直线与方程专题复习
直线与方程复习大全
直线与方程复习大全一、 直线与方程：1. 直线的倾斜角 x 轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 因此，直线倾斜角的取值范围是[0°,180°).2. 直线的斜率 ①定义：倾斜角α不是90°的直线，α的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率通常用k 表示. 即tan k α=. 当α＝0°时，k ＝0；当α∈(0°, 90°)时，k ＞0；当α∈(90°, 180°)时，k ＜0；当α＝90°时，k 不存在.②经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= （1）.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是――――――（ ） Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０°（2）．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A 045,1B 0135,1- C 090，不存在 D 0180，不存在 （3）. 如图1，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有（ ） A. k 1<k 3<k 2 B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 13、 直线的方程a. 点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率为k ，且过点(x 1, y 1).注意：当直线的倾斜角为0°时直线的斜率k ＝0，直线的方程是y ＝y 1；当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，直线的方程是x ＝x 1；b. 斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b （b ∈R ）c. 两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) d. 截矩式：1x y a b += 直线l 过点(,0)a 和点(0,)b , 即l 在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b（a ≠0且b ≠0）注意：直线l 在坐标轴上的截距相等时，斜率为－1或经过原点；直线l 在坐标轴上的截距互为相反数时，斜率为1或经过原点；e. 一般式：Ax ＋By ＋C ＝0（A , B 不全为0）注意： ①平行于x 轴的直线：y ＝b （b 为常数）, 直线的斜率为0；②平行于y 轴的直线：x ＝a （a 为常数）, 直线的斜率不存在；③直线在坐标轴上的截距可以为一切实数1．把直线l 的一般式方程2x-y+6=0化成斜截式方程是 .2．直线l:132=-+-y x 在x 轴上的截距是 .3．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 .4．线过原点且倾角的正弦值是54，则直线方程为 . 5．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ） A.213, B.--213, C.--123, D.－2，－3 6.mx ＋ny ＝1（mn ≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为 .7．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 8 设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A 1=+b a B 1=-b a C 0=+b a D 0=-b a9已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ）（A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=010．已知直线1l 过点P (2,2)-，（1）若1l 的倾斜角是直线210l y ++=倾斜角的12，求直线1l 的方程； （2）若1l 在两坐标轴上的截距相等，求直线1l 的方程；（3）若1l 与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线1l 的方程。
高三文科数学直线与方程知识点复习
直线与方程一、倾斜角当直线与X轴相交时,取X轴为基准,叫做直线得倾斜角。
当直线与X轴平行或重合时,规定直线得倾斜角为,因此,直线得倾斜角得取值范围就是。
二、斜率(1)定义:一条直线得倾斜角得叫做这条直线得斜率;当直线得倾斜角时,该直线得斜率;当直线得倾斜角等于时,直线得斜率。
(2)过两点得直线得斜率公式:过两点得直线得斜率公式。
若,则直线得斜率,此时直线得倾斜角为。
练习:1、已知下列直线得倾斜角,求直线得斜率(1)(2)(3)(4)2、求经过下列两点直线得斜率,并判断其倾斜角就是锐角还就是钝角(1) (2)(3) (4)3,判断正误（1）直线得倾斜角为任意实数。
( )（2）任何直线都有斜率。
( )（3）过点得直线得倾斜角就是。
( )（4）若三点共线,则得值就是-2、( )三、注:必记得特殊三角函数值表四、直线得常用方程1、直线得点斜式: 适用条件就是:斜率存在得直线。
2、斜截式:3、截距式: ,为x轴与y轴上得截距。
4、两点式: ()5、直线得一般式方程:练习:1、写出下列直线得点斜式方程（1）经过点A(3,-1),斜率为（2）经过点倾斜角就是（3）经过点C(0,3),倾斜角就是（4）经过点D(-4,-2),倾斜角就是2、写出下列直线得斜截式方程（1）斜率就是在轴上得截距就是-2（2）斜率就是-2,在y轴上得截距就是43、填空题（1）已知直线得点斜式方程就是则直线得斜率就是_________,经过定点________,倾斜角就是______________;（2）已知直线得点斜式方程就是则直线得斜率就是_________,经过定点________,倾斜角就是______________;4、判断(1)经过顶点得直线都可以用方程表示。
( )(2)经过顶点得直线都可以用方程表示。
( )(3)不经过原点得直线都可以用表示。
( )(4)经过任意两个不同得点得直线都可以用方程表示。
( )直线得一般式方程为:,当B不等于0时直线得斜率为_________一般求完直线方程后化成一般式。
直线与方程专题复习讲义 高三数学二轮专题复习
