高中数学课时分层作业5综合法及其应用(含解析)新人教B版选修12

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新高中人教B版数学必修五课时作业：1.2应用举例(含答案)

§ 1.2应用举例(二).2.利用正、余弦定课时目标 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的相关高度的问题理及三角形面积公式解决三角形中的几何胸怀问题．1．仰角和俯角：与目标视野在同一铅垂平面内的水平视野和目标视野的夹角，目标视线在水平线 ____方时叫仰角，目标视野在水平线____方时叫俯角．(如下图 )2．已知△ ABC 的两边 a、 b 及其夹角C，则△ ABC 的面积为 ________．一、选择题1．从 A 处望 B 处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为() A．α >β B ．α＝βC．α <β D ．α＋β＝ 90°2．设甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°，则甲、乙两楼的高分别是 ()40A． 20 3 m，33mB． 10 3 m,20 3 mC． 10(3－ 2) m,203 m1520D. 2 3 m，3 3 m3．如图，为测一树的高度，在地面上选用 A 、B 两点，从 A 、 B 两点分别测得望树尖的仰角为 30°， 45°，且 A 、 B 两点之间的距离为 60 m，则树的高度为()A． 30＋ 30 3 m B． 30＋ 153mC． 15＋ 30 3m D ．15＋ 33m4．从超出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为 45°，则此时两船间的距离为 ()A． 2h 米 B. 2h 米C. 3h 米 D ． 22h 米5．在某个地点测得某山岳仰角为θ，对着山岳在平行地面上行进600 m 后测仰角为原来的 2 倍，持续在平行地面上行进2003m 后，测得山岳的仰角为本来的 4 倍，则该山岳的高度是 ()A． 200 m B． 300 mC． 400 m D． 100 3 m6．平行四边形中， AC ＝ 65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是() A． 16B． 17.5C． 18D． 18.53二、填空题7．甲船在 A 处察看乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距 a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向 __________ 才能追上乙船；追上时甲船行驶了 ________海里．8．△ ABC 中，已知 A ＝ 60°，AB ∶ AC ＝ 8∶5，面积为 10 3，则其周长为 ________．9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为 12，则它的内切圆面积为 ________．10．某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为 10 n mile 的 C 处，此时得悉，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时 9 n mile 的速度向一小岛凑近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇抵达渔船的最短时间是______小时．三、解答题11．如下图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为α，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为β已.知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.12．已知圆内接四边形ABCD 的边长 AB ＝ 2，BC＝ 6， CD＝ DA ＝ 4，求圆内接四边形ABCD 的面积．能力提高13．如下图，为认识某海疆海底结构，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行丈量．已知 AB ＝ 50 m ，BC ＝ 120 m，于 A 处测得水深 AD ＝ 80 m，于 B 处测得水深 BE ＝200 m，于 C 处测得水深 CF＝ 110 m，求∠ DEF 的余弦值．14．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和 30°，并且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．1．丈量底部不行抵达的建筑物的高度问题．因为底部不行抵达，这种问题不可以直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，而后转变为解直角三角形的问题．2．丈量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再依据需要求出所求的角．§ 1.2 应用举例 (二)答案知识梳理11．上下2.2absin C作业设计1． B 2．A[h＝ 20tan 60 ＝°20 3(m)． h403(m)． ]甲乙＝ 20tan 60 －°20tan 30 ＝°31＝ PB60×＝ 303．A[ 在△ PAB 中，由正弦定理可得60 ，PB ＝ 2 ，－3sin 30 ° sin 15 °sin 15 °h ＝PBsin 45 ＝°(30＋ 30 3)m.]4. A [如下图，BC ＝ 3h ， AC ＝h ，∴ AB ＝ 3h 2＋ h 2＝ 2h.]5． B [ 如下图， 600 · sin 2＝ 200θ 3· sin 4，θ∴ cos 2 θ＝3，∴ θ＝ 15°，∴ h ＝ 200 3·sin 4＝θ300 (m) ． ] 26．A[ 设两邻边 AD ＝ b ， AB ＝ a ，∠ BAD ＝α，则 a ＋b ＝ 9， a 2＋ b 2－ 2abcos α＝ 17， a 2＋ b 2－ 2abcos(180 °－ α)＝65.解得： a ＝ 5， b ＝ 4， cos α＝ 35或 a ＝ 4， b ＝ 5， cos α＝ 35，∴ S＝ ab sin＝α16.]7．北偏东 30°3a分析如下图，设到C 点甲船追上乙船，乙到 C 地用的时间为 t ，乙船速度为 v ，则 BC ＝ tv ，AC ＝ 3tv ， B ＝ 120°，BCAC由正弦定理知 sin ∠ CAB ＝sin B ，∴1 ＝ 3 ， sin ∠ CAB sin 120°∴ sin ∠ CAB ＝ 1，∴∠ CAB ＝ 30°，∴∠ ACB ＝30°， 2∴ BC ＝AB ＝ a ，∴ AC 2＝ AB 2＋BC2－ 2AB ·BCcos 120°＝ a 2＋ a 2－ 2a 2·－ 1＝ 3a 2，∴ AC ＝ 3a.28． 20分析1 3k 2＝10 3.设 AB ＝ 8k ， AC ＝ 5k ， k>0，则 S ＝ AB ·AC ·sin A ＝ 102∴ k ＝1， AB ＝ 8， AC ＝ 5，由余弦定理：222 221 BC ＝AB＋ AC－ 2AB ·AC ·cos A ＝ 8 ＋ 5－ 2×8×5× ＝ 49.2∴ BC ＝7，∴周长为 AB ＋ BC ＋ CA ＝ 20.27 π 9. 5分析不如设三角形三边为a ，b ，c 且 a ＝ 6， b ＝ c ＝ 12，由余弦定理得：222222＝7，cos A ＝ b ＋ c － a ＝ 12 ＋12 － 62bc 2×12×12 8 ∴ sin A ＝1－ 7 2＝ 15.881 1 3 15由 (a ＋ b ＋ c) ·r ＝ bcsin A 得 r ＝5.22∴ S2 27π内切圆＝ πr＝5.210.3分析设舰艇和渔船在 B 处相遇，则在△ ABC 中，由已知可得：∠ ACB ＝120°，设舰艇抵达渔船的最短时间为t ，则 AB ＝ 21t ， BC ＝9t ，AC ＝ 10，则 (21t) 2＝ (9t) 2＋ 100－2×10×9tcos 120 ，°解得 2或 t ＝－5t ＝ 312(舍 )．11．解在△ ABC 中，∠ BCA ＝ 90°＋β，∠ ABC ＝ 90°－ α，∠ BAC ＝ α－ β，∠ CAD ＝ β.依据正弦定理得：AC＝BC，sin∠ ABC sin∠ BAC即AC＝BC，－－∴AC＝BCcos α＝hcos α.－－在 Rt△ACD中， CD ＝ACsin ∠ CAD ＝ ACsin β＝hcosα sin β－.即山高 CD 为hcosα sin β－.12．解连结 BD ，则四边形面积S＝ S△ABD＋ S△CBD＝1A B·AD·sin A ＋1B C·CD·sin C.22∵A ＋ C＝ 180°，∴ sin A＝ sin C.1∴S＝2(AB ·AD ＋ BC·CD)·sin A ＝16sin A.由余弦定理：在△ ABD 中， BD 2＝22＋42－2×2×4cos A＝ 20－16cos A ，在△ CDB 中， BD 2＝ 42＋ 62－ 2×4×6cos C＝ 52－ 48cos C，∴20－16cos A＝ 52－ 48cos C.1又 cos C＝－ cos A，∴ cos A＝－2.∴ A＝ 120 °.∴四边形 ABCD的面积 S＝ 16sin A ＝ 8 3.13．解作 DM∥AC 交 BE 于 N，交 CF于 M.DF＝MF 2＋DM 2＝302＋ 1702＝ 10 298(m)，DE＝DN 2＋ EN 2＝502＋ 1202＝ 130(m) ，EF＝－2＋BC 2＝902＋ 1202＝150(m) ．在△ DEF 中，由余弦定理的变形公式，得22－ DF222－ 10216DE ＋EF＝130 ＋150×298 cos∠ DEF＝2DE·EF ＝65.2×130 ×15016即∠ DEF 的余弦值为65.14．解如下图：∠CBD ＝ 30°，∠ ADB ＝30°，∠ ACB ＝45°∵ AB ＝30，∴BC＝30，30BD ＝＝30 3.tan 30°在△ BCD 中，CD2＝ BC2＋ BD 2－ 2BC·BD·cos 30 °＝ 900，∴ CD＝30，即两船相距30 m.。

