武汉大学《现代控制理论》数学知识回顾 第四章 矩阵的范数-特征值矩阵分解法
矩阵的特征分解和奇异值分解
矩阵的特征分解和奇异值分解在线性代数中，矩阵的特征分解和奇异值分解是两种重要的分解方法。
特征分解可以将一个方阵分解为特征向量和对应的特征值，而奇异值分解则适用于非方阵，将矩阵分解为奇异向量和对应的奇异值。
本文将详细介绍这两种分解方法的原理和应用。
一、特征分解特征分解是将一个方阵分解为特征向量和对应的特征值的过程。
对于一个n阶方阵A，存在特征向量x和对应的特征值λ，使得满足下式：Ax = λx其中λ是一个标量，x是非零向量。
特征分解的步骤如下：1. 求方阵A的特征多项式：先计算A减去λ乘以单位矩阵I的行列式，得到特征多项式。
2. 求特征多项式的根：解特征多项式的方程，得到所有特征值λ。
3. 求特征向量：对每个特征值λ，带入原方程组(A-λI)x = 0，求解齐次线性方程组，得到特征向量x。
4. 归一化特征向量：对每个特征值对应的特征向量进行归一化处理。
特征分解是一种重要的矩阵分解方式，可以用于求解线性方程组、矩阵运算和特征值问题等。
特征分解的结果可以提供矩阵的基本性质和结构信息。
二、奇异值分解奇异值分解是将一个m×n矩阵分解为奇异向量和对应的奇异值的过程。
对于一个m×n矩阵A，存在奇异向量u和v以及对应的奇异值σ，使得满足下式：Av = σu其中σ是一个非负标量，u和v是非零向量。
奇异值分解的步骤如下：1. 求矩阵A的转置矩阵A'的乘积AA'的特征值和对应的特征向量。
2. 求矩阵A的乘积A'A的特征值和对应的特征向量。
3. 计算奇异值：将特征值开根号得到矩阵A的奇异值。
4. 求解奇异向量：将特征向量与奇异值对应，得到矩阵A的奇异向量。
奇异值分解是一种常用的矩阵分解方法，它能够提取矩阵的结构信息和重要特征。
奇异值分解在信号处理、图像压缩、数据降维和推荐系统等领域得到广泛应用。
三、特征分解与奇异值分解的比较特征分解和奇异值分解都是将矩阵分解为向量和标量的过程，但它们的目的和应用场景有所不同。
现代控制理论中的数学知识
Chapter0 数学知识0.1复数的指数形式如下图，复平面上的一个单位矢量，其长度为1，其方向与x 轴的夹角为θ，该矢量可以用指数形式θj e 来表示。
由此可以得到Euler 公式： θθθsin cos e j j +=实部和虚部分别为：θθsin cos ==y xjj j j j 2e e sin 2e e cos θθθθθθ---=+=著名的Euler 公式将“实函数”与“虚函数”联系起来。
例1：利用Euler 公式可以简便的得到三角函数的“倍角公式” 22)sin (cos )(θθθj e j +=，左边=θθθθ2sin 2cos )(22j e e j j +==，右边θθθθcos sin 2)sin (cos 22j +-=， 比较两边“实部”和“虚部”得 θθθθθθcos sin 22sin sin cos 2cos 22=-=定义：双曲余弦函数 2cosh x x e e x -+≡，双曲正弦函数 2sinh xx e e x --≡得到关系式： jx x cos cosh =，jx j x sin sinh -= 0.2矩阵知识 0.2.1 矩阵形式单位矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000001 I ， 纯量矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==a a a aI A 00000010000001 ； 对角矩阵 0=ij a ，j i ≠ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a A 0000001 ；上(下)三角矩阵:0=ij a ，j i j i <>,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n a a a A 000...111 