第37讲 数列的求和(解析版)
数列的求和方法(ppt)

错位相减法:形如An=BnCn,其中{Bn}为等差数列,首项为b1,公差为d;{Cn}为等 比数列,首项为c1,公比为q。对数列{An}进行求和,首先列出Sn,记为①式;再把① 式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q,即得qSn,记为②式;然后①②两式错开一位 做差,从而得到{An}的前n项和。这种数列求和方式叫作错位相减。
数列的求和方法(ppt)
演讲人
目录
01
数列概念
02
等差数列思维导图
数列求和的七种方法:倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘 公比错项相减(等差×等比)、公式法、迭加法。
倒序相加法:如果一个数列{an},与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于 同一个常数,则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。例如等差数列的求和公 式,就可以用该方法进行证明。
等差数列思维导图
一般地来说如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字 母d表示,前n项和用Sn表示。
谢谢
裂项相消法:裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互 抵消,从而求得其和。
乘公比错项相减(等差×等比):这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的 方法,这种方法主要用于求数列(anxbn)的前n项和,其中(an),(bn)分别是 等差数列和等比数列。
公式法:对等差数列、等比数列,求前n项和Sn可直接用等差、等 比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先 要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。
高中数学数列的求和公式及相关题目解析

高中数学数列的求和公式及相关题目解析在高中数学中,数列是一个非常重要的概念,它是数学中的一种序列,由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的求和是数学中常见的问题之一,本文将介绍数列的求和公式及相关题目解析,帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、等差数列的求和公式及相关题目解析1. 等差数列的求和公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
对于等差数列,我们可以使用求和公式来快速计算其前n项的和。
设等差数列的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,则等差数列的求和公式为:Sn = (n/2)[2a1 + (n-1)d]其中,n为项数,a1为首项,d为公差。
2. 题目解析例题1:已知等差数列的首项为3,公差为4,求前10项的和。
解析:根据等差数列的求和公式,代入a1=3,d=4,n=10,可以得到:S10 = (10/2)[2*3 + (10-1)*4] = 5[6 + 9*4] = 5[6 + 36] = 5*42 = 210因此,前10项的和为210。
例题2:已知等差数列的首项为-2,公差为5,前n项和为100,求n的值。
解析:根据等差数列的求和公式,代入a1=-2,d=5,Sn=100,可以得到:100 = (n/2)[2*(-2) + (n-1)*5] = (n/2)[-4 + 5n - 5] = (n/2)(5n - 9)化简得到5n^2 - 9n - 200 = 0,解这个二次方程可以得到n≈13.2或n≈-3.8。
由于n必须是正整数,所以n≈13.2不符合题意。
因此,n≈-3.8也不符合题意。
综上所述,n的值为13。
二、等比数列的求和公式及相关题目解析1. 等比数列的求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
对于等比数列,我们可以使用求和公式来快速计算其前n项的和。
设等比数列的首项为a1,公比为r,前n项和为Sn,则等比数列的求和公式为:Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)其中,n为项数,a1为首项,r为公比。
数列求和PPT课件

1 2n-1
-
1 2n+1
)]
=
3n 2n+1
.
11.已知 {an} 是 首 项 为 a1, 公 比 为 q 的 等 比 数 列. (1)求和: a1C20-a2C12+a3C22, a1C03-a2C13+a3C23-a4C33 ; (2)由(1)的结果归纳概 括出关于正整数 n 的一个结论, 并加以证明; (3)设q≠1, Sn是{an} 的前 n 项和, 求 S1Cn0-S2C1n+S3C2n-S4C3n+ … +(-1)nSn+1Cnn.
n+1 项
∵lgx+lgy=a, ∴lg(xy)=a.
∴Sn=
n(n+1) 2
lg(xy)=
n(n2+1)a.
注: 本题亦可用对数的运算性质求解:
∵Sn=lg[xn+(n-1)+…+3+2+1y1+2+3+…+(n-1)+n],
∴Sn=
n(n+1) 2
lg(xy)=
n(n2+1)a.
7.求证: Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n+1)Cnn=(n+1)2n.
-nn2+,1 2
,
n 为偶数时, n 为奇数时.
将数列的每一项拆(裂开)成两项之差, 使得正负项能相互
抵消, 剩下首尾若干项.
