姜启源数学模型
姜启源数学模型
姜启源数学模型是指以姜启源为主导的一种数学建模方法。
姜启源是中国工程院院士、中国科学院数学与系统科学研究院院长，他在数学模型领域有着丰富的经验和深厚的造诣。
数学模型是一种将现实问题抽象化、形式化的方法，通过建立数学模型来描述和解决实际问题。
姜启源数学模型的特点是综合运用数学、统计学、计算机科学等多学科知识，通过数学建模的方法解决实际问题。
姜启源数学模型的应用领域非常广泛，包括但不限于工程、经济、环境、医学等各个领域。
在工程领域，姜启源数学模型可以用于优化设计、预测分析、风险评估等方面。
在经济领域，姜启源数学模型可以用于市场预测、投资决策、风险控制等方面。
在环境领域，姜启源数学模型可以用于气候变化模拟、环境保护规划等方面。
在医学领域，姜启源数学模型可以用于疾病传播模拟、药物研发等方面。
姜启源数学模型的建立过程一般包括问题分析、数学建模、模型求解和模型验证等步骤。
首先，需要对实际问题进行深入的分析，明确问题的目标和约束条件。
然后，根据问题的特点，选择合适的数学方法和模型类型。
接下来，通过数学方法将实际问题转化为数学问题，并进行数学建模。
然后，利用数学工具和计算机进行模型求
解，并对结果进行分析和解释。
最后，需要对模型进行验证，检验模型的准确性和可靠性。
姜启源数学模型的优势在于能够将复杂的实际问题转化为简单的数学问题，并通过数学方法进行求解。
这种模型可以提供决策支持和问题解决的方法，帮助人们更好地理解和解决实际问题。
姜启源数学模型的应用可以提高效率、降低成本、减少风险，对社会和经济发展具有重要意义。
姜启源数学模型的发展离不开数学研究和科学技术的支持。
近年来，随着数学建模方法和计算机技术的不断发展，姜启源数学模型在各个领域得到了广泛应用和推广。
同时，姜启源也致力于培养和引进优秀的科研人才，推动数学建模在中国的发展和应用。
姜启源数学模型是一种综合运用数学、统计学、计算机科学等多学科知识的数学建模方法。
它在工程、经济、环境、医学等领域具有广泛的应用前景，能够为实际问题的解决提供有效的方法和工具。
随着科学技术的不断进步和数学建模方法的不断发展，相信姜启源数学模型将在未来发挥更大的作用，为社会进步和经济发展做出更大的贡献。
数学模型（姜启源第三版第二章）
数学模型（姜启源第三版第⼆章）1.学校共1000名学⽣，235⼈住在A宿舍，333⼈住在宿舍，432⼈住在，学⽣梦要组织⼀个10⼈的委员会，试⽤下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按⽐例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给⼩树部分较⼤者。
（2）节中的Q值⽅法。
（3）⽅法：将A,B,C各宿舍的⼈数⽤正整数相除，其商数如下表：将所得商数从⼤到⼩取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A,B,C⾏有横线的数分别为2,3,5，这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种⽅法的道理吗。
如果委员会从10⼈增⾄15⼈，⽤以上3种⽅法两次分配的结果列表⽐较。
（4）你能提出其它⽅法吗。
⽤你的⽅法分配上⾯的名额。
2.⽤微积分的⽅法导出节的公式（2）。
3.在节中考虑8⼈艇分重量级组(桨⼿体重不超过86kg)和轻量级组（桨⼿体重不超过73kg，建⽴模型说明重量级组的成绩⽐轻量级组⼤约好5%。
4.⽤节实物交换模型中介绍的⽆差别曲线的概率，讨论以下雇员和雇主之间的协议关系：（1）以雇员⼀天的⼯作时间t和⼯资ω分别为横坐标和纵坐标，画出雇员⽆差别曲线族的⽰意图。
解释曲线为什么是你画的那种形状。
（2）如果雇主付计时⼯资，对不同的⼯资率（单位时间的⼯资）画出计时⼯资线族。
根据雇员的⽆差别曲线族和雇主的计时⼯资线族，讨论双⽅将在怎样的⼀条曲线上达成协议。
（3）雇员和雇主已经达成了⼀个协议（⼯作时间1t和⼯资1ω）.如果雇主想使雇员的⼯作时间增加到2t,他有两种⽅法：⼀是提⾼计时⼯资率，在协议线的另⼀点（2t,2ω）达成新的协议；⼆是实⾏超t t-付给更⾼的超时时⼯资制，即对⼯时1t仍付原计时⼯资，对⼯时21⼯资。
试⽤作图⽅法分析哪种办法对雇主更有利，指出这个结果的条件.5.在节核武器竞赛模型中，证明由（6）式表⽰的⼄安全线=的性质。
()y f x6.在节核武器竞赛模型中，讨论以下因素引起的平衡点的变化：（1）甲⽅提⾼导弹导航系统的性能。
姜启源数学模型第五版第二章
分析与建模
