高中数学第二章空间向量与立体几何2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理(2)课件北师大版选修2_1
学 习 目 标 思 维 1.理解 空间向量基本定理及 其意义. 2.掌握 在简单问题中选用空 间三个不共面的向量作为 基底表示其他向量. 3.能体会 从平面到空间的过 程,进一步培养对空间图形 的想象能力.
脉 络
空间向量基本定理
名师点拨理解空间向量基本定理应注意: (1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底,同时 一个基底是一个向量组,而不是单指一个向量. (2)由于0可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量 共面,所以三个向量不共面就隐含着它们都不是0. (3)空间向量基本定理说明,用空间不共面的三个已知向量a,b,c可 以线性表示空间的任意一个向量,而且表示的结果是唯一的.
2e1-e2+3e3=p(e1+2e2-e3)+q(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3) =(p-3q+z)e1+(2p+q+z)e2+(-p+2q-z)e3, ∵e1,e2,e3为空间的一个基底, ������ = 17, ������-3������ + ������ = 2, ∴ 2������ + ������ + ������ = -1, 解得 ������ = -5, ������ = -30, -������ + 2������-������ = 3,
答案
思维辨析
用基底表示向量 【例 2】如图,在四面体 O-ABC 中,G,H 分别是△ABC,△OBC 的重 心,设������������=a,������������ =b,������������=c,试用向量 a,b,c 表示向量������������和������������.
思维点拨:判断������������, ������������, ������������能否作为空间的一个基底,关键是判断 ������������, ������������, ������������是否共面,解决此题可利用反证法. 解:假设������������, ������������, ������������共面,由向量共面的充要条件知存在实数 x,y,使 ������������=x������������+y������������成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
基底的判断 【例 1】 已知 e1,e2,e3 是空间的一个基底,且 ������������=e1+2e2-e 3,������������ =-3e1+e2+2e 3,������������=e1+e2-e3,试判断:������������, ������������, ������������能 否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量������������ =2e1-e2+3e 3; 若不能,请说明理由.
【做一做】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1
的中心,若������������ = ������������1 +x������������+y������������,则 x,y 的值分别为( A.x= 1,y=1
1 2 1 1 C.x= ,y= 2 2 1 D.x= ,y=1 2
∴������������ =17������������-5������������ -30������������.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟判断三个向量能否作为基底,关键是判断它们是否共面, 若从正面判断难以入手,可以用反证法结合共面向量定理或利用常 见的几何图形帮助进行判断.
探究一
∴e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2xy)e3, ∵e1,e2,e3是空间的一个基底,∴e1,e2,e3不共面,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
-3������ + ������ = 1, ∴ ������ + ������ = 2, 此方程组无解, 2������-������ = -1, 即不存在实数 x,y 使������������=x������������ +y������������,∴ ������������, ������������ , ������������ 不共面 . 故������������, ������������ , ������������ 能作为空间的一个基底. 设������������ =p������������+q������������ +z������������,则有
)
B.x=1,y=
答案:C
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)已知A,B,M,N是空间四点,若 ������������, ������������ , ������������ 不能构成空间的一个 基底,则A,B,M,N共面. ( √ ) (2)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0, 则x=y=z=0. ( √ ) (3)选用不同的基底,同一向量的表达式不同. ( √ ) (4)基底中的三个向量可以有零向量. ( × )
思维点拨:要用向量 a,b,c 表示向量������������,就要找到一组有序实数 x,y,z,使 ������������ =xa+yb+zc,这主要用向量的加法和减法的性质,由向量 ������������ 入手,看一看向量������������可以由哪些向量的和或差得到.
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一组基底,给 出下列向量组:①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c}.其中可 以作为空间的基底的向量组有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:如图所示,设 a=������������,b=������������1 ,c=������������,则 x=������������1 ,y= ������������1 ,z= ������������ ,a+b+c=������������1 ,由 A,B1,C,D 1 四点不共面,可知向量 x,y,z 也不共面,同理可知 b,c,z 和 x,y,a+b+c 也不共面.