2019-2020学年高中数学课时分层作业12数学归纳法含解析新人教A版选修

课时分层作业(十二) 数学归纳法(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2D [因为f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1，所以f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2，所以f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.故选D.] 2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0C [边数最少的凸n 边形是三角形．]3．已知a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，猜想a n 等于( )A.3n ＋2 B.3n ＋3 C.3n ＋4D.3n ＋5 D [a 2＝3a 1a 1＋3＝37， a 3＝3a 2a 2＋3＝38，a 4＝3a 3a 3＋3＝13＝39，猜想a n ＝3n ＋5.] 4．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…·(n ＋n )＝2n×1×3…(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1B.2k ＋1k ＋1C ．2(2k ＋1) D.2k ＋2k ＋1C [当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…·(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋1)·(k ＋2)·(k ＋3)…(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·2(2k ＋1)．]5．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)等于f (k )加上( ) A ．π2B ．πC ．2πD ．32π B [从n ＝k 到n ＝k ＋1时，内角和增加π.] 二、填空题6．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n 个式子应为________． [答案] 1－4＋9－16＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)27．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1(n ∈N ＋)”的过程中，第二步假设n ＝k时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________．[解析] ∵n ＝k 时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1”，∴n ＝k ＋1时为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1.[答案] 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－18．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N ＋)能被14整除，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________． [解析] 34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝34k ＋5＋52k ＋3＝81×34k ＋1＋25×52k ＋1＝81×34k ＋1＋81×52k ＋1－56×52k ＋1＝81×(34k ＋1＋52k ＋1)－56×52k ＋1.[答案] 81×(34k ＋1＋52k ＋1)－56×52k ＋1三、解答题9．用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34.∴等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k (k ≥2，k ∈N ＋)．当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·(k ＋1)2－1(k ＋1)2＝(k ＋1)k ·(k ＋2)2k ·(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)，∴当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)知，对n ≥2，n ∈N ＋时，等式成立．10．用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，整式a n－b n都能被a －b 整除． [证明] (1)当n ＝1时，a n－b n＝a －b 能被a －b 整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，a k－b k能被a －b 整除，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1－bk ＋1＝ak ＋1－a k b ＋a k b －bk ＋1＝a k (a －b )＋b (a k －b k )．因为(a －b )和a k －b k都能被a －b 整除，所以上面的和a k(a －b )＋b (a k－b k)也能被a －b 整除．这也就是说当n ＝k ＋1时，ak ＋1－bk ＋1能被a －b 整除．根据(1)(2)可知对一切正整数n ，a n－b n都能被a －b 整除．[能力提升练]1．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1B.12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2D [因为f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)，所以f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，所以f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.]2．某同学回答“用数学归纳法证明n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N ＋)的过程如下：证明：(1)当n ＝1时，显然命题是正确的：(2)假设n ＝k 时有k (k ＋1)＜k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时命题是正确的．由(1)(2)可知对于n ∈N ＋，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于( )A ．从k 到k ＋1的推理过程没有使用归纳假设B ．归纳假设的写法不正确C ．从k 到k ＋1的推理不严密D ．当n ＝1时，验证过程不具体A [证明(k ＋1)2＋(k ＋1)＜(k ＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设k (k ＋1)＜k ＋1.]3．用数学归纳法证明22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6－1(n ∈N ＋，且n ＞1)时，第一步应验证n ＝________，当n ＝k ＋1时，左边的式子为________．[解析] ∵所证明的等式为 22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6－1(n ∈N ＋，n ＞1)．又∵第一步验证的值应为第一个值(初始值)， ∴n 应为2.又∵当n ＝k ＋1时，等式左边的式子实际上是将左边式子中所有的n 换成k ＋1，即22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2. [答案] 2 22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)24．是否存在常数a ，b ，c 使等式(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝an 4＋bn 2＋c 对一切正整数n 成立？证明你的结论．[解] 存在．分别用n ＝1,2,3代入，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，81a ＋9b ＋c ＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－14，c ＝0，故原等式右边＝n 44－n 24.下面用数学归纳法证明．(1)当n ＝1时，由上式可知等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时等式成立，即(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝14k4－14k 2. 则当n ＝k ＋1时，左边＝[(k ＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)·[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k (2k ＋1)＝14k 4－14k 2＋(2k ＋1)·k (k ＋1)2＝14(k ＋1)4－14(k ＋1)2，故n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)得等式对一切n ∈N ＋均成立．。

2021_2020学年高中数学课时分层作业5补集及综合应用(含解析)新人教A版必修1

课时分层作业(五) 补集及综合应用(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．假设全集U＝{0，1，2，3}且U A＝{2}，那么集合A的真子集共有( )A．3个B．5个C．7个D．8个C[A＝{0，1，3}，真子集有23－1＝7.]2．全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，那么集合U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}D[由题意可知，A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，所以U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．]3．集合A、B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，那么A∩U B 等于( )A．{3} B．{4}C．{3，4} D．A[∵U＝{1，2，3，4}，U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1，2，3}．又∵B＝{1，2}，∴{3}⊆A⊆{1，2，3}．又U B＝{3，4}，∴A∩U B＝{3}．]4．设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，那么图中阴影局部所表示的集合是( )A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}A[阴影局部表示的集合为N∩(U M)＝{x|－2≤x<1}，应选A.]5．M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，假设N∩I M＝，那么M∪N等于( ) A．M B．NC．I D．A[因为N∩I M＝，所以N⊆M(如图)，所以M∪N＝M.]二、填空题6．设全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x>m}，假设U A⊆B，那么实数m的取值范围是________．{m|m<1} [∵U A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>m}，∴由U A⊆B可知m<1.]7．集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，那么A∩(R B)＝________．{x|－1≤x<3} [∵A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，∴R B＝{x|x≥－1}，∴A∩(R B)＝{x|－1≤x<3}．]8．设全集U＝R，那么以下集合运算结果为R的是________．(填序号)①Z∪U N；②N∩U N；③U(U)；④U Q.①[结合常用数集的定义及交、并、补集的运算，可知Z∪U N＝R，故填①.]三、解答题9．U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B，A∪B，(U A)∩(U B)，A∩(U B)，(U A)∪B.[解] 法一(直接法)：由易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，U A＝{1，2，6，7，8}，U B＝{1，2，3，5，6}，∴(U A)∩(U B)＝{1，2，6}，A∩(U B)＝{3，5}，(U A)∪B＝{1，2，4，6，7，8}．法二(Venn图法)：画出Venn图，如下图，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，(U A)∩(U B)＝{1，2，6}，A∩(U B)＝{3，5}，(U A)∪B＝{1，2，4，6，7，8}．10．全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(U A)∪B，A∩(U B)，U(A∪B)．[解] 如下图．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}．故(U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(U B)＝{x|2<x<3}．U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．[等级过关练]1．全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{3，4，5}，B＝{1，3，6}，那么集合{2，7}是( )A．A∪B B．A∩BC．U(A∩B) D．U(A∪B)D[∵A∪B＝{1，3，4，5，6}，∴U(A∪B)＝{2，7}．]2．集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(R B)＝R，那么实数a的取值范围是( ) A．{a|a≤1} B．{a|a<1}C．{a|a≥2} D．{a|a>2}C[由于A∪(R B)＝R，那么B⊆A，可知a C.]3．设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如下图，那么阴影局部所表示的集合为________．{x|－2≤x<1}[阴影局部所表示的集合为U(M∪N)＝(U M)∩(U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}．]4．设全集U＝{1，2，x2－2}，A＝{1，x}，那么U A＝________．{2} [假设x＝2，那么x2－2＝2，与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．故U＝{1，2，－1}，A＝{1，－1}，那么U A＝{2}．]5．全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，假设B∪(U A)＝R，B∩(U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，求集合B.[解] ∵A＝{x|1≤x≤2}，∴U A＝{x|x<1或x>2}．又B∪(U A)＝R，A∪(U A)＝R，可得A⊆B.而B∩(U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B＝A∪{x|0<x<1或2<x<3}＝{x|0<x<3}．。