甲的无差别曲线
如果甲占有(x1,y1)与占有
y
(x2,y2)具有同样的满意程度, y0
即p1, p2对甲是无差别的.
y1
将所有与p1, p2无差别的点 连接起来, 得到一条无差别 y2
曲线MN.
O
.M
M1
p1
p3(x3,y3)
. .p2
N1
N
x1
x2
x0 x
线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度.
参数估计 • 根据测试数据对模型作拟合.
• 调查交通工程学的相关资料：
司机反应时间c1约为0.7~1s， 系数c2约为0.01( mh2/km2)
城市通行能力模型
道路通行能力~单位时间内通过某断面的最大车辆数. 通行能力表示道路的容量，交通流量表示道路的负荷. 饱和度~流量与通行能力的比值, 表示道路的负荷程度.
3个参数之间的基本关系 q vk
交通流的主要参数及基本规律 q vk
速度v 与密度k 的关系 车流密度加大 司机被迫减速
数据分析、机理分析 线性模型 v v f (1 k / k j )
vf ~畅行车速(k=0时) kj~阻塞密度(v=0时)
流量q与密度k 的关系 q v f k(1 k / k j )
Ta~内层玻璃的外侧温度
内
Ta Tb
室 外
Tb~外层玻璃的内侧温度
T1 d l d T2
k1~玻璃的热传导系数
Q1
k2~空气的热传导系数
墙
Q1
k1
T1
Ta d
k2
Ta
Tb l
k1
数学模型_第3版_姜启源_高等教育出版社_课后答案
综合题目参考答案1. 赛程安排(2002年全国大学生数学建模竞赛D 题)(1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程.(2)用多种方法可以证明支球队“各队每两场比赛最小相隔场次n r 的上界”(如=5时上界为1)是n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23n ,如: 设赛程中某场比赛是,i j 两队, 队参加的下一场比赛是,两队(≠i i k k j ),要使各队每两场比赛最小相隔场次为r ,则上述两场比赛之间必须有除i ,j ,以外的2k r 支球队参赛,于是,注意到32+≥r n r 为整数即得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤23n r . (3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的,即对任意的编排出达到该上界的赛程.如对于n =8, =9可以得到: n n 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 每两场比赛相隔场次数 相隔场次总数1A× 1 5 9 13 17 21 25 3,3,3,3,3,3 18 2A 1 × 20 6 23 11 26 16 4,4,4,3,2,2 193A 5 20 × 24 10 27 15 2 2,4,4,4,3,2 19 4A 9 6 24 × 28 24 3 19 2,2,4,4,4,3 19 5A 13 23 10 28 × 4 18 7 2,2,2,4,4,4 18 6A 17 11 27 14 4 × 8 22 3,2,2,2,4,4 177A 21 26 15 3 18 8 × 12 4,3,2,2,2,4 178A25 16 2 19 7 22 12 × 4,4,3,2,2,2 17w w w .k h d a w .c o m 课后答案网1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 每两场比赛相隔场次数 相隔场次总数1A× 36 6 31 11 26 16 21 1 4,4,4,4,4,4,4, 28 2A 36 × 2 27 7 22 12 17 32 4,4,4,4,4,4,3 27 3A 6 2 × 35 15 30 20 25 10 3,3,4,4,4,4,4 26 4A 31 27 35 × 3 18 8 13 234,4,4,4,3,3,3 25 5A 11 7 15 3 × 34 24 29 193,3,3,3,4,4,4 24 6A 26 22 30 18 34 × 4 9 144,4,3,3,3,3 23 7A16 12 20 8 24 4 × 33 28 3,3,3,3,3,3,4 22 8A21 17 25 13 29 9 33 × 53,3,3,3,3,3,3, 21 9A 1 32 10 23 19 14 28 5 × 3,4,3,4,3,4,3 24 可以看到, =8时每两场比赛相隔场次数只有2,3,4, =9时每两场比赛相隔场次数只有3,4,以上结果可以推广,即为偶数时每两场比赛相隔场次数只有n n n 22-n ,12-n ,2n ,n 数时只有为奇23-n ,21-n . 