算法设计与分析-王-第1章-算法设计基础
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算法设计与分析：第1章 算法分析基础
算法测试
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算法的执行时间绝大部分花在循环 和递归上
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1.3.3 算法复杂度
时间复杂度（ time complexity ）
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课程介绍
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— 8
主要内容
1. 算法的基本概念和常见符号 2. 算法设计的常用技术
• 递归法、蛮力法、分治法、减治法 • 贪心法、动态规划、回溯法、分支限界法 • 概率算法、近似算法、计算复杂性理论 3. 算法的评价：复杂度分析
引言
1.1 算法概述
算法设计与分析 王红梅 第二版 第1章 算法设计基础复习进程
2020/6/3
Algorithm Introduction
12
算法的描述方法
#include <iostream.h>
int CommonFactor (int m, int n)
欧{ 几 int r=m % n;
里 德
while (r!=0) {
m=n;
算
n=r;
法 r=m % n; } return m; }
例1.2 求两个自然数的最大公约数 [想法1]用短除法找出两个数的公因子，再相乘就
是最大公约数。 [算法1]找两个数的公因子目前只能用蛮力法逐个
尝试，用2－min(m,n)进行枚举尝试。
2020/6/3
Algorithm Introduction
20
算法在问题求解中的地位
算法1.1：CommFactorl（伪代码） 输入：两个自然数m和n 输出：m和n的最大公约数 1. factor=1; 2. 循环变量i从2~min(m,n),执行下述操作；
这是算法吗？
为什么？
2020/6/3
Algorithm Introduction
5
算法及其重要特性
程序?
是算法用某种程序设计语言的具体实现。程序可以不满 足算法的性质(3)，即有穷性。
“好算法”的重要特性： （1）正确性：合法的输入，都会得出正确的结果 （2）健壮性：非法的输入，应能识别并处理 （3）可理解性：可读性，易理解 （4）抽象分级：通过抽象分级减少求解步骤 （5）高效性：时间和空间效率
2020/6/3
Algorithm Introduction
27
1. 查找问题 2. 排序问题 3. 图问题 4. 组合问题 5. 几何问题
算法分析与设计(王继成)：算法第1章
（1）传递性： f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))； f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))；
log b a n n log b a
log b a
log c a log c b
log b (1 / a ) log b a
log b a 1 log a b
a b log b a
a log b c c log b a
4
2014/3/8
|x| 1
ln(1 x) x
令c3=max{c1, c2}， n3 =max{n1, n2}，h(n)= max{f(n), (n) g(n)} 。 则对所有的 n n3，有 f1(n) +g1(n) c1f(n) + c2g(n) c3f(n) + c3g(n)= c3(f(n) + g(n)) c32 max{f(n),g(n)} = 2c3h(n) = O(max{f(n),g(n)}) .