第三章 直线与方程(一)直线的倾斜角1.定义：在平面直角坐标系中，当直线与x 轴相交时，取x 轴非负半轴作为基准，把x 轴的正方向按逆时针旋转至与直线重合的最小角，叫做直线的倾斜角.当直线平行于 x 轴或与x 轴重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.2. 范围: 0°≤α<180° 倾斜角[0°,180°) 二面角[0°,180°]线面角[0°,90°] 异面直线成角(0°,90°](二)直线的斜率1.定义：倾斜角α不是90°的直线，正切值叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k 表示，即k=tanα，当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在.2.倾斜角α与斜率k 的范围之间的对应关系 (三)斜率公式经过两点P ₁(x ₁,y ₁),P ₂(x ₂,y ₂)的直线的斜率是： k =y 2−y1x 2−x 1注:(1)斜率公式适用范围x ₁≠ x ₂ (2)斜率公式变形. y₂−y₁=k (x₂−x₁)例1 (1)过 P(-1,-1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点,若 P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角.k =-1,α = 135°(2)若经过点A(1-t ，1+t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，求实数t 的取值范围.(-2,1)(3)若直线l 的倾斜角是连接(-3，5)，(0，9)两点的直线倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为 −247.k =tanα=43k ′=tan2α=−247(4)直线l 的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则倾斜角的范围为 [π4,3π4].tanα=−1cosθ∈(−∞,+∞)(5)已知两点A(2,3)和B(-1,2),过点 P(1,-1)的直线l 与线段AB 有交点,则直线l 斜率k 的取值范围为 (−∞,−32]U [4,+∞).名称 方程 适用条件 参数几何意义 斜截式 y=kx+b α≠90° k:斜率b ：纵截距(可正，可负)点斜式y-y ₀=k(x-x ₀)α≠90°k:斜率 点(x ₀,y ₀)例2 (1)过P(-2，2)点引一条直线l，使其与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，求直线 l的方程.解析{b−a=12abab=8或−8∴{a=2+2√3b=−2+2√3 j{a=−2−2√3b=2−2√3(2)直线l过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于A、B两点,若 P恰为线段AB 的中点,求直线l的方程.3x-2y+12 = 0(3)若直线((2m²+m-3)x+(2-m)y=4m-1在 x轴上的截距为1，则实数 m是(D)A.1B.2C.−12 D.2 或−12(4)①在x轴，y轴上截距分别是-2，3的直线方程是3x-2y+6=0②求过点 P(2，3)，并且在两轴上截距相等的直线方程y=32x或.x+y-5 =0例3 (1)直线l的方程为.Ax+By+C=0(A、B不同时为零),根据下列各位置特征,写出A,B,C应满足的关系：①l与两坐标轴都相交A≠0;B≠0 ;②l过原点 C=0 ;③l只与x轴相交 B=0 ;④l是y轴所在直线 B=0,C=0 ;⑤l在x,y轴上的截距互为相反数①C=0. A≠0,B≠0②C≠0且A= B≠0 .(2)①直线kx+y+1=0(k∈ R)恒过定点 (0,-1) .②直线kx+k+3k²x+k²y=0(k∈R)恒过定点 (-1,3) .(3)过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l₁:2x−y−2=0与l₂:x+y+3=0之间的线段恰被点 P平分，求直线l的方程。
直线与方程复习题(含答案)
直线的倾斜角与斜率题组一直线的倾斜角1.已知直线l 过点(m,1)，(m ＋1，tan α＋1)，则 ( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角 B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．α不一定是直线l 的倾斜角 D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角 解析：设θ为直线l 的倾斜角， 则tan θ＝tan α＋1－1m ＋1－m＝tan α，∴α＝kπ＋θ，k ∈Z ，当k ≠0时，θ≠α. 答案：C2．如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( )A ．k sin α>0B ．k cos α>0C ．k sin α≤0D ．k cos α≤0 解析：显然k <0，π2<α<π，∴cos α<0，∴k cos α>0. 答案：B题组二直线的斜率及应用3.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，且k 1<k 2<k 3，则下列说法中一定正确的是( )A ．k 1k 2＝－1B ．k 2k 3＝－1C ．k 1<0D ．k 2≥0 解析：结合图形知，k 1<0. 答案：C4．(2008·浙江高考)已知a >0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________.解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即a 2＋a 2－1＝a 3－a 23－2，又a >0，∴a ＝1＋ 2.答案：1＋ 25．已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是________．解析：设直线AB 的倾斜角为2α，则直线l 的倾斜角为α，由于0°≤2α＜180°，∴0° ≤α＜90°，由tan2α＝－2－(－5)3－(－1)＝34，得tan α＝13，即直线l 的斜率为13.答案：13题组三两条直线的平行与垂直6.(2009·陕西八校模拟)已知两条直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则an ＝bm 是直线l 1∥l 2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵l 1∥l 2⇒an －bm ＝0，且an －bm ＝0⇒/ l 1∥l 2，故an ＝bm 是直线l 1∥l 2的必要不充分条件． 