量赛程优劣其他指标如(4)衡的平均相隔场次 记第i 队第j 个ij c ,2,2,1,,,2,1-==n j n i ,间隔场次数为则平均相隔场次为∑∑=n i 1-=n r 21 =-j n n 1)2(ij c r 是赛程整体意义下的指标,它越大越好.可以计算=8,=9的n n r ,并讨论它是否达到上界. 相隔场次的最大偏差 定义||,r c Max f ij j i -=∑---=2)2(|n r n c Max g =1|j ijw w w .k h d a w .c o m 课后答案网f 为整个赛程相隔场次的最大偏差, 为球队之间相隔场次的最大偏差,它们都是越小越好.可以计算=8,=9的,g ,并讨论它是否达到上界.g n n f 参考文献工程数学学报第20卷第5期20032. 影院座位设计建立满意度函数),(βαf ,可以认为α和β无关, ()()βαβαh g f -=),(,g ,取尽量简单的形式,h 如αα=)(g ;0)(=βh (),030≤β0)(h h =β)30(0>β.(1)可将作为必要条件,以030≤βα最大为最佳座位的标准.在上图中以第1排座位为坐标原点建立坐标轴x ,可以得到 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+----⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=d x x h c H d x x c H d x x c H θθαθβtan arctan tan arctan ,tan arctan β是x 的减函数.可得x ≈1.7m,即第3(或4)排处.又通过计算或分析可知030=βα也是x 的减函数,所以第3(或4)排处是最佳座位.(2)设定一个座位间隔(如0.5m), l x 从0(或处)到030≤βd D -按离散,对于计算l )20~0(00θα的平均值,得时其值最大. 020=θ(3)可设地板线是x 的二次曲线,寻求,b 使2bx ax +a α的平均值最大. 实际上,还应考虑前排不应挡住后排的视线. 3.节水洗衣机(1996年全国大学生数学建模竞赛B 题) 该问题不要求对洗衣机的微观机制(物理、化学方面)深入研究,只需要从宏观层次去把握.宏观上洗衣的基本原理是用洗涤剂通过漂洗把吸附在衣物上的污物溶于水中,再脱去污水带走污物;洗衣的过程是通过“加水——漂洗——脱水”程序的反复运行,使残留在衣物的污物越来越少,直到满意的程度;洗涤剂也是不希望留在衣物上的东西,可将“污物”定义为衣物上原有污物与洗涤剂的总和. w w w .k h da w .c o m 课后答案网假设每轮漂洗后污物均匀地溶于水中;每轮脱水后衣物含水量为常数.~初始污水量,第轮加水量,~第k 轮脱水量c 0x ~k u k k x ),,2,1( =k .设每轮脱水前后污物在水中的浓度不变.于是cx c u x u c x n n n =+==--111,,, c x 2c x +21u x 10, 得到)()(210c u c u u c x x n n n ++= . 在最终污物量与初始污物量之比小于给定的清洁度条件下,求各轮加水量,使总用水量最小,即0/x x n k u ),,1(n k =∑=nk k u u Min k 1()ε<++)(..21c u c u u c t s n n 等价于)()(21c u c u u Min n u k +++++ α=++)()(..21c u c u u t s na 为常数可得c u c u u n +==+= 21,即第轮加水量n ~2u u k =(常数),第1轮加水量.c u u +=1令,问题简化为cx u =nx Min u n , ε<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n x t s 11.. 其解为,即,而0→x 0→u ∞→n n .这与实际上是不合理的.应该加上对u 的限制:.则得n ,其中 21v u v ≤≤max min n n ≤≤max min n n ≤≤,1+)/1ln(2min ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=c v n αn 这样,为有限的几个数,可一一比较,具体数据计算从略.