进阶数学期中考试复习宝典(第一学期,北京十一学校)
高中北京市十一学校高一上学期期中数学试题
北京市十一学校【精品】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}320A x Z x =∈+<，{}29B x R x =∈≤，则AB =（ ） A ．23,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．2,33⎛⎤- ⎥⎝⎦ C ．{}2,1--D ．{}3,2,1--- 2．命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ）A ．对任意实数x, 都有x > 1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x, 都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤13．下列函数中，在区间()0,∞+上是增函数的是（ ）A ．3y x a =-+B ．2y x =C ．3y x =D ．21y x =-+ 4．已知映射:f A B →，其中(){},,A B x y x R y R ==∈∈，对应法则()():,,f x y x y xy →+．则集合B 中的元素()1,2-的原象为（ ） A ．()1,2- B ．()2,1-C ．()1,2-或()2,1-D ．以上答案都不对 5．“()f x 在[a,b]上为单调函数”是“函数()f x 在[a,b]上有最大值和最小值”的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也非必要条件6．若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,3]B ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．使得“0x >”成立的一个充分而不必要条件是（ ）A ．1x >B ．20x >C ．12x ≤D 0≥ 8．已知3log 12a =，试用a 表示3log 24的结果为（ ）A ．32aB ．312a -C ．3aD ．以上结果都不对9．已知()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，且当0x >时，()f x 的图象如图所示，那么()f x 的值域是（ ）A ．[]3,3-B ．(][)3,22,3--C ．[)(]3,22,3--D ．[){}(]3,202,3-- 10．已知函数()()213f x ax b x a b =+-++是偶函数，且其定义域为[]1,2a a -，则a和b 的值分别为（ ）A ．13a =，0b =B ．13a =，1b = C ．12a =-，0b = D ．以上结果都不对二、填空题11．函数()22f x x x =+-的零点为______________. 12．函数0()(1)f x x =+-的定义域为_____________________.13____________． 14．满足()2log lg 1x =的实数x 的值为__________________．15．使得代数式2151112x x +-的值恒为正值的实数x 值的集合为_____________． 16．若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=的两个根都大于1，则实数a 的取值范围是___________________.17．化简1lg9lg22100-的值为________________________． 18．若函数22y ax ax a =++-的图象与x 轴没有公共点，则实数的取值范围为______. 19．如图，点P 在边长为1的正方形ABCD 的边BC 、CD 上从B 点运动到D 点，设运动路程长度为x ，记线段AP 的长度为y ，则y 与x 之间的函数关系()y f x =可表示为___________________.20．若函数()f x =R ，则实数m 的取值范围为_________．三、解答题 21．设集合{}13A x x x =+-≤，413B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭. （1）求集合A B ；（2）若不等式220x ax b ++<的解集为B ，求实数a 、b 的值.22．已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==．（1）求()f x 的解析式．（2）在区间[－1,1]上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，试确定实数m 的取值范围．23．设函数()2f x x x=-. （1）试写出函数()f x 的单调区间，并对于0x >的情况用函数单调性的定义给予证明； （2）解不等式()1f x ≥.24．设二次函数()21f x x ax =++，其中常数a R ∈. （1）求()f x 在区间[]22-,上的最小值（用a 表示）；（2）解不等式()0f x ≥；（3）若()0f x ≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，试求实数a 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】解出不等式320x +<和29x ≤，再由交集的定义可得出集合A B .【详解】 {}23203A x Z x x Z x ⎧⎫=∈+<=∈<-⎨⎬⎩⎭，{}{}2933B x R x x R x =∈≤=∈-≤≤， 因此，{}233,2,13A B x Z x ⎧⎫⋂=∈-≤<-=---⎨⎬⎩⎭. 故选：D.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题. 2．C【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词．∵命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”故选C ．3．C【分析】分析各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，可得出正确选项.【详解】对于A 选项，函数3y x a =-+在R 上为减函数，该函数在区间()0,∞+上是减函数； 对于B 选项，函数2y x=在区间()0,∞+上是减函数； 对于C 选项，函数3y x =在R 上为增函数，该函数在区间()0,∞+上是增函数；对于D 选项，二次函数21y x =-+的图象开口向下，对称轴为y 轴，该函数在区间()0,∞+上是减函数.故选：C.【点睛】本题考查基本初等函数在区间上单调性的判断，熟悉基本初等函数的单调性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题.4．C【分析】设集合B 中的元素()1,2-的原象为(),x y ，根据题意得出关于x 、y 的方程组，解出即可.【详解】设集合B 中的元素()1,2-的原象为(),x y ，则12x y xy +=⎧⎨=-⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=-⎩. 因此，集合B 中的元素()1,2-的原象为()1,2-或()2,1-.故选：C.【点睛】本题考查原象的求解，建立方程组是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 5．A【解析】充分性成立但必要性不一定成立，连续函数()f x 在,a b 上有最大值和最小值但可能不单调．6．C【分析】 根据二次函数性质可确定其最小值为254-，由4y =可求得10x =，23x =；由此根据值域可确定函数定义域，即可得到m 的取值范围.【详解】234y x x =--为开口方向向上，对称轴为32x =的二次函数 min 99254424y ∴=--=- 令2344x x --=-，解得：10x =，23x = 332m ∴≤≤即实数m 的取值范围为3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C【点睛】本题考查根据函数的值域求解函数的定义域的问题，关键是能够确定最值点的位置，根据函数的性质可确定定义域.7．D【分析】解出每个选项中的不等式，根据集合包含关系可找出使得“0x >”成立的一个充分而不必要条件.【详解】对于A 选项，解不等式1x >，得1x <-或1x >，则“1x >”是“0x >”成立的既不充分也不必要条件；对于B 选项，解不等式20x >，得0x ≠，则“20x >”是“0x >”成立的必要不充分条件；对于C 选项，解不等式12x ≤，即210x x -≥，解得0x <或12x ≥，则“12x ≤” 是“0x >”成立的既不充分也不必要条件；对于D 0≥，得1≥x 0≥” 是“0x >”成立充分不必要条件.故选D.【点睛】本题考查充分不必要条件的寻找，一般转化为集合的包含关系来寻找，考查推理能力，属于中等题.8．B【分析】利用对数的运算性质并结合题中等式解出3log 2，然后利用对数的运算性质可得出3log 24关于a 的表达式.【详解】()2233333log 12log 32log 3log 212log 2a ==⨯=+=+，31log 22a -∴=， 因此，()3333131log 24log 122log 12log 222a a a --=⨯=+=+=. 故选：B.【点睛】本题考查对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.9．D【分析】 由图象得出函数()y f x =在区间(]0,2上的值域，并得出()00f =，利用奇函数的性质求出函数()y f x =在区间[)2,0-上的值域，由此可得出函数()y f x =的值域.【详解】由图象可知，当02x <≤时，()23f x <≤， 由于函数()y f x =是定义在[]22-,上的奇函数，则()00f =. 当20x -≤<时，02x <-≤，则()23f x <-≤，即()23f x <-≤，解得()32f x -≤<-. 即函数()y f x =在区间[)2,0-上的值域为[)3,2--.因此，函数()y f x =的值域为[){}(]3,202,3--. 故选：D.【点睛】本题考查奇函数值域的求解，解题时应充分利用奇函数的性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10．B【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称得出a 的值，再利用二次函数图象的对称轴为y 轴可求出b 的值.【详解】由于偶函数()()213f x ax b x a b =+-++的定义域为[]1,2a a -，关于原点对称， 则120a a -+=，得13a =，此时，()()21113f x xb x b =+-++，二次函数()y f x =图象的对称轴为直线()3110223b b x --=-=-=，得1b =. 因此，13a =，1b =. 故选：B.【点睛】 本题考查利用函数的奇偶性求参数，在利用函数奇偶性的定义求参数时，还应注意函数的定义域关于原点对称这一条件的应用，考查运算求解能力，属于中等题.11．2-和1【分析】解方程220x x +-=，即可得出函数()y f x =的零点.【详解】令()0f x =，得220x x +-=，解得1x =或2x =-.因此，函数()22f x x x =+-的零点为2-和1. 故答案为：2-和1.【点睛】本题考查函数零点的求解，熟悉函数零点的定义是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.12．()()1,11,3-【分析】根据偶次根式被开方数非负、分式中分母不为零、零次幂中底数不为零，列出关于x 的不等式组，即可得出函数()y f x =的定义域.【详解】 由题意得223010x x x ⎧+->⎨-≠⎩，即22301x x x ⎧--<⎨≠⎩，解得131x x -<<⎧⎨≠⎩. 因此，函数()y f x =的定义域为()()1,11,3-. 故答案为：()()1,11,3-.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要熟悉一些常见基本初等函数求定义域的原则，考查运算求解能力，属于基础题.13．