。
这里要特别注意被开方数a是非负数，因为在实数范围内，负数没有平方根。
2. 判断二次根式的条件。
- 看是否形如√(a)的形式。
- 检查被开方数a的取值范围，a≥0。
例如√(-2)不是二次根式，因为被开方数-2＜0；而√(x^2)+1是二次根式，因为x^2+1≥1＞0。
二、二次根式的性质。
1. (√(a))^2=a(a≥0)- 例如(√(5))^2=5。
这个性质表明，一个非负数先开平方再平方，结果等于它本身。
2. √(a^2)=| a|=<=ft{begin{array}{l}a(a≥0) -a(a＜0)end{array}right.- 例如√(3^2) = 3，√((-3)^2)=| - 3|=3。
这一性质说明，先对一个数进行平方运算，再开平方，结果是这个数的绝对值。
三、二次根式的运算。
1. 二次根式的乘法。
- 法则：√(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)。
- 例如√(2)×√(3)=√(2×3)=√(6)。
- 反过来，√(ab)=√(a)·√(b)(a≥0,b≥0)，可以用于对二次根式进行化简，如√(12)=√(4×3)=√(4)×√(3)=2√(3)。
2. 二次根式的除法。
- 法则：(√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}(a≥0,b > 0)。
- 例如(√(8))/(√(2))=√(frac{8){2}}=√(4)=2。
- 反过来，√(frac{a){b}}=(√(a))/(√(b))(a≥0,b > 0)，也可用于化简二次根式，如√(frac{5){9}}=(√(5))/(√(9))=(√(5))/(3)。
3. 二次根式的加减。
北师版九年级数学上册第1章2矩形的性质与判定
称
性 是中心对称图形，对称中心是对角线
的交点
矩形的任意一条对角线都把矩形分成两个全等的直角三角形，
如Rt △ ADB ≌Rt△CBD，Rt△ ABC ≌Rt △ CDA.
2.矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，
并且相对的两个等腰三角形全等，如S△ AOB=S △ AOD=
解题秘方：紧扣矩形定义的“两个条件”进行证明.
解题通法：根据矩形的定义判定矩形的方法
知1－练
知1－练
证明：∵ O 为AB 的中点，∴ OB=OA. 又∵ OE=OD，∴四边形AEBD 是平行四边形. ∵ AB=AC，AD 是△ABC 的角平分线，∴ AD⊥ BC. ∴∠ ADB=90°. ∴四边形AEBD 是矩形.
AB∥CD，AD∥BC AB=CD，AD=BC
角
矩形的四个 角都是直角
∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ DAB= ∠ DCB= ∠ ADC=∠ ABC =90°
知2－讲
图形
性质
数学表达式
对 角 线
矩形的对角 ∵四边形ABCD 是矩形，
线相等
∴ AC=BD
对
是轴对称图形，它有两条对称轴，过 每组对边中点的直线是其对称轴
第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
1 课时讲解 矩形的定义
矩形的性质 直角三角形斜边上中线的性质
2 课时流程 矩形的判定
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 矩形的定义
定义
有一个角是 直角的平行 四边形叫做
矩形
图示
知1－讲
数学表达式 ∵在ABCD 中，∠ A=90°(或∠ B=90° 或∠ C=90°或∠ D=90°)，∴ ABCD 是 矩形
初三上册第一章知识点归纳数学教案
初三上册第一章知识点归纳数学教案
标题：初三上册第一章知识点归纳数学教案
一、教学目标
1. 理解并掌握本章的基础知识和基本概念。
2. 能够运用所学知识解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和独立思考能力。
二、教学内容
1. 本章的主要知识点归纳
(在此部分，详细列出本章所有的主要知识点，例如：函数的基本性质，方程组的解法等)
三、教学方法
1. 讲授法
2. 实践法
3. 启发式教学法
四、教学过程
1. 导入新课
(设计一个引人入胜的导入，激发学生的学习兴趣)
2. 新知讲解
(按照知识点的重要性逐一讲解，每个知识点都应有实例分析和习题练习) 3. 巩固练习
(设计一些针对性的习题，让学生巩固所学知识)
4. 小结与复习
(总结本节课的内容，并对下节课的内容进行预告)
五、教学评价
1. 学生自我评价
2. 教师评价
3. 同伴互评
六、教学反思
(在这一部分，教师需要反思本节课的教学效果，包括学生的学习情况，教学方法的有效性等)。
人教版数学九年级上册必备数学第一部分第一章第1节-课件
中考考点精讲精练
考点1 实数的有关概念［5年5考：2013年(选择题和 填空题)、2014年(解答题)、2015年(选择题)、2016年 (选择题)、2017年(选择题)］
典型例题
1.(2017达州)-2的倒数是
A. 2
B. -2
C. 1
2
2.(2017黔东南州)∣-2∣的值是
A. -2
B. 2
2.5 μm(1 μm=0.000
001 m)的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有一定量的
有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响.
