小学数学中的抽象与推理(史宁中)
史宁中漫谈数学的基本思想
史宁中漫谈数学的基本思想史宁中，国务院学科评议组成员，第五届国家级教学名师，中国教育学会副会长，教育部第五届科技委数理学部委员，原东北师范大学校长数学思想是数学文化的核心，因为数学文化是数学的形态表现，可以包括：数学形式、数学历史、数学思想。
其中思想是本质的，没有思想就没有文化。
一、数学思想是什么数学思想需要满足两个条件：一是数学产生、发展过程中所必须依赖的那些思想，二是学习过数学的人所具有的思维特征。
可以归纳为三种基本思想：抽象、推理和模型。
通过抽象，把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象；通过推理，得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展；通过模型，创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁。
二、什么是抽象数学抽象包括：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。
通过抽象得到数学的基本概念：研究对象的定义，刻画对象之间关系的术语和运算方法。
这是从感性具体上升到理性具体的思维过程，只是第一次抽象。
在此基础可以凭借想象和类比进行第二次抽象，其特点是符号化，得到那些并非直接来源于现实的数学概念和运算方法。
数量与数量关系的抽象。
数学把数量抽象成数；数量关系的本质是多与少，抽象到数学内部就是数的大小。
由大小关系派生出自然数的加法。
数的四则运算，都是基于加法的。
数学还有一种运算，就是极限运算，这涉及到数学的第二次抽象，微积分的运算基础是极限。
为了合理解释极限，1821年柯西给出了-语言，开始了现代数学的特征：研究对象的符号化，证明过程的形式化，逻辑推理的公理化。
数学的第二次抽象就是为这些特征服务的。
图形与图形关系的抽象。
欧几里得最初抽象出点、线、面这些几何学的研究对象是有物理属性的，随着几何学研究的深入，特别是非欧几何学的出现，人们需要重新审视传统的欧几里得几何学。
1898年希尔伯特给出了符号化的定义，基于五组公理，实现了几何研究的公理体系。
这些公理体系的建立，完成了数学的第二次抽象。
史宁中数学核心素养
什么是命题？ 可以判断正确或者错误的陈述句。
三数、学命小题：学可数以判学断中正确的或者推错理误的陈述句
可以判断：下面陈述不是数学命题 这个三角形是美的
数学命题的两种形式：性质命题、关系命题
性质命题：A 是 P。 数是可以比较大小的。三角形内角和是180度。
二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养 1.数学抽象（符号意识、数感；几何直观、空间想象） 2.逻辑推理（推理能力、运算能力） 3.数学模型（模型思想、数据分析观念）
1.数学抽象（义务教育阶段：符号意识、数感；几何直观、空间想象） 抽象对象：现实世界的数量与数量关系、图形与图形关系 抽象功能：得到数学的研究对象（概念、关系、规律） 抽象模式：舍去背景、保留关系、符号表达（更详细的？）
上海经验：一切课改最终要落实在课堂、落实于学生。教无定法。
应当建立教学常态：讲好一堂课的原则应当是什么？ 评价一堂课的标准应当是什么？
关于课堂教学，《中华人民共和国义务教育法》只提到一句话：
国家鼓励学校和教师采用启发式教育教学方法，提高教育教学质量。
因此原则和标准是：启发式教学。启发式教学是为了引发学生思考。正在修 改的《普通高中数学课程标准》明确指出：
演绎推理
类似命题：减去一个正数等于加上这个正数的相反数 减去一个正数比原来的数小
数学符号：b ＞ 0，则 a - b = a + (-b) 证明：因为“减法是加法逆运算”：
a - b = x ←→ a = b + x 由命题2，等式的两边分别加上（-b）等式不变：
a + (-b) = b + (-b) + x。 根据相反数的定义：a + (-b) = x。由命题 1：
史宁中解读小学数学教育：思维发展是核心
史宁中解读小学数学教育：思维发展是核心本文共3218字，仔细阅读需9分钟数学教育的终极目标是“三会”从2005年开始，教育部让我主导国家数学课程标准的制定，这些年以来，数学的课程标准一直在发展和变化中，从“双基”到“四基”，再到数学核心素养。
