2012高中数学 第一章三角函数复习教案 新人教A版必修4
高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系教学设计1 新人教A版必修4(202
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同角三角函数的基本关系一、教学目标1.知识与技能目标（1)能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式；（2)掌握同角三角函数的两个基本关系式，并能够根据一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数值。
2.过程与方法目标（1）牢固掌握同角三角函数关系式,并能灵活解题,提高学生分析、解决三角函数的思维能力；（2）探究同角三角函数关系式时，体会数形结合的思想；已知一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数值时,进一步树立分类思想；解题时，注重化归的思想，将新题目化归到已经掌握的知识点上；（3)通过对知识的探究，掌握自主学习的方法，通过学习中的交流，形成合作学习的习惯。
3。
情感、态度、价值观目标通过教学，使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力。
二、教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学必修4》第1。
2.2节,课型为新授课，所用的教材为人民教育出版社A版,课时安排为1课时,所用教具主要为多媒体、实物投影仪.本节课是在完成了任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、符号表示及定义域、三角函数在各象限的符号等教学之后进行的。
高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数问题导学案 新人教A版必修4
1.2.1 任意角的三角函数问题导学一、利用定义求角的三角函数值活动与探究1已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为，求cos α和tan α的值．迁移与应用已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是( )A．1或－1 B．25或25-C．1或25- D．－1或25利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，点的坐标含有参数时，应分类讨论．二、三角函数值的符号问题活动与探究2判断下列各式的符号：(1)sin α·tan α，其中α是第四象限角；(2)sin 3·cos 4·tan23π4⎛⎫-⎪⎝⎭.迁移与应用若sin α·cos α＜0，则α的终边在( )A．第一或第二象限 B．第一或第三象限C．第一或第四象限 D．第二或第四象限准确确定三角函数中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键．三、诱导公式一的应用活动与探究3求下列各式的值：(1)si n 1 470°；(2)9πcos4；(3)11πtan6⎛⎫-⎪⎝⎭.迁移与应用求下列各式的值：(1)25π15πcos+tan34⎛⎫-⎪⎝⎭；(2)sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°＋cos 360°.利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间角的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．四、三角函数线的简单应用活动与探究4求下列函数的定义域：(1)y(2)y＝lg(3－4sin2x)．迁移与应用利用三角函数线比较下列各组数的大小．(1)2πsin3与4πsin 5； (2)2πtan 3与4πtan 5.用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下几点：(1)熟悉角θ的正弦线、余弦线、正切线；(2)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期； (3)注意区间是开区间还是闭区间． 当堂检测1．有下列命题，其中正确的个数是( ) ①终边相同的角的同名三角函数值相等； ②同名三角函数值相等的角也相等；③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等； ④不相等的角，同名三角函数值也不相等． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．已知sin α＝35，cos α＝45-，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在[0,2π]上满足sin α≥2的α的取值范围是( ) A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π2π,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 4．11π12πsin cos tan 4π65⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭＝__________. 5．函数y ＝sin x ＋tan x 的定义域为__________．课前预习导学 【预习导引】1．(1)y x (2)x 2＋y 2y r sin α＝y r R x r cos α＝x r R y x tan α＝yx⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α≠k π＋π2，k ∈Z预习交流1 提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．预习交流2 提示：记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 其含义是：第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负．3．sin α cos α tan α 终边相同的角的同一三角函数的值相等预习交流3 提示：不一定．如sin 30°＝sin 150°＝12．4．正弦线 余弦线 正切线预习交流4 提示：当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，余弦线不变；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，正弦线不变． 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：解答本题可先用正弦函数的定义，求出M 点的纵坐标，再用点在圆上，求出点的横坐标，得cos α与tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)．由题意可知，sin α＝－22，即y 1＝－22．∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1，解得x 1＝22，或x 1＝－22． ∴cos α＝22，tan α＝－1，或cos α＝－22，tan α＝1． 迁移与应用 B 解析：r ＝(－4m )2＋(3m )2＝5|m |，∴sin α＝3m 5|m |，cos α＝－4m5|m |，∴2sin α＋cos α＝6m －4m 5|m |＝2m 5|m |＝－25或25，故选B ．