固体物理答案第二章
黄昆版固体物理学课后答案解析答案
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
固体物理课后习题与答案
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。
在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。
在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。
也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。
2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？[解答] 费米能级3/222)3(2πn mE o F= ， 其中n 单位体积内的价电子数目。
晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。
3． 为什么温度升高，费米能反而降低？[解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。
除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。
4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？[解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。
价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必然结果。
在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。
由式3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能就越大。
这一点从3/2220)3(2πn m E F=和3/222)3(10353πn mE E oF ==式看得更清楚。
电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度32l n。
固体物理第一二章习题解答
第一章习题1.画出以下晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各晶体的结构和惯用原胞、初基原胞中的原子个数和配位数。
(1)氯化钾；（2）氯化钛；（3）硅；（4）砷化镓；（5）碳化硅（6）钽酸锂；（7）铍；（8）钼；（9）铂。
解：名称分子式结构惯用元胞布拉菲格子初基元胞中原子数惯用元胞中原子数配位数氯化钾KCl NaCl结构fcc 2 8 6 氯化钛TiCl CsCl结构sc 2 2 8 硅Si 金刚石fcc 2 8 4 砷化镓GaAs 闪锌矿fcc 2 8 4碳化硅 SiC 闪锌矿fcc 2 8 4钽酸锂LiTaO 3钙钛矿sc552、6、12O 、Ta 、Li铍Behcp简单六角2612钼 Mo bccbcc 1 2 8铂 Pt fccfcc 1 4 122. 试证明：理想六角密堆积结构的128 1.6333c a ⎛⎫== ⎪⎝⎭。
若是实际的ca值比那个数值大得多，能够把晶体视为由原子密排平面所组成，这些面是疏松堆垛的。
证明：如右图所示，六角层内最近邻原子间距为a ，而相邻两层的最近邻原子间距为：212243⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=c a d 。
当d =a 时组成理想密堆积结构，现在有：212243⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=c a a ，由此解出：633.13821=⎪⎭⎫⎝⎛=a c 。
假设633.1>ac时，那么表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大，因此层间堆积不够紧密。
3. 画出立方晶系中的以下晶向和晶面：[101]、[110]、[112]、[121]、（110）、（211）、（111）、（112）。
解：4. 考虑指数为（100）和（001）的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是立方惯用原胞。
假设采纳初基原胞基矢坐标系为轴，这些面的指数是多少？解：如右图所示：在立方惯用原胞中的（100）晶面，在初基原胞基矢坐标系中，在1a 、2a 、3a 三个基矢坐标上的截距为()2,,2∞，那么晶面指数为（101）。
固体物理参考答案(前七章)
固体物理习题参考答案（部分）第一章 晶体结构1.氯化钠：复式格子，基元为Na +，Cl -金刚石：复式格子，基元为两个不等价的碳原子 氯化钠与金刚石的原胞基矢与晶胞基矢如下：原胞基矢)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(213212211j i a a i k a a k j a a +=+=+= ， 晶胞基矢 ka a j a a ia a ˆˆˆ321===2. 解：31A A O '：h:k;l;m==-11:211:11:111:1:-2:1 所以（1 1 2 1） 同样可得1331B B A A ：（1 1 2 0）； 5522A B B A ：（1 1 0 0）；654321A A A A A A ：（0 0 0 1）3.