今天，我想重点来谈谈数学核心素养以及未来的方向。
数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。
通俗一点而言，就是通过数学学科教育，我们最终要培养一个什么样的人？我们提出了数学教育的终极目标，无论我们的学生未来是否从事与数学相关的职业，我们都希望他们具备以下三点能力：1.会用数学的眼光观察世界2.会用数学的思维思考世界3.会用数学的语言表达世界这其中，数学眼光指的是数学抽象、直观想象，代表数学的一般性；数学思维指的是逻辑推理、数学运算，代表数学的严谨性；数学语言指的是数学模型、数据分析，代表数学应用的广泛性。
“三会”就是我们对学生在数学能力和数学思维习惯培养上的终极目标。
我们教师无论处在哪一个学段，在进行数学教育的时候脑子里应该始终想着这一终极目标。
“三会”的内涵包括数学基本思想：数学眼光：数学抽象数学思维：逻辑推理数学语言：数学模型因此，数学核心素养的主线是“三会”，内涵是数学思想，基础是知识，获取方式是过程，是经验的累积，是思维的习惯和做事的习惯。
我们目前所使用的数学教材存在一定的问题，没有有意识地让学生感悟数学的基本思想，没有有意识地引发学生思考、帮助学生积累思维和实践的经验。
比如初中和高中都教函数，初中教函数是用变量的方式，高中教函数是用对应的方式，但教材并没有阐述这样教背后的原因，没有让孩子理解背后的数学思想，这就是有问题的。
我曾经调查过一所中学的中学生，为什么要学函数？居然有孩子这么回答：函数是老师考察学生数学学得好坏与否最重要的指标。
如果数学教到这个份上就没有意义了。
抽象数学模型增强应用意识——“单价、数量和总价”教学实践与思考
抽象数学模型增强应用意识——“单价、数量和总价”教学实践与思考摘要：小学数学是培养学生数学思维的基础性课程，对于提高学生数学应用意识和能力具有深远意义。
课堂教学是教师与学生进行互动的过程，教师需要从学生认知特点和已有经验出发，采取有效措施来提升其核心素养。
本文以教学人教版数学四年级上册第四单元《单价、数量和总价》为例，主要探讨如何帮助学生正确理解数学概念、经历建模过程、抽象数量关系以及培养应用意识，并提出具备可行性的有效策略,希望能给同行带来帮助。
关键词：概念化疑；模型观念；应用意识引言：最新推行的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）确定了小学阶段的11个数学核心素养，与前一版相比，《标准》将“模型思想”修改为“模型意识”，强调模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。
《标准》中还强调“应用意识”主要是指有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象与规律，解决现实世界中的问题。
本文通过聚焦“模型意识”与“应用意识”，切实提升学生的数学核心素养。
【教学前测】本节课主要教学一种常见的数量关系：单价、数量和总价。
在前几册通过解答应用题，学生们已接触到这些数量关系，有一定的感性认识，但是还没有概括出规律，给出有关的概念术语。
四年级学生的思维主要以形象思维为主，抽象逻辑思维较弱。
因此，在教学中关键是要如何通过实际的例子使学生理解和掌握用术语，以及表达数量关系，建构数学模型，并能在实际问题中灵活地加以应用。
课前通过对全班同学的调查，笔者发现在实际生活当中，学生们已经对“单价”、“数量”和“总价”有了一定程度的认识，积攒了一定的经验。
于是在开课之前，教师就提前让同学们去逛逛超市，并拍摄了2-3张自己喜欢的商品“价格标签”照片发布在班级QQ群相册中，这一“课前准备环节”不仅充分调动了学生们的学习兴趣，极大促进了学生们对“单价”、“数量”和“总价”三个概念的理解，也为之后模型的构建提供了大量的实例支撑，奠定了基础。
归纳推理,提升数学智慧
关注归纳推理提升数学智慧——关于小学生归纳推理能力培养的研究与实践内容摘要：史宁中教授强调培养创新性人才必须重视对学生的归纳推理能力的培养。
