2020.5丰台高三数学一模试题
（i）若数列 B 中存在相邻两项为 1，求证：数列 B 中的每一项均为 1； （ⅱ）求数列 C 所有项的和.
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是
．（填上你认为正确的一组序号）
14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换. 如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”
是一种“回归”变换. 有下列 3 种变换：
① 对 A R ，变换：求集合 A 的补集；
1，ak 1 0，ak 1
ak 1，(k ak 1
1,2,K
,n) ，规定 a0 an ,an1 a1 .
（Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：
1 1，2，3，4，5； 2 1，−1，1，−1，1.
（Ⅱ）已知数列 B 的“伴生数列” C ： c1,c2,L ,ck ,L ,cn ，且满足 bk ck 1(k 1,2,K ,n) .
丰台区 2019—2020 学年度第二学期综合练习（一）
高三数学
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分． 1．若集合 A {x Z | 1 x 2}， B {x x2 2x 0} ，则 A B
（A） {0}
（B） {0，1}
（C） {0，1，2}
2． 已知向量 a (x,2),b (2,1) ，满足 a‖ b ，则 x
N：ax22
y2 b2
1(a
b 0) 经过
A
,C
两点，且点 B 是椭圆 N 的一个焦点，则 a
.
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三、解答题共 6 小题，共 85 分． 16.（本小题共 14 分）
在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .已知 c 4 ， A π . 3
列； （Ⅲ）已知 A 社区心理咨询满意率为 0.85，B 社区心理咨询满意率为 0.95，C 社区心理咨询满意率为 0.9，
“ A 1 , B 1 , C 1 ”分别表示 A，B，C 社区的人们对心理咨询满意，“ A 0 , B 0 , C 0 ”
分别表示 A，B，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差 D( A ) ， D(B ) ， D(C ) 的大小关系.
值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与 A，B，C 三个社区
的志愿者服务情况如下表：
社区
A B C
社区服务总 人数 100 120 150
现场值班值守 30 40 50
服务类型
社区消毒 远程教育宣传
30
20
35
20
40
30
心理咨询 20 25 30
（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取 1 人，求此人来自于 A 社区，并且参与社区消毒工作的概率； （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取 1 人调查情况，以 X 表示负责现场值班值守的人数，求 X 的分布
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20.（本小题共 14 分）
已知椭圆 C：ay22
x2 b2
1(a
b 0) 的离心率为
2 2
，点
P(1,0)
在椭圆 C
上，直线
y
y0
与椭圆 C
交于不
同的两点 A,B .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）直线 PA ，PB 分别交 y 轴于 M ,N 两点，问：x 轴上是否存在点 Q ，使得 OQN OQM ？ 2
10.
已知函数
f
(
x)
ex 1,x k x, x
0, 0.
若存在非零实数 x0 ，使得
f (x0 )
f (x0 ) 成立，则实数 k 的取值范围是
（A） (,1)
（B） (,1]
（C） (1,0)
（D） [1,0)
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11. 设数列an 的前 n 项和为 Sn ， an 2n 1 ，则 S5
若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
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21.（本小题共 14 分）
已知有穷数列 A ：a1,a2,L ,ak ,L ,an (n N* 且 n 3) .定义数列 A 的“伴生数列”B ：b1,b2,L ,bk ,L ,bn ，
其中
bk
② 对任意 z C ，变换：求 z 的共轭复数；
③ 对任意 x R ，变换： x kx b （ k，b 均为非零实数）.其中是“回归”变换的是
.
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分.
15． 已知双曲线 M：x2 y2 1 的渐近线是边长为 1 的菱形 OABC 的边 O A ,O C 所在直线．若椭圆 3
9. 将函数 f (x) sinx( 0) 的图象向左平移 π 个单位长度后得到函数 g(x) 的图象，且 g(0) 1，下列说 2
法错．误．的是
（A） g(x) 为偶函数
（B） g( π) 0 2
（C）当 5 时， g(x) 在[0,π ] 上有 3 个零点 2
（D）若 g(x) 在[0,π ] 上单调递减，则 的最大值为 9 5
2 （Ⅰ）求证： CD‖平面 ABM ； （Ⅱ）求证： AC 平面 BCM ； （Ⅲ）在棱 AM 上是否存在一点 E ，使得二面角 E BC M 的大小为 π ？
4 若存在，求出 AE 的值；若不存在，请说明理由．
AM
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18.（本小题共 14 分） 在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场
2020.05 （D） {1，0，1，2}
（A）1
（B） 1
3． 若复数 z 满足 z i ，则 z 对应的点位于 1 i
（A）第一象限
（B）第二象限
（C） 4 （C）第三象限
（D） 4 （D）第四象限
4． 圆 (x 1)2 y2 2 的圆心到直线 x y 1 0 的距离为
（A） 2
（B） 2
（A）1 个 （C）3 个
（B）2 个 （D）4 个
8. 过抛物线 C：y2 2 px( p 0) 的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线与抛物线 C 交于两个不同的点 A， B
（点 A 在 x 轴上方），则 AF 的值为 BF
（A） 1 3
（B） 4 3
（C） 3
（D） 3
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（只需写出结论）
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19.（本小题共 15 分） 已知函数 f (x) (x a) ln x x 1 .
（Ⅰ）若曲线 y f (x) 在点 (e,f (e)) 处的切线斜率为 1，求实数 a 的值； （Ⅱ）当 a 0 时，求证： f (x) 0 ； （Ⅲ）若函数 f (x) 在区间 (1,) 上存在极值点，求实数 a 的取值范围.
．
12.
若 x 1，则函数 f (x) x 1 的最小值为 x 1
，此时 x
．
13. 已知平面 和三条不同的直线 m，n，l .给出下列六个论断：① m ；② m‖ ；③ m‖l ；
④ n ； ⑤ n‖ ； ⑥ n‖l . 以 其 中 两 个 论 断 作 为 条 件 ， 使 得 m‖ n 成 立 . 这 两 个 论 断 可 以
（Ⅰ）当 b 2 时，求 a ； （Ⅱ）求 sin B 3 cos C 的取值范围.
17.（本小题共 14 分）
如 图 ， 在 四 棱 锥 M ABCD 中， AB‖CD ， ADC BM C 90 ， M B M C ， AD DC 1 AB 2 ，平面 BCM 平面 ABCD .
