2023年重庆市中考数学真题试卷(A卷)附解答

2023年重庆市中考数学试卷（A 卷）一、选择题：（本大题10个小题,每小题4分,共40分）．1. 8的相反数是（ ）A. 8-B. 8C. 18D. 18- 2. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,从正面得到的视图是（ ）A. B. C. D.3. 反比例函数4y x=-的图象一定经过的点是（ ） A. ()14， B. ()14--， C. ()22-， D. ()22， 4. 若两个相似三角形周长的比为1:4,则这两个三角形对应边的比是（ ）A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:16 5. 如图,,⊥∥AB CD AD AC ,若155∠=︒,则2∠的度数为（ ）A. 35︒B. 45︒C. 50︒D. 55︒6. 的值应在（ ）A. 7和8之间B. 8和9之间C. 9和10之间D. 10和11之间 7. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案用了9根木棍,第②个图案用了14根木棍,第③个图案用了19根木棍,第④个图案用了24根木棍,……,按此规律排列下去,则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）A. 39B. 44C. 49D. 54 8.如图,AC 是O 的切线,B 为切点,连接OA OC ，．若30A ∠=︒,AB =3BC =,则OC 的长度是（ ）A. 3B.C.D. 6 9. 如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在BC ,CD 上,连接AE ,AF ,EF ,45EAF ∠=︒．若BAE α∠=,则FEC ∠一定等于（ ）A. 2αB. 902α︒-C. 45α︒-D. 90α︒-10. 在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中,对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号,添加绝对值符号后仍只有减法运算,然后进行去绝对值运算,称此为“绝对操作”．例如：x y z m n x y z m n ----=--+-,x y z m n x y z m n ----=---+,……． 下列说法：①存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：（本大题8个小题,每小题4分,共32分）．11. 计算1023-+=_____.12. 如图,在正五边形ABCDE 中,连接AC ,则∠BAC 的度数为_____．13. 一个口袋中有1个红色球,有1个白色球,有1个蓝色球,这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球,记下颜色后放回,摇匀后再从中随机摸出一个球,则两次都摸到红球的概率是___________ ．14. 某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个,并按计划逐月增长,预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ,根据题意,可列方程为___________．15. 如图,在Rt ABC △中,90BAC ∠=,AB AC =,点D 为BC 上一点,连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ,过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若4BE =,1CF =,则EF 的长度为___________．16. 如图,O 是矩形ABCD 的外接圆,若4,3AB AD ==,则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）17. 若关于x 的一元一次不等式组+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩,至少有2个整数解,且关于y的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解,则所有满足条件的整数a 的值之和是___________． 18. 如果一个四位自然数abcd 的各数位上的数字互不相等且均不为0,满足ab bc cd -=,那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129,∵411229-=,∴4129是“递减数”；又如：四位数5324,∵53322124-=≠,∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a312,则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除,则满足条件的数的最大值是___________．三、解答题：（本大题8个小题,第19题8分,其余每题各10分,共78分）． 19. 计算：（1）()()()211a a a a -++-；（2）22.211x x x x x x ⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭20. 学习了平行四边形后,小虹进行了拓展性研究．她发现,如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线,那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规,作AC 的垂直平分线交DC 于点E ,交AB 于点F ,垂足为点O ．（只保留作图痕迹）已知：如图,四边形ABCD 是平行四边形,AC 是对角线,EF 垂直平分AC ,垂足为点O ． 求证：OE OF =．