目前，教师专业知识缺乏，应试教育，以及教师的实践研究不足和实践策略缺失，直接影响了学生归纳推理能力的发展。
由此，本文阐述了归纳推理能力的要义和重要性，梳理了承载培养学生归纳推理能力的教学内容，以及结合实践提出了四条引导路径。
关键词：归纳推理教学内容引导路径一、对学生归纳推理能力培养现状的调研与分析史宁中教授指出：归纳推理能力的培养对学生数学智慧的发展有着十分重要的意义；归纳推理应该引起数学课堂教学的重视。
那么，目前小学数学教育对学生归纳推理能力培养的现实状况如何？于是，我对某镇中心校、村完小的23位数学老师以及六年级105名学生进行了调研和分析。
1、从教师层面调查结果分析现状一：教师专业知识缺乏对教师的访谈和调查显示（见表一）：有21.7%的教师不了解归纳推理。
有47.8%的教师表示有所了解，但不能准确地举例说明。
部分教师说：“好像在读师范时《心理学》课上听老师讲过，现在已经忘了。
”只有30.4%的教师了解归纳推理，并能正确举例。
现状二：应试教育影响巨大培养归纳推理推理，更重要的意义在于发展学生的创新思维和数学智慧。
调查显示只有17.3%的教师表示比较重视对学生归纳推理能力的培养（见表一），其余教师在课堂教学中并没有培养学生归纳推理能力的主动意识。
经访谈得知，其中主要的原因是不了解和考试不会考到。
可见，考试这根指挥棒仍然在发挥着巨大地影响。
现状三：研究不足，策略缺失经访谈得知，23名教师中没有哪位教师对本主题进行深入实践研究过。
52.1%的教师表示不知道如何有效地在实践中培养学生的归纳推理能力,47.8%的教师不完全清楚哪些教学内容的教学可以培养学生的归纳推理能力。
表一：教师调查统计表2、从学生层面调研结果分析题1：观察①、②两个等式有什么特点，在其它等式的（ ）里填上适当的分数。
国家数学课程标准修改组组长史宁中讲座材料 《小学数学教学中的几个问题》讲稿整理
国家数学课程标准修改组组长史宁中讲座材料《小学数学教学中的几个问题》讲稿整理学习资料一、早期阶段培养学生什么能力：思维能力教育要充分彰显人与动物的最大区别：器官：扩充的脑容量；位置偏下的喉头行为：制造工具，说话思维：想像能力与抽象能力想象能力：观察----联想------想象-----验证------结论抽象能力：形式----分类----性质----概念（描述）------规律（符号）1231231.与位数）23522052200223+2×(3+2)语言操场上有一队同学，每排三名女生、两名男生，共四排，问有多少学生？总人数=每排同学数×排数=(3+2)×43、分数乘除运算法则有鹅4只，是鸭子的1/3，问有几只鸭子？教学目的：4÷1/3=4×3=12。
为什么必须用除法计算？？=4÷1/3的原本是？×1/3=4。
破题：3只鸭子：1只鹅(破解1/3的含义:1÷1/3=3)6只鸭子：2只鹅(推广1/3的含义:2÷1/3=6)9只鸭子：3只鹅(推广1/3的含义:3÷1/3=9)？只鸭子：4只鹅(最后到结论:4÷1/3=12)教师应该知道：除法是乘法的逆运算的具体含义。
（求证）4÷1/3=4×3（证明）？=4÷1/3等价于？×1/3=4？×1/3×3=4×3→？=4×3结论4÷1/3=4×3最后是符号表达：a÷1/b=a×b4、分数的加法：术与理的区别51/4、65–x=?7.60个，尝试：160415141424也可以用尝试的方法列出方程椅子数凳子数腿的总数a=1616-a=04×a﹢3×(16-a)=64a=1516-a=14×a﹢3×(16-a)=63a=1416-a=24×a﹢3×(16-a)=62这样，合题意的方程为4×a﹢3×(16-a)=60。
数学的抽象_史宁中
2008年第5期东北师大学报(哲学社会科学版)N o .5 2008总第235期Journal of No rtheast N ormal U niversity (Philosophy and Social Sciences )Sum N o .235 [编者按] 《数学的抽象》这篇论文,将会成为作者一本关于数学思想的著作的一章,其讨论的问题是我们这个时代特别需要解决的,论文自始至终贯穿着强烈的问题意识和文化的针对性。
因此我们对这篇文字进行了整理,并发表于本刊,以飨读者。
