单元系的相变 热力学
第6章 单组元相图及纯晶体的凝固 笔记及课后习题详解 (已整理 袁圆 2014.8.6)
第6章单组元相图及纯晶体的凝固6.1 复习笔记一、单元系相变的热力学及相平衡1．相平衡条件和相律组元：组成一个体系的基本单元，如单质（元素）和稳定化合物，称为组元。
相：体系中具有相同物理与化学性质的且与其他部分以界面分开的均匀部分，称为相。
相律：F=C－P+2；式中，F为体系的自由度数，它是指不影响体系平衡状态的独立可变参数（如温度、压力、浓度等）的数目；C为体系的组元数；P为相数。
常压下，F=C－P＋1。
2．单元系相图单元系相图是通过几何图像描述由单一组元构成的体系在不同温度和压条件下可能存在的相及多相的平衡。
图6-1 水的相图图6-2 Fe在温度下的同素异构转变上述相图中的曲线所表示的是两相平衡时温度和压力的定量关系，可由克劳修斯（Clausius）一克拉珀龙（Clapeyron）方程决定，即式中，为相变潜热；为摩尔体积变化；T是两相平衡温度。
有些物质在稳定相形成前，先行成自由能较稳定相高地亚稳定相。
二、纯晶体的凝固1．液态结构（1）液体中原子间的平均距离比固体中略大；（2）液体中原子的配位数比密排结构晶体的配位数减小；（3）液态结构的最重要特征是原子排列为长程无序，短程有序，存在结构起伏。
2．晶体凝固的热力学条件（6.1）式中，，是熔点T m与实际凝固温度T之差；L m是熔化热。
晶体凝固的热力学条件表明，实际凝固温度应低于熔点T m，即需要有过冷度△T。
3．形核晶体的凝固是通过形核与长大两个过程进行的，形核方式可以分为两类：均匀形核和非均匀形核。
（1）均匀形核①晶核形成时的能量变化和临界晶核新相晶核是在母相中均匀地生成的，即晶核由液相中的一些原子团直接形成，不受杂质粒子或外表面的影响假定晶胚为球形，半径为r，当过冷液中出现一个晶胚时，总的自由能变化：（6.2）由，可得晶核临界半径：（6.3）代入公式（1），可得：（6.4）由式可知，过冷度△T越大，临界半径则越小，则形核的几率越大，晶核数目增多。
工程热力学相图相变分析
凝固收缩物质
凝固膨胀物质
6
2、吉布斯相律（ Gibbs phase rule ）
相平衡系统中热力状态的自由度数, 即可独立变化
的强度参数的数目 F C p 2
F为独立强度量的数目；C为组元数；p为相数
例如，单相物系如液态水，可以有两个独立变化的强 度量, 即温度T 和压力p 都可自由变化，有两个自由度。
热力学面上三个两相区：
气液、液固、气固
三个两相区在p-T相图上的 投影是三条曲线：
汽化曲线、熔解曲线、升 华曲线
它们的交点称为三相点, 是 三相线在p - T 图上的投影。
三相线是物质处于固、液、 气三相平衡共存的状态点 的集合。
热力学面
4
P-T气 液固三 相图
投影
凝固收缩物质
投影
定温压缩 CO2
dS=-dS=- dH T
dS= dH T
dS= dH T
TdS-dH=0
d(TS-H)=0 系统TS-H达到最大值，或者说
H-TS达到最小值。
d(TS-H)=0
系统TS-H达到最大值，或者说 H-TS达到最小值。
吉布斯函数（自由焓） G=H-TS dG=0
等温、等压条件下, 封闭系统的自发过程朝吉布斯函 数G 减小的方向进行, 系统平衡态的吉布斯函数G 最 小, 即为平衡的吉布斯判据：
化学平衡条件都涉及促使质量转移 的势—“化学势”。
质量不变单元系统热力学能 dU TdS pdV
变质量单元系统热力学能 U U(S,V , n)
dU
U S
V ,n
dS
U V
S ,n
dV
U n
V ,S
dn
dU TdS pdV dn
热力学_统计物理学答案第三章
后
pv 3 = a(v − 2b)
RT a ⎛ p + a ⎞(v − b ) = RT ； p= − 2 ⎜ 2 ⎟ v ⎠ v −b v ⎝
极值点组成的曲线：
RT 2a RT a = 3 ；由 = p+ 2 2 v−b (v − b ) v v
⎞ ⎟ ⎟ ⎠V
⎛ ∂S ⎞ ⎛ ∂µ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎝ ∂n ⎠T ,V ⎝ ∂T ⎠V ,n (2) 由式(3.2.6)得：
⎛ ∂ 2G ⎞ ⎛ ∂ 2G ⎞ ⎛ ∂µ ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ∂n ⎠T , p ⎝ ∂p∂n ⎠ T ⎝ ∂n∂p ⎠ T ⎜ ⎝ ∂p ⎠T , n
ww
=⎜
∂(T , S ) ∂ (V , T ) ∂(T , S ) ⎛ ∂p ⎞ ⋅ ⋅ ⎟ + ⎝ ∂V ⎠ S ∂ (V , T ) ∂(V , S ) ∂(V , T )
