算法设计与分析(第二版) 第1章
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《算法设计与分析》第01章
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2014年6月28日星期六
1.4.3 归纳证明
定理1-1 对于n≥0，程序1-5是正确的。 证明：（归纳法证明） 当n是1位数时，程序显然是正确的。 假定函数PrintDigit对所有位数小于k（k＞1）的正 整数都能正确运行，当 n 的位数为 k 位时，此时有 n≥10 ，算法必定先执行语句 cout<<n%10; 然后执 行语句if(n>10) PrintDigit(n/10);。
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可以用所谓的递归树（recursive tree）来描述程 序1-4的函数Fib执行时的调用关系。
图1-2 计算Fib（4）的递归树
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递归数据结构 使用递归方式定义的数据结构称为递归数据结构 （recursive data structure）。
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Begin
Rm%n
Y
r=0？ N
Swap(m.n)
End
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假设 m=21 和 n=45，求21和45的最大公因子
第一步：r=m%n=21%45=21； 第二步：r 不等于0，转入第三步； 第三步：互换，m=n=45, n=r=21，返回第一步。 第一步：r=m%n=45%21=3； 第二步：r 不等于0，转入第三步； 第三步：互换，m=n=21 ， n=r=3，返回第一步。 第一步：r=m%n=21%3=0； 第二步：r 等于0，算法结束，3即为21和45的最大公因子。
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算法分析与设计 第1章习题答案 1-1,1-2,1-3,1-6
第一章习题（1-1,1-2,1-3,1-6）1-1 求下列函数的渐进表达式3n2+10n = O(n2)n2/10+2n = O(2n)21+1/n = O(1)logn3 = O(logn)10log3n = O(n)知识点：如果存在正的常数C和自然数N0，使得：当N>=N0时有f(N)<=Cg(N)，则称f(N)当N充分大时上有界，且g(N)是它的一个上界，记为f(N)=O(g(N)).这时，可以说f(N)的阶不高于g(N)的阶。
1-2 论O(1)和O(2)的区别O(1)和O(2)差别仅在于其中的常数因子，根据渐进上界记号O的定义可知，O(1)=O(2)。
1-3 从低到高排列以下表达式（按渐进阶排列以下表达式）结果：2 logn n2/320n 4n23n n! 分析：当n>=1时，有logn< n2/3当n>=7时，有3n < n!补充：当n>=4时，有logn> n1/31-6 对于下列各组函数f(n)和g(n)，确定f(n)=O(g(n))或f(n)=Ω(g(n))或f(n)=Θ(g(n))。
知识点：f(n)的阶不高于g(n)的阶：f(n)=O(g(n))；f(n)的阶不低于g(n)的阶：f(n)=Ω(g(n))；f(n)与g(n) 同阶：f(n)=Θ(g(n)) (1)f(n)= logn2 ; g(n)= logn+5f(n)与g(n)同阶，故f(n)=Θ(g(n)) (2) f(n)= logn2 ; g(n)= n1/2当n>=8时，f(n)<=g(n)，故f(n)=O(g(n))分析：此类题目不易直接看出阶的高低，可用几个数字代入观察结果。
如依次用n=1, 21, 22, 23, 26, 28, 210 (3) f(n)= n ; g(n)= log2nf(n)=Ω(g(n))(4) f(n)= nlogn+n; g(n)= lognf(n)=Ω(g(n))(5) f(n)= 10 ; g(n)= log10f(n)=Θ(g(n))(6) f(n)= log2n ; g(n)= lognf(n)=Ω(g(n))(7) f(n)= 2n ; g(n)= 100 n2f(n)=Ω(g(n))(8) f(n)= 2n ; g(n)= 3nf(n)=O(g(n))。
算法算法设计与分析课件(第2版)
例2 sum=0； （一次） for(i=1;i<=n;i++) （n次 ） for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ） sum++； （n^2次 ） 解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)
例3 a=0;b=1; ① for (i=1;i<=n;i++) ② { s=a+b; ③ b=a; ④ a=s; ⑤ } 解： 语句1的频度：2, 语句2的频度： n, 语句3的频度： n-1, 语句4的频度：n-1, 语句5的频度：n-1, T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
例4 i=1; ① while (i<=n) i=i*2; ②
解： 语句1的频度是1, 设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n 取最大值f(n)= log2n, T(n)=O(log2n )
例5： for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<i;j++) { for(k=0;k<j;k++) x=x+2; } } 解：当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里 最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2 次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(11)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以 时间复杂度为O(n^3).
