反比例函数(提高)知识讲解
专题 反比例函数(10个考点)-九年级数学上学期期中期末考点大串讲(人教版)(原卷版)
专题06反比例函数（10个考点）【知识梳理+解题方法】一．反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．二．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．三．反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．四．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．五．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．六．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．七．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．八．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．九．根据实际问题列反比例函数关系式根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．十．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．【专题过关】一．反比例函数的定义（共3小题）1．（2021秋•遵化市期末）下列函数关系式中属于反比例函数的是（）A．y＝4x B．2x+y＝4C．y＝x2+3D．2．（2022•东营模拟）函数y＝（m﹣2）是反比例函数，则m＝．3．（2022•西宁一模）函数的自变量x的取值范围是．二．反比例函数的图象（共4小题）4．（2021秋•大城县期末）反比例函数的图象如图所示，则k的值可以是（）A．﹣2B．C．1D．35．（2021秋•大城县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．6．（2021秋•襄州区期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（k、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅……探索思考：我我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象．（1）画出函数图象．①列表：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣201234…y…﹣1﹣2﹣4421…②描点并连线．（2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：①，②；（3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向平移个单位，其对称中心的坐标为．（4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足时，y≥3．7．（2022•市南区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝，点A的坐标为（1，0），AB垂直于x轴，连接CB，则下列说法一定正确的是（）A．如图①，四边形ABCO是矩形B．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象大致如图②所示C．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x（ax+b）+c与反比例函数y＝的图象大致如图③所示D．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣ac与反比例函数y＝在的图象大致如图④所示三．反比例函数图象的对称性（共3小题）8．（2022•高要区一模）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）9．（2022春•洪泽区月考）如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是．10．（2022•自贡模拟）如图，半径为2的两圆⊙O1和⊙O2均与x轴相切于点O，反比例函数（k＞0）的图象与两圆分别交于点A，B，C，D，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）四．反比例函数的性质（共6小题）11．（2021秋•政和县期末）反比例函数中，反比例常数k的值为．12．（2022秋•青浦区期中）已知正比例函数y＝中，y的值随x的值的增大而增大，那么它和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（）A．B．C．D．13．（2021秋•丰宁县期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一、第三象限B．图象必经过点C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小14．（2022•威县校级模拟）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），点C（0，6），双曲线L1：y＝﹣（x＜0）和双曲线L2：y＝（x＜0）．[把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“优点”]（1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有个“优点”；（2）如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，那么k的取值范围为．15．（2022•杞县模拟）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．（1）列表：x…﹣3﹣2﹣10123…y…m12101n…其中，m＝，n＝．（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点，在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值时y＝1，求自变量x的值．16．（2022•沙市区模拟）探究分段函数y＝的图象与性质．列表：x…﹣1﹣012…y…210121…描点：描出相应的点，并连线，如图所示结合图象研究函数性质，回答下列问题：（1）点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1 x2；（填“＞”、“＝”或“＜”）（2）当函数值y＝2时，自变量x的值为；（3）在直角坐标系中作出y＝x的图象；（4）当方程x+b＝有三个不同的解时，则b的取值范围为．五．反比例函数系数k的几何意义（共5小题）17．