答案：B7．(2009·福建质检)已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为( )A ．5B ．4C ．2D ．1 解析：由题意知，a 2b －(a 2＋1)＝0且a ≠0， ∴a 2b ＝a 2＋1，∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a，∴|ab |＝|a ＋1a |＝|a |＋1|a |≥2.(当且仅当a ＝±1时取“＝”)．答案：C8．(2010·合肥模拟)已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13 解析：曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率为3， 所以a b ＝－13.答案：D9．(2009·泰兴模拟)设直线l 1的方程为x ＋2y －2＝0，将直线l 1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l 2，则l 2的方程是________________．解析：∵l 1⊥l 2，k 1＝－12，∴k 2＝2，又点(0,1)在直线l 1上，故点(－1,0)在直线l 2上， ∴直线l 2的方程为y ＝2(x ＋1)，即2x －y ＋2＝0. 答案：2x －y ＋2＝0题组四直线的倾斜角和斜率的综合问题10.若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值范围是________．解析：数形结合．在同一坐标系内画出函数y ＝kx ，y ＝|x －1|的图象如图所示，显然k ≥1或k ＝0时满足题意.答案：k ≥1或k ＝011．(2009·青岛模拟)已知点A (2,3)，B (－5,2)，若直线l 过点P (－1,6)，且与线段AB 相交，则该直线倾斜角的取值范围是________． 解析：如图所示，k P A ＝6－3－1－2＝－1， ∴直线P A 的倾斜角为3π4，k PB ＝6－2－1－(－5)＝1，∴直线PB 的倾斜角为π4，从而直线l 的倾斜角的范围是[π4，3π4]．答案：[π4，3π4]12．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标． (1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)． (2)∠MPN 是直角． 解：设P (x,0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴OM ∥NP . ∴k OM ＝k NP .又k OM ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5(x ≠5)，∴1＝2x －5，∴x ＝7，即P 点坐标为(7,0)．(2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ， ∴k MP ·k NP ＝－1. 又k MP ＝22－x (x ≠2)，k NP ＝2x －5(x ≠5)， ∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6， 即P 点坐标为(1,0)或(6,0)．直线方程题组一直线方程的求法1.直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：当x ＝1时，y ＝1，即所求直线过点(1,1)，在直线x －2y ＋1＝0中，令y ＝0，得x ＝－1，则(－1,0)关于直线x ＝1对称的点(3,0)在所求直线上，故所求方程为x ＋2y －3＝0. 答案：D2．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0 解析：由于直线P A 的倾斜角为45°，且|P A |＝|PB |， 故直线PB 的倾斜角为135°， 又当x ＝2时，y ＝3，即P (2,3)，∴直线PB 的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0. 答案：A3．(2009·安徽高考)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是 ( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：A题组二直线方程中参数的确定4.已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC ＝2CB ，则a 等于( )A ．2B ．1 C.45 D.53解析：设点C (x ，y )，由于AC ＝2CB ， 所以(x －7，y －1)＝2(1－x,4－y )，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2－2x y －1＝8－2y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝3， 又点C 在直线y ＝12ax 上，所以有3＝32a ，a ＝2.答案：A5．(2009·厦门模拟)若点(5，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0与3x －4y ＋5＝0之间，则整数b 的值为( )A ．5B ．－5C ．4D ．－4 解析：过点(5，b )且与两直线平行的直线的方程为3x －4y ＋4b －15＝0. 由题意知，18<4b －154<54，∴318<b <5，又b 是整数，∴b ＝4. 答案：C题组三直线方程的应用6.经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为 ( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0解析：设直线的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则有1a ＋4b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋4b )＝5＋b a ＋4ab ≥5＋4＝9，当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝3，b ＝6时取“＝”．∴直线方程为2x ＋y －6＝0. 答案：B7．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于________． 