参考文献:《数学的实践与认识》第27卷第1期,1997w w w .k h d a w .c o m 课后答案网4.教师工资调整方案(1995年美国大学生数学建模竞赛B 题)题目对职称提升年限表述得不甚清楚(如未提及助理教授的提升),教龄也未区分是什么职称下工作的年限,所以应该作出一些相应的简化假设.按所给信息,工资仅取决于职称和教龄.建立新方案的一种办法是将职称折合成教龄,如定义x=教龄t+7×k (对于讲师、助理教授、副教授、教授,k 分别取值0,1,2,3),然后寻求工资函数I(x),使之满足题目的要求,如I(0)=27000,I(7)=32000等,以及x 较大时022<dxI d .另一种办法是职称、教龄分别对待,工资函数J(k,t)从多种函数中选择,如最简单的线性函数J(k,t)=k k k k b a t b a ,,+(k=0,1,2,3)根据一定条件确定.按照第一种办法得到的新工资方案,以职称和教龄综合指标为x 的教师的工资都应为I(x),而人们的目前工资会低于或高于它.根据题目要求,高工资不应降低,低工资则应逐渐提高,尽快达到理想值I(x).需要做的只是根据每人(目前)工资与(理想值的)差额,制定学校提供的提薪资金的分配方案.它应该是简单、合理、容易被人接受的. 按以上原则可以建立不同的模型,应通过检验比较其恶劣.检验可基于题目所给数据,按照提薪计划运行若干年,考察接近理想方案的情况,即用过渡时期的情况检验模型;也可进行随机模拟,按照一定规则随机产生数据(可以包括聘用、提职、解聘、退休的人数和时间等),再按照提薪计划运行,考察接近理想方案的情况.参考文献：叶其孝，《大学生数学建模竞赛辅导教材》（四），湖南教育出版社，20015. 一个飞行管理问题（1995年全国大学生数学建模竞赛A 题）设为第i 架飞机与第j 架飞机的碰撞角（即ij a )8arcsin(ij ij r a =其中为这两架飞机连线的长度），ij r ij β为第i 架飞机相对于第j 架飞机的相对速度（矢量）与这两架飞机连线（从i 指向j 的矢量）的夹角（以连线矢量为基准，逆时针方向为正，顺时针方向为负），i θ为第架飞机飞行方向角调整量. 本问题中的优化目标函数可以有不同的形式：如使所有飞机的最大调整量最小；所有飞机的调整量绝对值之和最小等.以所有飞机的调整量绝对值之和最小，可以得到如下的数学规划模型：w w w .k h d a w .c o m 课后答案网∑=61i i Min θ s.t. ,)(21ij j i ij a >++θθβ j i j i ≠=,6,,1,30≤i θ , 6,,1 =i 为了利用LINGO 求解这个数学规划模型，可以首先采用其他数学软件计算出ij α和ij β.其实，ij α和ij β也是可以直接使用LINGO 来计算的，这相当于解关于ij α和ij β的方程，只是解方程并非LINDO 软件的特长，这里我们作为一个例子，看看如何利用LINGO 计算ij α，可输入如下模型到LINGO 求解ij α：MIDEL ：1]SETS:2] PLANE/1..6/：x0,y0; 3] link(plane,plane):alpha,sin2: 4]ENDSETS5] @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J:6] sin2(I,J)=64/((X0(I)-X0(J))*(X0(I)-X0(J))+7] (Y0(I)-Y0(J))*(Y0(I)-Y0(J)));8] ）；9] @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J: 10] (@SIN(alpha*3.14159265/180.0))^2=SIN2; 11] ); 12]DATA:13] X0=150,85,150,145,130,0; 14] Y0=140,85,155,50,150,0; 15]endataEND计算结果如下：w w w .k h d a w .c o m 课后答案网ij a j=1 2 3 4 5 6i=1 0.000 0 5.3912 32.231 05.091 8 20.963 4 2.234 5 2 5.391 2 0.000 0 4.8046.613 5 5.807 9 3.815 9 3 32.231 0 4.804 0 0.0004.364 7 22.833 7 2.125 5 45.091 86.613 5 