空间向量与立体几何知识总结(高考必备!)
y k iA(x,y,z)O jxz 空间向量与立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k（单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．二、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（3）//a b b a λ⇔= 112233()b a b a R b aλλλλ=⎧⎪⇔=∈⎨⎪=⎩三、空间向量直角坐标的数量积1、设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量><b a b a ,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，即b a ⋅＝><b a b a ,cos |||| 规定：零向量与任一向量的数量积为0。
高中数学知识点总结大全空间向量与立体几何
⾼中数学知识点总结⼤全空间向量与⽴体⼏何⾼中数学知识点总结空间向量与⽴体⼏何⼀、考点概要：1、空间向量及其运算（1）空间向量的基本知识：①定义：空间向量的定义和平⾯向量⼀样，那些具有⼤⼩和⽅向的量叫做向量，并且仍⽤有向线段表⽰空间向量，且⽅向相同、长度相等的有向线段表⽰相同向量或相等的向量。
②空间向量基本定理：ⅰ定理：如果三个向量不共⾯，那么对于空间任⼀向量，存在唯⼀的有序实数组x、y、z，使。
且把叫做空间的⼀个基底，都叫基向量。
ⅱ正交基底：如果空间⼀个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。
ⅲ单位正交基底：当⼀个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常⽤表⽰。
ⅳ空间四点共⾯：设O、A、B、C是不共⾯的四点，则对空间中任意⼀点P，都存在唯⼀的有序实数组x、y、z，使。
③共线向量（平⾏向量）：ⅰ定义：如果表⽰空间向量的有向线段所在的直线互相平⾏或重合，则这些向量叫做共线向量或平⾏向量，记作。
ⅱ规定：零向量与任意向量共线；ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平⾏的充要条件是：存在实数λ，使。
④共⾯向量：ⅰ定义：⼀般地，能平移到同⼀平⾯内的向量叫做共⾯向量；空间的任意两个向量都是共⾯向量。
ⅱ向量与平⾯平⾏：如果直线OA平⾏于平⾯或在α内，则说向量平⾏于平⾯α，记作。
平⾏于同⼀平⾯的向量，也是共⾯向量。
ⅲ共⾯向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共⾯的充要条件是：存在实数对x、y，使。
ⅳ空间的三个向量共⾯的条件：当、、都是⾮零向量时，共⾯向量定理实际上也是、、所在的三条直线共⾯的充要条件，但⽤于判定时，还需要证明其中⼀条直线上有⼀点在另两条直线所确定的平⾯内。
ⅴ共⾯向量定理的推论：空间⼀点P在平⾯MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意⼀定点O，有。
⑤空间两向量的夹⾓：已知两个⾮零向量、，在空间任取⼀点O，作，（两个向量的起点⼀定要相同），则叫做向量与的夹⾓，记作，且。
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
1:如何确定空间中点的坐标? (对空间任一点 P(x,y,z),如图(1)所示,过 P 作面 xOy 的垂线,垂足 为 P',在面 xOy 中,过 P'分别作 x 轴,y 轴的垂线,垂足分别为 A,C, 则|x|=P'C,|y|=AP',|z|=PP'.
比如在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AB=3,AD=2,AA1=1,则 B1(2,3,1),B(2,3,0),C1(0,3,1),A1(2,0,1),如图(2))
空间向量基本定理的应用
【例 3】 如图所示,在空间四边形 OABC 中,其对角 线为 OB、AC,M 为 OA 的中点,D 为 BC 的中点,G 为 △ABC 的重心,用向量 OA , OB , OC 表示 MG .
解:∵G 为△ABC 的重心,
1 ∴ AG = AD , 3
(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影.
2:投影是向量还是数量? (投影是数量,可正可负可为 0)
三、空间向量基本定理
3:在上述实例②中,向量 p 如何用向量 a,b,c 表示?
(p= AB + AD + AA1 =a+b+c)
3:(1)如果向量 e1、 e2、 e3 是空间三个不共面的向 量,a 是空间任一向量,那么存在唯一一组实数λ 1、λ 2、λ
BA = BA + AA =- OC + OO =c-b, CA = CA + AA = OA - OC + OO =a-b+c.
