巧用图象面积 解决物理问题
图像面积在解题中的应用
图像“面积”在解题中的应用上海市崇明中学 吴士玉 地址：崇明县鼓浪屿路801号 邮编：202150 利用图像来解决物理问题是常见的一种方法，而图像法解题中有一类是利用图像“面积”来解决问题的。
在利用图像法来处理问题时，若能有意识的利用图像“面积”的物理意义来解题，将会给问题的解决带来极大的方便。
下面就介绍几类图像“面积”在物理解题中的应用。
一．t v -图像“面积”表示物体的位移在直线运动中，我们常利用t v -图像来解题。
在t v -图像中，图像与横轴所围的面积就表示物体的位移。
对一些较复杂的运动过程，如能结合t v -图像加以分析，即可快速解决问题。
例题：A 、B 两个物体从同一高度同时开始运动，A 做竖直上抛运动，B 做简谐振动（起点为B 的平衡位置），且同时到达同一个最高点。
下列关于两物体在运动过程中的速度大小关系，正确的是（ ）A ．B A v v > B ．B A v v <C ．先B A v v <后B A v v >D ．先B A v v >后B A v v < 解析：此题中B 做非匀变速运动，无法建立运动学公式来比较，所以可以尝试运用ν～t 图像来分析。
先画出竖直上抛的A 物体的运动图线（匀减速运动），然后根据题意：两者的运动时间相同，运动位移相同，如图1即可得出D 选项正确。
二．s F -图像的“面积”表示作用力F 做的功功的大小也可以用图像来描述，图2表示恒力做功的情况，图中横坐标为物体的位移s ，纵坐标为在位移方向上的作用力F ，画出的图像（水平线）反映力与位移的关系，该图叫做F —s 图。
图线下的阴影面积就表示力F 在位移S 方向上做的功。
例题：已知在弹性限度内弹簧的弹力与形变量成正比，即Kx F =，试画出弹簧的弹力随位移变化的图像，并利用该图像计算弹簧在伸长了1x 的过程中弹力做的功。
解析：据公式Kx F =可知，弹簧所受的弹力F 与形变量x 成正比，图像应为一过坐标原点的倾斜直线，如图3所示。
物理中“图像面积”的妙用
力 Ｆ在 时间 ｔ 内产 生的冲量
一
全过 程 阻 力 厂做 的 功 Ｗ， 一
１ ０厂 ０ ，
图 ４
【 ３ 质量 为 ５ ｇ的物体 ， 例 】 ０ ｋ 所受合外力 时间的关
系是 ： Ｆ一４， ｔ已知 ｔ 一０时物 体 的速 度为零 ， ｔ ＯＳ 当 一２
当Ｆ 一，时，ｔ ＝Ｐ 时， Ｐ ，一Ｐ ， Ｆ Ｐ 一了 ． ｍ ． ｍ，
Ｂ。
＼
ｍ ｓ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析 ： 出人 的 Ｐ—ｔ 作 图像 ， 如
图４ 所示 ， 根据 图线 下所 围“ 面积”
１
表示功， 则人做的功 Ｗ 一÷ ×２ ・
三、 利用 Ｆ ＿ｔ 图像解题——
厶
关 键 抓 住 图 线 下 所 围 “ 积 ” 示 面 表
图２ —１
Ｐ １ Ｐ ｌ Ｐ ＋ ０ 一 １ ，
所 以 △ 一 １￡ １０ｍ。 ｓ ５一 ５
二、 利用 Ｆ ｓ ＿ 图像解 题——关 键抓 住 图线 下所 围 “ 面积” 表示 力在这段位移 过程 中所做的功
横 轴所 围“ 面积” 表示什么物理量 ？请看下面几个例子 。
一
【 ２ 质量 为 ２ ｇ的物体在力 Ｆ作用 下 ， 静止 例 】 ｋ 从 开始运动 ， 知物 体所 受 力 Ｆ 与位 移 Ｓ的关 系是 Ｆ一 已 ２Ｓ那么 ， ， 当位移为 ２ Ｄ时， ＿ 物体 的速度多大？ ｒ
此， 无论 是在学习还是现代科 研 中均被广 泛应用 。下面 谈 谈巧用图像“ 面积” 处理物理 问题 的一点体会 。 利用图像求解物理 问题 ， 基本 的要 求就 是能将 题 最 设 的条件情景转化为二元 图像 ， 最关键 的是懂 得 图线 与
(完整版)利用图像解决物理问题