4.36470.000 0 4.4.537 2.989 8 5 20.963 4 5.807 922.8337 4.537 70.000 0 2.309 8 6 2.234 5 3.815 9 2.125 5 2.989 82.309 80.000 0 ij β也可类似地利用LINGO 求得，计算结果如下： ij β j=1 2 3 4 5 6 i=1 0.000 0 109.263 6 -128.250 0 24.1798173.065 1 14.474 9 2 109.263 6 0.000 0-88.871 1 -42.2436-92.304 8 9.000 03 -128.250 0 -88.871 1 0.000 012.4763-58.786 2 0.310 84 24.179 8 -42.243 6 12.476 30.000 0 5.969 2-3.525.65 173.065 1 -92.304 8 -58.78625.969 20.000 0 1.914 4614.474 9 9.000 00.310 8-3.5256 1.914 4 0.000 0w w w .k h d a w .c o m 课后答案网于是，该飞机管理的数学规划模型可如下输入LINGO 求解：MODEL:1]SETS2] plane/1..6/:cita:3] link(plane,plane):alpha,beta;4]ENDSETS5] min=@sum(plane:@abs(cita));6] @for(plane(I):7] @bnd(-30,cita(I),30);8] );9] @fpr(link(I,j)|I#NE#J:10] @ABS(beta(I,J)+0.5*cit(I)+0.5*cita(J))11] >alpha(I,J);12] ）;13]DATA:14] A;[JA=0.000 0 5.391.2….. …2.309 8 0.000 020] ;21] BETA=0.000 010 9.263 6………1.914 4 0.000 027] ;28]enddata END[注] alpha,beta 中数据略去，见上面表格. 求解结果如下： OPTIMUM FOUND AT STEP 197 SOLUTION OBJECTIVE V ALUE= 3.630 V ARIABLE V ALUE REDUCED COST CITA(1) 0.2974033E-06 -1.000 000 CITA(2) -0.1424833E-05 -0.715 033 4 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网CITA(3) 2.557 866 1.000 000 CITA(4) -0.3856641E-04 0.0000000E+00CITA(5) 0.2098838E-05 -1.000 000CITA(6) 1.071 594 0.0000000E+00………. (以下略)由此可知最优解为： （其它调整角度为0）. ︒︒≈≈07.1,56.263θθ 评注：如果将目标改为最大调整量最小，则可进一步化简得到线形规划模型，也可用LINDO 或LINGO 求解.参考文献：《数学的实践与认识》第26卷第1期，19966. 降落伞的选择这个优化问题的决策变量是降落伞数量n 和每一个伞的半径r ，可先将n 和r 看作连续变量，建立优化模型，求得最优解后，再按题目要求作适当调整. 目标函数之降落伞的费用，可以根据表1数据拟合伞面费用与伞的半径r 的关系。
数学模型姜启源 ppt课件
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
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《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
(完整版)姜启源数学模型第五版-第6章
等额本息还款模型
x0 ~贷款总额
r ~月利率 n ~贷款期限(月)
xk ~第k月还款后尚欠金额
a~每月还款金额
本月欠额=上月欠额的本息还款金额
xk= xk-1(1+r)a, k＝1,2,…, n k=n递推至k=１
xn= x0(1+r)na[1+(1+r)+…+(1+r)n-1]
k 1
2
例2 x0 =100(万元), r=0.0655/12, n=1220=240(月) x1=9625元, x240=4189.41(元), A2=1657729.17(元).
