第03课时(任意角的三角函数)
6.1 任意角的正弦、余弦、正切、余切(第3课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
6.1 任意角的正弦、余弦、正切、余切（第3课时）
学习目标
1.借助单位圆理解任意角 (正弦、余弦、正切)的定义．
(重点、难点)
2．掌握任意角 (正弦、余弦、正切)在各象限的符号．
(易错点)
情境导入
在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数,如图所示.
所以角所在的象限是第三象限.
).
【变式】(1)若三角形的两内角，满足 ∙ < 0,则此三角形必为(
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
).
D.以上三种情况都有可能
答案：B.三角形的两内角，的终边一定落在第一、第二象限或轴正半轴上，
∙ < 0，所以 > 0， < 0 ，
例7. 已知角 α 的终边经过点 P（ １ ， －２ ）， 求角 α 的
正弦 、余弦 、 正切及余切值
解 ： 由 x 1, y 2 , 有 r =
12 ( 2 ) 2
y
2 5
x
5
s in a
, cos a
,
r
5
r
5
y
x
1
ta n a
2, cot a
．
【解析】解：由题意可得，x=4
故答案为：- ．
3.已知角α的终边经过点P(3，4)，则cosa=
．
【解析】解：由题意得角α的终边经过点P(3，4)，则|OP|=5，
所以cosa=
||
= ，
2014年人教A版必修四课件 1.2 任意角的三角函数
r= x + y , a | MP | y sina = = , o M x | OP | r | OM | x cosa = = , | OP | r | MP | y tana = = . 于是得 | OM | x
【终边上一点的坐标定义三角函数】 点P(x, y)是角 a 终边上任一点(除原点), r 是点P y 到原点的距离, 即 r = |OP| = x 2 + y 2 , 1 P(x, y) y 正弦: sina = , r 余弦: cosa = x , -1 o x r y 正切: tana = , x 当点P(x, y)取角 a 终边与单位圆的交点时, r =1, 则a 的三角函数为: y 正弦: sina = = y, 余弦: cosa = x = x. r r
【终边在坐标轴上的角的三角函数】 终边在 x 轴非负半轴上时, (如图)
y 0 =0, sina = = r r cosa = x = r =1, r r y 0 =0. tana = = x x
终边与其它半轴重合时同理.
y
a的终边
o
P
x
练习: (课本15页) 3. 填表: 角a 角 a 的弧度数 sin a cos a 0º 0 90º 180º 270º 360º 3 2 2 2 -1 0 0 1 0
问题1. 在直角三角形中, 锐角的三角函数是怎 样定义的? 在直角坐标系中, 如果知道锐角 a 终边 上一点的坐标, 你能求出 a 的三角函数吗?
对边 sina = 斜边 邻边 cosa = 斜边
对边 tana = 邻边
作PM⊥x 轴于M, 设 |OP| = r, 则
2 2
y (x, y) P ·
本章内容
人教B版高中数学必修第三册第七章三角函数第2节任意角的三角函数第3课时同角三角函数的基本关系式
状元随笔 同角”一词的含义： [提示] 一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对 任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的 表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin21π9＋cos21π9＝1等．
[基础自测]
1．已知α是第二象限角，sinα＝153，则cos α＝(
错因分析：忽略利用平方关系开方时符号的选择． 纠错警示：利用平方关系开方时符号的确定，要根据角度的范围选 择，有时要进行讨论．
＝ cos2 θ + sin2 θ
＝.
