固体物理第二章第四节 倒格子
固体物理学-倒格子
§3 倒格子
证明： 证明：
v v a i gb j = 2πδ ij
如果所考虑的体系足够大，忽略表面效应， 如果所考虑的体系足够大，忽略表面效应，布拉 菲格子满足平移对称性要求，对应点的物理化学性质， 菲格子满足平移对称性要求，对应点的物理化学性质， 如质量、密度、电子云密度、原子实产生的势场等， 如质量、密度、电子云密度、原子实产生的势场等， 亦为周期函数，一般地写成： 亦为周期函数，一般地写成：
v u v v Γ r + R n = Γ r L L L L (1)
(
) ()
u v v v v 其中， 其中，R n = n1 a1 + n2 a 2 + n3 a 3
v 将 Γ r 展成傅里叶级数
()
v u iG h gr v uv v Γ r = ∑ A Gh e L L L L L L L ( 2)
g u v v u v v −iG h gr 1 A Gh = ∫ Γ r e L L L L L L ( 3) Ω Ω Ω为原胞体积， ) 式意味着，对所有布拉菲格子的所有格矢，应有 (1 u v v u v v u − iG h gr v 1 A Gh = ∫ Γ r + R n e dr L L L L L L ( 4 ) Ω Ω uv v u v / 引入r = r + R n , ( 4 ) 式化为 u v uv uu/v u u v v u u v v u v u v iG h gRn 1 / − iG h gr / iG h gR n A Gh = ∫ Γ r e dr ge = A Gh e L L L L L ( 5) Ω Ω 即： u u v v u v iG h gR n A G h 1 − e = 0L L L L L L L L ( 6 )
固体物理第二章第四节 倒格子
1 ig r ig Rn 1 ig r ig Rn A( g ) F (r )e e dr F (r )e dr e
A( g ) 0 or
g
A( g )
定义对布拉维格子中所有格矢满足或或m为整数的全部端点的集合构成该布拉维格子称为正格子的倒格子reciprocallattice与倒格子的定义对应由格矢的端点所描述的布拉维格子称为正格子directlattice由端点的集合所描述的布拉维格子称为倒格子reciprocallattice称为倒格矢利用倒格矢满足的傅里叶展开为
ig Rn ig Rn A( g ) A( g )e A( g )[1 e ] 0 ig Rn
ig r F (r ) A( g )e 0
e
1
不合要求，应舍去
所以
e
ig Rn
1
ig Rn 也就是说,一定存在某些 g 使得当 e 1 成立时
同理可得 b2 , b3
所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2 Ω
其中 a1 , a2 , a3 是正格基矢 Ω a1 a2 a3
则下式自然成立： n1Gh a1 n2Gh a2 n3Gh a3 2 m 或： Gh a1 2 h1; Gh a2 2 h2 ; Gh a3 2 h3 由于 a1 , a2 , a3为基矢，互不共面，则由 bi a j 2 ij 可知 b1 , b2 , b3 亦应该不共面，从 而可以用 Gh h1b1 h2b2 h3b3 描述倒格子。
简述倒格子点阵的物理意义
简述倒格子点阵的物理意义
倒格子点阵是固体物理学中的一个重要概念，用于描述晶体中离子、原子或分子的排列方式。
它表示了晶体中离子在晶格中的周期性排列。
倒格子点阵在物理意义上具有以下重要特征：
1.倒格子与晶体结构的相互关系：倒格子是晶体格矢的补格。
晶体格矢是描述晶体结构的向量，而倒格子则是晶格矢的傅里叶变换。
倒格子点阵的形状和大小与晶体结构紧密相关。
2.表征晶体的动量空间：倒格子点阵的形成使得晶体在动量空间中的结构得以描述。
晶体具有动量离散化的性质，电子、声子等载流子在动量空间中的行为可以通过倒格子点阵的形态和性质来理解和
分析。
3.描述布里渊区和能带结构：倒格子点阵的布里渊区（Brillouin Zone）是动量空间中与晶格有关的基本单元。
布里渊区的形状和大小直接决定了电子能带结构、光学性质和输运特性等重要物理现象。
4.反映物质衍射性质：倒格子点阵的概念是描述晶体衍射的基础。
实验中利用晶体的衍射现象可以确定物质的结构和性质，倒格子点阵提供了理论上的基础框架。
倒格子点阵在固体物理学中具有重要的物理意义，它是描述晶体结构和性质的关键概念，并与动量空间、能带结构、衍射性质等密切相关。