1-【分析】利用根式的运算性质和指数的运算性质可求出所求代数式的值.【详解】原式12362112112=-=-==-. 故答案为1-.【点睛】本题考查根式的运算性质，同时也考查了指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题. 14．100±【分析】由外到内逐步将对数式化为指数式，可解出x 的值.【详解】 ()2log lg 1x =，lg 2x ∴=，则210100x ==，解得100x =±.故答案为100±.【点睛】本题考查对数方程的求解，在解题时应将对数式化为指数式来求解，考查运算求解能力，属于基础题.15．43x x ⎧<-⎨⎩或35x ⎫>⎬⎭【分析】解不等式21511120x x +->即可得出实数x 的取值集合.【详解】由题意得21511120x x +->，即()()34530x x +->，解得43x <-或35x >. 因此，使得代数式2151112x x +-的值恒为正值的实数x 值的集合为43x x ⎧<-⎨⎩或35x ⎫>⎬⎭.故答案为：43x x ⎧<-⎨⎩或35x ⎫>⎬⎭.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题. 16．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】设()224f x x ax =-+，分析二次函数()y f x =的对称轴、判别式∆的符号以及()1f 的符号，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】设()224f x x ax =-+，由题意知，函数()y f x =的两个零点都大于1.则()2141601520a a f a ⎧>⎪∆=-≥⎨⎪=->⎩，解得522a ≤<.因此，实数a 取值范围是52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要结合二次函数的图象分析其开口方向、对称轴、判别式的符号以及端点（与零点比大小的数）函数值的符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 17．94【分析】根据对数、指数的运算性质、对数恒等式即可计算出结果. 【详解】 原式192lg9lg 2lglg9lg 42491010104⎛⎫- ⎪-⎝⎭====.故答案为94. 【点睛】本题考查指数、对数的运算，熟悉指数、对数的运算律以及对数恒等式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 18．(]8,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【分析】分0a =和0a ≠两种情况讨论，在0a =时验证即可，在0a ≠时得出∆<0，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】当0a =时，函数为2y =-，该函数的图象与x 轴没有公共点； 当0a ≠时，由于函数22y axax a =++-的图象与x 轴没有公共点，则()2420a a a ∆=--<，整理得2380a a ->，解得0a <或83a >. 因此，实数a 的取值范围是(]8,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：(]8,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查变系数的二次函数的零点个数求参数，解题时要分析首项系数与判别式符号，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.19．()12x f x x ≤≤=<≤【分析】分点P 在线段BC 、CD （不包括点C ），利用勾股定理计算出AP 的长度，即可得出函数()y f x =的解析式.【详解】①当点P 在线段BC 上时，即当01x ≤≤时，BP x =，AP ∴== ②当点P 在线段CD （不包括点C ）时，即当12x <≤时，2PD x =-，AP∴===因此，()12xf xx≤≤=<≤.故答案为()12xf xx≤≤=<≤.【点睛】本题考查分段函数解析式的求解，解题时要对自变量的取值进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．[]0,4【分析】由题意得出不等式210mx mx-+≥对任意的x∈R恒成立，然后对m分0m=和0m≠两种情况讨论，在0m=时验证即可，在0m≠时分析二次函数图象的开口方向和判别式符号，可求出实数m的取值范围.【详解】由题意得出不等式210mx mx-+≥对任意的x∈R恒成立.①当0m=时，则有10≥，合乎题意；②当0m≠时，则有240mm m>⎧⎨∆=-≤⎩，解得04m<≤.综上所述，实数m的取值范围是[]0,4.故答案为：[]0,4.【点睛】本题考查利用二次不等式在实数集上恒成立求参数的取值范围，解题时要对首项系数的符号以及判别式的符号进行分析，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 21．（1）[)1,1-；（2）4a=，6b=-.【分析】（1）分0x≤、01x<<、1≥x三种情况解不等式13x x+-≤，可得出集合A，解不等式413x >+，可得出集合B ，再利用交集的定义可得出集合A B ； （2）由（1）得知()3,1B =-，由题意知，关于x 的方程220x ax b ++=的两根为3-和1，然后利用韦达定理可求出a 、b 的值. 【详解】（1）先解不等式13x x +-≤.①当0x ≤时，由13x x +-≤得1213x x x -+-=-+≤，解得1x ≥-，此时10x -≤≤； ②当01x <<时，由13x x +-≤得113x x +-=≤，成立，此时01x <<； ③当1≥x 时，由13x x +-≤得1213x x x +-=-≤，解得2x ≤，此时12x ≤≤. 所以，不等式13x x +-≤的解集为[]1,2A =-. 解不等式413x >+，即411033x x x --=<++，解得31x -<<，()3,1B ∴=-. 因此，[)1,1⋂=-A B ； （2）不等式220x ax b ++<的解集为B ，3∴-、1是方程220x ax b ++=的两实根.根据韦达定理得312312ab ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⋅⎪⎩，解得4a =，6b =-.【点睛】本题本题考查交集的运算，同时也考查了绝对值不等式、分式不等式的解法以及二次方程根与系数的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题.22．（1）2()243f x x x =-+；（2）(,1)-∞-【解析】 【分析】(1)已知函数是二次函数，求解析式可以采用待定系数法，再由已知条件可以设二次函数的顶点式.(2)由二次函数图像在直线上方可得到不等式：2243221x x x m -+>++，问题转化为不等式在[－1,1]恒成立求参数的范围，可以用分离参数法.【详解】（1）由已知()f x 是二次函数，且()()02f f =，得()f x 的对称轴为1x =， 又()f x 的最小值为1， 故设()()211f x a x =-+，又()03f =， ∴()013f a =+=，解得2a =， ∴()()22211243f x x x x =-+=-+．（2）由于在区间[－1,1]上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方， 所以在[－1,1]上恒成立，即231m x x <-+在[]1,1-上恒成立．令()231g x x x =-+，则()g x 在区间[－1,1]上单调递减，∴()g x 在区间[－1,1]上的最小值为()11g =-， ∴1m <-，即实数m 的取值范围是(),1-∞- 【点睛】本题综合考查二次函数的解析式求解和其性质应用，解析式求解中，如何设函数解析式很关键，将会影响后续计算量的大小，因此需要根据已知条件选择合适的解析式；在求解参数范围时一般采用分离参数和构造函数法，在分离参数后要分清是恒成立问题还是存在性问题然后求解产生的新函数的最值.如果采用构造函数法，则需要解决构造函数的性质来求参数的范围.23．（1）()f x 的单调减区间为(),0-∞、()0,∞+，证明见解析； （2）(](],20,1-∞-.【分析】（1）根据函数()y f x =的解析式写出函数的单调递减区间，然后利用定义证明出函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性；（2）分0x >和0x <解不等式21x x-≥，即可得出不等式()1f x ≥的解集. 【详解】（1）函数()y f x =的单调递减区间为(),0-∞、()0,∞+. 下面证明函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性. 任取120x x >>，则()()()12122112122222f x f x x x x x x x x x -=--+=-+-()()()2121211212221x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，120x x >>，210x x ∴-<，12210x x +>，()()120f x f x ∴-<，()()12f x f x ∴<. 因此，函数()2f x x x=-在区间()0,∞+上为减函数； （2）由()1f x ≥得，21x x -≥，即210x x +-≤，即220x x x+-≤.当0x >时，则220x x +-≤，解得21x -≤≤，此时01x <≤； 当0x <时，则220x x +-≥，解得2x -≤或1x ≥，此时2x -≤. 综上所述，不等式()1f x ≥的解集为(](],20,1-∞-.【点睛】本题考查利用定义证明函数的单调性，同时也考查了分式不等式的解法，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.24．（1）()2min52,44,44452,4a a a f x a a a -≥⎧⎪-⎪=-<<⎨⎪+≤-⎪⎩；（2）见解析；（3）[]22-,. 【分析】（1）就二次函数()y f x =的对称轴与区间[]22-,的位置关系进行分类讨论，分析二次函数()y f x =在区间[]22-,上的单调性，从而可得出函数()y f x =在区间[]22-,上的最小值；（2）分0∆≤、0∆>两种情况解不等式()0f x ≥，即可得出各种情况下不等式()0f x ≥的解集；（3）由（1）中的结论，将问题转化为函数()y f x =在区间[]22-,上的最小值()min 0f x ≥，然后解出该不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）二次函数()21f x x ax =++对称轴为直线2ax =-，且图象开口向上. 若22a-≤-，即4a ≥时，函数()y f x =在区间[]22-,上单调递增， 则()()min 252f x f a =-=-； 若222a -<-<，即44a -<<时，函数()y f x =在区间2,2a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间,22a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，则()2min 424a af x f -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭； 若22a-≥，即4a ≤-时，函数()y f x =在区间[]22-,上单调递减， 则()()min 252f x f a ==+.因此，()2min52,44,44452,4a a a f x a a a -≥⎧⎪-⎪=-<<⎨⎪+≤-⎪⎩； （2）24a ∆=-.当240a ∆=-≤时，即当22a -≤≤时，则不等式()0f x ≥的解集为R ；当240a ∆=->时，即当2a <-或2a >时，解不等式()0f x ≥，即210x ax ++≥.解得x ≤x ≥.此时，不等式()0f x ≥的解集为a a ⎛⎡⎫-+-∞+∞ ⎪⎢⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； （3）由题意知，函数()y f x =在区间[]22-,上的最小值()min 0f x ≥. 由（1）知，当4a ≥时，则520a -≥，解得52a ≤，此时a ∈∅； 当44a -<<时，则2404a -≥，解得22a -≤≤，此时22a -≤≤；当4a ≤-时，则520a +≥，解得52a ≥-，此时a ∈∅. 综上所述，实数a 的取值范围是[]22-,. 【点睛】本题考查二次函数在定区间上的最值的求解，同时也考查了含参二次不等式的解法以及二次不等式在区间上恒成立问题，解题时要对二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，在处理不等式恒成立问题时，应转化为与最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想以及化归与转化思想的应用，属于中等题.。