(g(n)) = { f(n) | 对于任何正常数c>0，存在正数和n0
>0使得对所有n n0有：0 cg(n) < f(n) } 等价于 f(n) / g(n) ，as n。 f(n) (g(n)) g(n) o (f(n))
《算法设计与分析》-第一章 算法引论
lim
n→ ∞
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f (n) = 0 g (n)
第一讲 算法引论
1.4 算法的性能分析
O(1)表示计算时间为常数。 O(n)称为线性阶。 O(n2)称为二次阶。 O(n3)称为三次阶。 O(2n)称为指数阶。
第一讲 算法引论
1.4 算法的性能分析
③
④
θ（theta）---f(n)= θ(g(n))(读作f(n)是g(n)的 theta)当且仅当存在正常数C1、C2和n0，使得 对所有的n≥n0,有C1 *g(n) ≤ f(n) ≤ C2 *g(n)。 o（small o ）---f(n)= o(g(n))(读作f(n)是g(n) 的小o)当且仅当
步骤1： 输入a,b的值； 步骤2： 如果a≥b,则先打印a，再打印b； 否则，先打印b，再打印a；算法结束。
用自然语言表示算法的特点：通俗易懂，但不 严谨，容易产生歧义。
第一讲 算法引论
1.3 算法的描述 用流程图表示： 用流程图表示：
开始 输入a,b的值 假 真
a≥b
输出b,a的值
输出a,b的值
第一讲 算法引论
本章主要内容
1.1 1.2 1.3 1.4 什么是算法 算法与程序的区别 算法的描述 算法的性能分析
第一讲 算法引论
1.1什么是算法
算法（Algorithm）一词有Algorism衍生而来。 Algorism原作算术解释，来源于波斯作家Abu Ja’far Mahammed ibn Musa al Kowarizmi的名字 （大约825年），他写了一本关于数学的教科书。
第一讲 算法引论
1.1什么是算法
算法（Algorithm）是完成特定任务的有限指令集。 它具有五个特性： 1.输入。由外部提供零个或多个输入量。 2.输出。至少产生一个输出 3.确定性。每条指令必须清晰、无歧义。 4.有穷性。一个算对任何一个输入必须在执行有穷 步后终止。 5.可行性。每条指令必须非常基础，原则上用纸和 笔就可以实现。
算法设计与分析基础
2023/12/21
20
LingJie/GDUT
1.2.6 详细表述该算法的方法
• 可以用到的工具有自然语言（nature
language）、伪代码（pseudocode）以及程序 流程图（flow chart）等。
• 当对一个问题有了概要的理解后，下面的工作
就是把这个问题的想法进行细化。所谓的细化 就是把它们表示成算法的步骤。
令执行顺序以及同步等问题。并行算法的设计 有相应的理论，这里仅考虑串行算法。
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LingJie/GDUT
1.2.3 选择精确或者近似的算法
• 解决问题下一步要考虑的是使用精确的还是近
似的算法。并不是每一个可解的问题都有精确 的算法，例如求一个数的平方根，求非线性方 程的解等。有时候一个问题有精确的解法但是 算法的执行效率很差，例如旅行家问题。因此 如果待处理的问题涉及到上述那些方面，则要 考虑是选择精确的还是近似的算法。
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LingJie/GDUT
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第一步：找出m的所有质因数。 第二步：找出n的所有质因数。 第三步：从第一步求得的m的质因数分解式和第二步求得的n
的质因数分解式中，找出所有公因数。 第四步：将第三步找到的公因数相乘，结果为所求的
第1章 基础知识_算法设计与分析
好的算法 一个好的算法应具有以下4个重要特性: 1.正确性（correctness）：算法的执行结果应 当满足预先规定的功能和性能要求。 2.简明性（simplicity）：算法应思路清晰、层 次分明、容易理解、利于编码和调试。 3.效率（efficiency）：算法应有效使用存储空 间，并具有高的时间效率。 4.最优性（optimality）：算法的执行时间已达 到求解该类问题所需时间的下界。