利用图像解决物理问题南陵中学苏忠山物理规律用数学表达出来后,实质是一个函数关系式，如果这个函数式仅有两个变量，就可用图象来描述物理规律。
这样就将代数关系转变为几何关系，而几何关系往往具有直观、形象、简明的特点。
因此，由图象处理物理问题可达到化难为易,化繁为简的目的.若将不同的研究对象的运动规律或同一研究对象不同阶段的运动规律在同一坐标上的图象作出来，那么图象可比较的特点就彰显出来。
因此，图象可以处理对象多、过程复杂的一些问题。
更有一些用文字或公式很难表达清楚地物理规律、物理过程,也可以用图象直观、简明地表达出来。
利用图象法解题,思路清晰，过程简捷。
应用图象研究物理问题，有利于培养学生数形结合,形象思维,灵活处理物理问题的能力，也是高考中体现能力的命题点.一、高考中对图象的考查主要从以下几个方面来命题：1、通过对物理过程的分析找出与之对应的图象描绘.2、通过对已知图象的分析寻找其内部蕴含的物理规律。
3、图象的转换——用不同的图象描述同一物理规律或结论。
4、综合应用物理图象分析解决问题。
下面将高考考纲要求的常见物理图像归类:1）力学部分：位移—时间（s—t图像）速度—时间（v—t图像)力—时间（f—t图像）力-位移(f-s图像）振动图象（x—t图像) 波动图像(y—x图像）2）电磁学部分:电压-电流(U-I图像）电流—时间(I—t图像)感应电流图象电磁感应中图像（Φ-t图、E—t图)交流电图象（e-t图、i—t图）闭合电路的P出-R图3）实验部分：验证牛顿第二定律(a—F图象、a－1/m图象)弹簧的弹力图象（F—Δx图像）伏安特性曲线(I-U图象）路端电压—电流（U-I图象）用单摆测重力加速度（T2-L图象）二、物理图像的复习与训练（一）理解图像中的物理意义历年高考中出现的图像题较多，有部分基础题可以直接根据图像给出的函数间关系求解，而这类题只需要学生能真正理解图像的物理意义,即可得心应手的进行处理并找出正确答案。
巧用v-t图像的斜率和面积解题
巧用v-t图像的斜率和面积解题在高中物理的力学、电学、热学等模块中，活用图像法解题往往能更加直观快捷地把握题目。
图像作为一种解题的基本方法，存在于高中物理的各个模块之中。
其作为一种形象的解题方法，可以简化解题步骤，并能加深理解。
但同时其作为一种抽象模型，若处理不当反而会引发更大的困惑。
以下是笔者在实践中的一点心得，与大家交流分享，希望能让各位有所收获。
一、运用图像解题的基本思路应用任何一种方法前都应该明确其途径和目的，以防止方向性错误而做无用功。
（一）图像法的基本概念图像法是根据题意把复杂的物理过程有针对性地表示成物理图像，将物理量之间的代数关系转变成几何关系，运用其直观形象简明的特点来分析解决物理问题的方法。
根据图像法的概念，图像是题干的另一种表达和解释，故读图时应向设问方向思考，以充分发挥图像的效果。
（二）图像解题的基本步骤1. 明确未知量和所求量。
尤其是在所给物理量皆为字母的题目中，首先要确认已知与未知，以防结论中出现未知量。
2. 理解斜率和面积的意义。
对于不同种类的图像其斜率和面积代表的物理意义完全不同，明确其中的不同是图像解题的关键步骤。
3. 列式求值。
图像大都能准确全面的反映题干，但某些信息可能是没有表示在图上的，需要回到题干补齐关系式。
二、常见的几种图像斜率和面积的意义（一）力学模块中的图像力学模块主要涉及v-t，s-t两种图像。
在v-t图像中，由s=vt，运用微元法面积相加，该折线与横轴围成的面积表示该段时间内的路程；而由a=ΔvΔt，速度对时间求导，可知其斜率为该时段内的加速度。
在s-t图像中，由于其纵轴所对的数值即为该时刻下的位移，可知其面积无实际意义；由=ΔxΔt=x末-x初t末-t初=x2-x1t2-t1，可知其斜率为瞬时速度。
（二）电学模块中的图像电学模块中主要包含了电场中φ-x图像以及电路中的U-I图像。
在φ-x图像中，由Δφ=EΔx，可知其斜率表示该处电场强度沿x轴方向的分量，其面积没有实际意义。