例
求和
Sn=
1×1 2+
1 2×3
+…+
1 n(n+1)
.
n n+1
数列求和各种方法总结归纳课件PPT

[冲关锦囊]
用错位相减法求和时,应注意 (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数
的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“
错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
[精析考题] [例3] (2011·全国新课标卷)等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+ 3a2=1,a32=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{b1n}的前n项和.
(1)an=kn+b,利用等差数列前n项和公式直接求解;
所以,当n>1时,①-②得 用错位相减法求和时,应注意
①转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成.
①转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成.
数列求和各种方法总结归纳
二、非等差、等比数列求和的常用方法 1.倒序相加法
如果一个数列{an},首末两端等“距离”的两项的和相等 或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒 序相加法,如等差数列的前n项和即是用此法推导的.
2.分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别 求和而后相加减.
∴bn+1+1=2bn+2=2(bn+1).
∴((11b))要a1n=善=0于k,n识b+1别b+,题1利=目用1类≠等0型.差n1,数-特列别n前是+n1等项比1和数公列=式公直-比接为求n负解2+数n;1.
所以数列{b1n}的前n项和为-n2+n1.
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第讲数列的求和精选课件

【互动探究】 1.(2019 年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,
且 a1,a3,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{2 a n}的前 n 项和 Sn.
4.数列 112,214,318,…,n+21n,…的前 n 项和 Sn=______ __12_n_(n_+__1_)_+__1_-__21_n___.
5.数列{an}的通项公式 an=
1 n+
n+1,若前
n
项的和为
10,
则项数 n=___1_2_0___.
考点1 利用公式或分组法求和
例1:(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2, a3=a2+4.
数列求和常用的方法
1.公式法 (1)等差数列{an}的前
n
项和公式:Sn=nnaa1+ 12+nann2-,1d.
(2)等比数列{an}的前n项和Sn:①当q=1时,Sn=__n_a_1_;
a11-qn
a1-anq
②当 q≠1 时,Sn=____1_-__q___=____1_-__q__.
2.分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列. 3.错位相减法 适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求 和. 4.裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消 去中间项,只剩有限项再求和.
解析:(1)P1(-1,0),an=n-2,bn=2n-2. (2)f(n)=n2- n-2, 2,n为 n为奇偶数数,. 假设存在符合条件. ①若 k 为偶数,则 k+5 为奇数. 有 f(k+5)=k+3,f(k)=2k-2. 如果 f(k+5)=2f(k)-2,则 k+3=4k-6⇒k=3 与 k 为偶数矛 盾.故不符(舍去). ②若 k 为奇数,则 k+5 为偶数, 有 f(k+5)=2k+8,f(k)=k-2. ∴2k+8=2(k-2)-2 这样的 k 也不存在. 综上所述:不存在符合条件的 k.
数列求和(含解析)

数列求和一、公式法(1)等差数列的前n 项和公式S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d .(2)等比数列的前n 项和公式①当q =1时,S n =na 1;②当q ≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q =5a 1-a n q1-q .还要记住一些正整数的幂和公式22233332222)1(41]2)1([321)12)(1(61321+=+=++++++=++++n n n n n n n n n 例1 已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1,,. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求{}n b 的前n 项和. 解 (1)在11n n n n a b b nb +++=中选1n =,得1221a b b b +=,即11111,233a a +==. 又因为{}n a 是公差为3的等差数列,所以23(1)31n a n n =+-=-. (2)由(1)得()1131n n n n b b nb ++-+=,即113n n b b +=,得{}n b 是以1为首项,13为公比的等比数列,得113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以{}n b 的前n 项和111313122313n n n S --==-⋅-. 练习1 (1) 等差数列{a n }中,a 6 + a 35 = 10,则S 40 =_________. 