2012年北京市高考试题集锦理数(含答案)

2012年高考试题 数学(理)【北京市试题卷】本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|320A x x =∈+>R ,()(){}|130B x x x =∈+->R ,则A B =I ( )A.()1-∞-，B.213⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，C.233⎛⎫- ⎪⎝⎭， D.()3+∞，2.设不等式组0202x y ⎧⎨⎩≤≤，≤≤表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π22- C.π6D.4π4- 3.设a b ∈R ，.“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )A.2B.4C.8D.165.如图,90ACB ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ,则( )A.CE CB AD DB ⋅=⋅B.CE CB AD AB ⋅=⋅C.2AD AB CD ⋅=D.2CE EB CD ⋅=EBDAC6.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( ) A.24 B.18 C.12 D.67.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )A.28+B.30+C.56+D.60+8.某棵果树前n 前的总产量n S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 值为( )A.5B.7C.9D.11344正（主）视图侧（左）视图俯视图第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的交点个数为 .10.已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则2a = . 11.在ABC △中,若2a =,7b c +=,1cos 4B =-,则b = .12.在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线24y x =的焦点F ,且与该抛物线相交于A ,B 两点,其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60︒.则OAF △的面积为 . 13.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅u u u r u u u r的值为 ;DE DC ⋅u u u r u u u r的最大值为 .14.已知()()()23f x m x m x m =-++,()22x g x =-.若同时满足条件:①x ∀∈R ,()0f x <或()0g x <; ②()()()40x f x g x ∃∈-∞-<，，, 则m 的取值范围是 .三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共13分)已知函数()()sin cos sin 2sin x x x f x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递增区间. 16.(本小题共14分)如图1,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,3BC =,6AC =.D ,E 分别是AC ,AB 上的点,且DE BC ∥,2DE =,将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置,使1AC CD ⊥,如图2. (1)求证:1A C ⊥平面BCDE ;(2)若M 是1A D 的中点,求CM 与平面1A BE 所成角的大小;ACDEBA 1MCBE D图1图2(3)线段BC 上是否存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由.17.(本小题共13分)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a b c ，，,其中0a >,600a b c ++=.当数据a b c ，，的方差2s 最大时,写出a b c ，，的值(结论不要求证明),并求此时2s 的值.(求:()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦L ,其中x 为数据1x ,2x ,…,n x 的平均数)18.(本小题共13分)已知函数()()210f x ax a =+>,()3g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1c ，处具有公共切线,求a ,b 的值; (2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(]1-∞-，上的最大值.19.(本小题共14分)已知曲线()()()22:528C m x m y m -+-=∈R (1)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的取值范围;(2)设4m =,曲线C 与y 轴的交点为A B ，(点A 位于点B 的上方),直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G .求证:A G N ，，三点共线.20.(本小题共13分)设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记()S m n ，为所有这样的数表构成的集合.对于()A S m n ∈，,记()i r A 为A 的第i 行各数之和()1i m ≤≤,()j c A 为A 的第j 列各数之和()1j n ≤≤;记()k A 为()1||r A ,()2||r A ,…,()||m r A ,()1||c A ,()2||c A ,…,()||n c A 中的最小值. (1)对如下数表A ,求()k A 的值;(2)设数表A求()k A (3)给定正整数t ,对于所有的()221A S t ∈+，,求()k A 的最大值.答案一、选择题二、填空题三、解答题 15. 解: (sin cos )sin 2(sin cos )2sin cos ()2(sin cos )cos sin sin x x x x x x xf x x x x x x--===-{}πsin 21cos 221|π4x x x x x k k ⎛⎫=-+=--≠∈ ⎪⎝⎭Z ，，(1)原函数的定义域为{}|πx x k k ≠∈Z ，,最小正周期为π.(2)原函数的单调递增区间为πππ8k k ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ,3πππ8k k ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，k ∈Z16. 解:(1)Q CD DE ⊥,1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1ACD , 又Q 1A C ⊂平面1ACD , ∴1A C ⊥DE又1AC CD ⊥, ∴1A C ⊥平面BCDEy C(2)如图建系C xyz -,则()200D -，，,(00A ，，,()030B ，，,()220E -，， ∴(103A B =-u u u r，，,()1210A E =--u u u u r ，，设平面1A BE 法向量为()n x y z =r，，则1100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r∴3020y x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩∴2z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴(12n =-r，又∵(10M-， ∴(10CM =-u u u u r，∴cos 2||||CM n CM n θ⋅====⋅u u u u r ru u u u r r∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒(3)设线段BC 上存在点P ,设P 点坐标为()00a ，，,则[]03a∈，则(10A P a =-u u u r，，,()20DP a =u u u r ，，设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =u u r，，则1111020ay x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ ∴111112z x ay⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()136n a =-u u r，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直 则10n n ⋅=u u r r,∴31230a a ++=,612a =-,2a =-∵03a <<∴不存在线段BC 上存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直 17.(1)由题意可知:4002=6003(2)由题意可知:200+60+403=100010(3)由题意可知:22221(120000)3s a b c =++-,因此有当600a =,0b =,0c =时,有280000s =.18. 解:(1)由()1c ，为公共切点可得:2()1(0)f x ax a =+>,则()2f x ax '=,12k a =, 3()g x x bx =+,则2()=3f x x b '+,23k b =+,∴23a b =+⎺又(1)1f a =+,(1)1g b =+,∴11a b +=+,即a b =,代入①式可得:33a b =⎧⎨=⎩. (2)Q 24a b =,∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++,令()0h x '=,解得:12a x =-,26ax =-;Q 0a >,∴26aa -<-,∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增,在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减,在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增①若12a--≤,即2a ≤时,最大值为2(1)4a h a =-;②若126a a -<-<-,即26a <<时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时,即6a ≥时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 综上所述:当(]02a ∈，时,最大值为2(1)4a h a =-;当()2,a ∈+∞时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.19.(1)原曲线方程可化简得:2218852x y m m +=-- 由题意可得:8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩,解得:752m <<(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:22(21)16240k x kx +++=,2=32(23)k ∆-,解得:232k >由韦达定理得:21621M N k x x k +=+①,22421M Nx x k =+,② 设(,4)N N N x k x +,(,4)M M M x kx +,(1)G G x ，MB 方程为:62M M kx y x x +=-,则316M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，, ∴316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭u u u r ，,()2N N AN x x k =+u u ur ，,欲证A G N ，，三点共线,只需证AG u u u r ,AN u u u r共线即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立,化简得:(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立,则A G N ，，三点共线得证。