活动与探究2 思路分析：先判断角所在的象限，再根据三角函数值的象限符号判断每个式子的符号．解：(1)∵α是第四象限角， ∴sin α＜0，tan α＜0， ∴sin α·tan α＞0．(2)∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，∴sin 3＞0，cos 4＜0．∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4＝tan π4＞0， ∴sin 3·cos 4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4＜0．迁移与应用 D 解析：∵sin α·cos α＜0， ∴sin α与cos α异号，∴α的终边在第二或第四象限．活动与探究3 思路分析：利用诱导公式一转化成0～2π(或0°～360°)内的特殊角求解．解：(1)sin 1 470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin 30°＝12．(2)cos 9π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π4＝cos π4＝22． (3)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝tan π6＝33．迁移与应用 解：(1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32．(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(0°＋360°)＝sin 90°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 0° ＝4．活动与探究4 思路分析：先列出不等式约束条件，作出单位圆，然后根据各问题的约束条件用三角函数线画出角x 满足条件的终边范围．解：(1)如图．∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12． ∴x ∈ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z)．(2)如图．∵3－4sin 2x ＞0，∴sin 2x ＜34．∴－32＜sin x ＜32． ∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )． 迁移与应用 解：如图画出角2π3与4π5的正弦线、正切线，由图形观察所得：|M 1P 1|＞|M 2P 2|，|AT 1|＞|AT 2|，结合有向线段的方向，得M 1P 1＞M 2P 2，AT 1＜AT 2．又∵2πsin 3=M 1P 1，4πsin 5=M 2P 2，2πtan 3=AT 1，4πtan 5=AT 2， ∴(1)2πsin 3＞4πsin 5，(2)2πtan 3＜4πtan 5．【当堂检测】1．B 解析：对于①，由诱导公式一可得正确；对于②，由sin 30°＝sin 150°＝12，但30°≠150°，所以②错误；对于③，如α＝60°，β＝120°的终边不相同，但sin 60°＝si n 120°＝32，所以③错误；对于④，由③中的例子可知④错误．2．B 解析：由sin α＝35＞0得角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－45＜0得角α的终边在第二或第三象限．综上，角α所在的象限是第二象限．3．B 解析：如图．∵sin α≥22， ∴在[0,2π]上，α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4．4．12 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 12π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋0＝12．5．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 解析：要使函数有意义，必须使sin x 与tan x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ∈R ，x ≠k π＋π2，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ．。
高中数学必修四教案-1.3 三角函数的诱导公式(1)-人教A版
（1）已知任意角α的终边为射线OP,试画出角-α的终边位置.（要求学生在纸上画出，并观察两角的关系）
（2）设P点的坐标为（x,y）,请学生在刚才的纸上标出P’的坐标。
（3）探究角-α与角α的三角函数值之间有什么关系.引导学生用定义将任意角 与 的三角函数值都列出，找到关系。教师用几何画板展示 角无论在第几象限结果都成立。教师活动
1.师生共同完成用定义求 的值，引导学生思考：
问题3：（1）角 和角 的终边有何关系？
（2）将 角推广到任意角 时， 与 的角的终边有何关系？它们的三角函数值有何关系？
知识讲解
（难点突破）
2.师生共同探究
（1）已知任意角α的终边为射线OP,试画出角π+α的终边位置.（要求学生在纸上画出，并观察两角的关系）注：此探究任意角 教师给在第三象限，体现角的任意性。
（2）设P点的坐标为（x,y）,请学生在刚才的纸上标出P’的坐标。
（3）探究角π+α与角α的三角函数值之间有什么关系.引导学生用定义将任意角 与 的三角函数值都列出，找到关系。板书今天学习的标题。
特殊角到一般角的变化，归纳出公式二：
sin（π＋α）=-sinα，
cos（π＋α）=-cosα，
tan（π＋α）=tanα。
课堂练习
（难点巩固）
组织学生分组探索角π和角的三角函数之间的关系。
小结
1.3三角函数的诱导公式（一）
公式二：
公式三：
公式四：
实现了不同角的三角函数的相互转化，体现了转化与化归的数学思想。
学科
数学
年级/册
高中必修四
教材版本
Hale Waihona Puke 人教A版课题名称第一章1.3三角函数的诱导公式（一）
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式课件新人教A版必修4
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
cos180 cos
原式=
cos
sin
sin cos
1
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 cos 420 cos60 cos 60 1 2
2 sin
7 6
sin
5 6
sin
6
1 2
3sin 1300
4
cos
79 6
cos
5 6
cos
6
3 2
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
4 tan 324 32 __ta_n__3_5_2_8_;
化简11scio原ns式52=cs2ions•22sin•2sin •c•osco2s
;
= sin • sin • cos
cos
= sin2
化简
2 cos2
tan 360
sin .
原式=cos2 tan sin
1.思考
给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角 与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系?