200 (2) 等比数列{a n }中,a 1 = 2 , a 2a 6 = 256,则S 5 =_________. 62或22 二、倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n 项和即是用此法推导的. 例2 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 答案:289 练习2(选做) 求正整数m 与()n m n <之间的分母为3的所有既约分数的和S .解 显然,这些既约分数为31,32,34,,34,32,31---+++n n n m m m有 )31()32()34()34()32()31(-+-+-++++++=n n n m m m S也有 )31()32()34()34()32()31(++++++-+-+-=m m m n n n S所以 2222),(2)(2)(2m n S m n m n n m S -=-=-⋅+= 三、分组求和法把一个数列分成几个可以直接求和的数列.一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.例3 (1) 求和:112+2122+3123+…+⎝⎛⎭⎫n +12n . (2) 求和:S n =⎝⎛⎭⎫x +1x 2+⎝⎛⎭⎫x 2+1x 22+…+⎝⎛⎭⎫x n +1x n 2(x ≠0). 解析: (1) 求和:112+2122+3123+…+⎝⎛⎭⎫n +12n . 答案 112+2122+3123+…+⎝⎛⎭⎫n +12n =(1+2+3+…+n )+⎝⎛⎭⎫12+122+123+…+12n =n (n +1)2+12⎝⎛⎭⎫1-12n 1-12=n (n +1)2+1-12n . 梳理 分组分解求和的基本思路:通过分解每一项重新组合,化归为等差数列和等比数列求和. (2) 求和:S n =⎝⎛⎭⎫x +1x 2+⎝⎛⎭⎫x 2+1x 22+…+⎝⎛⎭⎫x n +1x n 2(x ≠0). 解 当x ≠±1时,S n =⎝⎛⎭⎫x +1x 2+⎝⎛⎭⎫x 2+1x 22+…+⎝⎛⎭⎫x n +1x n 2 =⎝⎛⎭⎫x 2+2+1x 2+⎝⎛⎭⎫x 4+2+1x 4+…+⎝⎛⎭⎫x 2n +2+1x 2n =(x 2+x 4+…+x 2n )+2n +⎝⎛⎭⎫1x 2+1x 4+…+1x 2n =x 2(x 2n -1)x 2-1+x -2(1-x -2n )1-x -2+2n =(x 2n -1)(x 2n +2+1)x 2n (x 2-1)+2n ;当x =±1时,S n =4n . 综上知,S n =⎩⎪⎨⎪⎧4n ,x =±1,(x 2n -1)(x 2n +2+1)x 2n (x 2-1)+2n ,x ≠±1且x ≠0.反思与感悟 某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而得出原数列的和. 练习3 (1) 求数列{1+2n -1}的前n 项和 . 解析 ∵a n =1+2n -1,∴S n =n +1-2n 1-2=n +2n -1.(2) 已知数列{a n }是3+2-1,6+22-1,9+23-1,12+24-1,…,写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n .解 由数列的前几项可归纳出a n =3n +2n -1,∴S n =(3+2-1)+(6+22-1)+(9+23-1)+...+(3n +2n -1) =(3+6+9+...+3n)+(2+22+...+2n )-(1+1+ (1)=n (3+3n )2+2(2n -1)2-1-n =3n 2+n 2+2n +1-2.(3) 已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=2⎝⎛⎭⎫1a 1+1a 2,a 3+a 4+a 5=64⎝⎛⎭⎫1a 3+1a 4+1a 5①求{a n }的通项公式;①设b n =⎝⎛⎭⎫a n +1a n 2,求数列{b n }的前n 项和T n . [思路探索] (1)设出公比q ,根据条件列出关于a 1与q 的方程(组),求得a 1与q ,可求得数列的通项公式.(2)由(1)中求得的数列通项公式,可求出{b n }的通项公式,由其通项公式可知其和可分成两个等比数列与一常数列分别求和.解 ①设公比为q ,则a n =a 1q n -1.由已知得⎩⎨⎧a 1+a 1q =2⎝⎛⎭⎫1a 1+1a 1q ,a 1q 2+a 1q 3+a 1q 4=64⎝⎛⎭⎫1a 1q 2+1a 1q 3+1a 1q 4.化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q =2,a 21q 6=64.又a 1>0,故q =2,a 1=1,所以a n =2n -1.②由①知,b n =⎝⎛⎭⎫a n +1a n 2=a 2n +1a 2n +2=4n -1+14n -1+2, 所以数列{b n }的前n 项和T n =(1+4+ (4)-1)+⎝⎛⎭⎫1+14+…+14n -1+2n =4n -14-1+1-14n 1-14+2n =13(4n -41-n )+2n +1.(3) 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.答案:n n n a n ++=23322)2()1()321()321(3)321(2222223333++=++++++++++++++=n n n n n n S(4)数列{a n }中,a 1 = 1 , a 2 = 2 , a n+2 – a n = 1 + (–1)n ,则S 100 =__________。
数列求和 课件

3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可 以相互抵消,从而求得其和. 4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列 的对应项之积构成的,那么这个数列的前 n 项和即可用此法 来求,如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的.
