分式方程与反比例函数
八年级上第二章数学知识点
八年级上第二章数学知识点概述八年级上册第二章是数学知识点较多的一个章节，主要讲解了分式的乘除、分式的加减、分式的化简、分式方程、正比例函数、反比例函数等重要知识点。
这些知识对于学生掌握数学基础知识，尤其是在日常生活中运用数学的过程中非常重要。
一、分式的乘除分式是数学知识的一个重要部分，它在数学中有着广泛的应用。
在乘除分式的运算中，我们需要把分母相乘或相除，然后把分子相乘或相除，最后对结果进行合理化简。
这样可以得到我们所需要的简单分式。
在运算过程中，我们需要注意分母是否为零，以及如何简化分式使得答案更加准确。
二、分式的加减分式的加减是我们在日常生活中应用最多的运算，例如在购物、比价以及账户余额计算等方面都需要运用到分式的加减运算。
在分式的加减中，我们需要首先找到所有的公因数，然后对分子进行化简，最后得到运算结果。
在具体计算的时候，还需要注意分母是否为零的情况。
三、分式的化简分式的化简在求解数学问题时也是非常重要的一个环节。
在化简过程中，我们需要把分子、分母的公因式约掉，从而使得分数的形式简单化。
同时，在化简运算时，还需要注意约分的原则和方法。
四、分式方程分式方程在数学中也是一个非常基础的知识点。
在分式方程中，我们需要把一个分式的值与一个已知的数或其他分数相等，然后通过分式的加减、乘除运算把变量求出来。
在计算分式方程的过程中，我们需要注意多种情况的处理，例如分母为零的情况、公因式处理等。
五、正比例函数和反比例函数正比例函数和反比例函数是八年级上册第二章中的重点内容之一。
这两种函数可以解决很多实际问题，例如距离、体积、面积等计算。
正比例函数的特点是变量之间成正比例关系，而反比例函数的特点是变量之间成反比例关系。
在解决问题的过程中，我们需要首先确定函数的性质，然后运用相应的解题方法，最后得出问题的答案。
综上所述，八年级上册第二章数学知识点是一个十分重要的知识点。
学生应该仔细阅读、认真理解，并在课堂上积极参与讨论，加强对这些知识点的掌握。
反比例函数与分式方程
应用场景：反比例函数常用于描述现实生活中的数量关系，如速度与距离的 关系；分式方程则更多地应用于解决实际问题，如工程、经济等领域的问题。
反比例函数与分式方程在解题中的应用
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定义：反比例函数是一种函数，其图像位于x轴和y轴之间，且在每个象限 内，随着x的增大，y的值逐渐减小。
性质：反比例函数的图像是双曲线，它的两个分支分别位于第一和第三象 限或第二和第四象限。
斜率：反比例函数的图像是关于原点对称的，因此其斜率是负的。
截距：反比例函数在y轴上的截距为0，而在x轴上的截距则取决于具体的函 数表达式。
反比例函数与分式 方程的关联：反比 例函数与分式方程 在数学中有着密切 的联系，它们在解 题中经常一起出现。
反比例函数与分式 方程的应用场景： 在解决一些实际问 题时，如物理、工 程和经济学等领域 的问题，常常需要 运用反比例函数与 分式方程的知识。
解题技巧：在解题 过程中，需要掌握 如何将实际问题转 化为数学模型，并 运用反比例函数与 分式方程的知识进
函数关系：反比例 函数和分式方程都 涉及到比例关系， 可以通过对方程进 行变形来找到这种 关系
反比例函数与分式方程的区别
定义：反比例函数是指形如 y=k/x (k≠0) 的函数，分式方程是指形如 ax+b/cx+d=e 的方程。
性质：反比例函数的图像在坐标系中是双曲线，而分式方程则表示两个未知数之间的 关系。
反比例函数的应用
物理中的反比例函数：解释了电流与电阻、电压的关系，以及电容、电感的性质。
化学中的反比例函数：描述了化学反应中反应物和生成物的浓度与反应速率的关系。
初二数学知识点归纳
初二知识点归纳第十一章全等三角形1.形状、大小相同及能够完全重合的两个三角形是全等三角形。
2.两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。
3.全等三角形的性质：对应边、对应角相等。
4.全等三角形的判定定理：三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；两边和它们的夹角相等的两个三角形全等（SAS）；两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）；对于直角三角形，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等（HL）在判定两个三角形全等时，我们应该注意：AAA和SSA（直角三角形除外）不能判定两个三角形全等。
5.角平分线的性质定理及逆定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
角内部到角两边距离相等的点在角平分线上。
第十二章轴对称1.将一个图形沿一条直线对折，若直线两旁的部分能够完全重合，那么称这个图形为轴对称图形。
称这条直线为对称轴。
2.将一个图形沿一条直线对折，若它能够与另一个图形完全重合，我们称这两个图形关于这条直线对称，这条直线称对称轴，重合的点称为对应点。
3.我们称过一条直线的中点，且与这条直线垂直的直线为中垂线。
中垂线上的点到线段两端的距离相等。
到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
4.如果两个图形关于一条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的中垂线。
5.轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线的中垂线。
6.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。
等腰三角形底边的高、底边中线和顶点的平分线重合（三线合一）。
7.等腰三角形的判定：一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。
8. 三边或三个角相等的三角形是等边三角形。
等边三角形的内角都为60度。
9. 有一个内角为60度的等腰三角形是等边三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形。
10. 在直角三角形中，若一个锐角为30度，那么他所对的直角边等于斜边的一半。
分式方程与反比例函数知识点总结
反比例函数1. 定义：形如y ＝xk （k≠0，k 为常数）的函数称为反比例函数。
其中x 是自变量，y 是因变量。
（反比例函数的解析式也可以写成: xy=k ；1-=kx y （k 为常数，k≠0））2. 反比例函数的画法：（1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义。
（2）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴。
3. 图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x 和 y= －x ；对称中心是：原点4. 性质:：函数的图像两支分别位于第二、函数的图像两支分别位于第一、说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。