通过倒格子点阵的分析，可以深入理解晶体的属性和行为，为研究材料科学和固体物理学提供了有力的工具和理论基础。
固体01-04倒格子
a i ⋅ b j = 2πδ ij =
2π ( i = j )
0 (i ≠ j )
a 2 ⋅ b1 = 0 a 2 ⋅ b2 = 2π
2π b1 = i a 2π b2 = j a
2π a
2π a
G h = h1 b1 + h2 b 2
2π 的正方形格子。 倒格是边长为 的正方形格子。 a
b1 =
2
2π
2
3
1 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a3 2
(
)
3
1
3
1
2
a2 ×a3 =
i a 2 a 2
j a − 2 a 2
a k − a =i 2 a 2 a 2 − 2
a a 2 + j 2 a a − − 2 2
一、倒格子点阵
一个具有晶格点阵周期的函数 n(r) = n(r + R) 展开成傅里 叶级数后，其傅里叶级数中的波矢在傅里叶空间中表现为 叶级数后， 一系列规则排列的点， 一系列规则排列的点，这些点排列的规律性只决定于函数 n(r)的周期性而与函数的具体形式无关。 n(r)的周期性而与函数的具体形式无关。 的周期性而与函数的具体形式无关 我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子 我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子 点阵（或倒易点阵） 点阵（或倒易点阵）。倒格子点阵是晶体结构周期性在傅 里叶空间中的数学抽象。 里叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵本身看作一个周 期函数，我们可以说， 期函数，我们可以说，倒格子点阵就是晶体点阵的傅里叶 变换。反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。 变换。反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。
倒格子讲解
中文名称：倒格子英文名称：Reciprocal lattice术语来源：固体物理学倒格子，亦称倒易格子(点阵)，它在固体物理学中，特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。
1定义假定晶格点阵基矢a1、a2、a3（1、2、3表示 a 的下标，粗体字表示a1 是矢量，以下类同）定义一个空间点阵，我们称之为正点阵或正格子，若定义b1 = 2 π ( a2× a3) /νb2 = 2 π ( a3× a1) /νb3 = 2 π ( a1× a2) /ν其中 v = a1· ( a2× a3 ) 为正点阵原胞的体积，新的点阵的基矢b1、b2、b3是不共面的，因而由b1、b2、b3也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子，而b1、b2、b3 称为倒格子基矢。
2性质1. 倒格子的一个矢量是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。
2. 由倒格子的定义，不难得到下面的关系a i ·b j = 2 πδij3. 设倒格子与正点阵（格子）中的位置矢量分别为G = αb1+ βb2 + γb3R = ηa1 + θa2 + λa3 (α,η,β,θ,γ,λ皆为整数)不难证明G·R = 2π ( αη + βθ +γλ ) = 2π n，其中n为整数。
4. 设倒格子原胞体积为ψ，正格子原胞体积为 v ，根据倒格子基矢的定义，并利用矢量乘法运算知识，则可得到ψ v = ( 2 π )^3.5. 正格子晶面族(αβγ)与倒格子矢量G = αb1+ βb2 + γb3 正交（具体的内容及证明过程，请参考文献[1]）3倒格子引入的意义这里简单的说一点，如上面的性质1，倒格子中的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，也就是说，晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。
《固体物理·黄昆》第二章复习
布里渊区 布里渊区的定义和作图方法 第一布里渊区 晶体衍射： 衍射条件： 布喇格衍射条件，劳厄方程，布里渊区边界；结构因子 三种辐射的特点：x射线衍射、电子衍射、中子衍射
本章要求：
