【高考领航】2017届(北师大版)高三数学(理)大一轮复习课件第六章 不等式与推理证明 第5课时
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高三大一轮复习学案
1．(2016· 贵州六校联考)在平面几何中：△ABC的∠C的平分 AC AE 线CE分AB所成的线段的比为 BC ＝ BE (如图1)．把这个结论类比到 空间：在三棱锥ABCD中(如图2)，面DEC平分二面角ACDB且 与AB相交于E，则类比得到的结论是__________．
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他们研究过图(1)中的1,3,6,10，„，由于这些数能够表示成 三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，„ 这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( A．289 C．1 225 B．1 024 D．1 378 )
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－
n－m dn nb－ma 为am＋n＝ ，所以bm＋n＝ cm. n－m
答案 n－m dn cm
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(1)类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个 对象其他属性亦类似的一种推理方法，是由特殊到特殊的推理， 其一般步骤为： ①找出两类事物之间的相似性或一致性； ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明 确的命题(猜想)．
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2．类比推理 (1)根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性质，推测 其中一类事物具有另一类事物 叫作类比推理(简称类比)． 类比推理的一般步骤： ①找出两类事物之间的 相似性或一致性 ； ②用一类事物的性质去推测 另一类事物的性质 个明确的命题．
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类似(或相同)
答案：1∶8
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4．观察如图所示的“三角数阵”：
记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N＋)，请仔细观察上述“三 角数阵”的特征，完成下列各题：
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(1)第6行的6个数依次为________、________、________、 ________、________、________； (2)a2＝________，a3＝________，a4＝________，a5＝ ________； (3)归纳出an＋1与an的关系式为________．
1 1 1 1 1 1 1 1 答案：1－2＋3－4＋„＋ － ＝ ＋ ＋„＋2n 2n－1 2n n＋1 n＋2
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考点二 类比推理 [例2] 已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－ nb－ma m≥1，m，n∈N＋)，则am＋n＝ .类比等差数列{an}的上述结 n－m 论，对于等比数列{bn}(bn＞0，n∈N＋)，若bm＝c，bn＝d(n－ m≥2，m，n∈N＋)，则可以得到bm＋n＝______.
解析：由推理过程知∠A＜∠B是演绎推理的小前提． 答案：B
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3．(教材改编题)在平面上，若两个正方形的边长的比为1∶ 2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正方体的 棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
V1 S1 h1 1 1 1 解析：V ＝S · ＝4×2＝8. h 2 2 2
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1．归纳推理 根据一类事物中
部分事物
具有某种属性，推断该类事物
中 每一个 都具有这种属性的推理，叫作归纳推理．归纳推理是 由部分到 整体 ，由个别到 一般 的推理． 归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些 相同属性 ；
(2)从已知的相同属性中推出一个明确表述的 一般性命题 ．
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(2)熟悉常见的类比对象 ①平面与空间的类比 平面 点 线 圆 三角形 角 面积 周长 „
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空间 线 面 球 三棱锥 二面角 体积 表面积 „
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②等差数列与等比数列的类比 等差数列 两项之和 两项之差 前n项之和 „ 等比数列 两项之积 两项之比 前n项之积 „
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[基础自测] 1．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳 推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x) 的导函数，则g(－x)＝( A．f(x) C．g(x) ) B．－f(x) D．－g(x)
答案：(1)6 16 25 25 16 (3)an＋1＝an＋n
6 (2)2 4 7 11
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考点一
归纳推理
1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 [例1] (1)已知数列：1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，„， 依它的前10项的规律推测这个数列的第2 018项是________．
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(2)给出下列命题： 1 命题1：点(1,1)是直线y＝x与双曲线y＝x 的一个交点； 8 命题2：点(2,4)是直线y＝2x与双曲线y＝x 的一个交点； 27 命题3：点(3,9)是直线y＝3x与双曲线y＝ x 的一个交点； „„ 请观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)为：________.
