11分数的拆分(1)
分数的拆分
分 数 的 拆 分◇知识简述◇分数加减法的主要步骤是通分、合并、约分。
将一个分数分成两个或两个以上的分数的和或差的过程叫做拆分（这里通常将真分数分成若干个单位分数的和或差），分数的分拆与分数的加减法过程刚好相反，可按先扩分，再拆分，最后约分的步骤来做。
把一个分数n 1拆分成两个单位分数的和，一般的解题思路是：设a 、b 为n 的因数，则：()()b a n b b a n a n +⨯++⨯=1。
（注：拆分结果不唯一） 把一个分数n 1拆分成两个单位分数的差，一般的解题思路是：设a 、b 为n 的因数，则：()()b a n b b a n a n -⨯--⨯=1。
（注：拆分结果不唯一） ◇例题解析◇1．在()()11151+=的括号里填入适当的自然数，使等式成立。
你有几种不同的填法？2．在()()11151-=的括号里填入适当的自然数，使等式成立。
你有几种不同的填法？3．将101分拆成三个单位分数之和。
你有几种拆法？4．在括号里填上合适的自然数：()()11154+=。
◇练习巩固◇1．()()()()111161+=+=()()()()111181+=+= 2．()()()()1111101-=-=()()()()1111121-=-= 3．()()()11151++=()()()111251++=（括号内填相同的数） 4．()()()11141-+=()()()11191+-= 5．()()11163+=()()11185+= 6．()()()()1111127+++=()()()()11113625+++=。
解决分数问题之转化“1”
解决分数问题之转化“1”1.转化“1”，就其转化的目的而言，可以理解为将复杂的、间接的数量关系简单化的过程。
2.转化的目的，一方面可以简化，另一方面跟重要的作用是应用，我们在将两个数量进行比较的过程中，往往会确定一个数量作为单位“1”，而在解决问题的实际过程中，会出现几个分数的单位“1”不相同，这是就需要转化成一个统一的单位“1”来解。
3.转化的方法：一是用代换的方法，如占“1”的几分之几的几分之几，转化为占“1”的几分之几。
二是采用具体化的策略，即将分数中的分子和分母看成具体的份数来思考。
例1 西西家有很多适合他看的图书，其中故事书的数量占总数的52，科普书的数量是故事书的数量的43，聪明的你能知道西西的科普书占总数的几分之几吗？例2 一辆汽车从甲地开往乙地，第一天行了全程的31还多60千米，第二天行的路程等于第一天行的53，第二天行的路程是总长的几分之几又多多少千米？例3 冰融化成水，体积会减少111，那么水结成冰，体积会增加几分之几？例4 甲、乙、丙三人分一笔奖金，甲分的是乙、丙所得之和的21，乙分得的是甲、丙所得之和的31，已知丙得1000，甲、乙两人各分得多少元？例5 五年级达标人数的43与六年级达标人数的53相等，五年级达标人数是六年级的几分之几？六年级达标人数是五年级的几分之几？例6 学校后勤组老师买来了一些红墨水和黑墨水，其中红墨水的瓶数占红、黑墨水总数的94 。
后来又买进60瓶红墨水，这时红墨水的瓶数占红、黑墨水总数的116。
这个学校现有红、黑墨水的总数是多少瓶？1.一段花布第一次用去了52，第二次用去了余下的 32 ，第二次用去全长的 ()()。
余下的是全长的()()。
2.工厂八月上旬完成月计划的125，中旬完成的是上旬的54，下旬是中旬的65，那么中旬完成的是月计划的()()，下旬完成的是月计划的()()，超额完成月计划的 ()()。
3.牛的头数比猪的头数少53，牛的头数是猪的 ()()，猪的头数比牛的头数多 ()()，猪的头数是牛的头数的 ()()。
分数的拆分
第十三讲 分数的拆分〈精讲〉一、知识要点：1、把一个分数写成两个或两个以上分数单位的和，通常称之为分数拆分。
2、一般地，设A 为大于1的自然数，在A 1＝）（ 1＋）（ 1的括号里填入不同的自然数，使等式成立的解法是：⑴任选A 的两个不同的约数a 和b ；⑵将A 1的分子、分母同时乘以(a ＋b )，得：A1＝)(b a A b a +⨯+）（； ⑶将上面式子拆成两个分数之和A 1＝)(b a A a +⨯＋)(b a A b +⨯； ⑷再将这两个分数化简，便可以得到结果。