（2022•茂南区二模）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是l1和l2，设点P 在l1上，PC⊥x轴于点C，交l2于点A，PD⊥y轴于点D，交l2于点B，则四边形P AOB的面积为（）A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1k2D．k2﹣k118．（2022•河池）如图，点P（x，y）在双曲线y＝的图象上，P A⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为．19．（2022•开远市二模）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（）A．B．C．D．20．（2022•靖江市二模）反比例函数，（n＜0）的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P作AB∥y轴，分别与y1、y2交于A、B两点．（1）当n＝﹣10时，求S△OAB；（2）延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．（用含有n的代数式表示）．21．（2022•德城区模拟）如图，A、B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，其中k＞0，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC＝1（1）若k＝2，则AO的长为，△BOD的面积为；（2）若点B的横坐标为k，且k＞1，当AO＝AB时，求k的值．六．反比例函数图象上点的坐标特征（共9小题）22．（2022秋•合浦县期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．D．（﹣2，1）23．（2021秋•碧江区期末）如图，△OAB、△BA1B1、△B1A2B2、…、△B n﹣1A n B n都是等边三角形，顶点A、A1、A2、…、A n在反比例函数（x＞0）的图象上，则B2020的坐标是．24．（2022秋•杜集区校级月考）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数“．（1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的是（填序号）；①；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5．（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（3）函数”，与（m为常数，m＞0）相交于A （x A，y A）、B（x B，y B）两点，A在B的左边，x B﹣x A＝5，则m＝．25．（2022•思明区校级二模）阅读理解：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．（1）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值；（2）若实数a，b，c是“和谐三数组”，且满足a＞b＞c＞0，求点与原点O的距离OP的取值范围．26．（2022•牧野区校级三模）如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线AC，BD的交点，点A，C 的坐标分别为A（﹣3，3），C（﹣1，0）．（1）反比例函数y1＝在第三象限的图象经过D点，求这个函数的解析式；（2）点E是否在函数y1＝的图象上？说明理由；（3）一次函数y2＝k2+b的图象经过点B，点D，根据图象直接写出不等式k2x+b＜的解集．27．（2022•荷塘区校级二模）如图，点A（a，a），B（b，b）是直线y＝x上在第一象限的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝（x＞0）于C，D两点．（1）当b＝2，BD＝1时，求k的值；（2）当k＝1时：①若AC＝BD，求a与b的数量关系；②若AC＝2BD，求4OD2﹣OC2的值．28．（2021秋•梧州期末）在函数y＝（其中a≠0，a为常数）经过点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x3＜0＜x1＜x2，则把y1、y2、y3按从小到大排列为．29．（2022•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAC的边OC在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A和点B（2，6），且点B为AC的中点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求△OAC的周长．30．（2022秋•东湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在y 轴上，顶点C在x轴上，反比例函数y＝k的图象过AB边上一点E，与BC边交于点D，BE＝2，OE＝10．（1）求k的值；（2）直线y＝ax+b过点D及线段AB的中点F，点P是直线OF上一动点，当PD+PC的值最小时，直接写出这个最小值．七．待定系数法求反比例函数解析式（共4小题）31．（2021秋•平泉市期末）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数的图象经过点E，与AB交于点F．（1）若点B的坐标为（﹣6，0），求m的值．（2）若AF﹣AE＝2，求反比例函数的解析式．32．（2022•蓬江区一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点C，OA＝2，OB＝4．（1）求反比例函数的解析式；（2）若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A'B'C'D'，当点D'在反比例函数的图象上时，请求出点B'的坐标，并判断点B'是否在该反比例函数的图象上，说明理由．33．（2022•睢阳区二模）如图，平行四边形ABCD的面积为12，AB∥y轴，AB，CD与x轴分别交于点M，N，对角线AC，BD的交点为坐标原点，点A的坐标为（﹣2，1），反比例函数的图象经过点B，D．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P为y轴上的点，连接AP，若△AOP为等腰三角形，求满足条件的点P的坐标．34．（2021秋•孟村县期末）已知y与x成反比例，当x＝﹣1时，y＝﹣6．（1）y与x的函数解析式为；（2）若点A（a，﹣4），B（b，﹣8）都在该反比例函数的图象上，则a，b的大小关系是．八．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）35．（2022•市南区校级一模）如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数y＝交于点A、D，过D作DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A（﹣2，n），S△OAB：S△ODE＝1：2．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点C的坐标；（3）直接写出关于x不等式：＞kx﹣3的解为．