吉林省长春市2021版数学中考一模试卷C卷
吉林省长春市2021版数学中考一模试卷C卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共5题；共10分)
1. （2分）(2018·嘉兴模拟) 资料显示，2018届全国普通高校毕业生预计820万人，用科学记数法表示820万。
这个数为（）
A . 82.0×105
B . 8.2×105
C . 8.2×106
D . 8.2×107
2. （2分）(2011·遵义) 如图是一个正六棱柱，它的俯视图是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2016七下·十堰期末) 若关于x的方程3m（x+1）+1=m（3﹣x）﹣5x的解是负数，则m的取值范围是（）
A . m＞﹣
B . m＜﹣
C . m＞
D . m＜
4. （2分） (2016九上·海南期中) 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C 顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=70°，那么∠CEF的度数为（）
A . 20°
B . 25°
C . 40°
D . 45°
5. （2分）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）
A . 12m
B . 13m
C . 16m
D . 17m
二、填空题 (共12题；共12分)
6. （1分）(2018·灌南模拟) －3的相反数是________.
7. （1分）若am+2÷a3=a5 ，则m=________ ；若ax=5，ay=3，由ay﹣x= ________
8. （1分）(2017·衢州) 二次根式中字母的取值范围是________
9. （1分） (2017八上·江海月考) 如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，则
∠D=________度．
10. （1分）在实数范围内分解因式：a4﹣4=________．
11. （1分）(2018·凉山) 有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是________．
12. （1分） (2016九上·长春月考) 已知关于x的一元二次方程x2+x+k=0没有实数根，则k的取值范围是________．
13. （1分）用半径为30cm，圆心角为120°的扇形卷成一个无底的圆锥形筒，则这个圆锥形筒的底面半径为________cm．
14. （1分）如图，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=120°，∠BAE=80°，那么∠CAE=________．
15. （1分） (2018八上·阿城期末) 如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D 的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是________.
16. （1分） (2017八下·大冶期末) 将直线y=2x向下平移5个单位后，得到的直线解析式为________．
17. （1分） (2016九上·广饶期中) 二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
x…﹣3﹣2﹣101…
y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…
则该函数图象的顶点坐标为________．
三、解答题 (共11题；共97分)
18. （10分）(2017·江北模拟) 计算：
（1）（2a﹣b）2﹣2b（b﹣2a）
（2）（x﹣）÷ ﹣．
19. （10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
20. （5分） (2017七下·永春期末) 如图，已知AB=DE，且AB∥DE，BE=CF.求证：△ABC≌△DEF.
21. （5分）(2019·威海) 在一个箱内装入只有标号不同的三颗小球，标号分别为1，2，3．每次随机取出一颗小球，记下标号作为得分，再将小球放回箱内．小明现已取球三次，得分分别为1分，3分，2分，小明又从箱内取球两次，若五次得分的平均数不小于2.2分，请用画树状图或列表的方法，求发生“五次取球得分的平均数不小于2.2分”情况的概率．
22. （11分） (2018九下·新田期中) 为增强学生环保意识，某中学组织全校2000名学生参加环保知识大赛，比赛成绩均为整数，从中抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）若抽取的成绩用扇形图来描述，则表示“第三组（79.5～89.5）”的扇形的圆心角为多少度；
（2）若成绩在90分以上（含90分）的同学可以获奖，请估计该校约有多少名同学获奖？
（3）某班准备从成绩最好的4名同学（男、女各2名）中随机选取2名同学去社区进行环保宣传，则选出的同学恰好是1男1女的概率为多少．
23. （5分）△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗？试说明理由．
24. （5分） (2016八上·顺义期末) 在彩虹读书活动中，某校决定为八年级学生购买同等数量的《钢铁是怎样炼成的》和《居里夫人自传》，供学生借阅．其中《居里夫人自传》的单价比《钢铁是怎样炼成的》的单价多8元．若学校购买《居里夫人自传》用了1 000元，购买《钢铁是怎样炼成的》用了600元，请问两种书的单价各是多少元？
25. （10分）已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：
（1）△ACE∽△BDE；
（2）BE•DC=AB•DE．
26. （10分）(2017·历下模拟) 如图，P1、P2（P2在P1的右侧）是y= （k＞0）在第一象限上的两点，点A1的坐标为（2，0）．
（1）填空：当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将________（减小、不变、增大）
（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，
①求反比例函数的解析式；
②求出点P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．
27. （15分）(2018·成华模拟) 如图，抛物线y= x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，
点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F 的坐标；
（3）如图2，若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，求点Q的坐标．
28. （11分）(2019·合肥模拟) （问题引入）
如图（1），在中，，，过作则交延长线于点，则易得
（直接应用）
如图,已知等边的边长为 ,点 ,分别在边 ,上, ,为中点，为当上一动点，当在何处时，与相似，求的值.
参考答案一、单选题 (共5题；共10分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
二、填空题 (共12题；共12分)
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14、答案：略
15-1、
16-1、
17-1、
三、解答题 (共11题；共97分)
18-1、
18-2、
19-1、20-1、
21-1、
22-1、
22-2、
22-3、
23-1、
24-1、
25-1、26-1、
26-2、
27-1、
27-2、
27-3、。
2021年吉林省长春市初三中考数学一模试卷
2021年吉林省长春市初三中考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在2-，0，1-，2这四个数中，最小的数是（ ）A ．2-B ．0C ．1-D ．22．2020年4月1日，意大利外长在众议院接受问询时表示，自新冠肺炎疫情暴发以来，意大利总计从海外获得3000万只口罩，其中2200万只来自中国，将2200万用科学记数法表示为（ ）A ．62210⨯B ．62.210⨯C ．72.210⨯D ．70.2210⨯ 3．下图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，此立体图形的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．一元二次方程2310x x +-=根的判别式的值为（ ）A ．5B ．13 CD5．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，根据题意列方程组正确的是( )A ． 4.512x y y xB ． 4.512x y y xC ． 4.512x y x yD ． 4.512x y y x 6．如图，在O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，若50A ∠=︒，30B ∠=︒，则BED ∠的大小为（ ）A ．80°B ．100°C ．110°D ．105°7．如图，某停车场入口的栏杆AB ，从水平位置绕点O 旋转到A B ''的位置，已知AO 的长为3米．若栏杆的旋转角AOA α'∠=，则栏杆A 端升高的高度为（ ）A ．3sin α米B ．3sin α米C ．3cos α米D ．3cos α米 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是正方形，点A 、D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在函数(0,0)k y x k x=>>的图象上，若正方形ADEF 的面积为4，且2BF AF =，则k 的值为（ ）A ．24B ．12C ．6D ．3二、填空题9＝_____．10．分解因式：22a ab -=__________．11．不等式752x -≤的解集是 _________．12．如图，OA ∥CB ，OC ∥AB ．若∠1＝50°，则∠2的大小为_____度．13．如图，4AB =，分别以点A 、B 为圆心，AB 长为半径画圆弧，两圆弧交于点C ，再以点C 为圆心，以AB 长为半径画圆弧交AC 的延长线于点D ，连结BD 、BC ，则ABD △的面积是___________14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2﹣4ax +3a （a 是常数，且a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，连结AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90°，得到线段AD ，连结BD ．当BD 最短时，a 的值为_____．三、解答题15．先化简，再求值：2(31)(92)x x x --+，其中38x =． 16．小明和小红两人参加一个幸运挑战活动，活动规则是：一个布袋里装有2个红球，1个白球，除颜色外其余均相同，小明从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀；小红再从布袋中随机摸出一个球，若颜色相同，则挑战成功，用画树状图（或列表）的方法，求两人挑战成功的概率．17．为支持“抗疫防病”工作，某口罩厂由甲、乙两车间承制防护型口罩，已知乙车间每天生产口罩数量是甲车间每天生产口罩数量的2倍．如果两车间各自生产600万只防护型口罩，乙车间比甲车间少用6天．求甲车间每天生产这种防护型口罩的数量．18．如图，在O 中，AB 是直径，AP 是过点A 的切线，点C 在O 上，点D 在AP 上，且AC CD =，延长DC 交AB 于点E ．（1）求证：CA CE =．（2）若O 的半径为5，50AEC ∠=︒，求AC 的长．（结果保留π）19．近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可随取随用的共享单车．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如表统计表．（1）这天部分出行学生使用共享单车次数的众数是 （次）．（2）求这天部分出行学生平均每人使用共享单车的次数．（3）若该校某天有1500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有多少人？20．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A 、B 均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中以线段AB 为腰画一个等腰直角三角形ABC ．所画ABC 的面积为________．（2）在图②中以线段AB 为斜边画一个等腰直角三角形ABD ．（3）在图③中以线段AB 为边画一个ABE △，使90BAE ∠=︒，其面积为175．21．一辆货车从甲地出发以50km/h的速度匀速驶往乙地，行驶1h后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地．轿车行驶0.8h后两车相遇．图中折线ABC表示两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）的函数关系．(1)甲乙两地之间的距离是_____km，轿车的速度是_____km/h；(2)求线段BC所表示的函数表达式；(3)在图中画出货车与轿车相遇后的y（km）与x（h）的函数图像．22．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．定理证明：请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．定理应用：在矩形ABCD中，AB＝2AD，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE＝3BE．（1）如图②，点F在边CB上，连结EF．若13BFCF，则EF与AC的关系为．（2）如图③，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AE'，连结CE′，点H 为CE '的中点，连结BH ．设BH 的长度为m ，若AB ＝4，则m 的取值范围为 ．23．如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点P 从点B 出发，沿BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，同时点Q 从点C 出发，沿折线CA AB -以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A 时，点Q 停止1秒，然后继续运动．分别连结PQ 、BQ ．设BPQ 的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒．（1）求点A 与BC 之间的距离．（2）当2BP AQ =时，求t 的值．（3）求S 与t 之间的函数关系式．（4）当线段PQ 与ABC 的某条边垂直时，直接写出t 的值．24．已知函数222222()22()x kx k k x k y x kx k k x k ⎧-+-+=⎨++->⎩，（k 为常数）． （1）当1k =-时，①求此函数图象与y 轴交点坐标．②当函数y 的值随x 的增大而增大时，自变量x 的取值范围为________．（2）若已知函数经过点（1，5），求k 的值，并直接写出当20x -时函数y 的取值范围． （3）要使已知函数y 的取值范围内同时含有2±和4±这四个值，直接写出k 的取值范围．。