－
知d＝cq
n－m
n－m d n－m d n n ，所以q＝ ，所以 b ＝ b q ＝ c · ＝ ＋ m n m c c
n－m dn cm ，
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法二：(直接类比)设数列{an}的公差为d1，数列{bn}的公比为 q，因为等差数列中an＝a1＋(n－1)d1，等比数列中bn＝b1qn 1，因
1 (1)求证：S 成等差数列； n
(2)求数列{an}的通项公式．
审题视点 an.
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1 (1)利用an＝Sn－Sn－1推导 S 的递推关系，从而求 n
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解析
(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1， 1 1 所以S － ＝2， S n n－1
解析：通过观察所给的结论可知，若f(x)是偶函数，则导函 数g(x)是奇函数，故选D.
答案：D
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2．已知△ABC中，∠A＝30° ，∠B＝60° ，求证a＜b. 证明：∵∠A＝30° ，∠B＝60° ，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线 部分是演绎推理的( A．大前提 C．结论 ) B．小前提 D．三段论
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解析：设图(1)中数列1,3,6,10，„的通项为an，则a1＝1，a2 －a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，„，an－an－1＝n. ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋„＋(an－an－1)＝1＋2＋„＋n nn＋1 ＝ 2 (n≥2)． 1×1＋1 当n＝1时，有a1＝ ＝1， 2 nn＋1 ∴an＝ 2 .
的一个交点．
63 答案 (1) 2 交点
3 n (2)点(n，n2)是直线y＝nx与双曲线y＝ x 的一个
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所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给 条件之间的变化规律，从而得到一般结论．
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1．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究 数．比如：
nn＋1 2 ＝2 016,2 018－2 016＝2，即这个数列的第2 018项是上述 63 分组中的第64组中的第2个数，即第2 018项是 2 .
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(2)点的横坐标是命题“n”的值，纵坐标为n2，直线的斜率为
3 n n，曲线的系数为n3，总结为点(n，n2)是直线y＝nx与双曲线y＝ x
的性质的推理，
，得出一
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(2)前提为真时，结论 可能为真 的推理，叫作合情推理． 归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．
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3．演绎推理 (1)演绎推理：从 一般性的原理 出发，推出某个特殊情况
下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是 由 一般到 特殊 的推理． (2)演绎推理的一般模式—— “三段论” ： ① 大前提 ——已知的一般原理； ② 小前提 ——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
解析：由等比数列的性质可知 b1b30＝b2b29＝„＝b11b20， ∴ 10 b11b12„b20＝ 30 b1b2„b30.
答案：
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10
b11b12„b20＝
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30
b1b2„b30
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考点三 演绎推理
[例3] 若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝ 1 0(n≥2)，a1＝2.
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审题视点 规律及个数．
(1)把前10项分组归纳，分析归纳每一组数的变化
(2)总结点的变化规律，再看直线和曲线的变化规律，写出此 (语言)命题相似的内容．
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高三大一轮复习学案
解析 1 (1)这个数列的前10项按如下规则分组．第一组： 1 ；
Hale Waihona Puke 2 1 3 2 1 4 3 2 1 第二组： 1 ， 2 ；第三组： 1 ， 2 ， 3 ；第四组： 1 ， 2 ， 3 ， 4 ；„； n－r＋1 nn＋1 1 n n－1 n－2 第n组：1， 2 ， 3 ，„， ，„，n.由不等式 2 ＜ r 2 018，即n(n＋1)＜4 036，得n≤63(n∈N＋)，且当n＝63时，
高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式课件理
第二十七页，共61页。
