中职数学821向量的加法讲解
向量加法精选教学PPT课件
做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3．求作差向量：
已知向量a、b，求作向量a-b ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
向量的减法
1“相反向量”的定义：
与a长度相同、方向相反的向量。记作 a
2规定：零向量的相反向量仍是零向量。
(a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向
量。a + (a) = 0 如果a、b互为相反向量， 则a = b, b = a, a + b = 0
3向量减法的定义：向量a加上b的相反向量， 叫做a与b的差。
这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大 学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
b
a
b
a
三角 边形法则 A
特殊情况
a
a
b
b
a b
A
B
C
(2)
a b
CA
B
(3)
对于零向量与任一向量a，有 a+0=0+a=a
人教版中职数学拓展模块一：3.2.1向量的加法课件(共21张PPT)
调动思维，探究新知
想一想
如果向量， 共线时，如何作出 +？
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 2
调动思维，探究新知
注：
对于零向量与任意向量 ，都有
＋0 = 0＋ = ．
活动 3
巩固练习，提升素养
解 （1）在平面内任取一点 A，作向量 = ，
以
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 2
调动思维，探究新知
我们把这种求两个向量和的作图法则称为向量加法
的平行四边形法则．
特别提示
向量加法的平行四边形法则特点是两个向量首首相连.
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学
拓展模块（一）
第三单元 平面向量
3.2.1向量的加法
人民教育出版社
第三单元 平面向量
3.2.1向量的加法
学习目标
知识目标
理解向量加法的概念，理解向量加法的三角形法则与平行四边形法则；
学生运用自主探讨、合作学习，理解向量运算与数的运算的区别和联系，理
能力目标
解向量加法的几何意义，掌握运用向量加法的三角形法则与平行四边形法求
活动 3
巩固练习，提升素养
例3 某人先向东走 3 km，接着向北走 3 km．求这
ห้องสมุดไป่ตู้
个人的位移．
课堂小结
3.2.1
/作业布置/
P75，练习1./2./3./4.
闻过而终礼,知耻而后勇。
感谢观看
中职数学教案：向量的加法运算(全2课时)
中等专业学校2024-2025-1教案教学内容通情况发现成昆之间的高速公路严重拥堵，只好改变出行路线，先驾车到重庆，再从重庆到成都.小张自驾旅程中的位移情况如图所示，其中，点A 、B、C分别代表昆明、重庆和成都三地.试问，小张从点A经点B到达点C接连两次位移，AB、BC的结果，与原计划从点A直接到达点C的位移AC有什么关系？三、探索新知可以看出，这两种方式的位移结果是一样的，都是从昆明到成都.因此我们可以把位移AC看作两次位移AB与BC的和.=AB a，=BC b，得到一个新的向量AC，称向量AC为向量a与向量b的和，记作a+b .一般地，对于平面内给定的两个不平行的非零向量a、b，在平面上任取一点A，依次做=AB a，教学内容=BC b，得到一个△ABC，称向量AC为向量a与向量b的和,也称为向量a与向量b的和向量，记作a+b，如图所示. 即a+b=AC=AB+BC.求两个向量的和的运算称为向量的加法.上述把两个非零向量表示成有向线段并借助于三角形作出其和向量的方法，称为向量加法的三角形法则.当非零向量平行时，在平面上任取一点A，依次作规定：a+b=0+a=a；a+(−a)=0 . 由上面的分析可知，表示各个向量的有向线段首尾相接，由起点指向终点的有向线段表示的向量就是这些向量的和向量，这是向量加法的几何意义，如图所示 .四、典型例题例1 如图所示，在⏥ABCD中，用向量AB、AD表示向量AC.解根据向量加法的三角形法则可知，AC=AB+BC.1. 如图所示，已知向量a、b、c,则板书设计教后札记中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别数学组课程名称向量的加法运算所在年级主备教师授课教师授课系部人授课班级授课日期课题 2.2.1向量的加法运算（第二课时）教学目标通过学习，理解向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义；能按要求作出两个向量的和向量、差向量；会判定两个非零向量是否平行；逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养.重点向量加法的运算、减法、数乘运算及其几何意义．难点向量减法法则．