解析：线段AB 的方程为x 3＋y4＝1(0≤x ≤3)，∴1＝x 3＋y 4≥2xy12，∴xy ≤3. (当且仅当x ＝32，y ＝2时取“＝”)．答案：38．已知直线l 1：x ＋3y －5＝0，l 2：3kx －y ＋1＝0.若l 1，l 2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k ＝________.解析：由题意知，l 1⊥l 2，∴3k －3＝0，k ＝1. 答案：1题组四直线方程的综合问题9.(2009·上海春季高考)过点A (4，－1)和双曲线x 29－y 216＝1右焦点的直线方程为________．解析：由于a 2＝9，b 2＝16，∴c 2＝25，故右焦点为(5,0)． 所求直线方程为y－1＝x －54－5，即x －y －5＝0.答案：x －y －5＝010．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n 的最小值为________．解析：由题意知，点A (－2，－1)．∴2m ＋n ＝1，∴1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥4＋4＝8(当且仅当m ＝14，n ＝12时取“＝”)． 答案：811．过点M (0,1)作直线，使它被两直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线方程．解：法一：过点M 且与x 轴垂直的直线是y 轴，它和两已知直线的交点分别是⎝⎛⎭⎫0，103和(0,8)，显然不满足中点是点M (0,1)的条件．故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，与两已知直线l 1，l 2分别交于A 、B 两点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0，① ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，② 由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2， ∵点M 平分线段AB ，∴x A ＋x B ＝2x M ，即73k －1＋7k ＋2＝0.解得k ＝－14，故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.法二：设所求直线与已知直线l 1，l 2分别交于A 、B 两点． ∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上， 故可设B (t,8－2t )．又M (0,1)是AB 的中点， 由中点坐标公式得A (－t,2t －6)． ∵A 点在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， ∴(－t )－3(2t －6)＋10＝0，解得t ＝4. ∴B (4,0)，A (－4,2)，故所求直线方程为x ＋4y －4＝0. 12．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程． 解：(1)法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立， 所以x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程可化为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是k ≥0.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A (－1＋2k k ，0)，B (0,1＋2k )，又－1＋2k k <0且1＋2k >0，∴k >0，故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2kk(1＋2k ) ＝12(4k ＋1k ＋4)≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.直线的交点坐标与距离公式题组一两条直线的交点问题1.若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．k >－23 B ．k <2C ．－23<k <2D ．k <－23或k >2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋2y ＝－2x ＋4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－kk ＋2y ＝6k ＋4k ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧2－kk ＋2>06k ＋4k ＋2>0得⎩⎪⎨⎪⎧－2<k <2，k <－2或k >－23，∴－23<k <2. 答案：C2．若y ＝a |x |的图象与直线y ＝x ＋a (a >0)有两个不同交点，则a 的取值范围是 ( ) A ．0<a <1 B ．a >1 C ．a >0且a ≠1 D ．a ＝1 解析：结合图象知，a 的取值范围是a >1.答案：B题组二有关直线的对称问题3.直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点A (1,1)对称的直线方程为 ( ) A ．4x ＋3y －4＝0 B ．4x ＋3y －12＝0 C ．4x －3y －4＝0 D ．4x －3y －12＝0解析：在对称直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于点A 对称的点P ′(x ′，y ′)必在直线l 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋x ＝2y ′＋y ＝2得P ′(2－x,2－y )， ∴4(2－x )＋3(2－y )－2＝0，即4x ＋3y －12＝0. 答案：B4．(2010·临沂质检)已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上， 则AC 所在直线方程是____________．解析：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－3＝－1y 0＋12＝x 0＋32＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0y 0＝4，即A ′(0,4)．