高中数学课时分层作业14 数学归纳法数学归纳法应用举例(含解析)新人教B版选修2-2-新人教B版

课时分层作业(十四)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．用数学归纳法证明3n≥n 3(n ≥3，n ∈N ＋)，第一步验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3D ．n ＝4[解析] 由题知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立． [答案] C2．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[解析] 结合f (n )中各项的特征可知，分子均为1，分母为n ，n ＋1，…，n 2的连续自然数共有n 2－n ＋1个，且f (2)＝12＋13＋14.[答案] D3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1(n ∈N ＋)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2[解析] 当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，故选D.[答案] D4．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均为f (k )≥k 2成立[解析] 对于A ，若f (3)≥9成立，由题意只可得出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错；对于B ，若f (5)≥25成立，则当k ≥5时均有f (k )≥k 2成立，故B 错；对于C ，应改为“若f (7)≥49成立，则当k ≥7时，均有f (k )≥k 2成立．”[答案] D5．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1及其证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1成立，则当n ＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立．判断以上评述( ) A ．命题、推理都正确 B ．命题正确、推理不正确 C ．命题不正确、推理正确 D ．命题、推理都不正确[解析] 推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没有用到假设n ＝k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.[答案] B 二、填空题6．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． [解析] ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，即f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. [答案]f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)27．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是______________________________________________．[解析] 当n ＝k ＋1时，目标不等式为：122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3. [答案]122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋38．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是__________．[解析] 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2. [答案] (k ＋1)2＋k 2三、解答题9．用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k －1)＝k 2，那么，当n ＝k ＋1时，1＋3＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.这就是说，当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n 都成立．10．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)．[证明] (1)当n ＝2时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边<右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1<k ，则当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1×2k2k ＝k ＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n ，不等式均成立．[能力提升练]1．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确C ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时正确，再推n ＝k ＋1时正确D ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时正确，再推n ＝k ＋2时正确 [解析] ∵n 为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时正确，再推出n ＝2k ＋1时正确．故选B. [答案] B2．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法( )A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[解析]n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求．故选D.[答案] D3．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________．[解析]当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.[答案]25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋24．设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式，并用数学归纳法加以证明．[解](1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0⇒f(0)＝0.(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明．当n＝1时，f(1)＝1满足条件．假设当n＝k(k∈N＋)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k ＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.。