物理中“图像面积”的妙用
物理中“图像面积”的妙用作者：黎海贵来源：《中学教学参考·理科版》2011年第11期不论是解图像类物理问题，还是利用图像解决物理问题都涉及到图像，解图像类物理问题实质上就是充分利用图像带来的信息，解决物理问题的一种有效的方法；反过来，充分利用图像的一些特殊功能来达到理解、解读题设条件中的物理情景，寻找物理量之间的关系、解决物理问题的一种快捷方法，则是利用图像解决物理问题。
利用图像来处理物理问题，不仅能简明、直观形象地反映某物理量随另一物理量变化的规律，而且巧用图像处理物理问题无论是在定性或定量讨论分析某些物理问题时，都会使复杂的物理问题变得简单容易。
因此，无论是在学习还是现代科研中均被广泛应用。
下面谈谈巧用图像“面积”处理物理问题的一点体会。
利用图像求解物理问题，最基本的要求就是能将题设的条件情景转化为二元图像，最关键的是懂得图线与横轴所围“面积”表示什么物理量？请看下面几个例子。
一、利用v—t图像解题——关键抓住图线下所围“面积”表示t时间内发生的位移【例1】某物体从静止开始匀加速直线运动，一段时间后做匀减速直线运动直至停止，已知物体共用时间，总位移为，求物体在运动过程中的最大速度。
解析：由题设条件作出物体运动的v-t图像，如图1所示，根据-图线下所围“面积”表示位移，可得。
即。
点评：本题还可以运用s=vt及求解，若引入加速度来分析求解会更麻烦，借助v-t图像，可以使物体运动过程更形象、直观地表现出来，简洁明快，有着曲径通幽之妙。
［触类旁通1］两辆完全相同的汽车，沿水平路面一前一后均以的速度前进，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停车时，后车以前车刹车时的加速度的2倍开始刹车。
已知前车在刹车的过程中所行驶的距离为，若要保证两车在上述情况下不相撞，则两车在匀速行驶时应保持最小的距离是多少？解析：因为后车的加速度是前车的两倍，所以完全相同的后车减速所用时间为前车的一半，从而作出物体运动的v-t图像，如图1-1所示，根据v-t图线下所围“面积”表示位移，可得两车在匀速行驶时应保持最小的距离是图中阴影部分的面积，则有：Δs=12×(t+0.5t)×v=15t，又前即所以。
巧用v-t图像简化物理问题
巧用v-t图像简化物理问题薛峰【摘要】当前的高考对学生的能力要求越来越高,这在物理高考中尤其突出,其中"能应用物理图像进行分析和解决物理问题"是历来考查的重点.图像表达是处理物理问题能力的一个重要方面,能运用物理图像解决物理问题是每个学生的必备技能.本文拟以高中学习的v-t图像为例,从巧推匀变速运动规律、巧解定性判断题、巧解相遇问题及巧解多过程问题等四个方面的具体应用及实例,阐述如何运用物理图像简化复杂问题,构建物理知识体系、方法和能力体系,从而达到促进学生学习持续发展,提高学生综合能力的教学探索和实践.此外,由于在中学物理中存在大量的公式、图像,与此相似,在教学过程中若能使用恰当,往往能起到事半功倍的效果.【期刊名称】《物理教学探讨》【年(卷),期】2010(028)031【总页数】4页(P27-30)【关键词】v-t图像;问题【作者】薛峰【作者单位】江苏省江阴市青阳高级中学,江苏省江阴市,214401【正文语种】中文【中图分类】G633.7图像是表示物理规律的重要形式之一,它可以直观、形象地反映某一物理量随另一物理量变化的函数关系。
在进行抽象思维的同时,利用图像的视觉感知,有助于对物理知识的理解和记忆,准确把握物理量之间的定性和定量关系,深刻理解问题的物理意义。
物理图像可以使抽象的概念直观形象,动态变化过程清晰,物理量之间的函数关系明确。
图像法在物理解题中的应用很广。
下面通过实例分析,简述如何运用v-t图像简化物理问题。
1 运用图像,巧推匀变速运动规律1.1 匀变速速度位移公式位移公式可以由数学方法推导出,但如若采用图像推导,可方便许多。