∴直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0y ＝x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝－2，得C (－3，－2)． ∴直线AC 的方程为x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝0题组三有关距离问题5.点(1，cos θ)到直线x sin θ＋y cos θ－1＝0的距离是14(0°≤θ≤180°)，那么θ＝ ( )A ．150°B ．30°或150°C ．30°D ．30°或210°解析：由题意知14＝|sin θ＋cos 2θ－1|sin 2θ＋cos 2θ＝|sin θ－sin 2θ|，又0≤sin θ≤1，∴sin 2θ－sin θ＋14＝0，(sin θ－12)2＝0，∴sin θ＝12，又0°≤θ≤180°，∴θ＝30°或150°. 答案：B6．(2010·武汉模拟)已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )A.79 B ．－13 C ．－79或－13 D.79或13 解析：由题意知|6a ＋3＋1|a 2＋1＝|－3a －4＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或a ＝－79.答案：C7．(2010·孝昌模拟)若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为 ( ) A ．23 B ．3 3 C ．3 2 D ．4 2解析：由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1、l 2且到l 1、l 2距离相等的直线l ，其方程为x ＋y －6＝0，∴M 到原点的距离的最小值为d ＝62＝3 2. 答案：C题组四综 合 问 题 8.(2009·哈尔滨模拟)若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)解析：因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2， 即b ＝－k －2，于是直线方程化为y ＝kx －k －2， 即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)． 答案：A 9．点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离的最大值等于( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 3 解析：直线l ：y ＝k (x －2)的方程化为kx －y －2k ＝0， 所以点P (－1,3)到该直线的距离为 d ＝3|k ＋1|k 2＋1＝3k 2＋2k ＋1k 2＋1＝31＋2k k 2＋1，由于2k k 2＋1≤1，所以d ≤32， 即距离的最大值等于3 2.答案：C10．已知点A (3,1)，在直线x －y ＝0和y ＝0上分别有点M 和N 使△AMN 的周长最短，求点M 、N 的坐标．解：A (3,1)关于y ＝x 的对称点A1(1,3)，A (3,1)关于y ＝0的对称点A 2(3，－1)，△AMN 的周长最小值为|A 1A 2|，|A 1A 2|＝25，A 1A 2的方程：2x ＋y －5＝0.A 1A 2与x －y ＝0的交点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0x －y ＝0⇒M (53，53)， A 1A 2与y ＝0的交点N ，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0y ＝0⇒N (52，0)． 11．已知n 条直线：l 1：x －y ＋C 1＝0，C 1＝2且l 2：x －y ＋C 2＝0，l 3：x －y ＋C 3＝0，…，l n ：x －y ＋C n ＝0，其中C 1<C 2<C 3<…<C n ，这n 条平行直线中，每相邻两条之间的距离顺次为2,3,4，…，n .(1)求C n ；(2)求x －y ＋C n ＝0与x 轴、y 轴围成的图形的面积．解：(1)由已知条件可得l 1：x －y ＋2＝0，则原点O 到l 1的距离d 1＝1，由平行直线间的距离可得原点O 到l n 的距离d n 为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2， ∵C n ＝2d n ，∴C n ＝2·n (n ＋1)2. (2)设直线l n ：x －y ＋C n ＝0交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则△OMN 的面积S △OMN ＝12|OM |·|ON |＝12(C n )2＝n 2(n ＋1)24.。
直线与方程总复习及练习.doc
直线与方程总复习及练习知识点：1.倾斜角：X 轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。
001800<≤α2. 斜率：αtan =k1212x x y y k --= 斜率k 与倾斜角 α之间的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=⇒<<⇒⇒=>=⇒<<==⇒=0tan 18090)(tan 900tan 90000tan 0a k a k a a a k a k a 不存在不存在3.两直线平行与垂直的判定：①两直线平行的判定：（1）1 ∥2 ⇔ k 1=k 2 且21b b ≠或两条直线的斜率都不存在。
（2）1 ∥2 ⇔12210A B A B -=且12210B C B C -≠②两直线垂直的判定：（1）1 ⊥2 ⇔ k 1·k 2=－1或一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在。
（2）1 ⊥2 ⇔12120A A B B +=4.直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。
（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+by a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。
注意：设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
直线与方程_知识点总结_例题习题精讲精练