2021年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷(解析版)
2021年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．比﹣3大1的数是（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．22．空气中某种微粒的直径是0.00000297米，数据0.00000297用科学记数法可表示为（）A．2.97×105B．2.97×106C．2.97×10﹣5D．2.97×10﹣63．如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是（）A．B．C．D．4．不等式组的解集为（）A．x≥2B．x＜3C．2≤x＜3D．2＜x≤35．如图，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为α，同时测得AC＝15m，则树的高度AB为（）A．B．15tanαm C．D．15sinαm6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，则∠D的大小是（）A．15°B．25°C．35°D．50°7．如图，C是直线AB外一点，按下列步骤完成作图：Ⅰ．以点C为圆心，作能与直线AB相交于D、E点的圆弧；Ⅱ．分别以点D和点E为圆心，DE长为半径作圆弧，两弧交于点F，连接DF、EF；Ⅲ．作直线CF交AB于点G．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①CF⊥AB；②DE＝FG；③∠DFG＝∠EFG；④DF＝2DG．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③④C．③④D．①④8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OACB的顶点A、B、C的坐标分别为（3，0）、（0，1）、（3，3）．点P在折线BO﹣OA上，连接CP，交函数y＝（x ＞0）的图象于点Q．若CQ＝2PQ，则k的取值范围是（）A．1≤k≤B．1≤k≤2C．≤k≤3D．1≤k≤3．二、填空题（每小题3分，共18分）9．分解因式：a2+ab＝．10．已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则b a＝．11．若方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的值可能是．（写出一个即可）12．如图，BE是正五边形ABCDE的对角线．若过点A作直线l∥BE，则∠1的大小是°．13．如图，在扇形AOD中，点B、C将三等分，连接OB、OC，⊙O的切线DE交OC 的延长线于点E，过点B、C分别作BG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F．若∠AOD＝135°，OA＝4，则图中阴影部分图形的面积和为．（结果保留π）14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（2，﹣1），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点P在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D 的横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2．若x1的最小值是﹣2，则x2的最大值是．三、解答题（本大题10小题，共78分）15．先化简，再求值：（3a+b）2+（3a+b）（3a﹣b），其中a＝，b＝﹣3．16．如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是三张牛年生肖邮票，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上都是两头牛的生肖邮票的概率．17．某学校需要购进甲、乙两种电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．求每台甲种电脑价格．18．图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点和点O都在格点上．在图①、图②、图③中，分别以AB为边画一个四边形，使点O到四边形的某两个顶点的距离相等，且所画图形的顶点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）在图①中画一个四边形ABCD，使该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点O在所画四边形的内部；（2）在图②中画一个面积为16的四边形ABEF，使该四边形只是中心对称图形，且点O 在所画四边形的内部；（3）在图③中画一个四边形ABGH，使∠H＝90°，且点O在所画四边形的边上．19．某校为了解九年级360名学生周末在家体育锻炼的情况，在该校九年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了如下数据（单位：分钟）：【收集整理数据】男生：28，30，32，39，46，57，58，66，68，69，70，70，80，88，95，99，100，105；女生：29，35，36，48，55，56，62，69，69，72，73，78，88，88，90，98，99，109；【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数如表：统计量数值组别平均数（单位：分钟）中位数（单位：分钟）众数（单位：分钟）男生66.768.5a女生69.7b69 88根据以上信息解答下列问题：（1）a ＝，b＝．（2）如果该校男、女生人数相同，估计该校九年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）同学的人数；（3）王老师看了表格数据后认为九年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持王老师观点的理由．20．如图，BD是▱ABCD的对角线，且BD⊥BC，DE、BF分别是边AB、CD的中线．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若AB＝9，sin A＝，则点E、F之间的距离为．21．一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽．设轮船触礁后船舱内积水量为y（t），时间为x（min），y与x之间的函数图象如图所示．（1）修船过程中排水速度为t/min，a的值为．（2）求修船完工后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当船内积水量是船内最高积水量的时，直接写出x的值．22．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第79页的部分内容．请根据教材分析，结合图①，写出完整的证明过程．【拓展】如图②，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BC＝4，AD是边BC的中线．将△ACD绕着点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°）得到△AC′D′，连接BC′，如图③．（1）设边C′D′与边BD相交于点E，若E为边BD的中点，则BC′的长为．（2）连接BD'，在整个旋转过程中，△BC′D′面积的最大值为．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝25．动点P从点A出发，以每秒7个单位长度的速度沿折线AC﹣CB向终点B运动．当点P不与△ABC顶点重合时，作∠CPQ＝135°，交边AB于点Q，以CP、PQ为边作▱CPQD．设点P的运动时间为t 秒．（1）求AC的长．（2）当点P在边AC上时，求点Q到边AC的距离（用含t的代数式表示）；（3）当▱CPQD的某条对角线与△ABC的直角边垂直时，求▱CPQD的面积；（4）以点P为直角顶点作等腰直角三角形EPQ，使点E与点C在PQ同侧，设EQ的中点为F，▱CPQD的对称中心为点O，连接OF．当OF∥PQ时，直接写出t的值．24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2﹣2x+a2﹣1（a≠0，且a为常数）的图象记为G．（1）当点O在图象G上时，求a的值．（2）当图象G的对称轴与直线x＝﹣2之间的部分的函数值y随x增大而减小时（直线x＝﹣2与对称轴不重合），求a的取值范围；（3）当图象G的x≥4a部分的图象的最低点到x轴的距离是x＜2a部分图象的最低点到x轴的距离的2倍时，求a的值；（4）以点A（0，﹣1）为对称中心，以|4a|为边长作正方形，使该正方形的边与坐标轴平行或垂直．若图象G与该正方形的某条边只有两个交点，且两个交点之间的距离为|a|，直接写出a的值．参考答案一、选择题（每小题3分，共24分）1．比﹣3大1的数是（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．2【分析】根据题意列出算式进行计算．解：﹣3+1＝﹣（3﹣1）＝﹣2，故选：B．2．空气中某种微粒的直径是0.00000297米，数据0.00000297用科学记数法可表示为（）A．2.97×105B．2.97×106C．2.97×10﹣5D．2.97×10﹣6【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.00000297＝2.97×10﹣6．故选：D．3．如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是（）A．B．C．D．【分析】根据圆柱体的截面图形可得．解：将这杯水斜着放可得到A选项的形状，将水杯倒着放可得到B选项的形状，将水杯正着放可得到D选项的形状，不能得到三角形的形状，故选：C．4．不等式组的解集为（）A．x≥2B．x＜3C．2≤x＜3D．2＜x≤3【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．解：，解不等式①，得x≥2，解不等式②，得x＜3，所以不等式组的解集是2≤x＜3，故选：C．5．如图，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为α，同时测得AC＝15m，则树的高度AB为（）A．B．15tanαm C．D．15sinαm【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．解：在Rt△ABC中，AC＝15m，∠ACB＝α，sinα＝，∴AB＝AC•sinα＝15sinα（m），故选：D．6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，则∠D的大小是（）A．15°B．25°C．35°D．50°【分析】利用平角的定义先求∠AOC，再根据圆周角定理求出∠D．解：∵∠BOC+∠AOC＝180°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝50°．∴∠D＝∠AOC＝25°．故选：B．7．如图，C是直线AB外一点，按下列步骤完成作图：Ⅰ．以点C为圆心，作能与直线AB相交于D、E点的圆弧；Ⅱ．分别以点D和点E为圆心，DE长为半径作圆弧，两弧交于点F，连接DF、EF；Ⅲ．作直线CF交AB于点G．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①CF⊥AB；②DE＝FG；③∠DFG＝∠EFG；④DF＝2DG．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③④C．③④D．