高中数学全一册课时分层作业含解析打包29套新人教B版选择性必修第一册

课时分层作业(一) 空间向量及其运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4．则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对D [∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2ab ＝|c |2， ∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a ||b |＝14．]2．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有 ( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断： ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→． ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→． ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→．]3．如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG →·AB →＝( )A ．34 B ．14 C ．12D ．32B [由题意可得FG →＝12AC →，∴FG →·AB →＝12×1×1×cos 60°＝14．]4．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A ．12B ．22C ．－12D ．0D [如图所示，∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA |·|OC →|·cos ∠AOC －|OA →|·|OB |·cos ∠AOB ＝0，∴OA →⊥BC →，∴〈OA →，BC →〉＝π2，cos 〈OA →，BC →〉＝0．]5．设三棱锥O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，G 是△ABC 的重心，则OG →等于( )A ．a ＋b －cB ．a ＋b ＋cC ．12(a ＋b ＋c )D ．a ＋b ＋c )D [如图所示，OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝13(a ＋b ＋c )．] 二、填空题6．已知|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则a ·b 所夹的角为________． 34π [cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－222×22＝－22，又〈a ·b 〉的取值范围为[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝34π．]7．已知向量a ，b ，c 两两夹角都是60°，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则|a －2b ＋c |＝________．3 [∵|a －2b ＋c |2＝a 2＋4b 2＋c 2－4a ·b －4b ·c ＋2a ·c ＝1＋4＋1－4×cos 60°－4×cos 60°＋2×cos 60°＝3， ∴|a －2b ＋c |＝3．]8．四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1各棱长均为1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，则点B 与点D 1两点间的距离为________．2 [四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1各棱长均为1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°．∴BD 1→＝BA →＋AD →＋DD 1→， ∴BD 1→2＝(BA →＋AD →＋DD 1→)2＝BA →2＋AD →2＋DD 1→2＋2BA →·AD →＋2BA →·DD 1→＋2AD →·DD 1→＝1＋1＋1＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 60°＝2， ∴|BD 1→|＝2，∴点B 与点D 1两点间的距离为2．] 三、解答题9．已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：(1)AA ′→－CB →； (2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→； (3)12AD →＋12AB →－12A ′A →．[解] (1)AA ′→－CB →＝AA ′→＋BC →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→．(2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→＝AD ′→． (3)设M 是线段AC ′的中点，则 12AD →＋12AB →－12A ′A → ＝12AD →＋12AB →＋12AA ′→＝12(AD →＋AB →＋AA ′→)＝12AC ′→＝AM →．向量AD ′→、AM →如图所示．10．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，M 是C 1D 1的中点，点N 是CA 1上的点，且CN ∶NA 1＝4∶1．用a ，b ，c 表示以下向量：(1)AM →；(2)AN →．[解] (1)AM →＝12(AC 1→＋AD 1→) ＝12[(AB →＋AD →＋AA 1→)＋(AD →＋AA 1→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA 1→) ＝12a ＋b ＋c ．(2)AN →＝AC →＋CN →＝AC →＋45(AA 1→－AC →) ＝15AB →＋15AD →＋45AA 1→ ＝15a ＋15b ＋45c ．11．(多选题)化简下列各式，结果为零的向量为( ) A ．AB →＋BC →＋CA →B ．OA →－OD →＋AD →C ．NQ →＋QP →＋MN →－MP →D ．MN →＋BM →＋NB →ABCD [对于A ，AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0．对于B ，OA →－OD →＋AD →＝DA →＋AD →＝0．对于C ，NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝(NQ →＋QP →)＋(MN →－MP →)＝NP →＋PN →＝0．对于D ，MN →＋BM →＋NB →＝MN →＋NB →＋BM →＝MB →＋BM →＝0．]12．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．90°B [a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22 ＝1－1×1×12－2＝－32， |a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3．|b |＝b 2＝(e 1－2e 2)2＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22＝1－2＋4＝3．∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－323＝－12， ∴〈a ，b 〉＝120°．]13．已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为________．－13 [∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13．]14．(一题两空)如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于2, 点E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，则|AB →＋BC →|＝______，|BC →－EF →|＝______．23 [|AB →＋BC →|＝|AC →|＝2，EF →＝12BD →，BD →·BC →＝2×2×cos 60°＝2，故|BC →－EF →|2＝|BC →－12BD →|2＝BC →2－BC →·BD →＋14BD →2＝4－2＋14×4＝3，故|BC →－EF →|＝3．]15．在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB →|＝2|AM →|，|CN →|＝12|ND →|，求|MN →|．[解] ∵MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →．∴MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →2＝19AB →2－29AD →·AB →＋49AC →·AD →－49AB →·AC →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2＋29a 2－29a 2＋19a 2＋49a 2 ＝59a 2，故|MN →|＝MN →·MN →＝53a ，即|MN →|＝53a ．课时分层作业(二) 空间向量基本定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．若a 与b 不共线且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝2a ，则( ) A ．m ，n ，p 共线 B ．m 与p 共线 C ．n 与p 共线D ．m ，n ，p 共面D [p ＝2a ＝m ＋n ，即p 可由m ，n 线性表示，所以m ，n ，p 共面．] 2．对空间任一点O 和不共线三点A ，B ，C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是( )A ．OP →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC → C ．OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC →D ．以上皆错B [∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →， ∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →，∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)， ∴AP →＝PB →＋PC →，∴P A →＝－PB →－PC →，∴P ，A ，B ，C 共面．]3．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( )A ．AA ′→＋12AB →＋12AD → B ．12AA ′→＋12AB →＋12AD →C ．12AA ′→＋16AB →＋16AD → D ．13AA ′→＋16AB →＋16AD →D [由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ，∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ， ∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →) ＝13(AA ′→＋12A ′C ′→)＝13AA ′→＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13AA ′→＋16AD →＋16AB →．]4．已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，一定可以与向量p ，q 构成空间的另一个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．无法确定C [∵a ＝12p ＋12q ，∴a 与p ，q 共面， ∵b ＝12p －12q ，∴b 与p ，q 共面， ∵不存在λ，μ，使c ＝λp ＋μq ，∴c 与p ，q 不共面，故{c ，p ，q }可作为空间的一个基底，故选C ．] 5．对于空间一点O 和不共线的三点A ，B ，C 且有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点共面B ．P ，A ，B ，C 四点共面C ．O ，P ，B ，C 四点共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面B [由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →得OP →－OA →＝2(OB →－OP →)＋3(OC →－OP →)，即AP →＝2PB →＋3PC →．∴AP →，PB →，PC →共面，又它们有同一公共点P ， ∴P ，A ，B ，C 四点共面．] 二、填空题6．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________．1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.]7．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z ，使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．x ＝y ＝z ＝0 [若x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，即a 与b ，c 共面，由{a ，b ，c }是空间的一个基底知a ，b ，c 不共面，故x ＝0．同理y ＝z ＝0．]8．如图在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则B 1M →＝________．(用a ，b ，c 表示)－12a ＋12b －c [B 1M →＝AM →－AB 1→＝12(AB →＋AD →)－(AB →＋AA 1→)＝－12AB →＋12AD →－AA 1→＝－12a ＋12b －c ．]三、解答题9．如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →． [解] 连接AC ，AD ′，AC ′(图略)． (1)AP →＝12(AC →＋AA ′→) ＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′→) ＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→) ＝12a ＋b ＋12c ． (3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→) ＝12a ＋b ＋c ．(4)AQ →＝AC →＋CQ → ＝AC →＋45(AA ′→－AC →) ＝15AC →＋45AA ′→ ＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→ ＝15a ＋15b ＋45c ．10．已知平行四边形ABCD ，从平面ABCD 外一点O 引向量OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OG →＝kOC →，OH →＝kOD →，求证：点E ，F ，G ，H 共面．[证明] ∵OA →＋AB →＝OB →，∴kOA →＋kAB →＝kOB →，而OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，∴OE →＋kAB →＝k (OA →＋AB →)＝kOB →＝OF →．又OE →＋EF →＝OF →，∴EF →＝kAB →，同理EH →＝kAD →，EG →＝kAC →．∵ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →， ∴EG →k ＝EF →k ＋EH →k ，即EG →＝EF →＋EH →，又它们有同一个公共点E ， ∴点E ，F ，G ，H 共面．11．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ．M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG →等于( )A ．16OA →＋13OB →＋12OC →B ．14(OA →＋OB →＋OC →) C ．13(OA →＋OB →＋OC →)D ．16OB →＋13OA →＋13OC →B [如图，OG →＝12(OM →＋ON →)＝12OM →＋12×12(OB →＋OC →) ＝14OA →＋14OB →＋14OC → ＝14(OA →＋OB →＋OC →)．]12．(多选题)如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点(Q 靠近点M )，则用向量OA →，OB →，OC →表示OQ →，不正确的是( )A ．OQ →＝13OA →＋16OB →＋16OC →B ．OQ →＝16OA →＋13OB →＋16OC → C ．OQ →＝16OA →＋13OB →＋13OC →D ．OQ →＝13OA →＋13OB →＋16OC →BCD [∵M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点(Q 靠近点M )，∴AB →＝OB →－OA →，BC →＝OC →－OB →， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝12OA →＋AB →＋12BC →＝12OA →＋(OB →－OA →)＋12(OC →－OB →) ＝－12OA →＋12OB →＋12OC →， ∴OQ →＝OM →＋MQ →＝12OA →＋13MN → ＝12OA →－16OA →＋16OB →＋16OC → ＝13OA →＋16OB →＋16OC →．]13．(一题两空)在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a －5b ＋8c ，对角线AC ，BD 的中点分别是E ，F ，则EF →＝________．向量AB →，CD →，EF →________(填“能”或“否”)构成一组基底．3a －52b ＋3c 否 [EF →＝12(ED →＋EB →)＝14(AD →＋CD →)＋14(AB →＋CB →)＝14AB →＋14BD →＋14CD →＋14AB →＋14CD →＋14DB →＝12(AB →＋CD →)＝3a －52b ＋3c ．假设AB →，CD →，EF →共面，则EF →＝λAB →＋μCD →＝λa －2λc ＋5μa －5μb ＋8μc ＝(λ＋5μ)a －5μb ＋(8μ－2λ)c ＝3a －52b ＋3c ．∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋5μ＝3，－5μ＝－52，8μ－2λ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝12.∴EF →，AB →，CD →共面，∴不能构成一组基底．]14．在▱ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________．43[设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ， ∴λAE →＋μAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μb ， ∴a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，∴λ＋μ＝43．]15．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求实数x ，y ，z 的值．[解] 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－12AC → ＝A 1O →－AO → ＝A 1O →＋OA → ＝A 1A →．