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形,∴DC AB ∥．∴ECO ∠= ① ．∵EF 垂直平分AC ,∴ ② ．又EOC ∠=___________③ ．∴()COE AOF ASA ∆≅∆．∴OE OF =．小虹再进一步研究发现,过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线 ④ ．21. 为了解A 、B 两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间,有关人员分别随机调查了A 、B 两款智能玩具飞机各10架,记录下它们运行的最长时间（分钟）,并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x 表示,共分为三组：合格6070x ≤<,中等7080x ≤<,优等80x ≥）,下面给出了部分信息：A 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60,64,67,69,71,71,72,72,72,82B 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70,71,72,72,73两款智能玩具飞机运行最长时间统计表,B 款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图根据以上信息,解答下列问题：（1）上述图表中=a ___________,b =___________,m =___________；（2）根据以上数据,你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A 款智能玩具飞机200架、B 款智能玩具飞机120架,估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？22. 某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份,此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元,求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整,现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品,已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％,每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元,求购买牛肉面多少份？23. 如图,ABC ∆是边长为4的等边三角形,动点E ,F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发,点E 沿折线A B C →→方向运动,点F 沿折线A C B →→方向运动,当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒,点E ,F 的距离为y ．（1）请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象,写出点E ,F 相距3个单位长度时t 的值．24. 为了满足市民的需求,我市在一条小河AB 两侧开辟了两条长跑锻炼线路,如图；①A D C B ---；②A E B --．经勘测,点B 在点A 的正东方,点C 在点B 的正北方10千米处,点D 在点C 的正西方14千米处,点D 在点A 的北偏东45︒方向,点E 在点A 的正南方,点E 在点B 的南偏西60︒方向． 1.73)≈（1）求AD 的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因,小明决定选择一条较短线路进行锻炼,请计算说明他应该选择线路①还是线路②？25. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线22y ax bx =++过点()1,3,且交x 轴于点()1,0A -,B 两点,交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点,过点P 作PD BC ⊥于点D ,过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ,求PDE ∆周长的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中PDE ∆周长取得最大值的条件下,将该抛物线沿射线CB 位长度,点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ,使得以点A ,P ,M ,N 为顶点的四边形是菱形,写出所有符合条件的点N 的坐标,并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．26. 在ABC Rt ∆中,90ACB ∠=︒,=60B ∠︒,点D 为线段AB 上一动点,连接CD ．（1）如图1,若9AC =,BD =求线段AD 的长．（2）如图2,以CD 为边在CD 上方作等边CDE ∆,点F 是DE 的中点,连接BF 并延长,交CD 的延长线于点G ． 若G BCE ∠=∠,求证：GF BF BE =+．（3）在CD 取得最小值的条件下,以CD 为边在CD 右侧作等边CDE ∆．点M 为CD 所在直线上一点,将BEM ∆沿BM 所在直线翻折至ABC ∆所在平面内得到BNM ∆． 连接AN ,点P 为AN 的中点,连接CP ,当CP 取最大值时,连接BP ,将BCP ∆沿BC 所在直线翻折至ABC ∆所在平面内得到BCQ ∆,请直接写出此时NQ CP的值． 2023年重庆市中考数学试卷（A 卷）答案一、选择题．1. A2. D3. C4. B5. A6. B=4=+∵2 2.5<<∴45<<∴849<+<故选：B ．