∂ (V , T ) ⎛ ∂p ⎞ ⋅ =⎜ ⎟ + ⎝ ∂V ⎠ S ∂(V , S ) ⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂T ⎞ =⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂V ⎠ S ⎝ ∂S ⎠ V
∂V ⎞ ⎛ ∂p ⎞ ⎛ ⎟ ⋅ CV =⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎜ ⎝ ∂V ⎠ S ⎝ ∂p ⎟ ⎠T
w.
kh da
后 课
⎛ ∂G ⎞ ⎜ ⎟ =µ ⎝ ∂n ⎠T ,V
证：
(1) 开系吉布斯自由能
答 案
∂µ ⎞ ⎛ ∂µ ⎞ ⎛ ∂S ⎞ 习题 3.4 求 证 ： （ 1） ⎛ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ；（ 2） ⎜ ⎜ ∂p ⎟ ⎟ =− ⎝ ∂T ⎠ V , n ⎝ ∂n ⎠T ,V ⎝ ⎠T,n
学基础-第6章-单组元相图及纯晶体的凝固
7
第六章
单组元相图及纯晶体的凝固
二、晶体凝固的热力学条件 恒压时，dG/dT=-S,因SL＞SS ， G △G 故有：(dG/dT)L＜(dG/dT)s 曲线GL-T与Gs-T必相交，交点对
（3） 螺位错生长机制（光滑界面的横向生长）
螺位错提供永不消失的小台阶，长大速度较慢
生长特点： ★不需在固-液界面上反复形核，不需形核功，生长连续； ★生长速率为：vg=μ3△Tk2 （μ3为常数）
27
第六章
单组元相图及纯晶体的凝固
五、结晶动力学及凝固组织
单组元相图及纯晶体的凝固
（2）二维晶核台阶生长（光滑界面 的横向生长） 生长特点：
★需要不断地形成新的二维晶核， 需形核功，生长不连续；
★晶体生长需要较大动态过冷度 △Tk（1～2℃）； ★生长速率：vg=μ2exp(-b/△Tk) 式中，μ2、b为常数
二维晶核形核
26
第六章
单组元相图及纯晶体的凝固
固相晶面上原子所占位置分数 x
23
第六章
单组元相图及纯晶体的凝固
凝固时的固-液界面微观和宏观形态 粗糙界面：界面微观粗 糙，而宏观平直。
液 液
光滑界面：微观为由许多光滑 的小平面组成，而宏观不平。
液
液
固
微观
固
宏观
固
微观
固
宏观
粗糙界面中原子的堆放
光滑界面中原子的堆放
24
第六章
单组元相图及纯晶体的凝固
3
)
单组元相图及纯晶体的凝固
自由能随温度变化的示意图
(2) 纯晶体的凝固
在一定温度下，从一相转变为另一相的自由能变化为
GV
LmT Tm
式中，ΔT=Tm-T，是熔点Tm与实际凝固温度T之差。
由上式可知，要使 ΔGv＜0，必须使ΔT＞0，即 T＜Tm，故ΔT称为过冷度。晶 体凝固的热力学条件表明，实际凝固温度应低于熔点Tm，即需要有过冷度。
GS x 1 x x ln x 1 x ln(1 x)
NT kTm 式中，k是玻尔兹曼常数； Tm是熔点；x是界面上被固相原子占据位置的分数；
而 ，其中Lm为熔化热， ，是界面原子的平均配位数；是晶体配位数。
恒小于1。
(2) 纯晶体的凝固
将上式按 GS 与x的关系作图，并改变值，得到一系列曲线，如下图所示。 NT kTm
晶体长大方式和生长递率 晶体的长大方式与上述的界面构造有关，可有连续长大、二维形核、螺型位错 长大等方式。 a．连续长大
对于粗糙界面，由于界面上约有一半的原子位置空着，故液相的原子可以进 入这些位置与晶体结合起来，晶体便连续地向液相中生长，故这种生长方式为 垂直生长。对于大多数金属来说，由于动态过冷度很小，因此其平均生长速率 与过冷度成正比，即
dG＝ Vdp－ SdT。 在等压时，dp=0，故上式简化为：
dG S dT 由于熵恒为正值，所以自由能是随温度增高而减小。
(2) 纯晶体的凝固
纯晶体的液、固两相的自由 能随温度变化规律如.右图所示。 这样，两条斜率不同的曲线必 然相交于一点，该点表示液、 固两相的自由能相等，故两相 处于平衡而共存，此温度即为 理论凝固温度，也就是晶体的 熔点Tm。事实上，在此两相共 存温度，既不能完全结晶，也 不能完全熔化，要发生结晶则 体系必须降至低于Tm温度， 而发生熔化则必须高于Tm。
RT03-第三章+热力学第三定律
§3-4 单元复相系的平衡性质
一、单元系的相图
实验指出： 在不同的温度和压强下，一个单元系可以分别处于气相、 液相和固相。 有些物质的固相还可以有不同的晶格结构，不同的晶格结 构也是不同的相，例如，固态的冰 固态的冰在高压情况下晶格结构可能 固态的冰 完全不同。 有些物质的液相在不同的物理条件下，物理性质完全不同， 对应的微观结构也完全不同，例如，液体氦 液体氦可能存在超流现象。 液体氦
