直线与平面垂直的判定导学案
《直线与平面垂直的判定》导学案
《直线与平面垂直的判定》学案一、学习目标1、借助对实例、图片的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能准确理解直线与平面垂直的定义；2、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能使用判定定理证明和直线与平面垂直相关的简单命题； 二、重点难点重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步使用。
三、课前准备学生自备学具：三角形纸片、笔（表直线）、课本（表平面）。
四、学习过程（一）直观感知直线与平面垂直的形象,想象现实生活中线面垂直的例子。
(二) 探究直线和平面垂直的定义问题1：结合对以下问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义。
（1）如图1，阳光下直立于地面的旗杆AB 与它在地面上的影子BC 的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB 与影子BC 所成的角度会发生改变吗?（2）旗杆AB 问题2：直线与平面垂直的定义：思考1：（1）若把定义中的任意一条直线改为无数条，结果如何？。
（2）定义的作用：画法：（三）探究发现直线与平面垂直的判定定理α lP 图2DAa b通常定义能够作为判定的依据，但用上述定义判定直线与平面垂直是不切实际的，为什么？ 实验：如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD 、DC 与桌面接触）。
问题3：（1）折痕AD 与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？问题4:当折痕AD ⊥BC 时，固定BD ，并保持BD 与DC 紧贴桌面，让折纸的CAD 部分挠着AD 旋转，上述沿AD 的各种折法中，能使AD 始终与桌面所在的平面垂直的共同的特征是什么？由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？定理：用符号语言表示为： 思考2：面。
（四）初步应用例1：如图，已知a ∥b ，a ⊥α，求证：b ⊥α。
直线与平面垂直的导学案
直线与平面垂直的判定学案【教学目标】知识与技能1、掌握直线与平面垂直的定义及判定定理.2、使学生掌握判定直线与平面垂直的方法.过程与方法培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论情感、态度与价值观在体验数学美的过程中激发学生学习兴趣，从而培养学生勤于思考、勤于动手的良好品质.培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.重点：直线与平面垂直的定义及判定定理.难点：直线与平面垂直的定义及判定定理和线面角的求法.一创设情景直观感知请同学们想一下旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？二探究新知探究一直线与平面垂直的定义思考：当太阳的角度发生变化时，旗杆与它的影子的位置关系会发生变化吗？总结：如何定义直线与平面垂直？________________________________________________________________探究二思考：除定义外，有没有比较方便可行的方法来判断一条直线与一个平面垂直呢？活动：请同学们合作完成课本的学生活动折纸实验总结：直线与平面垂直的判定定理：探究三阅读课本第指出下图所体现的知识三尝试应用如图,在三棱锥V-ABC中,VA＝VC,AB＝BC, K是AC的中点.求证：AC⊥平面VKB．四典例示范例1 如图，已知a∥b、a⊥α.求证：b⊥α.例2、如图，正方体ABCD-中，求（1）直线AB和平面所成的角。
（2）直线AB和平面所成的角。
AVBCKa bA BCDA BCD五 达标检测（你一定可以做的很好！相信自己！）1在下图的长方体中，请列举与平面ABCD 垂直的直线。
并说明这些直线有怎样的位置关系？2 如图，圆O 所在一平面为 ａ，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点, 且PA ⊥平面a 求证：B C ⊥平面PAC3.如图：正方体ABCD-ABCD 中，求:（1）AC 与面ABCD 所成的角（2）AC 与面BBDD 所成的角（3）AC 与面BBCC 所成的角 （4）AC 与面ABCD 所成的角六 课堂小结请同学们锻炼一下自己的概括能力吧！B A ′C ′D ′B A C D P A B C OA B C DA BCD。
直线与平面垂直的判定导学案
直线与平面垂直的判定【教学目标】1、通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义；2、归纳线面垂直的判定定理；并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题；3、通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。
【教学重点】1、直线与平面垂直的定义.2、通过直观感知，操作确认，概括并证明直线和平面垂直的判定定理。
【教学难点】1、归纳线面垂直的判定定理；2、并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题【教学过程】一、知识回顾1、直线与平面的位置关系：直线在平面外(直线与平面相交、直线与平面平行)、直线在平面内。
2、直线与平面平行的判定定理：平面_____一条直线与此平面______的一条直线______，则该直线与此平面平行。
可以用符号表示为：“_____________________________________________________”。
简记为“________________________________”.3、平面与平面平行的判定定理：一个平面内的_____条_________直线分别________于另一个平面，则这两个平面平行。
可以用符号表示为：“___________________________________________________”。
简记为“________________________________”.二、新知探究1、思考：如何定义一条直线与一个平面垂直？2、直线与平面垂直的定义：________________________________________________________________________________________________________________________3、思考：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触），进行观察并思考：折痕AD 与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？4、直线与平面垂直的判定定理：__________________________________________符号表示：____________________________________________________简记为：____________________________________________________图形表示：三、精讲释疑例1、已知：,//,b a a α⊥ 求证：α⊥b 。