3、形如下面的分数可以直接拆分：)1(1+⨯n n ＝n 1－11+n ；)(d n n d +⨯＝n 1－dn +1。
4、看起来很复杂的分数计算题，如果用一般的常规方法做，就很复杂。
结合题目的特点，掌握一些分数拆分的方法，可以使计算巧妙、简便。
二、典型例题解析：例1、在下面的括号里填入两个不同的自然数，使等式成立：151＝）（ 1＋）（ 1例2、已知181＝A 1＋B 1＋C 1，A ，B ，C 是不同的自然数，求A ，B ，C 的值。
例3、计算21＋61＋121＋201＋301＋421＋561。
例4、计算：411⨯＋741⨯＋1071⨯＋13101⨯＋16131⨯。
分数的拆分〈精练〉1、在下面的括号里填入两个不同的自然数，使等式成立。
⑴201＝）（ 1＋）（ 1；⑵51＝）（ 1＋）（ 1。
2、在下面的括号里填入三个不同的自然数，使等式成立。
241＝）（ 1＋）（ 1＋）（ 1。
3、计算：211⨯＋321⨯＋431⨯＋……＋50491⨯。
4、计算：61＋121＋201＋…＋721＋901＋1101。
5、计算：13112⨯＋15132⨯＋17152⨯＋19172⨯＋1916、计算：614⨯＋1164⨯＋16114⨯＋…＋76714⨯＋81764⨯姓名 学校 学号________________ 成绩 分数的拆分〈作业〉1、已知71＝A 1＋B1，A ，B 是不同的自然数，求A ，B 的值。
15以内的组合和拆分1
15以内的组合和拆分1介绍本文将介绍在15以内进行数字的组合和拆分。
我们将探讨如何使用这些数字进行各种组合和拆分操作。
组合两个数字的组合1和2可以组合成3: 1 + 2 = 31和3可以组合成4: 1 + 3 = 4依此类推，以下是在15以内可以得到的所有数字的组合操作：- 1 + 2 = 3- 1 + 3 = 4- 1 + 4 = 5- 1 + 5 = 6 - 1 + 6 = 7 - 1 + 7 = 8 - 1 + 8 = 9 - 1 + 9 = 10 - 1 + 10 = 11 - 1 + 11 = 12 - 1 + 12 = 13 - 1 + 13 = 14 - 1 + 14 = 15 - 2 + 3 = 5 - 2 + 4 = 6 - 2 + 5 = 7 - 2 + 6 = 8 - 2 + 7 = 9 - 2 + 8 = 10 - 2 + 9 = 11 - 2 + 10 = 12 - 2 + 11 = 13 - 2 + 12 = 14- 2 + 13 = 15 - 3 + 4 = 7 - 3 + 5 = 8 - 3 + 6 = 9 - 3 + 7 = 10 - 3 + 8 = 11 - 3 + 9 = 12 - 3 + 10 = 13 - 3 + 11 = 14 - 3 + 12 = 15 - 4 + 5 = 9 - 4 + 6 = 10 - 4 + 7 = 11 - 4 + 8 = 12 - 4 + 9 = 13 - 4 + 10 = 14 - 4 + 11 = 15 - 5 + 6 = 11 - 5 + 7 = 12 - 5 + 8 = 13- 5 + 9 = 14- 5 + 10 = 15- 6 + 7 = 13- 6 + 8 = 14- 6 + 9 = 15- 7 + 8 = 15三个数字的组合在15以内，我们可以组合三个数字得到其他数字。
下面是在15以内可以得到的所有三个数字的组合操作：- 1 + 2 + 3 = 6- 1 + 2 + 4 = 7- 1 + 2 + 5 = 8- 1 + 2 + 6 = 9- 1 + 2 + 7 = 10- 1 + 2 + 8 = 11- 1 + 2 + 9 = 12- 1 + 2 + 10 = 13- 1 + 2 + 11 = 14 - 1 + 2 + 12 = 15 - 1 + 3 + 4 = 8 - 1 + 3 + 5 = 9 - 1 + 3 + 6 = 10 - 1 + 3 + 7 = 11 - 1 + 3 + 8 = 12 - 1 + 3 + 9 = 13 - 1 + 3 + 10 = 14 - 1 + 3 + 11 = 15 - 1 + 4 + 5 = 10 - 1 + 4 + 6 = 11 - 1 + 4 + 7 = 12 - 1 + 4 + 8 = 13 - 1 + 4 + 9 = 14 - 1 + 4 + 10 = 15 - 1 + 5 + 6 = 12 - 1 + 5 + 7 = 13 - 1 + 5 + 8 = 14 - 1 + 5 + 9 = 15- 1 + 6 + 7 = 14 - 1 + 6 + 8 = 15 - 1 + 7 + 8 = 15 - 2 + 3 + 4 = 9 - 2 + 3 + 5 = 10 - 2 + 3 + 6 = 11 - 2 + 3 + 7 = 12 - 2 + 3 + 8 = 13 - 2 + 3 + 9 = 14 - 2 + 3 + 10 = 15 - 2 + 4 + 5 = 11 - 2 + 4 + 6 = 12 - 2 + 4 + 7 = 13 - 2 + 4 + 8 = 14 - 2 + 4 + 9 = 15 - 2 + 5 + 6 = 13 - 2 + 5 + 7 = 14 - 2 + 5 + 8 = 15 - 2 + 6 + 7 = 15 - 3 + 4 + 5 = 12- 3 + 4 + 6 = 13- 3 + 4 + 7 = 14- 3 + 4 + 8 = 15- 3 + 5 + 6 = 14- 3 + 5 + 7 = 15- 3 + 6 + 7 = 16- 4 + 5 + 6 = 15拆分拆分为两个数字在15以内，我们可以拆分数字为两个数字之和。
11的速算方法
11的速算方法
11的速算方法是一种快速计算11的方法，它适用于各种数学运算，包括加减乘除。
首先，将11拆分成10+1的形式，这样我们就可以利用基本的数学运算来计算11。
比如，要计算11×5，我们可以先将11拆分成10+1，然后用分配律展开式子，得到：
11×5 = (10+1)×5 = 10×5 + 1×5 = 50+5 = 55
同样地，要计算11×13，我们可以先将11拆分成10+1，然后用分配律展开式子，得到：
11×13 = (10+1)×13 = 10×13 + 1×13 = 130+13 = 143
对于加法和减法，也可以利用11的拆分形式来简化计算。
比如，要计算35+11，我们可以将11拆分成10+1，得到：
35+11 = 35+10+1 = 45+1 = 46
同样地，要计算78-11，我们可以将11拆分成10+1，得到：
78-11 = 78-10-1 = 68-1 = 67
总之，11的速算方法可以帮助我们更快地进行数学运算，提高计算效率。
除了11以外，其他数字也可以拆分成更容易计算的形式，这是数学运算中常用的技巧之一。
将一个分数拆为几个单位分数之和
即11/12=1/2+1/4+1/6。
2021/10/10
1
将一个分数拆为几个 单位分数之和
（分子为1的真分数叫单位分数）
请你把
1 2
拆成两个相同的单位分数之和：
请把下列各数拆成两个相同的 单位分数之和：
1, 1, 1(n为正整数） 5 12 n
对于任意一个单位分数，是否都能拆 成两个相同单位分数之和？
老汉分马问题
一个老汉在弥留之际，将家中11匹马分给3个儿子，老大 1/2，老二1/4，老三1/6。11匹马的二分之一是5匹半马， 总不能把马杀了吧，老汉应该怎么分呢？
正在老汉无奈之际，邻居把自己家的一匹马牵来， 则有了12匹马，老大二分之一，牵走了6匹；老二四 分之一，牵走了3匹；老三六分之一，牵走了2匹。一 共11匹，分完后，邻居把自己的马牵了回去。
1 n＝ n1 (1 ＋ ＋ n n)＝ n(1 ＋ 1n)＋ n＋ 11.
2021/10/10
5
回顾本课
1、对于任意一个单位分数，是否都能 拆成两个相同的单位分数之和？
2、对于任意一个单位分数，是否都能拆 成两个不同的单位分数之和？如果能， 共有几种拆分组合？
问题是数学的心脏。提出问题在某种意 义上比解决问题更重要。杨振宁说过： 学问学问，就是学会提出问题。
1+2可以,1+1,1+3不可以,说明x、y是有条件的, x、y要满足什么条件呢?