36．（2022•宝安区校级模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m ≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx＞﹣b的解集是（）A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞237．（2022•仁怀市模拟）如图，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点D，过点A作AC⊥x轴与反比例函数的图象相交于点C，若AC＝AD，则k的值为（）A．3B．4C．D．38．（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1），以点O为顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线y1＝在第一象限内的图象经过点B．设直线AB的表达式为y2＝k2x+b，回答下列问题：（1）求双曲线y1＝和直线AB的y2＝k2x+b表达式；（2）当y1＞y2时，求x的取值范围；（3）求△AOB的面积．39．（2022•吉阳区模拟）如图，函数y＝与函数y＝kx（k＞0）的图象相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于（）A．24B．18C．12D．6九．根据实际问题列反比例函数关系式（共3小题）40．（2022秋•滁州期中）某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．41．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t 小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．（1）写出v关于t的函数表达式；（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．42．（2021•杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个函数的解析式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）一十．反比例函数的应用（共4小题）43．（2022秋•涟源市期中）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（）A．当I＜0.25时，R＜880B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）C．当R＞1000时，I＞0.22D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.2544．（2022•南阳二模）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是（）A．2.4m B．1.2m C．1m D．0.5m45．（2022•邓州市二模）给定一个函数：y＝x++1（x＞0），为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：（1）图象初探①列表如下x…1234…y…m3n…请直接写出m，n的值；②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．（2）性质再探请结合函数的图象，写出当x＝，y有最小值为；（3）学以致用某农户要建造一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：y＝x++3．根据以上信息，请回答以下问题：①水池总造价的最低费用为千元；②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？．46．（2021秋•丰南区期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．（1）请根据题意，求y与x之间的函数表达式；（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？（3）工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少还需调配几台挖掘机？。
反比例函数全章复习与巩固(提高)知识讲解
反比例函数全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式()0k y k x=≠，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数()0k y k x =≠的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、反比例函数的概念一般地，形如k y x =(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.要点诠释：在k yx =中，自变量x 的取值范围是，k y x =()可以写成()的形式，也可以写成的形式.要点二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数k y x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.要点三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数()0k y k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要点诠释：观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①)0(≠=k x k y 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线；②)0(≠=k x k y 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③x k y x k y -==和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.注：正比例函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=，当021<⋅k k 时，两图象没有交点；当021>⋅k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（2）若点(a b ，)在反比例函数k y x=的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式图像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位置0k >，一、三象限；0k >，一、三象限0k <，二、四象限0k <，二、四象限增减性0k >，y 随x 的增大而增大0k <，y 随x 的增大而减小0k >，在每个象限，y 随x 的增大而减小0k <，在每个象限，y 随x 的增大而增大（4）反比例函数y＝中k 的意义①过双曲线xk y =(k ≠0)上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k .