直线、平面垂直的判定与性质导学案学生版修订
直线、平面垂直的判定与性质导学案一、学习目标：1.能够熟练说出直线、平面垂直的判定和性质。
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．二、知识梳理：1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α垂直。
②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条______直线都垂直，则该直线与此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也______这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内______直线．②垂直于同一个平面的两条直线______．③垂直于同一直线的两个平面________．2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．两个平面相交，所成的二面角是；②利用判定定理：一个平面过另一个平面的__________，则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于________的直线与另一个平面垂直．三、课前自测：（检验一下自己的预习效果吧！）1．平面α⊥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βB．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥βC．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βD．存在一条直线l，l⊥α，l∥β2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m3．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③存在直线l⊂α，直线m⊂β，使得l∥m；④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．5. 已知平面α⊥β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到平面α、β的距离分别是1、2，则点P到l的距离为________.四。
《直线与平面垂直的判定》导学案
直线与平面垂直的判定导学案教学目标1．知识与技能：理解并掌握直线与平面垂直的定义及垂线、垂面、垂足的含义，会用空间图形及数学符号分别表示直线与平面垂直；理解并掌握直线与平面垂直的判定定理，并能运用定义及判定定理判断直线是否与平面垂直。
2．过程与方法：利用等价转化的思想证明立体几何问题；提高学生逻辑思维能力；培养学生由图形想象出位置关系的能力。
3．情感态度与价值观：利用所学知识解释生活现象，激发学生学习数学的积极性，能辩证的看待问题；学会分析事物间的关系，进而选择解决问题的途径。
教学重难点1.教学重点：直线与平面垂直的定义和判定定理。
2.教学难点：直线与平面垂直的判定定理及运用。
教学过程【自主学习】1．直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面α内的直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作.直线l叫做平面α的，平面α叫做直线l的．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做．(2)图形语言：如图．画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．(3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥α⇒ .2．直线与平面垂直的判定定理语言表示：．图形表示：如图．符号表示：3. 直线与平面垂直的方法：(1)若一条直线垂直于平面内的任何直线，则这条直线垂直于平面；（定义）(2)若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于平面；（判定定理）(3)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面。
经典题例例：判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号1．一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行（）2．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直（）3．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边（）4．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内（）5．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面（）【例2】如图，已知a ∥b,a ⊥α,求证a ⊥α随堂练习1．若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于（ ）.A ．平面OAB B ．平面OAC C ．平面OBCD ．平面ABC2．若直线l ⊥平面α，直线m α⊂，则（ ）.A ．l m ⊥B ．l 可能和m 平行C ．l 和m 相交D ． l 和m 不相交3．直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是（）. A ．a ⊥β B. a ∥β． C ．a β⊂ D ．a β⊂或a ∥β4..如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两条边； ②梯形的两条边；③圆的两条直径； ④正六边形的两条边试问这条直线是否与平面垂直，并对你的判断说明理由.5. 如图，空间中直线l 和三角形的两边AC ,BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是（ ）A .平行B .垂直C .相交D .不确定6. 正方体////ABCD A B C D -中，求证://AC BDD B ⊥面课后总结1．用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．2．线线垂直与线面垂直的转化关系．线线垂直线面垂直的判定定理线面垂直的定义线面垂直.。
高中数学《直线与平面垂直的判定》导学案