北京市十一学校2018～2019学年度高一第1学期期中考试数学试题及参考答案解析
北京市十一学校2018－2019学年度第一学段数学ⅠA 教与学诊断一、选择题：共10小题,每小题3分,共30分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}320A x Z x =∈+<,{}29B x R x =∈≤,则A B =I ( )A.23,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B.2,33⎛⎤- ⎥⎝⎦C.{}2,1--D.{}3,2,1---【参考答案】D 【试题分析】解出不等式320x +<和29x ≤,再由交集的定义可得出集合A B I .{}23203A x Z x x Z x ⎧⎫=∈+<=∈<-⎨⎬⎩⎭Q ,{}{}2933B x R x x R x =∈≤=∈-≤≤,因此,{}233,2,13A B x Z x ⎧⎫⋂=∈-≤<-=---⎨⎬⎩⎭.故选：D.本题考查交集的计算,同时也考查了一元二次不等式的解法,考查计算能力,属于基础题. 2.命题“存在实数x,,使x > 1”的否定是( ) A.对任意实数x, 都有x > 1 B.不存在实数x ,使x ≤1 C.对任意实数x, 都有x ≤1 D.存在实数x ,使x ≤1【参考答案】C 【试题分析】解：特称命题的否定是全称命题,否定结论的同时需要改变量词。
∵命题“存在实数x ,使x ＞1”的否定是 “对任意实数x ,都有x ≤1” 故选：C .3.下列函数中,在区间()0,∞+上是增函数的是( ) A.3y x a =-+ B.2y x=C.3y x =D.21y x =-+【参考答案】C分析各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性,可得出正确选项.对于A 选项,函数3y x a =-+在R 上为减函数,该函数在区间()0,∞+上是减函数； 对于B 选项,函数2y x=在区间()0,∞+上是减函数； 对于C 选项,函数3y x =在R 上为增函数,该函数在区间()0,∞+上是增函数；对于D 选项,二次函数21y x =-+的图象开口向下,对称轴为y 轴,该函数在区间()0,∞+上是减函数. 故选：C.本题考查基本初等函数在区间上单调性的判断,熟悉基本初等函数的单调性是解题的关键,考查推理能力,属于基础题.4.已知映射:f A B →,其中(){},,A B x y x R y R ==∈∈,对应法则()():,,f x y x y xy →+.则集合B中的元素()1,2-的原象为( ) A.()1,2-B.()2,1-C.()1,2-或()2,1-D.以上答案都不对【参考答案】C 【试题分析】设集合B 中的元素()1,2-的原象为(),x y ,根据题意得出关于x 、y 的方程组,解出即可. 设集合B 中的元素()1,2-的原象为(),x y ,则12x y xy +=⎧⎨=-⎩,解得12x y =-⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=-⎩. 因此,集合B 中的元素()1,2-的原象为()1,2-或()2,1-. 故选：C.本题考查原象的求解,建立方程组是解题的关键,考查运算求解能力,属于基础题. 5.“()f x 在[a,b]上为单调函数”是“函数()f x 在[a,b]上有最大值和最小值”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也非必要条件【参考答案】A充分性成立但必要性不一定成立,连续函数()f x 在[],a b 上有最大值和最小值但可能不单调。
北京海淀十一学校2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
北京市十一学校2017-2018学年度第1学段高一学部数学IIA教与学诊断（2017．11）一、填空题（本题共10题，每题2分，共20分）1.设集合，集合，则________.【答案】【解析】【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项【详解】由题意知B＝{x|－1≤x≤3}，所以∁R B＝{x|x<－1或x>3}，所以A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}，故答案为:.【点睛】本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键2.命题：的否定是．【答案】，【解析】试题分析：是全称命题，其否定为特称命题，故为.考点：全称命题的否定.3.满足条件的集合有__________个．【答案】3【解析】【分析】直接利用子集和真子集的定义写出集合A和其个数.【详解】满足条件的集合有：，，，故共有个．故答案为：3【点睛】本题主要考查集合子集和真子集的定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.函数的定义域为_________.【答案】【解析】试题分析：根据题意有，从而求得函数的定义域为．考点：函数的定义域．视频5.已知函数，，并且函数的最小值为，则的取值范围是__________．【答案】【解析】是对称轴为x＝3，开口向上的抛物线，所以在(－∞，3]上递减，[3，＋∞)上递增.又因为x∈[1，a]，＝f(a)，所以在[1，a]上递减，故a≤3.min综上，1<a≤3,故填(1，3].6.设，，能表示从集合到集合的函数关系的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的定义对每一个选项逐一分析得解.【详解】项．当时，，故项错误；项．当时，，故项错误；项．当时，任取一个值，有两个值与之对应，故项错误；项．在时，任取一个值，在时总有唯一确定的值与之对应，故项正确．综上所述．故选．故答案为：D【点睛】本题主要考查函数的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.7.函数的零点有__________个．【答案】1【解析】【分析】分别作出和的图象，观察两函数图像交点的个数即得解.【详解】函数的零点个数等价于方程解的个数，分别作出和的图象，由图可知，两函数图象有且只有个交点，故函数的零点有且只有一个．故答案为：1【点睛】（1）本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是转化为方程解的个数，处理零点问题常用的方法有方程法、图像法和方程+图像法.8.__________．【答案】-15【解析】【分析】利用对数函数的运算法则和对数恒等式化简即可.【详解】．故答案为：-15【点睛】本题主要考查对数的运算法则和对数恒等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力. 9.已知条件，条件，则是的__________．【答案】充分不必要条件【解析】【分析】先求出和，再利用充要条件的定义判断.【详解】由题意，，或，故是的充分不必要条件．故答案为：充分不必要条件【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：①若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；②若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.10.函数的最大值为_________.【答案】2【解析】试题分析：，即最大值为2.【考点】函数最值,数形结合【名师点睛】本题是求解函数的最大值，用到了求函数值域中的分离常数法和图象法.视频二、填空题（本题共10题，每题3分，共30分）11.写出函数的单调递增区间__________．【答案】和【解析】【分析】先化简函数函数得，再画出函数的图像得到函数的单调递增区间.【详解】由题意，函数，作出函数的图象如图所示：由图象知，函数的单调递增区间是和．故答案为：和【点睛】(1)本题主要考查函数图像的作法和函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是准确画出函数的图像.12.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为．【答案】【解析】试题分析:由题设可得,解之得,故应填答案.考点：含一个量词的命题的否定及二次函数的图像与性质的运用．13.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为__________．（），；（），；（），；（），．【答案】（）【解析】【分析】利用同一函数的定义对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于（），函数的定义域是，函数的定义域是，两个函数定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数的定义域是，函数的定义域是或，两个函数的定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数，，两个函数的对应关系不相同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数，定义域为，函数定义域为，两个函数的定义域和对应关系都相同，故这两个函数是同一个函数．综上所述，各组中的两个函数表示同一个函数的是（）．故答案为：（）【点睛】(1)本题主要考查同一函数的判断方法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)两个函数的定义域和对应关系相同，则两个函数是同一函数.14.若函数（常数，）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式__________．【答案】【解析】【分析】利用函数的奇偶性得到或，再利用它的值域为，求出a的值，即得函数的解析式.【详解】∵函数是偶函数，∴，即，∴或，又∵函数的值域为，∴，．故该函数的解析式．故答案为：【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法和函数的性质的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.已知奇函数，当时，有，则时，函数__________．【答案】【解析】【分析】利用代入法求函数的解析式.【详解】∵当时，有，∴当时，，有，又∵是奇函数，∴当时，．故答案为：【点睛】(1)本题主要考查函数解析式的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求奇偶函数在对称区间的解析式一般利用代入法求解.16.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】先化简不等式为，再利用函数的单调性得到，解不等式即得x的取值范围.【详解】∵是偶函数，∴，∴不等式等价于，又∵在区间上单调递增，∴，解得，故满足的的取值范围是．故答案为：【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)对于函数的单调性和奇偶性的问题，常用数形结合分析解答，提高解题效率.17.已知函数，则实数的取值范围是_____________。
