课时分层作业40 公式五和公式六
2018年秋高中数学 课时分层作业7 公式五和公式六 新人教A版必修4
课时分层作业(七) 公式五和公式六(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α等于( )【导学号：84352067】A ．－12B ．12C ．32D ．－32A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－sin α＝－12.]2．已知sin 10°＝k ，则cos 620°的值为( ) A ．k B ．－k C ．±kD ．不确定B [cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260° ＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k .]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( ) A ．－13B ．13 C ．223D ．－223A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选A.]4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )【导学号：84352068】A ．－2a 3B ．－3a 2C ．2a 3D ．3a 2B [由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ， 得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a2，cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]5．化简：sin θ－5πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－θcos 8π－θsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2sin －θ－4π＝( )A ．－sin θB ．sin θC ．cos θD ．－cos θA [原式＝sin θ－πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos θcos θsin －θ＝－sin θ－sin θcos θcos θ－sin θ＝－sin θ.]二、填空题6．化简sin(π＋α)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos(π＋α)＝________.【导学号：84352069】－1 [原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－sin 2α－cos 2α＝－1.]7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝________.－ 3 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，sin φ＝－32， 又∵|φ|＜π2，∴cos φ＝12，故tan φ＝－ 3.]8．已知α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝45，则cos(α－85°)＝________.【导学号：84352070】－35 [因为α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝45＞0，所以5°＋α是第四象限角， 所以sin(5°＋α)＝－1－cos25°＋α＝－35，所以cos(α－85°)＝cos(5°＋α－90°) ＝sin(5°＋α)＝－35.]三、解答题9．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan α－πsin α＋πcos 3π－α的值.【导学号：84352071】[解] (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，所以|OP |＝1，sin α＝－35.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αtan α－πsin α＋πcos 3π－α＝cos αtan α－sin α－cos α＝1cos α，由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为54.10．求证：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [证明] 左边＝－2cos θ·sin θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ ＝－sin θ＋cos θ2cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan·8π＋π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θcos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ， 所以等式成立．[冲A 挑战练]1．若f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)的值为( ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12A [因为f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－32.] 2．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C ．892D ．45C [原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892.]3．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ＝________. 【导学号：84352072】310 [∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2, sin θ＝3cos θ， ∴tan θ＝3.sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ＝sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan θtan 2θ＋1＝310.] 4．已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于_______．2－π2 [cos α＝2sin 22sin 22＋－2cos 22＝sin 2，∵α为锐角，∴α＝2－π2.]5．已知f (α)＝tan π－αcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos －α－π.(1)化简f (α)；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α. 【导学号：84352073】 [解] (1)f (α)＝tan π－αcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos －α－π＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35，又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2α＝45，则tan α＝sin αcos α＝－43.。
2019_2020学年高中数学课时分层作业13数轴上的基本公式(含解析)新人教B版必修2