⑴ x、y不能相等；⑵ x、y必须是分母2的因数
把下列分数拆成两个不同的 单位分数之和：
1, 1, 1, 1 3456
1 (n为大于1 n 的正整数)
可以拆成几种情况？你能把它们都 写出来吗？
对于任意一个单位分数，是否都能拆成两个不同 的单位分数之和？如果能，共有几种拆分组合？
(完整版)分数的拆分
什么叫分数的拆分？把一个分数拆成两个或两个以上分数的和或差的形式，叫做分数的拆分.例如：271541181+=; 301451181+=； 221991181+=; 312161-=； 4131121-=；等等。
下面具体讲一下怎样把一个分数拆成两个分数的差。
当一个分数为)1(1n ＋n ⨯的形式时，可以拆分为111n ＋－n 的形式(n 为自然数，且n 不为0) 即：111)1(1n ＋－n ＝n ＋n ⨯ 例如:5141541201-=⨯=；7161761421-=⨯=分数拆分的具体应用 例·计算：4213012011216121+++++ 7671171616151514141313121214213012011216121=-=-+-+-+-+-+=+++++ 当分数的分子正好等于分母中两个因数的差时，这个分数也可以拆成两个分数之差.例如：9171972632-=⨯=；8131835245-=⨯=；7141743283-=⨯=用公式表示就是:当n 、n+d (n 不为0)都是自然数时，dn n d n n d +-=+⨯11)( 具体应用： 计算：20182181621614214122⨯+⨯+⨯+⨯12120120118118116116114114112120182181621614214122=+-+-+-+-=⨯+⨯+⨯+⨯dn n d n n d +-=+⨯11)( 这个公式同学们已经熟悉了.对这个公式可以进行变形：例如：)8131(5124551241-⨯=⨯= 因为8—3=5 所以提取一个51，当然，24也可以看成4×6，而6-4=2，所以也可以提取一个21，)6141(2124221241-⨯=⨯=，这得看计算时的需要了。
练习：计算21171171311391951511⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 215212041)2111(41)211171171131131919151511(41)21174171341394954514(4121171171311391951511=⨯=-⨯=-+-+-+-+-⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1/1＊5+1/5*9+1/9＊13+1/13*17+1/17＊21=1/4*（1-1/5）+1/4＊（1/5—1/9）+1/4*（1/9—1/13）+1/4*（1/13—1/17）+1/4* （1/17-1/21） =1/4＊（1—1/5+1/5—1/9+1/9—1/13+1/13—1/17+1/17—1/21）=1/4*20/21=5/211/18=1/？+1/?先求出分母18的所有约数：1、2、3、6、9、18要使两个分数单位的和等于1/18，我们可以分别取两个18的约数，用1/18的分子、分母乘这两个约数的和，再通过分拆的办法得到满足两个分数单位的和等于1/18这个条件的一组数.取1和21/18=（1+2)/18*（1+2）=1/18＊3+2/18＊3=1/54+1/27取1和31/18=（1+3）/18*（1+3)=1/18＊4+3/18*4=1/72+1/24取1和61/18=（1+6）/18*（1+6)=1/18＊7+6/18＊7=1/126+1/21等等注意:取1和2与取3和6；1和3，2和6,3和9与6和18结果一样,知道为什么吗？1/24=1/(）+1/（）=1/（）+1/（）=1/()+1/()24的约数有1、2、3、4、6、8、12、24取1和21/24=（1+2)/24*（1+2）=1/24*3+2/24*3=1/72+1/36取1和31/24=（1+3)/24*4=1/96+1/32取1和41/24=（1+4）/24＊5=1/120+1/30分子是1的分数拆成两个分数单位之和的形式已经掌握了，如果分子不是1呢？现在就讨论一下这个问题。
小学数学《分数的拆分与应用一》教案
分数的拆分与应用教学内容：教学目标探索和掌握并运用分数的基本性质教学重点和难点重点：把一个分数写成两个或两个以上分数单位的和与两数之差难点：（1）把一个分数写成两个或两个以上分数单位的差地方法，比如：把一个分数拆成两个分数之差，给求和带来“相互抵消”的方法，首先应记住，如果分子是1，分母是一个整数，它能分解成两个连续自然数的乘积，那么就可以进行如下“拆分” 教学媒体复习分数的加减运算，教学过程一、情境导入师：列出题目，让学生回顾分数拆分的方法一、（）（）1161+= 学：步骤1：写出6的所有质因数：1、2、3、6步骤2：任意选出两个因数相加。
比如：1、3 1+3=4步骤3：利用分数的基本性质24181243241244464161+=+==⨯⨯= 二、（）（）1161-= 步骤1：学出6的所有质因数：1、2、3、6步骤2：任意选出两个因数相减。
比如：1、6 6-1=5步骤3：利用分数的基本性质。
30151301306305565161-=-==⨯⨯= 师;把一个分数写成两个或两个以上分数单数的和或差，通常称之为分数拆分。
二、知识点讲授1．学习【例1】【例1】()1()183+= 师：同学们，我们上节课所学的分数拆分，分子是1，可是在这题目中，我们看到分母是3，你们一定想如果把3变成1的话，就容易多了，是不是？可是1又不能变成3，我们要怎么做呢？提示：此题的解题方法有很多种，在这儿介绍两种常用的方法学：将分数写成两个单位不变的同分母分数，然后约分。