2．3.1直线与平面垂直的判定课前自主预习知识点一直线与平面垂直的定义及画法1．定义：如果直线l与平面α内的□1任意一条直线都垂直，我们就说这条直线l与平面α互相垂直，记作□2l⊥α，直线l叫做平面α的□3垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足．2．画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．如下图甲所示．知识点二直线与平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的□1两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.图形语言：如图乙所示．知识点三直线与平面所成角的定义1．定义：□1一条直线和一个平面相交，但□2不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，□3斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引□4垂线，与平面的交点为垂足，□5过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和□6它在此平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，其范围是□7(0°，90°)．2．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于□890°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于□90°.因此，直线与平面所成的角的范围是□10[0°，90°]．1．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．线线垂直的判定方法(1)异面直线所成的角是90°；(2)线面垂直，则线线垂直．3．求线面角的常用方法(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．1．(教材改编，P67，T3)判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线与一个平面内两条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()(2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线一定不与这个平面垂直．()(3)若直线与平面所成的角为0°，则直线与平面平行．()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)过平面外一点作该平面的垂线有________条．(2)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，不能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．①平行四边形的两条对角线；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．(3)(教材改编，P67，T2)AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A的长为________．(4)如图所示，三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角为________．答案(1)1(2)②④(3) a2－b2(4)45°3．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是()A．平行B．垂直C．在平面α内D．无法确定答案D课堂互动探究探究1直线与平面垂直的定义例1下列命题中正确的个数是()①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．3解析当l与α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，故①不对；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与α垂直，故②不对；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．故选B.答案B拓展提升直线与平面垂直的定义的理解直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质．是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l ⊥α，a⊂α⇒l⊥a”．这是证明线线垂直的一种方法．【跟踪训练1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m答案B解析对于A，由l⊥m及m⊂α，可知l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故A错误；B正确；对于C，l与m可能平行或异面，故C错误；对于D，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故D错误．探究2直线与平面垂直的证明例2如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F分别是SD，SC的中点．求证：(1)BC⊥平面SAB；(2)EF⊥SD.证明(1)∵四棱锥S－ABCD的底面是矩形，∴AB⊥BC.∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC.又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.(2)由(1)知BC⊥平面SAB.同理，CD⊥平面SAD.∵E，F分别是SD，SC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥平面SAD.又∵SD⊂平面SAD，∴EF⊥SD.拓展提升应用线面垂直判定定理注意事项(1)要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．(2)判定定理在应用时，切实要抓住“相交”二字，它把线面垂直转化为线线垂直．即“l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒l⊥α.”【跟踪训练2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1.证明如图，连接AE，CE，D1O，D1E，D1B1.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，易证AE＝CE.因为AO ＝OC ，所以OE ⊥AC .在正方体中易求出：D 1O ＝DD 21＋DO 2＝ a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝62a ， OE ＝BE 2＋OB 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝32a ， D 1E ＝D 1B 21＋B 1E 2＝ (2a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝32a . 因为D 1O 2＋OE 2＝D 1E 2，所以D 1O ⊥OE .因为D 1O ∩AC ＝O ，D 1O ⊂平面ACD 1，AC ⊂平面ACD 1，所以OE ⊥平面ACD 1.探究3 直线与平面所成的角例3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值．解 由图所示，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM ，因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 即为直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3.