课时分层作业(十三) 数轴上的基本公式(建议用时：40分钟)[合格基础练]一、选择题1．给出以下几个命题，其中正确命题的个数是( )①数轴上起点相同的向量方向相同；②数轴上相等的向量，若起点不同，则终点一定不同；③数轴上不相等的向量，终点一定不相同；④零向量没有方向．A ．1B ．2C ．3D ．4A [起点相同的向量，它的终点位置不定，所以方向不一定相同，故①错；相等的向量，若起点不同，则终点一定不同，故②对；向量的相等与起点、终点无关，因此不相等的向量，终点完全可以相同，故③错；零向量是方向不确定的向量，不是没有方向，若没有方向，则它就不是向量了，故④错．综上，正确的只有②.]2．在数轴上M 、N 、P 的坐标分别是3、－1、－5，则MP －PN 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．12C [MP ＝(－5)－3＝－8，PN ＝(－1)－(－5)＝4，MP －PN ＝－8－4＝－12.]3．若A ，B ，C ，D 是数轴上的四个点，且BA ＝6，BC ＝－2，CD ＝6，则AD ＝( )A ．0B ．－2C ．10D ．－10B [由题意知AD ＝AB ＋BC ＋CD＝－BA ＋BC ＋CD ＝－6－2＋6＝－2，故选B.]4．数轴上向量AB →的坐标为－8，且B (－5)，则点A 的坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 C [由AB ＝x B －x A ，得－5－x A ＝－8，解得x A ＝3.]5．对于数轴上任意三点A ，B ，O ，如下关于线段的数量关系不恒成立的是( )A ．AB ＝OB －OAB ．AO ＋OB ＋BA ＝0C ．AB ＝AO ＋OBD ．AB ＋AO ＋BO ＝0D [由有向线段数量关系的运算知：AB ＝OB －OA ，AB ＝AO ＋OB ，AO ＋OB ＋BA ＝AB ＋BA ＝0，所以A 、B 、C 都恒成立，而对于D ，AB ＋AO ＋BO ＝OB －OA ＋AO ＋BO ＝2AO ，故选D.]二、填空题6．若在直线坐标系中，有两点A (5)，B (－2)，且AB ＋CB ＝0，则C 点的坐标为________． －9 [设C 点的坐标为x ，则－2－5＋(－2－x )＝0，解得x ＝－9.]7．在数轴上从点A (－3)引一线段到B (4)，再延长同样的长度到C ，则点C 的坐标为________．11 [∵d (A ，B )＝4－(－3)＝7＝d (B ，C )＝x －4，∴x ＝11.]8．已知点A (2x )，B (x 2)，且点A 在点B 右侧，则x 的取值范围是________．(0,2) [∵A 在B 点的右侧，∴2x >x 2，即x 2－2x <0，∴0<x <2.]三、解答题9．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|，若关于x 的不等式f (x )≥k 有解，求k 的最大值．[解] |x －2|表示x 与2的距离，|x －5|表示x 与5的距离， f (x )＝|x －2|－|x －5|表示x 与两点2和5的距离之差．当x ≤2时，f (x )为－3；当2<x <5时，f (x )的范围为(－3,3)；当x ≥5时，f (x )为3，∴－3≤|x －2|－|x －5|≤3.要使不等式f (x )≥k 有解，则k ≤3，∴k max ＝3.10．已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3.(1)求向量OA →、AB →的数量；(2)求所有满足条件的点B 到原点O 的距离之和．[解] (1)∵A 与原点的距离为3，∴A (3)或A (－3)．当A (3)时，∵A 、B 距离为1，∴B (2)或B (4)，这时OA →的数量为3，AB →的数量为－1或1，当A (－3)时，∵A 、B 距离为1，所以B (－4)或B (－2)，此时OA →的数量为－3，AB →的数量为－1或1.(2)满足条件的所有点B 到原点的距离和为2＋4＋4＋2＝12.[等级过关练]1．三个不相等的实数a ，b ，c 在数轴上分别对应点A ，B ，C ，如果|a －b |＋|b －c |＝|a －c |，则点B 在点( )A ．A ，C 的右边B ．A ，C 的左边C ．A ，C 之间D ．A 或C 上C [①若点B 在A ，C 右边，则b >a ，b >c ，则有|a －b |＋|b －c |＝b －a ＋b －c ＝2b －(a ＋c )，不一定等于|a －c |；②若点B 在A ，C 左边，则b <a ，b <c 所以|a －b |＋|b －c |＝a －b ＋c －b ＝(a ＋c )－2b 也不一定与|a －c |相等；③若点B 在点A ，C 之间，则a <b <c 或c <b <a ，则有|a －b |＋|b －c |＝|a －b ＋b －c |＝|a －c |；④∵a ，b ，c 不相等，故点B 不可能在点A ，C 上．]2．设数轴上三点A ，B ，C ，点B 在A ，C 之间，则下列等式不成立的有________(填序号)． ①|AB →－CB →|＝|AB →|－|CB →|；②|AB →＋CB →|＝|AB →|＋|CB →|；③|AB →－CB →|＝|AB →|＋|CB →|；④|AB →＋CB →|＝|AB →－CB →|.①②④ [∵|AB →－CB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|，而AB ＋BC ＝AC ，所以③正确．其余均错．]。
2020学年高中数学课时分层作业6三角形中的几何计算(含解析)新人教A版必修5(最新整理)
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课时分层作业(六) 三角形中的几何计算(建议用时：60分钟）[基础达标练]一、选择题1．已知锐角△ABC的面积为3错误!，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为（）A．60°或120°B．120°C．60°D．30°C［S△ABC＝错误!·BC·CA·sin C＝3错误!，∴sin C＝错误!，∵C∈（0°，90°）,∴C＝60°.]2．在△ABC中,三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2,则角A为( ）A．45°B．60°C．120°D．150°A[4S＝b2＋c2－a2＝2bc cos A，∴4·错误!bc sin A＝2bc cos A，∴tan A＝1,又∵A∈(0°,180°），∴A＝45°.]3．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A．40错误!B．20错误!C．40错误!D．20错误!A[设另两边长为8x，5x，则cos 60°＝64x2＋25x2－14280x2＝错误!，解得x＝2.两边长是16与10,三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40错误!。
2020-2021学年人教A版数学必修4课时分层作业：1.3.1公式二、公式三和公式四