北京市海淀十一学校高一数学上学期期中试题(含解析)
北京市海淀十一学校2017-2018学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、填空题（本题共10题，每题2分，共20分）1．设集合{}|14A x x =<<，{}2|230B x x x =--≤，则()A B =R ð__________．【答案】{}|34x x <<【解析】∵集合{}{}2|230|13B x x x x x =--=-≤≤≤，∴{|1B x x =<-R ð或}3x >． 又∵{}|14A x x =<<， ∴{}()|34A B x x =<<R ð．2．命题“x ∀∈R ，20x ≥”的否定是__________． 【答案】x ∃∈R ，20x <【解析】全称命题的否定是特称命题，故命题：“x ∀∈R ，20x ≥”的否定是“x ∃∈R ，20x <”．3．满足条件{}{}2,31,2,3,4A ⊆Ü的集合A 有__________个． 【答案】3【解析】满足条件{}{}2,31,2,3,4A ⊆Ü的集合A 有：{}2,3，{}1,2,3，{}2,3,4， 故共有3个．4．函数y =的定义域为__________． 【答案】[)1,0(0,)-+∞【解析】要使函数有意义，则必须100x x +⎧⎨≠⎩≥，解得1x -≥且0x ≠，故函数的定义域是[)1,0(0,)-+∞．5．已知函数2()68f x x x =-+，[1,]x a ∈，并且函数()f x 的最小值为()f a ，则a 的取值范围是__________． 【答案】(]1,3【解析】函数2()68f x x x =-+在(,3)-∞上单调递减，在(3,)+∞上单调递增， ∵函数()f x 在[1,]x a ∈时的最小值为()f a ， ∴13a <≤，即a 的取值范围是(]1,3．6．设{}|02A x x =≤≤，{}|12B y y =≤≤，能表示从集合A 到集合B 的函数关系的是__________．A． B．C． D．【答案】D【解析】A 项．当02x ≤≤时，02y ≤≤，故A 项错误；B 项．当02x ≤≤时，02y ≤≤，故B 项错误；C 项．当02x <≤时，任取一个x 值，有两个y 值与之对应，故C 项错误；D 项．在02x ≤≤时，任取一个x 值，在12y ≤≤时总有唯一确定的y 值与之对应，故D 项正确． 综上所述． 故选D ．7．函数21()1f x x x=-+的零点有__________个． 【答案】1【解析】函数21()1f x x x=-+的零点个数等价于方程211x x +=解的个数，分别作出21y x =+和1y x=的图象， 由图可知，两函数图象有且只有1个交点，故函数21()1f x x x=-+的零点有且只有一个．8．51log 33332log 2log 32log 85+-+-=__________． 【答案】15-【解析】51log 33332log 2log 32log 85+-+-5log 3333log 4log 32log 855=-+-⨯34log 85332=⨯-⨯ 3log 115=- 15=-．9．已知条件:1p x ≤，条件1:1q x<，则p ⌝是q 的__________． 【答案】充分不必要条件 【解析】由题意，:1p x ⌝>， :0q x <或1x >，故p ⌝是q 的充分不必要条件．10．函数()(2)1xf x x x =-≥的最大值为__________． 【答案】2 【解析】函数1()111x f x x x ==+--， ∴函数()f x 在[)2,+∞上单调递减， 故当2x ≥时，()f x 的最大值为(2)2f =．二、填空题（本题共10题，每题3分，共30分）11．写出函数2()2||f x x x =-+的单调递增区间__________． 【答案】(,1)-∞-和(0,1)【解析】由题意，函数2222,0()2||2,0x x x f x x x x x x ⎧-+⎪=-+=⎨--<⎪⎩≥，作出函数()f x 的图象如图所示：由图象知，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和(0,1)．12．若命题“x ∃∈R ，使得2(1)10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[1,3]-【解析】若命题“x ∃∈R ，使得2(1)10x a x +-+<”是假命题， 则对x ∀∈R ，都有2(1)10x a x +-+≥， ∴2(1)40a ∆=--≤， 即2230a a --≤， 解得13a -≤≤，即实数a 的取值范围为[1,3]-．13．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为__________． （1）1(5)x x y x-=，25y x =-；（2）1y2y （3）()f x x =，()g x （4）()f x =()F x = 【答案】（4）【解析】对于（1），函数1(5)x x y x-=的定义域是{}|0x x ≠，函数25y x =-的定义域是R ，两个函数定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于（2），函数1y {}|1x x ≥，函数2y {|1x x -≤或}1x ≥，两个函数的定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于（3），函数()f x x =，()||g x x =，两个函数的对应关系不相同，故这两个函数不是同一个函数；对于（4），函数()f x x =R ，函数()F x x =R ，两个函数的定义域和对应关系都相同，故这两个函数是同一个函数． 综上所述，各组中的两个函数表示同一个函数的是（4）．14．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a ，b ∈R ）是偶函数，且它的值域为(],4-∞，则该函数的解析式()f x =__________． 【答案】2()24f x x =-+【解析】∵函数22()()(2)(2)2f x x a bx a bx a ab x a =++=+++是偶函数， ∴20a ab +=，即(2)0a b +=， ∴0a =或2b =-，又∵函数()f x 的值域为(],4-∞， ∴224a =，22a =．故该函数的解析式2()24f x x =-+．15．已知奇函数()f x ，当0x ≤时，有2()f x x x =+，则0x >时，函数()f x =__________． 【答案】2x x -+【解析】∵当0x ≤时，有2()f x x x =+，∴当0x >时，0x -<，有22()()()f x x x x x -=-+-=-， 又∵()f x 是奇函数，∴当0x >时，2()()f x f x x x =--=-+．16．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调增加，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是__________． 【答案】12,33⎛⎫⎪⎝⎭【解析】∵()f x 是偶函数，∴()(||)f x f x =，∴不等式1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价于1(|21|)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，又∵()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，∴1|21|3x -<，解得1233x <<，故满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是12,33⎛⎫⎪⎝⎭．17．已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(2,1)-【解析】作出函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥的图象，如图所示，可知函数()f x 是定义在R 上的增函数， ∵2(2)()f a f a ->， ∴22a a ->，即220a a +-<，解得21a -<<， 即实数a 的取值范围是(2,1)-．18．设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为__________． 【答案】(1,0)(0,1)-【解析】∵函数()f x 是奇函数， ∴()()f x f x -=-， ∴不等式()()0f x f x x --<等价于()0xf x <，即0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩．根据条件可作出—函数()f x 的大致图象，如图所示：故不等式()()0f x f x x--<的解集为(1,0)(0,1)-．19．下列几个命题①方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则0a <；②函数y③命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x >，则1x ≤”；④命题“x ∃∈R ，使得210x x ++<”的否定是“x ∀∈R ，都有210x x ++≥”； ⑤“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件． 正确的是__________． 【答案】①④⑤【解析】对于①，若方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则2(3)400a a a ⎧∆=-->⎨<⎩，解得0a <，故①正确；对于②，要使函数y 210x -≥，210x -≥，解得1x =±，因此0(1)y x ==±，所以，函数既是偶函数，又是奇函数，故②错误；对于③，命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x ≤，则1x ≤”．故③错误； 对于④，特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃R ，使得210x x ++<”的否定是“x ∀∈R ，都有210x x ++≥”，故④正确．对于⑤，220x x +->等价于2x <-或1x >，所以“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件，故⑤正确．综上所述，正确的命题是①④⑤．20．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若1k A -∉，且1k A +∉，则称k 是A 的一个“孤立元”．给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有__________个．【答案】6【解析】要不含“孤立元”，说明这三个数必须连在一起，故不含“孤立元”的集合有{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8共有6个．三、解答题：（本题共6个解答题；共50分） 21．（本题满分6分）已知集合203x A xx ⎧-⎫=⎨⎬+⎩⎭≥，{}2|230B x x x =--<，{}2|(21)(1)0C x x a x a a =-+++<． （1）求集合A ，B 及A B ．（2）若()C A B ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析． 【解析】解：（1）∵203xx-+≥， ∴(2)(3)0x x -+≥且3x ≠-， 解得：32x -<≤， 故集合{}|32A x x =-<≤， ∵2230x x --<， ∴(1)(3)0x x +-<， 解得13x -<<，故集合{}|13B x x =-<<， ∴{}|33A B x x =-<<．（2）由（1）可得集合{}|32A x x =-<≤，集合{}|13B x x =-<<，{}|12A B x x =-<≤， ∵2(21)(1)0x a x a a -+++<， ∴()[(1)]0x a x a --+<， 解得1a x a <<+，∴集合{}|1C x a x a =<<+， ∵()C A B ⊆，∴112a a -⎧⎨+⎩≥≤，解得11a -≤≤，故实数a 的取值范围是[1,1]-．