输入：非负整数 m, n，其中m与n不全为0 输出：m 与 n 的最大公约数 1. while m>0 do 2. r n mod m 3. n m 4. m r 5. return n
实例：改进的顺序检索
算法1.2 Search(L,x)
输入：数组L[1..n]，其元素按照从小到大排列，数 x. 输出：若 x 在L中，输出 x 的位置下标 j；否则输出0. 1. j1 2. while jn and x>L[j] do jj+1 3. if x<L[j] or j>n then j0 4. return j
万金梁程序设计分治策略动态规划贪心算法回溯与分支限界np完全理论近似算法随机算法处理难解问题的策略算法分析与问题的计算复杂性算法设计技术基础知识算法分析方法计算复杂性理论问题处理策略11有关算法的基本概念12算法如何表示13算法复杂度14数学基础
算法设计与分析
万金梁
课程主要内容
近似 随机 处理难解问 算法 算法 题的策略
• 渐近时间复杂度 使用大O记号及下面定义的几种渐近表示法表示的 算法时间复杂度，称为算法的渐近时间复杂度（ asymptotic complexity）。 只要适当选择关键操作，算法的渐近时间复杂度 可以由关键操作的执行次数之和来计算。一般地 ，关键操作的执行次数与问题的规模有关，是n的 函数。
输入：非负整数 m, n，其中m与n不全为0 输出：m 与 n 的最大公约数 1. while m>0 do 2. r n mod m 3. n m 4. m r 5. return n
实例：改进的顺序检索
算法1.2 Search(L,x)
输入：数组L[1..n]，其元素按照从小到大排列，数 x. 输出：若 x 在L中，输出 x 的位置下标 j；否则输出0. 1. j1 2. while jn and x>L[j] do jj+1 3. if x<L[j] or j>n then j0 4. return j
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算法设计与分析
万金梁
课程主要内容
近似 随机 处理难解问 算法 算法 题的策略
• 渐近时间复杂度 使用大O记号及下面定义的几种渐近表示法表示的 算法时间复杂度，称为算法的渐近时间复杂度（ asymptotic complexity）。 只要适当选择关键操作，算法的渐近时间复杂度 可以由关键操作的执行次数之和来计算。一般地 ，关键操作的执行次数与问题的规模有关，是n的 函数。
算法分析与设计第1章详解教学内容
21
1.1.4 问题求解的一般过程
理解问题 精确解或近似解
选择数据结构 算法设计策略设计算法22/601.1.5 重要的问题类型
1. 查找问题 2. 排序问题 3. 图问题 4. 组合问题 5. 几何问题
23
1.2 算法分析
1.2.1 最好、最坏和平均情况 1.2.2 渐近符号 1.2.3 非递归算法的分析 1.2.4 递归算法的分析 1.2.5 算法的实验分析
➢ 计算机B+合并排序算法(c2=50)，则计算机B花的时间为：
10/60
1.1.2 算法及其重要性质
• 算法是指解决问题的一种方法或一个过程。 • 算法是若干指令的有穷序列，满足性质： ➢ (1)输入：有外部提供的量作为算法的输入。 ➢ (2)输出：算法产生至少一个量作为输出。 ➢ (3)确定性：组成算法的每条指令是清晰，无歧义的。 ➢ (4)有限性：算法中每条指令的执行次数是有限的，执行每条
操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。该子程 序得到输出结果后便终止。
13/60
1.1.3 算法的描述方法
⑴ 自然语言 优点：容易理解 缺点：冗长、二义性 使用方法：粗线条描述算法思想 注意事项：避免写成自然段
14/60
欧几里德算法
① 输入m 和n； ② 求m除以n的余数r； ③ 若r等于0，则n为最大公约数，算法结束；
9/60
算法可以看做一项技术
• ™算法可以看作是一项技术