课时分层作业(六)(建议用时：45分钟)一、选择题1．已知sin(π＋θ)＝45，则角θ的终边在()A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第四象限D．第三或第四象限D[sin(π＋θ)＝－sin θ＝45，∴sin θ＝－45＜0，所以θ为第三或第四象限角．]2．sin2(2π－α)＋c os(π＋α)cos(π－α)＋1的值是()A．1B．2C．0D．－1B[原式＝sin2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.]3．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为() A. 3 B．－ 3C.33D．－33B[由题意得tan 600°＝－3 a，又因为tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3，所以－3a＝3，所以a＝－ 3.]4．已知点(－4,3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)＝()A.35B．－35C．－45 D.45A [x ＝－4，y ＝3，∴r ＝(－4)2＋32＝5，∴sin(π－α)＝sin α＝y r ＝35.故选A.] 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32C [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32.]二、填空题6．求值：(1)cos 29π6＝ ；(2)tan(－855°)＝ . (1)－32 (2)1 [(1)cos 29π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6＝cos 5π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.]7．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝ . 1213 [由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°) ＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213.] 8．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α＜0， 则2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)＝ .－73 [因为sin(α＋π)＝－sin α＝45， 且sin αcos α＜0，所以sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43， 所以2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)＝－2sin α－3tan α－4cos α＝85＋4－4×35＝－73.]三、解答题 9．化简下列各式： (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π；(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)． [解] (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝sin π3cos π6＝34. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°) ＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋ cos(180°＋60°)sin(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1. 10．已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值． [解] (1)f (α)＝－sin αcos α(－tan α)(－tan α)sin α＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15. 又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos5π3＝－cos π3＝－12.1．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞bB [a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33， b ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝－sin 33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .]2．(2019·西湖区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点重合，始边为x 轴的非负半轴，点P (－1,2)在其终边上，则sin α＝ ，cos(π－α)＝ .255 55 [角α的顶点与原点重合，始边为x 轴的非负半轴，点P (－1,2)在其终边上，则sin α＝2(－1)2＋22＝255，cos(π－α)＝－cos α＝－－1(－1)2＋22＝55.]莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2019_2020学年高中数学课时分层作业5三角形中的几何计算(含解析)新人教B版必修5
课时分层作业(五) 三角形中的几何计算(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则∠A 的对边的长为( ) A ．57 B ．37 C ．21D ．13D [∵S △ABC ＝12bc sin A ＝3，∠A ＝60°，b ＝1∴c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝13.∴a ＝13.]2．已知△ABC 的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足sin B －sin A sin B －sin C ＝ca ＋b ，则∠A ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．π3或2π3B [由sin B －sin A sin B －sinC ＝c a ＋b ，结合正弦定理，得b －a b －c ＝c a ＋b，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，由∠A 为三角形的内角，知∠A ＝π3.]3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，∠B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A ．32 B ．332C ．3＋62D ．3＋394B [作图，AD ⊥BC 于D ．在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，代入数值得AB ＝3.在Rt △ABD 中，AD ＝AB sin 60°＝332.]4．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，∠C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3B ．932C ．332D ．3 3C [由题意得，c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，又由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－aB ．∴－2ab ＋6＝－ab ，即ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝332.]5．已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A ．32 B ．34 C ．32或 3 D ．34或32D [AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC ＝1或BC ＝2，当BC ＝1时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34；当BC ＝2时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32.] 