高中数学 2空间向量与立体几何(带答案)
空间向量与立体几何一．空间向量及其运算1．空间向量及有关概念（1）共线向量定理：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a 平行于b 记作a ∥b。
推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式 A O P O =a t+①其中向量a叫做直线l 的方向向量。
在l 上取a AB =，则①式可化为.)1(OB t OA t OP +-=②当21=t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(21OB OA OP += ③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。
（2）向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a在α平面内，我们就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α。
注意：向量a∥α与直线a ∥α的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使.b y a x p+=①推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使,MB y MA x MP +=④或对空间任一定点O ，有.MB y MA x OM OP ++=⑤在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。
①式叫做平面MAB 的向量表示式。
又∵.,OM OA MA -=.,OM OB MB -=代入⑤，整理得.)1(OB y OA x OM y x OP ++--= ⑥由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA 、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。
2.3.2《空间向量基本定理》线上课程课件-北师大版高中数学选修2-1
2
2
= 1 AD + AC AB 2
（2）MN = 1 CD = 1 AD AC
2
2
EF MN = 1 AD + AC AB 1 AD AC
2
2
= 1
2
2
AD AC
=0
4
江西省新余市第一中学
刘斌
03 问题探究
如果向量e1 ,e2 ,e3是空间三个 不共面 的向量, a 是空间任一向量,
05 典例讲评
练习2 .如图，已知三棱锥O - ABC ,M 为 AB 中点, N为OM中点，OA OB OC 1 , 且OA,OB,OC 两两垂直，
(1)试用AO, AB, AC 表示CN ;
解: (1)
因为 CN = AN AC
= 1 AO AM AC 2
=
1 2
AO
1 2
AB
面的向量作为基底表 2.从上节课的空间向量的正交分解到本节课的空间向量基本
示其它向量，并解决 定理，体会从特殊到一般的辩证唯物主义.
一些简单问题
07 课后作业
1. O, A,B,C 为空间中的四点，且 向量 OA,OB,OC 不能构成空间中 的一个基底，则（ ） A. OA,OB,OC 共线 B. OA,OB 共线 C.OB,OC 共线 D.O, A,B,C四点共面
c = λa + μb λ, μ R且λμ 0 ,
则 a,b,c 构成空间的一个基底.
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] ①为真命题,构成基底的向量
必须不共面; ②为真命题;
③为假命题,a,b不共线,
当 c = λa + μb λ, μ R且λμ 0 ,
空间向量的分解与坐标表示 教学设计高二下学期数学湘教版(2019)选择性必修第二册
第二章空间向量与立体几何2．3空间向量基本定理及坐标表示2．3.1空间向量的分解与坐标表示新课程标准解读核心素养1．了解空间向量的基本定理及其意义数学抽象、直观想象2．掌握空间向量的正交分解及坐标表示数学抽象、数学运算教学设计一、目标展示二、情境导入如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3.问题(1)e1，e2，e3共面吗？―→(2)如何用e1，e2，e3表示向量AC1三、合作探究知识点一共面向量1．一般地，能平移到同一个平面内的向量叫作共面向量．2．向量共面的充要条件(1)如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x e1＋y e2．这就是说，向量p可以用两个不共线的向量e1，e2线性表示．(2)在三个向量a，b，c中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面．知识点二空间向量基本定理1．设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝x e1＋y e2＋z e3，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝x e1＋y e2＋z e3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′．2．我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量．(x，y，z)称为向量p＝x e1＋y e2＋z e3在基{e1，e2，e3}下的坐标．知识点三空间向量的直角坐标表示1．标准正交基空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基．2．空间向量的直角坐标表示(1)在空间中任意取一点O 为原点，分别以标准正交基{i ，j ，k }中三个基向量的方向为三条坐标轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系．将任意空间向量p ＝(x ，y ，z )＝x i ＋y j ＋z k 用从原点O 出发的有向线段OP ―→表示，则有向线段的终点P 对应于这个向量p .(2)向量p ＝OP ―→在标准正交基{i ，j ，k }下的坐标(x ，y ，z )就是点P 在这个直角坐标系中的坐标．(3)标准正交基的基向量的坐标分别是i ＝(1，0，0)，j ＝(0，1，0)，k ＝(0，0，1)．(4)一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标．(5)向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标．四、精讲点拨【例1】 已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，确定在下列条件下，点P 是否与A ，B ，M 一定共面．(1)OM ―→＋OB ―→＝3OP ―→－OA ―→；(2)OP ―→＝4OA ―→－OB ―→－OM ―→.【例2】 (1)下列能使向量MA ―→，MB ―→，MC ―→成为空间的一组基的关系式是( )A ．OM ―→＝13OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→ B ．MA ―→＝MB ―→＋MC ―→C ．OM ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→D ．MA ―→＝2MB ―→－MC ―→(2)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一组基，给出下列向量：①{a ，b ，x }；②{b ，c ，z }；③{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【例3】 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.。