(2)∵E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→， ∴OE →＝OD →＋DE → ＝12BD →＋23DD 1→ ＝12(BA →＋BC →)＋23AA 1→ ＝12BA →＋12BC →＋23AA 1→ ＝－12AB →＋12AD →＋23AA 1→，∴EO →＝－OE →＝12AB →－12AD →－23AA 1→．又EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23．课时分层作业(三) 空间向量的坐标与空间直角坐标系(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2)D ．(2,1，－3)A [b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．]2．与A (3,4,5)，B (－2,3,0)两点距离相等的点M (x ，y ，z )满足的条件是( ) A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0 B ．5x －y ＋5z －37＝0 C ．10x －y ＋10z ＋37＝0D ．10x －2y ＋10z ＋37＝0A [由|MA |＝|MB |，得(x －3)2＋(y －4)2＋(z －5)2＝(x ＋2)2＋(y －3)2＋z 2，化简得10x ＋2y ＋10z －37＝0，故选A ．]3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( ) A ．－6 B ．－23 C ．23 D ．14C [由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝23．]4．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255C [由cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|＝2－λ＋45＋λ2·9＝89，解得λ＝－2或λ＝255．]5．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)，则|AB |的最小值为( ) A ．33 B ．3 6 C ．23 D ．2 6 B [|AB →|＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2＝5a 2＋10a ＋59 ＝5(a ＋1)2＋54，当a ＝－1时，|AB →|min ＝54＝36．]二、填空题6．已知a ＝(1，x,3)，b ＝(－2,4，y )，若a ∥b ，则x －y ＝________． 4 [∵a ∥b ，∴b ＝λa ． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－2，x λ＝4，3λ＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，x ＝－2，y ＝－6.∴x －y ＝4．]7．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________．2π3 [(2a ＋b )·c ＝2a·c ＋b·c ＝－10，又a·c ＝4，∴b·c ＝－18，又|c |＝3，|b |＝12， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c|b|·|c|＝－12，∵〈b ，c 〉∈[0，π]，∴〈b ，c 〉＝2π3．]8．在空间直角坐标系中，以O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．6＋23 [S △AOC ＝S △BOC ＝S △AOB ＝12×2×2＝2，S △ABC ＝34×|AB |2＝34×8＝23，故三棱锥的表面积S ＝6＋23．] 三、解答题9．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，求λ的值．[解] ∵OA →＝(1,0,0)，OB →＝(0，－1,1)， ∴OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， ∴(OA →＋λOB →)·OB →＝λ＋λ＝2λ，又|OA →＋λOB →|＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2，|OB→|＝2． ∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12，∴λ2＝16，又2λ2·1＋2λ2＜0，即λ＜0，∴λ＝－66．10．(1)已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，求x ，y 的值． (2)求与向量(－3，－4,5)共线的单位向量． [解] (1)因为a ∥b ，所以存在实数λ，使a ＝λb ，所以(2,4,5)＝λ(3，x ，y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝3λ，4＝λx ，5＝λy ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，x ＝6，y ＝152.(2)向量(－3，－4,5)的模为(－3)2＋(－4)2＋52＝52，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量为±152·(－3，－4,5)＝±210(－3，－4,5)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫3210，225，－22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－225，22．11．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形C [AB →＝(3,4，－8)，AC →＝(5,1，－7)， BC →＝(2，－3,1)， ∴|AB →|＝32＋42＋82＝89， |AC →|＝52＋12＋72＝75， |BC →|＝22＋32＋12＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝75＋14＝89＝|AB →|2． ∴△ABC 为直角三角形．]12．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°C [a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a·c|a||c|＝－12，〈a ，c 〉＝120°．] 13．(一题两空)已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，O (0，0,0)，点Q 在直线OP 上运动，QA →·QB →的最小值为________，此时点Q 的坐标为________．－23⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 [设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)，∴QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， ∴QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，∴QA →·QB →的最小值为－23，此时λ＝43，Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83．]14．若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则a ＝________．⎝ ⎛⎭⎪⎫313，413，1213或⎝ ⎛⎭⎪⎫－313，－413，－1213 [设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，|a |＝1，代入坐标可解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝313，y ＝413，z ＝1213，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213.]15．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC 和平面A 1B 1C 1为正三角形，所有的棱长都是2，M 是BC 边的中点，则在棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°？[解] 以A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ．由题意知A (0,0,0)，C (0,2,0)，B (3，1,0)，B 1(3，1,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0．又点N 在CC 1上，可设N (0,2，m )(0≤m ≤2)，则AB 1→＝(3，1,2)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，m ，所以|AB 1→|＝22，|MN →|＝m 2＋1，AB 1→·MN →＝2m －1．如果异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°，那么向量AB 1→和MN →的夹角等于45°或135°．又cos 〈AB 1→，MN →〉＝AB 1→·MN →|AB 1→||MN →|＝2m －122×m 2＋1．所以2m －122×m 2＋1＝±22，解得m ＝－34，这与0≤m ≤2矛盾．所以在CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°．课时分层作业(四) 空间中的点、直线与空间向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知点A (2,3,4)，B (1,2,1)，BC →＝3OA →，且O 为坐标原点，则C 点的坐标为( )A ．(6,8,9)B ．(6,9,12)C ．(7,11,13)D ．(－7，－11，－13)C [设C (x ，y ，z )，则BC →＝(x －1，y －2，z －1)，OA →＝(2,3,4)，∴3OA →＝(6,9,12)，由BC →＝3OA →，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝6，y －2＝9，z －1＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝11，z ＝13，∴C (7,11,13)．]2．已知空间向量a ＝(－1,0,3)，b ＝(3，－2，x )，若a ⊥b ，则实数x 的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 C [向量a ＝(－1,0,3)，b ＝(3，－2，x )，若a ⊥b ，则－1×3＋0×(－2)＋3x ＝0，解得x ＝1．故选C ．]3．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面 ( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交C [因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz ．] 4．设向量a ＝(2,2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，－12，1，(0°＜α＜180°)，若a ⊥b ，则角α＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°B [∵向量a ＝(2,2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，－12，1，(0°＜α＜180°)，a ⊥b ，∴a ·b ＝2cos α－1＝0，∴cos α＝12， ∵0°＜α＜180°， ∴角α＝60°．故选B ．]5．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于( )A ．155B ．105C ．45D ．23A [以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则F (1，0,0)，D 1(0,0,2)，O (1,1,0)，E (0,2,1)，则OE →＝(－1,1,1)，FD 1→＝(－1,0,2)，∴|OE →|＝3，|FD 1→|＝5，OE →·FD 1→＝3， ∴cos 〈OE →，FD 1→〉＝OE →·FD 1→|OE →||FD 1→|＝33·5＝155．]二、填空题6．已知点A (1,1，－4)，B (2，－4,2)，C 为线段AB 上的一点，且AC →＝12AB →，则C 点坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，－1 [设C (x ，y ，z )，AC →＝(x －1，y －1，z ＋4)，AB →＝(1，－5,6)，由AC →＝12AB →得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝12，y －1＝－52，z ＋4＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－32，z ＝－1.∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，－1．]7．已知A (0，y,3)，B (－1，－2，z )，若直线l 的方向向量v ＝(2,1,3)与直线AB 的方向向量平行，则实数y ＋z 等于________．0 [由题意，得AB →＝(－1，－2－y ，z －3)，则－12＝－2－y 1＝z －33，解得y ＝－32，z ＝32，所以y ＋z ＝0．]8．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，高为2，M ，N 分别是四边形BB 1C 1C 和正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则向量BM →与DN →的夹角的余弦值是________．71030[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B(1,1,0)，M⎝⎛⎭⎪⎫12，1，1，D(0,0,0)，N⎝⎛⎭⎪⎫12，12，2，BM→＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，0，1，DN→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，2，设向量BM→与DN→的夹角为θ，则cos θ＝BM→·DN→|BM→|·|DN→|＝7454·184＝71030．故向量BM→与DN→的夹角的余弦值为71030．]三、解答题9．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．[证明]如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，于是MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12， DA 1→＝(1,0,1)．得DA 1→＝2MN →，∴DA 1→∥MN →，∴DA 1∥MN ．而MN ⊄平面A 1BD ，DA 1⊂平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD ．10．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 是A 1B 1的中点．(1)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (2)求证：A 1B ⊥C 1M ．[解] (1)以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→|·|CB 1→|＝36·5＝3010．(2)证明：A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，又A 1B →·C 1M →＝0， ∴A 1B ⊥C 1M ．11．(多选题)已知空间向量a ，b ，a ⊥b ，a ＝(1,3,5)，则b 的坐标可以是( ) A ．(5,0，－1) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，3，－75 C ．(5，－3，－1)D ．(8，－1，－1)ABD [a ＝(1,3,5)，a ⊥b ，∴a ·b ＝0．在A 中，a ·b ＝(1,3,5)·(5,0，－1)＝1×5＋3×0＋5×(－1)＝0，A 正确．在B 中，a ·b ＝(1,3,5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，3，－75＝1×(－2)＋3×3＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝0，B 正确．在C 中，a ·b ＝(1,3,5)·(5，－3，－1)＝1×5＋3×(－3)＋5×(－1)＝－9≠0，C 错误．在D 中，a ·b ＝(1,3,5)·(8，－1，－1)＝1×8＋3×(－1)＋5×(－1)＝0，D 正确．] 12．向量a ＝(1,2，x )，b ＝(－2，y,4)，若a ∥b ，则x －y ＝( ) A ．4B ．2C ．1D ．12B [向量a ＝(1,2，x )，b ＝(－2，y,4)，若a ∥b ，则1－2＝2y ＝x 4，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4，x ＝－2.所以x －y ＝－2－(－4)＝2．]13．(一题两空)已知向量a ＝(1,0，－1)，b ＝(1,1,0)，则|a |＝________；向量a 与b 的夹角是________．2 60° [向量a ＝(1,0，－1)，b ＝(1,1,0)，则|a |＝12＋02＋(－1)2＝2；cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12， ∴向量a 与b 的夹角是60°．]14．设向量a ＝(1,2，λ)，b ＝(2,2，－1)，若cos 〈a ，b 〉＝49，则实数λ的值为________．－1227或2 [向量a ＝(1,2，λ)，b ＝(2,2，－1)， ∴a ·b ＝2＋4－λ＝6－λ， |a |＝1＋4＋λ2＝5＋λ2，|b |＝4＋4＋1＝3，若cos 〈a ，b 〉＝49，则a ·b |a |×|b |＝6－λ5＋λ2×3＝49，化简得7λ2＋108λ－244＝0，解得λ＝－1227或λ＝2，则实数λ的值为－1227或2．]15．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，P A ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝AP ＝2，E 为PD 的中点．以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系O -xyz ．(1)求BE →的模；(2)求〈AE →，DC →〉，异面直线AE 与CD 所成的角； (3)设n ＝(1，p ，q )，满足n ⊥平面PCD ，求n 的坐标．[解] (1)由已知可得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)， ∵E 为PD 的中点，∴E (0,1,1)． ∴|BE →|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(1－0)2＝3．(2)AE →＝(0,1,1)，DC →＝(1，－1,0)．∴cos 〈AE →，DC →〉＝AE →·CD →|AE →|·|CD →|＝－12·2＝－12，∵〈AE →，DC →〉∈[0，π]， ∴〈AE →，DC →〉＝2π3，即异面直线AE 与CD 所成的角为π3． (3)∵n ⊥平面PCD ，∴n ⊥PD ，n ⊥CD ，又n ＝(1，p ，q )，PD →＝(0,2，－2)，CD →＝(－1,1,0)， ∴n ·PD →＝2p －2q ＝0，n ·CD →＝－1＋p ＝0，解得p ＝1且q ＝1，即n ＝(1,1,1)．