❖ 倒易空间的概念，倒格子基矢的定义，倒格子与正格 子的关系，要求给定一组正格子基矢，会求出相应的 倒格子基矢；布里渊区概念及作图法，第一布里渊 区。
第二章 晶格衍射
倒格子
倒格子基矢的定义 ai b j 2ij ，i, j=1, 2, 3
倒格矢： Gn n1b1 n2 b2 n3b3 , n1, n2, n3＝整数
倒格子原胞体积： b b1 b2 b3
vab 8 3 和 Rl Gn 2h
h＝整数
面心立方（晶格常数为a）的倒格子是体心立方（格常数 为4/a）；体心立方（晶格常数为a ）的倒格子是面心立 方（格常数为4/a ）
❖ 衍射条件。x射线数为4/a的
体心立方，反之亦然
第二章++X射线衍射和倒格子
第⼆章++X射线衍射和倒格⼦第⼆章 X 射线衍射和倒格⼦⼤多数探测晶体中原⼦结构的⽅法都是以辐射的散射概念为基础的。
早在1895年伦琴发现X 射线不久，劳厄在1912年就意识到X 射线的波长量级与晶体中原⼦的间距相同，⼤约是0.1nm 量级，晶体必然可以成为X 射线的衍射光栅。
随后布拉格⽤X 射线衍射证明了NaCl 等晶体具有⾯⼼⽴⽅结构，从⽽奠定了⽤X 射线衍射测定晶体中的原⼦周期性长程有序结构的地位。
随着科学技术的不断发展，电⼦、中⼦衍射有为⼈类认识晶体提供了有效的探测⽅法。
但到⽬前为⽌，X 射线衍射仍然是确定晶体结构、甚⾄是只具有短程有序的⽆定形材料结构的重要⼯具。
本章以X 射线衍射为例介绍晶体的衍射理论，引⼊倒格⼦的概念，在此基础上介绍原⼦形状因⼦和⼏何结构因⼦，并介绍⼏种确定晶格结构的实验⽅法。
§2.1 晶体衍射理论⼀、布拉格定律（Bragg ’s Law ）X 射线是⼀种可以⽤来探测晶体结构的辐射，其波长可以⽤下式来估算012.4()()hcE h A E KeV νλλ==?= （2.1.1）能量为2~10KeV 的X 射线适⽤于晶体结构的研究。
在固体中，X 射线与原⼦的电⼦壳层相互作⽤，电⼦吸收并重新发射X 射线，重新发射的X 射线可以探测得到，⽽原⼦核的质量相对较⼤，对这个过程没有响应。
X 射线的反射率⼤约是10-3~10-5量级，在固体中穿透⽐较深，所以X 射线可以作为固体探针。
1912年劳厄（/doc/eb1ccaba1a37f111f1855b71.html ul ）等发现了X 射线通过晶体的衍射现象之后，布拉格（W.L.Bragg ）⽗⼦测定了NaCl 、KCl 的晶体结构，⾸次给出了晶体中原⼦规则排列的实验数据，发现了晶态固体反射X 射线特征图像，推导出了⽤X 射线与晶体结构关系的第⼀个公式，著名的布拉格定律（Bragg ’s Law ）。
布拉格对于来⾃晶体的衍射提出了⼀个简单的解释。
固体物理学 倒格子
3 * 0
(2π ) v = v0
* 0
3
01 04 倒格子 —— 晶体结构
2) 正格子中一簇晶面 ( h1 h2 h3 ) 和
v Gh1h2h3 正交
v v v v Gh1h2h3 = h1b1 + h2b2 + h3b3
—— 积分在一个原胞中进行
01 04 倒格子 —— 晶体结构
—— 倒格子与正格子间的关系 1) 正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积
v v v * v0 = b1 ⋅ (b2 × b3 )
3
v v v v v v v v v A × B × C = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B )C
(2π ) v v v v v v = ( a2 × a3 ) ⋅ ( a3 × a1 ) × ( a1 × a2 ) 3 v0
v v v a2 × a3 b1 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3
v v v v v v a3 × a1 a1 × a2 b2 = 2π v v v b3 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3 a1 ⋅ a2 × a3
v v v 以 b1 , b2 , b3 为基矢构成一个倒格子
01 04 倒格子 —— 晶体结构
v 3) 倒格子矢量 Gh1h2h3 为晶面( h1h2 h3 ) 的法线方向
v v v v 晶面方程 ( h1b1 + h2b2 + h3b3 ) ⋅ x = 2πn
各晶面到原点O点的距离
v v v (2π n ) / h1b1 + h2b2 + h3b3
v v ai ⋅ b j = 2πδ ij