2．(2018·广西三市调研)已知 m，n 为正实数，向量 a ＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若 a∥b，则m1 ＋2n的最小值为_3_＋__2__2__．
第二十八页，共61页。
解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即 m＋n＝1，又 m，
n
为
正
实
数
，
∴
1 m
＋
2 n
＝
＝fa＋2 b，Q＝f(
ab)，R＝f
a2＋2 b2，则(
)
A．P＜Q＜R B．P＜R＜Q
C．R＜Q＜P D．R＜P＜Q
用导数法．
第三十页，共61页。
解析 f′(x)＝x＋1 1－1＝x－＋x1(x＞－1)，由 f′(x)>0 解 得－1<x<0，由 f′(x)<0 解得 x>0，所以 f(x)在(－1,0)上单调 递增，在(0，＋∞)上单调递减．
∴存在 m＝± 3使得△ABF1 的面积最大．
第四十页，共61页。
方法技巧 基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小， 有时也与其他知识进行综合命题，如角度 1 典例，结合函数 的单调性进行大小的比较．
根据题意得出三角形面积表达式，求最 值时，用基本不等式法．
第三十六页，共61页。
解 (1)易知直线 l：x＝my＋2 与 x 轴的交点坐标为 (2,0)，∴椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的一个焦点坐标为(2,0)，
∴c＝2，∴a2＝c2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆 C 的方程为x52＋y2＝1. (2)存在． 将 x＝my＋2 代入x52＋y2＝1 并整理得(m2＋5)y2＋4my－ 1＝0， Δ＝(4m)2－4(m2＋5)×(－1)＝20m2＋20>0，
高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式课件文北师大版
(x-2)2+1,所以f(x)min=f(2)=1,
由题意可知a≤1,且f(a)=f(b)=b,a<b,b>2,
由f(b)=b得到 3 b2-3b+4=b,
4
解得b= 4 (舍去)或b=4,
3
由抛物线的对称轴为x=2得到a=0,所以a-b=-4.
【思想方法指导】 三个“二次”关系的应用 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间具有内在的、紧密的联 系,解题时往往需要把不等式、方程问题转化为函数问题.
5.(必修5 P82例9改编)已知关于x的方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则
实数a的取值范围是
()
A.(4,+∞)
B.(-∞,4)
C.(-∞,2)
D.(2,+∞)
【解析】选A.设f(x)=x2-ax+3,
若方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,
则只需要f(1)<0,即f(1)=1-a+3<0,得a>4,
复习课件
高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式课件文北师大版
2021/4/17
高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次
1
不等式课件文北师大版
第六章 不 等 式 第一节 不等式的性质 及一元二次不等式
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养·微专题 核心素养测评
(1) a>b⇔ac2>bc2.( ) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1,x2),则必有a<0. ( ) (3)不等式ax2+bx+c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ=b2-4ac≤0. ( )
北师大版高三数学(理)一轮复习《选修— 不等式选讲》课件
∴m2-m<[f(x)]min=2⇒m2-m-2<0⇒-1<m<2.
答案
第十四章
14.3 选修4—5 不等式选讲
考纲要求
知识梳理
双击自测
核核心心考考点点
学科素养
-18-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5 知识方法 易错易混
考点2绝对值三角不等式的应用
例2设函数f(x)=
1 ������ + ������
考点1
第十四章
14.3 选修4—5 不等式选讲
考纲要求
知识梳理
双击自测
核核心心考考点点
学科素养
考点2
考点3
考点4
考点5 知识方法 易错易混
-16-
(3)对于形如|x-a|+|x-b|>m或|x-a|+|x-b|<m(m为正常数)的不等式, 利用实数绝对值的几何意义求解较简便,即利用数形结合法,把绝 对值转化为数轴上的动点x到两个定点a,b的距离之和.
=
(������ -������ )(������������ ������������
-1),
由 a>b>1 得 ab>1,a-b>0,
所A 以
������-������ (������������ -1)>0,即
������������
x-y>0,所以
x>y.
关闭 关闭
解析 答案
第十四章
14.3 选修4—5 不等式选讲
考纲要求
知识梳理
双双击击自自测测
核心考点
学科素养
-9-
12345
3.(2015西安模拟)若a>b>1,x=a+
《考案》2017届高考数学(理,全国通用)第一轮总复习课件：第六章 不等式(共267张PPT)
高考第一轮复习用书·数学（理科）
第六章
2.(2015 年银川模拟)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论:①������ >������ ;②
������ ������
ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c),其中所有正确结论的序号是( A.① B.①② C.②③ D.①②③
).