二、填空题6．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．4 3 [∵cos C ＝13，0<∠C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.]7．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.6 [解方程5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35，∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝45.故S ＝12×3×5×45＝6(cm 2)．]8．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＋∠C ＝2π3，a ＝3，b＝1，则S △ABC 等于________．32 [因为∠B ＋∠C ＝23π，所以∠A ＝π－23π＝π3， 由a sin A ＝bsin B，得3sinπ3＝1sin B ，则sin B ＝12， 因为a >b ，所以∠A >∠B ，则∠B ＝π6，所以∠C ＝π2，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×1×1＝32.]三、解答题9．在△ABC 中，求证：a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.[证明] 法一：左边＝a －c (a 2＋c 2－b 2)2acb －c (b 2＋c 2－a 2)2bc ＝a 2－c 2＋b 22a ·2b b 2－c 2＋a 2＝b a ＝2R sin B 2R sin A ＝sin B sin A＝右边， (其中R 为△ABC 外接圆的半径) ∴a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.法二：左边＝sin A －sin C cos Bsin B －sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C ·cos Bsin (A ＋C )－sin C ·cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边(cos C ≠0)，∴a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.10．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求∠A 和∠B 的大小； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0<∠A <π，∴∠A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C <0，即∠C 为钝角，∴∠B 为锐角，且∠B ＋∠C ＝5π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，得∠C ＝2π3，∴∠B ＝π6.(2)由(1)知a ＝b ，则AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ×a 2×co s C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.[能力提升练]1．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积为( ) A ．32 3 B ．16C ．323或16D ．323或16 3D [在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝83×128＝32，又b >a ，∴∠B ＝60°或120°.当∠B ＝60°时，∠C ＝180°－30°－60°＝90°， ∴S △ABC ＝12×8×83＝323；当∠B ＝120°时，∠C ＝180°－30°－120°＝30°， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×83×12＝16 3.]2．△ABC 的周长为20，面积为103，∠A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8C [如图，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a)2－3×40，∴a ＝7.]3．在△ABC 中，ab ＝60，S △ABC ＝153，△ABC 的外接圆半径为3，则边c 的长为________． 3 [S △ABC ＝12ab sin C ＝153，∴sin C ＝32.由正弦定理csin C＝2R ，∴c ＝2R ×sin C ＝3.] 4．已知△ABC 的面积为32，a ＋c ＝210，cos B ＝－13，则b 的值为________．27 [在△ABC 中，由cos B ＝－13可得sin B ＝223，根据面积为32得，12ac sin B ＝32得ac ＝9，由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝40－18＋6＝28，则b ＝27.]5．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ．已知3cos(B －C )－1＝6cos B cosC ．(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，C ． [解] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1， 即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos (B ＋C )＝13.(2)由于0<∠A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.。
2021_2022学年高中数学课时分层作业5综合法及其应用(含解析)新人教B版选修1_2
课时分层作业(五)(建议用时：40分钟)[根底达标练]一、选择题1．a ，b 为非零实数，那么使不等式：a b ＋b a≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a ·b >0 B ．a ·b <0C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0[解析] ∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2ab ≤－2.∵a 2＋b 2>0，∴ab <0，那么a ，b 异号，应选C.[答案] C2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，那么四边形ABCD 为() A ．菱形 B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形[解析] ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．[答案] D3．假设实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，那么以下四个数中最大的是() A.12 B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a[解析] ∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12.