22．（本题满分6分）已知m ∈R ，命题:p 对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m --≥恒成立；命题:q 存在[1,1]x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围．（2）当1a =，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】解：（1）若p 命题为真，则对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m --≥恒成立， 即当[0,1]x ∈时，2min 3(22)m m x --≤恒成立， ∵当[0,1]x ∈时，22[2,0]x -∈-， ∴232m m --≤，即2320m m -+≤， 解得12m ≤≤， 即m 的取值范围是[1,2]．（2）当1a =时，若q 命题为真，则存在[1,1]x ∈-， 使得m x ≤成立，即max m x ≤成立， 故1m ≤．若p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，则p ，q 一真一假， 若p 真q 假，则121m m ⎧⎨>⎩≤≤，得12m <≤．若p 假q 真，则121m m m <>⎧⎨⎩或≤，得1m <，【注意有文字】综上所述，m 的取值范围是(](,1)1,2-∞．23．（本题满分10分）已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==． （1）求()f x 的解析式．（2）若()f x 在区间[2,1]a a +上不单调．．．，求实数a 的取值范围． （3）在区间[1,1]-上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，试确定实数m 的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）由已知()f x 是二次函数，且(0)(2)f f =得()f x 的对称轴为1x =， 又()f x 的最小值为2， 故设2()(1)1f x a x =-+， ∵(0)3f =，∴13a +=，解得2a =，∴22()2(1)1243f x x x x =-+=-+．（2）要使()f x 在区间[2,1]a a +上不单调，则211a a <<+，∴102a <<， 即实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．（3）若在区间[1,1]-上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方， 则2243221x x x m -+>++在[1,1]-上恒成立， 即231m x x <-+在[1,1]-上恒成立，设2()31g x x x =-+，则()g x 在区间[1,1]-上单调递减， ∴()g x 在区间[1,1]-上的最小值为(1)1g =-， ∴1m <-，故实数m 的取值范围是(,1)-∞-．24．（本小题满分10分）对a 、b ∈R ，记{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥，函数{}2()max ||,24()f x x x x x =--+∈R ．（1）求(0)f ，(4)f -．（2）写出函数()f x 的解析式，并作出图像．（3）若关于x 的方程()f x m =有且仅有3个不等的解，求实数m 的取值范围．（只需写出结论）【答案】见解析．【解析】解：（1）∵{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥，函数{}2()max ||,24f x x x x =--+， ∴{}(0)max 0,44f ==，{}(4)max 4,44f -=-=．（2）（3）5m =或m =25．（本题满分10分）已知函数2()1ax b f x x +=+是定义在R 上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式． （2）用函数单调性的定义证明()f x 在(0,1)上是增函数．（3）判断函数()f x 在区间(1,)+∞上的单调性；（只需写出结论）（4）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出()f x 在定义域R 上的示意图．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵2()1ax b f x x +=+是定义在R 上的奇函数， ∴(0)01b f ==， ∴0b =，又∵11225254a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得1a =， ∴2()1x f x x =+． （2）证明：设1201x x <<<， 则1212121222221212()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， ∵1201x x <<<，∴120x x -<，1210x x ->，2212(1)(1)0x x ++>， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， ∴2()1x f x x =+在(0,1)上是增函数． （3）函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减．（4）26．（本小题满分8分）已知定义域为[0,1]的函数()f x 同时满足以下三个条件： ①对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若10x ≥，20x ≥且121x x +≤，则有1212()()()f x x f x f x ++≥成立，则称()f x 为“友谊函数”．（1）若已知()f x 为“友谊函数”，求(0)f 的值．（2）分别判断函数2()g x x =与()31h x x =+在区间[0,1]上是否为“友谊函数”，并给出理由． （3）已知()f x 为“友谊函数”，且1201x x <≤≤，求证：12()()f x f x ≤．【答案】见解析．【解析】解：（1）已知()f x 为友谊函数，则当10x ≥，20x ≥且121x x +≤， 有1212()()()f x x f x f x ++≥成立，令10x =，20x =，则(0)(0)(0)f f f +≥，即(0)0f ≤， 又∵对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥， ∴(0)0f ≥，∴(0)0f =．（2）显然，2()g x x =在[0,1]上满足①()0g x ≥，②(1)1g =， 若10x ≥，20x ≥，且121x x +≤，则有2221212121212()[()()]()20g x x g x g x x x x x x x +-+=+--=≥， 故1212()()()g x x g x g x ++≥，∴2()g x x =满足条件①②③，∴2()g x x =为友谊函数，()31h x x =+在区间[0,1]上满足①()0h x ≥， ∵(1)4h =，∴()h x 在区间[0,1]上不满足②，故()31h x x =+不是友谊函数．（3）证明：∵1201x x <≤≤，则2101x x <-<， ∴22112111()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+-+≥≥， 即12()()f x f x ≤．。
2019北京十一中高一(上)期中数学
2019北京十一中高一（上）期中数 学一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知集合{}123A =,,，则下列可以作为A 的子集的是（ ） A. 1，2B. {}1,2,4C. {}1,4D. {}1,22. 设集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则AB =（ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}2,3,4D. {}1,3,43. 函数()2f x x=的单调递减区间为（ ） A. (−∞，+∞)B. (−∞，0)∪(0，+∞)C. (−∞，0)，(0，+∞)D. (0，+∞)4. 命题p ：“∀x ∈(−∞,0),3x ≥4x ”的否定p -为（ ）A. ∀x ∈(−∞,0),3x <4xB. ∀x ∈(−∞,0),3x ≤4xC. ∃x o ∈(−∞,0),3x o <4x oD. ∃x o ∈(−∞,0),3x o ≤4x o5. 函数()20y x x x=+＞ 取得最小值时的自变量x 等于（ ）B. C. 1 D. 36. 函数()223f x x x =-+，x ∈[0,3] 的值域是（ ）A. []3,6B. []2,6C. []2,3D. []0,37. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A. 21y x =+B. 2y x =-C. 2y x =-D. 1()2xy =8. 函数()43y x - 的定义域为（ ）A. (−12,34)∪(34,+∞) B. [12,34)∪(34,+∞)C. (−∞,12]D. (−∞,34)∪(34,+∞)9. 设p ：1122x -＜，q ：2x ≥1，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f (x ){1，x 为有理数0，x 为无理数称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题：①()()1ff x =；②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()=f x T f x +对任意x ∈R 恒成立；④存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33,C x f x ，使得∆ABC 为等边三角形。
北京市1-11高一上学期期中考试(数学)
北京市101中学高一上学期期中考试（数学）一 选择题（本题8小题，每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）11()2a <的结果 （ ） A. 21a - B. 21a -+ C. 12a - D. 0 2．函数142+--=x x y ，]3,3[-∈x 的值域为 （ ）A. ]5,[-∞B. ],5[+∞C. ]5,20[-D. ]5,4[-3．设713=x，则x 的范围是 （ ） A ．}710|{<<x x B ．}12|{-<<-x x C ．}01|{<<-x x D ．φ. 4．某型号的手机，经两次降价，单价由原来元降到1280元，则这种手机平均降价的百分率是 （ ）A. %10B. %15C. %18D. %205．函数11+=-x a y （01a <≠）的图象必经过点（ ） A.（0,1） B.(1,1) C. (1,2) D.(0,2) 6．幂函数()f x 的图象过点（4，1),2那么1(8)f-的值是 （ ） A. 161 B.641 C.81 D.41 7．函数()3x f x x =+在下列哪个区间内有零点 ( )A ．2,1⎡⎤⎣⎦--B ．1,0⎡⎤⎣⎦-C ．0,1⎡⎤⎣⎦D ．1,2⎡⎤⎣⎦8.(2,1)log ||a x x ∈--<∞2当时，不等式(x+1)恒成立，则实数a 的取值范围是（ )A.[2,+)B.（1，3)C.(1,2)D.(0,1)二 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知集合21{|log ,1},{|(),1},2x A y y x x B y y x ==>==>则A B ⋃=____ 10．如果23(0)()(0)x x y f x x ->⎧=⎨<⎩是奇函数，则()f x =_________.11．已知二次函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且定义域为[1,2]a a -，则=+b a __ 12．