• 例 对于排序问题（问题规模：n=106）
➢ 插入排序算法：复杂度c1n2 ➢ 合并排序算法：复杂度c2nlog2n ➢ 计算机A每秒能执行10亿条指令 ➢ 计算机B每秒能执行1000万条指令 ➢ 计算机A+插入排序算法(c1=2)，则计算机A花的时间为：
1.1.4 问题求解的一般过程
理解问题 精确解或近似解
选择数据结构 算法设计策略设计算法22/601.1.5 重要的问题类型
1. 查找问题 2. 排序问题 3. 图问题 4. 组合问题 5. 几何问题
23
1.2 算法分析
1.2.1 最好、最坏和平均情况 1.2.2 渐近符号 1.2.3 非递归算法的分析 1.2.4 递归算法的分析 1.2.5 算法的实验分析
➢ 计算机B+合并排序算法(c2=50)，则计算机B花的时间为：
10/60
1.1.2 算法及其重要性质
• 算法是指解决问题的一种方法或一个过程。 • 算法是若干指令的有穷序列，满足性质： ➢ (1)输入：有外部提供的量作为算法的输入。 ➢ (2)输出：算法产生至少一个量作为输出。 ➢ (3)确定性：组成算法的每条指令是清晰，无歧义的。 ➢ (4)有限性：算法中每条指令的执行次数是有限的，执行每条
操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。该子程 序得到输出结果后便终止。
13/60
1.1.3 算法的描述方法
⑴ 自然语言 优点：容易理解 缺点：冗长、二义性 使用方法：粗线条描述算法思想 注意事项：避免写成自然段
14/60
欧几里德算法
① 输入m 和n； ② 求m除以n的余数r； ③ 若r等于0，则n为最大公约数，算法结束；
9/60
算法可以看做一项技术
• ™算法可以看作是一项技术
• 例 对于排序问题（问题规模：n=106）
➢ 插入排序算法：复杂度c1n2 ➢ 合并排序算法：复杂度c2nlog2n ➢ 计算机A每秒能执行10亿条指令 ➢ 计算机B每秒能执行1000万条指令 ➢ 计算机A+插入排序算法(c1=2)，则计算机A花的时间为：
算法设计与分析讲义算法分析基础
06
总结与展望
算法设计与分析的未来发展方向
算法复杂度优化
随着大数据和人工智能的发展，对算法的执行效率和内 存使用效率的要求越来越高，未来将有更多的研究关注 于设计具有更低复杂度的算法。
混合算法设计
目前算法设计已经发展出了多种不同的方法和技术，未 来将会有更多的研究工作在混合使用这些方法和技术上 展开，以实现更高效的算法设计。
0-1背包问题算法设计
总结词
0-1背包问题是一类经典的动态规划问题， 旨在在给定容量的背包中装入最大价值的物 品。
详细描述
0-1背包问题可以通过动态规划进行求解， 时间复杂度为O(n^2)，其中n为物品数量。 在物品数量较多的情况下，需要使用更高效 的算法进行优化，如记忆化搜索和自顶向下
的动态规划。
实践编程
通过编程实践，可以更好地理解和 掌握算法设计与分析的基本原理和 方法。
阅读和研究论文
阅读和研究最新的算法设计和分析 论文，可以帮助你了解最新的研究 方向和技术进展。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
贪心算法在解决优化问题时，通过每一步局部最优的选择，从而达到全局最优。这种算法在每一步选择时，都 采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是最好或最优的。贪心算法不适用于所 有问题，但它在一些经典问题中表现出色，如背包问题、霍夫曼编码等。
分治算法
总结词
分治算法是一种将问题划分为若干个子问题，然后将子问题的解组合成原问题的 解的算法。
算法的特性
有穷性
算法必须在有限的时间内执行完毕。
可行性
算法必须在理论上是可行的，即可以通过 计算机或其他计算设备实现。
确定性
算法的每个步骤都必须清晰明确，没有歧 义。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2）有没有已经解决了的类似问题可供借鉴？
1.4 算法设计的一般过程
在模型建立好了以后，应该依据所选定的模型对问 题重新陈述,并考虑下列问题: (1)模型是否清楚地表达了与问题有关的所有重要
的信息?
