2011.1.14《线性代数与解析几何》期末试题
B.单叶双曲面
C.双叶双曲面
D.双曲抛物面
1.计算行列式 的值.
2.已知 ，其中 ，求矩阵 .
3.已知向量组 ： , , , ，求此向量组的一个极大无关组，并用此极大无关组的线性组合表示其余向量.
4.求经过点 ，且与方程组 的非零解向量垂直的平面方程.
1.已知
.
（1） 为何值时， 不能由 线性表示；
题号一二三源自四五六总分
分数
评卷人
哈尔滨工程大学本科生考试试卷
（2010年秋季学期）
2011-1-14
课程编号：0911006课程名称：线性代数与解析几何A
1.已知 ，则 的值为 .
2.方程 的3个根之和为 .
3.设 为3阶可逆阵，将矩阵 的第3列的5倍加到第1列上得矩阵 ，
则矩阵 .
4.设 为3阶方阵，已知 有两个特征值 ，且满足秩 ，
求证： 线性无关.
2.设 阶对称阵 满足 ，求证： 为正定阵.
则 = .
5.已知线性空间 的两组基： ；
，则 到 的过渡矩阵为
.
1.设 为 阶方阵，则以下结论中正确的是（）.
A.
B.
C.
D.
2.设 为 阵， 为 阵，则关于方程组 的说法中正确的是（）.
A.若 则 只有零解
B.若 则 只有零解
C.若 则 有非零解
D.若 则 有非零解
3.已知 是一个线性空间，则以下说法中正确的是（）.
A. 中一定有零向量
B. 中一定有非零向量
C. 中一定有线性无关的向量
D. 中一定有无穷多个向量
4.若（），则矩阵 与 相似.
A.矩阵 与 特征多项式相同
B.矩阵 、 均与矩阵 相似
C.矩阵 与 特征值相同
D.矩阵 与 迹相同，行列式相同
5.设 、 均为3阶对称阵，若 可经正交变换 化为 ，已知曲面 为单叶双曲面，则曲面 为（）.
（2） 为何值时， 能由 惟一线性表示.
2.已知二次型 可经正交变换
化为标准形.求：
（1）二次型对应的矩阵 ；（2）正交矩阵 ；（3）二次型的标准型.
设3阶方阵 有特征值 ，对应的特征向量分别为 ，已知数列 、 、 满足 ，且 .
（1）将向量 写成 的线性组合；（2）求向量 .
1.设向量组 线性无关，非零向量 与 均正交，
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
解析几何期末考试试卷
北京交通大学 2010-2011 学年第一学期解析几何（A ）期末考试试卷第 1页共9页北 京 交 通 大 学2010-2011 学年第一学期解析几何（ A ）期末考试试卷学院 ____________________ 专业 __________ 班级 ____________学号 ________________________ 姓名 ________________________考生须知：⑴ 本试卷共有 八道大题，如不对，请马上与监考教师调换试卷！⑵ 填空题直接填出答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．题号 一二三四五六七八总分得分 阅卷人一．（本题满分 36 分，每空 3 分）请把答案填在空中．1(1,2 ,3 )，2， P 3(1,3,5)， 42,3)，1. 已知点 PP(2,4,1)P (4,则P 1 P 2 P 3 的面积为；四面体 P 1 P 2 P 3 P 4 的体积为 .65,52 32.设三个向量、、, 其 中0，且有和, 则.0 ；3. 已知向量 (1,0, 1) 和向量(1,1,1)，则满足方程且模长为3 2 的向量 等于 .1,1, 1；2 2第1页共9页2x 4 y z 1 04. 已知直线3 y5 , 则它的参数方程为 .xx 3t 5y t；z 10t115.给定点 A(1,0,3)，B(0,2,5 )x 1y 1z ，直线 l :21，设3A' ,B' 分别为 A, B 在直 线 l上的垂足, 则向量 A'B'的模长 A'B'为.3 147 ；6. 旋转曲面 x2y 2z 2 2z3的母线可以选取为曲线，旋转轴可以选取坐标轴, 其形状为 .x 2 (z 1)222y 2( z 1)2 22y 0或， z轴；x7. z 2 x22关于 xOy 平面的投影曲线方程是.曲线x 22 yzz 0 y2；1 x 2x 1 2cos sin8. 写出参数方程y3cossin （ 02）对应的普通方z 1 cossin第2页共9页2y z 1 (2z x 1)21程． 44x y 5z 1 0x 2 y 11 z 12 y z 15 0 的位置关9. 直线34与平面 3 x1系是 . 直线在平面上二. (8分 ) 利 用向量的运算，证明：a 1b 1 a 2 b 222a 2 22222a 3b 3 a 1 a 3 b 1 b 2 b 3 .三 . (10 分 ) 已知直线 l 1 过点 (0,0, 1)且平行于 x 轴， l 2 过点 (0,0,1) 且垂直于 xOz 平面，求到这两条直线等距离的点的轨迹，并说明其形状。
