第十章_卷积码
信息论与编码-卷积码
信息论与编码--卷积码（掌握利用编码电路求生成矩阵和监督矩阵）差错控制编码系统中除了使用分组码之外，另一类广泛应用的称为卷积码，在分组码的编码和译码过程中，每个码字的监督元只与本码字的信息元有关，而与其它码字的信息元无关，即分组码的编码器是一个无记忆的逻辑电路。
但是，卷积码的编码过程中，本码字的监督元不仅与本码字的信息元有关，而且与前m 个码字的信息元有关，因此卷积码的编码器是一个有记忆的时序电路。
卷积码由于更充分地利用码字之间的相关性，可以减少码字长度，简化编译码电路，并得到较好的差错控制性能，因此卷积码在通信领域，特别是卫星通信，空间通信领域得到广泛的应用。
7-1 卷积码的基本原理 7-1-1 卷积码的基本概念[例子]：通过一个例子说明卷积码的一些基本概念；下图给出了一个(3,2,2)卷积码编码器的原理图，当某一时刻，编码器输入并行一个信息码字为mi=[mi(1),mi(2)]，编码器并行输出由三个码元组成的卷积码的码字，c i (1)c (1)c i (2) c i (3)m i (1) m i (2)[ci]=[ci(1),ci(2),ci(3)]=[mi(1),mi(2),pi]。
[ci]称为一个码字。
mi 为信息元，pi 为监督元。
可以看出卷积码的输入输出关系为：ci(1)=mi(1) ci(2)=mi(2)ci(3)=mi(1)+mi(2)+mi-1(2)+mi-2(1)可见，卷积码当前输出的码字的监督元不仅与当前输入的信息元有关而且还与前2个码元有关。
这时编码器由2级移位寄存器构成。
定义：卷积码字中码元的个数为n0，码字中信息元个数为k0，由m 级移位寄存器构成的编码器称m 为编码码字约束长度。
有的教材称m’=m+1为约束长度，(m+1)n0为编码码元约束长度。
卷积码记为(n0,k0,m)。
定义：R=k0/n0为码率(Code rate)。
它是表示卷积码的编码效率。
卷积码的编码器的一般形式为：看以下卷积码的约束关系图：在译码时，译码在ci 时要利用到ci-1,ci-2，同时译码字ci+1,ci+2时还要利用到ci 。
第10章 卷积码基础
第10章 卷积码基础
如果把信息序列M=(1 1 1 0 0 …)也写成D的函数,则 M(D)=(m0+m1D+m2D2+…)=(1+D+D2+0+0 …) 相应的码序列C也可写成D的函数： C(D)= (c0+c1D+c2D2+…) = (111)+(101)D+(100)D2+(011)D3+(001)D4+0… (10.2.6)
第10章 卷积码基础
… … … …
1
卷积码
1
2
2
k0
编码器
n0
图 10 - 3 卷积码编码器
第10章 卷积码基础
如同分组码那样,卷积码码字中的每一个子码ci,它 的某一段码元(通常在最左边k0个码元)可以是原来的k0 个信息元,而其余的是n0-k0个校验元,这是系统码的形式, 如图 10 - 1编码器编出的码。 当然,也可以编出非系统 码形式的卷积码。 但卷积码与分组码不同,在同样的码 参数下,系统卷积码与非系统卷积码的抗干扰性能不一 定相同。
(10.2.8)
第10章 卷积码基础
为了更好地理解卷积码生成矩阵和生成元,下面我 们再举一个k0＞1的例子。
图 10 - 4 画出了信息元并行输入的(3,2,2)系统卷积 码编码器。 设编码器初始状态全为0,输入的信息序列：
M=(M(1)+M(2)) =(m (1)0,0,m(1)1,0,m(1)2,0,…)+ (0,m(2)0,0,m(2)1,0,m(2)2,…) =(m(1)0m(2)0,m(1)1m(2)1,m(1)2m(2)2,…)
卷积码
译码主要确定译码规则，使其差错率最小
1 2 – 译码器根据接收序列来产生信息序列M的一个估值M’,如果两者不同，
则表示译码出错 – 如信道传输的码字是X，当且只有当接收序列Y不等于X时，出现译码错 误
最大似然译码
译码主要确定译码规则，使其差错率最小
– 译码器必须根据接受序列y来产生信息序列M的一个估计
§12.1.1 卷积码的图解表示
树状图- tree