5．
已知
a
1
23
，
b
1
32
，
c
log3
1 2
，则
（A） a b c
（B） a c b
6． “ a 1 ”是“ 1 1”成立的 a
（A）充分而不必要条件
（C）充分必要条件
（C）1
2 （D）
2
（C） b必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于 3 的有
北京市丰台区高三一模数学（文）试卷及答案
ABC D O EA 1B 1C 1D 1开始 输入a S =0，n =1 n = n +1 S = S +a n n ≤ 否是丰台区高三年级第二学期统一练习（一）数 学（文科）.3一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合U =R ，2{560}A x x x =-+≥，那么UA =(A) {2x x <或3}x > (B) {23}x x << (C) {2x x ≤或3}x ≥(D) {23}x x ≤≤2．“a =2”是“直线ax +2y =0与直线x +y +1=0平行”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件3．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，||4=a ，||3=b ，则||+a b 等于(A) 3737(C) 13134．记集合22{(,)4}A x y x y =+≤和集合{(,)|20,0,0}B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2内的概率为 (A)21π(B)1π(C)41 (D)π-24π5．如图所示，O 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1对角线A 1C 与AC 1的交点，E 为棱BB 1的中点，则空间四边形OEC 1D 1在正方体各面上的正投影不可能．．．是6．程序框图如图所示，若输入a 的值是虚数单位i ，则输出的结果是(A) -1 (B) i -1 (C) 0(D) - i7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：① 若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥； ② 若α//β，m α⊂，则m //β；(A) (B) (C) (D)③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥； ④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中正确命题的序号是 (A) ①③ (B) ①②(C) ③④ (D) ②③8．若函数()f x 满足条件：当12, [1,1]x x ∈-时，有1212|()()|3||f x f x x x -≤-成立，则称()f x ∈Ω．对于函数3()g x x =，1()2h x x =+，有 (A) ()g x ∈Ω且()h x ∉Ω (B) ()g x ∉Ω且()h x ∈Ω (C) ()g x ∈Ω且()h x ∈Ω (D) ()g x ∉Ω且()h x ∉Ω二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知抛物线24y x =上一点P (3，y )，则点P 到抛物线焦点的距离为 ． 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 2=1，S 5=10，则S 7= ．11．已知函数1,0,()(2),<0.x e x f x f x x ⎧-≥=⎨+⎩ 则(1)f -= ．12．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点 A ，点A 的纵坐标为45，则cos α= ． 13．某路段检查站监控录像显示，在某段时间内有2000辆车通过该站，现随机抽取其中的200辆进行车速分析，分析结果表示为如图所示的频率分布直方图．则图中a = ，估计在这段时间内通过该站的汽车中速度不小于90km/h 的约有 辆． 14．用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.8]=1．对于下面关于函数2()([])f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =的定义域为R ，值域为[0,1]； ②函数()y f x =的图象关于y 轴对称； ③函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1； ④函数()y f x =在(0,1)上是增函数．其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）AαxyO三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，求)(B f 的最大值．16．（本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，BC =12AD ，PA =PD ，Q 为AD 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBQ ；（Ⅱ）若点M 在棱PC 上，设PM =tMC ，试确定t 的值，使得PA //平面BMQ ．17．（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且312n n S a =-*()n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式．PABCD QM18．（本小题共14分）已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点3(1,)2． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)直线2y kx =-与椭圆E 相交于A ，B 两点，在OA 上存在一点M ，OB 上存在一点N ，使得12MN AB =，若原点O 在以MN 为直径的圆上，求直线斜率k 的值．19．（本小题共14分）已知函数32()4f x x ax bx =+++在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）当0x ≥时，曲线()y f x =总在直线24y a x =-上方，求a 的取值范围．20．（本小题共13分）已知123{(,,,,)n n S A A a a a a ==，0i a =或1，1,2,,}i n =(2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）如果(0,0,0,0)U =，存在m 个4V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值； （Ⅱ）如果0(0,0,0,,0)n W =个，,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区高三年级第二学期统一练习（一）数 学（文科）参考答案.3题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B C B A A A DC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．4 10．21 11．e -112．35- 13．0.02，600 14． ③④（写对一个给2分，多写不给分）注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，求)(B f 的最大值．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分∵ 0<A <π （或写成A 是三角形内角） ……………………4分∴3A π=． ……………………5分 （Ⅱ）2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=311cos 22x x =++ ……………………7分 1sin()62x π=++， ……………………9分∵3A π= ∴2(0,)3B π∈ ∴5666B πππ<+< （没讨论，扣1分）…………………10分∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． ……………………13分16．（本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，BC =12AD ，PA =PD ，Q 为AD 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBQ ；（Ⅱ）若点M 在棱PC 上，设PM =tMC ，试确定t 的值，使得PA //平面BMQ ． 证明：（Ⅰ）AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形， ……………………2分 ∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC =90° ，∴∠AQB =90° ， 即QB ⊥AD ． ……………………3分 ∵ PA =PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ． ……………………4分 ∵ PQ ∩BQ =Q ， ……………………5分∴AD ⊥平面PBQ ． ……………………6分（Ⅱ）当1t =时，PA //平面BMQ ． （没写结论扣2分） ……………………8分连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ． ∵BC //12DQ ， ∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， ……………………9分 ∵点M 是线段PC 的中点，∴ MN // PA ． ……………………10分∵ MN ⊂平面BMQ ，PA ⊄平面BMQ ， ……………………11分 ∴ PA // 平面BMQ ． ……………………13分17．（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且312n n S a =-*()n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式． 解：（I ）当n =1时，11312a a =-， ∴ a 1=2． ……………………2分 ABC DQMN当2n ≥时， ∵312n n S a =- ① 1131(2)2n n S a n --=-≥ ② ①-②得：133(1)(1)22n n n a a a -=---，即13n n a a -=， (3)分∴ 数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列． ……………………4分∴123n n a -=⋅． ……………………6分（II ）∵1n n n b b a +=+，∴当2n ≥时，2123n n n b b --=+⋅……13223b b =+⋅02123b b =+⋅ ……………………8分相加得12111132(333)53413n n n n b b ----=+⋅+++=+=+-． ……………………11分（相加1分，求和1分，结果1分） 当n =1时，111345b -+==， ……………………12分∴ 134n n b -=+． ……………………13分18．（本小题共14分）已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点3(1,)2． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)直线2y kx =-与椭圆E 相交于A ，B 两点，在OA 上存在一点M ，OB 上存在一点N ，使得12MN AB =，若原点O 在以MN 为直径的圆上，求直线斜率k 的值．解：(Ⅰ)依题意，可设椭圆E的方程为22221(0)x y a b a b +=>>． ……………………1分 ∵12c a =， ∴2a c=，22223b a c c =-=． ……………………3分∵ 椭圆经过点3(1,)2， ∴椭圆的方程为22143x y +=． ……………………5分 (Ⅱ) 记,A B 两点坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y ，得22(43)1640k x kx +-+=． ……………………7分∵ 直线与椭圆有两个交点， ∴ 24(16)16(43)0k k ∆=-+>， ∴214k >． ……………………9分由韦达定理 1221643k x x k +=+，122443x x k =+． ∵ 原点O 在以MN 为直径的圆上， ∴ OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=． ∵ 12MN AB =，M 在OA 上，N 在OB 上 ∴0OA OB ⋅=， ……………………10分又11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，∴ OA OB ⋅=12121212(2)(2)x x y y x x kx kx +=+--21212(1)2(+)+4k x x k x x =+-222416(1)2+4=04343kk k k k =+-++．∴241=32k >， ……………………13分∴23=k ……………………14分19．（本小题共14分）已知函数32()4f x x ax bx =+++在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）当0x ≥时，曲线()y f x =总在直线24y a x =-上方，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）∵32()4f x x ax bx =+++，∴2'()32f x x ax b =++． (2)分∵()f x 在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数， ∴当x =时，()f x 有极大值，即'(0)0f =， ……………………4分∴0b =． ……………………6分 （Ⅱ）2'()32(32)f x x ax x x a =+=+，∵ ()f x 在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数， ∴213a -≥，即32a ≤-． ……………………8分∵曲线()y f x =在直线24y a x =-的上方，设322()(4)(4)g x x ax a x =++--， (9)分∴在[0,)x ∈+∞时，()0g x ≥恒成立． ∵ 22'()32(3)()g x x ax a x a x a =+-=-+， 令'()0g x =，两个根为a-，3a ，且03aa <<-， ……………………10分 x (0,)a - a -(,)a -+∞ '()g x － 0 ＋()g x 极小值∴当x a=-时，()g x 有最小值()g a -． ……………………12分令333()(4)(4)0g a a a a -=-++--->， ∴38a >-，由32a ≤-， ∴ 322a -<≤-. ……………………14分 另解：32()4f x x ax =++，2'()32(32)f x x ax x x a =+=+当a =0时，3()4f x x =+，2'()30f x x =≥，函数()f x 在定义域上为增函数，与已知矛盾，舍；……………………7分当a >0时，由（Ⅰ）知，'()(32)f x x x a =+， 函数()f x 在2(,)3a -∞-上为增函数，在2(,0)3a-上为减函数，与已知矛盾，舍； ……………………8分当a <0时，'()(32)f x x x a =+，由已知可得213a<-，∴32a ≤- ……………………9分设322()(4)(4)g x x ax a x =++--， ……………………10分∴ 22'()32(3)()g x x ax a x a x a =+-=-+。
2020年北京丰台区高三一模数学试卷
2020年北京丰台区高三一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.若集合，，（ ）．A. B. C. D.2.已知向量，，满足，则（ ）．A. B. C. D.3.若复数满足，则对应的点位于（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.圆的圆心到直线的距离为（ ）．A.B.C.D.5.已知，，，则（ ）．A.B.C.D.6.“”是“”成立的（ ）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于的有（ ）．左视图主视图俯视图A.个B.个C.个D.个8.过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于两个不同的点，（点在轴上方），则的值为（ ）．A.B.C.D.9.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（ ）．A.为偶函数B.C.当时，在上有个零点D.若在上单调递减，则的最大值为10.已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ）．A.B. C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.设数列的前项和为，，则．12.若，则函数的最小值为 ，此时 ．13.已知平面和三条不同的直线，，．给出下列六个论断：①；②；③；④；⑤；⑥．以其中两个论断作为条件，使得成立．这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14.如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换．如：对任意一个实数，变换：取其相反数．因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换．有下列种变换：①对，变换：求集合的补集；②对任意，变换：求的共轭复数；③对任意，变换： （，均为非零实数）．其中是“回归”变换的是 ．15.已知双曲线的渐近线是边长为的菱形的边，所在直线．若椭圆经过，两点，且点是椭圆的一个焦点，则．三、解答题（本大题共6小题，共85分）（1）（2）16.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．当时，求．求的取值范围．17.（1）（2）（3）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面．求证：平面．求证：平面．在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）（2）（3）18.在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动．各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）．参与，，三个社区的志愿者服务情况如下表：社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传心理咨询从上表三个社区的志愿者中任取人，求此人来自于社区，并且参与社区消毒工作的概率．从上表三个社区的志愿者中各任取人调查情况，以表示负责现场值班值守的人数，求的分布列．已知社区心理咨询满意率为，社区心理咨询满意率为，社区心理咨询满意率为，“，，”分别表示，，社区的人们对心理咨询满意，“，，”分别表示，，社区的人们对心理咨询不满意，写出方差，，的大小关系．（只需写出结论）（1）（2）（3）19.已知函数．若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值．当时，求证：．若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围．【答案】解析:集合，集合，∴．故答案选．解析:∵向量，，，∴，解得，故正确．（1）（2）20.已知椭圆离心率为，点在椭圆上，直线与椭圆交于不同的两点，．求椭圆的方程．直线、分别交轴于，两点，问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．12（1）12（2）21.已知有穷数列，，，， ．定义数列的“伴生数列”，，，，， ，其中，，规定，．写出下列数列的“伴生数列”．，，，，．，，，，．已知数列的“伴生数列”，，，， ，，且满足．若数列中存在相邻两项为，求证：数列中的每一项均为．求数列所有项的和．C1.D2.解析:若复数满足，则，其对应的点为，位于第二象限．故选．解析:由题可知：圆心坐标为，圆心到直线的距离．故选．解析:∵，∴，又，且，∴．故选．解析:∵或，∴或，或，所以是成立的充分而不必要条件，故选．解析:B 3.B 4.C 5.A 6.C 7.由三视图还原几何体如上图．，，平面，，，，故三棱锥的四个面中，面积等于的有个，故选．解析:∵抛物线，∴它的焦点坐标为，∵直线倾斜角为，∴直线的方程为：，即，设直线与抛物线的交点为、，∴，，联立方程组，消去并整理，得，解得，，∴，，∴，的值为，故选：．D 8.D 9.A10.解析:由题意存在非零实数，使得成立，即有解，即有解，设，，①若，则在上恒成立，∴在单调递增，∴，此时不成立，②若，令，，∴在上单调递减，在上单调递增，，，∴使得，故成立，故选．解析:∴数列的前项和为，，，，∴， ，．解析:若，则，，11. ;12.当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，此时．解析:由直线和平面垂直的性质定理可知，若，，则，所以由①④作为条件推出；由平行的传递性可知，若，，则，所以由③⑥作为条件可推出．故答案为①④或③⑥．解析:①由于，所以变换“求集合的补集”是“回归”变换；②由，得，的共轭复数仍是，则变换“求的共轭复数”是一种“回归”变换；③变换连续两次变换后的结果为，则变换不是一种“回归”变换；综上，故答案为：①②．解析:双曲线的渐近线方程为，xyO则，菱形中，边长为，，则，即，焦点为，，又易知，则①④ 或 ③⑥13.①②14.15.（1）（2）（1）（2）．故答案为：．解析:由余弦定理，得，所以．由可知，，即，，因为，所以，故，因此，于是．解析:因为，平面，平面，所以平面．取的中点，连接，（1）．（2）．16.（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）存在；．17.（3）在直角梯形中，易知，且，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理逆定理可知，又因为平面平面，且平面平面，所以平面．取的中点，连接，，所以，因为平面，所以平面.因为，所以．如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，易知平面的一个法向量为，假设在棱上存在一点，使得二面角的大小为，不妨设，所以，设为平面的一个法向量，（1）（2）则 即，令，，所以，从而，解得或，因为，所以，由题知二面角为锐二面角，所以在棱上存在一点，使得二面角的大小为，此时．