课时分层作业(五) 空间中的平面与空间向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AM →·n ＝0的点M 构成的图形是( )A ．圆B ．直线C ．平面D ．线段 C [M 构成的图形经过点A ，且是以n 为法向量的平面．]2．在菱形ABCD 中，若P A →是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )A ．P A →⊥AB → B ．P A →⊥CD →C ．PC →⊥BD →D ．PC →⊥AB →D [由题意知P A ⊥平面ABCD ，所以与平面上的线AB 、CD 都垂直，A 、B 正确．又因为菱形的对角线互相垂直，又AC 为PC 在平面ABCD 内的射影且AC ⊥BD ，由三垂线定理的逆定理知PC ⊥BD ，故C 正确．]3．设μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量，a ＝(－3,4,2)是直线l 的方向向量，则直线l 与平面α的位置关系是( )A ．平行或直线在平面内B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定A [∵μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量， a ＝(－3,4,2)是直线l 的方向向量，μ·a ＝－6＋8－2＝0，∴直线l 与平面α的位置关系是平行或直线在平面内．]4．平面α经过三点O (0,0,0)，A (2,2,0)，B (0,0,2)，则平面α的法向量可以是( ) A ．(1,0,1) B ．(1,0，－1) C ．(0,1,1)D ．(－1,1,0)D [∵平面α经过三点O (0,0,0)，A (2,2,0)，B (0,0,2)， ∴OA →＝(2,2,0)，OB →＝(0,0,2)，设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·OA →＝2x ＋2y ＝0，n ·OB →＝2z ＝0，取x ＝－1，得n →＝(－1,1,0)，∴平面α的法向量可以是(－1,1,0)．]5．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A ．337，－157，4 B ．407，－157，4 C ．407，－2,4D ．4，407，－15B [∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.]二、填空题6．已知直线l 的方向向量为s ＝(1,2，x )，平面α的法向量n ＝(－2，y,2)，若l ⊂α，则xy 的最大值为________．14 [由题意可得s ⊥n ，∴s ·n ＝－2＋2y ＋2x ＝0，可得x ＋y ＝1，取x ，y ＞0，则1≥2xy ，可得xy ≤14，当且仅当x ＝y ＝12时取等号．]7．在平面ABC 中，A (0,1,1)，B (1,2,1)，C (－1,0，－1)，若a ＝(－1，y ，z )，且a 为平面ABC 的法向量，则y ＋z ＝________．1 [AB →＝(1,1,0)，AC →＝(－1，－1，－2)， ∵a ＝(－1，y ，z )为平面ABC 的法向量， ∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0， ∴－1＋y ＝0,1－y －2z ＝0，联立解得y ＝1，z ＝0，∴y ＋z ＝1．] 8．给出下列命题：①直线l 的方向向量为a ＝(1，－1,2)，直线m 的方向向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－12，则l 与m 垂直；②直线l 的方向向量a ＝(0,1，－1)，平面α的法向量n ＝(1，－1，－1)，则l ⊥α； ③平面α、β的法向量分别为n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)，则α∥β；④平面α经过三点A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)，向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量，则u ＋t ＝1．其中真命题的是________．(把你认为正确命题的序号都填上) ①④ [对于①，∵a ＝(1，－1,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－12，∴a ·b ＝1×2－1×1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴a ⊥b ，∴直线l 与m 垂直，①正确；对于②，a ＝(0,1，－1)，n ＝(1，－1，－1)， ∴a ·n ＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0， ∴a ⊥n ，∴l ∥α或l ⊂α，②错误；对于③，∵n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)， ∴n 1与n 2不共线， ∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)， ∴AB →＝(－1,1,1)，BC →＝(－1,1,0)，向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量， ∴⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＋u ＋t ＝0，－1＋u ＝0，则u ＋t ＝1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．] 三、解答题9．如图所示，已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD ．求证：P A ⊥BD ．[证明] 如图，取BC 的中点O ，连接AO 交BD 于点E ，连接PO ．因为PB ＝PC ，所以PO ⊥BC ．又平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以AP 在平面ABCD 内的射影为AO ．在直角梯形ABCD 中，由于AB ＝BC ＝2CD ，易知Rt △ABO ≌Rt △BCD ，所以∠BEO ＝∠OAB ＋∠DBA ＝∠DBC ＋∠DBA ＝90°，即AO ⊥BD ．由三垂线定理，得P A ⊥BD ．10．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ⊥平面BDF ．[证明] 以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，F (2，2，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1．所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，DF →＝(0，2，1)，BD →＝(2，－2，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向量，则n ⊥BD →，n ⊥DF →，所以⎩⎨⎧n ·BD →＝2x －2y ＝0，n ·DF →＝2y ＋z ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，z ＝－2y ，取y ＝1，得x ＝1，z ＝－2，则n ＝(1,1，－2)．因为AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，所以n ＝－2AM →，得n 与AM →共线．所以AM ⊥平面BDF ．11．(多选题)已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点中，在平面α内的是( )A ．(2,3,3)B ．(1,1,3)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，103D ．(2,2,3)AB [设平面α内一点P (x ，y ，z )，则MP →＝(x －1，y ＋1，z －2)． ∵n ＝(6，－3,6)是平面的法向量，∴n ⊥MP →，n ·MP →＝6(x －1)－3(y ＋1)＋6(z －2)＝6x －3y ＋6z －21． ∴由n ·MP →＝0得6x －3y ＋6z －21＝0．把各选项代入上式可知A 、B 适合．]12．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )A ．(1，－2,4)B ．(－4,1，－2)C ．(2，－2,1)D ．(1,2，－2)B [设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1．故AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1．又⎩⎨⎧AE →·n ＝0，AF→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12z ＝0，－12x ＋z ＝0，所以⎩⎨⎧y ＝－12z ，x ＝2z .当z ＝－2时，n ＝(－4,1，－2)．]13．(一题两空)设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为____________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为____________．α⊥β α∥β [∵u ，v 分别为平面α，β的法向量且u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，u·v ＝－6－4＋10＝0， ∴u ⊥v ，即α⊥β；当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2μ，∴u ∥v ，即α∥β．]14．如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系________．垂直 [以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12．平面PBC 的一个法向量n ＝(0,1,1)， ∵EF →＝－12n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面PBC ．]15．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∠ABC ＝∠P AD ＝90°，侧面P AD ⊥底面ABCD ．若P A ＝AB ＝BC ＝12AD ．(1)求证：CD ⊥平面P AC ；(2)侧棱P A 上是否存在点E ，使得BE ∥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由．[解] 因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD ．又因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，且侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以P A ⊥底面ABCD ．又因为∠BAD ＝90°，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)． (1)AP →＝(0,0,1)，AC →＝(1,1,0)，CD →＝(－1,1,0)，可得AP →·CD →＝0，AC →·CD →＝0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD ．又因为AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC ．(2)设侧棱P A 的中点是E ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12．设平面PCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·CD →＝0，n ·PD →＝0，因为CD →＝(－1,1,0)，PD →＝(0,2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,2)．所以n ·BE →＝(1,1,2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12＝0，所以n ⊥BE →．因为BE ⊄平面PCD ，所以BE ∥平面PCD ．综上所述，当E 为P A 的中点时，BE ∥平面PCD ．课时分层作业(六) 直线与平面的夹角(建议用时：40分钟)一、选择题1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线AD 与平面A 1BC 1所成角正弦值为( ) A ．12 B ．32 C ．33 D ．63C [如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(1,1,1)，DA →＝(1,0,0)，设直线AD 与平面A 1BC 1所成角为θ，∴sin θ＝|cos 〈n ，DA →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DA →|n |·|DA →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11×3＝33．] 2．OA 、OB 、OC 是由点O 出发的三条射线，两两夹角为60°，则OC 与平面OAB 所成角的余弦值为( )A ．13B ．33C ．12D ．32B [设OC 与平面OAB 所成的角为θ，则cos 60°＝cos θ·cos 30°，∴cos θ＝33．] 3．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，若该长方体的体积为82，则直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A [∵在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，该长方体的体积为82，∴2×2×AA 1＝82，解得AA 1＝22，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A (2,0,0)，C 1(0,2,22)，AC 1→＝(－2,2,22)，平面BB 1C 1C 的法向量n ＝(0,1,0)，设直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为θ， sin θ＝|n ·AC 1→||n |·|AC 1→|＝24＝12，∴θ＝30°，∴直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°．故选A ．]4．在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12P A ，点O 是AC 的中点，OP ⊥底面ABC ．现以点O 为原点，OA 、OB 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．则直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A ．21030 B ．3030 C ．69030D ．87030A [因为OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ，所以OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP ．设AB ＝2a ，则P A ＝22a ，OP ＝7a ，A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P (0,0，7a )．∴P A →＝(a,0，－7a )，PB →＝(0，a ，－7a )，BC →＝(－a ，－a,0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎨⎧n ·PB →＝0n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ay －7az ＝0－ax －ay ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝－77，所以平面PBC 的一个法向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，－77，所以cos 〈P A →，n 〉＝P A →·n |P A →||n |＝21030，所以P A 与平面PBC 所成角的正弦值为21030．] 5．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为( )A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π2A [以C 为原点，在平面ABC 中过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (3，1,0)，A 1(3，1,3)，B 1(0,2,3)，C 1(0,0,3)， AA 1→＝(0,0,3)，AB 1→＝(－3，1,3)，AC 1→＝(－3，－1,3)，设平面AB 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AB 1→＝－3x ＋y ＋3z ＝0，n ·AC 1→＝－3x －y ＋3z ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，0,1)，设AA 1与平面AB 1C 1所成的角θ，则sin θ＝|AA 1→·n ||AA 1→|·|n |＝334＝12，∴θ＝π6．∴AA 1与平面AB 1C 1所成的角为π6．故选A ．] 二、填空题6．等腰Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成的角为________．45° [作CO ⊥α，O 为垂足，连接AO ，MO ，则∠CAO ＝30°，∠CMO 为CM 与α所成的角．在Rt △AOC 中，设CO ＝1，则AC ＝2．在等腰Rt △ABC 中，由AC ＝2得CM ＝2．在Rt △CMO 中，sin ∠CMO ＝CO CM ＝12＝22．∴∠CMO ＝45°．]7．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面A 1B 1CD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 和四边形A 1B 1CD 都是正方形，则直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角的正切值是________．2 [以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则B (1,1,0)，D 1(－1，0,1)，BD 1→＝(－2，－1,1)，平面A 1B 1CD 的法向量n ＝(1,0,0)，设直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角为θ，则sin θ＝|BD 1→·n ||BD 1→|·|n |＝26，∴cos θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫262＝26，∴直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角的正切值是tan θ＝sin θcos θ＝2．]8．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于________．23 [如图，设A 1在平面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OA ，OA 1分别为x 轴、z 轴，过O 作OA 的垂线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．设△ABC 边长为1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，0，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，63，。