于是在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝EM BE ＝23，即直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.[条件探究] 在本例中，若求直线BE 与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值，又如何求解？解 ∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴BE 与平面ABCD 所成角与所求角相等．连接BD ，则∠EBD 即为直线BE 与平面ABCD 所成的角．设正方体的棱长为2，则在Rt △BDE 中，sin ∠EBD ＝DE BE ＝13，即直线BE 与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为13.拓展提升求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．【跟踪训练3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．解(1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝22.(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝12A1C1＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.1.线线垂直和线面垂直的相互转化2．证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．课堂达标自测1．若a，b是两条异面直线，则下列说法错误的是()A．过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b 平行B．过直线a至多可以作一个平面α与直线b垂直C．存在唯一一个平面α与直线a，b等距D．可能存在平面α与直线a，b都垂直答案D解析a，b是两条异面直线，把直线b平移，与直线a相交，确定一个平面，因此经过直线a只能作出一个平面平行于直线b，故A 正确；只有a，b垂直时才能作出一个平面α与直线b垂直，否则过直线a不可能作出一个平面α与直线b垂直，故B正确；C显然正确；若存在平面α与直线a，b都垂直，则可得出a∥b，与a，b异面矛盾，故D错误．故选D.2．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m⊥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确说法的序号是()A．①③B．②④C．①④D．②③答案C解析①④可由直线与平面垂直的定义和判定推证．根据②中条件可知，m与n平行或异面，所以②错．③中由m⊥n，m∥α，可知n∥α或n⊂α，或n与α相交，故③错，所以①④正确，选C.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是() A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB答案B解析由题意知A1B1⊥平面ADD1A1，∵AD1⊂平面ADD1A1，∴A1B1⊥AD1，又A1D⊥AD1，A1B1∩A1D＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1，故选B.4．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直异面D．相交但不垂直答案C解析连接AC交BD于O，∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵MC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥MC.MC∩AC＝C，∴BD⊥平面AMC.又∵AM⊂平面AMC∴BD⊥AM，∴MA与BD异面垂直．5．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，P A⊥CD，P A＝1，PD＝ 2.(1)求证：P A⊥平面ABCD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．解(1)证明：因为四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，P A＝1，PD＝2，所以PD2＝P A2＋AD2，所以P A⊥AD，又P A⊥CD，AD∩CD＝D，所以P A⊥平面ABCD.(2)因为四棱锥P－ABCD的底面积为1，P A⊥平面ABCD，所以四棱锥P－ABCD的高为P A＝1，所以四棱锥P－ABCD的体积为13.课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直答案A解析∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又∵m⊂α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定答案D解析直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内或直线l与平面α相交都有可能．3．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定答案C解析∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC ＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离是()A. 5 B．2 5 C．3 5 D．45答案D解析如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD.∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥CB.∴CB⊥平面P AD，∴AD⊥BC.又AC＝AB，∴D为BC中点．在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△P AD中，P A＝8，AD＝4，∴PD＝82＋42＝4 5.5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段答案A解析如图所示，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上．二、填空题6．正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心)的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为________．答案45°解析由题意可知OB＝22，PB＝1.∠PBO为PB与平面ABCD所成的角，故cos∠PBO＝OBPB ＝22.所以∠PBO＝45°.7．如图所示，P A垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.又∵AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF，故①②③正确．