解析:记“从上表三个社区的志愿者中任取人，此人来自于社区，并且参与社区消毒工作”为事件，，所以从上表三个社区的志愿者中任取人，此人来自于社区，并且参与社区消毒工作的概率为．从上表三个社区的志愿者中各任取人，由表可知：，，三个社区负责现场值班值守的概率分别为，，，的所有可能取值为，，，，，，，，的分布列为：（1）．（2）（3）．18.（3）（1）（2）（3）．解析:因为，所以，由题知，解得．当时，，所以，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以是在区间上的最小值，所以．由（）知，，若，则当时，，在区间上单调递增，此时无极值．若，令，则，因为当时，，所以在上单调递增，因为，而，所以存在，使得，和的情况如下：极小值（1）．（2）证明见解析．（3）．19.（1）（2）因此，当时，有极小值，综上，的取值范围是．解析:由题意，解得，，所以椭圆的方程为．假设存在点使得，设，因为，所以，则，即，所以，因为直线交椭圆于，两点，则，两点关于轴对称，设，，因为，则直线的方程为，令，得，直线的方程为，令，得，因为，所以，又因为点在椭圆上，所以，所以，即，所以存在点使得成立．（1）椭圆的方程为．（2）存在，点．20.12（1）12（2）解析:，，，，．，，，，．由题意，存在，使得．若，即时，，于是，．所以，所以，即，依次类推可得，所以．若，由得，于是，所以，依次类推可得，所以．综上可知，数列中的每一项均为．首先证明不可能存在使得，若存在使得，则，又得与已知矛盾，所以不可能存在，，由此及（）得数列的前三项，，的可能情况如下：（）时，由（）可得，于是，所以所有项的和．（），，时，，此时与已知矛盾．（） ，，时，，，．于是，，12（1），，，，．，，，，．12（2）证明见解析．或（是的倍数）．21.故，，，于是，，，于是，，，且，，，依次类推且恰是的倍数满足题意，所以所有项的和，同理可得，，及，，时，当且仅当恰是的倍数时，满足题意．此时所有项的和．综上，所有项的和或（是的倍数）．。
丰台区2020届高三数学一模试题及答案(word版)
丰台区2019—2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则A B =U（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，， （D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ， （点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个俯视图左视图（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=o，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率； （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25C 15050403030“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：的离心率为2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分） 已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,L L 且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,L L ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,K ，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,L L ，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,K . （i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C 所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2019~2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 15.2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+1sin 22C C =πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此πsin()(322C -∈-,.于是sin ()22B C ∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意222211.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-.所以220202(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分 21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1.…………4分 （Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==.于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===.依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L .所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==.依次类推可得121b b ==.所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1.…………8分 （ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===.若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===，则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K .由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下：(1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K .于是0k c =(12)k n =,,,K .所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =，此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,.故4531,0,0n c c b b ====于是1156010n b b c b -≠===,,，于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233n nS n =-= .同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时， 当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.…………14分 （若用其他方法解题，请酌情给分）。
2020年北京丰台高三一模数学试卷及答案
，此时 x
．
x 1
13. 已知平面 和三条不同的直线 m，n，l .给出下列六个论断：① m ；② m‖ ；③ m‖l ；
④ n ； ⑤ n‖ ； ⑥ n‖l . 以 其 中 两 个 论 断 作 为 条 件 ， 使 得 m‖ n 成 立 . 这 两 个 论 断 可 以
是
．（填上你认为正确的一组序号）
高三数学 参考答案及评分参考
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
B
C
A
C
D
2020．04
9
10
D
A
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11．25
12．3 ；2
13．①④（或③⑥）
14. ①②
3 +1
15. 2
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共 14 分）
（C） b a c
（D） b c a
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于 3 的有
（A）1 个 （C）3 个
（B）2 个 （D）4 个
8. 过抛物线 C：y2 2 px( p 0) 的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线与抛物线 C 交于两个不同的点 A， B AF
20.（本小题共 14 分）
已知椭圆 C：ay22
x2 b2
1(a
b
0) 的离心率为
2 2
，点
2020北京丰台高三一模数学试卷与答案
（B） {0，1}
（C） {0，1，2}
（D） {1，0，1，2}
2． 已知向量 a (x,2),b (2,1) ，满足 a‖ b ，则 x
（A）1
（B） 1
（C） 4
（D） 4
3．
若复数
z
满足
1
z
i
i ，则 z 对应的点位于
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
4． 圆 (x 1)2 y2 2 的圆心到直线 x y 1 0 的距离为
4 / 14
20.（本小题共 14 分）
已知椭圆 C：ay22
x2 b2
1(a
b
0) 的离心率为
2 2
，点
P(1,0)
在椭圆 C
上，直线
y
y0
与椭圆 C
交于不同
的两点 A,B .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）直线 PA ， PB 分别交 y 轴于 M ,N 两点，问： x 轴上是否存在点 Q ，使得 OQN OQM ？若
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于 3 的有
（A）1 个 （C）3 个
（B）2 个 （D）4 个
1 / 14
8. 过抛物线 C：y2 2 px( p 0) 的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线与抛物线
（A） 1 3
（B） 4 3
（C） 3
（D） 3
C 交于两个不同的点 A， B （点 A 在 x 轴上方），则 AF 的值为
X 的所有可能取值为 0，1，2，3.
P( X 0) 7 2 2 28 14 , P( X 1) 3 2 2 7 1 2 7 2 1 40 4 ,
丰台区高三数学一模答案
易知 AN BN CD 2 ，且 CN AB .
在 Rt △ CNB 中，由勾股定理得 BC 2 . 在△ ACB 中，由勾股定理逆定理可知 AC BC . 又因为平面 BCM 平面 ABCD ， 且平面 BCM 平面 ABCD BC ， 所以 AC 平面 BCM . （Ⅲ）取 BC 的中点 O ，连接 OM ， ON . 所以 ON‖ AC ， 因为 AC 平面 BCM ， 所以 ON 平面 BCM . 因为 BM MC ， 所以 OM BC . 如图建立空间直角坐标系 O xyz ，
不妨设 AE AM (0 1) ，
所以 BE BA AE (2 2, 2,) ，
设 n (x,y,z) 为平面 BCE 的一个法向量，
…………3 分 …………7 分
丰台区高三数学综合练习（一）参考答案 2 / 7
则
n
BC
n BE
0, 0,
2 y 0, 即 (2 2)x
所以 f (1) 0 是 f (x) 在区间 (0,+) 上的最小值.
所以 f (x) 0 .