7. B8. C解：连接OB∵AC 是O 的切线,B 为切点∴OB AC ⊥∵30A ∠=︒,AB =∴在Rt OAB 中,tan 2OB AB A =⋅∠== ∵3BC =∴在Rt OBC 中,OC ==故选C ．9. A解：将ADF ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ABH ∆∵四边形ABCD 是正方形∵AB AD =,90B D BAD C ∠=∠=∠=∠=︒由旋转性质可知：DAF BAH ∠=∠,90D ABH ∠=∠=︒,AF AH =∵180AHB ABC ∠+∠=︒∵点H B C ，，三点共线∵BAE α∠=,45EAF ∠=︒,90BAD HAF ∠=∠=︒∵45DAF BAH α∠=∠=︒-,45EAF EAH ∠=∠=︒∵90AHB BAH ∠+∠=︒∵45AHB α∠=︒+在AEF 和AEH 中AF AH FAE HAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵()AFE AHE SAS ≌∵45AHE AFE α∠=∠=︒+∵45AHE AFD AFE α∠=∠=∠=︒+∵902DFE AFD AFE α∠=∠+∠=︒+,∵90DFE FEC C FEC ∠=∠+∠=∠+︒∵2FEC α∠=故选：A ．10. C解：∵x y z m n >>>> ∴x y z m n x y z m n ----=----∴存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式相等故①正确；根据绝对操作的定义可知：在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中,经过绝对操作后,z n m 、、的符号都有可能改变,但是x y 、的符合不会改变∴不存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式之和为0,故②正确；∵在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中,经过“绝对操作”可能产生的结果如下： ∴x y z m n x y z m n ----=----x y z m n x y z m n ----=-+--x y z m n x y z m n x y z m n ----=----=--+-x y z m n x y z m n x y z m n ----=----=---+x y z m n x y z m n ----=-+-+共有5种不同运算结果故③错误；故选C ．二、填空题．11. 1.512. 36°解：正五边形内角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540° ∴5401085B ︒︒∠== ∴180B 1801083622BAC ︒︒︒︒-∠-∠===. 故答案为36°．13. 1914. ()2150111815x +=解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ,根据题意得()2150111815x +=故答案为：()2150111815x +=.15. 3解： ∵90BAC ∠=︒∴90EAB EAC ∠+∠=︒∵BE AD ⊥,CF AD ⊥∴90AEB AFC ∠=∠=︒∴90ACF EAC ∠+∠=︒∴ACF BAE ∠=∠在AFC △和BEA △中： AEB CFA ACF BAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS AFC BEA ≌△△ ∴4,1AF BE AE CF ====∴413EF AF AE =-=-=故答案为：3．16. 25124π- 解：连接BD∵四边形ABCD 是矩形∴BD 是O 的直径∵4,3AB AD ==∴5BD == ∴O 的半径为52∴O 的面积为254π,矩形的面积为3412⨯= ∴阴影部分的面积为25124π-； 故答案为25124π-；17. 4 解：+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩①②解不等式①得：5x ≤ 解不等式②得：1+2a x ≥∵不等式的解集为1+52a x ≤≤ ∵不等式组至少有2个整数解 ∵1+42a ≤ 解得：6a ≤；∵关于y 的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解∴()1422a y ---= 解得：12a y -=即102a -≥且122a -≠ 解得：1a ≥且5a ≠∵a 的取值范围是16a ≤≤,且5a ≠∵a 可以取：1,3∵134+=故答案为：4．18. ∵ 4312 ∵ 8165解：∵ a312是递减数∴1033112a +-=∴4a =∴这个数为4312；故答案为：4312. ∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除∴101010a b b c c d +--=+ ∵1001010010abc bcd a b c b c d +=+++++ ∴110010110100110001abc bcd a b c b b a b a b c +=++++++--=∵()11010199112a b a b a b +=+++,能被9整除∵112a b +能被9整除∵各数位上的数字互不相等且均不为0∴12345678,,,,,,,87654321a a a a a a a a b b b b b b b b ========⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨========⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩∵最大的递减数∴8,1a b ==∴1089110c c d ⨯-⨯-=+,即：1171c d +=∴c 最大取6,此时5d =∵这个最大的递减数为8165．故答案为：8165．三、解答题．