固体物理基础_课后答案_曹全喜编

'
(A)
又若 G h 为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有： G h 由倒格子周期性：
Gh n Gh
'
2 n d
2 ；若 G h 不是该方向最短倒格失， d
（B） 即为 Blagg 公式。
比较（A） 、 （B）二式可得：
2dSin＝n
11. 求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。 解：每个惯用元胞中有八个同类原子，其坐标为：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 3 1 3 1 3 3 000， 0 ， 0 ， 0 ， ， ， ， 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
bi ai




且 b1 b 2 b 3 。设
m （为常值，且有量纲，即不为纯数） ，
则 8.
G h k l m(h a1 k a 2 l a3）＝m A ，即 G hkl 与 A 平行。


考虑晶格中的一个晶面（hkl） ，证明：(a) 倒格矢 G h hb1 kb2 lb3 垂直于这个晶面；(b) 晶格中相
氯化钾
KCl
NaCl 结构
fcc
2
8
6
氯化钛
TiCl
CsCl 结构
sc
2
2
8
硅
Si
金刚石
fcc
2
8
4
砷化镓
GaAs
闪锌矿
fcc
2
8
4
碳化硅
SiC
闪锌矿
fcc
2
8
4
2、6、12 钽酸锂 LiTaO3 钙钛矿 sc 5 5 O、Ta、Li
简单 铍 Be hcp 六角 2 6 12
钼
Mo
bcc
bcc
1
2
2 2 Sh .k .l 2 F (1 1) 0
12. 证明第一布里渊区的体积为
2 3 ，其中 V
Vc
c 是正格子初基原胞的体积。
证明：根据正、倒格子之间的关系：
2 (a 2 a3 ) 2 (a3 a1 ) 2 (a1 a 2 ) ， b2 ； b3 b1

2 (a 2 a3 ) 2 (a3 a1 ) 2 (a1 a 2 ) 倒格子基矢的定义： b1 ； b2 ； b3







a2 、 a3 相互垂直且 a1 Fra Baidu bibliotek 2 a 3 ，则可得知 a1 b1， 在立方晶系中，可取 a1 、 a 2 b 2， a3 b3 ，
解：
4.
考虑指数为（100）和（001）的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是立方惯用原胞。若采用初基 原胞基矢坐标系为轴，这些面的指数是多少？
解：如右图所示：在立方惯用原胞中的（100）晶面，在初基原胞基矢坐标 系中，在 a 1 、 a 2 、 a 3 三个基矢坐标上的截距为

2 , , 2 ，则晶面
n （对主极大取 n=1） 2 sin 1.54 d 2 . 34 ( A ) 2 sin 19.2 0 d
10. 试证明：劳厄方程与布拉格公式是等效的。 证明：由劳厄方程： Rl (k k 0 ) 2 与正倒格矢关系： Rl G h 2 比较可知： 若 G h k k 0 成立，即入射波矢 k 0 ，衍射波矢 k 之差为任意倒格矢 G h ，则 k 方向产生衍射光，
1
1
c 8 由此解出： a 3
若
1
2
1.633 。
c 1.633 时，则表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大， a
因此层间堆积不够紧密。 3. 画出立方晶系中的下列晶向和晶面：[ 1 01]、[1 1 0]、[112]、[121]、 （ 1 10） 、 （211） 、 （11 1 ） 、 （1 1 2） 。
结构因子： S hkl
f e
j i j
m
i 2 hu j kv j lw j


i h k l i 3 h 3 k l i 3 h k 3l i h 3 k 3l f 1 e i h k e i k l e i h l e 2 e 2 e2 e 2
第一章
1.
习
题
画出下列晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各晶体的结构以及惯用原胞、初基原胞中的原子个数和 配位数。 (1) 氯化钾； （2）氯化钛； （3）硅； （4）砷化镓； （5）碳化硅（6）钽酸锂； （7）铍； （8）钼； （9）铂。
解： 布拉菲 名称 分子式 结构 惯用元胞 格子 中原子数 中原子数 初基元胞 惯用元胞 配位数
显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl）晶面上（如右图） ，且
a1 a 2 m1 G h hb1 k b 2 l b 3 h k a1 a 2 a2 a3 a 3 a1 a1 a 2 2h 2k 2l h k a1 a 2 a 3 a1 a 2 a 3 a1 a 2 a 3
（c）对于简单立方晶格：
2 2 2 2 Gh h k l a


1
2
a2 d 2 h k2 l2
2
9.
用 X 光衍射对 Al 作结构分析时， 测得从(111)面反射的波长为 1.54Å， 反射角为=19.20， 求面间距 d111。
解：由布拉格反射模型，认为入射角＝反射角，由布拉格公式：2dsin=，可得
2 a 2 a3 2 1 解：由倒格基失的定义，可计算得： b1 = (i j) ， a 3



2 a3 a1 2 1 2 a1 a 2 2 k （未在图中画出） b2 ( i ) j ， b3 c a 3

e
i

2
h k l

用尤拉公式整理后： S hkl 2 F f 1 cos
2 2


(h k l ) 2
2
讨论：1、当 h、k、l 为奇异性数（奇偶混杂）时， F f 0 ，所以 S hkl 0 ； 2、当 h、k、l 为全奇数时， S hk l 2F f 2 (4 f ) 32 f ；
r b 改用玻恩－梅叶表达式 exp ，并认为在平衡时对互作用势能具 n r p

指数为（101） 。同理， （001）晶面在初基原胞基矢坐标系 a 1 、 a 2 、
a 3 上的截距为
5.