8. 如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有______个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．答案4解析对于①，∵AC⊥BD，且SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，①对；对于②，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，∴AB∥平面SCD，②对；对于③，∵SD⊥平面ABCD，∴AD是SA在平面ABCD内的射影，∴∠SAD是SA与平面ABCD所成的角，③对；对于④，∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，④对，故正确的有4个．三、解答题9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.B级：能力提升练10. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．(1)求证：EF⊥平面P AB；(2)设AB＝2BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值．解(1)证明：连接BE，EP.由题意知∠PDE＝∠BCE＝90°，因为ED＝CE，PD＝AD＝BC，所以Rt△PDE≌Rt△BCE，所以PE＝BE.因为F为PB的中点，所以EF⊥PB.因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AB，因为DA⊥AB，PD∩AD ＝D，所以AB⊥平面P AD，所以P A⊥AB.在Rt△P AB中，因为PF＝BF，所以PF＝AF.又因为PE＝BE＝EA，所以△EFP≌△EF A，所以EF⊥F A.因为PB∩AF＝F，所以EF⊥平面P AB.(2)不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝2，P A＝2，AC＝ 3.所以△P AB为等腰直角三角形，且PB＝2.因为F是PB的中点，所以BF＝1，AF⊥PB.因为AF∩EF＝F，所以PB⊥平面AEF.设BE交AC于点G，过点G作GH∥PB交EF于点H，则GH⊥平面AEF.故∠GAH为AC与平面AEF所成的角．由△EGC∽△BGA可知，EG＝12GB，AG＝2CG，所以EG＝13EB，AG＝23AC＝233.由△EGH∽△EBF，可知GH＝13BF＝13.所以sin∠GAH＝GHAG ＝36，所以AC与平面AEF所成角的正弦值为36.。
高中数学《直线与平面垂直的判定》导学案
6.1垂直关系的判定第一课时直线与平面垂直的判定[学习目标] 1.理解直线与平面垂直的定义． 2.掌握直线与平面垂直的判定定理． 3.会利用判定定理证明或判断有关垂直的问题.【主干自填】1．直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的□01任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．直线与平面垂直的判定定理【即时小测】1．思考下列问题(1)旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系是什么？提示：异面垂直．(2)如果平面外一条直线l与平面α的两条相交直线垂直，那么l与α的位置关系是什么？提示：垂直．2．下列说法中正确的是()A．如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥αB．如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αC．如果直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线D．如果直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直提示：D如图所示，直线l与α内的无数条直线垂直．但l与α斜交，故A不正确；同理B也不正确；同样由图，l不垂直于α，但α内有与l垂直的直线，且这样的直线有无数条，故C不正确，D正确．3．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β提示：C选项A中的m，n可以相交，可以平行，也可以异面，故A错误；选项B中的α与β可以平行，也可以相交，故B错误；选项C是直线与平面垂直的重要结论，故C正确；选项D中的m与β的位置关系可以是平行、相交、m 在β内，故D错误．4．如果一条直线垂直于①三角形的两边，②梯形的两边，③圆的两条直径，④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面图形所在平面垂直的是()A．①③B．②C．②④D．①②④提示：A由直线与平面垂直的判定定理可知，①③能保证该直线与平面垂直，②④不能．因为梯形和正六边形中有平行的两条边．例1如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.求证：(1)AC⊥平面B1D1DB；(2)BD1⊥平面ACB1.[证明] (1)∵BB1⊥平面ABCD，且AC平面ABCD，∴BB1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面B1D1DB.(2)连接A1B.由(1)知AC⊥平面B1D1DB，∵BD1平面B1D1DB，∴AC⊥BD1.∵A1D1⊥平面A1B1BA，AB1平面A1B1BA，∴A1D1⊥AB1.又∵A1B⊥AB1且A1B∩A1D1＝A1，∴AB1⊥平面A1D1B.∵BD1平面A1D1B，∴BD1⊥AB1，又∵AC∩AB1＝A，∴BD1⊥平面ACB1.类题通法线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件.[变式训练1]如图，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD.又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC，∵BD平面ABC，∴SD⊥BD.∵AC∩SD＝D.∴BD⊥平面SAC.例2如图，已知四棱锥S－ABCD中ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AE ⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.[证明] (1)∵SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.又SB⊥AE，BC∩SB＝B，∴AE⊥平面SBC.又∵SC平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.∵AF平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，AD∩SA＝A，∴DC⊥平面SAD.又AG平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF，∴SC⊥AG.又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC.∵SD平面SDC，∴AG⊥SD.类题通法线线垂直的证明方法(1)由线面垂直的定义，即l⊥α，aα⇒l⊥a.(2)平面几何中的结论，如等腰三角形的底面的中线垂直于底边、菱形的对角线互相垂直、勾股定理等．[变式训练2]如图，在空间四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD.证明取BD中点为E，连接AE，CE.∵AB＝AD，∴AE⊥BD.又∵CB＝CD，∴CE⊥BD.而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC.又∵AC平面AEC，∴AC⊥BD.例3三棱锥P－ABC中，PO⊥平面ABC，P A⊥BC，PB⊥AC.求证：(1)O是△ABC的垂心；(2)PC⊥AB.[证明] (1)连接OA，OB.∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥BC.又P A⊥BC，PO∩P A＝P，∴BC⊥平面P AO.又AO平面P AO，∴BC⊥AO，即O在△ABC的BC边的高线上．同理，由PB⊥AC可得O在△ABC的AC边的高线上．∴O是△ABC的垂心．(2)连接OC，由(1)可知OC⊥AB.又由PO⊥平面ABC得PO⊥AB，又OC∩PO＝O，∴AB⊥平面PCO.又PC平面PCO，∴AB⊥PC.类题通法根据直线和平面垂直的定义，可由线面垂直证明线线垂直；根据直线和平面垂直的判定定理可由线线垂直证明线面垂直.本题的证明过程体现了线线垂直与线面垂直的相互转化.[变式训练3]已知点P是△ABC所在平面外一点，且P A＝PB＝PC，则点P 在平面ABC上的射影一定是△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心答案B解析如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC.所以PO⊥平面ABC.因为P A＝PB＝PC，OP＝OP＝OP，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以∠APO ＝∠BPO＝∠CPO，所以△P AO≌△PBO≌△PCO，所以AO＝BO＝CO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心．易错点⊳运用线面垂直的判定定理时忽略条件[典例] 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，O为ABCD 的中心，试判断OB1与平面ABCD是否垂直？[错解] 如下图，连接BD，设AC∩BD＝O，连接OB1.∵AB1＝B1C，∴OB1⊥AC.又AC平面ABCD，∴OB1⊥平面ABCD.[错因分析] 错解在运用线面垂直的判定定理时，忽略了该定理的使用条件，从而致错．[正解]∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∵OB1∩BB1＝B1，∴OB1不垂直于平面ABCD.课堂小结直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.1．下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析对①②⑤，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是③④，故选B.2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在答案B解析若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．3．P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC答案C解析由已知得P A⊥平面ABC，所以P A⊥BC，即选项A正确；又由已知AC⊥BC，且AC与P A交于点A，得BC⊥平面P AC，进而BC⊥PC，即选项B、D正确；P A⊥平面ABC，可证得P A⊥AC，若AC⊥PB，得AC⊥平面P AB，故AC ⊥AB，与已知矛盾，所以选项C不正确，故选C.4．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列说法错误的是() A．若m⊥α，则m∥l B．若m⊥l，则m∥αC．若m∥α，则m⊥l D．若m∥l，则m⊥α答案B解析A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．时间：25分钟1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是()A．b⊥βB．b∥βC．bβD．bβ或b∥β答案A解析∵a⊥α，a∥b，∴b⊥α.又∵α∥β，∴b⊥β.2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1DCB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB答案B解析连接A1D、B1C，由ABCD－A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.3．过两点与一个已知平面垂直的平面()A．有且只有一个B．有无数个C．有一个或无数个D．可能不存在答案C解析当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．4．如下图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF 的中点，现沿AE、AF、EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是()A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF答案A解析∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G∴AG⊥平面EFG.5．如图所示，BC是Rt△ABC的斜边，P A⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，则图中直角三角形的个数是()A．8 B．7C．6 D．5答案A解析易知P A⊥AC，P A⊥AD，P A⊥AB，BC⊥AD，BC⊥PD，AC⊥AB.图中的直角三角形分别为△P AC，△P AD，△P AB，△ADC，△ADB，△PCD，△PDB，△ABC，共8个，故选A.6．如下图，α∩β＝l，点A、C∈α，点B∈β，且BA⊥α，CB⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定答案C解析∵BA⊥α，α∩β＝l，∴BA⊥l，同理CB⊥l，而BA∩CB＝B，∴l⊥平面ABC，而AC平面ABC，∴l⊥AC.故选C.7．设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面ABCD外一点，且P A ＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的位置关系是________．答案垂直解析由P A＝PC，PB＝PD，知PO⊥AC，PO⊥BD.又AC∩BD＝O，故PO ⊥平面ABCD.8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则平面AB1C，平面ACC1A1，平面OCN，平面A1C1D中，与直线OM垂直的是________．