①④【分析】根据作图过程可得CF是线段DE的垂直平分线，然后逐一进行判断即可．解：根据作图过程可知：CF是线段DE的垂直平分线，∴CF⊥AB，故①正确；∵DE＝DF＝EF＞FG，∴②错误；∵CF⊥AB，DF＝EF，∴∠DFG＝∠EFG，故③正确；∵DE＝2DG，∴DF＝2DG，故④正确．∴其中正确的结论是①③④．故选：B．8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OACB的顶点A、B、C的坐标分别为（3，0）、（0，1）、（3，3）．点P在折线BO﹣OA上，连接CP，交函数y＝（x ＞0）的图象于点Q．若CQ＝2PQ，则k的取值范围是（）A．1≤k≤B．1≤k≤2C．≤k≤3D．1≤k≤3．【分析】分三种情况讨论，求得Q点的坐标，进而求得k的值，结合图象即可求得k的取值范围．解：∵四边形OACB的顶点A、B、C的坐标分别为（3，0）、（0，1）、（3，3），CQ ＝2PQ，∴当P与B重合时，Q（1，），∴此时k＝1×＝，连接OC，当P与O重合时，Q（1，1），∴此时，k＝1×1＝1，当P与A重合时，Q（3，1），∴此时，k＝3×1＝3，综上，k的取值范围是1≤k≤3，故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）9．分解因式：a2+ab＝a（a+b）．【分析】直接提取公因式a即可．解：a2+ab＝a（a+b）．10．已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则b a＝9．【分析】直接利用的取值范围得出a，b的值，即可得出答案．解：∵a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，∴a＝2，b＝3，∴b a＝32＝9．故答案为：9．11．若方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的值可能是1（答案不唯一）．（写出一个即可）【分析】由方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，利用根的判别式Δ＞0，即可求出c的取值范围，任取其内的一值即可得出结论．解：∵方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×c＞0，∴c＜4．故答案为：1（答案不唯一）．12．如图，BE是正五边形ABCDE的对角线．若过点A作直线l∥BE，则∠1的大小是36°．【分析】根据多边形的内角和定理、正多边形的概念求出正五边形的一个内角的度数，根据等腰三角形的性质、平行线的性质解答．解：正五边形的一个内角的度数为：＝108°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝＝36°，∵直线l∥BE，∴∠1＝∠ABE＝36°，故答案为：36．13．如图，在扇形AOD中，点B、C将三等分，连接OB、OC，⊙O的切线DE交OC 的延长线于点E，过点B、C分别作BG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F．若∠AOD＝135°，OA＝4，则图中阴影部分图形的面积和为2π．（结果保留π）【分析】根据圆周角定理得到∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝45°，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．解：∵点B、C将三等分，∠AOD＝135°，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝45°，∵BG⊥OA，CF⊥OB，∴OG＝BG＝OB＝2，OF＝CF＝OC＝2，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴OD＝DE＝4，∴阴影部分的面积＝（×4×4﹣）+（﹣×2×2）+（﹣×2×2）＝2π，故答案为：2π．14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（2，﹣1），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点P在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D 的横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2．若x1的最小值是﹣2，则x2的最大值是3．【分析】根据题意，可知当点P在点A的位置时，x1取得最小值，当点P在B点时，x2取得最大值，然后即可得到x2的最大值．解：∵点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（2，﹣1），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点P在线段AB上，∴当点P的坐标为（﹣1，﹣1）时，x1取得最小值﹣2，此时x2的值为0，∴x2离对称轴的距离是1，∴当点P的坐标为（2，﹣1）时，此时x2的最大值2+1＝3，故答案为：3．三、解答题（本大题10小题，共78分）15．先化简，再求值：（3a+b）2+（3a+b）（3a﹣b），其中a＝，b＝﹣3．【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．解：（3a+b）2+（3a+b）（3a﹣b）＝9a2+6ab+b2+9a2﹣b2＝18a2+6ab，当a＝，b＝﹣3时，原式＝18×（）2+6×（﹣3）＝﹣4．16．如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是三张牛年生肖邮票，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上都是两头牛的生肖邮票的概率．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小明两次抽到图案上都是两头牛的生肖邮票的结果有1种，再由概率公式求解即可．解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，小明两次抽到图案上都是两头牛的生肖邮票的结果有1种，∴小明两次抽到图案上都是两头牛的生肖邮票的概率为．17．某学校需要购进甲、乙两种电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．求每台甲种电脑价格．【分析】设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，由题意：用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同，列出分式方程，解方程即可．解：设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，根据题意得：＝，解得：x＝0.3，经检验，x＝0.3是原分式方程的解，且符合题意，答：每台甲种电脑的价格为0.3万元．18．图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点和点O都在格点上．在图①、图②、图③中，分别以AB为边画一个四边形，使点O到四边形的某两个顶点的距离相等，且所画图形的顶点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）在图①中画一个四边形ABCD，使该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点O在所画四边形的内部；（2）在图②中画一个面积为16的四边形ABEF，使该四边形只是中心对称图形，且点O 在所画四边形的内部；（3）在图③中画一个四边形ABGH，使∠H＝90°，且点O在所画四边形的边上．【分析】（1）根据轴对称的性质和中心对称的性质即可在图①中画一个四边形ABCD，使该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点O在所画四边形的内部；（2）根据中心对称的性质即可在图②中画一个面积为16的四边形ABEF，使该四边形只是中心对称图形，且点O在所画四边形的内部；（3）根据网格即可在图③中画一个四边形ABGH，使∠H＝90°，且点O在所画四边形的边上．解：（1）如图①，四边形ABCD即为所求；（2）如图②，四边形ABEF即为所求；（3）如图③，四边形ABGH即为所求．19．某校为了解九年级360名学生周末在家体育锻炼的情况，在该校九年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了如下数据（单位：分钟）：【收集整理数据】男生：28，30，32，39，46，57，58，66，68，69，70，70，80，88，95，99，100，105；女生：29，35，36，48，55，56，62，69，69，72，73，78，88，88，90，98，99，109；【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数如表：统计量数值组别平均数（单位：分钟）中位数（单位：分钟）众数（单位：分钟）男生66.768.5a女生69.7b69 88根据以上信息解答下列问题：（1）a＝70，b＝70.5．（2）如果该校男、女生人数相同，估计该校九年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）同学的人数；（3）王老师看了表格数据后认为九年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持王老师观点的理由．【分析】（1）根据中位数、众数的意义进行计算即可；（2）求出男、女生中“优秀”所占的百分比即可；（3）从平均数、中位数的比较得出结论即可．解：（1）这18名男生体育锻炼时间出现次数最多的是70分钟，因此众数是70分钟，即a＝70；将这18名女生的体育锻炼时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝70.5（分钟），因此中位数是70.5分钟，即b＝70.5；故答案为：70，70.5；（2）180×+180×＝70（人），答：该校九年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）同学的人数大约为70人；（3）理由一：因为69.7＞66.7，所以女生周末锻炼时间的平均时间比男生的长，因此女生做得更好；理由二：因为70.5＞68.5，所以女生周末锻炼时间的中位数比男生的高，因此女生做得更好．20．如图，BD是▱ABCD的对角线，且BD⊥BC，DE、BF分别是边AB、CD的中线．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若AB＝9，sin A＝，则点E、F之间的距离为3．【分析】（1）先证四边形DEBF是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得BF＝CD＝DF，即可得出结论；（2）连接EF交BD于O，由锐角三角函数定义求出BD＝6，则OB＝BD＝3，再由勾股定理求出OF＝，即可求解．【解答】（1）证明：∵DE、BF分别是△ABD、△BCD的中线，∴BE＝AB，DF＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴DF∥BE，DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，∵BF是△BCD的中线，∴BF＝CD＝DF，∴平行四边形DEBF是菱形；（2）解：连接EF交BD于O，如图所示：由（1）得：四边形DEBF是菱形，∴OE＝OF，OB＝OD，EF⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝9，∠C＝∠A，∴sin C＝sin A＝，在Rt△BCD中，sin C＝＝，∴BD＝CD＝×9＝6，∴OB＝BD＝3，由（1）得：BF＝CD＝，∴OF＝＝＝，∴EF＝2OF＝3，故答案为：3．21．一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽．设轮船触礁后船舱内积水量为y（t），时间为x（min），y与x之间的函数图象如图所示．（1）修船过程中排水速度为1t/min，a的值为24．（2）求修船完工后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当船内积水量是船内最高积水量的时，直接写出x的值．【分析】（1）修船共用了13﹣5＝8（分钟），修船过程中进水速度为：20÷5＝4（吨/分钟），修船过程中，排水速度是4﹣（44﹣20）÷（13﹣5）＝1（吨/分钟），a＝13+44÷4＝24；（2）利用待定系数法求解即可；（3）分修船过程和修船完工后两种情况解答．解：（1）由题意可知，修船共用了：13﹣5＝8（分钟），修船过程中进水速度为：20÷5＝4（吨/分钟），修船过程中，排水速度是4﹣（44﹣20）÷（13﹣5）＝1（吨/分钟），∵修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，∴修船完工后，排水速度是4t/min，∴a＝13+44÷4＝24；故答案为：1；24；（2）设修船完工后y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得，解得，∴修船完工后y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+96（13≤x≤24）；（3）在修船过程中，当船内积水量是船内最高积水量的时，可得20+（4﹣1）×（x ﹣5）＝44×，解得x＝；修船完工后，当船内积水量是船内最高积水量的时，可得﹣4x+96＝44×，解得x＝．故x的值为或．22．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第79页的部分内容．