导数及其应用复习小结

2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断 [a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 则它必有最大值和最小值. 必有最大值和最小值 线,则它必有最大值和最小值.
f(x1) y
f(x3)
f(b)
a x1
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函数导数方程不等式中等问题复习选讲 函数导数方程不等式中等问题复习选讲
解 :(I) f ′( x ) = 3mx − 6( m + 1) x + n 因为 x = 1 是函数 f ( x ) 的
2
一 个极值 点 ,所以 f ′(1) = 0 , 即 3m − 6( m + 1) + n = 0 ， 所以 所以
以曲线的切线为例，在一条曲线 ： 以曲线的切线为例，在一条曲线C：y=f(x) 上取一点P(x0，y0)，点Q(x0+△x，y0+△y) 上取一点 ， △ ， △ 是曲线C上与点 临近的一点，做割线 ， 是曲线 上与点P临近的一点 做割线PQ， 上与点 临近的一点， 当点Q沿曲线 无限地趋近点 当点 沿曲线C无限地趋近点 时，割线 沿曲线 无限地趋近点P时 割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT， 便无限地趋近于某一极限位置 ，我们就 把直线PT叫做曲线 的在点 处的切线。 把直线 叫做曲线C的在点 处的切线。 叫做曲线 的在点P处的切线
−
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+
ր
0 极大值
ց
ց
2 2 故由上表知,当 单调递减,在 单调递增, 故由上表知 当 m < 0 时 , f ( x) 在 −∞,1 + 单调递减 在 1 + ,1 单调递增 m m
上单调递减. 在 (1, +∞) 上单调递减
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（III）由已知得 f ′( x) > 3m ，即 mx − 2( m + 1) x + 2 > 0 .又 m < 0 所 ） 又
n = 3m + 6 .
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2 （II）由（I）知， f ′( x) = 3mx − 6(m + 1) x + 3m + 6 = 3m( x − 1) x − 1 + ） ） m
y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x) f '(x)<0
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o a o a b x b x 为常数. 如果在某个区间内恒有 f ′(x) = 0 ,则 f (x)为常数 返回 则
函数的极值 1)如果 如果b (x)=0的一个根 (x)>0， 1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0， (x)=0的一个根，并且在b左侧附近f (x)>0 右侧附近f (x)<0 那么f(b)是函数f(x) (x)<0， f(b)是函数f(x)的一个极大值 在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值 如果a (x)=0 2) 如果 a 是 f’(x)=0 的一个根 ， 并且在 a 的左侧附近 (x)= 的一个根， 并且在a (x)<0 (x)>0 f’(x)<0 ， 在 a 右侧附近 f’(x)>0 ， 那么是 f(a) 函数 (x)< (x)> f(x)的一个极小值 的一个极小值. f(x)的一个极小值. 导数等于零的点不一定是极值点． 注：导数等于零的点不一定是极值点． 函数的最大（ 函数的最大（小）值与导数
第三章 导数及其应用复习小结
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本章知识结构
函数的瞬时变化率
导数概念
运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导
导数
导数运算
导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、 函数的极值、最值
导数应用
曲线的切线 变速运动的速度 最优化问题
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一．知识串讲 曲线的切线
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当点Q沿着曲线无限接近点 当点Q x→0时 割线PQ PQ如果有一 P即Δx→0时,割线PQ如果有一 y 个极限位置PT. PT.则我们把直线 个极限位置PT.则我们把直线 PT称为曲线在点 处的切线 称为曲线在点P 切线. PT称为曲线在点P处的切线.