求解如下几个算法的复杂度 例1 Temp=i;i=j;j=temp; 以上三条单个语句的频度均为1，该程序段 的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。 算法的时间复杂度为常数阶，记作 T(n)=O(1)。如果算法的执行时 间不随着 问题规模n的增加而增长，即使算法中有上 千条语句，其执行时间也不过是一个较大 的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。
算法设计与分析：第1章 算法分析基础
算法测试
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算法的执行时间绝大部分花在循环 和递归上
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1.3.3 算法复杂度
时间复杂度（ time complexity ）
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课程介绍
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主要内容
1. 算法的基本概念和常见符号 2. 算法设计的常用技术
• 递归法、蛮力法、分治法、减治法 • 贪心法、动态规划、回溯法、分支限界法 • 概率算法、近似算法、计算复杂性理论 3. 算法的评价：复杂度分析
引言
1.1 算法概述
算法设计与分析 王红梅 第二版 第1章 算法设计基础复习进程
2020/6/3
Algorithm Introduction
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算法的描述方法
#include <iostream.h>
int CommonFactor (int m, int n)
欧{ 几 int r=m % n;
里 德
while (r!=0) {
m=n;
算
n=r;
法 r=m % n; } return m; }
例1.2 求两个自然数的最大公约数 [想法1]用短除法找出两个数的公因子，再相乘就
是最大公约数。 [算法1]找两个数的公因子目前只能用蛮力法逐个
尝试，用2－min(m,n)进行枚举尝试。
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算法在问题求解中的地位
算法1.1：CommFactorl（伪代码） 输入：两个自然数m和n 输出：m和n的最大公约数 1. factor=1; 2. 循环变量i从2~min(m,n),执行下述操作；
这是算法吗？
为什么？
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Algorithm Introduction
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算法及其重要特性
程序?
是算法用某种程序设计语言的具体实现。程序可以不满 足算法的性质(3)，即有穷性。
“好算法”的重要特性： （1）正确性：合法的输入，都会得出正确的结果 （2）健壮性：非法的输入，应能识别并处理 （3）可理解性：可读性，易理解 （4）抽象分级：通过抽象分级减少求解步骤 （5）高效性：时间和空间效率
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Algorithm Introduction
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1. 查找问题 2. 排序问题 3. 图问题 4. 组合问题 5. 几何问题
第1章 算法设计与分析
问题
• 那个排序算法效率最高？ • 是否可以找到更好的算法？排序问题的计算难度如何估计？
例3 货郎问题
货郎问题：
• 有穷个城市的集合C = { c1, c2, …, cm}, 距离 d(ci, cj) = d(cj, ci)Z+, 1 i < j m • 求 1, 2 …, m 的排列 k1, k2, …, km使得
A(n) IS t I pI
A( n) i
i 1 n
p p( n 1) (1 p)n (1 p)n n 2
1.3.1 什么是好的算法
好的算法 一个好的算法应具有以下4个重要特性: 1.正确性（correctness）：算法的执行结果应 当满足预先规定的功能和性能要求。 2.简明性（simplicity）：算法应思路清晰、层 次分明、容易理解、利于编码和调试。 3.效率（efficiency）：算法应有效使用存储空 间，并具有高的时间效率。 4.最优性（optimality）：算法的执行时间已达 到求解该类问题所需时间的下界。
• 一个程序步（program step）是指在语法上或语 义上有意义的程序段，该程序段的执行时间必须 与问题实例的规模无关。
【程序2-1】 求数组元素累加之和的迭代程序 float Sum(float list[], const int n) { float tempsum=0.0; count ++; //针对赋值语句 for (int i=0; i<n; i++ ){ count ++; //针对for循环语句 tempsum+ =list[i]; count ++; //针对赋值语句 } count ++; //针对for的最后一次执行 count ++; //针对return语句 return tempsum; }
算法设计与分析-王-第1章-算法设计基础
2）有没有已经解决了的类似问题可供借鉴？
1.4 算法设计的一般过程
在模型建立好了以后，应该依据所选定的模型对问 题重新陈述,并考虑下列问题: (1)模型是否清楚地表达了与问题有关的所有重要
的信息?