2.3 μm用科学记数法可表示为
A. 23×10-5 m
B. 2.3×10-5 m
( C)
C. 2.3×10-6 m
D. 0.23×10-7 m
4. 据报道，2016年10月17日7时30分28秒，神舟十一号载人
飞船在甘肃酒泉发射升空，与天宫二号在距离地面393 000 m
的太空轨道进行交会对接，而这也是未来我国空间站运行的
轨道高度. 393 000用科学记数法表示为
( B)
A. 39.3×104
B. 3.93×105
相反数，0的绝对值是0.
5. 科学记数法：把一个数写成a×10n(其中1≤|a|＜10，n为
整数)的形式，这种记数法叫做科学记数法. 6. 实数运算：在实数范围内，加、减、乘、除(除数不为零)， 乘方运算都可以进行，但开方运算不一定能进行，正实数和 零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次 方.
7. 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. (1)数轴的三要素：原点、单位长度、正方向. (2)数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但 数轴上的点不都表示有理数. (一般取右方向为正方向，数轴 上的点对应任意实数，包括无理数. ) (3)用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边 的数总比左边的数大. 8. 有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位 数字止，所有的数字都是这个数的有效数字.
新北师大九年级数学上册第一章知识点归纳
新北师大九年级数学上册第一章学问点归纳※平行四边形．．．．．，．．．．．的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。
※平行四边形的性质：对边相等,邻边之和等于周长的一半对角相等,邻角互补对角线相互平分，共有4对全等的三角形。
※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线相互平分的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
※平行线之间的间隔：假设两条直线相互平行，那么其中一条直线上随意两点到另一条直线的间隔相等。
这个间隔称为平行线之间的间隔。
※平行四边形的面积公式：第一章特别平行四边形-菱形矩形正方形1菱形的性质及断定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线相互垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
菱形被对角线分成了4个面积相等的直角三角形，所以菱形的面积=对角线乘积的一半※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
对角线相互垂直且平分的四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2矩形的性质及断定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特别的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
〔矩形是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴是对边中点的连线所在的直线※矩形的断定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(依据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
〔对角线相等且平分的四边形是矩形〕四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
〔利用对角线相等且平分〕3正方形的性质及断定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
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回顾与思考
☞
“原名” 知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法 证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem). 本套教材选用如下命题作为公理 : 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条 直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 5.三边对应相等的两个三角形全等; 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
想一想P211
一题多解思维灵活
E 例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外 A 角∠EAC,∠B= ∠C. D 求证:AD∥BC. 分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角 C B 相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补 ”. :∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), 证明
∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换). ∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
这里是运用了定理“同旁内角互 补,两直线平行”得到了证实.
例题欣赏P211
☞
例2 已知:如图6-14,在△ABC中, ∠1 是它的一个外角, E为边AC上一点,延长 2 BC到D,连接DE. C 求证: ∠1>∠2. 3 证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), E 5 ∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大 于任何一个和 它不相邻的内角). 4 1 A B F ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义).把你所悟到的 证明一个真命 ∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于 题的方法,步骤, 任何一个和 它不相邻的内角). 书写格式以及 注意事项内化 ∴ ∠1>∠2(不等式的性质). 为一种方法.