②过双曲线xk y =(k ≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为k .要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.【典型例题】类型一、确定反比例函数的解析式1、（2020•上城区一模）在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x ＞0，k ＞0）的图象经过点A （m ，n ），B （2，1），且n ＞1，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ，若△ABC 的面积为2，求点A 的坐标．【思路点拨】根据图象和△ABC 的面积求出n 的值，根据B （2，1），求出反比例函数的解析式，把n 代入解析式求出m 即可．【答案与解析】解：∵B （2，1），∴BC=2，∵△ABC 的面积为2，∴×2×（n ﹣1）=2，解得：n=3，∵B （2，1），∴k=2，反比例函数解析式为：y=，∴n=3时，m=，∴点A 的坐标为（，3）．【总结升华】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，用待定系数法求出k 、根据三角形的面积求出n 的值是解题的关键，解答时，注意数形结合思想的准确运用．举一反三：【变式】已知反比例函数k y x=与一次函数y ax b =+的图象都经过点P(2，－1)，且当1x =时，这两个函数值互为相反数，求这两个函数的关系式.【答案】因为双曲线k y x=经过点P(2，－1)，所以2(1)2k xy ==⨯-=-．所以反比例函数的关系式为2y x-=，所以当1x =时，2y =-．当1x =时，由题意知2y ax b =+=，所以直线y ax b =+经过点(2，－1)和(1，2)，所以有21,2,a b a b +=-⎧⎨+=⎩解得3,5.a b =-⎧⎨=⎩所以一次函数解析式为35y x =-+．类型二、反比例函数的图象及性质2、已知反比例函数k y x =(k ＜0)的图象上有两点A(11x y ，)，B(22x y ，)，且12x x <，则12y y -的值是()．A．正数B．负数C．非负数D．不能确定【思路点拨】一定要确定了A 点和B 点所在的象限，才能够判定12y y -的值.【答案】D；【解析】分三种情形作图求解．(1)若120x x <<，如图①，有12y y <，12y y -＜0，即12y y -是负数；(2)若120x x <<，如图②，有12y y >，12y y -＞0，即12y y -是正数；(3)若120x x <<，如图③，有12y y <，12y y -＜0，即12y y -是负数．所以12y y -的值不确定，故选D 项．【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不能一概而论.举一反三：【变式】已知0a b ⋅<，点P（a b ，）在反比例函数xa y =的图象上，则直线b ax y +=不经过的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C；提示：由0a b ⋅<，点P（a b ，）在反比例函数xa y =的图象上，知反比例函数经过二、四象限，所以00ab <>，，直线b ax y +=经过一、二、四象限.3、（2020•淄博）反比例函数y=（a ＞0，a 为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M 在y=的图象上，MC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点A ；MD ⊥y 轴于点D ，交y=的图象于点B ，当点M 在y=的图象上运动时，以下结论：①S △ODB =S △OCA ；②四边形OAMB 的面积不变；③当点A 是MC 的中点时，则点B 是MD 的中点．其中正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【思路点拨】①由反比例系数的几何意义可得答案；②由四边形OAMB 的面积=矩形OCMD 面积﹣（三角形ODB 面积+面积三角形OCA ），解答可知；③连接OM ，点A 是MC 的中点可得△OAM 和△OAC 的面积相等，根据△ODM 的面积=△OCM 的面积、△ODB 与△OCA 的面积相等解答可得．【答案】D ．【解析】解：①由于A 、B 在同一反比例函数y=图象上，则△ODB 与△OCA 的面积相等，都为×2=1，正确；②由于矩形OCMD 、三角形ODB 、三角形OCA 为定值，则四边形MAOB 的面积不会发生变化，正确；③连接OM ，点A 是MC 的中点，则△OAM 和△OAC 的面积相等，∵△ODM 的面积=△OCM 的面积=，△ODB 与△OCA 的面积相等，∴△OBM 与△OAM 的面积相等，∴△OBD 和△OBM 面积相等，∴点B 一定是MD 的中点．正确；故选：D ．【总结升华】本题考查了反比例函数y=（k ≠0）中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．4、反比例函数xm y =与一次函数)0(≠-=m m mx y 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）【答案】C；【解析】一次函数()1y mx m m x =-=-是经过定点（1，0）,排除掉B、D 答案；选项A中m 的符号自相矛盾，选项C 符合要求.【总结升华】还可以按照m ＞0，m ＜0分别画出函数图象，看哪一个选项符合要求.举一反三：【变式】已知＞b a ,且,0,0,0≠+≠≠b a b a 则函数b ax y +=与xb a y +=在同一坐标系中的图象不可能是().【答案】B ；提示：因为从B 的图像上分析，对于直线来说是<0,0a b <，则0a b +<，对于反比例函数来说，0a b +>，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形.类型三、反比例函数与一次函数综合5、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+(k ≠0)的图象与反比例函数m y x=(m ≠0)的图象相交于A、B两点．求：(1)根据图象写出A、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出：当x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值．【答案与解析】解：(1)由图象可知：点A 的坐标为(2，12)，点B 的坐标为(－1，－1)．∵反比例函数(0)m y m x =≠的图象经过点A(2，12)，∴m ＝1．∴反比例函数的解析式为：1y x=．