高中数学课时分层作业9综合法(含解析)北师大版选修12

高中数学课时分层作业9综合法（含解析）北师大版选修12课时分层作业(九)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设f (x )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( ) A ．0 B ．1C.52 D ．5C [∵函数为奇函数，f (1)＝f (－1＋2)＝f (－1)＋f (2)＝－f (1)＋f (2)，∴f (2)＝2f (1)＝2×12＝1，f (3)＝f (1)＋f (2)＝32，f (5)＝f (3)＋f (2)＝32＋1＝52.]2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为() A ．菱形 B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形D [∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．若实数a ，b 满足0<a 2ab ，∴2ab <12.而a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12.又∵0<a B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 C [若A >B ，则a >b ，又a sin A ＝bsin B ，∴sin A >sin B ；若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B .]5．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A ．若m β，α⊥β，则m ⊥αB ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥βC ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γC [对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直．]二、填空题6．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．y >x [x 2＝a ＋b ＋2ab 2，y 2＝a ＋b . y 2－x 2＝a ＋b －a ＋b ＋2ab 2＝a ＋b －2ab 2＝(a －b )22≥0.当且仅当a ＝b 时取“＝”．又∵y >0，x >0，且a ≠b ，∴y >x .] 7．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝________.6 [若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，3λ＝k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，k ＝6.]8．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． a >c >b [∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c .又∵cb ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b .]三、解答题9．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. [证明] ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ＋2ac ·2ab abc ＝8. 10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．[证明] 由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ， ① 又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c 2， ② 把②代入①得(a ＋c )24＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ，而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形．[能力提升练]1．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.12C [∵a x ＝b y ＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1.故选C.] 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定C [由正弦定理可知，sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2 A ，即sin A ＝1，∴A ＝π2.故△ABC 是直角三角形．] 3．若0<a <1,02ab ，a 2＋b 2>2ab .又a >a 2，b >b 2，知a ＋b >a 2＋b 2，从而a ＋b 最大．]4．已知三个不等式：①ab >0；②c a >d b ；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．3 [对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －ad ab >0，故①③⇒②.若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －ad ab>0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．]5．如图所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，求证：直线EF 的斜率为定值．[证明] 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)，∵MA ＝MB ，∴∠MAB ＝∠MBA ， ∴直线MF 的斜率为－k ，∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0＝k (x －y 20)，y 2＝x ，消去x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0，解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝(1－ky 0)2k2. 同理可得y F ＝1＋ky 0－k ，∴x F ＝(1＋ky 0)2k 2. ∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k (1－ky 0)2k 2－(1＋ky 0)2k 2＝2k －4ky 0k2 ＝－12y 0(定值)． ∴直线EF 的斜率为定值．。

