直线与方程专题复习

专题复习 直线与方程

【基础知识回忆】

1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角

①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角α的范围 . （2）直线的斜率

①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 ②经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为：=k

③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。倾斜角为 的直线斜率不存在。 2.两直线垂直与平行的判定

（1）对于不重合的两条直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，，则有：

?21//l l ? ； ?⊥21l l ? . （2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0，另一条直线

斜率不存在时，两条直线 . 3.直线方程的几种形式

注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式. 4.三个距离公式

（1）两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P . （2）点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是：=d .

（3）两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的距离公式是：=d .

【典型例题】

题型一：直线的倾斜角与斜率问题

例1、已知坐标平面内三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A .

（1）求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角.

（2）若D 为ABC ?的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围.

例2、图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则：

A ．k 1＜k 2＜k 3

B ．k 3＜k 1＜k 2

C ．k 3＜k 2＜k 1

D ．k 1＜k 3＜k 2

例3、利用斜率证明三点共线的方法：

若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（0，ｍ）三点共线，则ｍ的值为 .

总结：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 例4、直线l 方程为02)1(=-+++a y x a ，直线l 不过第二象限，求a 的取值范围。

变式：若0

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

题型二：直线的平行与垂直问题

例1、 已知直线l 的方程为01243=-+y x ，求下列直线l '的方程, l '满足

（1）过点)3,1(-，且与l 平行；（2）过)3,1(-，且与l 垂直.

本题小结：平行直线系：与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为01=++C By Ax

垂直直线系：与直线0=++C By Ax 垂直的直线方程可设为02=+-C Ay Bx

变式：（1）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程

（2）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程

例2、1l ：0)1(=+-+m y mx ，2l ：02=-+m my x ，①若1l ∥2l ，求m 的值；②若1l ⊥2l ，求m 的值。

变式：（1）已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）

A. 0

B. 8-

C. 2

D. 10

（2）如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a =（ ）

A ． -3

B ．-6

C ．2

3- D ．3

2

（3）若直线

1:10

l mx y +-=与

2:250

l x y -+=垂直，则m 的值是 ．

题型三：直线方程的求法

例1、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。

例2、已知ABC ?三个顶点是)4,1(A -，)1,2(B --，)3,2(C ．

(1)求BC 边中线AD 所在直线方程；(2)求AC 边上的垂直平分线的直线方程 （3）求点Ａ到ＢＣ边的距离．

变式：1．倾斜角为45?，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）

A ．1y x =+

B ．1y x =--

C ．1y x =-+

D ．1y x =- 2．求经过A （2，1），B （0，2）的直线方程

3. 直线方程为02)1(=-+++a y x a ，直线l 在两轴上的截距相等，求a 的方程；

4、过P （1，2）的直线l 在两轴上的截距的绝对值相等，求直线l 的方程

5、已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程．

题型四：直线的交点、距离问题

例1：点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）

A ．2

B ．2

1 C ．1 D ．2

7

例2：已知点P （2，-1）。（1）求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；

（2）求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？

（3）是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。

例3：已知直线1:260l ax y ++=和直线22:(1)10l x a y a +-+-=，

（1）试判断1l 与2l 是否平行，如果平行就求出它们间的距离； （2）1l ⊥2l 时，求a 的值。

变式：求两直线:3x-4y+1=0与6x-8y-5=0间的距离 。

题型五：直线方程的应用

例1、已知直线0355:=+--a y ax l .

（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围.

例2、直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 （ ）

A ．（-2，1）

B ．（2，1）

C ．（1，-2）

D ．（1，2）

圆与方程

1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.

2. 点与圆的位置关系：

(1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上

d=r ； c.点在圆外

d ＞r

(2). 给定点

)

,(00y x M 及圆

2

22)()(:r b y a x C =-+-.

①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-?

②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?（

③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-?

（3）涉及最值：

① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论

PB

的最值

min PB BN BC r

==- max PB BM BC r

==+

② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论

PA

的最值

min PA AN r AC

==- max PA AM r AC

==+

思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）

3. 圆的一般方程：02

2=++++F Ey Dx y x .

(1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2422F

E D r -+=.

(2) 当042

2=-+F E D 时，方程表示一个点???

??--2,2E D .

