变治法

Tbest ( n ) = 2 * log n +1 2
第六章 变治法
6.4 堆排序
HeapSort(H[1..n]) 算法 //用自底向上算法，从给定数组的元素进行堆排序 用自底向上算法， 用自底向上算法 //输入：一个可排序元素的数组 输入： 输入 一个可排序元素的数组H(1..n) //输出：一个有序数组 输出： 输出 一个有序数组H(1..n) HeapUp(H[1..n]) i=1,j=n; while i<j swap (H[i] , H[j]) HeapUp(H[i..--j]) 请自行分析堆排序的时间效率，这一点， 请自行分析堆排序的时间效率，这一点，应该可以比较 容易分析得出了！ 容易分析得出了！
2
n −1 i=1
∈ n
3
第六章 变治法
6.4 堆和堆排序
是一个完全二叉树， 定义 堆：是一个完全二叉树，并且对于每一个非叶子节点而 它的键值都大于它的子女的键值。 言，它的键值都大于它的子女的键值。 特性： 特性： 1、一个具有 个节点的堆，它的高度等于 2n+1； 个节点的堆， 等于log 、一个具有n个节点的堆 它的高度等于 2、堆的根总是包含了堆的最大元素； 包含了堆的最大元素； 、堆的根总是包含了堆的最大元素 3、堆的一个节点以及该节点的子孙也是一个堆； 一个节点以及该节点的子孙也是一个堆 、堆的一个节点以及该节点的子孙也是一个堆； 数组前n/2个位置中 4、可以用数组来实现堆：其中数组前 个位置中，存放着的 、可以用数组来实现堆：其中数组前 个位置中， 都是父亲节点。 个节点中， 都是父亲节点。后n/2个节点中，存放着所有的叶子节点； 个节点中 存放着所有的叶子节点； 5、对于任何一个父亲节点 来讲，如果它有子女的话，它的子 父亲节点i来讲 、对于任何一个父亲节点 来讲，如果它有子女的话，它的子 女应该会在位置2i和 女应该会在位置 和2i+1上面； 上
第六章 变治法
6.2 高斯消去法
效率分析：改进的高斯消去法执行的效率， 效率分析：改进的高斯消去法执行的效率，仅仅取决于矩阵 的规模n，基本的操作语句， 的规模 ，基本的操作语句，显然后多重循环最内部的计算语句
A[j][k]=A[j][k]-A[i][k]*temp，假设我们认为乘法操作的速度在大多数计算 ， 机上面都比减法慢，那么该操作的基本执行效率为： 机上面都比减法慢，那么该操作的基本执行效率为：
Tworst ( n ) =
i = h −1 j =1
2 ( h − i ) = ∑ 2 ( h − i ) 2 i = 2 ( n − log (2n +1) ) ∑∑
i=0
0
பைடு நூலகம்
2 i −1
h −1
最好的情况下，这棵树已经按照堆的定义排列好了， 最好的情况下，这棵树已经按照堆的定义排列好了，那么所有 的非叶子节点只需要比较两次，而无需移动，此时效率最优： 的非叶子节点只需要比较两次，而无需移动，此时效率最优：
第六章 变治法
6.4 堆的构建
效率分析：构建堆的算法效率，取决于输入的数组规模 ， 效率分析：构建堆的算法效率，取决于输入的数组规模n，由 于算法采用了一个典型的双重循环来完成， 于算法采用了一个典型的双重循环来完成，所以该算法的基本执行 语句，应该是位于while循环内部的比较语句，这些比较语句，执行 循环内部的比较语句， 语句，应该是位于 循环内部的比较语句 这些比较语句， 的次数还要取决于原始的数据输入状态 还要取决于原始的数据输入状态。 的次数还要取决于原始的数据输入状态。 假设令n=2k-1,并且这棵树是一棵满树，h是这棵树的高度，显 并且这棵树是一棵满树， 是这棵树的高度 是这棵树的高度， 假设令 并且这棵树是一棵满树 然h=k: 最坏的情况下，每次位于第i层 非叶子层） 最坏的情况下，每次位于第 层（非叶子层）的节点都会被不断 地交换到叶子层h中去 这时候： 中去， 地交换到叶子层 中去，这时候：
第六章 变治法
6.5 霍纳法则
Horner(p[0..n],x) 算法 //用霍纳法则求一个多项式的值 用霍纳法则求一个多项式的值 //输入：一个 次多项式的系数数组 输入： 次多项式的系数数组p[0..n]，以及一个数字 输入 一个n次多项式的系数数组 ，以及一个数字x //输出：多项式的值 输出： 输出 r=p[0] for i=1 to n do r=x*r+p[i] return r 效率分析 显然 T ( n ) =
第六章 变治法
6.2 高斯消去法
在很多应用中，我们需要求解一个包含n个方程的 个方程的n元联 背景 在很多应用中，我们需要求解一个包含 个方程的 元联 立方程组： 立方程组：
a11 x1 + a x + 21 1 a n1 x1 +
a12 x2 + . .