《线性代数与空间解析几何》期末考试 试卷A
考试类别[学生填写]（□正考 □补考 □重修 □补修 □缓考 □其它）适用专业：全院理、工科各专业本试卷共九大题，100分一、单项选择题 (每小题3分, 共18分)1.设A ，B均是n 阶可逆矩阵，且1=A ，2=B ，则1-AB 等于（ ）．)(A21)(B 2 )(C 1 )(D 42.设A 、B 是n 阶方阵，下列式子中正确的是( ) ．)(A T A A = )(B A k kA = )(C TT T B A AB =)( )(D kk k B A AB =)(3.设非齐次线性方程组b x A n m =⨯的系数矩阵的秩m A R =)(，则（ ）．)(A b x A n m =⨯一定有解 )(B b x A n m =⨯可能无解)(C 0=⨯x A n m 只有零解 )(D 0=⨯x A n m 有非零解4.已知11Tk α=（，，）是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211121112A 的特征向量，则 k = ( )．)(A 1或2 )(B -1或-2 )(C 1或-2 )(D -1或25.设A 是n 阶实对称矩阵，则下列哪个选项不是A 为正定矩阵的充要条件（ ）.)(A A 的特征值全大于0 )(B A 的二次型是正定二次型)(C ()n A r = )(D A 的顺序主子式全大于06.对二次曲面，下列说法不正确的是（ ）.)(A 方程2232y x z +=表示椭圆抛物面 )(B 方程132222=++z y x 表示椭球面 )(C 方程x y =2表示抛物柱面)(D 方程19141222=-+z y x 表示双叶双曲面二 、填空题(每小题3分, 共18分)1.若矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111111A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=421321B ,则=+B A 2 ．3.设向量组321,,ααα线性相关，而向量组432,,ααα线性无关，则向量组321,,ααα的 一个极大线性无关组是_____．4.设s ηηη,,,21 是非齐次线性方程组b Ax =的解，若s s k k k ηηη+++ 2211也是b Ax = 的解，则=+++s k k k 21_____．5.设二次型322123222144465x x x x x x x f --++=，则其矩阵A 为 ． 6.直线⎩⎨⎧=---=+++08330432z y x z y x 在xoy 面上的投影直线的方程为： ．线订装郑州轻工业学院2014—2015 学年 第 1学期 线性代数与空间解析几何 试卷A 卷专业年级及班级 姓名 学号三、（10分）计算行列式2111121*********=D ．四、(10分) 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120021111A 的逆矩阵．五、(10分)问四个点)10,8,0(),7,5,1(),8,0,4(),6,1,3(D C B A 是否共面？ 若共面，求出该平面方程．六、(10分) 求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02112α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34123α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20114α的秩及其一个极大线性无关组．七、(10分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300021012A ，求正交矩阵P ，使1P AP -=Λ为对角矩阵．八、（10分）求下列非齐次线性方程组的通解：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+.32235,122,54321432121x x x x x x x x x x九、（4分）若1ξ,2ξ是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，211ξξη+=,212ξξη-=，试证明1η,2η也是0=Ax 的基础解系．线订 装郑州轻工业学院2014—2015 学年 第 1学期 线性代数与空间解析几何 试卷专业年级及班级 姓名 学号。
南京邮电大学《线性代数与解析几何》期末试卷4
0
−1 1 0 1 −1 0
1
0
当 = 2 时， A − E = 1 − 1 0 → 0 0 0 2 = 1 , 3 = 0 ,
0 0 0 0 0 0
=
25
，故所求平面方程为： 24x + 18 y + 25z − 7 = 0 .