严格地说,数学是一种西学,作者大概是出于对思想史的尊重,出于寻找数学抽象的思想源流和资源的意图,仿佛怀旧式地对西方思想史进行了一次游历,作者在与柏拉图、亚理士多德、培根、笛卡尔、洛克、休谟、康德、叔本华等经典哲学家的对话间,以一双敏锐的现代数学家的眼睛,时而以十分虔敬的心情充分欣赏思想家们的伟大观点,时而尖刻而亲切地指出思想家们的历史局限,时而又以操纵式姿态调侃着某些思想家的某些观点,这种对话和攀谈如同发生在老熟人、老同行、老朋友之间一样,这让我们好像在观看名为“数学的抽象”的一场精彩表演,在一种轻松的,然而又严肃的心情中了解到作者所谈论的话题的论证过程和观点。
读来令人颇多回味和想象。
[收稿日期]2008-07-10 [作者简介]史宁中(1950-),男,江苏宜兴人,东北师范大学校长,教授,博士生导师。
数学的抽象史宁中(东北师范大学,吉林长春130024) [摘 要]数学在本质上研究的是抽象的东西,数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象,只有通过抽象才能得到抽象的东西。
在柏拉图的理念论之下,数学的概念就不应当是经验意义上的存在,而应当是一种永恒的存在;亚里士多德不赞成柏拉图的想法,认为一般概念是人们在日常生活的经验中,通过对于许多具体存在事物的共同性质抽象而得到的,所以一般概念不可能是真正的存在。
亚里士多德的观点仍然需要补充,数学研究所涉及的基本概念并不一定都是直接从现实的具体的存在中抽象出来的,也可以借助符号与类比得到更高层次的抽象,这里既包括感性具体也包括理性具体。
义务教育数学课程标准2011年版解读-史宁中、孔凡哲
对《义务教育数学课程标准》（2011年版）的理解国家基础教育实验中心孔凡哲史宁中*福建教育(A)2012年第6期中国基础教育课程改革发展的基本动因，一方面在于，使得基础教育能够真正满足我国经济社会快速发展的需求，进而促进国家的可持续发展和民族的振兴；另一方面则在于，实现每位学生的全面、健康、和谐、可持续发展。
也就是说，国家利益、学生需要是改革的根本动因。
《义务教育数学课程标准》（实验稿）的修订工作正是基于这两个基本动因，根据义务教育法的有关规定，按照基础教育课程改革的总体方向，根据2001年9月实施新课程实验以来总结的经验和发现的问题，以促进义务教育阶段实施素质教育为目标，本着实事求是、严谨科学、顾全大局、求同存异的态度，通过充分的研究与认真的讨论，最终形成《义务教育数学课程标准》（2011年版）。
本文详细分析《义务教育数学课程标准》（2011年版）的特点、基本理念、课程目标和内容结构。
一、从数学课程标准与教学大纲的差异看课程标准的特点问：对于广大的中小学教师来说，理解数学课程标准的特点，总是将其与以往的数学教学大纲相比较。
数学课程标准与教学大纲有哪些不同的特点呢？答：理解这个问题，需要从课程标准、教学大纲的不同作用和不同关注点等方面加以细致分析：首先，作为中小学数学教学的核心文件之一，教学大纲关心的是应当教哪些内容？应当教到什么程度。
而作为中小学数学课程、教学的核心文件之一，课程标准关心的是学什么、学到什么程度，教什么、教到什么程度，考什么、考到什么程度，教材如何编写、课程资源如何开发；在此基础上，教学大纲的考核关注规定的内容是否教了、学生的掌握是否达到了要求。
其次，教学大纲规定的课程目标是一维，即着眼于知识、技能，亦即“双基”。
而课程标准不仅关注知识、技能的掌握情况，而且更加关注学生在实践能力、数学科学精神等方面的均衡发展。
也就说，课程标准考核的是人的全面发展状况，其课程目标是三维的，即知识技能、过程方法、情感态度价值观。
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小学数学中的抽象与推理
东北师范大学史宁中
一、数学的基本思想
1. 课程目标：由双基到四基（实现教育理念的转变）
过去的教育理念：以知识为本
教学大纲
关心问题是：
应当教那些内容；应当教到什么程度
考核内容是：
规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求
教学目标是：
基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（记忆）
基本技能（证明技能与运算技能）熟练（训练）