– 一个(2,1,3)卷积码编码器。 假设初始状态为全0 第一个比特输入为 0－>00 ，1－>11 第二个比特输入时，第一个比特右移一位，这时输出比特同时受前输入比 特和前一位比特决定 ...... 第四个比特输入时，第一个比特移出移位寄存器而消失
编码后序列。由于卷积码的线性性质，所有码序列之间的最 小汉明距应等于非零码序列的最小汉明重量，即非零码序列 中1码的个数。由此可见，要求最小距或自由距，只要考虑码 树中下半部的码序列就可以了 – 例： abca abcb abdc abdd 5 3 4 4 因而：dmin = 3
§12.2 卷积码的距离特性
维特比译码
进入第四级网格时，4条幸存支路又延伸为8条， 经计算路径量度并比较后又丢弃其中4条。在 比较是如果出现量度相同的情况，可以任意选 取其中一条。继续下去，到第10步时，会发现， 所有幸存路径已经合并称为一条全0路径，纠 错完毕。 译码结束的判断:可以在网格图的终结出加上 (N-1)*K个已知信息(即N-1条支路)，发送固定 码，如全零，作为结束信息。
– 应用最多也是性能最接近最佳的是维特比译码，但
是硬件复杂。门限译码性能最差，但硬件简单。维 特比译码和序列译码都是建立在最大似然译码的基 础之上的
现代通信技术-卷积码
cidiei
000 111 001 110 011 100 010 101
移存器下一状 态 M3 M2
a (00) b (01) c (10) d (11)
0 1 0 1 0 1 0 1
a (00) b (01) c (10) d (11) a (00) b (01) c (10) d (11)
2.卷积码的几何表述
1.卷积码的基本原理
例： (n, k, N) = (3, 1, 3)卷积码编码器
输入bi M1 bi
M2 bi-1
M3 bi-2
ei di ci
编码输出
输入信息比特序列是bi-2 bi-1 bi bi+1，则当输入bi时，此编码器输 出3比特ci di ei，输入和输出的关系如下：
ci bi d i bi bi 2 ei bi bi `1 bi 2
a
↓1 ↑0 111
001
c
100
010
状态 M3M2 a 00 b 01 c 10 d 11
信息位
b
↓1
110
d
0
101
a b c d a b c d a b c d a b c d
上 半 部
下 半 部
1
1
2.卷积码的几何表述
（2）状态图 码树图还可以改进为状态图：
移存器前一状 当前输入信息 态 位 M3 M2 bi 输出码元
b
000
a
111
110
101 d
100 011
c
001
010
在此图中，虚线表示输入信息位为“0”时状态转变的路线； 实线表示输入信息位为“1”时状态转变的路线。 线条旁的3位数字是编码输出比特。
卷积码
引言卷积码是深度空间通信系统和无线通信系统中常用的一种差错控制编码。
在编码过程中,卷积码充分利用了各码字间的相关性。
在与分组码同样的码率和设备复杂性的条件下,无论从理论上还是从实践上都证明,卷积码的性能都比分组码具有优势。
而且卷积码在实现最佳译码方面也较分组码容易。
因此卷积码广泛应用于卫星通信，CDMA数字移动通信等通信系统，是很有前途的一种编码方式。
对其进行研究有很大的现实意义。
1 、(2.1.2)卷积码的基本概念1.1(2.1.2)卷积码的结构图(2.1.2)卷积码的编码器由两级移位寄存器组成，它的存数(Q0，Q1)有四种可能：00，10，01和11，相应于编码器的四个状态S0, S1, S2和S3。
(2.1.2)卷积码编码器如图1：由图可知，该卷积码的生成多项式为于是，得到的码多项式是1.2(2.1.2)卷积码的网格图表示为了表示卷积码编码器在不同输入的信息序列下，编码器各状态之间的转移关系，以及状态转移与时间的关系，须画出编码器的网格图。
网格图是一种能清楚显示状态转移的时间依赖性状态图，因而用网格图来表示编码器的操作是很有用的。
图2表示了(2.1.2)卷积码的网格图。
图中四行小圆圈表示移位寄存器的四种状态，虚线表示输入是0时的状态转移，实线表示输入是1时的状态转移，支路上标注的码元为输出比特。