而a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12，又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大，应选B.[答案] B4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 假设A >B ，那么a >b ，又a sin A ＝bsin B ，∴sin A >sin B ； 假设sin A >sin B ，那么由正弦定理得a >b ，∴A >B .[答案] C5．假设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么以下命题中的真命题是( )A ．假设m ⊂β，α⊥β，那么m ⊥αB ．假设α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，那么α∥βC ．假设m ⊥β，m ∥α，那么α⊥βD ．假设α⊥γ，α⊥β，那么β⊥γ[解析] 对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直．[答案] C二、填空题6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，假设A ，B ，C 三点共线，那么k ＝________.[解析] 假设A ，B ，C 三点共线，那么AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，3λ＝k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝6. [答案] 6 7．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，那么a ，b ，c 的大小关系为________． [解析] ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c ，又∵c b ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b .[答案] a >c >b8．三个不等式：①ab >0；②c a >d b ；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，那么可能组成________个正确的命题．[解析] 对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔bc －ad ab >0.于是，假设ab >0，bc >ad ，那么bc －ad ab >0，故①③⇒②.假设ab >0，bc －ad ab >0，那么bc >ad ，故①②⇒③.假设bc >ad ，bc －ad ab>0，那么ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．[答案] 3三、解答题9．如图，四棱锥P ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求证：AF ∥平面PEC .[证明] ∵四棱锥P ABCD 的底面是平行四边形，∴AB CD .又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴CF AE .∴四边形AECF 为平行四边形．∴AF ∥EC .又AF 平面PEC ，EC ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC .10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．[证明] 由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ， 又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c 2， 代入上式得(a ＋c )24＝a 2＋c 2－ac ， 整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ，而B ＝π3，那么A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形．[能力提升练]1．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，假设a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，那么1x ＋1y的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.12[解析] ∵a x ＝b y ＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1.应选C. [答案] C2．在△ABC 中，tan A ·tan B >1，那么△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 [解析] 因为tan A ·tan B >1，所以角A ，角B 只能都是锐角，所以tan A >0，tan B >0,1－tan A ·tan B <0，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B<0. 所以A ＋B 是钝角，即角C 为锐角．[答案] A3．假设0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，那么a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________．[解析] 由0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，得a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab .又a >a 2，b >b 2，知a ＋b >a 2＋b 2，从而a ＋b 最大．[答案] a ＋b4．如下图，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .假设M 为定点，求证：直线EF 的斜率为定值．[证明] 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)，∵MA ＝MB ，∴∠MAB ＝∠MBA ，∴直线MF 的斜率为－k ，∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0＝k (x －y 20)，y 2＝x ，消去x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0.解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝(1－ky 0)2k 2. 同理可得y F ＝1＋ky 0－k ，∴x F ＝(1＋ky 0)2k 2. ∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k (1－ky 0)2k 2－(1＋ky 0)2k 2 ＝－12y 0(定值)． ∴直线EF 的斜率为定值．。
2018年秋高中数学 课时分层作业5 综合法和分析法 新人教A版选修1-2