考点一 分组转化法求和——自练型
[拓展探究] 若本例(2)中的“cn=an+bn”改为“cn=an +(-1)nbn”,其他条件不变,结果如何求?
[解] 由题意,得 cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n, Sn=c1+c2+…+cn =(-3+5)+(-7+9)+…+[(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n +1)]+3+32+…+3n. 当 n 为偶数时,Sn=n+3n2+1-32=3n2+1+n-32;
在等比数列{an}中,已知 a1=3,公比 q≠1,等 差数列{bn}满足 b1=a1,b4=a2,b13=a3.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.
[解] (1)设等比数列{an}的公比为 q,等差数列{bn}的公 差为 d.
[解] (1)由题意知,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=6n+5; 当 n=1 时,a1=S1=11.符合上式. 所以 an=6n+5. 设数列{bn}的公差为 d, 由aa21= =bb21+ +bb32, , 即1117= =22bb11+ +d3d, 解得 b1=4,d=3.所以 bn=3n+1.
(2)bn=ana1n+1=3n-143n+2 =433n1-1-3n1+2, 所以 Tn= 4312-15+15-18+…+3n1-1-3n1+2=3n2+n 2.
角度 2:“an= n+1 n+k”型
数列求和的几种方法课件ppt

(2)乘公比,错位相减(对“A·G”型);
(3)裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
(公式法、分组求和法、错位相减法、 裂(并)项法求和)
练习: 指出下列求和的方法:
合并项求和
特殊的数列,在求数列的和时,可将一些项放在一起先求和,然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中,若
的值.
求和: (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转化为适用特点的形式,从而求和.
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和,两种思路: ①转化的思想,即化为等差或等比数列. ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和.
数列求和的常用方法:
(1) 拆项(对A±G型 如果拆项不明显,写出通项,如例2 )
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和,一般是把数列的每一项分成两项,再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
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第37讲:数列的求和一、课程标准1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式及倒序相加求和、错位相减求和法.2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决与前n 项和相关的问题.二、基础知识回顾 1.公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)d2. 推导方法:倒序相加法.(2)等比数列{a n }的前n 项和S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1,q =1,a 1(1-q n)1-q ,q ≠1.推导方法:乘公比,错位相减法. (3)一些常见的数列的前n 项和: ①1+2+3+…+n =n (n +1)2; ②2+4+6+…+2n =n (n +1); ③1+3+5+…+(2n -1)=n 2. 2.几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减.(2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前n 项和.(3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解.(4)倒序相加法:如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. 3、常见的裂项技巧①1n (n +1)=1n -1n +1. ②1n (n +2)=12⎝⎛⎭⎫1n -1n +2.③1(2n -1)(2n +1)=12⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1. ④1n +n +1=n +1-n .⑤1n (n +1)(n +2)=12⎝⎛⎭⎫1n (n +1)-1(n +1)(n +2).三、自主热身、归纳总结1、数列112,314,518,7116,…的前n 项和为(C )A . 2n -1+12nB . n 2+1-12n C . n 2+1-12n D . n 2+1-12n -1【答案】C【解析】 S n =(1+3+5+…+2n -1)+12+14+18+…+12n =n 2+1-12n .故选C .2、数列{a n }的通项公式为a n =1n +n -1,若该数列的前k 项之和等于9,则k =( )A .80B .81C .79D .82【答案】B【解析】 a n =1n +n -1=n -n -1, 故S n =n ,令S k =k =9,解得k =81,故选B.3、若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (3n -2),则a 1+a 2+…+a 10=( )A .15 B.12 C .-12 D .-15【答案】A【解析】a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28 =5×3=15,故选A.4、数列{a n }的通项公式为a n =n cos n π2,其前n 项和为S n ,则S 2 020=________. 