教法讲授法教学设备一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容前面，我们利用双曲线的标准方程获得了双曲线的几何性质，是否可以利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质呢？下面以抛物线的标准方程y²=2px为例，研究抛物线的几何性质.1.范围在方程y²=2px中，由p>0，y²≥0，可知x≥0. 这表明，抛物线在y轴的右侧，如图所示. 当x的值增大时，y²的值也随着教学内容又因为⏥ABCD中，AD=BC，所以AC=AB+AD.五、探索新知一般地,给定两个非零向量AB与AD，以线段AB和AD为邻边作⏥ABCD，则向量AC就是向量AB与AD的和，这种作两个向量的和向量的方法称为向量加法的平行四边形法则．可以验证，向量的加法满足以下运算律：a+b=b+a；(交换律)a+(b+c)= a+(b+c) .(结合律)六、典型例题例2 已知向量a、b，如图(1)所示，试分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作向量a+b.解(1)运用三角形法则.如图(2)所示，在平面内任取一点O，作=OA a，=AB b，则=OB a+b；(2)运用平行四边形法则.如图(3)所示,在平面内任取一点O，作=OA a，=OB b，以OA、OB为邻边作⏥ABCD，连接OC，则=OC OA OB=a+b.例3一艘渡轮要从南岸到北岸,它在静水中速度的大小为12km/h，方向正北. 若水流速度的大小为 12km/h，方向正东，求渡轮实际航行的速度.解如图所示，AC表示船在静水中的速度, AB为水流速度. 以AB、AC为邻边作⏥ABCD，由向量加法的平行四边形法则可知，AD是船的实际航行速度.在RtΔABC中，教学内容因此, 船实际航行的速度大小是13km/h,方向为北偏东22°37’.七、巩固练习练习2.2.1如图所示，分别求作下列情形下的向量a+b2. 如图所示，已知向量a、b、c,则教学内容3.化简.4.某同学从A地向东走2km到达B地,又向北走2km到达C地.试求该同学的位移AC的大小和方向.八、布置作业1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾；3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.板书设计教后札记。
中职数学8.2.1向量的加法
2.向量加法的运算律:
(1)证明：当 a ， b 不平行时，
BC b ，则 作 AB a ，
ab ba (2)加法结合律 : (a b) c a (b c)
(1)加法交换律 :
D
a
ab
C
AC a b. 再作AD b ，连结 DC，
则四边形 ABCD 是平行四边形,
3.向量加法的平行四边形法则 :
AC AB BC a b
教材P52，练习 第 1 ，2题．
1km B 北
OA a，
AB b，
O
ab
b
OB OA AB a b，
| OB | 32 32 3 2 (km)，
a
A
又 OA 与 OB的夹角是45°，所以a b 表示向 东北走 3 2km.
1.向量加法的三角形法则 :
多个向量求和
D
d
C
c
O
B
b
a
A
OD a b c d
b
A
b
b
a
B
a
于是 DC a ．
因此 AD DC b a AC, 即 a b b a.
3.向量加法的平行四边形法则 :
若点A，B，D不共线，
AD b， 设 AB a ，
D
a
a b
C
以 AB， AD 为邻边作平行
A
b
四边形ABCD，
a
b
B
则对角线上的向量 AC AB BC a b
如图，填空：
(1) AB BC AC ； (2) AC CD DO AO ； (3) AC CD DA 0 ．
人教版中职数学8.2.1向量的加法
AC AB BC a b
即 a b AB BC AC．
b a
C
ab
b
B
A
a
已知
a、b，求作
a
b
：
ab
b
b
a
（1）
b
a
b
ab （2）
1.向量加法的三角形法则 :
特例： 方向相同 a b
方向相反 a b
A
B
C
CA
B
a b AB BC AC a b AB BC AC
对于零向量与任一向量 a，都有a＋0＝0＋a＝a．
如图，填空：
(1)AB BC AC ； (2)AC CD DO AO ； (3)AC CD DA 0 ．
D
C
O
A
B
1.向量加法的三角形法则 : 首尾相接，自始而终． 2.向量加法的运算律 :
(1)加法交换律 : a b b a (2)加法结合律 : (a b) c a (b c)
向量
向量 向 量
8.2.1向量的加法
请观察： 1. 动点从点 A 位移到点 B ，再从点 B 位移到点 C ． 2. 动点从点 A 直接位移到点 C． C
A B
AB BC AC
1.向量加法的三角形法则
已知向量
a,
b,
在平面内任取一点
A，作
AB
a
,
BC
b,
作向量 AC ，则向量AC 叫做 a与 b 的和．记作 a b，
1.向量加法的三角形法则 :
多个向量求和
D
d
C
c
B
b
O
A
a
《向量的加减法》课件
欢迎来到《向量的加减法》课件！在本课程中，我们将深入探讨向量的定义、 加法、减法、平移和线性组合等概念。
1. 概述
向量是一个常见且重要的数学概念，它既可以用于表示物理量，也可以用于 描述几何关系。本节将介绍向量的定义和基本性到一个新的向量。我们将讨论加法的几何意义、计算方法和运算规律。