2 、(2.1.2)卷积码编码器的编程实现与仿真波形由以上分析可以发现，(2.1.2)编码器由两个模二加法器组成，分别生成、。
而此时输出的是并行数据，须经过并串转换才能输出，在用VHDL编程时，用LOAD和CLK来控制信息的输入与卷积码的产生，当LOAD为底电平时，在每个CLK的上升沿输入一位信息，并进行异或运算;当LOAD为高电平时，在CLK 的上升沿时刻，把生成的卷积码经过并串转换之后输出。
经过编译调试之后，仿真波形如图3：图中，D-IN为输入的信息位，D-OUT为输出的串行卷积码，Q为移位寄存器的内容。
卷积码
卷积码的编码器可以看作是一个由k个输入端和 卷积码的编码器可以看作是一个由 个输入端和n 个输入端和 个输出端组成的时序网络。 个输出端组成的时序网络。
设第i时刻输入编码器的 个信息为 设第 时刻输入编码器的k个信息为： 时刻输入编码器的 个信息为： mi＝（ i(1)，mi(2)，‥，mi(k)） ＝（m 相应输出是由n 个码元组成的子码： 相应输出是由 0个码元组成的子码： ci＝（ i(1)，ci(2)，‥，ci(n)） ＝（c
00/0 11/1 11/0 10/0 00/1 01/1
00/0 11/1 11/0 10/0 00/1 01/1
00/0 11/1 11/0 10/0 00/1 01/1
00/0 11/1 11/0 10/0 00/1 01/1
00/0 11/1 11/0
00/1
01/0 10/1
01/0 10/1
pi2 pi1 mi (3,1,2) 卷积编码器
子生成元
g
1,1
= (100 ) g
1, 2
= (110 )
g
1,3
= (101)
生成多项式矩阵 生成多项式
G (D ) = 1 1 + D 1 + D
(
2
)
G(D) k0 × n0 描述的卷积码码字中，每一段子码的 描述的卷积码码字中， n0个码元与 0个信息位之间的关系 个码元与k
pi2 pi1 mi
描述卷积码的参数
pi2 pi1 mi (n0, k0, m) (3,1,2) mipi1pi2称为卷积码的一个子码， 称为卷积码的一个子码 子码， mi(或pi1或pi2)为卷积码的一个码元，子码中的一个比特称为一个码元 为卷积码的一个码元 或 为卷积码的一个码元，
卷积码编译码原理课件
Viterbi算法具有较低的复杂度，适用于高速实时解码，且在信噪比较低的情况 下仍能保持较好的解码性能。
状态估计和路径选择
1 2 3
状态估计 在解码过程中，需要对每个状态进行估计，以确 定每个状态的转移概率和输出码字。
路径选择 在搜索所有可能的路径时，需要选择最可能的路 径作为解码结果，这涉及到路径选择和剪枝策略。
提高信号的纠错能力，保证数据的完整接收。
低误码率要求
02
在深空探测任务中，对数据的准确性和可靠性要求极高，卷积
码能够提供低误码率的保证。
自适应性能
03
卷积码可以根据信道状态自适应地调整编码参数，以适应不同
的传输环境。
在其他领域的应用
01
02
03
广播和多播通信
卷积码可以用于广播和多 播通信中，提高信号的覆 盖范围和接收质量。
04
仿真结果和分析
01
通过仿真实验，可以模拟卷积码 在实际通信系统中的性能表现。
03
仿真结果可以为实际应用提供参 考和指导，帮助选择合适的卷积
码参数和配置。
02
通过对比不同参数和配置下的仿 真结果，可以深入分析卷积码的
性能特点。
04
仿真结果还可以用于评估不同编 译码算法的性能优劣，为算法优
化提供依据。
性能优化 为了提高解码性能，可以采用一些优化措施，如 分支定界、路径剪枝和记忆算法等。
04 卷积码性能分析
误码率性能
误码率性能是衡量卷积码性能 的重要指标之一，它表示在传
输过程中发生错误的概率。
卷积码通过增加冗余位来纠正 错误，从而提高传输的可靠性。
随着信噪比的提高，卷积码的 误码率性能逐渐改善。
卷积码的基本原理
卷积码的基本原理卷积码的基本原理1. 引言•卷积码是一种常用于通信系统中的纠错编码技术。
•它通过引入冗余信息，可以在信道传输过程中检测出并纠正部分错误。
2. 卷积码的定义•卷积码是一种线性的、时间变化的编码方式。
•它可以将输入比特序列转换为输出比特序列，并满足一定的性质。