与房贷计算器给出的相同
等额本息与等额本金方式的比较
• 等额本息方式简单，便于安排收支. • 等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息方式,
贷款购房——最简 单的差分方程模型
输入必要信息 轻击鼠标即得
单利和复利 两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.70.04755)=12375元.
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则 自动转存, 5年后本息：10000 (1+0.03)5=11593元.
c 20000 0.025
w 8000100
每周每千克体重消耗 20000/100=200kcal 正常代谢消耗相当弱.
2. 正常代谢情况下的第一阶段计划 • 吸收热量由20000kcal每周减少1000kcal, 直至达到安全下限10000 kcal/周. c(k) 200001000k, k 1,2, ,10 c(10)= 10000 第一阶段需10周 w(k 1) (1 )w(k) (20000 1000 k)
姜启源编数学模型第四版
一般模型 x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
模型 假设
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力. • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比. • 甲乙双方的增援率为u(t), v(t).
x(t) f (x, y) x u(t), 0
tm~传染病高潮到来时刻
tm
1
ln
1 i0
1
t i 1 ?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
第6页/共76页
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染. SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
di
dt
i(1 i)
i
i[i (1 1 )]
i(0) i0
/
~ 日接触率 1/ ~感染期
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数.
第7页/共76页
模型3
di/dt
di i[i (1 1 )]
dt
接触数 (感染期内每个
病人的有效接触人数)
i
i
>1
i0
>1
1
1-1/
接触率
N[i(t t) i(t)] [s(t)]Ni(t)t
di si
dt
s(t) i(t) 1
di
i(1 i)
dt
i(0) i0
第5页/共76页
模型2
i
di
i(1 i)
dt
i(0) i0
Logistic 模型
1
i(t)
姜启源 数学模型第五版-第1章
1.3
问题
建模示例之一 包饺子中的数学
通常，1kg馅, 1kg面, 包100个饺子. 今天，馅比 1kg多, 1kg面不变, 要把馅包完.
应多包几个(每个小些), 还是少包几个(每个大些)？
分析
直观认识——“大饺子包的馅多”! 但是：“用的面皮也多”!
需要比较：饺子从小变大时馅和面增加的数量关系.
C
C´ B´ B A´
O
A
x
D´
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型建立
地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 椅子旋转900, 对 角线AC和BD互换 f() , g()是连续函数 对任意, f(), g() 至少一个为0 g(0)=0，f(0) > 0， f(/2)=0, g(/2)>0.
不平的地面上的椅子， 通常三只脚着地—— 放不稳！ 挪动几下，使四只脚着地——椅子放稳！
讨论椅子能放稳的条件.
椅子能在不平的地面上放稳吗
模型假设
四腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形. 地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面. 地面相对平坦,椅子在任意位置至少三只脚着地.
模型建立
椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性. 用表示椅子位置. 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数. 四个距离 (四只脚) 对称性 两个距离
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤 模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术. 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析. 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性.
姜启源《数学模型》第四版第二章初等模型-PPT文档资料-课件-PPT文档资料
决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用 激光的波长，和驱动光盘的机械形式.
调查和分析 数据容量 • 信道长度
• 线密度 激光波长
• 激光波长 • 驱动形式
• 当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑 所携带的信息，必须精确地聚焦.
• 光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑.
• 为了提高存储数据的线密度，应该使光斑尽量小， 而光斑的大小与激光波长成正比.