上；⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n a a a A ...000111 下；jyθx对(反)称矩阵:jiij ji ij a a a a -==，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A ......1111 对称；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nn n n a a a a A ......1111 反称； 任一矩阵都可分解为对称矩阵与反称矩阵之和：反称矩阵对称矩阵22TT A A A A A -++= A 、B 可交换（BA AB =）的充要条件是AB 为反称矩阵。
特征值 分解
特征值分解特征值分解是矩阵理论中的一个重要概念，它可以将一个矩阵分解为特征向量和特征值的乘积形式。
特征值分解在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
本文将围绕特征值分解展开讨论，介绍其定义、性质及应用。
一、特征值分解的定义特征值分解是指将一个n阶矩阵A分解为特征向量矩阵P和特征值矩阵Λ的乘积形式，即A=PΛP^(-1)，其中P是由A的n个线性无关的特征向量组成的矩阵，Λ是一个对角矩阵，其对角线上的元素为A的n个特征值。
特征值分解可以用于求解线性方程组、矩阵的幂运算、矩阵的对角化等问题。
此外，特征值分解还与矩阵的谱半径、矩阵的条件数等相关，具有重要的理论和应用价值。
二、特征值分解的性质1. 特征向量的性质：特征向量是非零向量，与其对应的特征值相乘，得到的结果仍为该特征向量的倍数。
2. 特征值的性质：特征值可以是实数或复数，对称矩阵的特征值均为实数，非对称矩阵的特征值可以是复数。
3. 特征值的数量：一个n阶矩阵最多有n个特征值，特征值的个数等于矩阵的秩。
4. 特征值的重复性：特征值可能存在重复，即不同的特征向量对应同一个特征值。
特征向量和特征值之间存在着密切的关系，通过特征值分解可得到矩阵的特征向量和特征值，从而可以进一步分析矩阵的性质和应用。
三、特征值分解的应用1. 矩阵对角化：特征值分解可以将一个矩阵对角化，即将其转化为对角矩阵的形式。
对角化后的矩阵具有简洁的形式，在计算和分析上更加方便。
2. 线性方程组的求解：通过特征值分解可以求解线性方程组。
将系数矩阵进行特征值分解后，可以得到方程组的解析解。
3. 矩阵的幂运算：特征值分解可以简化矩阵的幂运算。
对于一个特征值为λ的特征向量x，矩阵A的幂运算A^k可以表示为A^k=PΛ^kP^(-1)。
4. 图像处理：特征值分解在图像处理中有广泛的应用。
通过特征值分解可以提取图像的主要特征，实现图像的降维和去噪等操作。
5. 物理学应用：特征值分解在量子力学等物理学领域有着重要的应用。
矩阵的特征值分解及其应用
矩阵的特征值分解及其应用矩阵的特征值分解是矩阵理论中的重要分支，它在许多领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍矩阵的特征值和特征向量的概念，特征分解的方法以及矩阵特征分解在数据降维和信号处理中的应用。
一、矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的一个重要概念，在数学、工程、物理等许多领域都有广泛的应用。
一个$n \times n$的矩阵$A$可以看作是由$n$个列向量组成的，分别是$A$的第$1$列到第$n$列。
对于一个$n \times n$矩阵$A$，如果存在一个非零向量$\vec{x}$和一个实数$\lambda$，使得：$$ A \vec{x} = \lambda \vec{x} $$那么$\lambda$就是矩阵$A$的一个特征值，$\vec{x}$就是矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的一个特征向量。
特别地，当$\vec{x} = 0$时，我们把$\lambda$称为矩阵$A$的零特征值。