8
五、证明： r ( B) min{ m, n} = n , 又 n = r ( I ) = r ( AB) r ( B) , 故有 r ( B) = n , 即矩阵 B 的
列向量组线性无关.
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0 0 0 1
（3）当 = 1 时，同解方程组为 1 + 2 + 3 = 1 ， 通解为：
X = (1, 0 , 0 )T + k1 (1, − 1, 0 )T + k2 (1, 0 , − 1)T , k1 , k2 R
1 − a 1 + a 0
4. 解：
（1）二次型的矩阵 A = 1 + a 1 − a 0 , r ( A) = 2 A = 0 a = 0 .
4 = −31 + 2 + 3 .
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《线性代数与解析几何》练习册参考解答——期末试卷四
a 1 1
3. 解： A = 1 a 1 = (a + 2)(a − 1) 2 ,
1 1 a
（1）当 ≠ −2且 ≠ 1 时，方程组有唯一解；
1 1 −2 4
2011级线性代数期末复习试题解答
2011级线性代数期末复习题一．选择题 1. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组[（C ）]（A ）14433221,,,αααααααα++++线性无关。
（B ）14433221,,,αααααααα----线性无关。
（C ）14433221,,,αααααααα-+++线性无关。
（D ）14433221,,,αααααααα--++线性无关。
()A 对应向量组线性相关。
12233441,,,αααααααα∴++++线性相关。
类似（B ）,(D)对应向量组线性相关。
2. 设A ，B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有[（A ） ] （A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。
12(,,,)=000AX=00AX=0R(A)m r r n n A B A b b b B B r⨯⨯=⇒≠⇒⇒<L K （，，，）的每一列是的解；有非零解A 的列向量组线性相关;00T T AB B A =⇒=⇒B 的行向量组线性相关.3. 对非齐次线性方程组b Ax =及其导出组0=Ax ，应有[（C ）]成立。
（A ）若0=Ax 仅有零解，则b Ax =无解；（B ）若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解； （C ）若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 有非零解； （D ）若b Ax =有惟一解，则0=Ax 有非零解。
注意：齐次方程有解，通常推不出非齐次方程也有解。
4.设A 为n m ⨯矩阵，齐次线性方程有0=Ax 仅有零解的充要条件是[（A ） ] （A ）A 的列向量线性无关； （B ）A 的列向量线性相关； （C ）A 的行向量线性无关；（D ）A 的行向量线性相关。
5.若在非齐次线性方程组m n A x b ⨯=中，系数矩阵A 的秩为r ，则[（A ） ] （A ）m r =时, b Ax =有解 （B ）n m =时， b Ax =有惟一解 （C ）n r =时, b Ax =有惟一解（D ）n r <时, b Ax =有无穷解 注意增广矩阵B 的行数为m.R(A)=m,则R(B)=m 。
线代期末试题及答案
线代期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在三维向量空间中，以下向量中线性无关的是：A) (1, 0, 0)B) (0, 1, 0)C) (0, 0, 1)D) (1, 1, 1)答案：D2. 设矩阵A = [a b; c d]，若行列式det(A) = 0，则以下哪个等式成立？A) ad - bc = 0B) ab - bc = 0C) ac - bd = 0D) ad - bd = 0答案：A3. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，则A的逆矩阵为：A) [-1/6 -1/3 1/6; -1/6 2/3 -1/6; 1/6 -1/3 1/6]B) [-1 -2 -3; -4 -5 -6; -7 -8 -9]C) [1/6 1/3 -1/6; 1/6 -2/3 1/6; -1/6 1/3 -1/6]D) [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]答案：A4. 给定矩阵A = [2 0; 0 3]，B = [1 2; 3 4]，则A与B的乘积为：A) [2 4; 6 8]B) [2 0; 0 3]C) [1 2; 9 12]D) [4 6; 6 12]答案：B5. 给定向量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)，则a与b的内积为：A) 32B) 22C) 14D) 6答案：C6. 若向量a = (1, 2, 3)，b = (4, -2, 5)，c = (3, 1, -2)，则以下哪个等式成立？A) a × b = cB) b × c = aC) c × a = bD) a × c = b答案：B7. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，则A的特征值为：A) 1, 2B) 2, 3C) 3, 4D) 4, 5答案：A8. 