（Ⅲ）由（Ⅰ）知， f '(x) ln x a x ln x+a .
x
x
若 a 0 ，则当 x (1,+) 时， f '(x) 0 ， f (x) 在区间 (1,+) 上单调递增，
此时无极值. 若 a 0 ，令 g(x) f '(x) ，
为3. 37
…………4 分
（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取 1 人，由表可知：A，B，C 三个社区负责现场值班值守
的概率分别为 3 ，1 ，1 . 10 3 3
北京市各区2020年高考数学一模试题分类解析(3) 导数及其应用 文
三、导数及其应用（选修2-2）21．（2020高考模拟文科）（本小题满分12分） 若1212()x x x x ≠、是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点。
（Ⅰ）若121,13x x =-=，求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）若12x x +=，求b 的最大值。
21．解析：（Ⅰ）∵)0()(223>-+=a x a bx ax x f ，∴)0(23)(22>-+='a a bx ax x f依题意有13-和1是方程02322=-+a bx ax 的两根∴2233133b a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 解得11a b =⎧⎨=-⎩，∴()32f x x x x =--．（经检验，适合）……5分（Ⅱ）∵)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ,依题意，12,x x 是方程()0f x '=的两个根，∵0321<-=ax x且12x x +=， ∴()21212x x -=．∴()2222412,3933b ab a a a ⎛⎫-+=∴=- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．７分 ∵20b ≥∴09a <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８分设()()239p a aa =-，则()2549p a a a '=-．由()0p a '>得06a <<，由()0p a '<得6a >．即函数()p a 在区间(]0,6上是增函数，在区间[]6,9上是减函数，．．．．．．．．10分 ∴当6a =时，()p a 有极大值为324，∴()p a 在(]0,9上的最大值是324， ∴b 的最大值为18． ……………………………12分 18.（2020东城一模文科）（本小题共13分）已知1=x 是函数()(2)e xf x ax =-的一个极值点．(a ∈R ) （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当1x ，[]20,2x ∈时，证明：12()()e f x f x -≤．（Ⅰ）解：'()(2)e xf x ax a =+-， …………2分由已知得)1('=f ，解得1=a ． …………4分当1a =时，()(2)e xf x x =-，在1x =处取得极小值．所以1a =. …………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，()(2)e xf x x =-，'()(1)e xf x x =-.当[]1,0∈x 时，0)1()('≤-=xe x xf ，)(x f 在区间[]0,1单调递减；当(]1,2x ∈时，'()(1)0xf x x e =->，)(x f 在区间(]1,2单调递增. …………8分所以在区间[]0,2上，()f x 的最小值为(1)e f =-， 又(0)2f =-，(2)0f =， 所以在区间[]0,2上，()f x 的最大值为(2)0f =. …………12分对于[]12,0,2x x ∈，有12max min ()()()()f x f x f x f x -≤-． 所以12()()0(e)e f x f x -≤--=. …………13分18. （2020丰台一模文科）（本小题共13分）已知函数321()13f x x ax =-+ ()a R ∈． （Ⅰ）若曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行，求a 的值；（Ⅱ）若a >0，函数y =f (x )在区间(a ，a 2-3)上存在极值，求a 的取值范围； （Ⅲ）若a >2，求证：函数y =f (x )在(0，2)上恰有一个零点． 解：（Ⅰ）2()2f x x ax '=-， ……………………1分(1)12f a '=-， ……………………2分因为曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行所以121a -=-， ……………………3分所以1a =． ……………………4分（Ⅱ）令()0f x '=， ……………………5分即()(2)0f x x x a '=-=，所以x =或2x a =． ……………………6分因为a >0，所以0x =不在区间(a ，a 2-3)内，要使函数在区间(a ，a2-3)上存在极值，只需223a a a <<-． ……………………7分所以3a >． ……………………9分（Ⅲ）证明：令()0f x '=，所以 0x =或2x a =．因为a >2，所以2a >4， ……………………10分所以()0f x '<在(0，2)上恒成立，函数f (x )在(0，2)内单调递减． 又因为(0)10f =>，1112(2)03af -=<， ……………………11分 所以f (x )在(0，2)上恰有一个零点． ……………………13分 18．（2020石景山一模文科）（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =+.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2222'()2a x a f x x x x+=+= …………1分 由已知'(2)1f =，解得3a =-. …………3分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；……5分（2）当0a <时'()f x =当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；单调递增区间是)+∞. …………8分 （II ）由22()2ln g x x a x x =++得222'()2ag x x x x=-++，…………9分 由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，即22220ax x x -++≤在[1,2]上恒成立. 即21a x x≤-在[1,2]上恒成立. …………11分令21()h x x x =-，在[1,2]上2211'()2(2)0h x x x x x=--=-+<，所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7()(2)2h x h ==-,所以72a ≤-. …………14分18. （2020高考仿真文科）（本小题满分13分）设函数c x b ax x f +-=232)(，其图像过点（0,1）. （1）当方程01)('=+-x x f 的两个根分别为是21，1时,求f(x)的解析式；（2）当0,32≠=b a 时，求函数f(x)的极大值与极小值.解：由题意可知，f(0)=1所以c=1 ……………………………….1分 (Ⅰ)由,12)(23+-=x b ax x f 得bxax x f -=2'3)(.因为01)('=+-x x f ，即0132=+--x bx ax 的两个根分别为1,21所以⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+--⨯011301212413b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==232b a 故132)(23+-=x x x f ………… ……………………….6分 （Ⅱ）c x bx x f +-=23232)(所以，)2(22)(2'bx x bx x x f -=-=………………. ……………………….7分①若b>0，则当)0,(-∞∈x 时，0)('>x f 函数f(x)单调递增 当)2,0(b x ∈时，0)('<x f 函数f(x)单调递减 当),2(+∞∈b x 时，0)('>x f 函数f(x)单调递增 因此，f(x)的极大值为f （0）=c=1,f(x)的极小值为241)23b b f -=（ ……………………….10分②若b<0，则当)2,(b x -∞∈时，0)('>x f 函数f(x)单调递增 当)0,2(b x ∈时，0)('<x f 函数f(x)单调递减 当),0(+∞∈x 时，0)('>x f 函数f(x)单调递增因此，f(x)的极大值为241)23b b f -=（f(x)的极小值为f （0）=1.综上所述，当b>0时, f(x)的极大值为1, 极小值为2413b -,当b<0时, f(x)的极大值为2413b -, 极小值为 1. ……………………….13分18. （2020朝阳一模文科）（本题满分14分）已知函数()2()1e xf x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值； （Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间.解：（Ⅰ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅.x ∈R ……………………2分 依题意得(1)(31)e =0f a '=-⋅，解得13a =. 经检验符合题意. ………4分 （Ⅱ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅，设2()21g x ax ax =+-，（1）当0a =时，()e xf x =-，()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……5分（2）当0a <时，方程2()21g x ax ax =+-=0的判别式为244a a ∆=+，令0∆=, 解得0a =（舍去）或1a =-.1°当1a =-时，22()21(1)0g x x x x =---=-+≤， 即()2()21e 0x f x ax ax '=+-⋅≤，且()f x '在1x =-两侧同号，仅在1x =-时等于0，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………………7分 2°当10a -<<时，0∆<，则2()210g x ax ax =+-<恒成立，即()0f x '<恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………9分 3°1a <-时，2440a a ∆=+>，令()0g x =， 方程2210ax ax +-=有两个不相等的实数根11x a =-+，21x a =--，作差可知11-->-+则当1x <-+时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(,1-∞-上为单调减函数；当11x a a -+<<--时，()0g x >，()0f x '>，()f x 在(11-+-上为单调增函数；当1x >-时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(1)--+∞上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分 综上所述，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；当1a <-时，函数()f x 的单调减区间为(,1-∞-，(1)--+∞，函数()f x 的单调增区间为(11)a a-+--. …………………………14分 18. （2020东城示范校二模文）(本题满分13分) 已知函数32()231f x ax ax =-+，3()42a g x x =-+()a ∈R . (Ⅰ) 当1a =时, 求函数()y f x =的单调区间；(Ⅱ) 当0≤a 时，若任意给定的[]00,2x ∈,在[]0,2上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使 得0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围．解：（I ）2()666(1).f x x x x x '=-=-------------------------2分由()0,10f x x x '>><得或； 由()0,01f x x '<<<得；故函数)(x f 的单调递增区间是)(1,)0,(+∞-∞和；单调递减区间是（0，1）.