首先呈现匀速直线运动的v-t图像如图1,图像面积就表示发生的位移,所以位移x就等于OCAD 的面积,由梯形面积公式就可以得到同时 OCAD又等于△ABD面积和矩形OCBD 面积(v0 t)相加,位移还能表示为1.2 初速度v0=0的匀变速直线运动特殊规律(推论)(1)v1∶v2∶v3……vn=?(2)s1∶s2∶s3……sn=?(3)d1∶d2∶d3……dn=?这些常用的比例结论在教辅资料上推导较繁琐,下面提供用v-t图像推导的方法: 我们可以取相等的时间间隔T,在时间t轴上标出时刻分别是T、2T、3T、4T其一,横轴 T 、2T 、3T 、4T 所对应的纵轴就是v1、v2、v3 、v4(见图2),由图像显而易见v1∶v2∶v3……vn=1∶2∶3……n其二,在 T、2T、3T 、4T 内的位移,即(图3)中由小逐渐到大的三角形面积,图中用s1、s2、s3、s4标出,由图像面积可得s1∶s2∶s3……sn=12∶22∶32……n2其三,在第一个Ts内、第二Ts内、第三个Ts内、第四个Ts内,分别是图中(见图4)的d1、d2、d3、d4,由面积得d1∶d2∶d3……dn=1∶3∶5……(2n-1)2 运用图像,巧解定性判断题在许多情况下,求解某些物理习题要受到数学知识的限制。
专题十 初中物理图像题考法及其解答技巧
专题十初中物理图像题考法及其解答技巧利用图像分析处理物理问题是一种科学方法，各个版本物理教材在研究物理规律时，通过实验数据可以得到图像，这个图像能直观形象的给出两个物理量之间的关系，结合物理公式就能知道其它量的数值。
物理学科的力电热光知识体系的问题都离不开图像法。
每年全国各地每年中考试题里都含有图像题，重视图像法解决物理问题是毕业班学生提高成绩的不可忽视的创新举措。
一、物理图像题考什么与怎样考1．中考考什么对于图像类问题，主要考察温度——时间图像；路程——时间图像、速度——时间图像；质量——体积图像；电流——电压图像、电阻——温度图象、电阻——压力图象；压强——深度图像；像距——物距图像；力——时间图像；浮力——深度图像；大气压——高度图像等的认识和理解。
从而让学生在深层次上掌握图像和物理规律间的内在联系。
利用物理图象比较物理量、根据规律选择图象、利用图象获取信息、利用图象进行计算、绘制图象等。
利用图像处理物理问题是课程标准所要求的一种研究物理规律的方法。
是考试说明强调的每年必考的知识点。
2．中考怎么考图像问题涵盖面广，在选择题、填空题、分析简答题、实验与探究题、综合题中都能经常遇到图像问题，要高度重视。
解答图象题的总纲领是：先搞清楚图象中横坐标、纵坐标所表示的物理量；弄清坐标上的分度值；明确图象所表达的物理意义，利用图象的交点坐标、斜率和截距及图象与坐标轴所包围的面积等，进行分析、推理、判断和计算；根据图象对题目中的问题进行数据计算或做出判断性结论。
河北省在中考试卷中，每年都在最后两道大题其中的一道题里出现一个涉及利用图象提供信息的计算题。
分值可观，加强训练。
二、用图像法解决物理问题基本思路解答图象题的总纲领是：先搞清楚图象中横坐标、纵坐标所表示的物理量；弄清坐标上的分度值；明确图象所表达的物理意义，利用图象的交点坐标、斜率和截距及图象与坐标轴所包围的面积等，进行分析、推理、判断和计算；根据图象对题目中的问题进行数据计算或做出判断性结论。
用物理图像面积高效解题
用物理图像面积高效解题用物理图像面积高效解题，是针对题目给出的条件，选用图像面积的物理意义与对应的物理量进行转化解题。
物理图像能形象地表示物理量间的关系和直观表达繁琐的物理过程，因此，对于有些过程复杂、运用公式法难以求解、或有些通过定性分析难以展开思路的问题，利用物理图像面积与表示某一过程的物理量相对应或与表示某状态的物理量相对应的特点，形成清晰的解题思路，使解决问题简捷、方法巧妙。