高考第一轮复习用书·数学（理科）
4������ -������ 2 由题意得 =0,即 4
a2-4b=0,
2
所以不等式 f(x)<c 转化为 x
������ 2 +ax+ 4 <c,
m=-
������ 2 即(x+2 ) <c,由已知必有 c>0, ������ ������ ������ ������ 所以- ������-2 <x< ������-2 ,即不等式解集为(- ������-2 , ������-2 ),于是 ������ ������ ������ ������ ������-2 ,m+6= ������-2 ,因此(m+6)-m=( ������-2 )-(- ������-2 )=2 ������⇒c=9.
1.(2015 年新课标全国Ⅱ卷)已知集合 A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则 A∩B=( A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2}
).
高考第一轮复习用书·数学（理科）
第六章
【答案】A
高考第一轮复习用书·数学（理科）
第六章
2.(2014 年山东卷)已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒 成立的是( ).
高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第3讲 基本不等式课件 文 北师大版
第六章 不等式、推理与证明
(1)(2015·高考湖南卷)若实数
a，b
满足1＋2＝ ab
ab，
则 ab 的最小值为( C )
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
(2)(2015·高考福建卷)若直线xa＋by＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)， 则 a＋b 的最小值等于( C )
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
4．若 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为___5_____．
解析：x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥4＋1＝5.
当且仅当
x－1＝x－4
，即 1
x＝3
时等号成立．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
5．若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地 的最大面积是__2_5_m__2__． 解析：设矩形的长为 x m，宽为 y m，则 x＋y＝10，
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
[解] (1)因为每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收入为 5x 万元，依题意得，当 0<x<8 时，
L(x)＝5x－13x2＋x－3＝－13x2＋4x－3； 当 x≥8 时，L(x)＝5x－6x＋1x00－38－3＝35－x＋10x0.
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
交汇创新——基本不等式与解不等式的交汇 (2014·高考浙江卷)已知实数 a，b，c 满足 a＋b＋c
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
1．若 x>0，y>0，且 x＋y＝1，则 xy 的最大值为( 3
D
【高考领航】高考数学总复习 第6章 章末整合课件 北师大
【错解分析】 该解法错误的原因在于将题目中的“a，b”与 不等式性质中的“a，b”混淆了，实际上这里的 a 与 b 是有内在联 系的．如此一来，扩大了各自的取值范围，所以在使用不等式的性 质时，要确定准独立变量，以免产生错误．
【正解】 设 2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)， ＝(x＋y)a＋(x－y)b.
综上所述，当 a<0 时，解集为{x|x<1a或 x>1}； 当 a＝0 时，解集为{x|x>1}； 当 0<a<1 时，解集为{x|1<x<1a}； 当 a＝1 时，解集为∅； 当 a>1 时，解集为{x|1a<x<1}.
误区三 忽视基本不等式成立的条件而致误
1.在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足， 极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的关键 所在．
【错解分析】 错误的原因是满足21≤≤aa＋－bb≤≤42 的点(a，b)的集
合与满足032≤≤ba≤≤323
的点(a，b)的集合不等价，根源在于“
a>b⇒ c>d
a＋c>b＋d”只是推出关系，不等价，从而产生增解，扩大了范围．
【正解】 法一：设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m、n 为待定系数)， 则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
【答案】 [171，54]
误区五 不明确类比推理的定义致误 类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象
其他属性也类似的一种推理方法．忽视了本质，仅从表象上去类比 是产生错误的根源．
一般人总会这样认为，既然人工智能这门新兴学科是以模
拟人的思维为目标的，那么就应该深入地研究人思维的生理机制和
高考数学一轮专项复习ppt课件-等式性质与不等式性质(北师大版)
课时精练
知识过关
一、单项选择题 1.已知a，b∈R，则“ a> b ”是“ln a>ln b”的 A.充分不必要条件
√B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
若“ a> b”，取 a＝1，b＝0，但是 ln b 无意义， 所以由“ a> b”推不出“ln a>ln b”， 若“ln a>ln b”，则a>b>0， 所以 a> b， 所以由“ln a>ln b”可推出“ a> b ”， 所以“ a> b”是“ln a>ln b”的必要不充分条件.