【答案】1 010【解析】因为数列a n =n cos n π2呈周期性变化,观察此数列规律如下:a 1=0,a 2=-2,a 3=0,a 4=4.故S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=2. a 5=0,a 6=-6,a 7=0,a 8=8, 故a 5+a 6+a 7+a 8=2,∴周期T =4. ∴S 2 020=2 0204×2=1 010.5、(一题两空)(2020·安徽太和模拟)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=1,a n +1+S n S n +1=0,则S n =________,数列{}S n S n +1的前n 项和为________. 【答案】1n n n +1【解析】∵a n +1=S n +1-S n ,a n +1+S n S n +1=0,∴S n +1-S n +S n S n +1=0,∴1S n +1-1S n =1.又∵1S 1=1a 1=1,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项,1为公差的等差数列, ∴1S n =n ,∴S n =1n .∴S n S n +1=1n (n +1)=1n -1n +1, ∴T n =⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+…+⎝⎛⎭⎫1n -1n +1=1-1n +1=n n +1.6、(2020·郑州模拟)数列{a n }满足:a 1=1,且对任意的m ,n ∈N *,都有a m +n =a m +a n +mn ,则1a 1+1a 2+1a 3+…+1a 2 018=( )A.2 0172 018 B.2 0182 019 C.4 0342 018 D.4 0362 019【答案】D【解析】因为a 1=1,且对任意的m ,n ∈N *都有a m +n =a m +a n +mn ,所以a n +1=a n +n +1,即a n +1-a n =n +1, 用累加法可得a n =a 1+(n -1)(n +2)2=n (n +1)2, 所以1a n =2n (n +1)=2⎝⎛⎭⎫1n -1n +1, 所以1a 1+1a 2+1a 3+…+1a 2 018=2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+…+⎝⎛⎭⎫12 018-12 019=4 0362 019. 四、例题选讲 题型一 公式法例1、(2019通州、海门、启东期末)设{a n }是公比为正数的等比数列,a 1=2,a 3=a 2+4,则它的前5项和S 5=________. 【答案】62【解析】设公比为q ,因为a 1=2,a 3=a 2+4,所以2q 2=2q +4,解得q =2或q =-1,因为{a n }为正项数列,所以q =2,所以S 5=2(1-25)1-2=62.变式1、(2019镇江期末) 设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和,若a 6a 3=-12,则S 6S 3=________. 【答案】 12【解析】设等比数列{a n }的公比为q ,则q 3=a 6a 3=-12.易得S 6=S 3(1+q 3),所以S 6S 3=1+q 3=1-12=12.变式2、(2019苏锡常镇调研)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若622a a =,则128S S = . 【答案】.37【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,因为622a a =,所以2422a q a =,故24=q .由于1≠q ,故.372121)(1)(1111)1(1)1(23243481281121812=--=--=--=----=q q q q qq a q q a S S 方法总结:若一个数列为等差数列或者等比数列则运用求和公式:①等差数列的前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d .②等比数列的前n 项和公式(Ⅰ)当q =1时,S n =na 1;(Ⅰ)当q ≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q1-q . 考点二 利用“分组求和法”求和例2、求和S n =1+⎣⎡⎦⎤1+12+⎣⎡⎦⎤1+12+14+…+⎣⎡⎦⎤1+12+14+…+12n -1.【解析】 原式中通项为a n =⎣⎡⎦⎤1+12+14+…+12n -1=1-⎝⎛⎭⎫12n1-12=2⎝⎛⎭⎫1-12n∴S n=2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫1-122+…⎝⎛⎭⎫1-12n=2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n -12⎝⎛⎭⎫1-12n1-12=12n -1+2n -2.变式1、数列112,314,518,7116,…,(2n -1)+12n ,…的前n 项和S n 的值等于________. 【答案】n 2+1-12n .【解析】:S n =[1+3+5+…+(2n -1)]+⎝⎛⎭⎫12+14+18+…+12n =n 2+12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝⎛⎭⎫12n1-12=n 2+1-12n .变式2、已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n2,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n +(-1)n a n ,求数列{b n }的前2n 项和. 【解析】 (1)当n =1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2+n 2-(n -1)2+(n -1)2=n . a 1=1也满足a n =n ,故数列{a n }的通项公式为a n =n . (2)由(1)知a n =n ,故b n =2n +(-1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ,则T 2n =(21+22+…+22n )+(-1+2-3+4-…+2n ). 