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由于 Gh h1b1 h2b2 h3b3 为倒格矢，如果把倒格 矢所在的空间称为倒格子空间，或倒易空间 (reciprocal space),则由于 b1 , b2 , b3 不共面，自然
讨论： 1. 由 bi a j 2 ij ; i 1, 2,3; j 1, 2,3 可知： a b1 和 a2 , a3 垂直,因此， 2 a3 与 b1 平行
同理可得 b2 , b3
所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2 Ω
其中 a1 , a2 , a3 是正格基矢 Ω a1 a2 a3
h1 h2 h3
Gh
B
a2
A
a1
所以倒格矢Gh h1b1 h2b2 h3b3 和正格子中晶面族 (h1h2h3)正交
a1 a3 Gh CA (h1b1 h2b2 h3b3 ) 2 2 0 h1 h3 a2 a3 Gh CB (h1b1 h2b2 h3b3 ) 2 2 0 1 h h3
欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任 意整数，则要求： Gh a1 2 h1; Gh a2 2 h2 ; Gh a3 2 h3
h1,h2,h3为整数
显然,如果令 Gh h1b1 h2b2 h3b3 h1,h2,h3为整数 当 bi a j 2 ij ; i 1, 2,3; j 1, 2,3 满足时，
*
3
3
3
2. 倒格矢与晶面 倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 和正格子中晶面族 (h1h2h3)正交且其倒格矢长度为：
2π Gh d h1h2 h3
其中 d h1h2 h3 是正格子晶 面族(h1h2h3)的面间距
首先我们证明 倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 和正格子中晶面族 (h1h2h3)正交
iGh Rn 对布拉维格子中所有格矢 Rn ，满足 e 1 或 Gh Rn 2 m, (m为整数)的全部 Gh 端点的集
合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子 (reciprocal lattice). Gh 称为倒格矢 将 Rn n1a1 n2 a2 n3a3 代入Gh Rn 2 m, 得： n1Gh a1 n2Gh a2 n3Gh a3 2 m
的波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格 子的由来.
cos( g Rn ) 1 g Rn 2 m; where m is int eger
2. 定义
iGh Rn 对布拉维格子中所有格矢 Rn ，满足 e 1 或 Gh Rn 2 m, (m为整数)的全部 Gh 端点的集
由于 g 与 Rn 存在上述对应关系, Rn 可以描述布 拉维格子,自然 g 也可以描述同样的布拉维格子, 且 g 与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类 ig Rn 似,因而,凡是波矢 g 和布拉维格矢满足 e 1
成立 F (r ) F (r Rn )
布拉维格子具有平移对称性,因而相应的只 与位置有关的物理量,由于布拉维格点的等价性, 均应是布拉维格矢R的周期函数,如：格点密度、 质量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都 是如此。 不失一般性，上述函数可统一写为：
F (r ) F (r Rn )
布拉维格矢
1. 周期函数的傅里叶展开 由于F(r)是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将 其展开成傅里叶级数： ig r F (r ) A( g )e
第四节
倒格子
本节主要内容: 一、 概念的引入
二、 倒格子是倒易空间的布拉维格子
三、 倒格矢与晶面 四、 倒格子的点群对称性
§2.4 倒格子 一、概念的引入 晶体结构的周期性,可以用坐标空间(r空间)的 布拉维格子来描述,这是前几节我们所讨论的内 容,也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述. 然而,量子力学的学习使我们认识到,任何基 本粒子都具有波粒二象性.亦即具有一定能量和 动量的微观粒子,同时也是具有一定的波长和频 率的波,波也是物质存在的一种基本形式. 波矢k可用来描述波的传播方向.那么晶体 结构的周期性是否也可以用波矢k来描述呢？ 如果可以,在波矢k空间,k应满足什么条件呢？
