机械波多解问题考点

机械波多解问题专题

机械波的多解问题历来是高考中的热门考点，无论是全国卷，还是上海卷，都屡屡出现。同时本考点又是学生学习机械波时的难点所在。其主要表现在无法正确判断多解问题的原因，从而造成错解。本文将就机械波多解问题的源头―――产生原因作简要的探讨，并结合最近几年高考中出现的考题说明对应的解题策略。

１ 传播方向导致的多解问题

波源起振后产生的波可以在介质中向四周传播。若题 中没有特别注明传播方向，则求解时必须讨论其传播方向，从而导致了波的多解问题。

例１．（１９８７年全国高考题）如图所示，绳中有一列正弦横波，沿ｘ轴传播，α，ｂ是绳上两点，它们在ｘ轴上的距离小于一个波长，当α点振动到最高点时，ｂ点恰好经过平衡位置向上运动。试在图上α、ｂ之间画出波形图。

分析：本题没有注明波的传播方向，所以需要对波向＋ｘ轴，－ｘ轴方向传播讨论。由于α、ｂ间距离小于一个波长。因此α、ｂ间不足一个波长，其图像如图乙所示，（１）为波向＋ｘ轴传播时的波形；（２）是波沿－ｘ轴传播时的波形。

２ 波长大小导致的多解问题

因题中没有给定波长的确切条件，故引起答案的不确定性导致多解问题

例２ （１９９６年全国卷）如图甲所示，一根张紧的水平弹性长绳上的α、ｂ两点，相距１４．０ｍ。ｂ点在α点右方，当一列简谐波沿此绳向右传播时，若α点位移达到正向极大时，ｂ点位移恰好为零，且向下运动。经过１．００ｓ后，α点位移为零，且向下运动，而ｂ点的位移恰好达到负向极大，则这列简谐波的波速可能等于：

Ａ、４．６７ｍ／ｓ Ｂ、６ｍ／ｓ Ｃ、１０ｍ／ｓ Ｄ、１４ｍ／ｓ 分析：此题虽然已说明了波的传播方向，但满足题设条件的α、ｂ两点可以有无数个可能位置，图乙中的ｂ1、、b 2、b 3……等。只可以写出α、ｂ间距的通式； λλαn S b +=

43（ｎ＝０、１、２……）。从而波速的答案也是系列解答，经求解可知Ａ、Ｃ为正确答案。

３ 波形周期导致的多解问题

简谐机械波是周期性的，每经过一个周期波形与原波形重复，从而导致了问题的多解性。

例３（１９９６年上海卷）一列横波在某时刻的波形图如图中实线所示，经０．０２ｓ后波形如图中虚线所示，则该波的波速υ和频率ｆ可能是 （ ）

Ａ、υ＝５ｍ／ｓ Ｂ、υ＝４５ｍ／ｓ Ｃ、ｆ＝５０Ｈｚ Ｄ、ｆ＝３７．５Ｈｚ 分析：此题波的传播方向不确定，需分向＋ｘ轴和向－ｘ轴传播两种情况讨论。另外由于波形的周期性导致了传播波形的不确定性。若波向＋ｘ轴传播，传播的距离

λλn S +=41（ｎ＝０、１、２……），若向－ｘ轴传播，传播距离λλn S +=4

3（ｎ＝０、１、２……）,通过求解可知Ａ、Ｂ、Ｄ答案是正确的。

４ 质点振动方向导致的多解问题

例４ （１９９９年上海卷）一列简谐横波向右传播，波速为υ，沿波传播方向上有相距为 的Ｐ、Ｑ两质点，如图所示，某时刻Ｐ、Ｑ两点都处于平衡位置，且Ｐ、Ｑ间仅有一个波峰，经过时间ｔ，Ｑ质点第一次运动到波谷，则ｔ的可能值有

Ａ、１个 Ｂ、２个 Ｃ、３个 Ｄ、４个

分析：波从Ｐ向Ｑ传播，满足Ｐ、Ｑ在平衡位置且Ｐ、Ｑ间仅有一个波峰条件的机械波

形图有四种情形，如图所示，故正确答案为Ｄ。

５ 传播时间导致的多解问题

题目中所给定的时间条件不充分，可能比一个周期长，可能比一个周期短，从而导致了多解问题的出现。

例５（１９８５年全国卷）一列横波在ｘ轴上传播，ｔ1＝０和ｔ2=0.005s 时刻的波形分别如图中实线和虚线所示。（１）求这列波的波速；（２）若波速为６０００ｍ／ｓ，求波的传播方向。

分析：本题给定了两时刻的波形图，由于时间间隔与周期关系不确定。t ∆＞Ｔ、t ∆＜

Ｔ都可能，且波传播方向也不确定，必导致多解，满足题目条件的关系式为：

波向＋ｘ轴传时，t ∆＝nT T +4

1（ｎ＝０、１、２……）；波向－ｘ轴传时，t ∆＝nT T +4

3（ｎ＝０、１、２……）。从而可求出全部满足条件的解答。

６ 质点振动图像导致的多解问题

例６ （１９９４年上海卷）一列沿＋ｘ轴传播的简谐波，在ｘ1=10cm 和ｘ２=１１０cm 处的两点振动图线分另如图中实线和虚线所示，试求质点振动周期和简谐波的波长。

分析：题目只给定了两个质点振动图像还揭示了质点的关系。ｘ1质点在ｔ＝０时刻位

于正的最大位移处，ｘ２质点此时位于平衡位置且向上振动。但满足此条件的ｘ２位置有许多个，如图乙中的Ａ、Ｂ、Ｃ……等。因此，机械波的波长有多个答案。ｘ1、ｘ２间距要遵循

ｘ1－ｘ２＝λλn +41，从而可得m n 1

44+=λ（ｎ＝０、１、２……）

综上所述，机械波的多解问题产生的根本原因是由于机械波图形的周期性重复。因此我们在求解该类问题时，要充分重视图像的功能，对图像进行仔细分析，挖掘隐含条件，结合传播方向，利用波动知识，把波动问题全面圆满地解决。