公式二
y
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα
π +α α
O
x
tan(π+α)=tanα
P(-x,-y)
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
y
P(-x,y)
π-α P(x,y)
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一)导学案 新人教A版必修4
1.2.1 任意角的三角函数(一)学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.知识点一 任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r .思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案 sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x.思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？答案 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.思考3 在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x. 梳理 (1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ；②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0).对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？答案由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时yx无意义，故tan α无意义.梳理三角函数的定义域知识点三正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.当α为第一象限角时，y>0，x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.梳理记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.知识点四诱导公式一思考当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等.梳理诱导公式一类型一 三角函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3. 当x ＝－1时，P (－1，3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.②在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝yr，cos α＝xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值. 解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |.①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述，2sin α＋cos α＝±1.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值.解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝ k 2＋(－3k )2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r＝－3k10k＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝b a 2＋b2，cos α＝a a 2＋b2，tan α＝ba. 跟踪训练2 已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值. 解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点， 则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0). 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12，tan α＝3aa＝ 3.若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3.类型二 三角函数值符号的判断例3 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 D解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P 在第四象限，故选D. (2)确定下列各三角函数值的符号. ①sin 182°；②cos(－43°)；③tan 7π4.解 ①∵182°是第三象限角， ∴sin 182°是负的，符号是“－”. ②∵－43°是第四象限角，∴cos(－43°)是正的，符号是“＋”. ③∵7π4是第四象限角，∴tan 7π4是负的，符号是“－”.反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.跟踪训练3 (1)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第 象限角. 答案 二解析 由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角. (2)判断下列各式的符号.①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. 解 ①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. ②∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0. 类型三 诱导公式一的应用 例4 求下列各式的值.(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”. 跟踪训练4 求下列各式的值. (1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°. 解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于( ) A.45 B.35 C.－35D.－45答案 D解析 由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.故选D.2.cos(－11π6)等于( )A.12B.－12C.32D.－32答案 C解析 cos(－11π6)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.3.若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A.－34B.34C.43D.－43答案 D 解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35， ∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16， ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4.当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A.1B.0C.2D.－2答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.5.已知角α的终边上有一点P (24k ，7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值. 解 当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝(24k )2＋(7k )2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ，∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝x r ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.2.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.3.终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.课时作业一、选择题1.sin(－1 380°)的值为( ) A.－12B.12C.－32D.32答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°) ＝sin 60°＝32. 2.已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A. 3 B.± 3 C.－ 2D.－ 3答案 D解析 ∵cos α＝x r＝x x 2＋5＝24x ， ∴x ＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x ＝0或x 2＝3，∴x ＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 3.已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角答案 D4.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.4π3D.11π6答案 D解析 ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限， 且tan α＝cos2π3sin2π3＝－33，∴角α的最小正值为2π－π6＝11π6. 5.已知角α的终边经过点P (3，4t )，且sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z )，则t 等于( )A.－916B.916C.34D.－34答案 A解析 sin(2k π＋α)＝sin α＝－35＜0，则α的终边在第三或第四象限.又点P 的横坐标为正数，所以α是第四象限角，所以t ＜0.又sin α＝4t 9＋16t2，则4t9＋16t 2＝－35，所以t ＝－916.6.某点从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 答案 A解析 由三角函数定义可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32.7.如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C解析 由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角.8.若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A.±15B.±55C.±255D.±12答案 C 二、填空题9.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝ . 答案32解析 tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 10.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角. 答案 一或二解析 要使原式有意义，需cos αtan α>0， 即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角.11.若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .答案 2解析 ∵y ＝3x 且sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m | ＝－10m ＝10，∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.12.函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域是 . 答案 {－4，0，2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2.故函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4，0，2}. 三、解答题13.化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4； (2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°.解 (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1 ＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan(3×360°＋45°)＝a 2＋b 2＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.四、探究与拓展14.已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，则sin θ＋cos θ＝ .答案 0或－ 2解析 ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x. 又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，即x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.15.已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，求m 的值及sin α的值. 解 (1)∵1|sin α|＝－1sin α， ∴sin α＜0.①∵lg(cos α)有意义，∴cos α＞0.② 由①②得角α在第四象限.(2)∵点M (35，m )在单位圆上， ∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，∴m ＜0，∴m ＝－45. 由三角函数定义知，sin α＝－45.。