答案平面AB1C，平面A1C1D解析因为AC⊥平面BDD1，所以AC⊥OM，同理可证B1C⊥OM，AC∩B1C ＝C，所以OM⊥平面AB1C；同理，OM⊥平面A1C1D.9．如图，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，BE⊥CD于E，AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD.证明取AB的中点F，连接CF，DF.∵AC＝BC，∴CF⊥AB.又AD＝BD，∴DF⊥AB.∵CF∩DF＝F，∴AB⊥平面CDF.又CD平面CDF，∴AB⊥CD.又CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE.又AH平面ABE，∴CD⊥AH.又AH⊥BE，且BE∩CD＝E，∴AH⊥平面BCD.10．如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD.∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB平面ABE，AE平面ABE，∴PD⊥平面ABE.。
数学直线与平面垂直的判定导学案
§2.3.1 直线与平面垂直的判定一、学习目标1. 理解直线与平面垂直的定义；2. 掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用；二、自主学习探究一：探究1：直线和平面垂直的概念问题：如图10-2，将三角板直立起来，并且让它的一条直角边BC落在桌面上，观察AB边与桌面的位置关系呈什么状态？绕着AB边转动三角板，边AB与BC始终垂直吗？在转动的过程中，把BC看作桌面上不同的直线，你能得出什么结论吗？新知1：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记做lα⊥.l叫做垂线，α叫垂面，它们的交点P叫垂足.如图10-3所示.图10-3 反思：⑴如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？⑵用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？探究2：直线与平面垂直的判定定理问题：如图10-4，将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(,BD DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直呢？CAB图10-4结论：图10-5 反思：⑴折痕AD 与桌面上的一条直线垂直时，能判断AD 垂直于桌面吗?⑵如图10-5，当折痕AD BC ⊥时，翻折后AD α⊥,即,AD CD AD BD ⊥⊥.由此你能得出什么结论?新知2：直线和平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.探究3：直线与平面所成的角新知3：如图10-6，直线PA 和平面α相交但不垂直，PA 叫做平面的斜线，PA 和平面的交点A 叫斜足；PO α⊥，AO 叫做斜线PA 在平面α上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°角.典型例题例1 如图10-7，已知a ∥b ，a α⊥，求证：b a ⊥.图10-7例2 如图10-8，在正方体中，求直线A B '和平面 A B CD ''所成的角.例3 如图，AB 为平面α的一条斜线，B 在平面α内，已知∠ABC=60°，∠动手试试练1. 如图10-9，在三棱锥中，,VA VC AB BC ==， 求证：VB AC ⊥.练2. 如图10-10，在Rt BMC ∆中，斜边5BM =，其射影4AB =，60MBC ∠=°,求MC 与平面CAB所成角的正弦值.当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 直线l 和平面α内两条直线都垂直，则l 与平面α的位置关系是（ ）. A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.都有可能2. 已知直线,a b 和平面α，下列错误的是（ ）. A.a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭ B.//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭ C.a b b α⊥⎫⇒⎬⊥⎭a ∥α或a α⊂ D.//a b αα⎫⇒⎬⊂⎭a ∥b 3. ,a b 是异面直线,那么经过b 的所有平面（ ）.A.只有一个平面与α平行B.有无数个平面与α平行C.只有一个平面与α垂直D.有无数个平面与α垂直4. 两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是________________.5. 若平面α∥平面β,直线a ⊥α,则a 与β_____.6. 如图10-11，在正方体中，O 是底面的中心，B H D O ''⊥，H 为垂足，求证：B H '⊥面AD C '.§2.3.2 平面与平面垂直的判定学习目标1. 理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小；2. 理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化.一、自主学习：（预习教材P 67~ P 69，找出疑惑之处）复习1：⑴若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为____________________________________________________________________________. 复习2：⑴什么是直线与平面所成的角?⑵直线与平面所成的角的范围为_______________.二、新课导学探究1：二面角的有关概念图11-1问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么?新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图11-2中的二面角可记作：二面角AB αβ--或l αβ--或P AB Q --.l问题：二面角的大小怎么确定呢？新知2：如图11-3，在二面角lαβ--的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线,OA OB，则射线OA和OB构成的∠叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.AOB反思：⑴两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？⑵你觉的二面角的大小范围是多少？⑶二面角平面角的大小和O点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？探究2：平面与平面垂直的判定问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？新知3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图11-4，α垂直β，记作αβ⊥.