课时分层作业(五) 综合法和分析法(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．证明命题“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵f(x)＝e x＋1e x ，∴f′(x)＝e x－1e x.∵x>0，∴e x>1,0<1e x <1 ∴e x－1e x>0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．他使用的证明方法是( )A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是A[该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故选A.]2．设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，那么P，Q，R的大小关系是( )【导学号：48662076】A．P＞Q＞R B．P＞R＞QC．Q＞P＞R D．Q＞R＞PB[先比较R，Q的大小，可对R，Q作差，即Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(3＋6)．又(7＋2)2－(3＋6)2＝214－218＜0，∴Q＜R，由排除法可知，选B.]3．要证3a－3b＜3a－b成立，a，b应满足的条件是( )A．ab＜0且a＞bB．ab＞0且a＞bC．ab＜0有a＜bD．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜bD[要证3a－3b<3a－b，只需证(3a－3b)3<(3a－b)3，即证a－b－33a2b＋33ab2<a－b，即证3ab 2<3a 2b ，只需证ab 2<a 2b ，即证ab (b －a )<0.只需ab >0且b －a <0或ab <0，且b －a >0.故选D.] 4．下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( )【导学号：48662077】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [∵(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ac )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122≤0，(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2.∴应选C.] 5．若两个正实数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)B [∵x >0，y >0，1x ＋4y＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4x y≥2＋2y 4x ·4xy＝4， 等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立， ∴x ＋y4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B.] 二、填空题6．如图222所示，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．图222AC ⊥BD (答案不唯一) [要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C .因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ， 即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C .]7．已知sin α＋sin β＋sin r ＝0，cos α＋cos β＋cos r ＝0，则cos(α－β)的值为________.【导学号：48662078】－12 [由sin α＋sin β＋sin r ＝0，cos α＋cos β＋cos r ＝0，得sin α＋sin β＝－sin r ，cos α＋cos β＝－cos r ，两式分别平方，相加得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，所以cos (α－β)＝－12.]8．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．≤ [∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b ) ＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab ＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0.∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．]三、解答题9．设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证：a x ＋c y＝2.【导学号：48662079】[证明] 由已知条件得b 2＝ac ， 2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .①要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ，只要证2ay ＋2cx ＝4xy . ②由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证． 10. 设a ＞0，b ＞0,2c ＞a ＋b ，求证： (1)c 2＞ab ；(2)c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab .[证明] (1)∵a ＞0，b ＞0,2c ＞a ＋b ≥2ab ， ∴c ＞ab ， 平方得c 2＞ab ；(2)要证c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab . 只要证－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab . 即证|a －c |＜c 2－ab ， 即(a －c )2＜c 2－ab ，∵(a －c )2－c 2＋ab ＝a (a ＋b －2c )＜0成立， ∴原不等式成立．[能力提升练]1．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤AA [a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b .即A ≤B ≤C .] 2．若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥2 B ．(a ＋b ＋c )2≥3 C ．1a ＋1b ＋1c≥2 3D ．abc (a ＋b ＋c )≤13B [∵a ，b ，c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，又(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac＝a 2＋b 2＋c 2＋2≥3.] 3. 若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.【导学号：48662080】⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ [若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值，且令a 不小于这个最大值即可．因为x >0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.] 4．已知x 1是方程x ＋2x＝4的根，x 2是方程x ＋log 2x ＝4的根，则x 1＋x 2的值是________． 4 [∵x ＋2x＝4，∴2x＝4－x ，∴x 1是y ＝2x与y ＝4－x 交点的横坐标． 又∵x ＋log 2x ＝4，∴log 2x ＝4－x ，∴x 2是y ＝log 2x 与y ＝4－x 交点的横坐标． 又y ＝2x与y ＝log 2x互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4－x ，y ＝x 得x ＝2，∴x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝4.]5．求证抛物线y 2＝2px (p ＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切.【导学号：48662081】[证明] 如图，作AA ′、BB ′垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线．要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝12|AB |，由抛物线的定义：|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |， 所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|，因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切.。