高中数学第一章三角函数第3节三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五六教案含解析新人教A版必修4
第2课时 诱导公式五、六[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题． 如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.(1)P 2点的坐标是什么？ 提示：P 2(y ，x )．(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．[问题思考](1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？ 提示：是．(2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C2，∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝sin B ＋C 2.[课前反思](1)诱导公式五： ；(2)诱导公式六： .知识点1化简求值讲一讲1．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[尝试解答] (1)f (α)＝sin αcos α()－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.类题·通法三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦． 练一练1．已知f (x )＝sin 3π－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2tan x －2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π2tan x －5π.(1)化简f (x )；(2)当x ＝π3时，求f (x )的值；(3)若f (x )＝1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －7π2的值．解：(1)f (x )＝sin x －sin x tan xcos x －sin x tan x ＝tan x .(2)当x ＝π3时，f (x )＝tan π3＝ 3.(3)若f (x )＝1，则tan x ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －7π2＝－cos x sin x ＝－1tan x ＝－1.知识点2条件求值问题讲一讲2．(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1－m2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________． [尝试解答] (1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：(1)B (2)12类题·通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．练一练2．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [尝试解答] 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，∴左边＝右边，原式得证．类题·通法三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．练一练3．求证：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－tan θ.证明：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－sin θ·－cos θ·－sin θ·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝－tan θ.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1； (2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2； (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3. 3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2等．。
高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数互动课堂学案 新人教A版必修4
1.2.1 任意角的三角函数互动课堂疏导引导1.任意角三角函数的定义设P(a,b)是角α的终边与单位圆的交点,由P 向x 轴引垂线,垂足为M.根据锐角三角函数的定义得sin α=||||OP MP =b,cos α=||||OP OM =a,tan α=ab OM MP ||||. 同样的道理 ,我们也可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图1-2-2,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么图1-2-2(1)y 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y.(2)x 叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x. (3)x y 叫做α的正切,记作tan α,即tan α=xy . 2.三角函数线设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x 轴的交点分别为A(1,0)、A′(-1,0),与y 轴的交点分别为B(0,1)、B′(0,-1).设角α的顶点在圆心O,始边与x 轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P(如图1-2-3(a)),过点P 作PM 垂直于x 轴于M,则点M 是点P 在x 轴上的正射影(简称射影),由三角函数的定义可知点P 的坐标为(cos α,sin α),即P(cos α,sin α).其中cos α=OM,sin α=MP.这就是说角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.又设单位圆在点A 的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T(T′)(图1-2-3(b)),则tan α=AT(AT′).我们把轴上向量OM 、、(AT )叫做α的余弦线、正弦线、正切线.图1-2-33.三角函数在各象限的符号由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号,可以确定三角函数的符号.sin α=y,于是sin α的符号与y 的符号相同,即当α是第一、二象限的角时,sin α＞0;当α是第三、四象限的角时,sin α＜0.cos α=x,于是cos α的符号与x 的符号相同,即当α是第一、四象限角时,cos α＞0;当α是第二、三象限的角时,cos α＜0.tan α=xy ,当x 与y 同号时,它们的比值为正,当x 与y 异号时,它们的比值为负,即当α是第一、三象限角时,tan α＞0;当α是第二、四象限角时,tan α＜0.规律总结:记忆三角函数值在各象限的符号的方法很多,下面介绍一种利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.上述口诀表示,第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值.4.公式一由三角函数的定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等,由此得一组公式.(公式利用公式一,可以把求任意角的三角函数值转化为求0到2π角的三角函数值. 活学巧用1.已知角α的终边经过点P(3a,-4a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α.解析：x=3a,y=-4a,∴r=22)4()3(a a -+=5|a|(a≠0). (1)当a ＞0时,r=5a,α是第四象限角.sin α=r y =,5454-=-a a cos α=r x =5353=a a ,tan α=3434-=-=a a x y . (2)当a ＜0时,r=-5a,α是第二象限角,sin α=54,cos α=53-,tan α=34-. 答案：sin α=±54,cos α=±53,tan α=34-. 2.在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合.(1)sin α≥23;(2)cos α≤-21. 解析：作出满足sin α=23,cos α=-21的角的终边,然后根据已知条件确定出角α终边的范围.(1)作直线y=23交单位圆于A 、B 两点,连结OA 、OB,则OA 与OB 围成的区域(如图1-2-4阴影部分)即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为{α|2k π+3π≤α≤2k π+32π,k∈Z }. (2)作直线x=-21交单位圆于C 、D 两点,连结OC 与OD,则OC 与OD 围成的区域(如图1-2-5阴影部分)即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为{α|2k π+32π≤α≤2k π+34π,k∈Z }.图1-2-4 图1-2-53.确定下列三角函数值的符号.(1)cos250°;(2)sin(-4π);(3)tan(-672°);(4)tan 311π. 解析：(1)∵250°是第三象限角,∴cos250°＜0.(2)∵-4π是第四象限角,∴sin(-4π)＜0. (3)∵-672°=-2×360°+48°,而48°是第一象限角,∴-672°是第一象限角.∴tan(-672°)＞0. (4)∵311π=2π+35π,而35π是第四象限角, ∴311π是第四象限角.∴tan 311π＜0. 答案：(1)-;(2)-;(3)+;(4)-.4.若sin θcos θ＞0,则θ在( )A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解析：由sin θcos θ＞0可知sin θ与cos θ同号,若sin θ＞0,cos θ＞0, 则θ在第一象限;若sin θ＜0,cos θ＜0,则θ在第三象限.∴θ在第一、三象限.答案：B5.确定下列三角函数值的符号. (1)cos521π;(2)sin(-760°);(3)tan 37π. 解析：(1)∵cos 521π=cos(5π+4π)=cos 5π,而5π是第一象限角, ∴cos 521π＞0. (2)∵sin(-760°)=sin(-40°-2×360°)=sin(-40°),而-40°是第四象限角, ∴sin(-760°)＜0. (3)∵tan37π=tan(3π+2π)=tan 3π,而3π是第一象限角, ∴tan37π＞0.。
高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.