2. 孤立系统的熵判据 孤立系统约束条件： 体积不变（假设只有体积变化功） 内能不变 热力学第二定律说明： 孤立系统的熵永不减少 熵最大的态就是平衡态
在体积和内能保持不变的时候，相对于某一平衡 态的虚变动后的状态的熵较小：
∆S < 0 （孤立系统稳定平衡的充分必要条件）
∆S = 0 （中性平衡条件）
dG = − SdT + Vdp
开放系统的物质的量 n 可能发生变化，因此上式可以直接推广为：
dG = − SdT + Vdp + µdn
dG = − SdT + Vdp + µdn
上式第三项表示在温度和压强不变时，由于物质的量改变dn所引起 的吉布斯函数的改变，其中：
∂G µ ≡ ∂n T , p
称为化学势 化学势，它描述温度和压强不变时，增加1mol物质时吉布斯函数的改变。 化学势 由于G 是广延量，故：
G (T , p, n) = nGm (T , p)
µ ≡ Gm (T , p)
即化学势，就是摩尔吉布斯函数，这个结论适用于单元系。 吉布斯函数是T，p，n为独立变量的特性函数，如果已知G（T，p，n）， 则其他热力学量为：
∂G S = − ∂T p ,n
热力学与统计物理——第03章单元系的相变习题解ok
第三章 单元系的相变习题3.3试由0>v C 及0)(<∂∂T V p 证明0>p C 及0)(<∂∂S Vp 。
证： 由式(2.2.1) T C C V p =-⇒VT p ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂pT V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ =P Cp T H ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=pT S T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂;=V C V T U ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂V T S T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= =dp dV V p T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂dT T p V⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=dp +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂dV V p S dS S p V⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂dV V p S V S p ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂dT T S dV V S V T⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T V p VS p ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T V S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+SV p ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ (1) =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V T p VS p ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂TT S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ (2) 由麦氏关系(2.2.3)代入(1)式中 ⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂S V T -VS p ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T V p -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂S V p SV T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T V S -⎪⎭⎫⎝⎛∂∂S V p ()()⋅∂∂S V S T ,,()()T V T S ,,∂∂ =+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂S V p ()()⋅∂∂T V S T ,,()()⋅∂∂S V T V ,,()()T V S T ,,∂∂ =+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂S V p ()()⋅∂∂S V T V ,,()()2,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂T V S T =+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂S V p V S T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂()()2,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂T V S T 由式(2.2.5) ⇒V C V T S T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=；即0>=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂VV C T S T . 于是： 0>=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T V p +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂S V p 正数于是： SV p ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂<0=P C P T S T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂()()=∂∂=p T p S T ,,()()⋅∂∂V S p S T ,,()()=∂∂p T V S ,,⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂SV p T ()()p T V S ,,∂∂ ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=S V p T ()()⋅∂∂V T V S ,,()()=∂∂p T V T ,,⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂S V p T V T S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Tp V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅ ⋅⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=SV p V TC p V ⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ 0>V C ; 因而0>P C习题3.7试证明在相变中物质摩尔内能的变化为：1p dT U L T dp ⎛⎫∆=-⋅ ⎪⎝⎭如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简。
热学 (7 第九章 相变)
四、气液两相图
汽化曲线, 是液态和气态的分界线
饱和蒸汽压与温度的关系 沸点与外界压强的关系
汽化曲线终点就是临界点K 汽化曲线始点O是三相点
§9.3 克拉珀龙方程
一、方程的推导
两相平衡时的温度T和压强p有函数关系，相平衡曲线
气液二相图 汽化曲线
固液二相图 熔化曲线
Q1 ml
A m(2 1) p
在凹（凸）液面情况下，分 子由气相进入液相的概率比 平页面情况的概率大（小）
3、过饱和蒸气、凝结核、云室
若没有足够的凝结核，或凝结核过小，即使蒸气压强超过 该温度下的饱和蒸气压，液滴仍不能形成并长大，因而出现 过饱和现象，这样的蒸气称为过饱和蒸气压，或过冷蒸气。
4、云及人工降雨
暖云：大小水滴共存 冷云：由冰晶组成 混合云：由冰晶和水滴组成
pk
Vmk
Tk
pk
a
V2 2 mk
Vmk
b
R Tk
a 27b2
a
2 9b2
3b
b
R
8a 27bR
对比物态方程
3
2
3
1
8
对应态定理: 一切物质在相同的对比压强和对比温度下, 就有相
同的对比体积了.