(2)模型中是否存在与要求的结果相关的数学量? (3)模型是否正确反映了输入、输出的关系? (4)对这个模型处理起来困难吗？
程序设计研究的四个层次：
算法→方法学→语言→工具
理由2：提高分析问题的能力
算法的形式化→思维的逻辑性、条理性
1.2 算法及其重要特性
一、算法以及算法与程序的区别
例：欧几里德算法——辗转相除法求两个自然数 m 和 n 的最大公约数
m n
欧几里德算法
r
1.2 算法及其重要特性
欧几里德算法
① 输入m 和nห้องสมุดไป่ตู้如果m<n,则m、n互换；
对不合法的输入能作出相适应的反映并进行处理。 （2） 健壮性（robustness）: 算法对非法输入的抵抗能力， 即对于错误的输入，算法应能识别并做出处理，而不是 产生错误动作或陷入瘫痪。 （3）可读性：算法容易理解和实现，它有助于人们对算 法的理解、调试和修改。 （4） 时间效率高：运行时间短。 （5） 空间效率高：占用的存储空间尽量少。
算法设计与分析
Design and Analysis of Computer Algorithms
高曙
教材：
算法设计与分析（第二版），清华大学出版社，王红梅， 胡明 编著
参考书目：
Introduction to Algorithms, Third Edition， Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest，机械工 业出版社，2012
1.4 算法设计的一般过程
待求解的问题
问题描述
问题分析与建模
选择算法设计技术
算法的详细设计
算法的正确性证明或 手工运行算法
分析算法的效率
满意
不满意
文档编制与 算法的编写代码
1.4 算法设计的一般过程
以货郎担问题为例： 一、问题的描述 例:货郎担问题 设售货员在一天内要到5个城市去推销货物，已知从一 个城市到其他城市的费用，求总费用最少的路线。给出 的信息主要有五个城市的关系图及相应的费用矩阵。 二、问题分析与模型的拟制 建模阶段至少要考虑以下两个基本问题： 1）最适合于这个问题的数学模型是什么？
算法是计算机科学领域最重要的基石之一，在网络时代，越来 越多的挑战需要卓越的算法来解决。
例子：Google的处理方式
挑战：
每天Google的网站要处理十亿个以上的搜索； GMail要储存几千万用户的2G邮箱； Google Earth要让数十万用户同时在整个地球上遨游，并将合适的 图片经过互联网提交给每个用户。
1.5 重要的问题类型
二、排序问题sort
迄今为止，已经发明的排序算法不下几十种，没有一种排 序算法在任何情况下都是最好的解决方案。
1.1.5 重要的问题类型
三、图问题graph problem
算法中最古老也最令人感兴趣的领域是图问题，很多纷乱复 杂的现实问题抽象出的数据模型都是图结构。货郎担问题— 经典例子
借助该算法，Google几乎能无限地增加计算量，与日新
月异的互联网应用一同成长。
第 1章
算法设计基础
1.1 为什么要学习算法
1.2 算法及其重要特性
1.3 算法的描述方法
1.4 算法设计的一般过程
1.5 重要的问题类型
1.1 为什么要学习算法
理由1：算法——程序的灵魂
问题的求解过程： 分析问题→设计算法→编写程序→整理结果
② 求m除以n的余数r； ③ 若r等于0，则n为最大公约数，算法结束；
否则执行第④步；
④ 将n的值放在m中，将r的值放在n中；
⑤ 重新执行第②步。
1.2 算法及其重要特性
算法（Algorithm）：是对特定问题求解步骤的一种描述，是
为解决一个或一类问题给出的一个确定的、有限长的操作序列。
算法与程序的区别
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章
算法设计基础 算法分析基础 蛮力法 分治法 减治法 动态规划法
自学
课程简介
“算法设计与分析”是计算机科学与技术相关专业 的专业基础课。算法在计算机科学中具有核心的地 位和作用。在各种计算机软件系统的实现中，算法 设计往往处于核心地位。 在实现一个软件系统时，必须要解决的几个重要问 题都与算法理论相关： 1. 用什么方法设计算法？ 2. 如何判定一个算法的优劣？ (设计的算法需要占用多少时间和空间资源？)
成绩评定
学 时 数：
总学时40＝理论学时32＋实验学时8
成绩评定：平时成绩+期末大作业成绩（待定）
平时成绩=出勤+实验+平时作业 期末大作业（待定） 利用北京大学PKU在线测评系统：/
或者利用浙江大学acm平台自选两题： /onlinejudge/。