直线与方程专题复习【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角①直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00；②倾斜角α的范围000180α≤<（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在.记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==； ⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 【知识点三：直线的方程】 （1）直线方程的几种形式问题：过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？不一定】 (1)若1212x x y y =≠且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =； (2)若1212x x y y ≠=且，直线垂直于y 轴,方程为12y y =； (3)若1212x x y y ≠≠且，直线方程可用两点式表示截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。
距离的值是非负数。
截距是实数，不是“距离”，可正可负。
截距式方程的应用①与坐标轴围成的三角形的周长为: |a |+|b②直线与坐标轴围成的三角形面积为: S =1||2ab ； ③直线在两坐标轴上的截距相等，则1k =-或直线过原点，常设此方程为x y a y kx +==或 （2）线段的中点坐标公式121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是，1212122(,)2x x x PP M x y y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且线段的中点的坐标为 【知识点四 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++= 两条直线的交点坐标就是方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （2）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y间的距离公式12||PP =特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y的距离||OP =点到直线的距离：点00(,)o P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =两条平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离d =精讲精练：【例】已知(1A 直线l 过原点O 且与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )ABCD【例】在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1,且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 【例】方程1=+y x 所表示的图形的面积为_______．【例】一直线过点(3,4)M -，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是__________． 【例】已知直线(2)(31)1,a y a x -=--为使这条直线不经过第二象限，则实数a 的范围是___ _．【例】直线13y x =-+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1(,)2P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值．【例】已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 21=上，求22PB PA +取得最小值时P 点的坐标． 【例】在△ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为210,x y A -+=∠的平分线所在直线的方程为0y =．若点B 的坐标为(1,2),求点C 的坐标．【例】直线l 过点(2,1),P 且分别与,x y 轴的正半轴于,A B 两点，O 为原点． （1）求△AOB 面积最小值时l 的方程；（2）|PA|•|PB|取最小值时l 的方程． 【例】求倾角是直线1y =+的倾角的1,4且分别满足下列条件的直线方程： (1)经过点1)-；(2)在y 轴上的截距是－5. 【例】已知直线:120l kx y k -++=．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 交x 负半轴于,A 交y 正半轴于,B AOB ∆的面积为,S 试求S 的最小值并求出此时直线l 的方程． 练习：1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为 ； 2．如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是 ；3．两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是 ； 4．直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是 ； 5．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是:6．三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是:7．已知点(1,2),B(2,2),C(0,3),A --若点),(b a M )0(≠a 是线段AB 上一点,则直线CM k 的取值范围是: 8．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07=-+y x 和2l ：05=-+y x 上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为:9过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ；10．已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上， 则AC 所在直线方程是____________． 11．光线从点()3,2A 射出在直线01:=++y x l 上，反射光线经过点()1,1B ,则反射光线所在直线的方程 12．