由c<cb<ca<1，得0<a<b<1， ∵aaab＝aa－b>1， ∴ab<aa， ∵abaa＝aba,0<ab<1，a>0， ∴aba<1，即 aa<ba，综上可知，ab<aa<ba.
思维升华
比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
√B.若a>b，则a＋c>b＋c √C.若 a>b>c>0，则ab>ab＋＋cc
√D.若 a>b>c>0，则a－b b>a－c c
当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；
由不等式的可加性可知，B正确；
若a>b>c>0，则a－b>0，b＋c>0， ∴ab－ab＋＋cc＝ab＋bcb－＋bca＋c＝cbab－＋bc>0， ∴ab>ab＋＋cc，故 C 正确； 若a>b>c>0，则a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b，
高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 重点强化课3 不等式及其应用学案 文 北师大版
重点强化课(三) 不等式及其应用(对应学生用书第86页)[复习导读] 本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法，简单的线性规划问题，基本不等式及其应用，针对不等式具有很强的工具性，应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式是解决问题的重要工具，如利用导数研究函数的单调性，往往归结为解一元二次不等式问题；函数、方程、不等式三者密不可分，相互转化，因此应加强函数与方程思想在不等式中应用的训练．重点1 一元二次不等式的综合应用(1)(2018·烟台模拟)函数y ＝1－x22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是__________．(1)D (2)(－1，2－1) [(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为－1，－12∪－12，1，故选D ．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0，解得－1<x <0或0≤x <2－1. 所以x 的取值范围为(－1，2－1)．][规律方法]一元二次不等式综合应用问题的常见类型及求解方法(1)与函数的定义域、集合的综合，此类问题的本质就是求一元二次不等式的解集． (2)与分段函数问题的综合．解决此类问题的关键是根据分段函数解析式，将问题转化为不同区间上的不等式，然后根据一元二次不等式或其他不等式的解法求解．(3)与函数的奇偶性等的综合．解决此类问题可先根据函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，也可直接根据函数的性质求解．[对点训练1] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为__________. 【导学号：00090202】 (－5,0)∪(5，＋∞) [由于f (x )为R 上的奇函数， 所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0， 所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．] 重点2 线性规划问题(1)(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( ) A ．[－3,0] B ．[－3,2] C ．[0,2]D ．[0,3](2)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 [(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝x －z 过点A (2,0)时，z 取得最大值，即z max ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 过点B (0,3)时，z 取得最小值，即z min ＝0－3＝－3.所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]． 故选B ．](2)作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，令z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z .作直线l 0：y ＝－ax ，平移l 0，最优解可在A (1,0)，B (2,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32处取得． 故由1≤z ≤4恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.][规律方法] 本题(2)是线性规划的逆问题，这类问题的特点是在目标函数或约束条件中含有参数，当在约束条件中含有参数时，那么随着参数的变化，可行域的形状可能就要发生变化，因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情况进行分类讨论，以免出现漏解．[对点训练2] 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( ) A ．14B ．12C ．1D ．2B [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a x －，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.]重点3 基本不等式的综合应用(2016·江苏高考节选)已知函数f (x )＝a x ＋b x(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)．设a ＝2，b ＝12. (1)求方程f (x )＝2的根；(2)若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值.