... + . .
a1n xn =
b1
a 22 x2 + ... +
a 2 n xn = b2
a n 2 x2 + ... +
a nn xn =
bn
初等变换: 初等变换 1、交换方程组中两个方程的位置； 、交换方程组中两个方程的位置； 2、把一个方程替换为它的非零倍； 、把一个方程替换为它的非零倍； 3、把一个方程替换为它和另一个方程倍数之间的和或差； 、把一个方程替换为它和另一个方程倍数之间的和或差；
第六章 变治法
6.2 高斯消去法
BetterGaussElimination(A[1..n][1..n],b[1..n]) 算法 //对一个方程组的系数矩阵 应用更好的高斯消去法 对一个方程组的系数矩阵A应用更好的高斯消去法 对一个方程组的系数矩阵 for i=1 to n do A[i][n+1]=b[i] for i=1 to n-1 do pivotrow=i for j=i+1 to n do if |A[j][i]|>|A[pivotrow][i]| pivotrow=j; for k=i to n+1 do swap(A[i][k],A[pivotrow][k]) for j=i+1 to n do temp=A[j][i]/A[i][i] for k=i to n+1 do A[j][k]=A[j][k]-A[i][k]*temp
∑1=
1
n
n
第六章 变治法
6.4 堆的构建
HeapBottomUp(H[1..n]) 算法 //用自底向上算法，从给定数组的元素中构造一个堆 用自底向上算法， 用自底向上算法 //输入：一个可排序元素的数组 输入： 输入 一个可排序元素的数组H(1..n) //输出：一个堆 输出： 输出 一个堆H[1..n] for i=n/2 to 1 do k=i; v=H[k]; heap=false; while !heap and 2*k<=n do j=2*k; if j<n if H[j]<H[j+1] j=j+1; if v>=H[j] heap=true else H[k]=H[j]; k=j; H[k]=v
T (n ) = = = ∈
∑
n −1 i=1
j= i+1
∑
n
∑
n +1 k =i
1 =
∑
n −1 i=1
j= i+1
∑
n
(n − i + 2)
∑ ∑ ∑
n −1 i=1
( n − i )( n − i + 2 ) (n n
2 2
n −1 i=1
− (2i − 2 )n + i2 − 2i) = ( n − 1) n
第六章 变治法
变治技术： 变治技术：通常把问题的实例变成一个更加容易求 解的实例，然后利用对变化后的实例来求解， 解的实例，然后利用对变化后的实例来求解，解决原来这 个问题实例。当然，这样的做法要能够成立，前提是两个 个问题实例。当然，这样的做法要能够成立，前提是两个 实例是逻辑等价的！ 实例是逻辑等价的！
第六章 变治法
6.2 高斯消去法
GaussElimination(A[1..n][1..n],b[1..n]) 算法 //对一个方程组的系数矩阵 应用高斯消去法 对一个方程组的系数矩阵A应用高斯消去法 对一个方程组的系数矩阵 //用该方程组右边的值构成的向量 来扩展该矩阵 用该方程组右边的值构成的向量b来扩展该矩阵 用该方程组右边的值构成的向量 //输入：矩阵 输入： 输入 矩阵A[1..n][1..n]和b[1..n] 和 //输出：一个替代 的上三角等价矩阵，相应的向量位于 输出： 的上三角等价矩阵， 输出 一个替代A的上三角等价矩阵 相应的向量位于n+1列中 列中 for i=1 to n do A[i][n+1]=b[i] for i=1 to n-1 do for j=i+1 to n do for k=i to n+1 do A[j][k]=A[j][k]-A[i][k]*A[j][i]/A[i][i] 注意：这个算法看上去如此简单，然而它却有不少的问题， 注意：这个算法看上去如此简单，然而它却有不少的问题，你发 现了没有？！如何改进呢？ ？！如何改进呢 现了没有？！如何改进呢？
第六章 变治法
6.5 霍纳法则
霍纳法则用以求解一个多项式p(x)的值，变换的方式如下 的值， 定义 霍纳法则用以求解一个多项式 的值 面的例子： 面的例子： 例题： 例题：
=> => =>
p(x)=2x4-x3-3x2+x-5 p(x)=x(2x3-x2-3x+1)-5 p(x)=x(x(2x2-x1-3)+1)-5 p(x)= x(x(x(2x-1)-3)+1)-5