请根据教材分析，结合图①，写出完整的证明过程．【拓展】如图②，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BC＝4，AD是边BC的中线．将△ACD绕着点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°）得到△AC′D′，连接BC′，如图③．（1）设边C′D′与边BD相交于点E，若E为边BD的中点，则BC′的长为．（2）连接BD'，在整个旋转过程中，△BC′D′面积的最大值为2+2．【分析】【教材呈现】根据全等三角形的判定及性质即可得出结论；拓展（1）连接AE并延长交BC'于点M，利用直角三角形的性质即可求出AB，并由等腰三角形即旋转的性质可推出△EBC'是等腰三角形，从而得出AM⊥BC'，再由勾股定理即可求出BC'的长；（2）分别从当0＜a＜90°时，当90°＜α＜180°时，当180°＜α＜360°时，三种情况进行讨论，由轴对称的性质及三角形面积公式求值后即可得出结论．【解答】【教材呈现】证明：作AD平分∠BAC，交BC于D，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，在△BAD和△CAD中，，∴△BAD≌△CAD（SAS），∴∠B＝∠C；【拓展】解：（1）如图，连接AE并延长交BC'于点M，∵AD是边BC的中线，△ABC是等腰直角三角形，∴AD＝BD＝，AD⊥BC，∠ABD＝45°，∴AB＝2，由旋转的性质得：AB＝AC'，∠ABD＝∠AC'D'＝45°，∴∠ABC'＝∠AC'B，∴∠DBC'＝∠BC'D'，∴BE＝CE，∴AM为BC'的垂直平分线，∴AM⊥BC'∵E为BD的中点，∴ED＝1，∴AE＝＝，设EM＝m，则BM＝＝，在Rt△ABM中，AM2+BM2＝AB2，即（m+）2+1﹣m2＝8，解得：m＝，∴BC'＝2BM＝2×＝2×，故答案为：；（2）①如图，当0＜a＜90°时，由（2）知，整体图形为轴对称图形，∴S△BC'D'＝S△BDC，∴S最大时，C'离BD边最远，即A，D，C'三点共线，此时，S△BDC最大值＝2×（2）×＝2﹣2，②如图，当90°＜α＜180°时，此时图形为轴对称图形，∴S最大时，C'离BD边最远，即A，D，C'三点共线，此时，S△BDC最大值＝2×（2）×＝2+2，当180°＜α＜360°时，情况和上述两图类似，S△BDC最大值＝2+2，综上所述：在整个旋转过程中，△BCD'面积的最大值为2+2，故答案为：2+2．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝25．动点P从点A出发，以每秒7个单位长度的速度沿折线AC﹣CB向终点B运动．当点P不与△ABC顶点重合时，作∠CPQ＝135°，交边AB于点Q，以CP、PQ为边作▱CPQD．设点P的运动时间为t 秒．（1）求AC的长．（2）当点P在边AC上时，求点Q到边AC的距离（用含t的代数式表示）；（3）当▱CPQD的某条对角线与△ABC的直角边垂直时，求▱CPQD的面积；（4）以点P为直角顶点作等腰直角三角形EPQ，使点E与点C在PQ同侧，设EQ的中点为F，▱CPQD的对称中心为点O，连接OF．当OF∥PQ时，直接写出t的值．【分析】（1）利用勾股定理求解即可．（2）如图1中，过点Q作QM⊥AC于点M．由tan A＝＝＝，设MQ＝3a．AM ＝4a，由题意∠QPM＝45°，推出PM＝MQ＝3a，推出AP＝7a＝7t，可得a＝t，由此即可解决问题．（3）分两种情形：当PD⊥AC时，如图2中，当PD⊥BC时，过点Q作Q⊥AC于点M．如图3中，过点Q作QN⊥PB于点N．分别构建方程求解，可得结论．（4）分两种情形：如图4﹣1中，当△PDQ是等腰直角三角形时，满足条件．如图4﹣2中，当△PQD是等腰直角三角形时，满足条件．分别构建方程求解即可．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝25，∴AC＝＝＝20．（2）如图1中，过点Q作QM⊥AC于点M．在Rt△AMQ中，∠AMQ＝90°，tan A＝＝＝，设MQ＝3a．AM＝4a，∵∠CPQ＝135°，∴∠QPM＝45°，∴PM＝MQ＝3a，∴AP＝7a＝7t，∴a＝t，∴MQ＝3t．（3）当PD⊥AC时，如图2中，过点Q作Q⊥AC于点M．∵CP＝PD＝QM＝PM＝3t，AM＝4t，∴4t+3t+3t＝20，∴t＝2，∴▱CPQD的面积＝6×6＝36．当PD⊥BC时，如图3中，过点Q作QN⊥PB于点N．∵∠CPQ＝135°，∴∠QPN＝45°，∵CD∥PQ，∴∠DCP＝∠QPN＝45°，∴CP＝PD＝QN＝PN＝7t﹣20，∵tan B＝＝＝，∴2（7t﹣20）+（7t﹣20）＝15，解得t＝，∴▱CPQD的面积＝（7×﹣20）2＝．综上所述，满足条件的▱CPQD的面积为36或．（4）如图4﹣1中，当△PDQ是等腰直角三角形时，满足条件．过点Q作QM⊥AC于点M，则AM＝4t，PM＝QM＝3t，∴PQ＝PD＝3t，∴PC＝6t，∴4t+3t+6t＝20，∴t＝．如图4﹣2中，当△PQD是等腰直角三角形时，满足条件．过点N作QN⊥CB于点N．∵PC＝PD＝PQ＝2PN，＝，∴7t﹣20+（7t﹣20）+×（7t﹣20）＝15，∴t＝4，综上所述，满足条件的t的值为或4．24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2﹣2x+a2﹣1（a≠0，且a为常数）的图象记为G．（1）当点O在图象G上时，求a的值．（2）当图象G的对称轴与直线x＝﹣2之间的部分的函数值y随x增大而减小时（直线x＝﹣2与对称轴不重合），求a的取值范围；（3）当图象G的x≥4a部分的图象的最低点到x轴的距离是x＜2a部分图象的最低点到x轴的距离的2倍时，求a的值；（4）以点A（0，﹣1）为对称中心，以|4a|为边长作正方形，使该正方形的边与坐标轴平行或垂直．若图象G与该正方形的某条边只有两个交点，且两个交点之间的距离为|a|，直接写出a的值．【分析】（1）把原点O（0，0）代入y＝x2﹣2x+a2﹣1即可求解；（2）分a＞0和a＜0两种情况讨论，根据抛物的对称轴以及二次函数的性质即可求解；（3）根据图象G的x≥4a部分的图象的最低点，知a＞0，分别求得图象G的x≥4a部分和x＜2a部分的最低点的坐标，再根据题意列方程求解即可；（4）如解图，G与正方形某边有两个交点，只可能与BE或CD相交处两个交点，分a ＞0和a＜0两种情况讨论，根据一元二次方程的根与系数的关系求解．解：（1）∵点O在图象G上，∴x2﹣2x+a2﹣1＝0，即a2﹣1＝0，解得：a1＝1，a2＝﹣1，∴a的值为±1；（2）抛物线y＝x2﹣2x+a2﹣1的对称轴是直线x＝a，当a＞0时，抛物线开口向上，∴当a＞0时，直线x＝a与直线x＝﹣2之间的部分的函数值y随x增大而减小，当a＜0时，抛物线开口向下，∴当a＜﹣2时，直线x＝a与直线x＝﹣2之间的部分的函数值y随x增大而减小，∴当a＜﹣2或a＞0时，直线x＝a与直线x＝﹣2之间的部分的函数值y随x增大而减小；（3）∵图象G的x≥4a部分的图象的最低点，∴a＞0，图象G的x≥4a部分的图象有最低点的坐标为（4a，a2+8a﹣1），而x＜2a部分图象的最低点坐标为（a，a2﹣a﹣1），①a2+8a﹣1＝2（a2﹣a﹣1），解得：a1＝5+，a2＝5﹣（舍去），②a2+8a﹣1＝﹣2（a2﹣a﹣1），解得：a1＝﹣1+，a2＝﹣1﹣（舍去），③当图象G的x≥4a部分的图象的最低点与x＜2a部分图象的最低点均在x轴下方，不符合题意，综上所述，a的值为a＝5+或a＝﹣1+；（4）取正方形四个顶点分别为BCDE，B、E的纵坐标为：﹣1+2|a|，C、D的纵坐标为：﹣1﹣2|a|，G与正方形某边有两个交点，只可能与BE或CD相交出两个交点，当a＞0时，B、E的纵坐标为：﹣1+2a，可得：﹣1+2a＝x2﹣2x+a2﹣1，整理得：x2﹣2ax+a3﹣2a2＝0，设方程的两根为x1、x2，则x1+x2＝2a，x1x2＝a3﹣2a2，∴（x1﹣x2）2＝a2，则（x1+x2）2﹣4x1x2＝a2，解得：a＝，当与CD边相交时，C、D边纵坐标为﹣1﹣2a，﹣1﹣2a＝x2﹣2x+a2﹣1，且x1﹣x2＝a，无解，当a＜0时，B、E纵坐标为﹣1﹣2a，﹣1﹣2a＝x2﹣2x+a2﹣1，且x1﹣x2＝a，解得：a＝﹣，当与CD边相交时，C、D纵坐标为﹣1+2a，﹣1+2a＝x2﹣2x+a2﹣1，且x1﹣x2＝a，无解，综上所述，a＝或a＝﹣．。
2021年吉林省长春市中考数学一模试卷(含答案解析)
2021年吉林省长春市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.一个数的相反数是8，那么这个数是()A. 8B. −8C. −(−8)D. |−8|2.已知光速为300000千米/秒，光经过t秒(1≤t≤10)传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米，则n可能为()A. 5B. 6C. 5或6D. 5或6或73.如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的从上面看到的形状图，图中所示的数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体从左面看到的形状图是()A. B. C. D.4.从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有实数解的概率为()A. 14B. 13C. 12D. 235.如图，某数学活动小组在吉林广播电视塔周边做数学测算活动、在C处测得最高点A的仰角为α，在D处测得最高点A的仰角为β，点C，B，D在同一条水平直线上，且吉林广播电视塔的高度AB为ℎ(m)，则CD之间的距离为()A. ℎ⋅(tanα+tanβ)mB. ℎtanα+tanβmC. ℎtanα⋅tanβm D. ℎ⋅(tanα+tanβ)tanα⋅tanβm6.下列命题中，正确的是()①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．A. ①②③B. ③④⑤C. ①②⑤D. ②④⑤7.已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则这个等腰三角形的周长为()A. 12B. 12或15C. 15D. 98.已知点P(−2,3)是反比例函数y=k图象上的一点，则下列各点中，也在该函数图象上的是()xA. (2,−3)B. (3,2)C. (−2,−3)D. (2,3)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.因式分解：2x−4=______．10.已知关于x的不等式组{2x+3>03x−a≤0有且只有四个整数解，则a的取值范围为______11.如图，AD//BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠ADE的度数为______．12.农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是．13.已知如图：△ABC中，∠C=90°，BC=AC，以AC为直径的圆交AB于D，若AD=8cm，则阴影部分的面积为______．14.一个大正方形中有2个小正方形，若它们的面积分别为S1，S2，则S1______ S2(填“=”或“>”或“<“)．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.(1)计算：−14−|1−0.5|÷3×[2−(−3)2](2)化简：(3x2−xy−2y2)−2[x2+(xy−2y)2]16.(9分)如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，一组牌分别是黑桃1、2、3、4，另一组牌方块1、2、3、4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，(1)摸出的两张牌的牌面数字之和等于５的概率是多少？(2)摸出的牌面数字和大于4的概率是多少？17. 某校组织七年级学生从学校出发，到距学校9km的教育基地开展社会实践活动，一部分学生骑自行车先出发，半小时后，其他学生乘公共汽车出发，结果两批学生同时到达目的地．已知公共汽车的行驶速度是自行车骑行速度的3倍，求自行车的骑行速度和公共汽车的行驶速度分别是多少？18. 如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E；过点B作BF⊥ED，交ED的延长线于点F．(1)求证：△DFB≌△DEA；(2)某数学兴趣小组解答(1)后发现，在图中只需将△AED剪下来拼到△BFD处，就可得到一个与△ABC等面积的矩形EFBC继续讨论后又发现，任意三角形也可以剪拼成一个等面积的矩形，请你在图②中画出一种剪拼示意图，并简要说明作法(不需要证明)19. 某小学开展寒假争星活动，学生可以从“自理星”、“读书星”、“健康星”、“孝敬星”等中选一个项目参加争星竞选，根据该校一年级某班学生的“争星”报名情况，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：(1)参加调查的学生共有______人；(2)将条形统计图补充完整；(3)请计算扇形统计图中“读书星”对应的扇形圆心角度数；(4)根据调查结果，试估计该小学全校3600名学生中争当“健康星”的学生人数．20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A′BD．(1)利用尺规作出△A′BD.(要求保留作图痕迹，不写作法)；(2)设DA′与BC交于点E，求证：△BA′E≌△DCE．21. 甲、乙分别骑自行车和摩托车从长沙出发前往30km外的湘潭，途中乙因修车耽误些时间，然后继续赶路.如图，线段OA和折线OBCD分别反映了两人所行路程y(km)和时间x(min)的函数关系．(1)甲骑自行车的速度是______ km/min；(2)两人第二次相遇时，离长沙______ km；(3)求线段CD所在直线的函数的解析式．