题型三 三角恒等式的证明 状元随笔 1.证明三角恒等式常用方法 [提示] (1)从右证到左． (2)从左证到右． (3)证明左右归一． (4)变更命题法．如：欲证明MN＝QP，则可证MQ＝NP，或证NQ＝MP 等． 2．在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见
[易错点] 忽略利用平方关系开方时符号的选择
已知tan α＝43，求sin α，cos α的值．
错解：由tan
α＝csoins
α＝4得
α3
sin α＝43cos α.①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得196cos2α＋cos2α＝1. ∴cos2α＝295. ∴cosα＝35. ∴sin α＝43cos α＝45
证明：右边＝11+−ccssooiinnssxxxx＝ccooss
x+sin x−sin
x＝
x
cos
cos x+sin x 2 x−sin x cos x+sin x
＝1c+o2s2sixn−xsicno2sxx＝左边，
∴原等式成立．
2020-2021学年第一学期高中数学新教材必修第一册苏教版第七章第3课时 任意角的三角函数(1)
第3课时任意角的三角函数(1)一、学习目标1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.二、问题导引预习教材P166——170的内容,思考下面的问题.在前面的学习中,我们在初中角的基础上将角的概念进行了推广,得到了任意角的概念,另外,还学习了角的另一种度量方法——弧度制.在初中学习了锐角后,我们研究了锐角的三角函数,现在,学习了任意角,那么我们能研究任意角的三角函数吗?如果能,又该如何研究呢?能通过锐角的三角函数来研究任意角的三角函数吗?三、即时体验1.填表:角正弦余弦正切2.已知角α的终边过点P(-3, 4),则sinα=, cosα=, tanα=.3.角-1328°的正弦值、余弦值、正切值的符号分别是、、.四、导学过程类型1由角的终边上的点求三角函数值【例1】已知角α的终边经过点P(2, -5),求α的正弦值、余弦值、正切值.类型2三角函数值的符号的判定【例2】确定下列三角函数值的符号:(1) cos; (2) sin(-565°); (3) tan.类型3由三角函数值求角的终边上的点的坐标【例3】已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4, y)是角θ终边上一点, 且sinθ=-,求y的值.五、课堂练习1. (多选)若sinθcosθ<0,则角θ的终边在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若<θ<π,则点P(cosθ, sinθ)位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知角α的终边经过点P(5, 12),则sinα+cosα=.4. sin1 cos2 tan3值的符号是.5.已知角α的终边经过点P(5t, 12t)(t≠0),求sinα+cosα的值.六、课后作业1. 若－<θ<－π,则点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若角α的终边过点P(2sin30°, －2cos30°),则sinα的值等于 ()A. B. － C. － D. －3.若sinαcosα>0, cosαtanα<0,则角α的终边落在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. (多选)已知θ是第二象限角,则下列判断中正确的是()A. sin cos>0B. sin<0C. cos<0D. tan>05.已知角α的终边经过点P,则sinα=, tanα=.6. sin cos tan的值的符号是(填“正”或“负”).7. 已知角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,那么sinα·cosα=.8.设是第一象限角,且|cosα|=－cosα,则α可能是()A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角9. (多选)函数y=++的可能取值为()A. －3B. －1C. 1D. 310.已知角θ的终边过点P(x, 3)(x≠0),且cosθ=x,那么tanθ=.11.若角α的终边过点P(－4m, 3m)(m≠0),求2sinα+cosα的值.12.已知角α的终边在直线y=kx上,若sinα=－,且cosα<0,试求k的值.13.已知角α的终边上一点P到x轴、y轴的距离之比为4∶3,且cosα<0,求cosα－sinα的值.。
第3课时 任意角的三角函数的概念
解析：设 M 点的坐标为(x1，y1)， 2 2 由题意知：sinα＝－ ，即 y1＝－ . 2 2 ∵点 M 在圆 x2＋y2＝1 上， 2 2 2 2 2 ∴x1＋y1＝1 即 x1＋－ ＝1， 2 2 2 解得 x1＝ 或 x1＝－ . 2 2 ∴tanα＝－1 或 tanα＝1. 答案：± 1
考点二 终边上任意一点的坐标定义法的应用 例 2 已知角 α 的终边过点 P(－3m，m)(m≠0)，求 α 的正弦、 余弦、正切值．
解析：由题意可得： |OP|＝ －3m2＋m2＝ 10|m|. (1)当 m＞0 时，|OP|＝ 10|m|＝ 10m， －3m m 10 3 10 则 sinα＝ ＝ ，cosα＝ ＝－ ， 10 10m 10 10m m 1 tanα＝ ＝－ . 3 －3m (2)当 m＜0 时，|OP|＝ 10|m|＝－ 10m， 10 3 10 1 则 sinα＝－ ，cosα＝ ，tanα＝－ . 10 10 3
解析：∵点 P 在第三象限， tanα＜0， ∴ 故 α 的终边在第二象限． cosα＜0， 答案：B
2 新视点· 名师博客 1.对三角函数定义的理解 (1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从 一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个 角，在比值集合中都有唯一确定的元素与之对应，三角函数的自变 量是角 α，比值是角 α 的函数． (2)三角函数是用比值来定义的， 所以三角函数的定义域是使比 值有意义的角的范围．如在求正切时，若点 P 的横坐标 x 等于 0， 则 tanα 无意义． (3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点 P(x， y)在终边上的位置无关，只由角 α 的终边位置确定．即三角函数值 的大小只与角有关．
任意角的 三角函数
OP OM cos a, OP MP b tan OM a
α x O M A(1,0)
任意角的三角函数定义：
如图，设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交 于点P(x,y)，那么：
3.三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点 的坐标(比值)为函数值的函数.