每一圈螺旋线上存储 同等数量的数据信息
各圈螺旋线上数据 的线密度不变
容量取决于最内圈的长 度、线密度以及总圈数
容量取决于固定的线 密度和螺旋线总长度
从光盘的容量比较，CLV优于CAV.
数据读取时间: CLV每圈转速不同，当读出磁头在内外 圈移动时，需要等待光盘加速或减速，而CAV不需要.
对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息，多用CLV; 对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息，多用CAV.
蓝色(DVD) 0.41
28,055,895 22,445
603
CD信道长度在5km以上，容量约680 MB; DVD容量在 GB量级.
影像时间按照每秒钟占用0.62 MB计算 .
模型求解
CAV(恒定角速度)光盘
LCAV
2R1
R2 R1 d
R
2 2
2d
R1=R2/2时LCAV最大
CCAVLCAV
激光器 激光波长 (μm)
shk1, k2
hl d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 室
T T
Q2 k1
1Hale Waihona Puke 22dQ1
k1
T1 T2 d(s2)
内 T1
双层与单层窗传导的热量之比
(完整版)数学模型姜启源-第三章(第五版)
平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.
平均每天费用2550元
c2 t1x x
c3 x
其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数
模型求解 求 x使 C(x)最小
dC 0 dx
x
c t 2 2c t
11
21
2c 2
3
结果解释 x c1t12 2c2t1
2c32
dB
dt
/ 是火势不继续蔓延的最少队员数
x
x 0.45
0.4 0.35
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 a
a
1
空杯质量w2取决于材料 (纸杯、塑料杯、玻璃杯).
设w2=150g 半升啤酒杯w1=500g a=0.3 x=0.3245
一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！
问题分析与模型假设 x
w1 ~ 啤酒 (满杯) 质量
1
w2 ~空杯侧壁质量, w3 ~空杯底面质量
啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯 重心合成.
• s2=1/2 •xs(x) 液面 • s1=x/2 0
液面高度x时啤酒质量w1x, 啤酒重心位置 s1=x/2
忽略空杯底面质量w3 空杯重心位置 s2=1/2
数学模型课后答案姜启源
数学模型课后答案姜启源【篇一：姜启源《数模》习题选解】方案模型构成：以阈值0,1分别标记“不在”和“在”，记第k次渡河前此岸的人阈值为xk，猫阈值为yk，鸡阈值为zk，米阈值为wk，将四维向量sk=(xk,yk,zk,wk)定义为状态，xk,yk,zk,wk=0,1。
安全渡河条件下的状态集合为允许状态集合，记作s。
以穷举法得到s：s={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0),( 0,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0)} 记第k次渡船上四个对象（人、猫、鸡、米）的阈值分别为ak,bk,ck,dk，并将四维向量ek=(ak,bk,ck,dk)定义为决策。
允许决策集合记作e={(a,b,c,d)|0≤b+c+d≤1，a=1，b,c,d=0,1}因为k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以，状态sk随决策ek变化的规律是sk+1=sk+(-1)kek该式称状态转移律，该问题就转换成多步决策模型：求决策∈?? ??=1,2,?,?? ，使状态∈??按照转移律，由初始状态s1=(1,1,1,1)经有限步n到达状态sn+1=(0,0,0,0)。
模型求解：本解答试尝用图解法，由于无法利用平面来表达四维坐标系，所以采取其投影即三维空间的方法来构建模型。
把人的阈值xk抽离出来，分别标记0系坐标系（即当xk=0时，(yk,zk,wk)的空间坐标），和1系坐标系，可允许状态点如下标示（红色点）：由于a=1是恒成立的，所以，决策是0系坐标系和1系坐标系的点集间的连接，而非任意坐标系内部的连接。
如图1所示，两正方体中心重合，且对应顶点的连线通过中心，称为二合正方体（四维空间不具有包性，即a/b两正方体并没有包含的关系）。
二合正方体的一个顶点为（a,b），称为共顶点，即二合正方体共有8个共顶点。