22. 如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，ABCD的顶点A的坐标为(−2,0)，点D的坐标为(0,)，点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G.(1)求∠DCB的度数；(2)当点F的坐标为(−4,0)时，求点G的坐标；(3)连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF′，记直线EF′与射线DC的交点为H．①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标．23. 在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF、EG始终与矩形AB、BC两边相交，AB=2，FG=8，(1)如图1，当EF、EG分别过点B、C时，求∠EBC的大小；(2)在(1)的条件下，如图2，将△FFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动．若EF、EG分别与AB、BC相交于点M、N，①在△EFG旋转过程中，四边形BMEN的面积是否发生变化？若不变，求四边形BMEN的面积；若要变，请说明理由．②如图3，设点O为FG的中点，连结OB、OE，若∠F=30°，当OB的长度最小时，求tan∠EBG的值．x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴交于A、B两点(点B在点24. 如图，已知抛物线y=ax2+32A的右侧)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)以BC为边作正方形CBDE，求对角线BE所在直线的解析式；(3)点P是抛物线上一点，若∠APB=45°，求出点P的坐标．【答案与解析】1.答案：B解析：解：−8的相反数是8，故选：B．根据相反数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数定义．2.答案：C解析：解：当t=1时，光传播的距离为1×300000=300000=3×105(千米)，则n=5；当t=10时，光传播的距离为10×300000=3000000=3×106(千米)，则n=6.因为1≤t≤10，所以n可能为5或6，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.答案：A解析：解：观察图形可知，这个几何体从左面看到的形状图是．故选：A．由俯视图易得此组合几何体有3层，三列，3行．找从左面看所得到的图形，应看俯视图有几行，每行上的小正方体最多有几个．本题考查了由三视图判断几何体，三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．4.答案：C解析：解：画树状图得：由树形图可知：一共有16种等可能的结果，其中使ac≤4的有8种结果，∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有实数解的概率为12，故选：C．首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使ac≤4的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5.答案：D解析：解：在直角△ABC中，BC=ABtanα=ℎtanα，在直角△ABC中，BD=ABtanβ=ℎtanβ，则CD=BD+BC=ℎtanα+ℎtanβ=ℎ⋅(tanα+tanβ)tanα⋅tanβm即CD之间的距离为ℎ⋅(tanα+tanβ)tanα⋅tanβm，故选：D．通过解直角△ABC和直角△ABC分别求得BC、BD的长度，根据CD=BD+BC即可求得CD的长度．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题．解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．6.答案：B解析：试题分析：根据圆周角定理及确定圆的条件对各个命题进行分析，从而得到答案．①、圆周角的特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交，故错误；②、必须是同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，故错误；③、圆周角定理，故正确；④、符合确定圆的条件，故正确；⑤、符合圆周角定理，故正确；所以正确的是③④⑤．故选B．7.答案：C解析：解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6∴不能构成三角形，故舍去．∴这个等腰三角形的周长为15．故选：C．因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8.答案：A解析：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．图象过点(−2,3)求出k的值，再根据k=xy的特点进行解答即可．先根据反比例函数y=kx解：∵反比例函数y=k图象过点(−2,3)，x∴3=k，即k=−6，−2A、∵2×(−3)=−6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确．B、∵3×2=6≠−6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C、∵−2×(−3)=6≠−6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；D、∵2×3=6≠−6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；故选：A．9.答案：2(x−2)解析：解：2x−4=2(x−2)．故答案为：2(x−2)．提取公因式2即可．本题考查了因式分解．解题的关键是掌握用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 10.答案：6≤a <9解析：解：解不等式组{2x +3>03x −a ≤0得：−1.5<x ≤a 3， ∵关于x 的不等式组{2x +3>03x −a ≤0有且只有四个整数解， ∴2≤a3<3，解得：6≤a <9，故答案为：6≤a <9．先求出不等式组的解集，根据已知得出不等式组2≤a 3<3，求出解集即可．本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能得出关于a 的不等式组是解此题的关键． 11.答案：60°解析：解：∵AD//BC ，∴∠ADB =∠DBC ，∵DB 平分∠ADE ，∴∠ADB =∠ADE ，∵∠B =30°，∴∠ADB =∠BDE =30°，则∠ADE 的度数为：60°．故答案为：60°．直接利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠ADB =∠BDE ，进而得出答案．此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ADB 的度数是解题关键．12.答案：64πm 2解析：由图可知，需要的塑料膜的面积应该是以大棚长为长，以半圆形截面的弧长为宽的矩形的面积，半圆形截面弧长为：2π，进而得出塑料膜的面积．13.答案：32cm 2解析：解：连接CD ，∵△ABC 中，∠C =90°，BC =AC ，∴∠DAC=45°，∵以AC为直径的圆交AB于点D，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB，∴CD=AD=BD，∵AD=8cm，∴图中阴影部分的面积为：S△BDC=12BD⋅CD=12×8×8=32(cm2).故答案为：32cm2．连接CD，构建直径所对的圆周角，利用等腰直角三角形的性质得出图中阴影部分的面积为△BCD的面积，即可得出答案．此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及圆周角定理的推论等知识，连接CD是解决问题的关键．14.答案：>解析：解：如图，设大正方形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=√2BC，BC=CE=√2CD，∴AC=2CD，CD=x3，∴S2的边长为√23x，S2的面积为29x2，S1的边长为x2，S1的面积为14x2，∴S1>S2．故答案为：>．设大正方形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知AC、BC的长，进而可求得S2的边长，由面积的求法可得答案．本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．15.答案：解：(1)原式=−1−|1−0.5|÷3×(2−9)=−1−12÷3×(−7)=−1−12×13×(−7)=−1+7 6=16；(2)原式=3x2−xy−2y2−2(x2+x2y2−4xy2+4y2)=3x2−xy−2y2−2x2−2x2y2+8xy2−8y2=x2−xy−10y2−2x2y2+8xy2．解析：(1)直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；(2)直接利用整式的混合运算法则化简进而得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．16.答案：(1)；(2)．解析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．解：(1)可以用下表列举所有可能得到的牌面数字之和：由上表可知，共有16种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字之和等于5的情况共出现4次，因此牌面数字之和等于5的概率为：(2)．17.答案：解：设自行车的速度为xkm/ℎ，则公共汽车的速度为3xkm/ℎ，根据题意得：9x −93x=12，解得：x=12，经检验，x=12是原分式方程的解，∴3x=36．答：自行车的速度是12km/ℎ，公共汽车的速度是36km/ℎ．解析：设自行车的速度为xkm/ℎ，则公共汽车的速度为3xkm/ℎ，根据时间=路程÷速度结合乘公共汽车比骑自行车少用半小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．18.答案：(1)证明：∵DE⊥AC，BF⊥ED，D是AB的中点，∴∠AED=∠BFD=90°，AD=BD，∵∠ADE=∠BDF，∴△DFB≌△DEA(AAS)；(2)如图②，分别过AC、BC的中点M、N作AB的垂线，垂足分别为O、P，再过点C作AB的平行线，与OM、PN的延长线交于点E、F，则△AMO≌△CME，△BNP≌△CNF，∴△ABC的面积与矩形OPFE的面积相等．解析：(1)利用全等三角形的判定AAS即可证明△DFB≌△DEA；(2)分别过AC、BC的中点M、N作AB的垂线，垂足分别为O、P，再过点C作AB的平行线，与OM、PN的延长线交于点E、F，则△ABC的面积与矩形OPFE的面积相等．本题考查了全等三角形的判定与性质及剪拼作图，解题关键是灵活运用全等三角形的判定与性质．19.答案：(1)50;(2)“自理星”的人数为50×30%=15人，补全图形如下：=72°；(3)扇形统计图中“读书星”对应的扇形圆心角度数为360°×1050(4)3600×12=864，50答：该小学全校3600名学生中争当“健康星”的学生人数为864人．解析：解：(1)参加调查的学生共有8÷16%=50人，故答案为：50；(2)见答案；(3)见答案；(4)见答案．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．20.答案：(1)解：如图，△A′BD为所求；(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠A=∠C，∵△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A′BD，∴BA=BA′，∴BA′=CD，在△BA′E和△DCE中{∠BEA′=∠DEC ∠A′=∠C BA′=DC，∴△BA′E≌△DCE ．解析：(1)分别以B 、D 为圆心，BA 和DA 为半径画弧交于点A′，则△A′BD 满足条件；(2)先根据平行四边形的性质得到AB =CD ，∠A =∠C ，则利用折叠性质得到BA =BA′，所以BA′=CD ，然后根据“AAS ”可证明△BA′E≌△DCE ．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定． 21.答案：14 20解析：解：(1)由图可得，甲骑自行车的速度是：30÷120=14千米/分钟，故答案为：14；(2)两人第二次相遇时距离长沙：14×80=20千米，故答案为：20；(3)设线段CD 的表达式为y =kx +b(k ≠0)，∵线段CD 经过点C(50,10)和(80,20)，∴{50k +b =1080k +b =20， 解得，{k =13b =−203， ∴y =13x −203，当y =30时，x =110，∴线段CD 所在直线的函数的解析式为y =13x −203(50≤x ≤110)．(1)根据函数图象中的数据可以求得甲骑自行车的速度；(2)根据(1)中的答案和函数图象中的数据可以求得两人第二次相遇时距离长沙的距离；(3)根据(2)中的答案和一次函数的性质可以求得线段CD 所在直线的函数的解析式．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．22.答案：解：(1)在Rt△AOD中，∵tan∠DAO==，∴∠DAB=60°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DCB=∠DAB=60°.