作业:<<自主学习资源>>P73~74
第1,3,5,9,10,12题
谢谢大家!
y
sin
M0 M
α
O
A(1,0) x
P(x,y)
P0(-3,-4)
4 , 5 3 cos , 5 4 tan 3
P0(-3,-4)
| OM | | OM 0 | 3 cos x | OM | | OP | | OP0 | 5 tan y | MP | | M 0 P0 | 4 4 x | OM | | OM 0 | 3 3
实际上
练习2.已知角α 的终边经过点P(2,-3)，求 角α 的正弦、余弦和正切值。
§1.2.1任意角
的三角函数
第一课时
复习引入
锐角三角函数的定义：
斜边 对边
对边 斜边
邻边
sin _____; cos _____; tan _____
邻边 斜边
对边 邻边
锐角三角函数坐标化
O重 设锐角 的顶点与原点 y P(a,b) 合,始边与 x 轴的非负半轴重合. P(a,b) 在 的终边上任取一点 P(a, b) ,它 r 与原点的距离 r a2 b2 α
任意角的三角函数(第3课时)
第三课时： 任意角的三角函数（第3课时） 编写人：潘有金 审核人：张广泉 审批：苏自先 学习目标：1.理解同角三角函数的基本关系式；2.能利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和证明。
预 习 案一、教材助读认真阅读课本P 18 -P 20 ,完成下列问题同角三角函数的基本关系式：———————————————；———————————————二、预习自测（牛刀小试）1.已知sin α=15,且α为锐角，则cos α=( )A.45 B .± 45 C. ±5 D. 52. 已知sin α=15,则cos α=( )A.45 B .± 45 C. ±5 D. 53.已知cos α=45-,求sin α、tan α的值4.化简下列各式：（1）cos θ·tan θ;(2)222cos 112sin αα--;5.求证：（1）sin 4α-cos 4α=sin 2α-cos 2α;(2) sin 4α+ sin 2α·cos 2α+cos 2α=1.三、我的疑惑在下面记下预习中的困惑在课上和同学讨论或向老师请教第三课时： 任意角的三角函数（第3课时）导 学 案一、学始于疑同学们首先认真独立思考如下问题 问题：三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，我们能不能利用单位圆的性质，讨论同一个角的不同三角函数之间的关系？二、质疑探究小组内讨论上述问题，准备展示，将组内不能解决的问题用小纸 条交给老师探究 同角三角函数的基本关系式三、拓展提升例1. 已知sin α=35-,求cos α,tan α的值。
例2.已知tan α=125-,2παπ<<，求sin α，cos α的值。
例3.已知tan α=125-,求sin α，cos α的值。
例4.已知tan α=-2，求下列各式的值： ⑴sin 2cos 2sin 3cos αααα+-； ⑵2sin sin cos ααα+例5.证明：cos 1sin 1sin cos x x x x +=-例6.化简下列各式：⑴（1+tan 2α）·cos 2α;α在第三象限）四、课堂小结将本节课我们学习了如下知识和方法填入下表中五、课堂检测（见多媒体）第三课时： 任意角的三角函数（第3课时）固 学 案让我们独立完成如下问题，以巩固我们的所学1.已知sin α=45,α∈(2π,π),则tan α=( )A.43-B.43C.±43 D. ±342.已知sin α=45,α∈(0,π),则tan α=( )A.43- B.43 C.±43 D. ±343.已知tan α=34,α∈(π,32π),则cos α=( )A. ±45 B. 45 C. 45- D. 354.下列等式中，不成立．．．的是（ ）A.222tan sin 1tan ααα=+ B. 221cos 1tan αα=+C.4422sin cos sin cos αααα-=-D. sin α= 5. 已知tan α=34-,求sin α、cos α的值。
【高中数学必修四】1.2.1任意角的三角函数(第三课时)
练习．说出有向线段OM， MO， AT，
TA ，MP， AO, OA表示的数．
y T M(-1,0) y=x
O
P
A(1,0) x
三角函数线： ⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin 的有向线段．
y 的终边
P(x , y)
的终边 y
P(x , y)
O
M
x
M
O
x
从P作x轴垂线，M为垂足，MP为所求．
的终边 的终边 y y
P(x , y) P(x , y)
O
M
x
M
O
x
从P作x轴垂线，M为垂足，OM为所求．
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的 有向线段．
y M
y
O
x
M
O
x P(x , y)
P(x , y)
从P作x轴垂线，M为垂足，OM为所求．
三角函数线：
y
P P
y M O y x
画三角函数线的步骤： ⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P． ⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M． ⑶ 过A(1, 0)作x轴垂线与终边(或反向延长线)交于T．
例1. 作出下列各角的正弦线、余弦线、 正切线. 5 (1) ; ( 2) ; 3 6
2 ( 3) ; 3
13 ( 4) . 6
M
O M y
M O P
x
x
O
P
x
因为cos =x=OM，所以OM叫的余弦线
想一想： y 由于tan = ，能否找到使x = 1的点？ 过点A(1,0)的切线上的点.