∵一次函数y kx b =+的图象经过点A 12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B(－1，－1)，∴12,21,k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=-⎩解得：1,21.2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴一次函数的解析式为1122y x =-．(2)由图象可知：当x ＞2或－l＜x ＜0时一次函数值大于反比例函数值．【总结升华】一次函数值大于反比例函数值从图象上看就是一次函数的图象在反比例函数的图象上方的部分，这部分图象的横坐标的范围为所求.举一反三：【变式】如图所示，一次函数3y kx =+的图象与反比例函数(0)m y x x=>的图象交于点P，PA⊥x 轴于点A，PB⊥y 轴于点B，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C、点D，且27DBP S =△，12OC CA =．(1)求点D 的坐标；(2)求一次函数与反比例函数的表达式；(3)根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？【答案】解：(1)由一次函数3y kx =+可知：D(0，3)(2)设P(a ，b )，则OA＝a ，13OC a =，得1,03C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由点C 在直线3y kx =+上，得1303ka +=，ka ＝－9，DB＝3－b＝3－(ka ＋3)＝－ka ＝9，BP＝a ．由1192722DBP S DB BP a === △，∴a ＝6，∴32k =-，b ＝－6，m ＝－36．∴一次函数的表达式为332y x =-+，反比例函数的表达式为36y x=-．(3)根据图象可知：当x ＞6时，一次函数的值小于反比例函数的值．类型四、反比例函数的实际应用6、制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y (℃)，从加热开始计算的时间为()min x ．据了解，设该材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系(如图)．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5min 后温度达到60℃．(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系式；(2)根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？【思路点拨】（1）首先根据题意，材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式；（2）把y ＝15代入300y x=中，进一步求解可得答案．【答案与解析】解：依题意知两函数图象的交点为(5，60)(1)设材料加热时，函数解析式为y kx b =+．有15956015b k k b b ==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩∴915y x =+(0≤x ≤5)．设进行制作时函数解析式为1k y x=．则1300k =，∴300y x =(x ≥5)．(2)依题意知300x ＝15，x ＝20．∴从开始加热到停止操作共经历了20min．【总结升华】把握住图象的关键点，根据反比例函数与一次函数的定义，用待定系数法求解析式，并利用解析式解决实际问题.。
反比例函数知识讲解
反比例函数知识讲解具体来说，当x≠0时，反比例函数的定义域为R\{0}，值域为R。
当x=0时，函数的值将无法定义，因为在分母为零的情况下，函数没有意义。
1.当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于零。
2.当x趋近于零时，y趋近于正无穷大或负无穷大。
3.函数图像不会与坐标轴相交。
1.比例定律：在一定条件下，两个量之间的比值始终保持不变。
如果该比值为常数k，我们可以写成y=k/x的形式，其中自变量x和因变量y之间呈现出反比例关系。
2.电阻和电流关系：根据欧姆定律，电阻R与电流I之间的关系为R=k/I，其中k为电阻常数。
根据这个关系，可以推导出电压和电流之间的关系为V=kI，其中V为电阻上的电压。
3. 速度和时间关系：根据路程与时间的关系式 S = vt，可以得到时间和速度之间呈现出反比例的关系。
要求提高反比例函数的知识理解，可以进一步研究以下几个方面：1.反比例函数的图像特点：观察不同常数k值的情况下函数图像的变化情况。
通过画出函数图像来理解反比例函数的性质。
2.反比例函数的性质：研究反比例函数的性质，例如定义域、值域、单调性等。
了解函数图像的变化对应的函数性质的变化。
3.反比例函数的应用：研究反比例函数在实际问题中的应用，例如物理学、经济学、生物学等领域中的应用。
需要注意的是，在应用反比例函数的过程中，需要将模型与实际问题相结合，并针对具体问题来确定函数中的常数。
总之，反比例函数是一类重要的函数形式，具有特殊的数学特征和实际应用背景。
通过进一步的研究和探索，可以提高对反比例函数的理解和应用能力。
反比例函数复习讲义
反比例函数复习讲义知识点一：反比例函数的概念ﻫ 一般地,如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成k y x=（ｋ为常数，)的形式,那么称y 是x 的反比例函数．注:（１）反比例函数k y x =中的k x 是一个分式,自变量x ≠0, k y x=也可写成1y kx -=或xy k =,其中ｋ≠0；ﻫ （２)在反比例函数1y kx -=(ｋ≠0）中，x 的指数是-1。
如，5y x=也写成：15y x -=；ﻫ （３）在反比例函数k y x=（k ≠０）中要注意分母ｘ的指数为1，如21y x=就不是反比例函数。
ﻫ知识点二：反比例函数的图象反比例函数(0)ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.ﻫ 注: （1)观察反比例函数(0)ky k x=≠的图象可得：ｘ和y 的值都不能为0,并且图象既是轴对称图形,又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． (２)用描点法画反比例函数y=kx的图象时，应注意自变量x 的取值不能为０，一般应从1或-1开始对称取点.ﻫ （3)在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ,过点P ,Ｑ分别作x 轴,y 轴的平行线,与两坐标轴分别围成的矩形面积为S 1，Ｓ2 则S １＝S ２. 知识点三：反比例函数的性质 1.图象位置与函数性质当ｋ>0时，x 、y 同号,图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小;当ｋ<0时，x 、y 异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．2.