3. 编码过程•卷积码的编码过程可以用一个状态图表示。
•输入比特依次通过编码器的不同路径，生成输出比特序列。
4. 编码器结构•卷积码的编码器由若干个寄存器和逻辑门组成。
•每个寄存器存储一个状态，逻辑门用于生成输出比特。
5. 纠错能力•卷积码的纠错能力通过其约束长度和码距来衡量。
•约束长度表示编码器中寄存器的数量。
•码距表示卷积码能够检测和纠正的最大错误比特数量。
6. Viterbi解码算法•Viterbi解码算法是一种常用于卷积码解码的算法。
•它通过动态规划的方式寻找最可能的输入比特序列。
7. 进一步研究•卷积码是一个广泛研究的领域，有很多相关的扩展和改进算法。
•感兴趣的读者可以深入研究卷积码的不同应用和改进算法。
以上是针对“卷积码的基本原理”的简要介绍和解释。
卷积码作为一种常用的纠错编码技术，可以在信道传输过程中提高系统的可靠性。
同时，关于卷积码的编码结构、纠错能力和解码算法等方面也有很多相关的研究和应用。
对卷积码感兴趣的读者可以继续深入学习和了解。
8. 卷积码的应用•卷积码在通信领域中有着广泛的应用。
•它可以用于数字电视的信号传输，提高传输质量和可靠性。
•在无线通信系统中，卷积码可以提高信号的抗干扰能力。
•在存储系统中，卷积码也可以用于数据的纠错和恢复。
9. 卷积码的性质•卷积码具有良好的线性性质。
•通过矩阵表示可以更形象地描述卷积码的性质和特点。
•矩阵形式的表示方便进行编码和解码运算。
10. 卷积码的误码性能•误码性能是衡量卷积码性能的重要指标之一。
•通过误码率曲线可以评估卷积码在不同信噪比条件下的性能。
•在设计卷积码时，可以根据需要选择适当的编码率和约束长度，以达到所需的误码性能。
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1
第十章 卷积码
内容提要: 差错控制系统中使用的纠错码，除前面已
学过的分组码之外，还广泛使用着卷积码。本 章首先介绍卷积码的基本概念，重点论述卷积 码的定义及其矩阵描述。在此基础上，介绍一 种目前被广泛应用的概率译码算法：维特比（ Viterbi）译码算法。
2
本章重点： 1.卷积码的基本概念； 2.维特比译码算法。
8
10.1.2 卷积码的矩阵描述
描述卷积码的方法很多，如矩阵方法、多项式方 法、状态图和网格图方法等。本节仅介绍矩阵方 法。
以图10.1给出的（3，1，2）卷积码编码器为例进行分析。设输
入的信息序列（m0，m1，m2，…，mi，…）是一个有头无尾的序列， 当编码器清零后开始工作时，输出得到的子码如下：
??0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1
0
0
0
?
? ?
?0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 ? ?
c ? ?m0 m1 m2 m3 m4 ? ????
111
0
1
0
?
? ?
?
0 0 0 1 1 1 ??
?
?
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0 0 0 0 0 0 ??
即 c＝mG?
??
? ? ? ? ??
G?
?
? g?
? ?
Dg?
?D ? ?
2 g? ?
? ? ?? ? ? ?
?g0
? ?
0
?0
? ?
?
g1 g0 0
?
g2 g1 g0 ?
0
g2 g1 ?
0 0 g2 ?
??
?
? ?
??
?
?
上式中D是延时算子，表示一个时钟周期的延迟。
12
把以上对（3，1，2）卷积码的矩阵描述推广到一般。 对于任意一个（n，k，m）卷积码，其生成矩阵G? 是一个 半无限矩阵：
g? 称作基本生成矩阵 。
（２）基本生成矩阵g? 只有前（等于该卷积码的编码约束 度N＝m＋1＝3）数字有意义，以后各组数字全部为零。分
别用g 0，g 1，g 2表示各组，即g 0＝[ 111 ]， g 1＝[ 010 ]，
g 2＝[ 001 ]，g 0，g 1，g表为
? g? ? ?g0 g1 g2 ? gm 0 0 ? ?
