向量的范数与矩阵的范数1

有关性质：
1）零向量的范数是零。
2）当
时，有
实际上，我们还可以通过已知的向量范 数来构造新的向量范数。
定理4.1 设
是
上的一种已知向量范数
（不一定是P-范数），A是n阶满秩方阵，
，定义 ，则 是
上的一种向量范数。
证明：
所以
是
上的一种向量范数。 是 中向量 是 的n元连续
定理4.2 设
的一种范数，则 函数。
(k ) 有 i i
，故
即
从而可知数列
.
证毕
x 收敛于零
证 （略）取 .
(k ) (k ) max 0 x x 0 充分性. 设 即 i i i
k) (k ) max i ( j 1,2,, n) 但是 ( j j i i
k) (k ) 从而 ( 0 ( j 1 , 2 , , n ) 即 x x j j
i i i
因此， x max i 是 C n 上的一种范数.
i
例4.3
以上例子给出了 中向量的三种常用范数， 下面再来看更一般的 P-范数（也叫Holder（赫 尔德）范数）
x ( i )
i 1
n
Leabharlann Baidu
p 1/ p
,1 p
显然上面三个例子中给出的三种常用范数是P范数的特殊情况。当p=1, 2, 便得 x 1与 x 2 ， 并且可以证明
(即 解：（1）对于
x
）是否是范数？
1 2 n
2 2
2
(2)a C , ax a1 a 2 a n a x
2 2 2
(3)对于 x, y C n ,
x y ( x y, x y ) ( x, x) 2 Re( x, y ) ( y, y )
x lim x
p
p
证明:
例4.4 设A 是任意一n阶正定Hermite矩阵,列向 n H 1/ 2 量 x C , 则函数 x A ( x Ax) 是一种向量范数, 称为加权范数或椭圆范数. 证：因为A 正定，所以当x=0时，x
A
0
例4.5
是线性空间 C[a,b]的范数.
定义4.2 满足上述不等式 的两种范数称为是 等价的.由此可见任意两种向量范数是等价的。
定理4.4
(k ) (k ) ,, n C n 中的 x ( k ) 1( k ) , 2
收敛到向量 x 1 , 2 ,, n ，数列
的充要条件是对任一种范数
x
(k )
二. 向量范数的等价性 定理4.3 设 x 和 x 为有限维线性空间V 的 任意两种向量范数，则存在两个与向量无关的 正常数 c1和 c2 使下面不等式成立
c1 x x c2 x
例如：x 2 x 1 n x 2
n or x1 x2 x1 n n x2 x x2 n 1 x1 x x1 n
必要性. 设 x
(k )
x ，则 x x 0 即向量
(k )

(k ) 1
1 , 2( k ) 2 ,, n( k ) n

i
的每一个分量收敛 时，
到零，于是对 0 ，ki 使得当 k> 有
(k ) i
i ，取N= max ki ，当k> N时
因为 Re（x, y ) ( x, y ) ( x, x)( y, y ) x y
2
n 证明 x max 是 C 上的一种范数， 例4.2 i
这里x 1 , 2 , n C
i
n
x y max i i max i max i x y
第四章 向量的范数与矩阵的 范数 4.1 向量的范数 4.2 矩阵的范数
定义 4.1 如果V 是数域K上的线性空间，且 对于V 中任意一向量x ，对应一个实值函数
它满足以下三个条件： （1）非负性： （2）齐次性： （3）三角不等式：
例4.1
x 1 2 n
2 2
2
（ 2.1.1 ）