二、特征分解的方法矩阵的特征值分解就是把一个矩阵分解成若干个特征值和特征向量的线性组合。
具体地说，对于一个$n \times n$的矩阵$A$，它可以写成：$$ A = Q \Lambda Q^{-1} $$其中$Q$是一个$n \times n$的可逆矩阵，$\Lambda$是一个$n \times n$的对角矩阵，它的对角线上的元素是矩阵$A$的特征值。
接下来我们来介绍一种求矩阵特征分解的方法，也就是QR算法。
QR算法是一种迭代算法，它的基本思路是通过相似变换把一个矩阵变成上三角矩阵，然后再通过相似变换把上三角矩阵对角线上的元素化为矩阵的特征值。
具体的步骤如下：1. 对于一个$n \times n$的矩阵$A$，我们可以先对它进行QR 分解，得到一个$n \times n$的正交矩阵$Q$和一个$n \times n$的上三角矩阵$R$，使得$A=QR$。
2. 计算$RQ$，得到一个新的$n \times n$的矩阵$A_1=RQ$。
矩阵分解 特征值分解
矩阵分解特征值分解
矩阵分解（Matrix decomposition）是将一个矩阵拆分为多个较
小矩阵的过程。
矩阵分解在数学和计算机科学中具有广泛的应用，可以用于优化计算、数据压缩、降维、概率模型等领域。
其中，特征值分解（Eigenvalue decomposition）是矩阵分解的
一种常见形式。
对于一个方阵A，可以将其分解为以下形式：
A = QΛQ^-1
其中，Q是一个正交矩阵，Λ是一个对角矩阵，对角线上的元
素为A的特征值。
特征值分解表示矩阵A可以通过正交变换
Q变为对角矩阵Λ。
特征值分解的应用非常广泛，例如在机器学习中，特征值分解可以用于主成分分析（PCA）和奇异值分解（SVD）等算法中，用于降维和特征提取。
此外，在工程学中，特征值分解也常用于振动分析和结构动力学等领域。
尽管特征值分解在理论上很有用，但是对于大型稠密矩阵，计算特征值分解的复杂度较高，通常需要使用数值方法来近似求解。
常用的数值方法包括幂迭代法、QR迭代法和雅可比迭代
法等。
矩阵分析引论--第四章--矩阵的奇异值分解-向量范数、向量范数
n
定义 E
xi2 .
证明
a,
都与
b
E 等价.
i 1
利用 a
x11 xn n
( x1 ,, xn )连续，
在单位球面
S
y
(
y1 ,,
yn
n
)
i 1
yi2
1
上
取得最大值M与最小值m.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
第二节 矩阵范数
定义4-2 设A P nn ,定义非负实数 A， 满足下列条件: (1) 正定性：当A 0时，A 0; (2) 齐次性：kA k A (k P); (3) 三角不等式： A B A B . (4) AB A B . 则称非负实数||A||为n×n方阵的范数.
则称非负实数||||为向量 的范数.
此时称线性空间V 为线性赋范空间.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
设V是内积空间， V ,定义： ( , ),
则 • 是V上的一个范数，称为由内积引出的范数.
向量范数的性质：
P124, 1
(1) 0 0 ;
(2) 0时， 1 1 ;
A F
n
2
aij
tr( AH A）
i , j1
是与 2相容的方阵范数. 称为 F 范数.
注：当U为酉矩阵时，有
F范数的优点
A的酉相似矩阵的F 范数相同.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
常用的矩阵范数
n
(1)
A
1
max
1 jn i 1
aij
矩阵分解总结
矩阵分解总结
矩阵分解总结：
矩阵分解是一种被广泛应用于各个领域的数学方法，它将一个复杂的矩阵表示
为几个简化的矩阵相乘的形式。
矩阵分解在数据压缩、机器学习、信号处理等领域中具有重要的作用。
一种常见的矩阵分解方法是奇异值分解（SVD），它将一个矩阵分解为三个矩