1.2.1 任意角的三角函数互动课堂疏导引导1.任意角三角函数的定义设P(a,b)是角α的终边与单位圆的交点,由P 向x 轴引垂线,垂足为M.根据锐角三角函数的定义得 sinα=||||OP MP =b,cosα=||||OP OM =a,tanα=ab OM MP ||||. 同样的道理 ,我们也可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图1-2-2,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么图1-2-2(1)y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y.(2)x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x.(3)x y 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=xy . 2.三角函数线设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x 轴的交点分别为A(1,0)、A′(-1,0),与y 轴的交点分别为B(0,1)、B′(0,-1).设角α的顶点在圆心O,始边与x 轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P(如图1-2-3(a)),过点P 作PM 垂直于x 轴于M,则点M 是点P 在x 轴上的正射影(简称射影),由三角函数的定义可知点P 的坐标为(cosα,sinα),即P(cosα,sinα).其中cosα=OM,sinα=MP.这就是说角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.又设单位圆在点A 的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T(T′)(图1-2-3(b)),则tanα=AT(AT′).我们把轴上向量OM 、MP 、AT ('AT )叫做α的余弦线、正弦线、正切线.图1-2-33.三角函数在各象限的符号由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号,可以确定三角函数的符号.sinα=y,于是sinα的符号与y 的符号相同,即当α是第一、二象限的角时,sinα＞0;当α是第三、四象限的角时,sinα＜0.cosα=x,于是cosα的符号与x 的符号相同,即当α是第一、四象限角时,cosα＞0;当α是第二、三象限的角时,cosα＜0. tanα=xy ,当x 与y 同号时,它们的比值为正,当x 与y 异号时,它们的比值为负,即当α是第一、三象限角时,tanα＞0;当α是第二、四象限角时,tanα＜0.规律总结:记忆三角函数值在各象限的符号的方法很多,下面介绍一种利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.上述口诀表示,第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值.4.公式一由三角函数的定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等,由此得一组公式.(公式利用公式一,可以把求任意角的三角函数值转化为求0到2π角的三角函数值.活学巧用1.已知角α的终边经过点P(3a,-4a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα.解析：x=3a,y=-4a,∴r=22)4()3(a a -+=5|a|(a≠0).(1)当a ＞0时,r=5a,α是第四象限角.sin α=r y =,5454-=-aa cos α=r x =5353=a a ,tan α=3434-=-=a a x y . (2)当a ＜0时,r=-5a,α是第二象限角,sin α=54,cos α=53-,tan α=34-. 答案：sin α=±54,cos α=±53,tan α=34-. 2.在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合. (1)sinα≥23;(2)cosα≤-21. 解析：作出满足sinα=23,cosα=-21的角的终边,然后根据已知条件确定出角α终边的范围.(1)作直线y=23交单位圆于A 、B 两点,连结OA 、OB,则OA 与OB 围成的区域(如图1-2-4阴影部分)即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+3π≤α≤2kπ+32π,k∈Z }. (2)作直线x=-21交单位圆于C 、D 两点,连结OC 与OD,则OC 与OD 围成的区域(如图1-2-5阴影部分)即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+32π≤α≤2kπ+34π,k∈Z }.图1-2-4 图1-2-53.确定下列三角函数值的符号.(1)cos250°;(2)sin(-4π);(3)tan(-672°);(4)tan 311π.解析：(1)∵250°是第三象限角,∴cos250°＜0.(2)∵-4π是第四象限角,∴sin(-4π)＜0.(3)∵-672°=-2×360°+48°,而48°是第一象限角,∴-672°是第一象限角.∴tan(-672°)＞0.(4)∵311π=2π+35π,而35π是第四象限角,∴311π是第四象限角.∴tan 311π＜0.答案：(1)-;(2)-;(3)+;(4)-.4.若sin θcos θ＞0,则θ在( )A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解析：由sin θcos θ＞0可知sin θ与cos θ同号,若sin θ＞0,cos θ＞0, 则θ在第一象限;若sinθ＜0,cosθ＜0,则θ在第三象限.∴θ在第一、三象限. 答案：B5.确定下列三角函数值的符号.(1)cos 521π;(2)sin(-760°);(3)tan 37π.解析：(1)∵cos 521π=cos(5π+4π)=cos 5π,而5π是第一象限角,∴cos 521π＞0.(2)∵sin(-760°)=sin(-40°-2×360°)=sin(-40°),而-40°是第四象限角, ∴sin(-760°)＜0. (3)∵tan 37π=tan(3π+2π)=tan 3π,而3π是第一象限角,∴tan 37π＞0.。
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教案(4)
1.6 三角形函数模型的简单应用一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. （二）学习目标1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤．2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题.2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型． （四）学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型. （2）y =|sin x |是以 π 为周期的波浪形曲线. 2．预习自测 （1）函数y =sin （2x -3π）的最小正周期为 π .（2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin （8πx -45π）+20,x ∈[4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 20℃.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响. （2）函数y =A sin （ωx +φ）的图象.（3）y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义. 2.问题探究例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y =sin(ωx +φ)+b .(1)求这一天6—14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式. 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的数学思想. 【解题过程】解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象,∴A =21(30-10)=10,b =21(30+10)=20.∵21·ωπ2=14-6, ∴ω=8π.将x =6,y =10代入上式,解得φ=43π. 综上,所求解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈[6,14]. 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.同类训练 如下图表示的是电流I 与时间t 的函数关系()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωt A I 在一个周期内的图象.(1)根据图象写出()ϕω+=t A I sin 的解析式; (2)为了使()ϕω+=t A I sin 中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少? 