若154log <a ，则a 的取值范围是_______ 13．函数22log 4)y x x =-（的递增区间是 ______________14．已知函数)(x f 的图像与函数xx g 2)(=的图像关于直线x y =对称，令|),|1()(x f x h -=则关于函数)(x h 有以下命题：（１）)(x h 的图像关于原点)0,0(对称； （２）)(x h 的图像关于y 轴对称；（３）)(x h 的最小值为０； （４）)(x h 在区间)0,1(-上单调递增．中正确的是______三 解答题（本大题共6题，共58分）15（8分）．若,1052==b a 求b a 11+的值.16（8分）．求函数()4323(13)x x f x x =-⋅+-≤≤的最小值和最大值.17（9分）．用定义判断21121)(+-=x x f 的奇偶性.18 (9分)．若方程|1|2(01)x a a a -=<≠有两个不同的实根，利用函数图象求常数a 的取值范围.19（12分）．已知函数)1)((log )(>-=a a a x f x a （1）求()f x 的定义域、值域 ；(2) 判断()f x 的单调性,并证明.2分）．已知)(x f 是定义在]1,1[-上的奇函数，而且(1)1f =-，若0],1,1[≠+-∈n m n m 、时有 ()()0.f m f n m n+<+ （1）证明)(x f 在]1,1[-上为减函数；（2）解不等式:213()()22f x f x +>-;（3）若12)(2+-≤at t x f 对所有∈x ]1,1[-,]1,1[-∈a 恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案一 选择题 BCBDCBBC二 填空题9． (0,)+∞10． 23x + 11．13 12． 4(0,)(1,)5⋃+∞ 13． (0,2] 14． 2、4三 解答题15 .1 16.22max min 133[,8]()()33()22433()(8)43,()().24x t f x g t t t t f x g f x g =∈==-+=-+====解：令2则于是： 17.奇函数18．210<<a 19．)lg ,(:),1,(a -∞-∞值域定义域：（1）略2132111223[,2x x -≤+<-≤∴⋃-（）有（）得：222220321120[1,1]202 2.t t t at t at a t t t t ⎧+≥⎪⇔-+≥⇔-≥∈-⇔⎨-≥⎪⎩≤-≥（）当时恒成立或。
2019-2020北京市海淀十一学校高二数学第一学期期中考试练习试题
a b c
d 2019-2020北京市海淀十一学校
第一学期期中考试练习试题高
二数学（2019. 10月28日）
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．海淀数学教研请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．
1、若a b
0，c d 0，则一定有（）.A ．B ．C ．D ．a b c d a b d c a b d c 2、设等比数列的前项和为，则“>0”是“”的（）
n a n n s 1a 54s s A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3、已知表示椭圆，则m 的范围是（）221242x y m
m A. B. C. D. 02m 2
m 0m 021m m 且4、设分别为双曲线(a>0,b>0)的左,右焦点，若在双曲线右支上存12,F F 22221x y a
b 在点P,满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲
212PF F F 2F 1PF 线的离心率为( )
A. B. C. D 43
53544145、若，则不等式的解集是（）
01a 1
0a x x a A ．B ．C ．1(,)a a
1(,)a a 1(,)(,)a a D ．1(,)
(,)a a 6、下列不等式一定成立的是（ ）
A ．lg （x 2+）＞lgx （x ＞0）
B ．sinx+≥2（x ≠kx ，k ∈Z ）
C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R）。
北京海淀十一学校2021-2021学年高一上学期期中考试数学试题Word版(解析版)
2021-2021学年北京海淀十一学校高一上学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．设集合，集合，则 ________.2．命题：2,0x x ∀∈≥R 的否定是 ． 3．满足条件的集合有__________个．4．函数1x y x+=的定义域为_________. 5．已知函数，，并且函数的最小值为，则的取值范围是__________．6．设，，能表示从集合到集合的函数关系的是__________．A ．B ．C ．D ．7．函数的零点有__________个．8．__________．9．已知条件，条件，则是的__________．10．函数的最大值为_________.11．写出函数的单调递增区间__________．12．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为 ．13．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为__________．（），；（），；（），；（），．14．若函数（常数，）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式__________．15．已知奇函数，当时，有，则时，函数__________．16．已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．17．已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是_____________。
18．设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()10f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为__________．19．下列几个命题 ①方程有一个正实根，一个负实根，则；②函数是偶函数，但不是奇函数；③命题“若，则”的否命题为“若，则”；此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号④命题“，使得”的否定是“，都有”；⑤“”是“”的充分不必要条件．正确的是__________．20．设是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称是的一个“孤立元”．给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有__________个．二、解答题21．已知集合，，．（）求集合，及．（）若，求实数的取值范围． 22．已知，命题对任意，不等式恒成立；命题存在，使得成立．（）若为真命题，求的取值范围．（）当，若且为假，或为真，求的取值范围．23．已知二次函数()f x 的最小值为1，且()()023f f ==． （1）求()f x 的解析式．（2）若()f x 在区间[]2,1a a +上不单调．．．，求实数a 的取值范围． （3）在区间[]1,1-上， ()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，试确定实数m 的取值范围．24．对，记，函数．（1）求．（2）写出函数的解析式，并作出图像．（3）若关于x 的方程有且仅有3个不等的解，求实数m 的取值范围．（只需写出结论）25．已知函数是定义在上的奇函数，且．（）求函数的解析式．（）用函数单调性的定义证明在上是增函数．（）判断函数在区间上的单调性；（只需写出结论）（）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出在定义域上的示意图．26．已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：①对任意的，总有；②； ③若，且，则有成立，则称为“友谊函数”．（）若已知为“友谊函数”，求的值． （）分别判断函数与在区间上是否为“友谊函数”，并给出理由．（）已知为“友谊函数”，且，求证：．2017-2018学年北京海淀十一学校 高一上学期期中考试数学试题数学 答 案参考答案 1．【解析】 【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B ，再求出B 的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B ）即可得出正确选项【详解】由题意知B ＝{x |－1≤x ≤3}， 所以∁R B ＝{x |x <－1或x >3}， 所以A ∩(∁R B )＝{x |3<x <4}， 故答案为:.【点睛】本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键2．x ∃∈R ，02<x 【解析】试题分析：2,0x x ∀∈≥R 是全称命题，其否定为特称命题，故为2,0x x ∀∈≥R .考点：全称命题的否定. 3．3 【解析】 【分析】直接利用子集和真子集的定义写出集合A 和其个数. 【详解】 满足条件的集合有：，，，故共有个．故答案为：3【点睛】本题主要考查集合子集和真子集的定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 4．[)()1,00,-⋃+∞【解析】试题分析：根据题意有10{ 0x x +≥≠，从而求得函数的定义域为[)()1,00,-⋃+∞．考点：函数的定义域．5．【解析】是对称轴为x ＝3，开口向上的抛物线，所以在(－∞，3]上递减，[3，＋∞)上递增.又因为x ∈[1，a]，min ＝f(a)，所以在[1，a]上递减，故a≤3.综上，1<a≤3,故填(1，3]. 6．D 【解析】 【分析】利用函数的定义对每一个选项逐一分析得解. 【详解】 项．当时，，故项错误； 项．当时，，故项错误；项．当时，任取一个值，有两个值与之对应，故项错误； 项．在时，任取一个值，在时总有唯一确定的值与之对应，故项正确．综上所述．故选．故答案为：D 【点睛】本题主要考查函数的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力. 7．1 【解析】 【分析】分别作出和的图象，观察两函数图像交点的个数即得解.【详解】函数的零点个数等价于方程解的个数，分别作出和的图象，由图可知，两函数图象有且只有个交点，故函数的零点有且只有一个．故答案为：1【点睛】（1）本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是转化为方程解的个数，处理零点问题常用的方法有方程法、图像法和方程+图像法.8．-15【解析】【分析】利用对数函数的运算法则和对数恒等式化简即可.【详解】．故答案为：-15【点睛】本题主要考查对数的运算法则和对数恒等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.9．充分不必要条件【解析】【分析】先求出和，再利用充要条件的定义判断.【详解】由题意，，或，故是的充分不必要条件．故答案为：充分不必要条件【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：①若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；②若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.10．2【解析】试题分析：，即最大值为2.【考点】函数最值,数形结合【名师点睛】本题是求解函数的最大值，用到了求函数值域中的分离常数法和图象法.11．和【解析】【分析】先化简函数函数得，再画出函数的图像得到函数的单调递增区间.【详解】由题意，函数，作出函数的图象如图所示：由图象知，函数的单调递增区间是和．故答案为：和【点睛】(1)本题主要考查函数图像的作法和函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是准确画出函数的图像.12．