-------------------------6分 （II ） ①当0a =时，23)(,1)(==x g x f ，显然不可能满足题意； -------------------------7分②当0a <时，)1(666)(2-=-='x ax ax ax x f .分又因为当30,()42a a g x x <=-+时在[0，2]上是增函数， 对任意]232,23[)(],2,0[+-∈∈a x g x ， -------------------------------11分由题意可得a a -<+-1232解得1-<a . 综上，a 的取值范围为)1,(--∞.------------------------13分18. （2020房山一模文科）（本小题共13分）设函数3221()23()3f x x ax a x a a R =-+-+∈. （Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意的∈x (3,)a a ，都有()1f x a <+，求a 的取值范围. 解：（I ）∵当1=a 时，13231)(23+-+-=x x x x f ，………………………1分 34)(2-+-='x x x f …………………………………2分当3=x 时，1)3(=f ，=')3(f 0 …………………………………3分 ∴曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线方程为01=-y ………………………4分（II ）22()4-3()(3)f x x ax a x a x a '=-+=--- ……………………………5分 0a =时，()0f x '≤，(,)-∞∞是函数的单调减区间；无极值；……………6分 0a >时，在区间(,),(3,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(,3)a a 上，()0f x '>， 因此(,),(3,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(,3)a a 是函数的单调增区间， 函数的极大值是(3)f a a =；函数的极小值是34()3f a a a =-；………………8分 0a <时，在区间(,3),(,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(3,)a a 上，()0f x '>，因此(,3),(,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(3,)a a 是函数的单调增区间函数的极大值是34()3f a a a =-，函数的极小值是(3)f a a = ………………10分 (III) 根据（II ）问的结论，(3,)x a a ∈时，34()()3f x f a a a <=-………………11分因此，不等式()1f x a <+在区间(3,)a a 上恒成立必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧<+≤-01343a a a a ，解之，得a ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭ ……………………13分 18． （2020海淀一模文科）（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R .（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞.2'()a x af x x x x-+=-=. ………………………………………2分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <.所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. (3)分当0a >时，令'()0f x =得x =x =.函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞.………………………………………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.当0a >时，① 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.② 1>，即1a >时，()f x 在上单调递增，所以 (1)f f >.又 (1)0f =，所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾. 综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0,1]-∞.………………………………………13分16. （2020门头沟一模文科）（本小题满分13分）已知函数1)(23-++=bx ax x x f 在1=x 处有极值1-．（I ）求实数b a ，的值；（II ）求函数x ax x g ln )(+=的单调区间． 解（I ）求导，得 b ax x x f ++='23)(2 ……2分 由题意⎩⎨⎧='-=0)1(1)1(f f ，解得12=-=b a ，……6分 （II ）函数x ax x g ln )(+=的定义域是}0|{>x x ，……9分xx g 12)(+-='……11分解012>+-x 且}0|{>x x ， 得210<<x ， 所以函数)(x g 在区间)21,0(上单调递增；……12分解012<+-x 得21>x ， 所以函数)(x g 在区间),21(+∞上单调递减。
2020年北京市丰台区高考数学一模试卷(二)(有答案解析)
2020年北京市丰台区高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数z=的共轭复数是（）A. B. C. 1+i D. 1-i2.已知集合A={-2，3，1}，集合B={3，m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（）A. {1}B. {}C. {1，-1}D. {}3.设命题p：∀x∈（0，+∞），ln x≤x-1，则￢p为（）A. ∀x∈（0，+∞），ln x＞x-1B. ∃x0∈（0，+∞），ln x0≤x0-1C. ∀x∉（0，+∞），ln x＞x-1D. ∃x0∈（0，+∞），ln x0＞x0-14.执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，输出的S=15，那么判断框内的条件可以为（）A. k＜6B. k≤6C. k＞6D. k＞75.下列函数中，同时满足：①图象关于y轴对称；②∀x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0的是（）A. f（x）=x-1B. f（x）=log2|x|C. f（x）=cos xD. f（x）=2x+16.已知α和β是两个不同平面，α∩β=l，l1，l2是与l不同的两条直线，且l1⊂α，l2⊂β，l1∥l2，那么下列命题正确的是（）A. l与l1，l2都不相交B. l与l1，l2都相交C. l恰与l1，l2中的一条相交D. l至少与l1，l2中的一条相交7.已知F1，F2为椭圆M：=1和双曲线N：-y2=1的公共焦点，P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为（）A. B. 1 C. D.8.在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若△ABC是格点三角形，其中A（0，0），B（4，0），且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（）A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知平面向量=（1，-3），=（-2，m），且∥，那么m=______．10.从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务，如果要求恰有1名女生，那么不同的选派方案种数为______．11.直线y=kx+1与圆（α为参数）相交于M，N两点，若|MN|=2，则k=______．12.若△ABC的面积为2，且A=，则=______．13.已知函数f（x）=cos（2x+φ）（-＜φ＜0）．①函数f（x）的最小正周期为______；②若函数f（x）在区间[]上有且只有三个零点，则φ的值是______．14.已知数列{a n}对任意的n∈N*，都有a n∈N*，且a n+1=，①当a1=8时，a2019=______②若存在m∈N*，当n＞m且a n为奇数时，a n恒为常数p，则p=______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a（a∈R），且f（）=0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，m]上是单调函数，求m的最大值．16.随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示．（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为s12，月平均期望薪资对应数据的方差为s22，判断s12与s22的大小．（只需写出结论）17.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，∠BAA1=60°，AB=AA1=2BC=2CD=2．（Ⅰ）求证：BC⊥AA1；（Ⅱ）求二面角D-AA1-B的余弦值；（Ⅲ）在线段DB1上是否存在点M，使得CM∥平面DAA1？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．18.已知函数f（x）=（x-2）e x-ax3ax2．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a≤e时，求证：x=1是函数f（x）的极小值点．19.已知抛物线C：y2=2px过点M（2，2），A，B是抛物线C上不同两点，且AB∥OM（其中O是坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q．（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；（Ⅱ）求证：直线PQ与x轴平行．20.设n∈N*且n≥2，集合S n={（x1，x2…，x n）||x1|=1，|x i+1|=2|x i|（i=1，2…，n-1）}．（Ⅰ）写出集合S2中的所有元素；（Ⅱ）设（a1，a2，…a n），（b1，b2，..b n）∈S n，证明“a i=b i”的充要条件是“a i=b i（i=1，2，3，…n）”；（Ⅲ）设集合T n={x i|（x1，x2，..x n）∈S n}，求T n所有正数之和．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：复数===-i，∴复数的共轭复数是+i，故选：A．先利用两个复数的除法法则化简复数，再依据共轭复数的定义求出复数的共轭复数．本题考查两个复数代数形式的混合运算法则以及共轭复数的概念．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查了集合的包含关系的简单应用，属于基础试题.若B⊆A，则m2=1，即可求解满足条件的m【解答】解：∵A={-2，3，1}，B={3，m2}，若B⊆A，则m2=1∴m=1或m=-1实数m的取值集合为{1，-1}故选：C．3.答案：D解析：【分析】本题考查含有一个量词的命题的否定．是基本知识的考查．全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：由全称命题的否定是特称命题．可知命题p：∀x∈（0，+∞），ln x≤x-1，则￢p是：￢p：∃x0∈（0，+∞），ln x0＞x0-1．故选：D．4.答案：A解析：解：若a=1，第一次条件成立，S=1，a=-1，k=2，第二次条件成立，S=1-4=-3，a=1，k=3，第三次条件成立，S=-3+9=6，a=-1，k=4，第四次条件成立，S=6-16=-10，a=1，k=5，第五次条件不成立，S=-10+25=15，a=-1，k=6，此时k=6不满足条件．输出S=15，即k=5不成立，k=6不成立，则条件k＜6，故选：A．根据程序框图进行模拟计算，确定k终止的条件即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．5.答案：B解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性综合应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义以及判断方法．