2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x 轴、y 轴，但与x 轴、y 轴没有交点。
5. 反比例函数y ＝xk （k≠0）中的比例系数k 的几何意义 表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
如图，过双曲线y ＝x k （k≠0）上的任意一点P （x , y ）做x 轴、y 轴的垂线PA 、PB ， 所得矩形OBPA 的面积S=PA ·PB=∣xy ∣=∣k ∣。
推出：过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为2k6. 注意：反比例关系与反比例函数的区别和联系：如果xy=k （k≠0），那么x 与y 这两个量成反比例的关系，这里的x 、y 可以表示单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式。
例如y －1与x+1成反比例，则11+=-x k y ；若y 与x 2 成反比例，则2x k y =成反比例关系，x 和y 不一定是反比例函数；但反比例函数x k y =（k≠0）必成反比例关系。
分式方程与反比例函数知识点总结
分 式1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。
2) 分式有意义的条件：分母不为零，即坟墓中的代数式的值不能为零。
3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ） 注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。
4. 分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。
用式子表示为注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。
5. 条件分式求值1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。
例：已知 ，则求2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。
例：若 ，则求6. 分式的运算：1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
初中数学知识点全面总结
一、初一数学上册知识点：代数初步知识。
1.代数式：用运算符号“+-×÷……”连接数及表示数的字母的式子称为代数式(字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字母也是代数式)2.列代数式的几个注意事项：(1)数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“·”乘，或省略不写;(2)数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“·”乘，也不能省略乘号;(3)数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a;(4)带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×应写成a;(5)在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成的形式;(6)a与b的差写作a-b，要注意字母顺序;若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a.二、初一数学上册知识点：几个重要的代数式(m、n表示整数)。
(1)a与b的平方差是：a2-b2;a与b差的平方是：(a-b)2;(2)若a、b、c是正整数，则两位整数是：10a+b,则三位整数是：100a+10b+c;(3)若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：5m+n;偶数是：2n，奇数是：2n+1;三个连续整数是：n-1、n、n+1;(4)若b>0，则正数是:a2+b，负数是：-a2-b，非负数是：a2，非正数是：-a2.三、初一数学上册知识点：有理数。
1.有理数：(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;π不是有理数;(2)有理数的分类:①②(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性;(4)2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3.相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;(2)注意：a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b;(3)4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;(2)绝对值可表示为：绝对值的问题经常分类讨论;(3)(4)|a|是重要的非负数，即|a|≥0;注意：|a|·|b|=|a·b|,5.有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大;(2)正数永远比0大，负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数>0，小数-大数<0.四、初一数学上册知识点：有理数法则及运算规律。
中考数学必考知识点归纳
中考数学必考知识点归纳一、数与代数。
1. 有理数。
- 有理数的概念：整数和分数统称为有理数。
整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。
- 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
数轴上的点与有理数一一对应。
- 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0。
若a与b互为相反数，则a + b=0。
- 绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
即| a|=a(a≥0) -a(a<0)。
- 有理数的运算：- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。
- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。
- 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0。
- 乘方：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
a^n 中，a叫做底数，n叫做指数。
2. 实数。
- 无理数：无限不循环小数叫做无理数，如√(2)、π等。
- 实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
实数与数轴上的点一一对应。
- 实数的运算：实数的运算顺序为先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。