点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最大，则P 的坐标为: 13．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为4，求直线l 的方程． 14．（1）要使直线l 1：m y m m x m m 2)()32(22=-+-+与直线l 2：x -y=1平行，求m 的值. （2）直线l 1：a x +(1-a)y=3与直线l 2：(a -1)x +(2a+3)y=2互相垂直，求a 的值.15．已知∆A B C 中，A (1, 3)，AB 、AC 边上的中线所在直线方程分别为x y -+=210 和y -=10，求∆A B C各边所在直线方程．16.△ABC 中，A （3，－1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为：6x ＋10y －59=0， ∠B 的平分线方程B T 为：x －4y ＋10=0，求直线BC 的方程.17．已知函数(x)a f x x =+的定义域为(0,),+∞且(2)22f =+设点P 是函数图象上的任意一点,过点P 分别作直线y x =和y 轴的垂线，垂足分别为,M N ．（1）求a 的值；（2）问：|PM ||PN |⋅是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（3）设O 为原点，若1OMPN S =求P 点的坐标．。
直线与方程复习知识点+经典习题
直线与方程—复习 姓名：_____________1．直线的倾斜角(1)倾斜角：一条直线L 向上的方向与X 轴的正方向所成的角，叫做直线的倾斜角.范围为_________。
(2)当直线与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角 ．2．直线的斜率(1)倾斜角α的 ( 90≠α)叫做直线的斜率，直线的斜率常用k 表示，即k ＝ ． (２)经过两点()11,P x y 和()()2212,Q x y x x ≠的直线的斜率公式为：k ＝ ． ４．平行:(1)若两直线的斜率k 1、k 2存在，y 轴上的截距分别为b 1、b 2，则l 1∥l 2的充要条件是 ．(2)若两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2的充要条件为_________________． ５．垂直:(1)若两条直线的斜率k 1，k 2均存在，则l 1⊥l 2⇔ ．(2)若两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔ ___ ． ６．距离：（1）两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则___________________________________.（2）点到直线的距离：0:),,(00=++C By Ax l y x P ，则P 到l 的距离为：___________=d（3）平行线间距离：若0:,0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l ，则：_______________=d 。
７．直线系方程(1)平行直线系：与直线Ax ＋By ＋C 1＝0平行的直线可以表示为 ．(2)垂直直线系：与直线Ax ＋By ＋C 1＝0垂直的直线可以表示为 ．8.注意两类问题：（1）直线过定点问题 （2）对称问题：点关于点；点关于线；线关于点等.1、若直线x =1的倾斜角为α，则α（ ） A.等于零 B.等于4π C .等于2π D .不存在 2、已知直线PQ 的斜率为-3 ，将直线绕点P 顺时针旋转60︒所得的直线的斜率是（ ）A 、 0B 、 33C 、 3D 、 -33、图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）A 、k 1＜k 2＜k 3B 、k 3＜k 1＜k 2C 、k 3＜k 2＜k 1D 、k 1＜k 3＜k 24、已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A 、425x y +=B 、425x y -=C 、25x y +=D 、25x y -=5、两平行直线51230102450x y x y ++=++=与的距离是（ ）Ａ、213 Ｂ、113 Ｃ、126 Ｄ、5266、已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于（ ）A 、2B 、1C 、0D 、1-7、已知直线1:30l Ax y C ++=与2:2340l x y -+=，若12l l 、的交点在y 轴上，则C 的值为（ ） Ａ、４ Ｂ、-４ Ｃ、４或-４ Ｄ、与A 的取值有关8、方程0)142()32()41(=-+--+k y k x k 所确定的直线必经过点 （ ）A 、（2，2）B 、（－2，2）C 、（－6，2）D 、（522,534） 9、若过点P （1-a ,1+a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围为 。
必修2第3章直线与方程单元复习课件人教新课标
l1
x
x
l1//l2 k1 k2
k1
k2
l1//l2 ,
或l1和l
重合
2
2.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、 一般式的灵活应用.
点斜式：y - y0 k(x,x0 )
斜截式： y kx b 两点式：y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
截距式： x y 1
ab
3.应用直线方程求两条直线的交点坐标.
3.1.1倾斜角与斜率
1、直线的倾斜角定义及其范围：0 180
2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 )
3、斜率k与倾斜角α 之间的关系：
α 0 k tan0 0
0 α 90 k tanα 0
α
90
ta nαa n α(不
k不 不 存
90 α 180 k tanα 0
1.直线方程的两种情势： 点斜式：y y1 k(x x1) 斜截式：y kx b.
2.两种特殊情况:过点P(x0,y0)且与坐标轴平行的 直线的方程分别是:y=y0和x=x0.
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
直线的两点式方程（x1≠x2 ,y1≠y2 ）
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
3.3.1两条直线的交点坐标
用代数方法求两条直线的交点坐标，只需 写出这两条直线的方程，然后联立求解.