能否找到有向线段使
x
y 其能表示 ？ x y AT =
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引入新课
1、回顾初中锐角的三角函数的定义
2、问题：
（1）怎样用坐标法定义锐角的三角函数？ （2）怎样用坐标法定义任意角的三角函数？
3、三角函数的定义及其定义域：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是),(y x ，它与原点的距离是)0(22>+=
y x r r 。
（1）比值_____叫做α的正弦，记作__________，即___________，定义域为__________。
（2）比值_____
叫做α的余弦，记作__________，即___________
，定义域为__________。
（3）比值
_____叫做α的正切，记作__________，即___________，定义域为__________。
4、各象限内三角函数值的符号。
正弦：填入[ ]中；余弦：填入( )中；正切：填入{ }中 5、有向线段、有向线段的数量
6、三角函数线表示三角函数值。
[ ]
( ) { } [ ] ( ) { } [ ] ( ) { } [ ] ( ) { }
x
y O
例题剖析
例1、已知角α的终边经过点(2,3)，求α的正弦、余弦、正切。
例2、确定下列三角函数值的符号： （1）7cos
12π （2）sin(465)- （3）11tan 3
π
思考：根据单位圆中的三角函数线，探究：（1）正弦、余弦、正切函数的值域； （2）正弦、余弦函数在]2,0[π上的单调性；（3）正切函数在区间(－2π，2
π
)上的单调性。
例3、已知角α的始边为x 轴的正半轴，终边在直线y kx =
上，若sin α=
，且cos 0α<，试求实数k 的值。
巩固练习
1、已知角α的终边经过点)4,3(-P ，则sin α=_______，cos α=_______，tan α=________。
2、已知角α终边经过点)12,(--x P ，且cos α=13
5
，则x =_________。
3、设α是三角形一内角，在sin α，cos α，tan α，tan 2
α
中，
有可能取负值的有_________。
4、确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号。
（1）885° （2）－395° （3）619π （4）－3
25π
5、若0cos <α，且0tan <α，则α为第_______象限角。
6、作出下列各角的正弦线，余弦线、正切线。
（1）611π
（2）－3
2π
课堂小结
三角函数的定义；各象限内三角函数值的符号；用三角函数线表示三角函数值。
课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、已知角α的终边经过点(8,6)--，则=αsin ______，=αcos _____，=αtan _________。
2、已知角α的终边经过点1)-，则=αsin ______，=αcos _____，=αtan _________。
3、已知角α终边在直线2y x =上，则=αsin ______，=αcos _____，=αtan _________。
4、=︒+︒-︒+︒180cos 10270sin 30sin 290sin 5____________。
5、=+---2
sin cos 6tan 31cos 4cos 6
sin
22
π
ππππ
π
_____________。
二、提高题
6、求函数)4
3
sin(32cos 4)4sin(2)4sin()(πππ
++--++
=x x x x x f 的值 （1）4
π
=x
（2）4
3π
=x
7、确定下列各式的符号
（1）)108tan(310cos ︒-︒ （2）πππ6
11tan 54cos 45sin
三、能力题
8、根据下列条件，确定θ是第几象限角或是哪个坐标轴上的角 （1）0sin <θ且0cos >θ （2）0cos sin >θθ （3）0tan sin >θ
θ
（4）θθsin |sin |=
9、作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线 （1）4
π
（2）π314
（3）π43- （4）6
π
-
批改时间：。