阵的乘积，分别是左奇异向量矩阵、奇异值对角矩阵和右奇异向量矩阵。
SVD在
图像处理、推荐系统等领域中得到了广泛的应用。
另一种常见的矩阵分解方法是QR分解，它将一个矩阵分解为一个正交矩阵和
一个上三角矩阵的乘积。
QR分解在线性回归、最小二乘法等问题中起到了重要的
作用。
矩阵分解还有其他多种方法，如LU分解、Cholesky分解等。
它们各自在不同
领域具有独特的优势和应用。
矩阵分解的目标是将一个大型、复杂的问题简化为多个小型、简单的问题，进而提高计算效率和问题求解的准确性。
通过矩阵分解，我们可以发现矩阵中的隐藏模式、结构和特征，从而更好地理
解和处理数据。
无论是在科学研究、工程技术还是商业应用中，矩阵分解都起到了重要的作用，为进一步的数据分析和决策提供了有力支持。
总结起来，矩阵分解是一种重要的数学方法，它将复杂的矩阵拆解为简单的因子，以便更好地分析和处理数据。
不同的矩阵分解方法在不同领域有着广泛的应用，为数据科学和工程技术领域带来了重要的进展。
矩阵的特征分解
矩阵的特征分解是线性代数中的一个重要概念，在许多应用中都有着广泛的应用。
特征分解是将一个矩阵表示成特征向量与特征值的乘积的过程。
在本文中，我们将介绍特征分解的原理、方法以及应用。
首先，让我们先来了解一下什么是特征向量与特征值。
给定一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ为一个实数，则v称为A的特征向量，λ称为A的特征值。
特征向量是由矩阵A在向量空间中的变换后的方向，而特征值则表示特征向量在变换中的缩放比例。
接下来，我们介绍特征分解的原理。
对于任意一个n阶矩阵A，如果它有n个线性无关的特征向量v1, v2, ..., vn，并且它们对应的特征值分别是λ1,λ2, ..., λn，那么矩阵A可以表示为以下形式的特征分解：A = PDP^-1，其中P是由特征向量组成的矩阵，D是由特征值组成的对角矩阵。
特征分解的方法有多种，其中最常用的是通过特征多项式来求解特征值和特征向量。
我们可以通过求解A的特征多项式的根，即特征值，来得到特征向量。
具体来说，设A是一个n阶矩阵，特征多项式为f(λ) = |A-λI|，其中I是单位矩阵。
然后我们可以通过求解f(λ) = 0得到特征值，进而得到对应的特征向量。
特征分解在数据分析、图像处理、信号处理等领域有着广泛的应用。
在数据分析中，特征分解可以帮助我们发现数据中的模式和结构。
例如，我们可以通过将数据矩阵进行特征分解，得到特征向量以及对应的特征值，根据特征值的大小来判断数据的主要特征，并进一步进行降维和分类等操作。
在图像处理中，特征分解可以用于图像压缩和图像识别。
通过对图像矩阵进行特征分解，我们可以得到包含图像主要特征的特征向量，从而可以压缩图像的存储空间，同时也可以通过比较特征向量的差异来进行图像的识别和匹配。
在信号处理中，特征分解可以用于信号的降噪和提取特征。
通过对信号矩阵进行特征分解，我们可以区分信号中的噪声和有用的信息，并进一步进行降噪和提取特征等操作。
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现代控制理论讲义第四章矩阵范数和奇异值分解4.1 引言在这一讲中，我们将引入矩阵范数的概念。
之后会介绍矩阵的奇异值分解或者叫SVD。
SVD 揭示了矩阵的2范数，它的值意义更大：它使一大类矩阵扰动问题得以解决，同时也为后面稳定鲁棒性的概念打下基础；它还解决了所谓的完全最小二乘问题，该问题是我们前面讲的最小二乘问题的推广；还帮我们澄清在矩阵求逆计算中碰到的态性的概念。
在下一讲中，我们会花更大的篇幅来叙说SVD的应用。
例 4.1 为了提高大家对矩阵范数研究和应用的兴趣，我们首先从一个例子开始，该例子提出了与矩阵求逆有关的矩阵态性问题。
我们所感兴趣的问题是矩阵求逆对矩阵扰动的敏感程度。
考虑求下列矩阵的逆马上就可以求得现在我们假设对一个受到扰动的矩阵求逆求逆后，结果就成了在这里表示A中的扰动，表示中的扰动。
显然中一项的变化会导致中的变化。
如果我们解，其中，得到，加入扰动后，解得。