(2)模型中是否存在与要求的结果相关的数学量? (3)模型是否正确反映了输入、输出的关系? (4)对这个模型处理起来困难吗？
程序设计研究的四个层次：
算法→方法学→语言→工具
理由2：提高分析问题的能力
算法的形式化→思维的逻辑性、条理性
1.2 算法及其重要特性
一、算法以及算法与程序的区别
例：欧几里德算法——辗转相除法求两个自然数 m 和 n 的最大公约数
m n
欧几里德算法
r
1.2 算法及其重要特性
欧几里德算法
① 输入m 和nห้องสมุดไป่ตู้如果m<n,则m、n互换；
对不合法的输入能作出相适应的反映并进行处理。 （2） 健壮性（robustness）: 算法对非法输入的抵抗能力， 即对于错误的输入，算法应能识别并做出处理，而不是 产生错误动作或陷入瘫痪。 （3）可读性：算法容易理解和实现，它有助于人们对算 法的理解、调试和修改。 （4） 时间效率高：运行时间短。 （5） 空间效率高：占用的存储空间尽量少。
算法设计与分析
Design and Analysis of Computer Algorithms
高曙
教材：
算法设计与分析（第二版），清华大学出版社，王红梅， 胡明 编著
参考书目：
Introduction to Algorithms, Third Edition， Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest，机械工 业出版社，2012
算法设计与分析(第2版) 郑宗汉 第1章-1
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Байду номын сангаас
学习要求
深刻理解每一类算法的思想及其实现
能熟练运用所学知识解决实际问题
培养提高计算思维能力
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考核方式
Homework and Reading: 20%
Final Exam (Written Test): 80%
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第1章 算法的基本概念
1.1 引言
1.1.1 算法的定义和特性
c %3 0
（1.1.3）
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1.1.2 算法的设计和复杂性分析
百鸡问题的穷举法
输入：所购买的3种鸡的总数目n 输出：满足问题的解的数目k,公鸡,母鸡,小鸡的只数g[],m[],s[]
1. void chicken_question(int n, int &k, int g[], int m[], int s[]) 2. { 3. int a,b,c; 分析发现：只能买到n/5 4. k = 0; 只公鸡，n/3只母鸡，将 5. for (a = 0; a <= n; a++) { 算法进行改进。 6. for ( b = 0; b <= n; b++) { 7. for (c = 0; c <= n; c++) { 8. if ((a + b + c == n) && (5 * a + 3 * b + c / 3 == n) && (c%3 == 0)) { 9. g[k] = a; 10. m[k] = b; 11. s[k] = c; 12. k++; 13. } 14. } 15. } 16. } 17. }
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(7) 复合数据可以组织成由属性或域组成的对象。通过 域名后跟方括号括住的对象名访问某个特定域。
(8) 通过传值将参数传给一个过程。被调用的过程接收 参数的一个复制，如果它对某个参数赋值，则调用过程是看 不到这种变化的。当传递一个对象时，只是拷贝指向对象的 数据的指针，不拷贝它的各个域。
(9) “and”和“or”是布尔运算符。当对表达式“x and y” 求值时，首先计算x的值，如果其值为FALSE，则整个表达 式的值为FALSE，无需再计算y的值；如果x的值为TRUE， 则必须计算y的值，这样才能决定整个表达式的值。类似地， 当对表达式“x or y”求值时，仅当x的值为FALSE时，才需 计算表达式y的值。
·终止：当i>length［A］，即i = length［A］ +1时，外 层for循环结束。在外循环不变式中，用length［A］+1代替i， 可得子数组A［1..length［A］］。由循环不变式得，子数组 有序，而这个子数组就是整个数组。因此，整个数组有序， 这表明冒泡排序算法是正确的。