记A =21+22+…+22n ,B =-1+2-3+4-…+2n , 则A =2(1-22n )1-2=22n +1-2,B =(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n -1)+2n ]=n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n =A +B =22n +1+n -2.变式3、设数列{a n }的前n 项和为S n ,对任意n ∈N *满足2S n =a n (a n +1),且a n ≠0. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设c n =⎩⎪⎨⎪⎧a n +1,n 为奇数,3×2a n -1+1,n 为偶数,求数列{c n }的前2n 项和T 2n . 【解析】 (1)∵2S n =a n ()a n +1,当n ≥2时,2S n -1=a n -1(a n -1+1),以上两式相减得2a n =a 2n -a 2n -1+a n -a n -1,即a n +a n -1=()a n +a n -1()a n -a n -1,又当n =1时,由2S 1=a 1()a 1+1及a 1≠0得a 1=1, ∵a n ≠0,∴当n ≥2时,有a n -a n -1=1或a n +a n -1=0.①当a n -a n -1=1时,数列{a n }是等差数列,其通项公式为a n =n (n ∈N *); ②当a n +a n -1=0时,a n =(-1)n -1.(n ∈N *).(2)①当a n =n ,得c n =⎩⎪⎨⎪⎧n +1,n 为奇数,3×2n -1+1,n 为偶数, ∴T 2n =(2+4+…+2n )+()21+23+…+22n -1+n =n (n +1)+3×2(22n -1)4-1+n =n 2+2n -2+22n +1; ②当a n =(-1)n -1时,得到c n =⎩⎪⎨⎪⎧-1,n 为奇数,7,n 为偶数,∴T 2n =n (-1+7)=6n .方法总结:数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形,转化为等差数列或等比数列或可求前n 项和的数列求和. 考点三 裂项相消法求和例3、(2018南通、扬州、泰州、淮安三调) 设数列{}a n 满足a 1=1,(1-a n +1)(1+a n )=1(n ∈N *),则(a k a k +1)的值为________. 【答案】. 100101【解析】因为(1-a n +1)(1+a n )=1,所以a n -a n +1-a n a n +1=0,从而1a n +1-1a n =1,即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,1为公差的等差数列,所以1a n =1+n -1=n ,所以a n =1n ,故a n +1a n =1(n +1)n =1n -1n +1,因此 (a k a k +1)=⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+…+⎝⎛⎭⎫1100-1101=1-1101=100101.变式1、(2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =S n -1+1(n ≥2,n ∈N ),且a 1=1.(1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)记b n =1a n ·a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)由已知有S n -S n -1=1(n ≥2,n ∈N ),∴数列{S n }为等差数列,又S 1=a 1=1,∴S n =n ,即S n =n 2.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1. 又a 1=1也满足上式,∴a n =2n -1. (2)由(1)知,b n =1(2n -1)(2n +1) =12⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1,∴T n =12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1-13+⎝⎛⎭⎫13-15+…+⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1=12⎝⎛⎭⎫1-12n +1=n 2n +1. 变式2、已知数列{a n }各项均为正数,其前n 项和为S n ,且满足4S n =(a n +1)2.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n .a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n 及T n 的最小值.【解析】 (1)∵(a n +1)2=4S n ,∴S n =(a n +1)24,S n +1=(a n +1+1)24, ∴S n +1-S n =a n +1=(a n +1+1)2-(a n +1)24, 即4a n +1=a 2n +1-a 2n +2a n +1-2a n ,∴2(a n +1+a n )=(a n +1+a n )·(a n +1-a n ).∵a n +1+a n ≠0,∴a n +1-a n =2,即{a n }是公差为2的等差数列,由(a 1+1)2=4a 1,解得a 1=1,∴a n =2n -1.(2)由(1)知b n =1(2n -1)(2n +1)= 12⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1,∴T n =b 1+b 2+…+b n = 12⎝⎛⎭⎫1-13+13-15+…+12n -1-12n +1= 12⎝⎛⎭⎫1-12n +1=12-12(2n +1)=n 2n +1.