在这个结果中，我们仍然可以清楚的看到开始数据仅有的变化，却导致解产生的变化。
以上例子中我们看到的要比在标量情况下差的多。
如果是标量，那么，所以的倒数中小数部分的变化和的变化在同一量级上。
因此，在上例中的现象完全是在矩阵的时候才出现的。
看上去好像和是近似奇异的事实有关——因为它的列几乎不独立，且它的行列式值要比它的最大元素小很多，等等。
随后（见下一讲），我们会找到衡量奇异程度的合理方法，同时还要说明在求逆情况下，这种方法和灵敏度的关系如何。
在理解这种灵敏度和扰动的细节关系之前，我们首先要找到度量向量和矩阵量级的方法。
在第一讲中我们已经引入了向量范数的概念，所以我们现在来看一下矩阵范数的定义。
4.2 矩阵范数一个维复数矩阵可以看成（有限维）赋范向量空间中的一个算子：其中，这里的范数指的是标准欧氏范数。
定义的归纳2-范数如下：术语“归纳”是指在向量和的范数的基础上，使得以上矩阵范数的定义有意义。
该定义中，归纳范数表示矩阵在中单位圆上向量扩大的倍数，也就是说，它表示矩阵的增益。
除了用2-范数来度量向量和，我们还可以用范数，感兴趣的是的情况。
它的定义是：需要考虑的一个很重要的问题是，在第一讲向量范数定义的情况下，归纳范数是否是真正的范数呢？下面，我们来回顾定义范数的三个条件：现在我们证明是上的范数——利用前面的定义：1．对任意都有，所以。
进一步有，因为是在单位圆上的最大值。
2．对任意的，由得。
3．三角不等式仍然成立，因为：归纳范数有两条额外重要的性质：1．，它是由定义直接推得的结论；2．对于称为子乘性质。
也可以直接由定义得出：除以得：由此我们得出结果。
归纳2-范数将是本讲以及下一讲的重点，在我们深入研究它的更多细节之前，我们先引出另外两个常用的归纳范数，-范数和-范数。
我们还会讲到一个重要的矩阵范数，它不是归纳范数，而叫做范数。
我们很容易证明和（注意当的时候，这两个定义就成了我们学过的列向量的-范数和-范数。
）归纳-范数的证明要分两步，即：1．证明等式的值中存在上限2．对于某些，证明该上限是可以求出来的：为了看到这些步骤如何执行，我们给出一些有关-范数的细节。
令，并考虑：上面的不等式说明了上限由下式给出为了证明该上限可以通过某向量求得，用表示取得最大值的位置，即。
定义向量为：显然且-范数的证明完全类似，留给读者自己去完成。
在矩阵范数中有的不是归纳范数，也就是满足前面说过的那三条的函数。
范数就是其中最重要的一个：换句话说，范数定义为矩阵各元素的平方和的根，也就是说，当把矩阵仅仅当作中的一个向量时，那么范数也就是矩阵通常的欧氏2-范数。
虽然可以证明范数不是归纳范数，但是它却仍然具有归纳范数的子乘性质。
还有一些其它的范数的定义（有些不具有子乘性质），不过我们只对上面我们讲的几个感兴趣。
4.3 奇异值分解在我们讨论矩阵的奇异值分解之前，我们先看几个关于矩阵的常识和定义。
一些矩阵常识：z如果，，那么就是单位矩阵。
像Matlab中一样，在这里上角标表示转置矩阵的复数共轭，也称为厄密共轭或者共轭转置。
z如果，，那么就是正交的，其中上角标表示转置。
z性质：如果是单位矩阵，那么。
z如果（也就是和它的厄密共轭阵相等，在这种情况下，我们称为厄密共轭阵），那么就一定存在一个单位矩阵使得。
z对任意的矩阵A，和都是厄密共轭阵，所以它们都可以通过单位矩阵变成对角阵。
z对任意的矩阵A，和的特征值通常都是实的和非负的（很容易通过反证法进行证明）。
定理4.1（奇异值分解，或称）给定任意矩阵，A可以写成：其中。
称作的奇异值，按照降序排列为：证明：我们只证的情况；其他的情况和该例的证明十分类似。
是厄密共轭阵，所以可以通过单位矩阵进行对角化，有：注意，由于是正定的，所以中的对角元素也都是正实数。
我们可以写出。
定义，其中。
的行是正交的，这一点可以从下面的计算中看出：。
选择矩阵，使得在中，且是单位矩阵。
定义维矩阵。
这意味着也就是。
例 4.2 在本讲一开始给定的矩阵，它的（在Matlab中输入可以很方便的求出结果）是：观察：它说明了使得对角化；它说明了使得对角化；如果、用它们的列来表示，即：那么：它是的另一种写法。