3. 向量的减法
向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，从而得到一个新的向量。 我们将探讨减法的几何意义、计算方法和运算规律。
4. 向量的平移
向量的平移是指将一个向量从一个点移动到另一个点，从而得到一个平移后 的向量。我们将研究平移的定义、几何意义和计算方法。
5. 向量的线性组合
向量的线性组合是指用标量乘以向量再相加的运算。我们将介绍线性组合的 定义、概念、计算方法和应用。
6. 例题解析
通过解析一些实例题，我们将加深对向量加减法、平移和线性组合的理解， 并学会如何应用这些概念解决实际问题。
7. 总结
在本课程的总结中，我们将回顾重点概念、整理知识点，并提供学习建议，帮助你更好地掌握向量的加减法。
向量的加法运算及其几何意义课件
向量加法在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法常用于表示力的合成与分解。通过向量加法，可以计算出多 个力的合力或分力。
速度和加速度的叠加
在运动学中，向量加法用于表示速度和加速度的叠加。例如，在平抛运动中，物 体的速度和加速度可以通过向量加法进行计算。
向量加法在解析几何中的应用
02
向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量加法的基本法则之一，它 表示两个向量相加时，可以将其视为沿平行四边形的对角线 进行矢量合成。
详细描述
根据平行四边形法则，设$vec{A}$和$vec{B}$为两个向量， 将它们首尾相接，然后作一个平行四边形，其对角线向量即 为$vec{A} + vec{B}$。
向量加法的性质
01 02
性质1
向量加法满足结合律，即$(overrightarrow{A} + overrightarrow{B}) + overrightarrow{C} = overrightarrow{A} + (overrightarrow{B} + overrightarrow{C})$。
中$overrightarrow{0}$表示零向量。
向量加法的坐标表示
• 坐标表示：在直角坐标系中，向量$\overrightarrow{A}$和 $\overrightarrow{B}$可以用坐标表示为$\overrightarrow{A} = (x_1, y_1)$和$\overrightarrow{B} = (x_2, y_2)$，则它们的 和$\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$的坐标为 $(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
向量的加法PPT
02
向量加法的运算规则
三角形法则
总结词
三角形法则是指通过连接两个向量的起点和终点，形成一个向量三角形，然后根据三角形边长的关系计算向量和 的方法。
详细描述
三角形法则是向量加法的基本运算规则之一。通过连接两个向量的起点和终点，形成一个向量三角形，根据三角 形边长的关系，可以计算出两个向量的和。具体来说，如果向量A的起点是M，终点是N，向量B的起点是N，终 点是P，那么向量A和向量B的和向量就是从M到P的向量。
向量的加法
目录
• 向量加法的定义 • 向量加法的运算规则 • 向量加法的应用 • 向量加法的注意事项
01
向量加法的定义
定义
两个向量$vec{A}$和$vec{B}$的加法 定义为$vec{A}+vec{B}$，其结果是 一个向量$vec{C}$，记作 $vec{C}=vec{A}+vec{B}$。
VS
向量加法的结果向量$vec{C}$的长度 和方向由$vec{A}$和$vec{B}$决定， 具体地， $|vec{C}|=sqrt{|vec{A}|^2+|vec{B}| ^2+2vec{A}cdotvec{B}}$，方向与 $vec{A}$和$vec{B}$的夹角不超过 $180^circ$。
03
向量加法的应用
物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法常用于表示力的合成与分解。例如，一个物体受到多个力 的作用，可以通过向量加法将它们合成一个总力，或者将一个力分解为多个分 力。
速度和加速度的叠加
在运动学中，向量的加法可以用于表示速度和加速度的叠加。例如，一个物体 在多个方向上的运动，可以通过向量加法得到其合速度和合加速度。
向量的加法运算及其几何意义课件
在解析几何中，向量加法可以用于线性组合的计算。线性组 合是指一组向量的加权和，即$overset{longrightarrow}{D} = lambdaoverset{longrightarrow}{A} + muoverset{longrightarrow}{B}$，其中$lambda$和$mu$ 为实数。线性组合在解决实际问题中具有广泛的应用。
应用拓展
随着科技的进步，向量加法的应用领域将不断拓展，如人工智能、信号处理、图像处理等，为解 决实际问题提供更多有效的方法。
算法优化
随着计算技术的发展，向量加法的算法将不断优化，提高计算效率和精度，为相关领域的研究和 应用提供更好的支持。
THANKS
感谢观看
向量的加法运算及其几何意义