∵T n +1-T n =12-12(2n +3)-⎣⎡⎦⎤12-12(2n +1)= 12(2n +1)-12(2n +3)=1(2n +1)(2n +3)>0, ∴T n +1>T n ,∴数列{}T n 为递增数列, ∴T n 的最小值为T 1=13.变式3、已知函数f (x )=x α的图象过点(4,2),令a n =1f (n +1)+f (n ),n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 2020=()A. 2 019-1B. 2 020-1C. 2 021-1D. 2 021+1【答案】 C【解析】 由f (4)=2,可得4α=2,解得α=12,则f (x )=x .所以a n =1f (n +1)+f (n )=1n +1+n =n +1-n ,所以S 2 020=a 1+a 2+a 3+…+a 2 020=(2-1)+(3-2)+(4-3)+…+( 2 021- 2 020)=2 021-1.方法总结:常见题型有(1)数列的通项公式形如a n =1n n +k 时,可转化为a n =1k ⎝⎛⎭⎫1n -1n +k ,此类数列适合使用裂项相消法求和.(2)数列的通项公式形如a n =1n +k +n 时,可转化为a n =1k (n +k -n ),此类数列适合使用裂项相消法求和.考点四 错位相减法求和例4、(2019南京调研)已知{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,{b n }是等比数列,且a 1=b 1=2,a 4+b 4=21,S 4+b 4=30.(1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2) 记c n =a n b n ,n ∈N *,求数列{c n }的前n 项和.【解析】(1) 设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q .由a 1=b 1=2,得a 4=2+3d ,b 4=2q 3,S 4=8+6d .(3分)由条件a 4+b 4=21,S 4+b 4=30,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2+3d +2q 3=21,8+6d +2q 3=30,解得⎩⎪⎨⎪⎧d =1,q =2.所以a n =n +1,b n =2n ,n ∈N *.(7分) (2) 由题意知c n =(n +1)×2n . 记T n =c 1+c 2+c 3+…+c n .则T n =2×2+3×22+4×23+…+n ×2n -1+ (n +1)×2n ,2T n =2×22+3×23+…+(n -1)×2n -1+n ×2n +(n +1)2n +1,所以-T n =2×2+(22+23+…+2n )-(n +1)×2n +1,(11分) 即T n =n ·2n +1,n ∈N *.(14分)变式1、(2019·郑州市第二次质量检测)已知数列{a n }中,a 1=1,a n >0,前n 项和为S n ,若a n =S n +S n -1(n ∈N *,且n ≥2).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记c n =a n ·2a n ,求数列{c n }的前n 项和T n . 【解析】(1)在数列{a n }中,a n =S n -S n -1(n ≥2),①∵a n =S n +S n -1 ②,且a n >0, ∴①÷②得S n -S n -1=1(n ≥2),∴数列{}S n 是以S 1=a 1=1为首项,公差为1的等差数列, ∴S n =1+(n -1)×1=n ,∴S n =n 2.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1, 当n =1时,a 1=1,也满足上式, ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n -1.(2)由(1)知,a n =2n -1,∴c n =(2n -1)×22n -1, 则T n =1×2+3×23+5×25+…+(2n -1)×22n -1,4T n =1×23+3×25+5×27+…+(2n -3)×22n -1+(2n -1)×22n +1,两式相减得,-3T n =2+2(23+25+…+22n -1)-(2n -1)×22n +1=2+2×8(1-22n -2)1-4-(2n -1)22n +1 =-103+⎝⎛⎭⎫53-2n 22n +1,∴T n =(6n -5)22n +1+109. 变式2、设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q ,已知b 1=a 1,b 2=2,q =d ,S 10=100.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)当d >1时,记c n =a nb n ,求数列{c n }的前n 项和T n .解析:(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1+45d =100,a 1d =2,即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1+9d =20,a 1d =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9,d =29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n =2n -1,b n =2n -1或⎩⎪⎨⎪⎧a n=19(2n +79),b n=9·⎝⎛⎭⎫29n -1.(2)由d >1,知a n =2n -1,b n =2n -1,故c n =2n -12n -1,于是T n =1+32+522+723+924+…+2n -12n -1, ① 12T n =12+322+523+724+925+…+2n -12n . ②①-②可得12T n =2+12+122+…+12n -2-2n -12n =3-2n +32n ,故T n =6-2n +32n -1.方法总结:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广.。