8a Tk 27bR Vmk 3b
a pk 27b2
临界比容：液态的最大比容 临界压强：液态的最大饱和蒸汽压 临界温度：等温压缩使气体液化的最高温度
pk, k Tk之间的关系
临界系数
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极小点 拐点
p
2 p
Vm
T
0
Vm2
T
0
p
2 p
Vm
T
0
Vm2
T
0
极大点
p
Vm
T
0
2 p
Vm2
T
0
p
a Vm2
Vm
b
RT
Tc
8a 27Rb
pc
a 27b2
Vmc 3b
RTc 8 2.667 临界系数 pcVmc 3
范氏物质系统有相同的临界系数。
1 T , p 2 T , p 两相以任意比例共存 G n1 n2 常数
T1 T2 T3 T p1 p2 p3 p
中性平衡
1 T , p 2 T , p 3 T , p 三相点方程
p
1 T , p 2 T , p
1
1 T dT , p dp 2 T dT , p dp
G 0
T，p 不变，平衡态 G 极小。
定温定压系发生的一切过程朝 着自由焓减小的方向进行。
平衡态的必要条件 δG 0
δ2G 0 ΔG 0 ΔG 0
极小值 稳定平衡 最小极值 稳定平衡 较大极值 亚稳平衡
常数值 中性平衡
§3.2 开系热力学基本方程
1. 化学势
单元单相
Gm
G n
d SmdT Vmdp
(U T0S p0V ) 0
2. 热动平衡及其稳定性条件
U U(S,V )
ΔS δS ΔV δV
ΔU δU 1 δ2U 2
ΔS~ δS~ 1 δ2S~ 2
δU U δS U δV TδS pδV S V V S
δ2U
2U S 2
(δS )2
2U VS
δSδV
单元系的相变
组元 组成物质系统的化学成分 相 被一定边界包围，性质均匀的部分
1. 热动平衡判据 2. 开系热力学基本方程 3. 单元系的复相平衡 4. 气液相变和临界点
§3.1 热动平衡判据
1. 熵判据
孤立系 dS 0
U，V 不变，平衡态 S 极大。
对系统的状态虚变动，熵的虚变动
ΔS δS 1 δ2S 2
S，p 不变，平衡态 H 极小。
定熵定压系发生的一切过程朝 着焓减小的方向进行。
平衡态的必要条件 δH 0
δ2H 0 ΔH 0 极小值 稳定平衡 最小极值 稳定平衡 较大极值 亚稳平衡
ΔH 0 常数值 中性平衡
5. 自由能判据
(U T0S p0V ) 0
T T0 ΔT 0 V 0
T V
V T
平衡稳定性条件 S CV 0 p 1 0
T V T
V T V T
δTδS
δpδV
T S
(δS)2 p
V p
S
(δp)2
0
平衡稳定性条件 T T 0 S p Cp
V p
S
V S
0
3. 内能判据
(U T0S p0V ) 0 S，V 不变，平衡态 U 极小。
Vm
4. 范氏等温线
p
T Tc pc
T Tc Vmc
p
a Vm2
Vm
b
RT
曲线 存线
与实验共 不符。
极值点间，一个 p 对应三个V ，
p
Vm
T
0 ，平衡不稳定。
T Tc
两极值点合并 为临界点。
Vm
范氏方程能近似描述系统的气相或液相，但不能描述 气液平衡共存状态。
范氏方程的临界点
v1 1.043103 m3 Kg1 v2 1673103 m3 Kg1
dp dT
l TΔv
3.62 103
Pa K1
0.0357
pn
K1
例3 固液气三相点三种相变潜热的关系
熔解热 汽化热 升华热
Lls Hml Hms Lgl Hmg Hml Lgs Hmg Hms
Lgs Lgl Lls
平衡态的必要条件 δS 0
δ2S 0 ΔS 0
极大值 稳定平衡 最大极值 稳定平衡 较小极值 亚稳平衡
ΔS 0 常数值 中性平衡
媒质很大，有恒定的温度和压强。
媒质 系统 孤立大系统
ΔS0
ΔU 0
p0ΔV0 T0
ΔU ΔU0 0 ΔV ΔV0 0
ΔS~ ΔS ΔS0 0
ΔS~ ΔS ΔU p0ΔV 0 T0