e
i ( g Gh ) Rl
e
ig Rl
e
iG格子空间中的WS原胞称为第一布里渊 区，也就是所谓的简约布里渊区 3. 由正格子可以定义倒格子，反之亦可，因 此，它们互为倒易格子。
三、倒格矢与晶面(倒格子与正格子的几何关系) 1. 体积关系
可以成为倒易空间的基矢。 和 Rn n1a1 n2 a2 n3a3 对比,表明 Gh h1b1 h2b2 h3b3 对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格 子是倒易空间的布拉维格子。 从而 Gh h1b1 h2b2 h3b3 且 bi a j 2 ij ; i 1,2,3; j 1,2,3 也可作为以 a1 , a2 , a3 为基的某一布拉维格子的 倒格子的定义。
由于倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 与晶面族(h1h2h3) 正交. 因而，晶面族(h1h2h3)的法线方向为 Gh a3 Gh 则法线方向的单位矢量为： n Gh C G
的傅里叶展开为:
Gh
利用倒格矢，满足 F (r ) F (r Rn )
iG r F (r ) A(Gh )e h 1 iGh r A(Gh ) F (r )e dr
意义：把上述满足坐标空间中的某物理量转 变为倒格子空间,且只存在波矢为倒格矢的分量。 二、 倒格子是倒易空间的布拉维格子
Ω
*
2π
Ω
3
(其中和*分别为正、倒格子原胞的体积)
除(2 ) 因子外，正格子原胞体积 原胞体积 * 互为倒数
3
和倒格子
* Ω b1 b2 b3
2π a2 a3 a3 a1 a1 a2 Ω
则下式自然成立： n1Gh a1 n2Gh a2 n3Gh a3 2 m 或： Gh a1 2 h1; Gh a2 2 h2 ; Gh a3 2 h3 由于 a1 , a2 , a3为基矢，互不共面，则由 bi a j 2 ij 可知 b1 , b2 , b3 亦应该不共面，从 而可以用 Gh h1b1 h2b2 h3b3 描述倒格子。
iGh r
与 所以，在倒空间中，矢量 g g Gh 代表相同的波或相同的状态。 注： a. 晶格振动形成的格波，x射线被晶体衍
射的电磁波以及电子在晶体中运动的几率波等， 它们的状态均用波矢来表征，其波矢取值应限制 在倒格子空间中的一个原胞内，一般限制在简约 布里渊区中(单值性的要求)
是固体物理学原胞体积
与 Gh h1b1 h2b2 h3b3 (h1 , h2 , h3为整数) 所
联系的各点的列阵即为倒格子。
许多的固体书中把上述描述作为倒格子的定义
与正格子空间的平面波e 类似，可以 ig Rl 看成倒空间的平面波， 是倒空间的 把e g 任一矢量 2.
所以可令： 1 (a2 a3 ) b1 两边同时点乘 a1 a1 b1 1a1 (a2 a3 ) 2
2 2 1 a1 (a2 a3 )
原胞的体积
2 (a2 a3 ) b1 1 (a2 a3 )
合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子 (reciprocal lattice) 与倒格子的定义对应，由格矢 Rn 的端点所 描述的布拉维格子，称为正格子(direct lattice) 由 Gh 端点的集合所描述的布拉维格子，称 为倒格子(reciprocal lattice)
Gh 称为倒格矢
1 ig r ig Rn 1 ig r ig Rn A( g ) F (r )e e dr F (r )e dr e
A( g ) 0 or
g
A( g )
设平面ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面 ABC在基矢 a1 , a2 , a3 上的截距分别 a3 a1 a2 a3 为 , , 。
a1 a3 C CA OA OC h1 h 3 由图可知： a a CB OB OC 2 3 O h 2 h3
ig Rn ig Rn A( g ) A( g )e A( g )[1 e ] 0 ig Rn
ig r F (r ) A( g )e 0
e
1
不合要求，应舍去
所以
e
ig Rn
1
ig Rn 也就是说,一定存在某些 g 使得当 e 1 成立时
利用 A B C A C B A B C
3
a3 a1 a1 a2 [ a3 a1 a2 ]a1 [ a3 a1 a1 ]a2
=0