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD//AB，∴∠DGE=∠AFE．又∵∠DEG=∠AEF，DE=AE，∴△DEG≌AEF，∴DG=AF．∵AF=OF−OA=4−2=2，∴点G的坐标为(2,).(3)①∵CD//AB.∴∠DGE=∠OFF．∵△OEF经轴对称变换后得到△OEF′，∴∠OFE=∠OF′E，∴∠DGE=∠OF′E．在Rt△AOD中，∵E是AD的中点，∴OE=AD=AE．又∵∠EAO=60°.∴∠EOA=60°，∠AEO=60°．又∵∠EOF′=∠EOA=60°，∴∠EOF′=∠OEA，∴AD//OF′，∴∠OF′E=∠DEH，∴∠DEH=∠DGE．又∵∠HDE=∠EDG.∴△DHE∽△DEG．②点F的坐标是F1(−+1，0)，F2(−−5，0)．对于此小题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．过点E作EM⊥直线CD于点M，∵CD//AB，∴∠EDM=∠DAB=60°，∴EM=DE·sin60°=2×=．∵S△EGH=·GH·ME=·CH·=3，∴GH=6．∵△DHE∽△DEG，∴即DE2=DG·DH．当点H在点G的右侧时，设DG=x，DH=x+6，∴4=x(x+6)，解得：x 1=−3+，x 2=−3−(舍)．∵△DEG≌△AEF，∴AF=DG=−3+．∵OF=AO+AF=−3++2=−1，∴点F的坐标为(−+1，0)．当点H在点G的左侧时，设DG=x，DH=x−6，∴4=x(x−6)，解得：x 1=3+，x 2=3−(舍)．∵△DEG≌△AEF.∴AF=DG=3+．∵OF=AO+AF=3++2=+5，∴点F的坐标为(−−5，0)．综上可知，点F的坐标有两个，分别是F1(−+1，0)，F 2(−−5，0)．解析：略23.答案：解：(1)如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵AE=DE，∴△AEB≌△DEC(SAS)，∴EB=EC，∵∠BEC=90°，∴∠EBC=45°．(2)①结论：四边形BMEN的面积不变．理由：由(1)可知：∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△MEB≌△NEC(ASA)，∴S△MEB=S△ENC，∴S四边形EMBN =S△EBC=12×4×2=4．②如图当E，B，O共线时，OB的值最小，作GH⊥OE于H．∵OF=OG，∠FEG=90°，∴OE=OF=OG=4，∵∠F=30°，∴∠EGF=60°，∴△EOG是等边三角形，∵GH⊥OE，∴GH=2√3，OH=EH=2，∵BE=2√2，∴OB=4−2√2，∴BH=2−(4−2√2)=2√2−2，∴tan∠EBG=HGBH =√32√2−2=√6+√3．解析：本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．(1)证明△AEB≌△DEC(SAS)，可得EB=EC，根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．(2)①四边形BMEN的面积不变．证明△MEB≌△NEC(ASA)，推出S△MEB=S△ENC，可得S四边形EMBN= S△EBC．②如图当E，B，O共线时，OB的值最小，作GH⊥OE于H，想办法求出BH，GH即可解决问题．24.答案：解：(1)∵抛物线的对称轴是直线x=3∴−322a=3，解得：a=−14∴抛物线的解析式为y=−14x2+32x+4(2)当y=−14x2+32x+4=0时，解得：x1=−2，x2=8∴A(−2,0)，B(8,0)∴AB=10，OB=8当x =0时，y =−14x 2+32x +4=4∴C(0,4)，OC =4①如图1，若点E 在第一象限，过点E 作EF ⊥y 轴于点F∴∠CFE =∠BOC =90°∵四边形CBDE 是正方形∴∠BCE =90°，BC =CE∴∠BCO +∠OBC =∠BCO +∠FCE =90°∴∠OBC =∠FCE在△FCE 与△OBC 中{∠CFE =∠BOC ∠FCE =∠OBC CE =BC∴△FCE≌△OBC(AAS)∴FC =OB =8，EF =OC =4∴OF =OC +FC =12∴E(4,12)设直线BE 解析式为：y =kx +b∴{8k +b =04k +b =12 解得：{k =−3b =24∴直线BE 解析式为y =−3x +24②如图2，若点E 在第三象限，过点E 作EF ⊥y 轴于点F同理可证：△FCE≌△OBC(AAS)∴FC =OB =8，EF =OC =4∴OF =FC −OC =8−4=4∴E(−4,−4)设直线BE 解析式为：y =k′x +b′∴{8k′+b′=0−4k′+b′=−4 解得：{k′=13b′=−83∴直线BE 解析式为y =13x −83综上所述，直线BE 解析式为y =−3x +24 或y =13x −83(3)以AB为斜边作等腰Rt△AGB，则AG=BG，∠AGB=90°以点G为圆心、AG长为半径画圆，则点P在优弧AB上时总有∠APB=45°．如图3，若点G在第一象限，⊙G与抛物线交点只有A、B，即没有满足条件的点P使∠APB=45°如图4，若点G在第四象限，过点G作GM⊥x轴于点M∴AM=BM=GM=12AB=5，∴G(3,−5)设P(p,−14p2+32p+4)∵PG=AG=√22AB=5√2∴PG2=50可得方程：(p−3)2+(−14p2+32p+4+5)2=50解得：p1=−4，p2=10，p3=−2(即点A，舍去)，p4=8(即点B，舍去)∴−14p2+32p+4=−6∴点P坐标为(−4,−6)或(10,−6)解析：(1)利用对称轴公式列式即求出a的值，进而得抛物线解析式．(2)由于边DE所在位置不同，故需对点E所在位置分类讨论．过点E作y轴垂线，根据∠BCE=90°构造三垂直全等模型，即求得点E坐标，进而求直线BE解析式．(3)由点P运动过程中∠APB=45°联想到圆周上的圆周角，只要构造出∠APB为圆周角，其所对圆心角等于90°即可．故以AB为斜边作等腰直角三角形ABG.若G在第一象限，则圆与抛物线无除A、B 外的交点，故点G需在第四象限．求出点G坐标，设P坐标，以PG的长等于半径5√2为等量关系列方程，即求得p的值进而得点P坐标．本题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数解析式，圆周角定理，两点间距离公式．解题关键是：第(2)题由正方形构造全等；第(3)题由P为动点而∠APB 为定值联想到圆周角定理．。
吉林省长春市朝阳区2021届中考一模数学试卷(含解析)
2021年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕1．下面四个数中比﹣2小的数是〔〕A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣32．据统计，2021年长春市区机动车保有量已经到达1190000辆，1190000这个数用科学记数法表示为〔〕A．119×104×105×106×1073．计算〔4ab〕2的结果是〔〕A．8ab B．8a2b C．16ab2D．16a2b24．如图是从棱长为4的正方体的一角，挖去一个棱长为2的小正方体得到的立体图形，其主视图是〔〕A．B．C．D．5．方程x2﹣4x+3=0的根的情况是〔〕A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根6．把多项式x2﹣8x+16分解因式，结果正确的选项是〔〕A．〔x﹣4〕2B．〔x﹣8〕2C．〔x+4〕〔x﹣4〕D．〔x+8〕〔x﹣8〕7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50°，那么∠BCE的度数为〔〕A．40° B．50° C．60° D．130°8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，那么菱形ABCD的面积为〔〕A．2 B．4 C．2 D．4二、填空题〔本大题共6小题，每题3分，共18分〕9．计算： = ．10．不等式组的解集为．11．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，假设∠B=36°，那么∠D的大小为度．12．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AD=6，DF⊥AB，以点D为圆心，DF为半径作圆弧，分别交AD，CD于点E，G，那么图中阴影局部的面积为〔结果保存π〕13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B在第一象限，直线y=x+1交y轴于点D，且点D为CO中点，将直线绕点D顺时针旋转15°经过点B，那么点B的坐标为．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为〔0，2〕，〔1，0〕，顶点C在函数y=x2+bx﹣1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，那么点D与其对应点D′间的距离为．三、解答题〔本大题共10小题，共78分〕15．〔6分〕先化简，再求值：〔x+2〕〔x﹣2〕﹣〔x+3〕2，其中x=．16．〔6分〕甲、乙两人各有一个不透明的口袋，甲的口袋中装有四个小球，上面分别标有数字1，2，3，4，；乙的口袋中装有三个小球，上面分别标有数字3，4、5，这些小球除数字不同外其余均一样，甲，乙两人分别从各自口袋中随机摸出一个球，用画树状图〔或列表〕的方法，求两人摸出的小球上的数字之和是3的倍数的概率．17．〔6分〕某花卉商店用1000元购进一批多肉植物，很快售完；该商店又用1500元购进第二批同种多肉植物，所购数量是第一批的1.2倍，但每株多肉植物的进价比第一批的多2元，求第一批多肉植物每株的进价．18．〔7分〕如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE，求证：四边形AEFD是平行四边形．19．〔7分〕为弘扬中华传统文化，某校组织七年级800名学生参加诗词大赛，为了解学生整体的诗词积累情况，随机抽取局部学生的成绩〔得分取正整数，总分值为100分〕进展统计分析，请根据尚未完成的列图表，解答问题：组别分数段频数频率一～16二～40三～50四～m五～24 n〔1〕本次抽样中，表中m= ，n= ，样本成绩的中位数落在第组内．〔2〕补全频数分布直方图．〔3〕假设规定成绩超过80分为优秀，请估计该校七年级学生中诗词积累成绩为优秀的人数．20．〔7分〕如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度AB，无人机在离教学楼底部B处16米的C处垂直上升31米至D处，测得教学楼顶A处的俯角为39°，求教学楼的高度AB．〔结果准确到〕【参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81】21．〔8分〕周末，甲、乙两名大学生骑自行车去距学校6000米的净月潭公园，两人同时从学校出发，以a米/分的速度匀速行驶，出发4.5分钟时，甲同学发现忘记带学生证，以米/分的速度按原路返回学校，取完学生证〔在学校取学生证所用时间忽略不计〕，继续以返回时的速度追赶乙，甲追上乙后，两人以一样的速度前往净月潭，乙骑自行车的速度始终不变，设甲，乙两名大学生距学校的路程为s〔米〕，乙同学行驶的时间为t〔分〕，s与t 之间的函数图象如下图．〔1〕求a，b的值；〔2〕求甲追上乙时，距学校的路程；〔3〕当两人相距500米时，直接写出t的值是．22．〔9分〕定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“等对边四边形〞．〔1〕：图①、图②是5×5的正方形网格，线段AB，BC的端点均在格点上，在图①、图②中，按要求以AB，BC为边各画一个等对边四边形ABCD．要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，且两个四边形不全等．〔2〕如图③，在Rt△BCP中，∠C=90°，点A是BP的中点，BP=13，BC=5，点D在边CP 上运动，设CD=x，直接写出四边形ABCD为等对边四边形时x的值为．23．〔10分〕如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10cm，BC=8cm，点D是线段AC的中点，动点P从点A出发，沿A﹣D﹣B﹣C向终点C运动，速度为5cm/s，当点P不与点A，B 重合时，作PE⊥AB交线段AB于点E，设点P的运动时间为t〔s〕，△APE的面积为S〔cm2〕．〔1〕求AB的长；〔2〕当点P在线段BD上时，求PE的长〔用含t的式子表示〕；〔3〕当P沿A﹣D﹣B运动时，求S与t之间的函数关系式；〔4〕点E关于直线AP的对称点为E′，当点E′落在△ABC的内部时，直接写出t的取值范围．24．〔12分〕如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为〔6，6〕，〔6，0〕，抛物线y=﹣〔x﹣m〕2+n的顶点P在折线OA﹣AB上运动．〔1〕当点P在线段OA上运动时，抛物线y=﹣〔x﹣m〕2+n与y轴交点坐标为〔0，c〕．①用含m的代数式表示n，②求c的取值范围．〔2〕当抛物线y=﹣〔x﹣m〕2+n经过点B时，求抛物线所对应的函数表达式；〔3〕当抛物线与△ABO的边有三个公共点时，直接写出点P的坐标．2021年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕1．下面四个数中比﹣2小的数是〔〕A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3【考点】18：有理数大小比拟．【分析】根据有理数大小比拟的法那么直接求得结果，再判定正确选项．【解答】解：∵正数和0大于负数，∴排除A与B，即只需和C、D比拟即可求得正确结果．∵|﹣2|=2，|﹣1|=1，|﹣3|=3，∴3＞2＞1，即|﹣3|＞|﹣2|＞|﹣1|，∴﹣3＜﹣2＜﹣1．应选D．【点评】考察了有理数大小比拟法那么．