若点(a ，ｂ）在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，则点（-a,-b ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；正比例函数反比例函数解析式图 像直线 有两个分支组成的曲线（双曲线）位 置ｋ>0，一、三象限； ｋ＜0，二、四象限 k ＞0，一、三象限 k ＜０，二、四象限增减性k>0，y 随x 的增大而增大 ｋ＜０,y 随x 的增大而减小k>0，在每个象限,y 随ｘ的增大而减小ﻫｋ<0，在每个象限,ｙ随ｘ的增大而增大4．反比例函数y ＝kx 中k 的意义 反比例函数y = k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y = kx（ｋ≠0）上任意一点引ｘ轴、y 轴垂线，所得矩形面积为│ｋ│．ﻫ知识点四：反比例函数解析式的确定ﻫ 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于在反比例函数关系式(0)ky k x=≠中，只有一个待定系数k,确定了ｋ的值,也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入(0)ky k x =≠中即可求出k 的值,从而确定反比例函数的解析式.ﻫ知识点五：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点１.反比例函数在现实世界中普遍存在,在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。
反比例函数知识点归纳(重点)
反比例函数知识点归纳(重点)一、知识结构反比例函数的概念、图象及性质，函数的三种表示方法，函数模型的建立与实际问题的解决。
二、研究目标1.理解反比例函数的概念，能确定反比例函数的解析式，判断函数是否为反比例函数。
2.能描点画出反比例函数的图象，用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法。
3.能分析反比例函数的数学性质，解决一些简单实际问题。
4.能建立函数模型，解决实际问题，认识函数作为数学模型的重要性。
5.进一步理解常量与变量的关系，认识数形结合的思想方法。
三、重点难点重点是反比例函数的概念及图象的性质的理解和掌握，难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握。
基础知识一、反比例函数的概念1.反比例函数可以写成 $y=k/x$ 的形式，其中 $k$ 为常数，$x\neq 0$。
2.反比例函数也可以写成 $xy=k$ 的形式，用它可以求出反比例函数解析式中的 $k$，从而得到反比例函数的解析式。
3.反比例函数的自变量不能为 $0$，函数图象与 $x$ 轴、$y$ 轴无交点。
二、反比例函数的图象1.函数解析式：$y=k/x$。
2.自变量的取值范围：$x\neq 0$。
3.图象：1) 图象的形状：双曲线。
$k$ 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直；$k$ 越小，图象的弯曲度越大。
2) 图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。
当 $k>0$ 时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
当 $k<0$ 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$y$ 趋近于无穷大或无穷小。
3) 对称性：图象关于原点对称，即若 $(a,b)$ 在双曲线的一支上，则 $(\frac{k}{a},b)$ 在双曲线的另一支上。
三、反比例函数及其图象的性质1.反比例函数的解析式为 $y=k/x$，其中 $k$ 为常数，$x\neq 0$。
反比例函数知识点汇总
反比例函数知识点汇总1.定义与图像特征：反比例函数的定义为y=k/x，在此函数中，x不等于0，k为常数。
反比例函数的图像特点是：经过第一、二象限两点，以y轴和x轴为渐进线，图像在x轴的正半轴和y轴的正半轴上都不会出现，图像呈现出一种双曲线的形状。
2.反比例函数的基本性质：(a)定义域：x≠0，即x不能为0。
(b)值域：排除0，即y不能为0。
当x趋近于0时，y趋近于无穷大；当x趋近于无穷大时，y趋近于0。
(c)对称中心：该函数关于原点(0,0)对称。
(d)渐进线：图像与x轴和y轴都有渐进线，即当x趋近于无穷大时，y趋近于0；当y趋近于无穷大时，x趋近于0。
(e)单调性：反比例函数在定义域内是单调递减的。
(f)异号性：当x与y异号时，k为负数；当x与y同号时，k为正数。
(g)零点：当x与y相等时，即x=y≠0。
3.确定反比例函数的常数k：y1=k/x1和y2=k/x2通过消去k，可以得到：y1*y2=k因此，可以通过已知点的y值的乘积来确定k的值。
4.反比例函数的应用：(a)正比例与反比例的混合问题：当一个问题与正比例和反比例函数有关时，可以通过组合两种函数来解决问题。
例如，当一个物体的质量与加速度成反比例关系，而力与加速度成正比例关系时，可以通过设置两个函数来解决问题。
(b)流速与管道宽度：根据波的传播速度，流速与管道宽度成反比例关系。
当管道宽度较小时，流速较大；当管道宽度较大时，流速较小。
(c)投资与收益率：投资的利润与投资金额成反比例关系。
当投资金额较小时，相对的利润率较大；当投资金额较大时，相对的利润率较小。
(d)电阻与电流：电阻与电流成反比例关系，即当电阻较大时，电流较小；当电阻较小时，电流较大。
总结起来，反比例函数是一种特殊的函数关系，其图像呈现出一种双曲线的形状。
反比例函数具有一些基本性质，如定义域、值域、对称中心和渐进线等。
确定反比例函数的常数k可以通过已知点进行求解。
反比例函数在实际生活中有很多应用，特别是与强度、速度和功率等相关的问题。
反比例函数知识点总结，比例系数k的几何意义和七大常考模型
反比例函数知识点总结，比例系数k的几何意义和七大常考模型一.反比例函数的概念1.概念：一般地，函数y=k/x（k是常数，k≠0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成的形式。
自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
注意：(1)比例系数k≠0是反比例函数的定义的重要部分;(2)在反比例函数的解析式中,k,x,y均不等于0;(3)反比例函数中的两个变量一定成反比例关系,反之,则不一定成立例 1 给出的六个关系式:①x(y+1); ②y=2/(x+2); ③y=1/x²;④y=1/2x; ⑤y=x/2 ; ⑥y=-3/x.其中y是x的反比例函数的是 ( )A.①②③④⑥B.③⑤⑥C.①②④D.④⑥例2 若函数是y关于x的反比例函数,则m= .例3 关于正比例函数y=-x/3和反比例函数y=-1/3x的说法正确的是 ( )A.自变量x的指数相同B.比例系数相同C.自变量x的取值范围相同D.函数y的取值范围相同2.易错点解析漏掉k≠0这一条件解答与反比例函数有关的问题时,要注意系数k≠0是反比例函数定义中必不可少的一部分,不能漏掉这一条件.例4已知函数为反比例函数,则k= .二.反比例函数的图像和性质1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2.反比例函数的性质注意：y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件。