设向量a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，c = (2, 1, 3)，则向量集合{a, b, c}的维数为：A) 1B) 2C) 3D) 4答案：C9. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，A的转置矩阵为：A) [1 3; 2 4]B) [4 3; 2 1]C) [1 2; 3 4]D) [3 4; 1 2]答案：A10. 设矩阵A = [2 1; 3 4]，则A的伴随矩阵为：A) [4 -1; -3 2]B) [2 -1; 3 4]C) [-4 1; 3 -2]D) [-2 1; -3 -4]答案：A二、计算题（共70分）1. 设矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的逆矩阵。
大学线性代数与解析几何习题
《线性代数与解析几何》复习题一、矩阵部分(一)填空题.1．设()1123123,(1,,)αβ==，TT B A βαβα==,，则3___________A =.提示：A 3=βαββαβααββαβααTT T T T T T 3)(==2．设方阵A 满足240,,A A I I +-=其中为单位矩阵，1)_____________A I --=则(. 提示：A 2+A-4I=0→A 2+A-2I-2I=0→(A-I)(A+2I)=2I →(A-I)(A+2I)/2=I 3．设方阵A 满足0322=--I A A ，则=-1A ____________.提示：A 2-2A-3I=0 → A(A-2A)=3I4．设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=1301113111211111A ，则=)(A r . 提示： 对矩阵A 施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A 的秩。
5．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a a a A 111，则当a 满足条件 时，A 可逆.提示：矩阵A 的行列式detA ≠0时，矩阵可逆。
(二)选择题1．设n 阶矩阵,,,A B C ABC I I =满足为单位矩阵，则必有 （ ） （A ）I ACB = （B ）I BCA = （C ）I CBA = （D ）I BAC =提示：A 的逆矩阵为BC2．12321,,0,312Q t P QP t ⎛⎫ ⎪=-== ⎪ ⎪⎝⎭已知是三阶非零矩阵且则 （ ）()1()1()2()2A B C D --提示：P 的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P 非零，Qx=0有非零解，故Q 的行列式detQ=0 3．1112132122232122231112131313233311132123313010,100001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦设2100010,101P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则必有 （ ）12211221()()()()A APP BB AP P BC PP A BD P P A B ====提示：矩阵B 由矩阵A 经初等行变换得到，故在C 或D 中选择，P1、P2为初等矩阵，P1为交换第1、2行，P2为将第一行的1倍加到第三行，故选C 4．设n 维向量)21,0,,0,21(=α,矩阵ααααT T I B I A 2,+=-=,其中I 为n 阶单位矩阵,则=AB ( )()()()()T A B IC ID I αα-+提示：AB ＝ (I-αT α)(I+2αT α)=I+αT α-2 αT α αT α= I+αT α-2 αT (α αT )α=I5．A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+ （ ） （A ） B=E （B ） A=E （C ）A=B （D ）AB=BA提示：(A+B)(A-B)=AA-AB-BA-BB6．矩阵==≠≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ii 则其中 ( )A 、1B 、2C 、3D 、4 提示：A=(a 1,a 2,a 3,a 4)T (b 1,b 2,b 3,b 4) (三)计算题1．2101,02010AB I A B A I B ⎛⎫ ⎪+=+= ⎪ ⎪-⎝⎭设,为单位矩阵,求矩阵。
线性代数期末考试考核试卷
4.以下哪个向量组构成一个基？
A. (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0)
B. (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)
C. (1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 1, 1)
D. (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
二、多选题
1. BCD
2. ABCD
3. ABC
4. AB
5. ABC
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
三、填题
1. 1
2.线性无关
3.主
...