【解析】试题分析:由题设可得,解之得,故应填答案.考点：含一个量词的命题的否定及二次函数的图像与性质的运用．13．（）【解析】【分析】利用同一函数的定义对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于（），函数的定义域是，函数的定义域是，两个函数定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数的定义域是，函数的定义域是或，两个函数的定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数，，两个函数的对应关系不相同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数，定义域为，函数定义域为，两个函数的定义域和对应关系都相同，故这两个函数是同一个函数．综上所述，各组中的两个函数表示同一个函数的是（）．故答案为：（）【点睛】(1)本题主要考查同一函数的判断方法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)两个函数的定义域和对应关系相同，则两个函数是同一函数.14．【解析】【分析】利用函数的奇偶性得到或，再利用它的值域为，求出a的值，即得函数的解析式.【详解】∵函数是偶函数，∴，即，∴或，又∵函数的值域为，∴，．故该函数的解析式．故答案为：【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法和函数的性质的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15．【解析】【分析】利用代入法求函数的解析式.【详解】∵当时，有，∴当时，，有，又∵是奇函数，∴当时，．故答案为：【点睛】(1)本题主要考查函数解析式的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求奇偶函数在对称区间的解析式一般利用代入法求解.16．【解析】【分析】先化简不等式为，再利用函数的单调性得到，解不等式即得x 的取值范围.【详解】∵是偶函数，∴，∴不等式等价于，又∵在区间上单调递增，∴，解得，故满足的的取值范围是．故答案为：【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)对于函数的单调性和奇偶性的问题，常用数形结合分析解答，提高解题效率.17．12<<-a【解析】试题分析：由已知，函数在整个定义域上单调递增的，故)()2(2afaf>-等价于022<-+aa，解得12<<-a。
2019-2020北京市海淀十一学校高二数学第一学期期中考试练习试题
6、下列不等式一定成立的是（ ）
）
1 C ． ( , a) ( , )
a
A．lg（ x2+ ）＞ lgx（x＞0） B． sinx+ ≥2（x≠kx， k∈Z）
1
C．x2+1≥2| x| （ x∈R）
D．
（x∈R）
2
x2 y2 7、设双曲线 a2 b2 1 a 0, b 0 的右焦点为 F ，右顶点为 A ，过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B ， C 两点， 过 B ， C 分别作 AC ， AB 的垂线， 两垂线交
（2）求数列 {an}的通项公式 (写出推证过程 )；
（3）设 bn
an
4 an
1
， Tn 是数列
{b n}的前
n
项和， 求使得
Tn
m
对所有 n
20
N+都成立的
最小正整数 m 的值。
5
x2 y2
3
18. 已知椭圆 C ： a2
b2
1 a b 0 的离心率为
，且点 T 2,1 在椭圆上 .设与 OT 2
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
x2
y2
3、已知
1表示椭圆，则 m 的范围是（
）
2m 4 2m
A. 0 m 2 B. m 2 C. m 0 D. 0 m 2且m 1 x2 y2
4、设 F1, F2 分别为双曲线 a2 b2 1 (a>0,b>0)的左 ,右焦点，若在双曲线右支上存
于点 D .若 D 到直线 BC 的距离小于 a
（ ）.
a 2 b2 ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
北京市十一学校2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
北京市十一学校2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共8小题）1.下列叙述中，错误的一项为（）A. 棱柱的面中,至少有两个面相互平行B. 棱柱的各个侧面都是平行四边形C. 棱柱的两底面是全等的多边形D. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面2.下列函数中，在定义域内为奇函数，且在（0，+∞）上为减函数的是（）A. B. C. D.3.圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的2倍，则它的体积是原来体积的（）A. B. C. D.4.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=60°，b=10，则结合a的值解三角形有两解的为（）A. B. C. D.7.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A. B.C. D.8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点，PE⊥A1C于E，且PA=PE，则点P的轨迹是（）A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分二、填空题（本大题共7小题）9.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线3x+4y+8=0的最大距离是______．10.若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是______．11.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM与DE平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个结论中，正确的是______．12.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为______．13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=CC1=1，∠AD1B=，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为______14.已知函数f（x）=ax2-1的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线x+8y=0垂直，若数列{}的前n项和为S n，则S n=______．215.如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是______；最大值为______．三、解答题（本大题共5小题）16.已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•sin（ωx+）-1（ω＞0）的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求ω的值；（2）当x∈[-，]时，求函数f（x）的值域．17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，满足a1=b1=2，2a2=b2，S2+T2=13．（1）求数列{a n}，{b n}通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和H n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．（1）证明：EF∥平面PAC；（2）证明：AF⊥PC．19.已知椭圆C：的右焦点，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果△OAB的面积为（λ为实数），求λ的值．20.已知函数f（x）=a（x-2ln x）-x2+2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围．4答案和解析1.【答案】D【解析】解：定义1：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱．定义2：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围城的几何体叫棱柱；正4棱柱，正6棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故D错；故选：D．根据棱柱的定义可知ABC对，正4棱柱，正6棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故D错；考查棱柱的定义，以及对空间几何体棱柱的理解；2.【答案】D【解析】解：A．f（x）的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数；B．f（-x）=2-（-x）2=2-x2=f（x），则f（x）是偶函数，不满足条件；C．f（x）为指数函数，单调递减，为非奇非偶函数；D．f（-x）=-==-f（x），则f（x）是奇函数，当x＞0时，函数f（x）为减函数，满足条件．故选：D．根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：设一个圆锥的底面半径为r，高为h，则其体积V=；圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的2倍，则所得圆锥的底面半径为2r，高为，体积为．∴．∴它的体积是原来体积的．故选：C．设一个圆锥的底面半径为r，高为h，利用圆锥体积公式求其体积，再求出变换后的圆锥的体积，则答案可求．本题考查圆锥体积的求法，是基础的计算题．4.【答案】B【解析】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．5.【答案】B【解析】解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选：B．先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题．6.【答案】B【解析】解：由正弦定理，有，∴=，∵三角形有两解，∴sin B＜1且b＞a，∴，因此由选项知，只有a=9时符合条件，故选：B．根据正弦定理可得，然后根据三角形有两解可得sin B＜1且b＞a，从而得到a的范围．本题考查了正弦定理和三角形中大边对大角等知识的应用，考查了转化思想，属中档题．7.【答案】A【解析】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P-ABC所示：顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，故该锥体的正视图是：故选A由已知中锥体的侧视图和俯视图，画出该几何的直观图，进而可得该锥体的正视图．本题考查的知识点是简单空间几何体的三视图，其中根据已知中的三视图，画出直观图是解答的关键．8.【答案】A【解析】解：连接A1P，由题意知A1A⊥AP，因为PE⊥A1C，且PA=PE，所以△A1AP≌△A1EP，所以A1A=A1E，即E为定点．因为PA=PE，所以点P位于线段AE的中垂面上，又点P在底面上，所以点P的轨迹为两平面的交线，即点P的轨迹是线段．6故选A．由PE⊥A1C于E，且PA=PE，得到点E是定点，然后根据PA=PE，得到点P位于A，E的中垂面上，从而得到点P的轨迹．本题主要考查空间直线的位置关系的判断，以及空间点的轨迹的求法，综合性较强，难度较大．9.【答案】4【解析】解：由题意可得，圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1，圆心的坐标为（1，1），半径r=1，∴圆心到直线的距离，所以所求最大距离是4，故答案为：4．