……
9
令输出的码序列c＝[m0 p0,1 p0,2 m1 p1,1 p1,2 m2 p2,1 p2,2 m3 p3,1 p3,2 m4 p4,1 p4,2 …] 表示成矩阵形式：
?m 0
? ?1 0 0
?
? ?
m
0
? ?
??1
0
0
? ?
? ?
m
0
?
m1
? ?1 0 0
?
? ?
??0
1
0
? ?
? ?
图10.1 （3，1，2）卷积码编码器
6
在编码器输出端，由旋转开关实现并／串转换显然，cj中 的校验元pj，1和pj，2不仅与mj有关，同时还与mj－1和mj－2有 关，即与此前m＝2个子码中的信息元有关。称m为编码存 贮，表示信息组在编码器中的存贮周期（时钟周期）。
编码器输出的每个子码， 信息位数k＝1，码长n ＝3，码率k／n＝1／3， 编码存贮m＝2，表示为 （3，1，2）卷积码。
信息元mj把cj，cj＋1和cj＋2 三个子码联系在一起，这 三个子码之间存在相关性。 用编码约束度N表示子码 之间的约束关系，显然N
＝m＋1。
7
综上所述，一个（n，k，m）卷积码具有以下重要参数：
码长n，子码的信息元个数k，校验元个数n－k； 码率k／n，表示卷积码传输信息的有效性；
编码存贮m，表示信息组在编码器中的存贮周期； 编码约束度N，表示子码之间的约束程度。 编码约束长度NA＝nN，表示相互约束的码元个数。
m
0
?
m1
? ?1 1 0
?
??
?
?
m1
? ?
m2
? ?0 1 0
? ?
??0
0
1
? ?m 0 ?
? ?
? ?
m1
? ?
cT
?
?
? ?
m
0
m1 ? m 2 ? m2
? ?
?
?
?0 ??1
1 0
1 1
? ? ?
????mm
2 3
? ? ?
? ? ?
m3 m2 ? m3
? ? ?
?0 ??0
0 0
0 1
G? 被称作（3，1，2）卷积码的生成矩阵 ：
?111 010 001 000 000 ? ?
? ?
111
010
001
000
?
? ?
? G? ? ?
?
111 010 001 ? ?
111
010
?
? ?
?
111 ? ?
? ?
?
?
? ?
11
仔细观察（3，1，2）卷积码的生成矩阵G? 可发现：
（１）G? 中的每一行都是前一行右移右移3位的结果， 可以由矩阵的第一行完全确定。将第一行取出并表为 g? ＝[ 111 010 001 000 000 … ]
c0＝（m0，p0，1，p0，2） c 1＝（m1，p1，1，p1，2） c 2＝（m2，p2，1，p2，2） c 3＝（m3，p3，1，p3，2） c 4＝（m4，p4，1，p4，2）
其中 p0，1＝m0， p0，2＝m0 其中 p1，1＝m1＋m0， p1，2＝m1 其中 p2，1＝m2＋m1， p2，2＝m2＋m0 其中 p3，1＝m3＋m2， p3，2＝m3＋m1 其中 p4，1＝m4＋m3， p4，2＝m4＋m2
卷积码在编码不仅与本子码的 k个信息 元有关，而且还与此前 m个子码中的信息 元有关，因此卷积码的编码器需要有存储 m组信息元的记忆部件。
5
图10.1给出了一个二进制卷积码的编码器例子。 当输入信息元为mj时， D0、D1中分别存放着此前输 入的mj－1和mj－2， 经运算可得到两个校验元pj，1和pj， 2，即 pj，1＝mj＋mj－1 pj，2＝mj＋mj－2
3
10.1 卷积码的基本概念
卷积码是纠错码中的又一大类。由于分组码码字 中的n－k个校验元仅与本码字的 k个信息元有关，与 其它码字无关，因此分组码的编译码是对各个码字 孤立地进行的。从信息论的观点看，这种做法必然 会损失一部份相关信息，而卷积码的出现使人们有 可能利用这部份相关信息。
4
10.1.1 卷积码概述
1 1
0 0
0?
0
? ?
?m ?
4
? ?
???
? ?
m1
? m3
? ?0 1 0 1 0 0 ?
??
?
?
m4 ? ?0 0 0 0 1 0 ?
? ?
m3
?
m
4
? ?
??0
00
1
1
0
? ?
?
m2
? m4 ? ?0 0 1 0 1 0 ?
??
?
?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 10
?1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ? ?