简立方： 2r=a ，Z=1,()63434r 2r a r 3333πππ===F体心立方：()πππ833r4r 342a r 3422a 3r 4a r 4a 33333=⨯=⨯=∴===F Z ，，则面心立方：()πππ622r 4r 34434442r 4a r 4a 233ar 33=⨯=⨯=∴===F Z ，，则 六角密集：2r=a, 60sin 2c a V C = a c 362=,πππ622336234260sin 34223232=⨯⨯⨯=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a c a r F a金刚石：()πππ163r 38r 348a r 3488Z r 8a 33333=⨯=⨯===F ，， 4. 解：'28109)31arccos(312323)ˆˆˆ()ˆˆˆ(cos )ˆˆˆ()ˆˆˆ(021*******12211=-=-=++-⋅+-=⋅=++-=+-=θθa a k j i a k j i a a a a a kj i a a kj i a a 5.解：对于（110）面：2a 2a a 2S =⋅=所包含的原子个数为2，所以面密度为22a2a22=对于（111）面：2a 2323a 22a 2S =⨯⨯= 所包含的原子个数为2，所以面密度为223a34a 232=8.证明：ABCD 是六角密堆积结构初基晶胞的菱形底面，AD=AB=a 。
固体物理习题带答案
第二章：原子的结合
1． 设原子间的互作用能表示为 u (r ) 态，则 n>m. 解：原子间的相互作用能为： u (r )
作用能处于极小值： 这时有
r
m
rn
。证明：要使两原子处于平衡状
r
m
rn
。若两原子处于平衡状态时，则其相互
du (r ) (m) m 1 (n) n 1 dr r r
子晶格的情形比较， 与 q 之间存在着两种不同的色散关系。一维复式晶体中可以存在两 种独立的格波。两种不同的格波的色散关系：
2 2
(m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq]1 / 2 } 2 mM (m M ) (m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq]1 / 2 } 2 mM (m M )
xn (t ) A cos(t 2 naq) 。试求格波的色散关系。
解：一维单原子链中，牛顿方程为：
n ( x n 1 xn 1 2 xn ) m x
若将其振动位移写成 xn (t )
A cos(t 2 naq) 代入牛顿方程，则有
2
2 [1 cos(2aq)] 因此其色散关系为 m
0 。 所 以 有
r0
m
r0
m 1
n
r0
n 1
。所以
m nm r0 。 n
0
r0
同
时
有
d 2u ( r ) (m)( m 1) m 2 (n)( n 1) n 2 2 dr r r
。
所
以
黄昆版固体物理学课后答案
黄昆版固体物理学课后答案《固体物理学》习题解答黄坤原著韩汝琦改编（陈志远答案，仅供参考）第一章晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积v所得到的小球总体积nv与晶体原胞体积vc之比，即：晶体原胞的空间利用率，x?（1）对于简立方结构：（见教材p2图1-1）nvvc43？r、 vc=a3，n=134343？RR33∴十、0.526a38r3a=2r，v=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线bg=3a?4r?a?n=2,vc=a343x32？∴十、434? r2？？r33330.688a3433（R）3（3）对于面心立方：单元面对角线BC=2A？4r，？A.22rn=4，vc=a3444??r34??r3233x0.74336a(22r)（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：s=6?s?abo?6?晶胞的体积：v=s?c?a?asin60332a=223328a?a?32a3?242r323n=1212?11?2??3=6个6246??r323x0.7436242r（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线bg=3a?4?2r?a?8r3n=8,vc=a3一448??r38??r33?33x0.346a3833r33c81。
2.测试：在六角形紧密堆积结构中？()1/2? 一点六三三a3证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球a、b、o的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球n位于球abo所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：na=nb=no=a=2r.也就是说，图中的Nabo形成一个正四面体1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
A.a1？2（j？k）A.证明了：（1）面心立方的法向晶格基向量（固体物理的原胞基向量）：？a2？（i？k）2aa3?2(i?j)??2(a2?a3)由倒格子基矢的定义：b1??0,aa1?(a2?a3)?,2a,2a,20,a,2a?i,2aa3a???，a2?a3?,242a0,2?j,0,a,2?kaa2(?i?j?k)240?4a2???2?b1?2??3?(?i?j?k)?(?i?j? k)a4a？2.b2？（I？J？K）a类似地：2即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (2)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