A1x B1y C10 A2x B2y C2 0
唯一解 无穷多解
无解
两直线相交 两直线重合 两直线平行
3.3.2两点间的距离
1、平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是： | P1P2 | (x 2 x1 )2 (y 2 y1 )2y来自l1Al2
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专题复习 直线与方程【基础知识回忆】1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角α的范围 . （2）直线的斜率①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 ②经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为：=k③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
倾斜角为 的直线斜率不存在。
2.两直线垂直与平行的判定（1）对于不重合的两条直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，，则有：⇔21//l l ⇔ ； ⇔⊥21l l ⇔ . （2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线 . 3.直线方程的几种形式注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式. 4.三个距离公式（1）两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P . （2）点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是：=d .（3）两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的距离公式是：=d .【典型例题】题型一：直线的倾斜角与斜率问题例1、已知坐标平面内三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A .（1）求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角.（2）若D 为ABC ∆的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围.例2、图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则：A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2例3、利用斜率证明三点共线的方法：若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（0，ｍ）三点共线，则ｍ的值为 .总结：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
例4、直线l 方程为02)1(=-+++a y x a ，直线l 不过第二象限，求a 的取值范围。
变式：若0<AC ，且0<BC ，则直线0=++C By Ax 一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限题型二：直线的平行与垂直问题例1、 已知直线l 的方程为01243=-+y x ，求下列直线l '的方程, l '满足（1）过点)3,1(-，且与l 平行；（2）过)3,1(-，且与l 垂直.本题小结：平行直线系：与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为01=++C By Ax垂直直线系：与直线0=++C By Ax 垂直的直线方程可设为02=+-C Ay Bx变式：（1）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程（2）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程例2、1l ：0)1(=+-+m y mx ，2l ：02=-+m my x ，①若1l ∥2l ，求m 的值；②若1l ⊥2l ，求m 的值。
变式：（1）已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A. 0B. 8-C. 2D. 10（2）如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a =（ ）A ． -3B ．-6C ．23- D ．32（3）若直线1:10l mx y +-=与2:250l x y -+=垂直，则m 的值是 ．题型三：直线方程的求法例1、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。
例2、已知ABC ∆三个顶点是)4,1(A -，)1,2(B --，)3,2(C ．(1)求BC 边中线AD 所在直线方程；(2)求AC 边上的垂直平分线的直线方程 （3）求点Ａ到ＢＣ边的距离．变式：1．倾斜角为45︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）A ．1y x =+B ．1y x =--C ．1y x =-+D ．1y x =- 2．求经过A （2，1），B （0，2）的直线方程3. 直线方程为02)1(=-+++a y x a ，直线l 在两轴上的截距相等，求a 的方程；4、过P （1，2）的直线l 在两轴上的截距的绝对值相等，求直线l 的方程5、已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程．题型四：直线的交点、距离问题例1：点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）A ．2B ．21 C ．1 D ．27例2：已知点P （2，-1）。
（1）求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；（2）求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。
例3：已知直线1:260l ax y ++=和直线22:(1)10l x a y a +-+-=，（1）试判断1l 与2l 是否平行，如果平行就求出它们间的距离； （2）1l ⊥2l 时，求a 的值。
变式：求两直线:3x-4y+1=0与6x-8y-5=0间的距离 。
题型五：直线方程的应用例1、已知直线0355:=+--a y ax l .（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围.例2、直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 （ ）A ．（-2，1）B ．（2，1）C ．（1，-2）D ．（1，2）圆与方程1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2. 点与圆的位置关系：(1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上d=r ； c.点在圆外d ＞r(2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔（3）涉及最值：① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB的最值min PB BN BC r==- max PB BM BC r==+② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA的最值min PA AN r AC==- max PA AM r AC==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .(1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422FE D r -+=.(2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D .(3) 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.4. 直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++=1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ；弦长|AB|=222d r -drd=rrd还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关系（1）设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2222222)()(:r b y a x C =-+-， 圆心距221221)()(b b a a d -+-=① 条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； ② 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ； ③ 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；④ 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离 外切 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程 圆1C ：221110x y D x E y F ++++=， 圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明： ① 若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程； ② 若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题 过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）补充：① 上述圆系不包括2C ；② 2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③ 过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=6. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即 ⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y求解k ，得到切线方程【一定两解】例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为 。
(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x —a )2+(y —b )2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)， 则过此点的切线方程为(x 0—a )(x —a )+(y 0—b )(y —b )= r 2特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为 。