也有利于学生把抽象思维和形象思维结合起来，体验数形结合的思维方法在解决物理问题中的应用及有效提升分析问题解决问题的能力。
针对应用物理图像面积解题的高效性，进行以下实例分析。
一、图像面积表示物理过程例1.根据电容的定义式C=测量电容器的电容，用电流传感器测量电容器上充电的电荷量，实验原理如图（甲），其中电源电动势E=15V，内阻r=2.0Ω,R=200Ω，开始时电容器不带电，接通开关S，电容器充电电流随时间的变化关系由计算机显示图像（乙），则该电容器充电完成时，两极板的电压为______V，电容器充电完成后所带电量______，C电容器的电容______F。
解析：闭合开关S，电容器处于充电状态，随充电时间的延续，电容器两级板电荷量不断增加，根据图乙获得信息，充电电流不断减小，由于电容C不变，根据C=可知，Q与U成正比，2.0s末充电电流为零，电容器充电完毕，两板所带电量最大，电压也达到最大值，等于电源电动势15V。
根据Q=It可知,I为电流的平均值，从图乙中看出，I-t不是线性关系，不能错误地认为I=mA=40mA，所以无法根据公式Q=It求出电容器在2s内所带的电量。
因为电流的平均值等于导体通过电量的绝对值与时间的比值，电容器在充电过程中所带电量是充电电流对时间的积累过程，因此，电容器所带电量等于图像与I轴和t轴所围面积的值，即等于图像与t轴所包围“格子”的面积，Q=3.75×10-2C,电容器的电容C==2.5×10-3F。
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巧用图象面积解决物理问题
巧用图象面积解决物理问题浙江省富阳市第二中学
方明霞物理图像能形象、直观地表达物理规律、描述物理过程、反映物理量间的函数关系。
用图象法解题可以避免繁杂的中间运算过程，具有简明、快捷、准确等优点，特别是当某些物理量发生变化，用常规的解析法无法解决时，图象法可以帮助我们快而有效地解决问题。
在物理图象的学习和应用中，我们可以从坐标、斜率、截距、面积、交点、拐点等方面分析不同的图象所代表的物理意义。
本文仅从“面积”出发，阐释图象的妙用。
在物理教学中，我们会经常碰到这样的函数关系：y
=ab，其中一个物理量a为恒量，在以a
-
b为坐标的函数图象中，图线与坐标轴围成的矩形面积代表y的大小。
而当a也发生变化时，用一般解析式解决往往比较复杂。
在以a
-
b为坐标的函数图象中，利用“微元”的思想方法，将图线分割成无限小段，每一小段图线都可近似为a恒定，这一小段
图线围成的面积近似为矩形，表示这一小块y的大小，将所有小块叠加起来，不难发现图线与坐标轴围成的面积依然代表y的大小。
以下是笔者整理的部分图象“面积”的巧用。
一、1/v- x图象，图线与坐标轴围成的
“面积”表示时间
匀速直线运动中，，t与x、v成反比。
反比例函数在数学处理上往往比正比例函数复杂，因此我们通常将其转化为正比例函数
，在x-1/v图象上，利用“微元”思想，我们不难发现1/v-
x图线与坐标轴围成的“面积”表示时间。
例1．一只老鼠从洞口爬出后沿一直线运动，其速度大小与其离开洞口的距离成反比，当其到达距洞口为x1
的A点时速度为v
1，若B点离洞口的距离为x2（x2>x1），求老鼠由A运动到B所需的时间。
解析：老鼠从洞口沿直线爬出，已知爬出的速度与通过的距离成反比，则不能通过匀速运动、匀变速运动公式直接求解，但通过1/v-
x图象，我们可以很简洁地得到图中阴影部分的面积即是老鼠由A运动到B
所需的时间。
二、v-t图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示位移
例2．在电场强度为E的匀强电场中，有一条与电场线平行的几何线，如图中虚线所示。
几何线上有两个静止的小球A和B（均可看作质点），两小球的质量均为m，A球带电荷量+Q，B球不带电。