固体物理第二章习题及答案
第2章晶体的结合思考题1.是否有与库仑力无关的晶体结合类型?[解答]共价结合中, 电子虽然不能脱离电负性大的原子, 但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子, 形成电子共享的形式, 即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间, 通过库仑力, 把两个原子连接起来. 离子晶体中, 正离子与负离子的吸引力就是库仑力. 金属结合中, 原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着. 分子结合中, 是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体. 电偶极矩的作用力实际就是库仑力. 氢键结合中, 氢先与电负性大的原子形成共价结合后, 氢核与负电中心不在重合, 迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合. 可见, 所有晶体结合类型都与库仑力有关.2.如何理解库仑力是原子结合的动力?[解答]晶体结合中, 原子间的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的过程中, 把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力, 这个长程吸引力就是库仑力. 所以, 库仑力是原子结合的动力.3.晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别?[解答]自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能.原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能.在0K时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能.4.原子间的排斥作用取决于什么原因?[解答]相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠.5.原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么?[解答]在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r, 当相邻原子间的距离r>0r时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r<0r时, 排斥力起主导作用.6.共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”?[解答]设N为一个原子的价电子数目, 对于IV A、V A、VI A、VII A族元素，价电子壳层一共有8个量子态, 最多能接纳(8- N)个电子, 形成(8- N)个共价键. 这就是共价结合的“饱和性”.共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的 “方向性”.7. 共价结合, 两原子电子云交迭产生吸引, 而原子靠近时, 电子云交迭会产生巨大的排斥力, 如何解释?[解答]共价结合, 形成共价键的配对电子, 它们的自旋方向相反, 这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低, 结构稳定. 但当原子靠得很近时, 原子内部满壳层电子的电子云交迭, 量子态相同的电子产生巨大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大. 8.试解释一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量的现象.[解答]当一个中性原子吸收一个电子变成负离子, 这个电子能稳定的进入原子的壳层中, 这个电子与原子核的库仑吸引能的绝对值一定大于它与其它电子的排斥能. 但这个电子与原子核的库仑吸引能是一负值. 也就是说, 当中性原子吸收一个电子变成负离子后, 这个离子的能量要低于中性原子原子的能量. 因此, 一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量. 9.如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征?[解答]使原子失去一个电子所需要的能量称为原子的电离能, 电离能的大小可用来度量原子对价电子的束缚强弱. 一个中性原子获得一个电子成为负离子所释放出来的能量称为电子亲和能. 放出来的能量越多, 这个负离子的能量越低, 说明中性原子与这个电子的结合越稳定. 也就是说, 亲和能的大小也可用来度量原子对电子的束缚强弱. 原子的电负性大小是原子吸引电子的能力大小的度量. 用电离能加亲和能来表征原子的电负性是符合电负性的定义的.10.为什么许多金属为密积结构?[解答]金属结合中, 受到最小能量原理的约束, 要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低(绝对值尽可能的大). 原子实越紧凑, 原子实与共有电子电子云靠得就越紧密, 库仑能就越低. 所以, 许多金属的结构为密积结构. 11.何为杂化轨道?