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．2．据统计，2021年长春市区机动车保有量已经到达1190000辆，1190000这个数用科学记数法表示为〔〕A．119×104×105×106×107【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数一样．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．×106，应选：C．【点评】此题考察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．计算〔4ab〕2的结果是〔〕A．8ab B．8a2b C．16ab2D．16a2b2【考点】47：幂的乘方与积的乘方．【分析】直接利用积的乘方运算法那么求出答案．【解答】解：〔4ab〕2=16a2b2．应选：D．【点评】此题主要考察了积的乘方运算，正确掌握运算法那么是解题关键．4．如图是从棱长为4的正方体的一角，挖去一个棱长为2的小正方体得到的立体图形，其主视图是〔〕A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看大正方形的左上角是一个小正方形，故A符合题意；应选：A．【点评】此题考察了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．5．方程x2﹣4x+3=0的根的情况是〔〕A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根【考点】AA：根的判别式．【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进展判断．【解答】解：△=〔﹣4〕2﹣4×1×3=4＞0，所以方程有两个不相等的两个实数根．应选D．【点评】此题考察了根的判别式：用一元二次方程根的判别式〔△=b2﹣4ac〕判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．把多项式x2﹣8x+16分解因式，结果正确的选项是〔〕A．〔x﹣4〕2B．〔x﹣8〕2C．〔x+4〕〔x﹣4〕D．〔x+8〕〔x﹣8〕【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣8x+16=〔x﹣4〕2．应选：A．【点评】此题主要考察了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50°，那么∠BCE的度数为〔〕A．40° B．50° C．60° D．130°【考点】M6：圆内接四边形的性质；M5：圆周角定理．【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求解．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCE=∠A=50°．应选B．【点评】此题考察了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，那么菱形ABCD的面积为〔〕A．2 B．4 C．2 D．4【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；L8：菱形的性质．【分析】由点A、B的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点A、B的坐标，由两点间的距离公式即可求出AB的长度，再结合菱形的性质以及BC∥x轴即可求出菱形的面积．【解答】解：∵点A、B在反比例函数y=的图象上，且A，B两点的纵坐标分别为3、1，∴点A〔1，3〕，点B〔3，1〕，∴AB==2．∵四边形ABCD为菱形，BC与x轴平行，∴BC=AB=2，∴S菱形ABCD=BC•〔y A﹣y B〕=2×〔3﹣1〕=4．应选D．【点评】此题考察了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质，解题的关键是求出菱形的边长．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，再由两点间的距离公式求出菱形的边长是关键．二、填空题〔本大题共6小题，每题3分，共18分〕9．计算： = ．【考点】75：二次根式的乘除法．【分析】原式利用二次根式乘法法那么计算即可得到结果．【解答】解：原式==，故答案为：【点评】此题考察了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法那么是解此题的关键．10．不等式组的解集为1＜x≤3 ．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，解不等式2x≤6，得：x≤3，那么不等式组的解集为1＜x≤3，故答案为：1＜x≤3．【点评】此题考察的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是根底，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到〞的原那么是解答此题的关键．11．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，假设∠B=36°，那么∠D的大小为72 度．【考点】KH：等腰三角形的性质；JA：平行线的性质．【分析】首先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠D的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠B=36°，∴∠C=∠B=36°，又∵点E在BC上，且CD=CE，∴∠D=∠CED，∴在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°，∴36°+2∠D=180°，∴∠D=72°，故答案为：72．【点评】此题考察了两直线平行，内错角相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．12．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AD=6，DF⊥AB，以点D为圆心，DF为半径作圆弧，分别交AD，CD于点E，G，那么图中阴影局部的面积为18﹣9π〔结果保存π〕【考点】MO：扇形面积的计算；L8：菱形的性质．【分析】根据正弦的概念求出DF，根据菱形的面积公式、扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC=180°﹣∠DAB=120°，DF=AD×sinA=3，∴菱形ABCD的面积=AB×DF=18，扇形DEG的面积==9π，∴图中阴影局部的面积=18﹣9π，故答案为：18﹣9π．【点评】此题考察的是菱形的性质、扇形面积的计算，掌握扇形面积公式、菱形的性质、正弦的概念是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B在第一象限，直线y=x+1交y轴于点D，且点D为CO中点，将直线绕点D顺时针旋转15°经过点B，那么点B的坐标为〔，2〕．【考点】F9：一次函数图象与几何变换；LB：矩形的性质．【分析】由直线y=x+1交y轴于点D，且点D为CO中点，求得D〔0，1〕，进而求得C〔0，2〕，CD=OD=1，结合矩形OABC得出∠CDE=45°，即可求得∠DBC=30°，解直角三角形求得BC=，即可求得B〔，2〕．【解答】解：∵直线y=x+1交y轴于点D，且点D为CO中点，∴D〔0，1〕，∴C〔0，2〕，CD=OD=1，∵四边形OABC是矩形，∴∠CDE=45°，∵∠EDB=15°，∴∠DBC=30°，∴BC=CD=，∴B〔，2〕．故答案为〔，2〕．【点评】此题考察了一次函数图象上点点坐标特征，矩形的性质，解直角三角形等，求得∠CDE=45°，进而求得∠DBC=30°是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为〔0，2〕，〔1，0〕，顶点C在函数y=x2+bx﹣1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，那么点D与其对应点D′间的距离为 2 ．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据A和B的坐标求OB和OA的长，证明∴△AOB ≌△BGC，BG=OA=2，CG=OB=1，写出C〔3，1〕，同理得：△BCG≌△CDH，得出D的坐标，根据平移的性质：D与D′的纵坐标一样，那么y=3，求出D′的坐标，计算其距离即可．【解答】解：如图，过C作GH⊥x轴，交x轴于G，过D作DH⊥GH于H，∵A〔0，2〕，B〔1，0〕，∴OA=2，OB=1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∴∠ABO+∠CBG=90°，∵∠ABO+∠OAB=90°，∴∠CBG=∠OAB，∵∠AOB=∠BGC=90°，∴△AOB≌△BGC，∴BG=OA=2，CG=OB=1，∴C〔3，1〕，同理得：△BCG≌△CDH，∴CH=BG=2，DH=CG=1，∴D〔2，3〕，∵C在抛物线的图象上，把C〔3，1〕代入函数y=x2+bx﹣1中得：b=﹣，∴y=x2﹣x﹣1，设D〔x，y〕，由平移得：D与D′的纵坐标一样，那么y=3，当y=3时， x2﹣x﹣1=3，解得：x1=4，x2=﹣3〔舍〕，∴DD′=4﹣2=2，那么点D与其对应点D′间的距离为2，故答案为：2．【点评】此题考察出了二次函数图象与几何变换﹣﹣平移、三角形全等的性质和判定、正方形的性质，作辅助线，构建全等三角形，明确D与D′的纵坐标一样是关键．三、解答题〔本大题共10小题，共78分〕15．先化简，再求值：〔x+2〕〔x﹣2〕﹣〔x+3〕2，其中x=．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2﹣4﹣x2﹣6x﹣9=﹣6x﹣13，当x=时，原式=﹣2﹣13=﹣15．【点评】此题考察了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握平方差公式，以及完全平方公式是解此题的关键．16．甲、乙两人各有一个不透明的口袋，甲的口袋中装有四个小球，上面分别标有数字1，2，3，4，；乙的口袋中装有三个小球，上面分别标有数字3，4、5，这些小球除数字不同外其余均一样，甲，乙两人分别从各自口袋中随机摸出一个球，用画树状图〔或列表〕的方法，求两人摸出的小球上的数字之和是3的倍数的概率．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】画树状图得出所有可能的情况数，找出之和为3的倍数的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：画树状图如下：∴P〔两人摸出的小球上的数字之和是3的倍数〕==．【点评】此题考察了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．某花卉商店用1000元购进一批多肉植物，很快售完；该商店又用1500元购进第二批同种多肉植物，所购数量是第一批的1.2倍，但每株多肉植物的进价比第一批的多2元，求第一批多肉植物每株的进价．【考点】B7：分式方程的应用．【分析】设第一批多肉植物每株的进价为x元，那么第二批每株的进价为〔x+2〕元，根据某花卉商店用1000元购进一批多肉植物，很快售完；该商店又用1500元购进第二批同种多肉植物，所购数量是第一批的1.2倍，列方程组求解．【解答】解：设第一批多肉植物每株的进价为x元，第二次进价为〔x+10〕元，由题意得，×1.2=，解得：x=8，经检验：x=8是原分式方程的解，且符合题意，答：第一批多肉植物每株的进价为8元．【点评】此题考察了分式方程的应用，解答此题的关键是读懂题意，设出未知数，找出适宜的等量关系，列方程求解，注意检验．18．如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE，求证：四边形AEFD是平行四边形．【考点】LB：矩形的性质；L6：平行四边形的判定．【分析】直接利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BE=CF，进而得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠DCF=90°，∵∠BAE=∠CDF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF〔ASA〕，∴BE=CF，∴BC=EF，∵BC=AD，∴EF=AD，又∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形．【点评】此题主要考察了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．19．为弘扬中华传统文化，某校组织七年级800名学生参加诗词大赛，为了解学生整体的诗词积累情况，随机抽取局部学生的成绩〔得分取正整数，总分值为100分〕进展统计分析，请根据尚未完成的列图表，解答问题：组别分数段频数频率一～16二～40三～50四～m五～24 n〔1〕本次抽样中，表中m= 70 ，n= 0.12 ，样本成绩的中位数落在第二组内．〔2〕补全频数分布直方图．〔3〕假设规定成绩超过80分为优秀，请估计该校七年级学生中诗词积累成绩为优秀的人数．【考点】V8：频数〔率〕分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数〔率〕分布表；W4：中位数．【分析】〔1〕根据第一组的频数是16，频率是0.08，即可求得总数，即样本容量，由频率=频数÷总数可得m、n的值；〔2〕根据〔1〕的计算结果即可作出直方图；〔3〕利用总数800乘以优秀的所占的频率即可．