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由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．，取直线l的方向向量a，则向量及一个向量a，那么经过点A以向量用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：的方向向量分别是a，b，平面α ，β 的法向量分别是，k∈R；0；0；，k∈R；k∈R；＝0．用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：，b是两条异面直线，过空间任意一点分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂．理解直线的方向向量与平面的法向量．．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得RS k PQ =如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．PA 1， ∴),34,0,0()2,00(32321===AA AP ⋅)同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(2要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－1，1，4)，＝(－1，EF AK OG 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)C (0，2，0)，N (2，2，1)．),1,0,2(),2,1,0(=CN 所成的角为θ ，则CN ,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ．B P ∥MA ，B Q ∥NC ，所成的角．6,522=+==QC PC PQ Q空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，取A 1B 1的中点D ，则，连接AD ，C ⋅))2,2,0(a a D ),2,0,0(),0,,0(),0,0,231a AA a AB a ==,011=⋅AA DC 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，PB的中点D，连接CD，作AE⊥PB于E．，PA⊥AC，2，∴CD⊥PB．DC夹角的大小就是二面角A－PB－C的大小．,0(),0,0,2(),0,-==CP CB ＝(a 1，a 2，a 3)，(b 1，b 2，b 3)．＝1，得).0,2,1(-=a 得取b 3＝1，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 3如图建立空间直角坐标系．，由已知可得A (0，0，0)，),0,23,0(),0,23,21(a C a a B -),0,0,21(),,0,0a BC a =∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．,0PAC ．的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点．⋅)21,43,0(),21,3a a E a a ⊥平面PAC ，(B)θ ＞ϕ(D)θ ＜ϕ中，E，F，G，H分别为所成角的大小是______．6，且对角线与底面所成角的余弦值为D1中，AA1＝2AB，则异面直线1本文下载后请自行对内容编辑修改删除，的底面是直角梯形，∠BAD＝90°，，PA⊥底面ABCD，PD所成的角为θ ，则cosθ ＝______．C1D1中，AA1＝2AB＝4，点平面角的余弦值．中，底面ABCD是边长为OA的中点，N为BC的中点．OCD；所成角的大小．平面角的余弦值．习题1和平面α ，下列命题正确的是( α (B)若a ∥α (B)38000(D)4000cm 2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为( )(C)223本文下载后请自行对内容编辑修改删除，C11；平面角的余弦值．PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC MAB；C ；ABB 1；的体积．中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面SD ＝2．点M 在侧棱SC 上，∠的中点；的平面角的余弦值．练习1-3D ．42本文下载后请自行对内容编辑修改删除，，0)，E (0，2，1)，A 1).4∴A 1C ⊥BD ，A 1C ,0=⊥平面DBE ．是平面DA 1E 的法向量，则，得n ＝(4，1，－2)．14，,22(),0,22,0(-D P =-=),2,22,0(OD OP n ＝(x ，y ，z )，则⋅OP n 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，是CA 和平面α 所成的角，则∠，CO ＝1．3=AO ABO ＝∠BAO ＝45°，∴=AO BO ).1,0,0(),0,3,0(),C A ).1,3,0(-=AC 是平面ABC 的一个法向量，取x ＝1，得=+=-,03,033z y y x 1=n 是平面β 的一个法向量．AB 1＝E ，连接DE ．四边形A 1ABB 1是正方形，是BC 的中点，∴DE ∥A 平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面⊄解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1，⋅-)1,0,21(),01B 是平面A 1BD 的一个法向量，,01=D B 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1).0=1234是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN 平面A 1ABB 1，∴MN ⊄MH ．MH ∥A 1B 1，，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴的体积==⋅⋅∆3111MH S V B BC A (，0，0)，则B (22，),12,12,2(λλ++--=BM 故.60 >=BM |.BA BM =解得λ ＝,)12()1222λλ+++-的中点．，0，0)得AM 的中点22(G 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，。
高中数学课件-2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理 第2课时 课件(北师大版选修2-1)
＝(－a,0，b2)，A→G＝(－a,0，b2)，B→C＝(－a,0,0)．
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)|E→F|＝
－a2＋02＋b42＝
4a2＋b2 2.