问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？新知4：两个平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.反思：定理的实质是什么?典型例题例1 如图11-5，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于,A B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.图11-5 例2 如图11-6，在正方体中，求面A D CB''与面ABCD所成二面角的大小（取锐角）.小结：求二面角的关键是作出二面角的平面角.动手试试练. 如图11-7，在空间四边形SABC中，ASC∠=90°，60ASB BSC∠==°，SA SB SC==，⑴求证：平面ASC⊥平面ABC.⑵求二面角S AB C--的平面角的正弦值.三、总结提升学习小结1. 二面角的有关概念，二面角的求法；2. 两个平面垂直的判定定理及应用.当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 以下四个命题，正确的是（）.A.两个平面所成的二面角只有一个B.两个相交平面组成的图形叫做二面角C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关2. 对于直线,m n ,平面,αβ,能得出αβ⊥的一个条件是（ ）. A.,//,//m n m n αβ⊥ B.,,m n m n αβα⊥=⊂ C.//,,m n n m βα⊥⊂ D.//,,m n m n αβ⊥⊥3. 在正方体1111ABCD A B C D -中，过,,A C D 的平面与过1,,D B B 的平面的位置关系是（ ）.A.相交不垂直B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行4. 二面角的大小范围是________________.5. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为_______.课后作业1. 如图11-8，在正方体中，,E F 是棱A B ''与D C ''的中点，求面EFCB 与面ABCD 所成二面角的正切值.（取锐角）图11-8。
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数学必修2 导学案
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直线与平面垂直的判定导学案导学案（B）
日期______编写______审定_______
一、学习目标：
1.掌握直线与平面垂直的判定定理及应用
2. 求直线与平面所成的角
二、重点、难点
1.直线与平面垂直的判定
2.灵活应用直线与平面垂直判定定理解决问题
三、知识链接
1、三角形的外心、垂心的性质
四、学法指导：
空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关
系，它是空间问题平面化的典范。
线面垂直是立体几何的核心。
本节课要灵
活应用直线与平面垂直判定定理解决问题
五、学习内容
一、新知探究
阅读教材p64-p67页，并独立思考下列问题：
①根据课本的实验探究直线与平面垂直的定义和画法；如果一条直线垂直于
一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例说明.
②探究直线与平面垂直的判定定理.
③用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理.
④探究斜线在平面内的射影，讨论直线与平面所成的角.
二、探究结果
1、直线与平面垂直的定义和画法：
2、直线和平面垂直的判定定理（用三种语言表示）
3、斜线在平面内的射影：直线和平面所成的角：
4动手做课本例一、例二并解答p67页练习
三、应用示例思路1
例一变式训练：如图,已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求
证：PB⊥AC.
点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线
面垂直.用符号语言证明问题显得清晰、简洁
例二变式训练：如图10，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，
求CQ与平面DBC所成的角的正弦值
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点评：求直线与平面所成的角，是本节的又一重点，作线面角的关键是找出平面的垂线 思路2 1 如图在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知DC=DD 1=2AD=2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC. (1)求证：D 1C ⊥AC 1；
（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由
变式训练
如图在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，G 为CC 1的中点，O 为底面ABCD 的中心.
求证：A 1O ⊥平面GBD.
点评：判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重
要方法 例2 如图13，ABCD 为正方形，过A 作线段SA ⊥面ABCD ，又过A 作与SC 垂直的平面交SB 、SC 、SD 于E 、K 、H ，求证：E 、H 分别是点A 在直
线SB 和SD 上的射影.
变式训练
已知Rt △ABC 的斜边BC 在平面α内，两直角边AB 、AC 与α都斜交，点A 在平面α内的射影是点A′，求证：∠BA′C 是钝角.
拓展提升
1已知a 、b 是两条相互垂直的异面直线，线段AB 与两异面直线a 、b 垂直且相交，线段AB 的长为定值m ，定长为n （n ＞m ）的线段PQ 的两个端点分别在a 、b 上移动，M 、N 分别是AB 、PQ 的中点. 求证：（1）AB ⊥MN ；
（2）MN 的长是定值.
数学必修2 导学案
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线………………………. 2 已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，
BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.（1）求证：AC⊥BC1;
（2）求证：AC1∥平面CDB1
学习小结及反思
知识方面：
六、达标检测
如图, 已知PA⊥α, PB⊥β, 垂足分别为A、B, 且α∩β= l , 求证: AB⊥l .
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1 .
(1)求证: A1C⊥B1D1 ;
(2)若M、N分别为B1D1与C1D上的点, 且MN⊥B1D1 , MN⊥C1D , 求
证: MN//A1C .
3.在△ABC中，∠Ｂ＝90°，SA⊥面ABC，AM⊥SC，AN⊥SB垂足分别为N、
M，
求证：AN⊥BC，MN⊥SC
A
B
P
α
β
l
A
B
D
1=
B1=
B
A
N
M
C
S。