3. 代数式。
- 代数式的概念：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或者一个字母也是代数式。
- 整式：单项式和多项式统称为整式。
单项式是数与字母的乘积，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式是几个单项式的和。
- 整式的加减：实质是合并同类项，同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
人教版初中八年级数学知识点总结
人教版初中八年级数学知识点总结八年级数学（上）知识点人教版八年级上册主要包括全等三角形、轴对称、实数、一次函数和整式的乘除与分解因式五个章节的内容。
第十一章全等三角形一、知识框架二、知识概念1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
3.三角形全等的判定公理及推论有：（1）“边角边”简称“SAS”（2）“角边角”简称“ASA”（3）“边边边”简称“SSS”（4）“角角边”简称“AAS”（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。
4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).在学习三角形的全等时，教师应该从实际生活中的图形出发，引出全等图形进而引出全等三角形。
通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。
在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。
第十二章轴对称一、知识框架二、知识概念1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2.性质：（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）角平分线上的点到角两边距离相等。
（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
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分式方程与反比例函数
姓名： 学号：
一、选择题
1、（ ）下列方程是关于x 的分式方程的是：
A 、
14351=+-x B 、323=+x π C 、211=-x D 、3
3
2==
+x a x 2、（ ）分式方程1
6
272
22-=-++x x x x x 的解是 A 、x=1 B 、x=1 C 、2
1
=x D 、无解
3、（ ）在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司接上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，已知单独使用甲型包装箱比单独使用乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个甲型包装箱可装x 个鸡蛋，根据题意，下列方程正确的是
A 、10501000010000=+-x x
B 、1010000
5010000=--x x C 、10501000010000=--x x D 、10100005010000=-+x
x
4、（ ）如果关于x 的方程3
132--
=-x m
x 有增根，则m 的值等于 A 、－3
B 、－2
C 、－1
D 、3
5、（ ）下列函数中，不属于反比例函数的是
A 、y x 3
=
B 、()03≠-=k x
k
y C 、2
1
-=x y
D 、a xy =
6、（ ）若y 是x 的反比例函数，x 是z 的正比例函数，则y 是z 的 A 、正比例函数 B 、反比例函数
C 、一次函数
D 、不能确定
7、（ ）如果A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）、C （3x ，3y ）是反比例函数x
y 2
=图象上的点，且3210x x x <<<，则1y 、2y 、3y 的大小关系正确的是
A 、213y y y >>
B 、321y y y >>
C 、312y y y >>
D 、123y y y >>
8、（ ）某反比例函数的图象过点（－1，6），则下列各点也在此函数图象上的是 A 、（－3，2）
B 、（3，2）
C 、（2，3）
D 、（6，1）
二、填空题
1、当x ＝ 时，分式
x
x 232
--的值为－1。
2、已知关于x 的分式方程
113
1=-+-x
x m 的解为正数，则m 的取值范围是 。
3、已知反比例函数
()2
212--=m x
m y 的图象位于第二、四象限，则m ＝ 。
4、如果点A （m ，2）在反比例函数x
y 4
=
的图象上，则函数值2≤y 时，自变量x 的取值范围是 。
三、解答题
1、解方程： ① ()01213=-+--x x x x ② 1
611132
-=--+x x x ③ 1
2
13-+
=+x x x ④ ()()21311+-=--x x x x
2、已知21y y y +=，1y 与2
x 成正比例，2y 与x 成反比例，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝
－1时，y ＝1，（1）求y 与x 的函数关系式；（2）求当x ＝
2
1
时，y 的值。
3、“六一”前夕，某玩具店用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快售完，接着又用4500元购进第二批同类型的玩具，所购数量是第一批数量的倍，但每套进价多了10元，
（1）第一批玩具每套的进价是多少元
（2）如果这两批玩具售价相同，且全部销售完后总利润不低于25%，那么每套玩具的
售价至少是多少元（利润率＝
%100⨯成本
利润
）
4、如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x
m
y =
的图象交于点A 、B 两点， （1）利用图中的条件求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积；
（3）根据图象，写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围。
5、码头工人以每天40吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了6天时间。
（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v （单位：吨/天）与卸货时间t （单位：天）之间有怎样的函数关系
（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物
6、一辆汽车从甲地开往乙地，随着汽车平均速度v （h km ）的变化，所需时间t （h ）
的变化情况如图所示，
（1）甲、乙两地相距多少千米 （2）写出t 与v 之间的函数解析式
（3）当汽车的平均速度为75h km 时，所需时间是多少 （4）如果准备在5 h 内到达，那么汽车的平均速度至少为多少
x
y
B （1，n ）
A （－2，1）
1
234–1
–2
–3
–41234
–1–2–3–4o。