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】解:(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴πϕωϕω=+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1501,03001.解得3,100πϕπω==,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3100sin 300ππt I . (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴πω200≥.故629min =ω 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法.例2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?【知识点】正切函数. 【数学思想】数形结合.【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=h tanθ由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.解:如图,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC . 根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′, 所以MC ＝tanC h 0=34'26 tan h 0≈2.000h 0. 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得的函数模型解决问题.同类训练 某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数.【数学思想】数形结合.【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题.例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图.引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律.活动2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.根据题意,一天中有两个时间段可以进港.问题1：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？ 问题2：第3问中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？问题3：根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？ 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图.根据图象,可以考虑用函数y =Asin (ωx +φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出: A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π.所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin 6πx +5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:令2.5sin6πx +5=5.5,sin6πx =0.2.由计算器可得 20.20.201 357 92≈0.201 4.如图,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin 6πx +5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B ,因此6πx ≈0.201 4,或π－6πx ≈0.201 4.解得A x ≈0.384 8,B x ≈5.615 2.由函数的周期性易得:C x ≈12+0.384 8＝12.384 8,D x ≈12+5.615 2＝17.615 2.因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x 货船的安全水深为y ,那么y =5.5-0.3(x -2)(x ≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.【思路点拨】引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.同类训练 设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深y 的关系.经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈【知识点】三角函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】由表可得，最大值为15，相邻两个最大值之间间隔12，故周期T =12，故6122ππ=，故6πω=，答案选A. 【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期. 【答案】A. 3. 课堂总结 知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等； ③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；⑤还原：将所得结论转译回实际问题. 重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． （三）课后作业基础型 自主突破1.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且sin A >sin B >sin C ,则( ) A.A >B >C B.A <B <C C.A +B >2πD.B +C >2π【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小. 【数学思想】三角函数图象的应用.【解题过程】∵sin A >sin B >sin C ,又 三角形内角和为180°,∴由函数y ＝sin x ,x ），（π0∈图象可得A >B >C . 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，所以讨论函数为y ＝sin x ,x ），（π0∈. 【答案】A2．2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则sin θ+cos θ= ．【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】主要考查求解三角函数，关键是理解题意并正确利用勾股定理【解题过程】解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为51设θ所对的直角边为x ，则由勾股定理得：15122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x∴x =53，∴sin θ=53,cos θ=54∴sin θ+cos θ=57 【思路点拨】根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值．【答案】57能力型 师生共研3.如图表示的是电流I 与时间t 的函数关系，I =A sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<2π)在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I =A sin(ωx +φ)的解析式； (2)为了使I =A sin(ωx +φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建.【解题过程】(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－3001)+φ=0,ω·1501+φ=π.解得ω=100π,φ=3π∴I =300sin(100πt +3π). (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥200π.故ωmin =629. 【思路点拨】根据图象可求得相应三角函数，根据题意利用所得三角函数求出电流I 及ω.【答案】(1)I =300sin(100πt +3π)；(2)629. 探究型 多维突破4.某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y =A sin ωt +b 的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出y =A sin ωt +b 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建，解三角不等式. 