10.（根据实际题目内容填写答案）
四、判断题
1. √
2. √
3. √
...
10. ×
五、主观题（参考）
1.向量组线性无关，可以通过计算行列式不为零来证明。一个可以由给定向量组线性表示的向量可以是它们的线性组合，例如\(a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 + c\vec{v}_3\)，其中\(a, b, c\)是适当的系数。
D. (1, 1), (1, -1)
（答题括号：________）
5.在求解线性方程组时，以下哪些情况下可以使用高斯消元法？
A.系数矩阵是方阵
B.系数矩阵是非奇异的
C.方程组中方程的个数等于未知数的个数
D.方程组可能有无穷多解
（答题括号：________）
（以下题目类似，省略以节约空间）
6. ...
A.若A为m×n矩阵，则A的转置为n×m矩阵
B.若A为m×n矩阵，则A的转置为m×n矩阵
线性代数与空间解析几何期末考试题
第 1 页， 共 1 页…………………………………………装…………………………订…………………………线…………………………………………………2011～2012学年第二学期课程考试试卷（A 卷）课 程 线性代数与空间解析几何B 考试时间 2012 年 7 月 2 日………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………一、填空题（每小题3分，满分27分）1、设行列式==11110342226111304zy x zy x，则行列式_________. 2、已知矩阵A 满足A 2-2A -8E = 0，则(A +E ) -1=_____________.3、已知向量组1α=(1,2,3)T , 2α=(3,-1,2)T , 3α=(2,3,k )T 线性相关，则常数k =_________.4、设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110120000120025，则A -1=________________. 5、若A 、B 为5阶方阵，且Ax = 0只有零解，且R (B )=3，则R (AB )=___________. 6、三元线性方程x 1+ x 2+ x 3=1的通解是_______________. 7、若矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4001与矩阵B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛x ab 3相似，则x=_____.8、设3元非齐次线性方程组Ax =b 有解1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321,2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3 2 1且R (A )=2，则Ax =b 的通解为__________________.9、若f (x 1, x 2, x 3)=32212322214244x x x x x x x ++++λ为正定二次型,则λ的取值应满足______. 二、选择题（每小题3分，满分15分）1、若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是（ ）(A ) A =*1A A；(B )0=A ；(C )2112)()(--=AA ; (D )113)3(--=AA .2、若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是 ( ) (A ) A 与B 等价；(B )A 与B 合同；(C ) | A |=| B |；(A ) A 与B 有相同特征值.3、设有向量组A ：1α,2α,3α,4α，其中1α,2α,3α线性无关，则（ ）(A ) 1α,3α线性无关； (B ) 1α,2α,3α,4α线性无关； (C ) 1α,2α,3α,4α线性相关 (D ) 2α,3α,4α线性相关.4、设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中为对称矩阵的是( ) (A ) AB -BA ；(B )AB+BA ；(C )AB ；(D )BA .5、设A 为m×n 矩阵，则n 元齐次线性方程组Ax= 0存在非零解的充要条件是（ ）(A ) A 的行向量组线性无关； (B ) A 的行向量组线性相关； (C ) A 的列向量组线性无关； (D ) A 的列向量组线性相关.三、计算题（每小题9分，满分18分）（1）D =cc b b a a------11110011001.（2）设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛161020101,而X 满足AX +E =A 2+X ，求X . 四、应用题（每小题10分，满分20分）（1）求向量组()T411,11，，=α，()T531,22，，=α，()T 6,5,1,33=α，()T231-,14-=，，α的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组表示出来.（2）设A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1-11020011-λλλ, b =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-a ，已知非齐次线性方程组Ax=b 存在两个不同的解，求（I ）a ，λ的值；（II ）Ax =b 的通解.五、证明题（满分8分）设A ，B ，A +B 均为n 阶正交矩阵，证明:111)(---+=+B A B A . 六、综合题（满分12分）设A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3030002aa 的三个特征值分别为1，2，5，求正交矩阵P ，使P -1AP =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛500020001.。