• 向量加法的定义与性质 • 向量加法的几何意义 • 向量加法的运算规则 • 向量加法的应用实例 • 总结与展望
01
向量加法的定义与性质
向量加法的定义
向量加法是由平行四边形法则或三角形法则定义的。在二维空间中，向量加法可以通过连接两个向量 的起点和终点，并绘制一个平行四边形来完成。在三维空间中，向量加法可以通过连接两个向量的起 点和终点，并绘制一个三角形来完成。
物理应用
向量加法在物理中有广泛的应用， 如速度、加速度、力的合成等， 通过向量加法可以更直观地理解 物理现象。
解析几何
向量加法在解析几何中也有重要 的意义，它可以用来描述平面或 空间中的点、线、面等几何对象 的位置和方向。
向量加法的未来发展
理论完善
随着数学和物理学等学科的发展，向量加法的理论体系将进一步完善，为相关领域的研究提供更 坚实的基础。
算。
03
向量加法的运算规则
向量的加法与减法教学课件
向量减法的几何意义
向量减法的几何意义是两个向量的起点重合时，将其中一个 向量反向延长后与另一个向量相交，从起点沿着交点、原点 、终点方向得到的向量即为两向量的差。
向量减法可以用于表示速度和加速度的变化关系，例如在匀 变速直线运动中，速度的变化量可以表示为初速度和末速度 的差。
03
向量加法与减法的应用
THANKS
在物理中的应用
力的合成与分解
振动与波动
通过向量加法和减法，可以计算出多 个力的合力或分力，从而解决力学问 题。
在振动和波动的研究中，向量加法和 减法用于分析振幅、相位和方向等物 理量。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量加法和减法用于计 算速度和加速度，分析物体的运动状 态。
在数学中的应用
01
02
等参数，优化出行路线。
航空航天
在航空航天领域，向量加法和减法 用于分析飞行器的速度、加速度、 方向等参数，确保安全和有效的飞 行。
经济学
在经济学中，向量加法和减法用于 分析经济数据，如GDP、就业率、 通货膨胀率等，预测经济发展趋势 。
04
向量的加法与减法运算规则
平行四边形法则
总结词
平行四边形法则是一种直观的向量加法方法，通过构造两个向量的平行四边形 ，利用对角线来表示它们的和。
向量加法的性质
1 2
3
交换律
向量加法满足交换律，即a+b=b+a。
结合律
向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。
零向量
任意向量与零向量的和等于该向量本身，即a+0=a。
向量加法的几何意义
表示两个有向线段首尾相接形成的向量。 表示位移或速度的合成。
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1.向量加法的三角形法则 :
多个向量求和
D
d
C
c
B
b
O
A
a
OD a b c d
2.向量加法的运算律:
(1)加法交换律 : a b b a
(2)加法结合律
:
(a
b)
c
a
(b
c)
(1)证明：当 a ，b 不平行时，
a
作 AB a ，BC b ，则
D
C
AC a b.
bb
再作AD b ，连结 DC，
即 a b AB BC AC．
b a
C
ab
b
B
A
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 已知
a、b，求作
a
b
：
ab
b
b
a
（1）
b
a
b
ab （2）
1.向量加法的三角形法则 :
特例： 方向相同 a b
方向相反 a b
A
B
C
CA
B
a b AB BC AC a b AB BC AC
对于零向量与任一向量 a，都有a＋0＝0＋a＝a．
3.向量加法的平行四边形法则 :
AC AB BC a b
教材P52，练习 第 1 ，2题．
如图，填空：
(1)AB BC AC ； (2)AC CD DO AO ； (3)AC CD DA 0 ．
D
C
O
A
B
1.向量加法的三角形法则 : 首尾相接，自始而终． 2.向量加法的运算律 :
(1)加法交换律 : a b b a (2)加法结合律 : (a b) c a (b c)
向量
向量 向 量
8.2.1 向量的加法
请观察： 1. 动点从点 A 位移到点 B ，再从点 B 位移到点 C ． 2. 动点从点 A 直接位移到点 C． C
A B
AB BC AC
1.向量加法的三角形法则
已知向量
a,
b,
在平面内任取一点
A，作
AB
a
,
BC
b,
作向量 AC ，则向量AC 叫做 a与 b 的和．记作 a b，
A
则四边形 ABCD 是平行四边形, a
ab b aB
于是DC a ． 因此 AD DC b a AC,
即 a b b a.
3.向量加法的平行四边形法则 :
若点A，B，D不共线， 设 AB a ，AD b， 以 AB，AD 为邻边作平行 四边形ABCD，
a
D
C
b
ab
b
A
a
B
则对角线上的向量 AC AB BC a b
1.向量加法的三角形法则 :
例 某人先位移向量 a：“向东走 3 km”，接着再位
移向量b ：“向北走 3 km”，a 求 b ．
解：如图，选择适当的比 例尺，作
OA a， AB b，
OB OA AB a b，
1km
ab
a
O
B北
b
A
| OB | 32 32 3 2(km)，
又 OA 与 OB 的夹角是45°，所以a b 表示向 东北走 3 2km.