【导学号：00090203】[解] 因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.2分(1)方程f (x )＝2，即2x＋2－x＝2，亦即(2x )2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x ＝0.5分(2)由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤f x2＋4f x 对于x ∈R 恒成立.8分而f x 2＋4f x＝f (x )＋4f x≥2f x4f x＝4，且f 2＋4f＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.12分[规律方法] 基本不等式综合应用中的常见类型及求解方法：(1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．[对点训练3] (1)(2018·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．(2)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为__________． (1)6 (2)9 [(1)法一：(消元法) 因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3，所以x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y ＋3(y ＋1)－6≥2121＋yy ＋－6＝6，当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二：(不等式法) ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， 解得t ≥6或t ≤－18(舍去)故当x ＝3，y ＝1时，x ＋3y 的最小值为6. (2)由已知得x ＋2y2＝1.则x ＋8y xy ＝1y ＋8x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 2 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫10＋x y ＋16y x ≥12(10＋2 16)＝9，当且仅当x ＝43，y ＝13时取等号．]。
高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.3
5．已知a，b∈(0，＋∞)，且满足8a＋2b＝ab－9，则ab的取值范围是 ____[8_1_，__＋__∞__)______。
解析 ab－9＝8a＋2b≥2 16ab＝8 ab，∴ab－8 ab－9≥0，即( ab＋ 1)( ab－9)≥0，∴ ab－9≥0，即 ab≥81。
R 热点命题 深度剖析
考点一 利用基本不等式证明不等式
【例 1】 已知 a>0，b>0，a＋b＝1， 求证：1＋1a1＋1b≥9。 【证明】 证法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＋1a＝1＋a＋a b＝2＋ba。 同理，1＋b1＝2＋ba。 ∴1＋1a1＋1b＝2＋ba2＋ab ＝5＋2ba＋ba≥5＋4＝9。
于是a1b≥4，a2b≥8，当且仅当 a＝b＝12时取“＝”。 ∴1＋1a1＋1b≥1＋8＝9， 当且仅当 a＝b＝12时取等号。
a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝1＋1＋ba＋ab≥2＋2 答案 C
ba·ab＝2＋2＝4，故选 C。
4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器。已知该容器
的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低
总造价为( )
A．80元
B．120元
C．160元
D．240元
解析 设容器的底长 x 米，宽 y 米，则 xy＝4。 所以 y＝4x，则总造价为： f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋8x0＋20x ＝20x＋4x＋80，x∈(0，＋∞)。 所以 f(x)≥20×2 x·4x＋80＝160， 当且仅当 x＝4x即 x＝2 时，取等号， 所以最低总造价是 160 元。故选 C。 答案 C
基础自测
[判一判]
(1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2。( × ) 解析 错误。当 x>0 时，x＋1x≥2；当 x<0 时，x＋1x＝－(－x)＋－1x≤
高考数学一轮专项复习ppt课件-基本不等式(北师大版)
命题点2 配凑法 例 3 (1)(2023·许昌模拟)已知 a，b 为正数，4a2＋b2＝7，则 a 1＋b2的最
大值为
A. 7
B. 3
C.2 2
√D.2
因为 4a2＋b2＝7，则 a
2.若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于
A.1＋ 2
B.1＋ 3
√C.3
D.4
自主诊断
当 x>2 时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋x－1 2＋2≥2 x－2·x－1 2＋2＝4， 当且仅当 x－2＝x－1 2(x>2)，即 x＝3 时，取等号，即当 f(x)取得最小 值时 x＝3，即 a＝3.
常用结论
几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). (2)ba＋ab≥2(a，b 同号). (3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R). (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2 (a，b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
∵8a＋4b＝ab，a>0，b>0，∴8b＋4a＝1， ∴8a＋b＝(8a＋b)8b＋4a ＝6b4a＋4ab＋40≥2 64ba·4ab＋40＝72， 当且仅当6b4a＝4ab，即 a＝6，b＝24 时取等号.
(2)已知正数 a，b 满足 a＋2b＝3 恒成立，则a＋1 1＋2b的最小值为
A.32
成立，故 A 选项错误；
B
选项，当
a ＋ b>0
时
，