例5 关于反比例函数y=3/x的图象,下列说法正确的是 ( )A.图象经过点(1,1)B.两个分支分布在第二、四象限C.两个分支关于x轴成轴对称D.当x<0时,y随x的增大而减小例6.当x<0时,下列表示函数y=-1/x的图象的是 ( ) 例7.下列反比例函数中,图象位于第二、四象限的是( )A.y=2/x B.y=0.2/x C.y=√2/x D.y=-2/5x 例8.对于反比例函数y=(k-√10)/x,在每个象限内,y随x的增大而增大,则满足条件的非负整数k有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个三.反比例函数解析式的确定由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
反比例函数常用知识点总结
反比例函数常用知识点总结一、反比例函数的定义反比例函数也叫做倒数函数，通常用y=k/x表示，其中k为非零常数。
这种函数的图像是一个双曲线，具有对称轴。
二、反比例函数的性质1. 反比例函数的定义域和值域反比例函数的定义域为x≠0，值域为y≠0。
2. 反比例函数的奇偶性反比例函数通常不具有奇偶性。
3. 反比例函数的单调性反比例函数在定义域内单调递减或递增。
4. 反比例函数的渐近线反比例函数的图像有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
5. 反比例函数的对称性反比例函数的图像关于原点对称。
6. 反比例函数的零点和极限反比例函数有唯一的零点，即x=±√k。
当x→0时，y→±∞。
三、反比例函数的图像1. 反比例函数的基本图像反比例函数的基本图像是一个双曲线，具有对称轴。
2. 反比例函数的平移和缩放改变k的值可以使反比例函数的图像进行平移和缩放。
3. 反比例函数的特殊情况当k为正数时，反比例函数的图像在第一和第三象限。
当k为负数时，反比例函数的图像在第二和第四象限。
四、反比例函数的应用1. 反比例函数在物理学中的应用反比例函数可以用来描述两个物理量之间的关系，比如牛顿定律中的万有引力定律就是一个反比例函数。
2. 反比例函数在经济学中的应用反比例函数可以用来描述供求关系，比如需求曲线和供给曲线都是反比例函数。
3. 反比例函数在工程学中的应用反比例函数可以用来描述工程中的一些量与距离的关系，比如声音的传播距离与声音的强度之间的关系。
五、反比例函数的解题方法1. 求反比例函数的定义域和值域根据函数的定义，可以求出反比例函数的定义域和值域。
2. 求反比例函数的零点和极限根据函数的性质，可以求出反比例函数的零点和极限。
3. 求反比例函数的图像可以根据函数的性质和图形变换的知识，画出反比例函数的图像。
4. 求反比例函数的应用问题可以根据反比例函数在物理学、经济学和工程学中的应用问题，解决实际问题。
六、反比例函数的常见错误1. 关于定义域和值域的错误很多学生容易忽略反比例函数的定义域和值域，导致在解题过程中出现错误。
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反比例函数（提高)
【学习目标】
1．理解反比例函数的概念和意义,能根据问题的反比例关系确定函数解析式. ２．能根据解析式画出反比例函数的图象,初步掌握反比例函数的图象和性质．3．会用待定系数法确定反比例函数解析式,进一步理解反比例函数的图象和性质. 【要点梳理】
要点一、反比例函数的定义
一般地，形如
k
y
x
=(k为常数,0
k≠)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y
是函数，定义域是不等于零的一切实数.
要点诠释:(1)在
k
y
x
=中,自变量x是分式
k
x
的分母,当0
x=时,分式
k
x
无意义，所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是0
y≠.故函数图象与x轴、y轴无交点；
(2）
k
y
x
=()可以写成()的形式,自变量x的指数是－1,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
(3）
k
y
x
= ()也可以写成的形式,用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k,从而得到反比例函数的解析式.
要点二、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数
k
y
x
=中,只有一个待
定系数k，因此只需要知道一对x y
、的对应值或图象上的一个点的坐标,即可求出k的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是:
（１)设所求的反比例函数为:
k
y
x
= (0
k≠）；
(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式,得到关于待定系数的方程；(３）解方程求出待定系数k的值；
（4）把求得的k值代回所设的函数关系式
k
y
x
=中.
要点三、反比例函数的图象和性质
ﻫ 1、 反
比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限;反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
要点诠释:（1）若点(a b ，)在反比例函数k y x
=的图象上,则点(a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称; (2)在反比例函数(k 为常数，0k ≠) 中，由于
，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．
2、反比例函数的性质
(１)如图1，当0k >时,双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内,y 值随x 值的增大而减小;
(2）如图2，当0k <时,双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大; 要点诠释:反比例函数的增减性不是连续的,它的增减性都是在各自的象限内的增减情况,反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的;反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号.
要点四、反比例函数(）中的比例系数k 的几何意义
过双曲线x k y =
(0k ≠） 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线x
k y =(0k ≠） 上任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点和原点，所得三角形的面积为2k ．
要点诠释:只要函数式已经确定,不论图象上点的位置如何变化,这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的．
【典型例题】
类型一、反比例函数定义ﻩ
1、k 为何值时，2221()k
k y k k x --=+是反比例函数?