y=f Q (x)
设切线的倾斜角为α 设切线的倾斜角为α,那 α P 么当Δx→0时 割线PQ PQ的 么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P 斜率,称为曲线在点P处的 o 切线的斜率. 切线的斜率. f (x0 +∆x) − f (x0 ) ∆y ' = lim 即: k切线 = f (x0 ) = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
' x ' x x ' x '
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1 7.若f(x)=logax，则f (x)= )=log x， xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx，则f (x)= )=lnx lnx， x
返回
导数的运算法则: 导数的运算法则:
法则1:两个函数的和( 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 1:两个函数的和 的导数, 和(差),即: ),即 ′
∆x → 0
∆x
∆x → 0
∆x
f(x)在点 在点x=x0处的导数，记为 ’(x0)，或y|x = x ； 处的导数，记为f 在点 ，
0
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2．导函数：如果函数y=f(x)在区间 ，b)内每一点都可导， ．导函数：如果函数 在区间(a， 内每一点都可导 内每一点都可导， 在区间 就说y=f(x)在区间 ，b)内可导．即对于开区间 ，b)内每一个 在区间(a， 内可导 即对于开区间(a， 内每一个 内可导． 就说 在区间 确定的x 都相对应着一个确定的导数f 确定的 0值，都相对应着一个确定的导数 ’(x0)，这样在开区 ， 内构成一个新函数， 间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做 ， 内构成一个新函数 把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内 在 ， 内 的导函数．简称导数．记作 的导函数．简称导数．记作f ’(x)或y’. 或 即f ’(x)=y’= lim f ( x + ∆ x ) − f ( x ) ∆x → 0 ∆x
（五）函数的最大值与最小值： 函数的最大值与最小值：
1．定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区 ．定义：最值是一个整体性概念， 或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值 间(或定义域 内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数 或定义域 内所有函数值中最大的值或最小的值， 值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为 ， 值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小 值记为m. 值记为
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此时割线PT斜率的极限就是曲线 在点 处的切线的斜率， 此时割线 斜率的极限就是曲线C在点 处的切线的斜率， 斜率的极限就是曲线 在点P处的切线的斜率 用极限运算的表达式来写出， 用极限运算的表达式来写出，即 k=tanα= lim f (x0 +∆x) − f (x0 )
∆x→0
法则3:两个函数的积的导数, 法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 3:两个函数的积的导数 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 函数, 数的平方. 数的平方.即:
f (x) ′ f ′(x)g(x) − f (x)g′(x) (g(x) ≠ 0) g(x) = 2 [ g(x)]
∆x
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（一）导数的概念： 导数的概念：
1．导数的定义 对函数 导数的定义：对函数 导数的定义 对函数y=f(x)，在点 ，在点x=x0处给自变量 x以增量△x，函数 相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)， 以增量△ ，函数y相应有增量 相应有增量△ 以增量 △ － ， 存在， 若极限 lim ∆y = lim f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) 存在，则此极限称为
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割 线 T 切 线 x
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定理 一般地，函数y 在某个区间(a,b) (a,b)内 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 f′(x)>0， y=f（ 1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增 内单调递增； 在这个区间（a,b)内单调递增； 2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） f′(x)<0， y=f（ 在这个区间(a,b)内单调递减。 (a,b)内单调递减 在这个区间(a,b)内单调递减。
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x2
0
g
x4 x3 b x 返回
g
f(a)
f(x2)
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例 5 已知 x = 1 是函数 f ( x) = mx − 3(m + 1) x + nx + 1
3 2
的一个极值点， 的一个极值点，其中 m, n ∈ R, m < 0 ， 的关系表达式； （I）求 m 与 n 的关系表达式； ） （II）求 f ( x) 的单调区间； 的单调区间； ） （ III）当 x ∈ [ −1,1] 时 ,函数 y = f ( x) 的图象上任意一 ） 函数 点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围 求 的取值范围.
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基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f' x)=0 )=c ( )=0 2.若f(x)=x n，则f' x)=nx n-1 (n ∈ R) )=x ( )=nx 3.若f(x)=sinx，则f' x)=cosx )=sinx sinx， ( )=cosx 4.若f(x)=cosx，则f (x)=-sinx )=cosx cosx， )=-sinx 5.若f(x)=a ，则f (x)=a ln a )=a )=a 6.若f(x)=e ，则f (x)=e )=e )=e
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3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点 0处的导数的几何意 ．导数的几何意义：函数 在点x 在点 处的切线的斜率， 义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线 就是曲线 在 处的切线的斜率 y=f(x)在点 0，f(x0))处的切线斜率为 ＝f ’(x0)．所以曲线 y＝ 在点P(x 处的切线斜率为k＝ 在点 处的切线斜率为 ． ＝ f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 在点 处的切线方程为 y−y0=f ’(x0)·(x－x0)． − － ． 4．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间 ．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程 关于时间 关于时间t 的函数为： 对于时间t的导数 的导数， 的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间 的导数， ， 即v(t)=s’(t).
[ f (x) ± g(x)] = f ′(x) ± g′(x)
法则2:两个函数的积的导数, 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 2:两个函数的积的导数 函数, 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
[ f (x)ig(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)
2
2 的变化如下表： 当 m < 0 时,有 1 > 1 + ,当 x 变化时 f ( x) 与 f ′( x) 的变化如下表： 有 当 变化时, m
x f ′( x)
f ( x)
2 −∞,1 + m
−
2 1+ m
0 极小值
2 1 + ,1 m
1
(1, +∞ )
2
2 2 g (−1) < 0, 1 + 2 + + < 0, 4 ⇒ 所以 解之得 − < m 又 m < 0 所以 m m 3 g (1) < 0. −1 < 0.
4 4 − < m < 0 .即 m 的取值范围为 − , 0 . 即 3 3
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2
2 2 2 2 2 以 x − ( m + 1) x + < 0 ,即 x − ( m + 1) x + < 0, x ∈ [ −1,1] ① 即 m m m m 1 2 2 其函数开口向上,由题意知 设 g ( x ) = x − 2(1 + ) x + ,其函数开口向上 由题意知①式恒成立 其函数开口向上 由题意知①式恒成立, m m