开始时两球相距L，在电场力的作用下，A球开始沿直线运动，并与B球发生正碰，碰撞中A、B两球的总动能无损失。
已知在各次碰撞过程中，A、B两球间无电量转移，且不考虑重力及两球间的万有引力，试问：在第一次碰撞以后A、B两球再次不断地碰撞的时间间隔会相等吗？如果相等，请计算该时间间隔T，如果不相等，请说明理由。
解析：在第一次碰撞前，A球在电场力作用下以加速度向右匀加速运动，B球保持静止。
A球第一次与B碰撞前的速度为，
A球与B球碰撞过程动量守恒：
A、B两球的总动能无损失：
可求得：，，即A、B两球碰后交换速度。
第一次碰后，B球以向右做匀速直线运动，而A球又以加速度向右做匀加速运动，当A、B向右发生的位移相等时发生第二次碰撞，第二次碰撞A、B速度又发生交换，碰后B球以A碰前速度向右做匀速直线运动，而A球以B碰前的速度为初速度，仍以为加速度向右做匀加速运动，以后不断重复这样的过程，以此类推。
由于这样进行的过程比较复杂，用函数表达式较难解答。
若将上述过程用v—t图象表示出来，则如图所示，由于两次碰撞间A、B发生的位移相等，由图线的对称关系可知图中阴影和斜线表示的三角形面积均相等，所以在第一次碰撞以后的过程中，A、B两球再次不断碰撞的时间间隔相等，为T =2t1=2。
例3．如图所示，甲、乙两光滑斜面的高度和斜面的总长度都相同，只是乙斜面由两部分组成，将两个相同的小球从两斜面的顶端同时释放，不计拐角处的机械能损失，试分析两球中谁先落地。
解析：若用公式求解此题，很难建立简单的函数解析式。
若用
v-t图象分析，由于甲、乙两光滑斜面的高度相同，不计拐角处的机械能损失，根据机械能守恒定律可得两球落地时速度大小相同。
由于斜面的倾斜程度不同，对两小球进行受力分析可知，乙图中，小球在前部分的加速度大于甲，后部分的加速度小于甲。
由于甲、乙两光滑斜面的总长度相同，在v-t 图象上，应使两条图线与t轴围成的面积相等，则其v-t图象
应如图所示：
由v-t图象不难看出，t甲
< t乙，乙图中的小球先落地。
三、F-t图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示冲量
例4．质点所受的力F随时间变化的规律如图所示，力的方向始终在一直线上。
已知t=0时质点的速度为零。
在图示t1、t2、t3和t4各时刻中，哪一时刻质点的动能最大？
A．t1
B．t2
C．t3
D．t4
解析：物体在F作用下，加速度不断变化，用一般函数解析法无法求解速度随时间的变化情况。
但在F-t图象中，
图线与坐标轴围成的“面积”表示冲量，且F轴正方向的面积代表正方向的冲量，F轴负方向的面积代表负方向的冲量。
初态速度为0，由动量定理Ft=mv2-
mv1可知，t2时刻图线与坐标轴围成的正向面积最大，速度最大，相应有最大动能。
四、F-x图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示功
例5．用锤子把铁钉打入木块中，已知每次打击时锤子给予铁钉的动能相同，钉子进入木块时受到的阻力与进入的深度成正比。
若第一次进入的深度为2cm，求第二次打击后再进入的深度。
解析：钉子受到的阻力Ff
=kx ，其函数图象如下：
在F-x图象中，图线与坐标轴围成的“面积”表示功。
由动能定理Fx=△Ek可知，两次打击过程，它们在F-x图象中，图线与坐标轴围成面积相同。
即2S△OAB
= S△OCD
由相似关系可得：S△OAB
：S△OCD
=0A2：OC2=1：2
所以0A：OC=1：
AC=（-1）OA
求得第二次再进入的深度为2（-1）cm 。
除此之外，电容器的U-Q图象，图线与坐标轴围成的面积表示电容器储存的电能大小；气体的P-V图象，图线与坐标轴围成的面积反映气体的温度大小等，希望大家对利用图象面积解决物理问题的知识进一步地补充。
总之，利用图象解题，往往能化难为易、化繁为简、事半功倍，我们应多多利用图象解题。