【答案与解析】
解：由222110k k k k ⎧--=-⎪⎨+≠⎪⎩ 得0201k k k k ==⎧⎨≠≠-⎩或且 ∴ 2k = 【总结升华】根据反比例函数关系式的一般式(0)k y k x
=≠，也可以写成1(0)y kx k -=≠,后一种写法中x 的次数为－1,可知此函数为反比例函数,必须具备两个条件,2211k k --=-且2
0k k +≠,二者缺一不可.
类型二、确定反比例函数的解析式
2、已知12y y y =+,1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝7；当x ＝2时，y ＝８.
(1） y 与x 之间的函数关系式；
(２)自变量的取值范围;
（3)当x =4时，y 的值．
【答案与解析】
解：(1)∵ 1y 与x 成正比例,
∴ 设111(0)y k x k =≠．
∵ 2y 与x 成反比例， ∴ 设222(0)k y k x
=
≠． ∴ 2121k y y y k x x =+=+． 把17x y =⎧⎨=⎩与28x y =⎧⎨=⎩分别代入上式,得12217,28.2
k k k k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴ 12
3,4.k k =⎧⎨=⎩ 所以y 与x 的函数解析式为43y x x
=+．
（2)自变量的取值范围是x ≠0．
(３)当x ＝４时,434134y =⨯+=． 【总结升华】注意，比例系数要分别用1k 和2k 表示,不能用成同一个比例系数k . 举一反三:
【变式】已知y 与23x -成反比例,且4
1=
x 时,2y =-,求y 与x 的函数关系式. 【答案】
解:因为y 与23x -成反比例， 所以23k y x =
-，且21234
k -=⨯-,解得5k =. 所以y 与x 的函数关系式为523y x =- . 类型三、反比例函数的图象和性质
3、若A （1x ，1y )、B （2x ,2y )在函数12y x
=
的图象上,当1x 、2x 满足___＿____时，12y y >． 【答案】120x x <<或120x x <<或210x x <<;
【解析】12y x
=的图象在一、三象限,在每个象限内，随着x 的增大,函数值y 减小，所以120x x <<或120x x <<时,12y y >．当B 点在三象限,Ａ点在一象限，即210x x <<，也满足12y y >.
【总结升华】反比例函数的增减性是在每个象限内讨论的,A 、B 两点要分成同在一象限、同
在三象限和分属一、三象限讨论，这样才能把情况考虑完整.
举一反三：
【变式】如图所示，正比例函数2y kx =与反比例函数1k y x
-=
在同一坐标系中的图象不可能是( ）
【答案】D;
提示:对于D 项，由正比例函数2y kx =的图象经过第二、第四象限,得k ＜0,由反
比例函1k y x -=的图象位于第一、第三象限，得k ＞1,k 不存在,故D 项错误.解决这类图象问题的一般解法是先根据函数表达式的大致图象来确定函数表达式中字母系数的符号或范围,再根据字母系数的符号或范围确定另一个函数图象的大致位置．
类型四、反比例函数综合
4、如图所示,已知双曲线(0)k y k x
=>,经过R ｔ△OAB 斜边ＯB 的中点D,与直角边A Ｂ交于点C ，ＤE ⊥O Ａ，3OBC S =△，求反比例函数的解析式．
【答案与解析】
解：过点D 作DM ⊥AB 于点Ｍ．
∴ DM ∥OA ，∴ ∠BDM=∠B ＯA.
在△ＢDM 和△E ＯD 中
90DMB OED BDM BOA
OD DB ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
° ∴ △BDM ≌△DOE （A ＡS),
∴ 12DM OE OA ==
,12
BM DE AB ==. 设Ｄ（a b ，),则B （2a b ，2).
∵ 12ODE AOC S S ab ==△△, ∴ 3OBC ABDE S S ==△梯形.
即
(2)32
b b a 1+=，解得:2ab =. ∴ 反比例函数的解析式为2y x =． 【总结升华】本题欲求解析式有两个思路可考虑,一个是求D 点或C 点的坐标,另一个就是求
△DOE 或△ＡＯC 的面积，从条件看,求D 点或C 点坐标的可能不大，于是从求△ＤOE 或△AOC 的面积入手思考,由于D 、Ｃ、Ｂ三点坐标间的特殊关系，设出D 点的坐标就可以将Ｂ、Ｃ两点的坐标表示出来，然后运用3OBC S =△求出D 点两坐标之积,就不难求出解析式．。