1 2
c
2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
☞ 几何的三种语言
公理: 两直线平行,同位角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 性质定理1: 两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 性质定理2: 两直线平行,同旁内角互补. ∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 . a b a b a b
独立 作业
知识的升华
1、写出P2四条公理的三种语言; 2、试写出P2推论的证明过程.
祝你成功！
下课了!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. • 条理清晰，因果相应,言必有据 .是初学证明者谨记和遵循的原 则.
“行家” 看“门 道” D
随堂练习P212
☞
我能行
已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°. 求:∠B和∠ACB的大小. A 解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知), ∠DCA=100°(已知), ∠A=45°(已知), B C D ∴ ∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角意义).
1
平行线 的性质 c
1 2
c
2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
回顾与思考
☞
三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800. ∠A+∠B+∠C=1800的几种变形: ∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). ∠A+∠B=1800-∠C. B 0 ∠B+∠C=180 -∠A. ∠A+∠C=1800-∠B.
每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部 分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项. 一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其 中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命 题称为假命题(false statement). 要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之 具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例 (counter example).
试一试P213
☞
你认识 外角吗 ? B
D
E A
已知:如图所示. 求证:(1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C. 证明(1):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 C (外角意义),
∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和它不相邻 的任何一个外角).
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角意义),
B 2 3 4 1 C
这个结论以后可以直接运用.
D
回顾与思考
☞
学好几何标志 是会“证明”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索 驶向胜利 “因” .); (5)依据思路 ,运用数学符号和数学语言条理 的彼岸 清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.
∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
随堂练习P212
☞
你认识 外角吗?
A 已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 分析:设法利用外角把这五个角“凑” H 2 1F B E 到一个三角形中,运用三角形内角和定 理来求解. 解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的意义), ∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角 C D 等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的意义), ∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和). 又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理). ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质).
九年级数学（上册） 第一章 证明(二)
1.你能证明它们吗（1） 证明（一）回顾与思考
回顾与思考
☞
直观是把“双刃 剑”
直观是重要的,但它有时也会骗 人,你还能找到这样的例子吗?
a
a b a bc
驶向胜利 的彼岸
b
d
回顾与思考
☞
“原名” 知多少
原名:某些数学名词称为原名. 定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也 就是给出它们的定义(definition) . 命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement).
一题多解思维灵活
E
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外 角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC. 分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角 相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补 ”. :由证法1可得: 证明 ∠DAC=∠C (已证),
A
B
· ·C
D
∵ ∠BAC+∠B+∠C =1800 (三角形内角和定理).
关注▲外角
☞
内涵与外延
A
在这里,我们通过三角形内角和 定理直接推导出两个新定理.像这 样,由一个公理或定理直接推出的 定理,叫做这个公理或定理的推论 (corollary). 3 推论可以当作定理使用. B
2
4 1 C
D
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角.
A
C
这里的结论,以后可以直接运用.
三种语言
☞
关注三角形的外角
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角. 推论3: 直角三角形的两锐角互余. A △ABC中: ∠1=∠2+∠3; ∠1>∠2,∠1>∠3.
·
·
∠B=∠C (已知), 1 ∴∠B= ∠EAC(等式性质). 2 ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 1 ∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义). 2 ∴∠DAE=∠B(等量代换). ∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).
这里是运 用了公理 “同位角 相等,两直 线平行” 得到了证 实.
想一想P211
∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的 任何一个外角). ∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).
试一试P213
☞
你认识 外角吗 ? B
D
E A
已知:如图所示. 求证:(1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
证明(2):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 C (外角意义), ∴ ∠BDC =∠C+∠CED(三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和). ∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角意义), ∴ ∠DEC=∠A+ ∠B(三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个外角的和).
与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法.
“行家”看“门 探索思考 ☞ 道” 如图. ∠1是△ABC的一个外角,
∠1与图中的其它角有什么关系? 2 能证明你的结论吗? ∠1+∠4=1800 ; ∠1>∠2; 3 4 1 ∠1>∠3; B C D ∠1=∠2+∠3. 证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理), ∠1+∠4=1800(平角的意义), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换). ∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分). 用文字表述为: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. A