[解答]为了解释金刚石中碳原子具有4个等同的共价键, 1931年泡林(Pauling)和斯莱特(Slater)提出了杂化轨道理论. 碳原子有4个价电子, 它们分别对应s 2ϕ、xp 2ϕ、yp 2ϕ、zp 2ϕ量子态, 在构成共价键时, 它们组成了4个新的量子态).(21),(21),(21),(2122221222212222122221z y x z y x z y x z y x p p p s p p p s p p p s p p p s ϕϕϕϕψϕϕϕϕψϕϕϕϕψϕϕϕϕψ+−−=−+−=−−+=+++=，4个电子分别占据1ψ、2ψ、3ψ、4ψ新轨道， 在四面体顶角方向(参见图1.18)形成4个共价键.12.你认为固体的弹性强弱主要由排斥作用决定呢, 还是吸引作用决定?[解答]如上图所示, 0r 附近的力曲线越陡, 当施加一定外力, 固体的形变就越小. 0r 附近力曲线的斜率决定了固体的弹性性质. 而0r 附近力曲线的斜率主要取决于排斥力. 因此, 固体的弹性强弱主要由排斥作用决定. 13.固体呈现宏观弹性的微观本质是什么?[解答]固体受到外力作用时发生形变, 外力撤消后形变消失的性质称为固体的弹性. 设无外力时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r 时, 排斥力起主导作用. 当固体受挤压时, r <0r , 原子间的排斥力抗击着这一形变. 当固体受拉伸时, r >0r , 原子间的吸引力抗击着这一形变. 因此, 固体呈现宏观弹性的微观本质是原子间存在着相互作用力, 这种作用力既包含着吸引力, 又包含着排斥力.14.你是如何理解弹性的, 当施加一定力, 形变大的弹性强呢, 还是形变小的强?[解答]对于弹性形变, 相邻原子间的距离在0r 附近变化. 令r r r ∆+=0, 则有).1(),1()1()(0000000r rnr r r rmr r rr r r r n n m m m m m ∆∆∆∆−≈−≈+=+=−−−−−−−因为0/r r ∆是相对形变, 弹性力学称为应变, 并计作S , 所以原子间的作用力.)(000000S r Bn r Am r BnS r AmS r B r A r B r A f n m n m n m n m −=−++−=+−=再令c r Bnr Am nm =−00, cS f =.可见, 当施加一定力, 形变S 大的固体c 小, 形变S 小的固体c 大. 固体的弹性是固体的属性, 它与外力和形变无关. 弹性常数c 是固体的属性, 它的大小可作为固体弹性强弱的度量. 因此, 当施加一定力, 形变大的弹性弱, 形变小的强. 从这种意义上说, 金刚石的弹性最强.15.拉伸一长棒, 任一横截面上的应力是什么方向? 压缩时, 又是什么方向?[解答]如上图所示, 在长棒中取一横截面, 长棒被拉伸时, 从截面的右边看, 应力向右, 但从截面的左边看, 应力向左. 压缩时, 如下图所示, 应力方向与拉伸时正相反. 可见, 应16.固体中某一面积元两边的应力有何关系?[解答以上题为例, 在长棒中平行于横截面取一很薄的体积元, 拉伸时体积元两边受的应力如图所示.压缩时体积元两边受的应力如下图所示.当体积元无限薄, 体积元将变成面积元. 从以上两图可以看出, 面积元两边的应力大小相等方向相反.17.沿某立方晶体一晶轴取一细长棒做拉伸实验, 忽略宽度和厚度的形变, 由此能否测出弹性劲度常数11c ?[解答]立方晶体c b a , ,轴是等价的, 设长棒方向为x (a , 或b , 或c )轴方向, 做拉伸实验时若忽略宽度和厚度的形变, 则只有应力1T 应变1S 不为0, 其它应力应变分量都为0. 由(2.55)可得 1111S c T =. 设长棒的横截面积为A , 长度为L , 拉伸力为F , 伸长量为L ∆, 则有: L L S A F T / ,/11∆==. 于是, L A FL c ∆/11=.18.若把上题等价成弹簧的形变, 弹簧受的力kx F −=, k 与11c 有何关系?[解答]上题中长棒受的力L c L AF ∆11=,长棒的伸长量L ∆即是弹簧的伸长量x . 因此,.11c L A k =可见, 弹簧的弹性系数k 与弹性劲度常数的量纲是不同的.19.固体中的应力与理想流体中的压强有何关系?[解答]固体受挤压时, 固体中的正应力321 , ,T T T 与理想流体中的压强是等价的, 但654 , ,T T T 不同于理想流体中的压强概念. 因为压强的作用力与所考虑截面垂直, 而654 , ,T T T 与所考虑截面平行. 也就是说, 理想流体中不存在与所考虑截面平行的作用力.这是因为理想流体分子间的距离比固体原子间距大得多, 流层与流层分子间不存在切向作用力.20.固体中的弹性波与理想流体中的传播的波有何差异? 为什么?[解答]理想流体中只能传播纵波. 固体中不仅能传播纵波, 还能传播切变波. 这是因为理想流体分子间距离大, 分子间不存在切向作用力, 只存在纵向作用力;而固体原子间距离小, 原子间不仅存在纵向作用力, 还存在切向作用力.。
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n 1 1,n m
m1
这个结果表明，排斥力是短程力，与吸引力相比较，它随原
子间的距离的变化更陡峭。
2.4 有一离子晶体，其总互作用势能表示为
UR
N
αe2 R
B Rn
试问当离子电荷加大1倍时，平衡离子间距、互作用势能和体积
弹性模量将受何影响？
解： 按题给
UR
N
αe2 R
B Rn
，于是
K
U0
mn 9V0
2.6 已知有N个离子组成的NaCl晶体，其结合能为
U r
N 2
αe2 4 0r
β rn
今若排斥项 β r n由 cexp r ρ来代替，且当晶体处于平衡时，