师：我们进行分数的拆分时，现在我们就来学学分数拆分的约分法。
注意：运用约分法拆分的关键是拆成的两个同分母分数的分子一定要是分母的约数，这样才能将两个同分母分数约简成分子是1的分数 师：()1()183+= 步骤1：写出8的所有质因数：1、2、4、8步骤2：看看哪两个因数相加等于3。
1+2=3步骤3：利用分数的基本性质学生解答：4181828183+=+= 师：同学们分数的约分法你们会了吗？学：会了师：那同学们还有没有别的方法解决呢？师：老师下面教你们用其他的方法，你们准备好了吗？学：准备好了师：分母约分法：我们知道分数83的分母8的约数是不是有：1、2、4、8，而其中1+2=3 ， 1+8=9，他们的和为分子3的倍数，可将分数约简为分子是1的分数。
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例1、在等式
(
)(
)
111
6=+
的括号内填入适当的自然数,使等式成立（填出全部结果）
练习1、能否把21
拆成两个单位分数的和？
2、将101化为c
b a 1
11++的形式，其中a 、b 、c 为自然数。
（只要求一种解）
例2、求出
201的所有形如b
a 1
1-的表达式。
（其中a 、b 为自然数） 练习1、求出的301所有形如b
a 1
1-的表达式。
例3、等式
(
)(
)(
)(
)(
)(
)
111
1
1
1
1
20=+
+
+
+
+
的括号里填入适当的自然数，使
等式成立。
（分母必须互不相同）
练习、求出
15
4
的所有形如b a 11+的表达式。
（其中a 、b 为自然数）
例4、求出245的所有形如b
a 1
1-的表达式。
（其中a 、b 为自然数）
练习1、 求出283的所有形如b
a 1
1-的表达式。
（其中a 、b 为自然数）
例5、3个质数的倒数之和为231
a
，则a 的值是多少？
练习1、4个质数的倒数之和为210
a
，则a 的值是多少？
2、求下列各分数所有形如11A B ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭的表达式，其中A ，B 为自然数：
（1）15（2）111（3）16（4）115（5）116（6）1
12
（7）142
3、求出下列各分数所有形如11A B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的表达式，其中A ，B 为自然数：
（1）17 （2）16 （3）110 （4）19 （5）1
12
4、求出下列各分数所有形如11A B ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的表达式，其中A ，B 为自然数：
（1）415 （2）316
5、求出下列各分数所有形如11A B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭的表达式，其中A ，B 为自然数：
（1）
320 （2）524 （3）730 例6、观察41
1211231211231124434131+=+=+==⨯⨯=
51
2012042012041205545141+=+=+==⨯⨯=
6
1
3013053013051306656151+=+=+==⨯⨯=
然后求：
(
)(
)(
)(
)(
)
11
1
1
1
1
6=+
+
+
+
（分母均不相同，且尽可能小）
练习1、从1—100这100个自然数中任取10个，填入下面的括号中，使等式成立。
()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1=+
+
+
+
+
+
+
+
+
2、要从50
1
,491,,41,31,21 这49个分数中挑出7个不同的分数，使它们的和等于1，这7个不
同的分数从大到小依次是怎样的？
例7、请找出6个不同的自然数，分别填入下面6个括号中，使
()(
)(
)(
)(
)(
)
11
1
1
1
1
1
=+
+
+
+
+
这个等式成立。
练习、把3
1
拆成10个自然数的倒数之和。
例题8、从和式111111
24681012
+++++中必须去掉哪几个数，才能使余下的分数之和等于1？
练习1、求出下列各分数所有形如111A B C ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭的表达式，其中A ，B 为自然数，只要求一种解：
（1）12 （2）13 （3）1
10
2、A ，B ，C 是三个互不相同的自然数，并且满足
1115
6
A B C ++=，求A+B+C 。
15分钟完成
一、怎么简便就怎么算。
417×311+4134÷31 51÷[(121+6
1
)×31] 61÷2411-83×114
54
×（56 ＋34 ）＋45 718 ×14 ＋34 ÷187 4÷45 －45 ÷4
二、解决问题
1、把一个体积为80立方厘米的铁块浸在底面积为20平方厘米的长方体容器中，水面高度为10厘米，如果把铁块捞出后，水面高多少？
2、从一块长26厘米的铁皮的四角剪去四个边长是3厘米的小正方形，再捍接成长方体铁盒，这个盒子的容积是840立方厘米。
这块铁皮原来宽是多少厘米？
3、修一条路，已经修了180米，比剩下的4
3
多60米，剩下的路有多少米？（用方程解）
4、一个长方形，宽是4.6厘米,是长的32
,这个长方形的面积是多少?
5、一列火车8
7
小时行了210千米。
（1）平均每小时行多少千米？（2）行1千米需要几时？。