。 2 , 2 , ，则晶面指数为（110）

试求面心立方结构（100） 、 （110） 、 （111）晶面族的原子数面密度和面间距，并比较大小；说明垂直于 上述各晶面的轴线是什么对称轴？
前四项为 fcc 的结构因子，用 Ff 表示从后四项提出因子 e
i ( h k l ) 2
S hkl F f f e
i ( h k l ) 2
1 e
2
i ( h k )
e
i ( h l )
e
i ( k l )
F
f
Ff e
i

2
h k l
邻两个平行晶面的间距为 d hkl
a2 ；(c) 对于简单立方晶格有 d 2 。 Gh h k 2 l2
2
2
证明： （a）晶面（hkl）在基矢 a1、 a 2、 a 3 上的截距为
a3 a1 a 2 。作矢量： 、 、 h k l
m1
a1 a 2 a2 a3 a 3 a1 ， m2 ， m3 h k k l l h
G h k k 0 式称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。
现由倒空间劳厄方程出发，推导 Blagg 公式。 对弹性散射： k k 0 。由倒格子性质，倒格矢 G h 垂直于该 晶面族。所以， G h 的垂直平分面必与该晶面族平行。 由右图可知： G h 2k sin
'
4

sin





正空间二维初基原胞如图（A）所示，倒空间初基原胞如图（B）所示 （1）由 b1 、 b2 组成的倒初基原胞构成倒空间点阵，具有 C6 操作对称性，而 C6 对称性是六角晶系的特 征。 （2）由 a1 、 a 2 构成的二维正初基原胞，与由 b1 、 b2 构成的倒初基原胞为相似平行四边形，故正空间 为六角结构，倒空间也必为六角结构。 （3）倒空间初基原胞基矢与正格子初基原胞基矢形式相同，所以也为六方结构。

2 3 a a a a a a 2 1 3 2 1 3 Vc



第二章
习
题
a b n ，求： m r r
1、已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成： U (r )
⑴ 晶体平衡时两原子间的距离；⑵ 平衡时的二原子间的互作用能； ⑶ 若取 m=2，n=10，两原子间的平衡距离为 3Å，仅考虑二原子间互作用则离解能为 4eV，计算 a 及 b 的值； ⑷ 若把互作用势中排斥项








0
同理，有 m 2 G h 0 ， m 3 G h 0 所以，倒格矢 G h hkl 晶面。 （b）晶面族（hkl）的面间距为：
d hkl
a1 G h a1 hb1 k b 2 l b 3 2 h Gh h Gh Gh
2 2 2 2
3、当 h、k、l 全为偶数，且 h k l 4n （n 为任意整数）时，
2 2 2 2 Sh .k .l 2 F f (1 1) 4 16 f 64 f
当 h、k、l 全为偶数，但 h k l 4n ，则 h k l 22n 1 时，
i h k l F f 1 e 2

2
因为衍射强度 I S hkl ， S hkl F f 1 e
2
2

i ( h k l ) 2
· 1 e
i ( h k l ) 2
F 2 e
2 f
i
h k l
解： 晶面指数 （100） 原子数面密度 面间距 对称轴 C4
2 a2
a
2 a 2 3 a 3
（110）
1 .4 a2
2 .3 a2
C2
（111）
C3
6.
对于二维六角密积结构，初基原胞基矢为： a1 其倒格子基矢，并判断倒格子也是六方结构。
a a ， i 3 j a i 3 j ， c ck 。求 2 2 2







Vc 是正格子初基原胞的体积，第一布里渊区的体积为就为倒格子原胞的体积，即
Vc a 1 a 2 a 3 2 V c
3


2 V c
a 2 a 3 (a 3 a 1 ) (a 1 a 2 )
3



7.
用倒格矢的性质证明，立方晶系的[hkl]晶向与（hkl）晶面垂直。

证明：由倒格矢的性质，倒格矢 G hkl h b1 k b2 l b3 垂直于晶面（hkl） 。由晶向指数（hkl） ，晶向可用 矢量 A 表示，则： A h a1 k a 2 l a3 。
8
铂
Pt
fcc
fcc
1
4
12
2.
c c 8 2 试证明：理想六角密堆积结构的 1.633 。如果实际的 值比这个数值大得多，可以把晶体 a a 3
视为由原子密排平面所组成，这些面是疏松堆垛的。
1
a2 c2 2 证明：如右图所示，六角层内最近邻原子间距为 a，而相邻两层的最近邻原子间距为： d 3 4 。 a2 c2 当 d=a 时构成理想密堆积结构，此时有： a 3 4 2 ，