根据图象可知，最大距离是圆心到直线的距离与半径长之和．本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．10.【答案】【解析】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ个单位，可得y=sin（2x++2φ）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+2φ=+kπ，k∈Z，则φ的最小正值为，故答案为：．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求出φ的最小正值．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．11.【答案】③④【解析】【分析】本题考查正方体的结构特征，异面直线的判定，异面直线及其所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，是基础题．将展开图复原为几何体，如图，容易判断选项的正误，得出结果．【解答】解：展开图复原的正方体如图，不难看出：①BM与ED平行；错误的，是异面直线；②CN与BE是异面直线，错误；是平行线；③从图中连接AN，AC，由于几何体是正方体，故三角形ANC是等边三角形，所以AN与CN的夹角是60°，又AN∥BM，故CN与BM成60°；正确；④DM⊥NC，DM⊥BC，所以DM⊥平面BCN，所以DM与BN垂直．正确判断正确的答案为③④．故答案为：③④．12.【答案】【解析】解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和．故答案为：．先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．本小题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．13.【答案】【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系．∵长方体中，BC=CC1=1，∠AD1B=，∴AD1=，AB=AD1tan=．∴A（1，0，0），B1（1，，1），B（1，，0），C1（0，，1）．∴=（0，，1），=（-1，0，1），∴cos===．故答案为：．如图所示，建立空间直角坐标系．根据长方体中，BC=CC1=1，∠AD1B=，可得AD1=，AB=AD1tan=．利用向量夹角公式即可得出．本题考查了长方体的性质、向量夹角公式、空间线面位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】【解析】解：函数f（x）=ax2-1的导数为f′（x）=2ax，可得f（x）在x=1处的切线斜率为2a，切线与直线x+8y=0垂直，可得2a=8，即a=4，则f（x）=4x2-1，==（-），可得S n=（1-+-+…+-）=（1-）=．故答案为：．求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a=4，再由裂项相消求和，可得所求和．本题考查导数的运用：求切线的斜率，数列的裂项相消求和，两直线垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．15.【答案】，；【解析】解：如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．取AD的中点O，连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=．又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC，取BC的中点E，连接OE，则OE⊥BC，OE==．∴S△OBC==．∴F（x）==×1=（0＜x＜）．8F′（x）=，令F′（x）≥0，解得，此时函数F（x）单调递增；令F′（x）＜0，解得，此时函数F（x）单调递减法．因此当x=时，F（x）取得最大值，==．故答案分别为：，．如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．取AD的中点O，连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=．又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC．取BC的中点E，连接OE，则OE⊥BC，可得OE，可得F（x）==（0＜x＜）．利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三棱锥的体积计算公式、线面垂直的判定定理、勾股定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】解：（1）=，∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴=π，∴解得ω=1，（2）∵x∈[-，]，∴2x-∈[-，]，根据正弦函数的图象可得：当2x-=，即x=时，g（x）=sin（2x-）取最大值1．当2x-=-，即x=-时，g（x）=sin（2x-）取最小值-，∴，即f（x）的值域为．【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可得f（x）=，利用正弦函数的周期公式即可求解ω的值．（2）由已知可得2x-∈[-，]，根据正弦函数的图象即可解得函数f（x）的值域．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的周期公式，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：（1）设公差为d等差数列{a n}的前n项和为S n，公比为q的等比数列{b n}的前n项和为T n，满足a1=b1=2，2a2=b2，S2+T2=13．所以：，解得，所以a n=2+（n-1）=n+1，．（2）由于c n=a n+b n=n+1+2•3n-1，所以H n=（1+2+…+n）+n+2（30+31+…+3n-1）==．【解析】（1）首先利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.【答案】证明：（1）点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．∴EF∥PC，∵EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC．（2）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，∴AF⊥PD，PA⊥CD，AD⊥CD，∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF，∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，∴AF⊥PC．【解析】（1）推导出EF∥PC，从而EF∥平面PAC．（2）推导出AF⊥PD，PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AF，AF⊥平面PCD，由此能证明AF⊥PC．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意知：c=，左焦点F′（-，0）．根据椭圆的定义得：2a=|MF′|+|MF|=+，解得a=2，∴b2=a2-c2=4-3=1，∴椭圆C的标准方程为：+y2=1；（Ⅱ）由题意知，S△ABC=|AB|•|OP|=，整理得：λ=|OP|2-．①当直线l的斜率不存在时，l的方程为：x=，此时|AB|=1，|OP|=，∴λ=|OP|2-=-1；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得：（1+4k2）x2-8k2x+12k2-4=0，显然△＞0，则x1+x2=-，x1x2=，∵y1=k（x1-），y2=k（x2-），∴|AB|==•=4•，∴|OP|2=（）2=，此时，λ=-=-1；综上所述，λ为定值-1．【解析】（Ⅰ）通过右焦点可知：c=，左焦点F′（-，0），利用2a=|MF′|+|MF|可得a=2，进而可得结论；（Ⅱ）通过S△ABC=，可得λ=|OP|2-，对直线l的斜率存在与否进行讨论．当直线l的斜率不存在时，易得λ=-1；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程并与椭圆C方程联立，利用韦达定理、两点间距离公式、点到直线的距离公式计算亦得λ=-1．本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20.【答案】解：（1）函数f（x）=a（x-2ln x）-x2+2x．定义域为（0，+∞），f′（x）=a（1-）-x+2=（x-2）（a-x），（x＞0）①a≤0时，a-x＜0，当x∈（0，2）．f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（2，+∞）．f′（x）＜0，f（x）单调递减；②0＜a＜2时，f′（x）=0，解得x=2或x=a，当x∈（0，a），f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（a，2），f（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（2，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减；③a=2时，f′（x）=-（x-2）2≤0，f（x）在（0，+∞）单调递减；④a＞2时，f′（x）=0，解得x=2或x=a，当x∈（0，2），f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（2，a），f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（a，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减；（2）由（1）得当a=0时，f（x）=-x2+2x在定义域上只有一个零点，10当a＜0时，由（1）可得，要使f（x）有两个零点，则f（2）＞0，即f（2）=a（2-2ln2）+2＞0，所以＜a＜0，下证f（x）有两个零点，取x=，f（）=a（-2×）-（）2+2=a-（-2）2＜0，满足f（）•f（2）＜0，故f（x）在（0，2）有且只有一个零点；因为f（4）=a（4-2ln4）＜0，满足f（2）•f（4）＜0，故f（x）在（2，+∞）有且只有一个零点；当0＜a＜2时，由（1）可得当x∈（0，2），f（x）≥f（a）=a（a-2ln a）-a2+2a=a2+2a（1-ln a）＞0，故f（x）在（0，2）无零点，又因为f（x）在（2，+∞）单调递减，∴f（x）在（0，+∞）至多一个零点，不满足条件；当a=2时，f（x）在（0，+∞）单调递减，∴f（x）在（0，+∞）至多一个零点，不满足条件；当a＞2时，由（1）可得当x∈（0，a），f（x）≥f（2）=a（2-2ln2）+2＞0，故f（x）在（0，a）上无零点，又因为f（x）在（a，+∞）单调递减，∴f（x）在（0，+∞）至多一个零点，不满足条件；∴满足条件a的取值范围＜a＜0.【解析】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于较难题.（1）求函数的导数，分类讨论a的范围，可得f（x）的单调性；（2）由（1）可得，要使f（x）有两个零点，则f（2）＞0，即f（2）=a（2-2ln2）+2＞0，所以＜a＜0，证明f（x）有两个零点，利用函数的单调性和讨论a的范围可求a的取值范围．。
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（北京十一学校专版）
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Tuesday, November 15, 2011
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