1.1.3 伪代码使用约定 在本书的伪代码(pseudocode)中使用以下约定： (1) 缩进形式表示块结构。 (2) while、do-while、for循环结构(语句)以及if-then-else
迭代，在A［i］位置产生当前元素比较范围A［i..n］内的一
个最小值。下标i从数组第一个元素开始，从左向右移动，
直至数组中的最后一个元素。深色阴影部分表示数组元素A
［1..i］构成的已排好的序列，浅色阴影部分表Байду номын сангаас外层循环
开始时的下标i。数组元素A［i+1..n］表示当前正在处理的
序列。
图1-1 冒泡排序工作过程
(10) break语句表示将控制转移到含有break的最内层循 环语句后面的第一条语句。循环语句可以是约定(2)中所列 的那些循环语句。
1.2 算 法 分 析
1.2.1 冒泡排序算法分析 BUBBLE-SORT过程的时间开销与输入有关：1000个元
用性质，这个性质可以用于证明算法的正确性。
下面，我们考察这些性质是如何对冒泡排序成立的。首 先证明内层for循环的不变式。
·循环不变式：A［j］是A［j..length［A］］中的最小元 素。
·初始：在内循环第一次开始迭代之前，j = length ［A］，因此，子数组A［length［A］..length［A］］ 中只 包含一个元素，也即子数组中的最小元素，此时，循环不变 式成立。
·维持：假定在内循环的某次迭代之前循环不变式为真， 即A［j］是A［j..length［A］］中的最小元素。在下一次迭 代之前，若元素A［j］<A［j－1］，则执行冒泡算法中的第 4行语句，A［j］与A［j－1］ 交换，于是A［j－1］是A［j －1..length［A］］中的最小元素；若A［j］≥A［j－1］ ，那么不执行第4行语句，A［j－1］仍然是A［j－1..length ［A］］中的最小元素。无论哪一种情况，都能使循环不变 式为真。
条件结构(语句)分别采用类似于高级语言中的相应表示。 (3) 符号“∥”的后面是注释部分。 (4) 多重赋值i←j←e是将表达式e的值赋给变量i和变量j，
这种赋值与i←e和j←e等价。 (5) 变量如i、j和key是给定过程的局部变量。不经显式
说明，不使用全局变量。 (6) 通过数组名后跟索引访问数组元素。
1 for i 1 to length[A]
2
do for j length[A] downto i + 1
3
do if A[j] < A[j – 1]
4
then exchange A[j] A[j – 1]
图1-1说明了输入实例为A =〈5，2，4，6，1，3〉时，
算法BUBBLE-SORT的工作过程。对于外层for循环的每一次
·终止：对于冒泡排序，当j<i+1，即j=i时，内层for循 环结束。在内循环不变式中，用i代替j，可得子数组A ［i..length［A］］，其中A［i］是最小元素。
其次，证明外层for循环的不变式。 ·循环不变式：在1～4行外层for循环的每次迭代开始时， 子数组A［1..i－1］中的元素有序。 ·初始：在外层for循环的第一次迭代之前，i=1，因此， A［1..0］为空，循环不变式成立。 ·维持：假定在外循环的某次迭代之前循环不变式为真， 即子数组A［1..i－1］中的元素有序。在下一次迭代之前， 由内循环的不变式可得A［i－1］≤A［i］成立，因此，子数 组A［1..i］中的元素有序。
1.1.2 循环不变式和冒泡排序算法的正确性 我们可以利用循环不变式证明算法的正确性。循环不变
式具有以下三个性质： ·初始(initialization)：在循环的第一次迭代之前，循环
不变式为真。 ·维持(maintenance)：如果在循环的某次迭代之前循环
不变式为真，那么在下一次迭代之前，循环不变式仍然为真。 ·终止(termination)：当循环终止时，循环不变式给出有
1.1.1 冒泡排序 冒泡排序(bubble sort)属于基于交换思想的排序方法。
它将相邻的两个元素加以比较，若左边元素值大于右边元素 值，则将这两个元素交换；若左边元素值小于等于右边元素 值，则这两个元素位置不变。右边元素继续和下一个元素进 行比较，重复这个过程，直到比较到最后一个元素为止。
冒泡排序的伪代码用过程BUBBLE-SORT表示，其参数 为包含n个待排序数的数组A［1..n］。当过程BUBBLESORT结束时，数组A中包含已排序的序列。
第1章 算法基础
1.1 算法 1.2 算法分析 1.3 算法的运行时间 习题
1.1 算 法
算法(algorithm)可以被定义为一个良定的计算过程，它 具有一个或者若干输入值，并产生一个或者若干输出值。因 此，算法是由将输入转换成输出的计算步骤所组成的序列。
也可将算法看做是解决良定计算问题的工具。人们采用 一般术语陈述问题，确定输入/输出关系，而算法则是描述 这种输入/输出关系的特定计算过程。