这两者对互作用势能的贡献相同，试求出n与 的关ρ系。
解：晶体平衡时，原子间最近邻距离一定为 r0
（ r0 不因求解时排斥势选择不同而不同）
αe2 nβ
4π0r0 r0n
（3）
将（1）、（3）两式代入（2）式
可得
1 r0
nβ r0n
c ρ
exp
r0
ρ
即
n1
n r0
r0 ρ
ρ
2.7 立方ZnS的晶格常数a=5.41A，试计算其结合能 Eb J mol 。
解： 已知公式
Eb
Nμ q2 8π ε0 R0
1
1 n
和 μ 1.64 ，
N
2U0
m
n
nR0m
βAn
N
2U0
m
n
m
R0n
利用体积弹性模量公式
得
K
R02 9V0
2U R 2
R0
K
1 9V0
N 2
mm
1αAm
R0m
nn
1βAn
R0n
1 9V0
N 2
mm
R0m
1
2U0 nR0m
N m n
nn
R0n
1
N2Um0 mRn0n
U 0
mn 9V0
由于 U0 0 ，因此 U U0
1
n1
41
n1
R0
e
U 2e
4N α e2
R0 2e
1
1 n
4n
n1U e
体积弹性模量可按下式求出
K
e
n 1αe2 18R04 e
K 2e
n 1α2e2 18R04 2e
n3
4 n1 K e
2.5 有一晶体在平衡时的体积为 V0 ，原子间总的互作用能为
U0 。若原子间互作用能由式 ur
0
r0
n m
β α
1
nm
（1）
因而
ur0
α rm
β r0n
α r0m
1
m n
其次，对应于 r0 处能量取极小值，应有
于是
2ur
r 2
r0
mm 1α
r0m 2
nn 1β
r0n 2
0
nn 1β mm 1α
r mn 0
1
把（1）式代入，即得
nn 1β mm 1α
nβ mα
j
zoz je2 roj
U
N 2
j
zoz je2 roj
N 2R
j
zoz j αj
N 2R
zoz j
j
1 αj
马德隆常数
1 21 1 1 1 2ln2 j αj 2 3 4
2.3
设两原子间的互作用能可由 ur
表述。
rm rn
式中第一项为吸引能，第二项为排斥能； α, β 均为正的常
α rn
β rm
表述，试证明晶
体的体积弹性模量为
K
U0
mn 9V0
。
证明：设晶体共含有N个原子，则总能量为
UR
1 2
ij
u
rij
由于晶体表面层的原子的数目与晶体内原子数目相比少得多，
因此可忽略它们之间的差异，于是上式简化为
UR
N 2
j
u
rij
设最近临原子间的距离为R，则有
再令
rij a j R
数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须m>n。
证明：相互作用着的两原子系统要处于稳定平衡状态，相应
于平衡距离 r0 处的能量应为能量的极小值，即当 r r0 时，
ur 0
r r0
且
2 ur
r
r0
0
因为 解之有
ur
α rm
β rn
ur
r r0
α m r0m1
β n r0n1
解：题给
N Nv Nβ R3
(1)
式中，V为晶体体积，N为晶体包含的原子数，v为每个原子平
均占据的体积。若以 N 表示晶体包含的晶胞数，V 表示晶体
中每个晶胞的体积，n表示晶胞中所含的粒子数，则(1)式完全
等效于
V N V N nv N nβ R3间的最短距离。题给的各种晶格均为立方格子，如令
Am
j
1
a
m j
, An
j
1
a
n j
得到
U
N 2
αAm Rm
βAn Rn
平衡时R R0 ，则由已知条件 U R0 U0 ，得
N 2
αAm R0m
βAn R0n
U0
由平衡条件
dU R
0 dR R0
得
N 2
m α Am R0m1
n β An R0n
U0
由（1）、（2）两式可解得
αAm
已知
β r n cexp r ρ
（1）
由
Ur N
2
αe2
4π
ε0
r
cexp
r
ρ
U r
r0
N 2
αe2 4π0 r02
c ρ
exp
r0
ρ 0
得
αe2 4π0 r02
c ρ
exp
r0
ρ
（2）
又
U
r
N 2
αe2 4 0r
β rn
U
N αe2 nβ
r
r0
2
4π0 r02
r0n1
0
得
第二章 晶体中原子的结合
2.1 由N个原子（离子）所组成的晶体的体积V可写为
N Nv Nβ R。3式中，
v为每个原子（离子）平均所占据的体积；R为粒子间的最
短距离；是和结构有关的常数。试求下列各种结构的值： (1).简单立方点阵； (2).面心立方点阵； (3).体心立方点阵； (4).金刚石结构； (5).氯化钠型结构。
a
1.54
1 a 1 2
2.2证明有两种离子组成的、间距为 R0 的一维晶格的马德隆常
数 μ 2ln2 。
证明：
C B A O A B C
选取负离子O为参考离子，相邻两离子间的距离用R表示。
第j个离子与参考离子的距离可表示为 roj α j R 。对于参考
离子O，它与其它离子的互作用势能为
u0
其晶格常数为a，则有 V a3 。可由式(2)直接求出各种格子的 值。所得结果列表如下：
晶格(a)
晶包体积 晶胞中包含粒 离子间最 结构常
（V ） 子数（n） 短距离 数（ β）
简单立方 面心立方
a3
1
4
a3
体心立方
2
a3
金刚石结构
8
a3
氯化钠结构
8
a3
a
1
2 2
a
0.71
3 2
a
0.77
3 4
由平衡条件
U R R0
N
αe2 R02
nB R0n1
0
得到离子平衡间距作为离子带电状态的函数
R0
e
nB αe2
1
n1
从而晶体的内能也作为离子带电状态的函数
（1）
U R0
U e
N αe2 R0
1
1 n
（2）
由（1）、（2）两式可知，当离子带电量加倍时，则有
R0
2e
nB
α2e2