教学形式是：
课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）
现代的教育理念：以人为本、育人为本（纲要）
课程标准
以学生的发展为本
人的成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法
不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能
还要培养学生的数学素养（素质教育）：让学生
感悟数学的基本思想，通过数学教学（数量、图形）
积累基本活动经验：会想问题、会做事情
课程目标：基础知识、基本技能+ 基本思想、基本活动经验分析问题、解决问题+ 发现问题、提出问题
解决问题→问题解决
2. 什么是数学的基本思想
数学是研究数量关系和空间形式的科学
研究对象：数量、图形
研究内容：数量关系、图形关系
数学的基本思想：数学的产生与发展必须依赖的思想
学习过数学与没有学习数学的思维差异
抽象、推理、模型
数学教学的责任：会抽象、会推理
通过抽象：现实→数学
把研究对象、以及对象之间的关系形成概念
从现实世界到数学内部，数学具有一般性
通过推理：数学→数学
从假设前提出发，通过推理得到数学的结果
数学内部的发展，数学具有逻辑性
通过模型：数学→现实
解决现实世界中的与数量和图形有关的问题
从数学内部到现实世界，数学具有应用性
得到数学的基本特征：
一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）
二、小学数学中的抽象
1、数学思想：抽象、推理、模型（不是知识，不靠讲解靠感悟）教学要点：感悟什么？如何感悟？
抽象有两种方法：对应、定义
数是对数量的抽象，
同时抽象出关系，从数量的多少到数的大小。
对应：三个苹果、三只鸡→□□□←→3 （去掉物理属性）
定义：一个一个多起来（后继数）：
1 = 0 + 1，
2 = 1 + 1，
3 = 2 + 1，
4 = 3 + 1，…
小学阶段的数学教育：
开始用对应的方法，以后用定义方法
对应：负数量相等、意义相反
不能用数轴解释、最好不用减法或相反数解释
定义：如何认识10000：比9999 多1，
数的符号表达：简洁、关键是把握问题的本质
（基本概念与运算法则：小学数学核心问题，
高等教育出版社，2013年）读数的关键：十个符号+ 数位
如何读2002
符号0 很重要：1 ～10→1 ～9 →0 和10 相反数：a + b = 0，b 为相反数，表示为-a
数位与数不同
数位：个(ones)、十(tens)，“十”是十个“个”
“万”是十个“千”
数：10 = 9 + 1
10000 = 9999 + 1
抽象的小结
抽象出数学研究的对象：
把外部世界的数量和数量关系、
图形与图形关系引导数学内部。
概念：自然数、负数、点、线、面、体、角
关系：（代数）数的大小关系，（几何）两点决定一条直线
法则：加法→减法、乘法、除法
抽象的东西不存在：现实中没有2，只有具体的两匹马、两头牛抽象的东西是理念的存在
三、小学数学中的推理
推理：数学内部的发展依赖的是逻辑推理
数学的结论都是命题
数学命题：可供正确或者错误判断的陈述
可以判断，下面陈述不是数学命题
这个三角形是美的
仅供判断，下面两个陈述都是数学命题
三角形内角和180度
三角形内角和120度
直接推理：对命题的直接判断
一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程逻辑推理
命题的内涵之间存在一条主线
凡人都有死。
苏格拉底是人。
苏格拉底有死。
非逻辑推理
命题的内涵之间不存在一条主线
苹果是酸的，酸是一种味道，苹果是一种味道。
两种逻辑推理
演绎推理：命题内涵由大到小。
从一般到特殊。
归纳推理：命题内涵由小到大。
从特殊到一般。
模型：
抽象：把现实世界（数量、图形、关系）引到数学。
推理：数学内部的发展。
模型：从数学回归到现实世界。
模型是沟通数学与现实世界的桥梁。
模型讲述的是现实世界的故事。
课标中主要要求两个模型
总量模型（加法模型）：总量= 部分+ 部分
部分= 总量–部分
→系列模型：现在= 过去+ 变化
路程模型（乘法模型）：路程= 速度×时间
速度= 路程/ 时间。