【解答】解：〔1〕本次调查的样本容量为16÷0.08=200，∴m=200×0.35=70，n=24÷200=0.12，∵共有100个数据，其中位数是第50、51个数据的中位数，∴中位数落在第二组内，故答案为：70，0.12，二；〔2〕补全频数分布直方图如下：〔3〕∵800×+0.12〕=376，∴估计该校七年级学生中诗词积累成绩为优秀的人数为376人．【点评】此题考察读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．20．如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度AB，无人机在离教学楼底部B 处16米的C处垂直上升31米至D处，测得教学楼顶A处的俯角为39°，求教学楼的高度AB．〔结果准确到〕【参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81】【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】过A作AF⊥CD于点F，继而可得出DE∥AF，CD=31米，BC=16米，AB=CF，AF=BC=16米，在Rt△ADF中利用三角函数求出DF的长度，继而可求得AB的长度．【解答】解：过A作AF⊥CD于点F，∴DE∥AF，CD=31米，BC=16米，AB=CF，AF=BC=16米，在Rt△ADF中，∠AFD=90°，tan∠DAF=，∴DF=AF•tan∠DAF=16×0.81=12.96〔米〕，∴≈18.0〔米〕．答：教学楼的高度AB约为．【点评】此题考察了解直角三角形的应用，解答此题的关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．21．周末，甲、乙两名大学生骑自行车去距学校6000米的净月潭公园，两人同时从学校出发，以a米/分的速度匀速行驶，出发4.5分钟时，甲同学发现忘记带学生证，以米/分的速度按原路返回学校，取完学生证〔在学校取学生证所用时间忽略不计〕，继续以返回时的速度追赶乙，甲追上乙后，两人以一样的速度前往净月潭，乙骑自行车的速度始终不变，设甲，乙两名大学生距学校的路程为s〔米〕，乙同学行驶的时间为t〔分〕，s与t之间的函数图象如下图．〔1〕求a，b的值；〔2〕求甲追上乙时，距学校的路程；〔3〕当两人相距500米时，直接写出t的值是 5.5分钟或17.5分钟．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】〔1〕根据速度=路程÷时间，即可解决问题．〔2〕首先求出甲返回用的时间，再列出方程即可解决问题．〔3〕分两种情形列出方程即可解决问题．【解答】解：〔1〕由题意a==200，b==30，∴a=200，b=30．〔2〕+4.5=7.5，设t分钟甲追上乙，由题意，300〔t﹣7.5〕=200t，解得t=22.5，×200=4500，∴甲追上乙时，距学校的路程4500米．〔3〕两人相距500米是的时间为t分钟．×200〔t﹣4.5〕+200〔t﹣4.5〕=500，解得t=5.5分钟，或300〔t﹣7.5〕+500=200t，解得t=17.5分钟，故答案为5.5分钟或17.5分钟．【点评】此题考察一次函数的应用、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会寻找等量关系列出方程解决问题，属于中考常考题型．22．定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“等对边四边形〞．〔1〕：图①、图②是5×5的正方形网格，线段AB，BC的端点均在格点上，在图①、图②中，按要求以AB，BC为边各画一个等对边四边形ABCD．要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，且两个四边形不全等．〔2〕如图③，在Rt△BCP中，∠C=90°，点A是BP的中点，BP=13，BC=5，点D在边CP 上运动，设CD=x，直接写出四边形ABCD为等对边四边形时x的值为或6+或6﹣．【考点】N4：作图—应用与设计作图；KA：全等三角形的性质；KQ：勾股定理．【分析】〔1〕根据对等四边形的定义，进展画图即可；〔2〕根据对等四边形的定义，分两种情况：①假设CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=；②假设AD=BC，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=5；利用勾股定理和矩形的性质，求出相关相关线段的长度，即可解答．【解答】解：〔1〕如图①②所示，四边形ABCD即为所求；〔2〕如图③所示，当AB=CD时，此时点D位于D1位置，CD1=AB=BP=；当BC=AD=5时，此时点D位于D2、D3位置，过点A作AE⊥PC，那么AE为△PBC的中位线，∴AE=BC=，CE=PC=6，∴DE===，∴CD=6+或6﹣，故答案为：或6+或6﹣．【点评】题主要考察了四边形的综合题，解题的关键是理解并能运用“等对边四边形〞这个概念．在〔3〕中注意分类讨论思想的应用、勾股定理的应用．23．〔10分〕〔2021•朝阳区一模〕如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10cm，BC=8cm，点D是线段AC的中点，动点P从点A出发，沿A﹣D﹣B﹣C向终点C运动，速度为5cm/s，当点P不与点A，B重合时，作PE⊥AB交线段AB于点E，设点P的运动时间为t〔s〕，△APE的面积为S〔cm2〕．〔1〕求AB的长；〔2〕当点P在线段BD上时，求PE的长〔用含t的式子表示〕；〔3〕当P沿A﹣D﹣B运动时，求S与t之间的函数关系式；〔4〕点E关于直线AP的对称点为E′，当点E′落在△ABC的内部时，直接写出t的取值范围．【考点】KY：三角形综合题．【分析】〔1〕在Rt△ABC中，根据勾股定理即可解决问题．〔2〕只要证明△PBE∽△CAB，可得=，由此即可解决问题．〔3〕分两种情形讨论①当0＜t≤1时．②当1＜t＜2时，根据三角形的面积公式求出AE、PE即可解决问题．〔4〕求出两个特殊点的时间①如图1中，当点E关于AP的对称点E′在线段AC上时．如图2中，当点P在BC上，点E关于AP的对称点E′在线段AC上时．即可解决问题．【解答】解：〔1〕∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10cm，BC=8cm，∴AB===6，即AB的长为6；〔2〕∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC，∠ABC=∠BEP=90°，∴∠EPB=∠PBC，∵点D为AC中点，∴BD=CD=AC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠EPB=∠DCB，∴△PBE∽△CAB，∴=，∴=，∵BP=10﹣5t，∴PE=8﹣4t．〔3〕当0＜t≤1时AE=5t×=3t，PE=5t×=4t，S=•PE•AE=•4t•3t=6t2，∴S=6t2．当1＜t＜2时，AE=6﹣〔10﹣5t〕=3t，PE=〔10﹣5t〕×=8﹣4t，S=•PE•AE=•3t•〔8﹣4t〕=﹣6t2+12t．∴S=﹣6t2+12t，综上所述，S=．〔4〕如图1中，当点E关于AP的对称点E′在线段AC上时．作PE′⊥AC于E′，那么PE=PE′∵==，∴=，∴=，∴PD=，∴点P运动的时间=〔5+〕÷5=s，观察图象可知当＜t＜2时，当点E′落在△ABC的内部．如图2中，当点P在BC上，点E关于AP的对称点E′在线段AC上时．同理可得=，∴=，∴PB=3，∴∴点P运动的时间=〔5+5+3〕÷5=s观察图象可知当2＜t＜时，当点E′落在△ABC的内部．综上所述，当＜t＜2或2＜t＜时，当点E′落在△ABC的内部．【点评】此题考察三角形综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．24．〔12分〕〔2021•朝阳区一模〕如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为〔6，6〕，〔6，0〕，抛物线y=﹣〔x﹣m〕2+n的顶点P在折线OA﹣AB上运动．〔1〕当点P在线段OA上运动时，抛物线y=﹣〔x﹣m〕2+n与y轴交点坐标为〔0，c〕．①用含m的代数式表示n，②求c的取值范围．〔2〕当抛物线y=﹣〔x﹣m〕2+n经过点B时，求抛物线所对应的函数表达式；〔3〕当抛物线与△ABO的边有三个公共点时，直接写出点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】〔1〕①设直线OA的解析式为y=kx，把点〔6，6〕代入可得k=1，推出y=x．因为y=﹣〔x﹣m〕2+n的顶点P在OA上，推出n=m．②由题意：y=﹣x2+2mx﹣m2+m，由抛物线与y 轴交点坐标为〔0，c〕，推出c=﹣m2+m，根据0≤m≤6，利用二次函数的性质即可解决问题．〔2〕把B〔6，0〕代入抛物线的解析式即可解决问题．〔3〕分三种情形①当抛物线经过点O时，抛物线与△ABO的边有三个公共点，②当抛物线经过点A时，抛物线与△ABO的边有三个公共点，此时P〔6，6〕．③当点P在AB上运动，抛物线与OA只有一个公共点时，抛物线与△ABO的边有三个公共点．【解答】解：〔1〕①设直线OA的解析式为y=kx，∵经过〔6，6〕，∴6k=6，∴k=1，∴y=x．∵y=﹣〔x﹣m〕2+n的顶点P在OA上，∴n=m．②由题意：y=﹣x2+2mx﹣m2+m，∵抛物线与y轴交点坐标为〔0，c〕，∴c=﹣m2+m，∵点P在线段OA上，∴0≤m≤6，﹣ =﹣=，∵0＜＜6，∴当m=时，c=﹣〔〕2+=，当m=6时，c=﹣62+6=﹣30，∴c的取值范围为﹣30≤c≤．〔2〕当点P在线段OA上时，∵抛物线经过B〔6，0〕，∴﹣〔6﹣m〕2+m=0，∴m=4或9〔舍弃〕，∴y=﹣〔x﹣4〕2+4，当点P在线段AB上时，点P与点B重合，∴m=6，∴y=﹣〔x﹣6〕2．〔3〕①当抛物线经过点O时，抛物线与△ABO的边有三个公共点，把〔0，0〕代入抛物线y=﹣〔x﹣m〕2+m得到m=1或0〔舍弃〕，此时P〔1，1〕．②当抛物线经过点A时，抛物线与△ABO的边有三个公共点，此时P〔6，6〕．③当点P在AB上运动，抛物线与OA只有一个公共点时，抛物线与△ABO的边有三个公共点，由消去y得到x2﹣11x+36﹣n=0，由题意△=0，∴121﹣4〔36﹣n〕=0，∴n=，∴P〔6，〕，综上所述，满足条件的点P坐标为〔1，1〕或〔6，6〕或〔6，〕【点评】此题考察二次函数综合题、待定系数法、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
长春市2021版中考数学试卷C卷
长春市 2021 版中考数学试卷 C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2019 七上·江津月考) 下列各组数中，数值相等的是（ ）A . 32 和 23B . ﹣23 和（﹣2）3C . ﹣32 和（﹣3）2D . ﹣3×22 和（﹣3×2）22. （2 分） 若△ABC 三边长 a，b，c 满足+||+（ ） 2=0，则△ABC 是（ ）A . 等腰三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形3. （2 分） (2019 七下·安陆期末) 面积为 的正方形的边长是（ ）A . 开平方的结果B . 的平方根C . 的立方根D . 的算术平方根4. （2 分） (2020 八上·遂宁期末) 下列说法正确是（ ）A.的算术平方根是 2B . 无限小数都是无理数C . 0.720 精确到了百分位D . 真命题的逆命题都是真命题5. （2 分） 下列说法正确的是A . 相等的圆心角所对的弧相等B . 无限小数是无理数C . 阴天会下雨是必然事件D . 在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k6. （2 分） (2019·安次模拟) 下列命题中，①13 个人中至少有 2 人的生日是同一个月是必然事件；②一名篮球运动员投篮命中概率为 0.7，他投篮 10 次，一定会命中 7 次；③因为任何数的平方都是正数，所以任何数的平第 1 页 共 15 页方根都是正数；④在平面上任意画一个三角形，其内角和一定是 180°，正确个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 7. （2 分） (2019·资阳) 爷爷在离家 900 米的公园锻炼后回家，离开公园 20 分钟后，爷爷停下来与朋友聊天 10 分钟，接着又走了 15 分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离 y（米）与爷爷离开公园的时间 x（分） 之间的函数关系是（ ）A.B.C.D. 8. （2 分） (2019·资阳) 如图，直径为 2cm 的圆在直线 l 上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（ ）A. B. C.第 2 页 共 15 页D.9. （2 分） (2019·资阳) 4 张长为 a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为 ，阴影部分的面积为 ．若，则 a、b 满足（ ）A.B.C.D.10. （2 分） (2019·资阳) 如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线 l 上方的图象沿直线 l 向下翻折，在直线 1 下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于 5，则 m 的取值范围是（ ）A.B.C.D.或二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)11. （1 分） (2018 七下·东台期中) 如果，,那么________．12. （1 分） (2020·澧县模拟) 从，0， ， ，3.5 这五个数中随机抽取一个，则抽到无理数的概率为________．13. （1 分） 一个正多边形的每个外角为 60°，那么这个正多边形的内角和是________。