称为的左奇异向量，称为右奇异向量。
从这里可以看出，也可以认为是：该式是的加权和，其中权值是奇异值和在上投影的乘积。
说明（因为，其中是标量权值）。
因为的列向量是独立的，所以，且构成了空间的基底。
的零空间由决定：例4.3 奇异值分解的一个应用就是求解系统的代数方程组。
设是一个维复数矩阵，是中的一个向量。
设的秩是且。
我们来找出线性系统的解法。
把奇异值分解过程用到上，我们得到：其中是一个非奇异对角阵。
单位矩阵、用列的形式表示成：该方程组有解的充要条件是对所有在内的都满足。
否则，该方程组是不相容的。
该条件意味着向量必须要和的最后列正交。
所以，该线性系统方程组可以写成：利用上面的方程以及的可逆性，系统方程组可以重新写成：再根据我们得到解的形式如下：通过前面的观察，我们知道向量张成的核空间，因此该线性系统方程组的通解就是：其中系数取任意复数，在区间中。
4.4 矩阵范数关系奇异值分解法可以用来求解矩阵的归纳2-范数。
定理 4.2它说明最大幅值就是最大的奇异值。
证明：对，它的上限值就可以求出了。
（注意它相当于，因此，。
）奇异值分解的另一个应用，是计算2-范数等于1的满秩矩阵的最小幅值。
定理 4.3 给定，假设。
那么注意，如果，那么就会存在一个，使得最小值达到零（将重新写成它的形式就看出来了）。
证明：对任意的图4.1：的映射图解。
注意，。
对于。
现在注意当时，取得最小值；证毕。
范数也可以由奇异值很简单的表示出来。
下面这个证明留给读者去完成：例4.4 矩阵不等式两个方阵如果满足下列关系，我们说：这个结论可以对任意矩阵，而不必是方阵，习题习题 4.1 对任意的维矩阵，证明下式成立：习题 4.2 假设。
找出的特征值和奇异值之间确定的关系。
当不对称时，结论还成立吗？习题 4.3 如果，证明。
习题 4.4 该问题利用迭代结构，说明了存在的必要性。
证明，其中和为单位矩阵，等价于证明。
用的定义，证明存在单位向量（在-范数度量的前提下）和，使得，其中。
我们可以将上一问的和都扩展到正交基，也就是说，我们可以找到第一列分别是和的单位矩阵和：证明，一种方法是通过变换可以找到，具体如下：同样可以得到的表达式。
现在，定义，说明为什么注意：请说出以上矩阵左下角元素是的理由是什么？证明并结合，推出，因而在下一次迭代中，我们将以上步骤应用到上，等等。
一直到迭代结束，我们就得到了。
[之所以这是目前仅有的证明存在性的方法而不是算法，是因为它一开始就引入了和，但并没有给出计算他们的方法。
计算比较好的算法确实存在——参看和的著作，，，是众多应用中数值计算方面的一座里程碑。
]习题 4.5 设维矩阵被分解为以下形式：其中和是单位矩阵，是一个维可逆矩阵（——也可以实现这种分解）。
的或伪逆，记为定义为维矩阵，形式如下：（在Matlab中，可以调用命令来计算它。
）证明和是对称的，且、。
（这四个条件其实就是的不同形式的定义。
）证明，当是列满秩时，有当是行满秩时，有。
证明在所有使取得最小值（如果不是列满秩的话，会有很多）的中，具有最小长度的那一个由给定。
习题 4.6 本题中的矩阵都是实数矩阵。
假设其中是正交矩阵，是可逆矩阵。
（回忆一下，对于任意具有列满秩的矩阵都存在这种分解。
）同时，令矩阵如下：其中和的划分方法一致。
求使的范数, 或等价的平方范数取得最小值的矩阵，记为。
也就是找到同时，确定的值。
（结果要用矩阵和来表示。
）你在中的可以写成吗？可以写成吗？其中，表示的。
求解使取得最小值的，用表示。
其中和是给定的且有合适维数的矩阵。
（结果要用和表示。
）习题 4.7 结构化奇异值已知是复数方阵，定义结构化奇异值函数如下：其中表示某个矩阵集合。
如果，请证明，其中是的谱半径，定义为，是的特征值。
如果，证明。
如果，证明其中习题 4.8 重新考虑前一问题中定义的复方阵的结构化奇异值函数。
如果有更多的结构，就可能计算出的精确值。
在本题中，假设是秩1矩阵，那么可以写成，其中是维复向量。
根据下列条件，计算：为了简化计算，在的定义下，使的范数最小化。