(2)cos〈A→G，B→C〉＝|A→A→GG|··B|→B→CC|＝
a2a＋2 b42·a＝
2a 4a2＋b2.
第二章 2.3 第2课时
[点评] 此类问题考查了空间向量的运算，考查了转化与 化归的思想．值得注意的是：①要建立合适的坐标系，使运算 简便；②要在运算时别出错．
第二章 2.3 第2课时
重点难点点拨
第二章 2.3 第2课时
本节重点：空间向量的坐标运算，空间向量平行和垂直、 夹角、长度的坐标计算公式．
本节难点：空间向量平行、垂直的条件及两个向量的夹 角、向量长度的坐标计算公式．
第二章 2.3 第2课时
知能自主梳理
第二章 2.3 第2课时
1．空间向量坐标运算的法则 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 a＋b＝_(x_1_＋__x_2_，__y1_＋__y_2_，__z_1＋__z_2_) _ ； a－b＝(_x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2，__z_1_－__z_2)__ ； λa＝_____(λ_x_1_，__λ_y_1，__λ_z_1_)(_λ_∈__R_)_ ； 空间向量平行的坐标表示为a∥b(b≠0)⇔x1＝λx2，y1＝λy2， z1＝λz2(λ∈R)．
第二章 2.3 第2课时
综合应用 已知 a＝(－1,2 5，2)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb， 并且实数 t 满足关于 x 的方程 x2－2tx＋2t2－7t＋12＝0 有实根． (1)当|c|取最小值时，求 t 的值； (2)在(1)的情况下，求向量 b 与 c 的夹角．
高中数学必修2--空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a共线的单位向量为a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
高中数学课件-2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理
(1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面． (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
第二章 2.3 第1课时
[解析] (1)由已知，得O→A＋O→B＋O→C＝3O→M， ∴O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)． ∴M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C. ∴向量M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)向量M→A，M→B，M→C共面，三个向量的基线又过同 一点 M， ∴四点 M，A，B，C 共面． ∴点 M 在平面 ABC 内．
①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}， ④{x，y，a＋b＋c}， 其中可以作为空间的基底的向量组有________个． [答案] 3 [解析] ②③④都可以作为空间的一组基底，对于①，x＝ a＋b，显然a，b，x共面，故{a，b，x}不能作为空间的一个基 底．
第二章 2.3 第1课时
A．13a＋13b＋13c
B．12a＋12b＋12c
C．a＋b＋c
D．3a＋3b＋3c
[答案] A
第二章 2.3 第1课时
[解析] 如图，取 AB 的中点 M，连结 CM，则必过 G 点， 则C→M＝12(C→A＋C→B)＝12[(O→A－O→C)＋(O→B－O→C)]＝12a＋12b－c.
C→G＝23C→M＝13a＋13b－23c， 所以O→G＝O→C＋C→G＝13a＋13b＋13c.
5．基底 (1)空间中不共面的三个向量e1、e2、e3叫作这个空间的一 个___基__底_____． (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 __基__底____． (3)如果作为空间的一个基底的三个基向量两两互相垂直， 那么这个基底叫作__正__交__基__底__．