⑷ 确定性：算法中的每一条指令必须有确切的含义，对于 相同的输入只能得到相同的输出。 ⑸ 可行性：算法描述的操作可以通过已经实现的基本操作
执行有限次来实现。
1.2 算法及其重要特性
三、一个好算法的五大特性：
（1） 正确性（correctness）: 算法能满足具体问题的需 求，即对于任何合法的输入，算法都会得出正确的结果；
程序：与某种语言有关，能直接在机器上运行。 算法：与特定的语言无关，可用任何语言实现 ，甚至可 以用自然语言实现，但是一般为了避免二义性，本书采 用伪代码描述。
1.2 算法及其重要特性
二、算法的五大特性：
⑴ 输入：一个算法有零个或多个输入。 ⑵ 输出：一个算法有一个或多个输出。
⑶ 有穷性：一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且 每一步都在有穷时间内完成。
教学目的
本课程的教学目的是讲授在计算机应用中常常遇到的 实际问题的解决方法，讲授设计和分析各种算法的基 本原理、方法和技术，提高学生求解问题和分析问题 的能力。
通过本课程的学习：
1.系统的学习和掌握计算机领域常见而有代表性算法设计方法；
2.培养对算法复杂性进行分析的能力；
3.为独立地设计算法和对算法进行分析奠定坚实的知识基础。
并行算法：Map and Reduce 用于大规模数据集（大于1TB）的并行运算 （由Google公司的Jeffrey
Dean和Sanjay Ghemawat提出 ）
设计思想：1、任务划分
特点:
2、 数据归并
1、高效性:这个算法能够在很多种计算中达到相当高的效
率，而且是可扩展的。
2、可靠性：它可以利用大批廉价的机器组成功能强大的 server farm。其容错性能异常出色。
1.5 重要的问题类型
五、几何问题geometry problem
几何问题处理类似于点、线、 面、体等几何对象。 几何问题与其他问题的不同 之处在于，哪怕最简单、最 初等的几何问题有时也难以 用符号化的方法去处理。 例子：最近对问题；凸包问 题。 怎么修围墙满足利用最大化？
“计算机算法的 圣经”
Introduction to the Design and analysis of Algorithms (Third Edition),Anany Levitin, 影印版，清华大学出版社影 印版2013
讲授主要内容
第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 贪心法 回溯法 分支限界法 概率算法 近似算法 计算复杂性理论
三、算法设计方法的选择与详细设计 算法的详细设计是指设计求解某个具体问题的一系列 步骤，并且这些步骤可以通过计算机的各种操作实现。
以货郎担问题为例：采用蛮力法。
分析：
输入：城市数目n;费用矩阵C=(cij)n*n 输出：旅行路线TOUR;最小费用MIN
1.4 算法设计的一般过程
Salesman (n) i 1;tour0;min∞ while i<=(n-1)! do { pPHRMUTI(n-1,i); // PHRMUTI(n-1,i)是生成1到n-1的第i个排列的子过程 cost(T(p))EFP(c,T(p))； // EFP(c,T)是由费用矩阵c及路线T(p)所算得的总费用 if cost(T(p))<min { tourT(p); mincost(T(p)) } ii+1; } print min, tour
1. 3 算法的描述方法
⑴ 自然语言 优点：容易理解 缺点：冗长、二义性 使用方法：粗线条描述算法思想 注意事项：避免写成自然段
① 输入m 和n，如果m<n,则m、n互换； ② 求m除以n的余数r； 欧几里德算法 ③ 若r等于0，则n为最大公约数，算法结束； 否则执行第④步； ④ 将n的值放在m中，将r的值放在n中； ⑤ 重新执行第②步。
课程简介
“算法设计与分析”课程主要研究内容是算法理论 中算法的设计技术和算法的分析技术。
算法理论的两大论题：
1.算法设计——如何设计一个有效的算法 How to design algorithms 2.算法分析——对已设计的算法如何评价其优劣 How to analyze algorithm efficiency 二者相互依存：设计出的算法需要检验和评价，对 算法的分析反过来又将改进算法的设计
1.3 算法的描述方法
⑵ 流程图 优点：流程直观 缺点：缺少严密性、灵活性 使用方法：描述简单算法 注意事项：注意抽象层次
开始 输入m和n r=m % n r=0 Y
N
欧几里德算法 m=n；n=r
输出n 结束
1.3 算法的描述方法