2020-2021学年高中数学 课时分层作业6 等比数列的概念及其通项公式 北师大版必修5
课时分层作业（六) 等比数列的概念及其通项公式(建议用时：60分钟)一、选择题1．在等比数列{a n｝中，满足2a4＝a6－a5,则公比是( )A．1 B．1或－2C．－1或2 D．－1或－2C［法一:由已知得2a1·q3＝a1·q5－a1·q4,即2＝q2－q，∴q＝－1或q ＝2．法二：∵a5＝a4·q，a6＝a4·q2，∴由已知条件得2a4＝a4·q2－a4·q，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2．]2．下列数列为等比数列的是( ）A．2,22，222，…B．错误!,错误!，错误!，…C．S－1，(S－1）2，(S－1）3，…D．0,0,0…B［A项中，错误!≠错误!，∴A不是；B是首项为错误!，公比为错误!的等比数列；C项，当S＝1时，数列为0，0，0,…，∴不是；D显然不是．] 3．已知等比数列｛a n｝满足a1＋a2＝3,a2＋a3＝6，则a7等于( ）A．64 B．81C．128 D．243A［q＝错误!＝2代入a1＋a2＝a1（1＋q)＝3,得a1＝1，∴a7＝a1q6＝26＝64，故选A．]4．设a1＝2，数列{1＋2a n}是公比为2的等比数列，则a6等于（）A．31．5 B．160C．79．5 D．159．5C[1＋2a n＝（1＋2a1)·2n－1,所以1＋2a6＝5·25．所以a6＝5×32－12＝79．5．]5．对任意等比数列｛a n｝，下列说法一定正确的是( )A．a1,a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4,a8成等比数列D．a3，a6,a9成等比数列D[设等比数列的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5,a9＝a1q8，满足（a1q5）2＝a1q2·a1q8，即（a6）2＝a3·a9．故D正确．]二、填空题6．数列{a n}满足：a9＝1，a n＋1＝2a n（n∈N＋)，则a5＝____________________________________．错误!［由a n＋1＝2a n(n∈N＋）知数列{a n}是公比q＝错误!＝2的等比数列．∴a5＝a1q4＝错误!＝错误!＝错误!．]7．等比数列{a n｝中，a4＝2，a5＝4，若b n＝lg a n，则数列{b n}的通项公式为________．b n＝(n－3)lg 2(n∈N＋) ［q＝错误!＝2，故a4＝a1·q3，得a1＝2－2，a n＝2n－3，可得b n＝lg 2n－3＝（n－3）lg 2（n∈N＋）．］8．已知某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是________．错误!－1 [设一月份产值为1，此年的月平均增长率为x．则(1＋x）11＝m,解得x＝错误!－1．］三、解答题9．已知等比数列｛a n｝中，a2＝3，a3＋a4＝错误!，求数列{a n}的通项公式．[解］设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则由a2＝3，a3＋a4＝错误!得错误!解得错误!或错误!所以a n＝错误!错误!错误!或a n＝－错误!错误!错误!．10．已知数列｛a n｝的前n项和为S n，S n＝错误!(a n＋1)(n∈N＋）．（1）求a1，a2；(2)求证：数列{a n｝是等比数列．[解］(1）由S1＝错误!(a1＋1），得a1＝错误!（a1＋1），∴a1＝1 3．又S2＝错误!(a2＋1)，即a1＋a2＝错误!(a2＋1)，解得a2＝－错误!．(2)证明：当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝错误!（a n＋1）－错误!（a n－1＋1）,解得34a n＝－错误!a n－1，即错误!＝－错误!，当n＝1时，a1＝错误!，a2＝－错误!,∴错误!＝－错误!，故{a n}是以错误!为首项,公比为－错误!的等比数列．1．若等比数列{a n｝满足a n a n＋1＝16n，则公比为( ）A．2 B．4C．8 D．16B[设公比为q，由题意知，a1a2＝16,a2a3＝162,∴q2＝错误!＝错误!＝16．又a1a2＝a错误!q＝16，∴q〉0，∴q＝4．]2．设等比数列{a n}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…a n的最大值为( ）A．64 B．32C．128 D．16A[设｛a n｝的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，q＝错误!，则a2＝4，a3＝2，a4＝1,a5＝1 2，∴a1a2…a n≤a1a2a3a4＝64．]3．在数列｛a n}中,对任意n∈N＋，都有a n＋1－2a n＝0（a n≠0),则错误!等于________．错误![由a n＋1－2a n＝0得错误!＝2．所以数列{a n}是公比为2的等比数列，所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!．］4．已知数列{a n｝为等差数列,其前n项和为S n,S2＝8，S4＝32，数列{b n}为等比数列，且b1＝a1，b2(a2－a1）＝b1，则数列{b n}的通项公式为b n＝________．23－2n[设公差为d，公比为q，由已知得错误!所以错误!又因为b2(a2－a1)＝b1，所以q＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．又因为b1＝a1＝2，所以b n＝2×错误!错误!＝23－2n．］5．数列{a n}，｛b n}满足下列条件，a1＝0，a2＝1，a n＋2＝错误!，b n＝a n＋1－a n．(1）求证:｛b n}是等比数列．（2)求{b n}的通项公式．［解］(1)证明：∵2a n＋2＝a n＋a n＋1，∴错误!＝错误!＝错误!＝－错误!，∴{b n}是等比数列．(2）∵b1＝a2－a1＝1,公比q＝－1 2 ,∴b n＝1×错误!错误!＝错误!错误!．。
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课时分层作业(四十) 公式五和公式六
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
7π2－α等于( )
A ．－1
2 B ．12 C.32
D ．－3
2
A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝1
2. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α
＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α
＝－sin α＝－1
2
.]