【解题过程】解：（1）根据数据可得，A +h =13，-A +h =7， ∴A =3，h =10， T =15﹣3=12，∴ω=T π2=6π， ∴y =3sin （6πx +φ）+10将点（3，13）代入可得π=0 ∴函数的表达式为y =3sin6πt +10（0≤t ≤24） （2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin6πt +10≥11.5（0≤t ≤24）， ∴3sin 6πt ≥，∴6πt ∈[2kπ+6π，2kπ+65π]，k =0，1， ∴t ∈[1，5]或t ∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【思路点拨】（1）根据数据，A +h =13，-A +h =7，可得A =3，h =10，由T =15﹣3=12，可求ω=6π，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；（2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin 6πt +10≥11.5（0≤t ≤24），从而可求t ∈[1，5]或t ∈[13，17] 【答案】（1）y =3sin6πt +10（0≤t ≤24）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00；在港内停留的时间最多不能超过16小时. 自助餐1.甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离，则l =f (θ)的图象大致是( )A.B.C.D.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求选择恰当的三角函数模型.【解题过程】根据题意可知θ=π时，两人相遇，排除B ，D ；两人的直线距离不可为负，排除A ．【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】C2.电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函数I =Asin (ωt +φ)的图象如图所示，则当t =1207秒时的电流强度( )A.0B.10C.-10D.5 【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】函数y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义.【解题过程】根据题意可知A =10，1001300130042=-=T ，可知501=T ，从而得π100=ω；当3001=t 时，10=I ，从而可得φ=6π；于是可得I =10sin （10πx +6π）.故当t =1207时，I =0.【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】A3.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求建立恰当的三角函数模型.【解题过程】以最低点的切线为x 轴，最低点为原点，建立直角坐标系.设P (x (t ), y (t ))则h(t )= y (t )+2,又设P 的初始位置在最低点，即y (0)=0， 在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,cos θ=8()8y t -,∴y (t )= -8cos θ+8,而212π=t θ，∴θ=6t π，∴y (t )= -8cos 6t π+8, ∴h (t )= -8cos 6t π+10.【思路点拨】根据题意建立合适的直角坐标系，利用给定的几何关系和三角函数构建角度和长度的关系，列出函数表达式，化简即可得出结果.【答案】h (t)=-8cos6t+10。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式学案(1)新人教A版必修4
1.3三角函数的诱导公式（1）教学目标:(1) 巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式；（2）能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值；（3）能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程；（4）准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值 口诀：函数名不变，符号看象限.一、复习引入:1、 利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值：),(y x P 为角α的终边与单位圆的交点，则___________cos _,__________sin ==αα2、由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有诱导公式（一）： _____________;___________; ________________.这组公式的作用是：___________________________.二、自主学习:【问题】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到)2,0[π角后，又如何将)2,0[π角间的角转化到)2,0[π角呢？【自主探究】研究教材P23-24,弄清楚下列问题：当角α的终边与角β的终边关于原点对称时，α与β的关系为：________________利用单位圆可以推得 公式（二）： 同理可以得到公式（三）__________________; __________________;__________________; __________________;__________________. __________________;公式（四）__________________;__________________;__________________.说明：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③记忆方法： “____________，_______________”；例题1. 求下列三角函数值：（1）11sin3π； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-π411cos ；（3）()1560tan -例题2. 化简23cos cos()sin ()sin tan cos ()απαπαααπα⋅+⋅+⋅⋅--变式训练. 化简()()()()αααα----++ 180cos 180sin 360sin 180cos思维拓展1. Z k ∈时，])1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ+++++⋅-k k k k =______2. 化简：)34cos()322sin(ππππ+⋅+n n3.已知0tan100k = ，则0sin80___=1.3三角函数的诱导公式作业(1)1.设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+ 的值等于（ ）A ．33 B ．C ．3 D ． 2.设βαβπαπ,,,(4)cos()sin()(b a x b x a x f ++++=为常数），且,5)2000(=f 那么=)2004(f （） A ．1 B ．3 C ．5 D ．73.已知sin()4πα+3sin()4πα-值为（ ） A. 21 B. —21 C. 23 D. —234．若cos (π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α)值为（ ） A. 23 B. 21 C. 23± D. —235．化简：)2cos()2sin(21-∙-+ππ得 （ ）A. sin 2cos 2+B. cos 2sin 2-C. sin 2cos 2-D.±（cos 2sin 2-）6．已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos - 的值是________________7. 求值： 2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒-＝8.（1）)431sin(π- =_______ （2）)631cos(π- =_______;（3）)945tan(0-=________9.判断下列函数的奇偶性：（1）()x x f cos 1-=； （2）()x x x g sin -=．（3）x x f sin )(= （4）x x x f cos sin )(=10. 设()f θ=)cos()7(cos 221)cos(2)(sin cos 2223θθππθπθθ-++++---+-，求()3f π的值．11．已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值。
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第一章三角函数复习(一)
教学目的
【过程与方法】
一、知识结构：
二、知识要点：
1. 角的概念的推广：
(1) 正角、负角、零角的概念：
(2) 终边相同的角：
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：}Z,360|{kkS
① 象限角的集合：
第一象限角集合为： ；
第二象限角集合为： ；
第三象限角集合为： ；
第四象限角集合为： ；
② 轴线角的集合：
终边在x轴非负半轴角的集合为： ；
终边在x轴非正半轴角的集合为： ；
故终边在x轴上角的集合为： ；
终边在y轴非负半轴角的集合为： ；
终边在y轴非正半轴角的集合为： ；
故终边在y轴上角的集合为： ；
终边在坐标轴上的角的集合为： .