19. （1）21a -（2）11x + 20. 作图：见解析；FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；被平行四边形一组对边所截,截得的线段被对角线中点平分解：如图,即为所求；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴DC AB ∥．∴ECO ∠= FAO ∠．∵EF 垂直平分AC∴AO CO =．又EOC ∠=FOA ∠．∴()COE AOF ASA ≅．∴OE OF =．故答案为：FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截,截得的线段被对角线中点平分.故答案为：被平行四边形一组对边所截,截得的线段被对角线中点平分．21. （1）72,70.5,10；（2）B 款智能玩具飞机运行性能更好；因为B 款智能玩具飞机运行时间的方差比A 款智能玩具飞机运行时间的方差小,运行时间比较稳定；（3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．【小问1详解】解：由题意可知10架A 款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中,只有72出现了三次,且次数最多,则该组数据的众数为72,即72a =；由B 款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知,合格的百分比为40%则B 款智能玩具飞机运行时间合格的架次为：1040%4⨯=（架）则B 款智能玩具飞机运行时间优等的架次为：10451--=（架）则B 款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为：70,71故B 款智能玩具飞机运行时间的中位数为：707170.52+= B 款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为：1100%10%10⨯= 即10m =故答案为：72,70.5,10；【小问2详解】B 款智能玩具飞机运行性能更好；因为B 款智能玩具飞机运行时间的方差比A 款智能玩具飞机运行时间的方差小,运行时间比较稳定；【小问3详解】200架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：620012010⨯=（架） 200架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：61207210⨯=（架） 则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：12072192+=架答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．22. （1）购买杂酱面80份,购买牛肉面90份（2）购买牛肉面90份【小问1详解】解：设购买杂酱面x 份,则购买牛肉面()170x -份由题意知,()152********x x +⨯-=解得,80x =∴17090x -=,∴购买杂酱面80份,购买牛肉面90份；【小问2详解】解：设购买牛肉面a 份,则购买杂酱面1.5a 份由题意知,1260120061.5a a+= 解得90a =经检验,90a =是分式方程的解∴购买牛肉面90份．23. （1）当04t <≤时,y t =；当46t <≤时,122y t =-；（2）图象见解析,当04t <≤时,y 随x 的增大而增大（3）t 的值为3或4.5【小问1详解】解：当04t <≤时连接EF由题意得AE AF =,60A ∠=︒∴AEF △是等边三角形∴y t =；当46t <≤时,122y t =-；【小问2详解】函数图象如图：当04t <≤时,y 随x 的增大而增大；【小问3详解】当04t <≤时,3y =即3t =；当46t <≤时,3y =即1223t -=,解得 4.5t =故t 的值为3或4.5．24. （1）AD 的长度约为14千米（2）小明应该选择路线①,理由见解析【小问1详解】解：过点D 作DF AB ⊥于点F由题意可得：四边形BCDF 是矩形∴10DF BC ==千米∵点D 在点A 的北偏东45︒方向∴O DAN DAF 45=∠=∠ ∴1421045sin ≈==oDF AD 千米 答：AD 的长度约为14千米；【小问2详解】由题意可得：10BC =,14CD =∵路线①的路程为：3824210≈+=++BC DC AD （千米）∵10DF BC ==,O DAN DAF 45=∠=∠,90DFA ∠=︒∴DAF △为等腰直角三角形,∴10AF DF ==,∴101424AB AF BF AF DC由题意可得O EBS 60=∠∴60E ∠=︒ ∴83tan 60AB AE ,163sin 60AB BE所以路线②的路程为：42324≈=+BE AE 千米∴路线①的路程<路线②的路程 故小明应该选择路线①．25. （1）213222y x x =-++ （2）PDE∆此时点()2,3P （3）以点A ,P ,M ,N 为顶点的四边形是菱形时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭或1,22⎛ ⎝⎭或1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【小问1详解】把()1,3、()1,0A -代入22y ax bx =++得,3202a b a b =++⎧⎨=-+⎩ 解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵抛物线的表达式为213222y x x =-++； 【小问2详解】延长PE 交x 轴于F∵过点P 作PD BC ⊥于点D ,过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E∴DEP BCO ∠=∠,90PDE COB ∠=∠=︒∴DPE OBC ∵DPE PE OBC BC =周长周长 ∵PE DPE OBC BC =⋅周长周长 ∵当PE 最大时PDE △周长的最大∵抛物线的表达式为213222y x x =-++ ∵()4,0B∵直线BC 解析式为122y x =-+,BC =设213,222P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,则1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ∴()222131112222222222PE m m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪⎝⎭∵当2m =时2PE =最大,此时()2,3P∵BOC 周长为6OC OB BC ++=+∵PDE △(6+=,此时()2,3P即PDE △此时点()2,3P ； 【小问3详解】∵将该抛物线沿射线CB,可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度 ∴平移后的解析式为()()221317222142222y x x x x =--+-+-=-+-,此抛物线对称轴为直线72x = ∵设7,2M n ⎛⎫⎪⎝⎭,(),N s t∵()2,3P ,()1,0A - ∴218PA =,()()22227923324PM n n ⎛⎫=-+-=+- ⎪⎝⎭ ()22227811024AM n n ⎛⎫=++-=+ ⎪⎝⎭当PA 为对角线时,此时以点A ,P ,M ,N 为顶点的四边形是菱形∴PA 与MN 互相平分,且PM AM = ∵()22981344n n +-=+,解得32n =- ∵PA 中点坐标为2130,22-+⎛⎫ ⎪⎝⎭,MN 中点坐标为72,22s n t ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭∵7123s n t ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得5292s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 此时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当PA 为边长且AM 和PN 是对角线时,此时以点A ,P ,M ,N 为顶点的四边形是菱形 ∴AM 与PN 互相平分,且PMPA = ∵()293184n +-=,解得3n =±∵PN 中点坐标为23,22s t ++⎛⎫ ⎪⎝⎭,AM 中点坐标为7102,22n ⎛⎫- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭∵721230s t n ⎧+=-⎪⎨⎪+=+⎩,解得12s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩此时12N ⎛ ⎝⎭或1,2N ⎛ ⎝⎭； 同理,当PA 为边长且AN 和PM 是对角线时,此时以点A ,P ,M ,N 为顶点的四边形是菱形 ∴AN 和PM 互相平分,且AM PA =281184n +=,此方程无解； 综上所述,以点A ,P ,M ,N 为顶点的四边形是菱形时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭或12⎛ ⎝⎭或1,22⎛- ⎝⎭；26. （1）（2）见解析（3【小问1详解】解：在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,=60B ∠︒∴sin AC AB B ===∵BD =∴AD AB BD =-=【小问2详解】证明：如图所示,延长FB 使得FH FG =,连接EH∵F 是DE 的中点则DF FE =,FH FG =,GFD HFE ∠=∠∵()SAS GFD HFE ≌∵H G ∠=∠∵EH GC ∥∴60HEC ECD ∠=∠=︒∵DEC 是等边三角形∵60DEC EDC ∠=∠=︒∵60DEC DBC ==︒∠∠∵,,,B C D E 四点共圆∵EDB BCE ∠=∠,BEC BDC ∠=∠∴6060BEH BEC BDC EDB ∠=︒-∠=︒-∠=∠∵G BCE BDE H ∠=∠=∠=∠∴H BEH ∠=∠∴EB BH =∴FH FG BF BH BF EB ==+=+；【小问3详解】解：如图所示,在CD 取得最小值的条件下,即CD AB ⊥设4AB a =,则2BC a =,AC =∴AC BC CD AB ⨯===,12BD BC a == ∵将BEM 沿BM 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BNM ． ∴BE BN =∴点N 在以B 为圆心,a 为半径的圆上运动取AB 的中点S ,连接SP则SP 是ABN 的中位线∴P 在半径为12a 的S 上运动当CP 取最大值时,即,,P S C 三点共线时,此时如图,过点P 作PT AC ⊥于点T ,过点N 作NR AC ⊥于点R∵S 是AB 的中点,60ABC ∠=︒∴SC SB BC ==∴BCS △是等边三角形则60PCB ∠=︒∴30PCA ACB BCP ∠=∠-∠=︒∵2BC a =,4AB a =∴2CS BC a ==,12PS a =∴52PC a =,15sin 24PT PC PCT PC a =⨯∠==,TC ==∵AC =∴AT = 如图所示,连接PQ ,交NR 于点U ,则四边形PURT 是矩形∴PU AR ∥,P 是AN 的中点 ∴1NU NP UR PA== 即PD 是ANR 的中位线,同理可得PT 是ANR 的中位线 ∴54NU UR PT a ===, 12PU AR AT === ∵BCS △是等边三角形,将BCP 沿BC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BCQ ∴2120QCP BCP ∠=∠=︒,∴PQ ===则UQ PQ PU =-=-= 在Rt NUQ 中,2NQ a ===∴252a NQ CP a ==。