热平衡条件 T T0 力平衡条件 p p0
δ2S~ δ2U 0
δTδS δpδV 0
T0
S S(T , V ) p p(T, V )
δS S δT S δV T V V T
δp p δT p δV
T V
V T
S p V T T V
δTδS δpδV S (δT )2 p (δV )2 0
T
Tc
p
pc
Vm
Vmc
3
2
1 3
8
3
范氏对比方程
对应态定律 各种气（液）体的对比方程相同， 与具体物性无关。
Vm
O K
J
J
K O
范氏方程的平衡曲线 B T , p A T , p
G
d SmdT Vmdp
B G+L
p
dT 0 O pO Vmdp
D A
N M
L R
NDJ段：Gm 最大 不稳定
U
n S,V
H G TS U pV
dH TdS Vdp dn
H H (S, p, n)
T H S p, n
V
H p
S, n
H
n S, p
F G pV U TS
dF SdT pdV dn
F F(T, V , n)
S F T V , n
p F V T , n
Vm2 T
p
Vm1 T
p
Vm2
Vm1
pVm2 RT
Vm2 T
p
Vm2 T
dL
dT
C p,m 2
C p,m1
Cp,m 近似看作常数
L L0 Cp,m2 Cp,m1 T
dp dT
p R
L0 T2
C
p,m2
T
C p,m1
ln p L0 Cp,m2 Cp,m1 ln T A
lim S
T 0
S0
0
等温线 T 0 与等熵线 S 0 重合。
2. 低温物性
lim
T 0
V T
p
lim
T 0
S p
T
0
lim
T 0
p
0
lim
T 0
p T
p 1pn T 273.15 K l 3.35105 J Kg1
v1 1.0907 103 m3 Kg1 v2 1.00013103 m3 Kg1
dT dp
TΔv l
0.742 107
K Pa1
0.00752 K
pn1
例2 水的沸点随压强的变化
p 1pn T 373.15 K l 2.257 106 J Kg1
ΔV 0 U 0
ΔS 0
定熵定容系发生的一切过程朝 着内能减小的方向进行。
平衡态的必要条件 δU 0
δ2U 0 ΔU 0 极小值 稳定平衡 最小极值 稳定平衡 较大极值 亚稳平衡
ΔU 0 常数值 中性平衡
4. 焓判据
(U T0S p0V ) 0
p p0 p 0 H 0 ΔS 0
p1 p2
1
T1
2
T2
dn1
0
物质从高化学势部分 移至低化学势部分。
化学势差促使粒子流动。
2. 平衡性质
p 固
三相点 •
熔解线
液 C•
三个相区：一相单独存在， 温度和压强可独立变化。
两相平衡曲线：两相平衡
临界点
共存，温度和压强只有一 个独立。
汽化线 三相点：三相平衡共存，温
气
度和压强完全确定。
p
dp
dL
Cp,m2 Cp,m1
dT
Vm2
Vm1
T
Vm2 T
p
T
Vm1 T
p
dp
dL dT
Cp,m2
Cp,m1
Vm2
Vm1
T
Vm2 T
p
T
Vm1 T
p
dp dT
Cp,m2
C p,m1
L T
Vm2 T
p
Vm1 T
p
Vm 2
L Vm1
2. 开系基本方程
dG nd dn dG SdT Vdp dn
G G(T, p, n)
S G T p, n
V
G p
T
,
n
G
n T , p
U G TS pV
dU TdS pdV dn
U U (S, V , n)
T U S V , n
p U V S, n
升华线
T
气液固三相相图
临界点：汽化线终点，温度 高于此点，无液相。饶过此 点，液气两相可连续转变， 无两相共存阶段。
p
1 T , p 2 T , p
T1 T2 T p1 p2 p
1
1 T , p 2 T , p 两相平衡曲线方程
1 T , p 2 T , p
2
T
1 T , p 2 T , p 1相单独存在 G (1 x)n1 xn2 最小
蒸气压方程
饱和蒸气 与凝聚相（气相或液相）达到平衡的蒸气
dp dT