2. 弧度制：
我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做
弧度制. 在弧度制下，1弧度记做1rad.
(1) 角度与弧度之间的转换：
① 将角度化为弧度：
2360
180 rad01745.01801 radnn 180
② 将弧度化为角度：
3602 180
815730.57)180(1rad ) 180(nn
(2) 把上述象限角和轴线角用弧度表示.
(3) 上述象限角和轴线角用弧度表示：
; rl弧长公式：
任意角与
弧度制：
单位圆
任意角
的三角
函数
三角函数线；三角函数的图象和性质三角函
数线模
型的简
单应用
同角三角函数的基本关系式诱导
公式
. 21lRS扇形面积公式：
3. 任意角的三角函数：
. 0 ),( (1)22yxryxP是
它与原点的距离，的坐标是其终边上任意一点是一个任意大小的角，设
①;sinsinryry，即的正弦，记作叫做比值
②;coscosrxrx，即的余弦，记作叫做比值
③.tantanxyxy，即的正切，记作叫做比值
(2) 判断各三角函数在各象限的符号：
(3) 三角函数线：
4. 同角三角函数基本关系式：
(1) 平方关系： 1cossin22
(2) 商数关系：cossintan
5. 诱导公式
诱导公式(一)
)Z(tan)2tan()Z(cos)2cos()Z(sin)2sin(kk
kk
kk
诱导公式(二)
tan)tan(cos)cos( sin)sin(
诱导公式(三)
tan)tan(cos)cos( sin)sin(
诱导公式(四)
sin(－)=sin
cos( －)=－cos
tan (－)=－tan
诱导公式(五)
tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(
对于五组诱导公式的理解 ：
可以是任意角；公式中的 .1
. 360,180, 180 , , )Z( 360 .2符号看成锐角时原函数值的前面加上一个把它的同名三角函数值，
于等的三角函数值，括为：这五组诱导公式可以概kk
函数名不变，符号看象限
利用诱导公式将任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤：
三、基础训练：
) ( sin],2,[,23)(cos .1的值为则且已知
23 D. 21 C. 21- B. 2
1
A.
23 D. 23 C. 21- B. 2
1
A.) ( )647(-cos .2
的值为
. __________)3cos(,tan)3tan(,101-)sin(3 .3则且若
. _______)tan()cos(-)sin( .4化简：
) (cottan,32cossin .5的值是则已知
诱导公式二或四或五
诱导公式三或一
任意负角的三角函数
任意正角的三角函数
0o到360o角的三角函数
锐角的三角函数
诱导公式一
518- D. 45 C. 49 B. 18
5
A.
. _____cossin,83cossin .6是第三象限角，则且已知
四、典型例题：
. ),360,360(),2,2()2( _____630(1) 1.中绝对值最小的角，并求出的集合试写出角并且的终边经过点若角象限角；是第角，则后成为角边在按顺时针方向旋转是第二象限角，当其终若例AA
P
. ,30 125 (2) ___,43tan___,34cos___,3sin 2.(1)2求扇形的弧长和半径长弧度，面积为已知扇形的圆心角为计算：例cm
例3. 化简：设Z,k.])1cos[(])1sin[()cos()sin(kkkk
五、课堂小结
1. 任意角的三角函数；2. 同角三角函数的关系；3. 诱导公式.