2．已知sin 10°＝k ，则cos 620°的值为( ) A ．k B ．－k C ．±k
D ．不确定
B [cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260° ＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k .]
3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋α等于( ) A ．－1
3 B.1
3 C.223
D ．－223
A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α－π4＋π2
＝－sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α－π4＝－13.故选A.]
4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )
A ．－2a
3 B ．－3a 2 C.2a 3
D ．3a 2
B [由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ， 得－sin α－sin α＝－a ， 即sin α＝a 2，
cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]
5．化简：sin (θ－5π)cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2－θcos (8π－θ)
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－3π2sin (－θ－4π)＝( )
A ．－sin θ
B ．sin θ
C ．cos θ
D ．－cos θ
A [原式＝sin (θ－π)cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋θcos θ
cos θsin (－θ)
＝
(－sin θ)(－sin θ)cos θ
cos θ(－sin θ)
＝－sin θ.]
二、填空题
6．化简sin(π＋α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋αcos(π＋α)＝ .
－1 [原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－sin 2α－cos 2α＝－1.]
7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝ . －3 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋φ＝－sin φ＝32，sin φ＝－32，
又∵|φ|＜π2，∴cos φ＝1
2，故tan φ＝－ 3.]
8．已知α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝4
5，则cos(α－85°)＝ . －35 [因为α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝45＞0，所以5°＋α是第四象限角，
所以sin(5°＋α)＝－
1－cos 2(5°＋α)＝－3
5，
所以cos(α－85°)＝cos(5°＋α－90°) ＝sin(5°＋α)＝－3
5.] 三、解答题
9．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5，－35.
(1)求sin α的值；
(2)求sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2－αtan (α－π)sin (α＋π)cos (3π－α)的值．
[解] (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5，－35，
所以|OP |＝1，sin α＝－3
5. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－αtan (α－π)sin (α＋π)cos (3π－α)
＝
cos αtan α－sin α(－cos α)
＝1
cos α，
由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为5
4.
10．求证：2sin⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
θ－
3π
2cos⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
θ＋
π
2－1
1－2sin2θ
＝
tan(9π＋θ)＋1
tan(π＋θ)－1
.
[证明]左边＝
－2cos θ·sin θ－1
sin2θ＋cos2θ－2sin2θ
＝
－(sin θ＋cos θ)2
(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)
＝
sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ
，
右边＝
tan(8π＋π＋θ)＋1
tan(π＋θ)－1
＝
tan(π＋θ)＋1
tan(π＋θ)－1
＝
tan θ＋1
tan θ－1
＝
sin θ
cos θ
＋1
sin θ
cos θ
－1
＝
sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ
，
所以等式成立．
11．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)的值为()
A．－
3
2B．
3
2
C．－
1
2D．
1
2
A[因为f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝－
3
2.]
12．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝()
A．89B．90
C.
89
2D．45
C[原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋
sin 245°＝44＋12＝89
2.]
13．已知
sin θ＋cos θsin θ－cos θ
＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32π－θ＝ .
3
10 [∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2, sin θ＝3cos θ， ∴tan θ＝3.
sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32π－θ＝sin θcos θ
＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2
θ ＝
tan θtan 2θ＋1
＝310.]
14．(一题两空)已知f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π2＋αcos (－α－π).
(1)化简f (α)＝ .
(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－α＝－35，且α是第二象限角，则tan α＝ .
(1)sin α (2)－4
3 [(1)f (α) ＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π2＋αcos (－α－π)
＝
－tan α·cos α·cos α
－cos α
＝sin α.
(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－α＝－35，得cos α＝－35，
又α是第二象限角， 所以sin α＝
1－cos 2 α＝4
5，
则tan α＝sin αcos α＝－4
3.]
15．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
[解] 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②
①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， 所以sin 2
α＝1
2.
又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，
所以α＝π4或α＝－π4.
将α＝π4代入②，得cos β＝32.
又β∈(0，π)，所以β＝π
6，代入①可知符合． 将α＝－π4代入②得cos β＝3
2，
又β∈(0，π)，所以β＝π
6，代入①可知不符合． 综上可知，存在α＝π4，β＝π
6满足条件.。