【解答】解：根据题意，若f（x）的图象关于y轴对称，则函数f（x）是偶函数，若；②∀x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；据此分析选项：对于A，f（x）=x-1，为奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=log2|x|，为偶函数，则在（0，+∞）上，f（x）=log2x，为增函数，符合题意；对于C，f（x）=cos x，为偶函数，但在区间（0，+∞）上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=2x+1，为非奇非偶函数，不符合题意；故选：B．根据题意，分析可得要求函数是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数；据此分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合可得答案．6.答案：A解析：解：∵l1∥l2，∴l1∥β，又l1⊂α，α∩β=l，∴l1∥l，同理l2∥l，故选：A．由线面平行的性质易得三线互相平行．此题考查了线面平行的性质，难度不大．7.答案：B解析：解：∵F1，F2为椭圆M：=1和双曲线N：-y2=1的公共焦点，∴m2-2=n2+1，∵P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，∴（不妨设m＞0，n＞0）．解得：m=2，n=1，⇒c2=m2-2=n2+1=2，∴椭圆M和双曲线N的离心率之积为．故选：B．利用m2-2=n2+1，（不妨设m＞0，n＞0）．求得m，n即可．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．8.答案：C解析：解：设三角形的高为h，则三角形的面积S=4h=8，即h=4，即C点的纵坐标为4，若C（4，4）或（0，4）时，则三角形边边界上的格点个数为12个，若C（2，4），则三角形边边界上的格点个数为8个，若C（1，4）或（3，4），则三角形边边界上的格点个数为6个，则不可能的为10个，故选：C．根据条件设三角形的高为h，结合三角形的面积得到高h=4，即顶点C在直线y=4上，结合C的整点坐标，利用数形结合进行排除即可．本题主要考查合情推理的应用，结合条件求出三角形的高即顶点A的位置，利用数形结合以及特殊值法是解决本题的关键．9.答案：6解析：解：∵∥，∴1×m-（-3）×（-2）=0，解得m=6．故答案为：6．根据两个向量平行的坐标表示可得．本题考查了平面向量共线的坐标表示．属于基础题．10.答案：12解析：【分析】本题考查排列组合的实际应用，属于基础题．根据分步计数原理即可求出．【解答】解：从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务，如果要求恰有1名女生，则有C21•C42=12种，故答案为：12．11.答案：解析：解：圆（α为参数）转换为直角坐标方程为：x2+（y-3）2=4，则：点（0，3）到直线的距离d==，所以：，解得：k=，故答案为：．首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．12.答案：4解析：解：由△ABC的面积为2，得：||×|×sin=2，所以||||=8，所以=||||cos=8×=4，故答案为：4．由三角形面积公式得：△ABC的面积为2，得：||×|×sin=2，所以||||=8，由平面向量的数量积运算：=||||cos=8×=4，得解．本题考查了三角形面积公式及平面向量的数量积运算，属中档题．13.答案：π -解析：解：①函数f（x）=cos（2x+φ）（-＜φ＜0）．函数f（x）的最小正周期T==；②由x∈[]，可得2x+φ∈[φ，+φ]，根据函数f（x）在区间[]上有且只有三个零点，可得解得：∴φ=；故答案为：π，①根据周期公式T=，可得答案；②根据x∈[]，求解内层函数的范围，结合余弦函数的图象可得φ的值．本题考查了余弦函数的性质的应用，属于基础题14.答案：2 1解析：解：①由题意，可知：a1=8，，，，a5=3×a4+1=3×1+1=4，…∴数列{a n}：8，4，2，1，4，2，1，…即数列{a n}从第二项起是以3为最小正周期的周期数列．∵（2019-1）÷3=672 (2)∴a2019=2．②由①可知，a n为奇数的只有奇数1，∴p=1．本题第一题主要考查数列的奇偶问题，通过枚举法可发现数列{a n}从第二项起是以3为最小正周期的周期数列，即可得到a2019的值；第二题主要考查对题意的理解a n为奇数的只有奇数1，从而p=1．本题第一题主要考查周期数列的判定，第二题主要针对题意的理解．本题属基础题．15.答案：解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a，=，=，且f（）=0．解得：a=1．所以：f（x）=．（Ⅱ）由于：f（x）在区间[0，m]上是单调函数，故：①当函数为单调递增时，（k∈Z），解得：（k∈Z），所以：m，②当函数为单调递减时，（k∈Z），解得：，综上所述：m的最大值为．解析：（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的变换和函数的值求出函数的关系式．（Ⅱ）利用函数的关系式和函数的单调性的应用求出m的最大值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.答案：解：（Ⅰ）设该生该月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A，∵15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，∴该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率P（A）==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知选中平均薪资高于8500元的城市的概率为，低于8500元的概率为，∴X～B（2，），P（X=0）=（）2=，P（X=1）==，P（X=2）==，P 0 1 2XE（X）=2×．（Ⅲ）．解析：（Ⅰ）求出15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，由此能求出该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率．（Ⅱ）推导出X～B（2，），由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅲ）．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：证明：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，交线为AB，∴BC⊥平面ABB1A1，∵AA1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AA1．（Ⅱ）∵BC⊥平面ABB1A1，∠BAA1=60°，解：AB=AA1=2BC=2CD=2．∴以B为原点，在平面ABB1A1中，过B作BB1的垂线为x轴，BB1为y轴，BC为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，-1，0），B（0，0，0），A1（，1，0），D（，-，1），=（0，2，0），=（-，1，0），=（-，，1），设平面AA1D的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，），平面AA1B的法向量=（0，0，1），设二面角D-AA1-B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角D-AA1-B的余弦值为．（Ⅲ）假设在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，B1（0，2，0），C（0，0，1），设M（a，b，c），=λ，λ∈[0，1]．则=，∴（a-，b+，c-1）=（-），解得M（，，1-λ），∴=（，，-λ），∵CM∥平面DAA1，平面DAA1的法向量=（2，0，），∴=-=0，解得，∴在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，且=．解析：（Ⅰ）由AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，交线为AB，得BC⊥平面ABB1A1，由此能证明BC⊥AA1．解：（Ⅱ）以B为原点，在平面ABB1A1中，过B作BB1的垂线为x轴，BB1为y轴，BC 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-AA1-B的余弦值．（Ⅲ）设M（a，b，c），=λ，λ∈[0，1]．则=，求出=（，，-λ），平面DAA1的法向量=（2，0，），利用向量法能求出在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，且=．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与示法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）a=0时，f（x）=（x-2）e x，f′（x）=（x-1）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增；（Ⅱ）f′（x）=（x-1）（e x-ax），①当时，对任意的,都有e x-ax＞0恒成立，所以当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在x=1处取得极小值，符合题意；②当时，设g(x)=e x-ax，依然取，则g'(x)=e x-a，令g'(x)=0，得x=ln a,所以g(x)在（0，ln a）上单调递减，在（ln a，+∞）上单调递增，所以g(x)min=g(ln a)=a（1-ln a）,因为，所以g(x)min=a（1-ln a）≥0（当且仅当a=e时，等号成立，此时x=1）所以对任意的,都有e x-a≥0恒成立，所以当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在x=1处取得极小值，符合题意；综合①②可知，当a≤e时，x=1是函数f（x）的极小值点．解析：本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于较难题．（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，分类讨论，根据函数的单调性证明即可．19.答案：解：（Ⅰ）抛物线C：y2=2px过点M（2，2），∴4=4p，即p=1，∴抛物线C的准线方程x=-=-，证明（Ⅱ）∵M（2，2），AB∥OM，∴k AB=k OM=1，设直线AB的方程为y=x+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得y2-2y+2m=0，∴△=4-8m＞0，即m＜且m≠0，∴y1+y2=2，y1y2=2m，∵线段AB的中点为Q，∴y Q=（y1+y2）=1，∵直线OA的方程为y=•x=•x，①直线BM的方程为y-2=（x-2）=（x-2）=（x-2），②，由①②解得y===1，∴y p=1∴直线PQ的方程为y=1，故直线PQ与x轴平行解析：（Ⅰ）把点代入即可求出p的值，可得抛物线C的准线方程，（Ⅱ）由题意可设直线AB的方程为y=x+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理定理可得y1+y2=2，即可求出点Q的纵坐标，在再分别求出直线OA，BM的方程，求出点P的纵坐标，即可证明本题考查了抛物线的方程，直线和抛物线的位置关系，韦达定理，直线方程，考查了运算求解能力，属于中档题20.答案：解：（1）依题意，|x1|=1，|x2|=2|x1=2，∴x1=±1，x2=±2，|∴集合S2中的所有元素为：（1，2），（1，-2），（-1，2），（-1，-2）共四个元素．（2）证明：①充分性，当a i=b i时，显然a i=b i成立．②必要性，依题意，，其中p i∈{-1，1}，所以a i=，其中p i∈{-1，1}，下面证明的符号与最后一项的符号相同．且不为0．当p n=1时，=+2n-1=2n-1-=2n-1-=1＞0，即当p n=1时，＞0，当p n=-1时，=-2n-1≤-2n-1=-2n-1=-1＜0，即当p n=-1时，＜0．a i=b i成立时，假设a i≠b i，且他们有k项不相同（k≥1，k∈N），则a i-b i为这k项的二倍的和或差，将这k项按绝对值从小到大排列起来，分别记作p1c1，p2c2，……，p k c k，p i∈{-1，1}，则a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k，设绝对值最大项c k=，若p k=1，a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k≥+2m＞0，若p k=-1，a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k≤-2m＜0，这与a i=b i矛盾，故假设错误，即当a i=b i时，有a i=b i（i=1，2，3，…n），充分性成立．综上“a i=b i”的充要条件是“a i=b i（i=1，2，3，…n）．（3）T n={x i|（x1，x2，..x n）∈S n}，故T n可以记作：T n=，p i∈{-1，1}，由（2）知，要使T n取正值，需要最后一项系数p n=1，而前n-1项的系数可以任意选取，则前n-1项的系数取-1的有=2n-1项，前n-1项的系数取1的也有=2n-1项，且它们相加为0．故T n所有正数之和为2n-1个2n相加，故T n所有正数之和为2n-1×2n=22n-1．解析：（1）根据题意，直接列出即可（2）利用以a i=不为零这个特性，结合反证法可以证明．（3）根据计数原理，T n为正时，最后一项的系数必为正数，再看前n-1项的情况，数出个数相加即可．本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