(3) 当042

2<-+F E D 时，方程不表示任何图形.

注：方程0

22=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且042

2 AF E D -+.

4. 直线与圆的位置关系：

直线0=++C By Ax 与圆2

22)()(r b y a x =-+-

圆心到直线的距离

2

2B A C Bb Aa d +++=

1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ；

3）有两个交点直线与圆相交??

2

d r -

d

r

d=r

r

d

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组???=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：

（1）当0>?时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=?时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0

5. 两圆的位置关系

（1）设两圆2

121211

)()(:r b y a x C =-+-与圆2

22

2222)()(:r b y a x C =-+-， 圆心距221221)()(b b a a d -+-=

① 条公切线外离421??+>r r d ； ② 条公切线外切321??+=r r d ； ③ 条公切线

相交22121??+<<-r r d r r ；

④ 条公切线

内切121??-=r r d ；

⑤

无公切线

内含??-<<210r r d ；

外离 外切 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程 圆1C ：221110

x y D x E y F ++++=， 圆2

C ：

222220

x y D x E y F ++++=，

则

()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.

补充说明： ① 若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程； ② 若

1

C 与

2

C 相离，则表示连心线的中垂线方程.

（3）圆系问题 过两圆

1

C ：

221110

x y D x E y F ++++=和

2

C ：

222220

x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为

()22221112220

x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）

补充：

① 上述圆系不包括

2

C ；

② 2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）

③ 过直线0Ax By C ++=与圆

220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220

x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=

6. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立

②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即 ?

??

??+---=-=-1)()

(2110101R x a k y b R x x k y y

求解k ，得到切线方程【一定两解】

例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2

+(y —2)2

=4的切线，则切线方程为 。

(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x —a )2

+(y —b )2

=r 2

，圆上一点为(x 0，y 0)， 则过此点的切线方程为(x 0—a )(x —a )+(y 0—b )(y —b )= r 2

特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为2

00r y y x x =+.

例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2

=9的切线，则切线方程为 。

7．切点弦

(1)过⊙C ：2

22)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作⊙C 的两条切线，切点分别为B A 、，则切点

弦

AB 所在直线方程为：

2

00))(())((r b y b y a x a x =--+--

8. 切线长： 若圆的方程为(x -a )2

(y -b )2=r 2

，则过圆外一点P (x 0,y 0)的切线长为 d =

2

2020b)(+)(r y a x ---．

9. 圆心的三个重要几何性质：

① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ② 圆心在某一条弦的中垂线上；

③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。

10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法

例.已知圆C 1：x 2

+y 2

—2x =0和圆C 2：x 2

+y 2

+4 y =0，试判断圆和位置关系， 若相交，则设其交点为A 、B ，试求出它们的公共弦AB 的方程及公共弦长。 【检测反馈】

1.若直线过点),32,4(),2,1(+则此直线的倾斜角是（ ）. （A ）030 （B ）045（C ）060 （D ） 090

2.过点)1,1(E 和)0,1(-F 的直线与过点)0,2(k M -

和点)4

,0(k

N 直线的位置关系是（ ） （A ）平行（B ）重合（C ）平行或重合（D ）相交或重合

3.过点)3,1(-且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）.

(A)012=-+y x (B) 052=-+y x (C) 052=-+y x (D) 072=+-y x 4.已知点),1,3(),2,1(B A 则到B A ,两点距离相等的点的坐标满足的条件是（ ）. （A ）524=+y x （B ）524=-y x （C ）52=+y x （D ）5

2=-y x

5.直线),0,0(0:,0:21b a b a a y bx l b y ax l ≠≠≠=+-=+-在同一直角坐标系中的图形大致是（ ）.

6.直线l 被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是原点O ，则直线l 的方程为 .

7.已知,0>a 若平面内三点),3(),,2(),,1(3

2

a C a B a A -共线，则a = . 8.过点),4,1(A 且纵、横截距的绝对值相等的直线共有（ ）. （A ）1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条

9.已知直线l 过点)1,1(P ，且被平行直线01343=--y x 与0743=+-y x 截得的线段长为24，求直线l 的方程.

A

O

O

x

y

1l

l 2l

1l

y B

O

x

y 1

l

l C

y

x

O 2l

1l

D