北京市丰台区2020届高三下学期一模考试数学试题 Word版含答案
丰台区2019—2020学年度第二学期综合练习（一）2020丰台一模 高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则A B =U（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，， （D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ，（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个俯视图左视图（点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆 22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=o，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率； （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25C 15050403030列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：的离心率为2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分） 已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,L L 且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,L L ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,K ，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,L L ，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,K . （i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1；（ⅱ）求数列C 所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 丰台区2019~2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 15.2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+1sin 22C C =-πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此π33sin()()322C -∈-,. 于是33sin 3cos (,)22B C -∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. XP1445491990130…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx -.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分 20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意222211.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-. 所以22022(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分21．（本小题共14分） 解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1. …………4分（Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==. 于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===. 依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L . 所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==. 于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==. 依次类推可得121b b ==. 所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1. …………8分（ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===. 若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===， 则111k k k c c c -+===.11 又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K . 由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下：(1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K . 于是0k c =(12)k n =,,,K .所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =，此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,.故4531,0,0n c c b b ====于是1156010n b b c b -≠===,,，于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233n nS n =-= .同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时， 当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.…………14分 （若用其他方法解题，请酌情给分）。
北京市丰台区2020届高三数学一模试题(word版含答案)
北京市丰台区2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则A B =U（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，， （D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ， （点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个俯视图左视图（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=o，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率； （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25C 15050403030“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：的离心率为2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分） 已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,L L 且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,L L ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,K ，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,L L ，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,K . （i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C 所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 15.2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+1sin 22C C =πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此πsin()(322C -∈-,.于是sin ()22B C ∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意222211.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-.所以220202(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分 21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1.…………4分 （Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==.于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===.依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L .所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==.依次类推可得121b b ==.所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1.…………8分 （ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===.若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===，则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K .由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下：(1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K .于是0k c =(12)k n =,,,K .所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =， 此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,.故4531,0,0n c c b b ====于是1156010n b b c b -≠===,,， 于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233nnS n =-= .同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时， 当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意. 此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.…………14分。