高中数学：新同步课堂人教B全国通用版必修一课时分层作业5补集及其综合应用

课时分层作业(五)(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝()A．{1,2}B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5} D．∅B[∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁U A＝{3,4,5}．]2．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，全集U＝R，则∁R A∩B＝() 【导学号：60462050】A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}A[因为集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，则∁R A∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．]3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，则图1-2-2中的阴影部分表示的集合为()图1-2-2A．{2} B．{4,6}C．{1,3,5} D．{4,6,7,8}B[全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，由Venn图可知阴影部分表示的集合为∁U A∩B，∵∁U A＝{4,6,7,8}，∴∁U A∩B＝{4,6}．故选B.]4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于() A．M∪N B．M∩NC．∁U M∪∁U N D．∁U M∩∁U ND[∵全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，∴M∪N＝{1,2,3,4}，则∁U M∩∁U N＝{5,6}．故选D.]5．设I是全集，集合M，N，P都是其子集，则图1-2-3中的阴影部分表示的集合为()图1-2-3A．M∩(P∩∁I N)B．M∩(N∩∁I P)C．M∩(∁I N∩∁I M)D．(M∩N)∪(M∩P)B[由题中的Venn图可得阴影部分的元素属于M，属于N，但不属于P，故阴影部分表示的集合为M∩N∩(∁I P)＝M∩(N∩∁I P)．]二、填空题6．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则∁R S∪T＝________.【导学号：60462051】(－∞，1][∵集合S＝{x|x>－2}，∴∁R S＝{x|x≤－2}，由x2＋3x－4≤0，得T＝{x|－4≤x≤1}，故∁R S∪T＝{x|x≤1}．]7．已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝________.{3}[∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}，又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁U B＝{3,4}，∴A∩∁U B＝{3}．]8．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁U A与∁U B的包含关系是________．∁U A⊆∁U B[∁U A＝{x|x<0}，∁U B＝{y|y<1}＝{x|x<1}．∴∁U A⊆∁U B.]三、解答题9．设A＝{x∈Z||x|＜6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5}，求：(1)A∪(B∩C)；(2)A∩∁A(B∪C)．[解]A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}，(1)由B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．(2)由B∪C＝{1,2,3,4,5}，∁A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}，∴A∩∁A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}．10．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A⊆∁U B，求实数a的取值范围.【导学号：60462052】[解]若B＝∅，此时∁U B＝R，且A⊆∁U B；则a＋1>2a－1，所以a<2，若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2，此时∁U B＝{x|x<a＋1，或x>2a－1}，由于A⊆∁U B，如图，则a＋1>5，∴a>4，∴实数a的取值范围为{a|a<2，或a>4}．[冲A挑战练]一、选择题1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素个数为()A．1B．2C．3D．4B[∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U (A ∪B )＝{3,5}．]2．设全集U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪y －3x －2＝1，N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，那么(∁U M )∩(∁U N )＝( )A ．∅B ．{(2,3)}C ．(2,3)D ．{(x ，y )|y ≠x ＋1} B [∵M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪y －3x －2＝1表示直线y ＝x ＋1去掉点(2,3)． N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}表示平面内除直线y ＝x ＋1外的点，又∵(∁U M )∩(∁U N )＝∁U (M ∪N )而M ∪N 表示平面内除(2,3)以外的所有点∴∁U (M ∪N )＝{(2,3)}，综上可知选B.]二、填空题3．设U ＝R ，A ＝{x |a ≤x ≤b }，∁U A ＝{x |x >4或x <3}，则a ＋b ＝________. 7 [∵U ＝R ，∁U A ＝{x |x >4或x <3}∴A ＝{x |3≤x ≤4}，∴a ＝3，b ＝4则a ＋b ＝7.]4．已知全集U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，若∁U A ＝{1}，则实数a 的值是________．－1或2 [∵U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，∁U A ＝{1}，∴a 2－a －1＝1，即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2.]三、解答题5．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2或x ≥5}，B ＝{x |x ≤2}．求【导学号：60462053】(1)∁U (A ∪B )；(2)记∁U (A ∪B )＝D ，C ＝{x |2a －3≤x ≤－a }，且C ∩D ＝C ，求a 的取值范围．[解] (1)由题意知，A ＝{x |x ≤－2或x ≥5}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∪B ＝{x |x ≤2或x ≥5}，又全集U ＝R ，∁U (A ∪B )＝{x |2＜x ＜5}．(2)由(1)得D ＝{x |2＜x ＜5}，由C ∩D ＝C 得C ⊆D ，①当C ＝∅时，有－a ＜2a －3，解得a ＞1；②当C ≠∅时，有⎩⎨⎧ 2a －3≤－a ，2a －3>2，－a <5，解得a ∈∅. 综上，a 的取值范围为(1，＋∞).。

2019-2020学年高中数学课时分层作业4排列的综合应用含解析新人教B版选修

课时分层作业(四) 排列的综合应用(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有( )A．25种B．55种C．A55种D．53种【解析】其不同的轮映方法相当于将5所大学的全排列，即A55.【答案】 C2．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有( )A．6种B．9种C．18种D．24种【解析】先排体育有A13种，再排其他的三科有A33种，共有A13·A33＝18(种)．【答案】 C3．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( ) A．34种B．48种C．96种D．144种【解析】先排除A，B，C外的三个程序，有A33种不同排法，再排程序A，有A12种排法，最后插空排入B，C，有A14·A22种排法，所以共有A33·A12·A14·A22＝96种不同的编排方法．【答案】 C4．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有( )A．24种B．36种C．48种D．72种【解析】分类完成：第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有A24种排法；第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有A24种排法，有2A24种排法．由分类加法计数原理，共有A24＋2A24＝36种不同的安排方案．【答案】 B5．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有( )A．288个B．240个C．144个D．126个【解析】第1类，个位数字是2，首位可排3,4,5之一，有A13种排法，排其余数字有A34种排法，所以有A13A34个数；第2类，个位数字是4，有A13A34个数；第3类，个位数字是0，首位可排2,3,4,5之一，有A14种排法，排其余数字有A34种排法，所以有A14A34个数．由分类加法计数原理，可得共有2A13A34＋A14A34＝240个数．【答案】 B二、填空题6．从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c中的参数a，b，c，可组成不同的二次函数共有________个．【解析】若得到二次函数，则a≠0，a有A13种选择，故二次函数有A13A23＝3×3×2＝18(个)．【答案】187．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．【解析】先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A44种，因此共有不同的分法4A44＝4×24＝96(种)．【答案】968．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是________．【解析】可分为三步来完成这件事：第一步：先将3,5进行排列，共有A22种排法；第二步：再将4,6插空排列，共有2A22种排法；第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A15种排法．由分步乘法计数原理得，共有A222A22A15＝40种不同的排法．【答案】40三、解答题9．对于任意正整数n，定义“n的双阶乘n！！”如下：当n为偶数时，n！！＝n·(n－2)·(n－4)…6×4×2；当n为奇数时，n！！＝n(n－2)·(n－4)…5×3×1.求证：(1)(2 010！！)·(2 009！！)＝2 010！；(2)4 030！！＝22 015·2 015！.[证明](1)由定义，得(2 010！！)·(2 009！！)＝(2 010×2 008×2 006×…×6×4×2)×(2 009×2 007×2 005×…×5×3×1) ＝2 010！.(2)4 030！！＝4 030×4 028×4 026×…×6×4×2＝22 015·(2 015×2 014×…×3×2×1)＝22 015·2 015！.10．有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中任取3个标号不同的球，求颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数．【解】所标数字互不相邻的方法有135,136,146,246，共4种方法.3个球颜色互不相同有A 34＝4×3×2×1＝24种，所以这3个球颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数有4×24＝96种．[能力提升练]1．将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A ．10种B ．12种C ．9种D ．8种【解析】先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A 33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A 12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A 33·A 12·1＝12(种)不同的排列方法．【答案】 B2．安排6名歌手演出的顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是( )A ．180B ．240C ．360D ．480【解析】不同的排法种数先全排列有A 66，甲、乙、丙的顺序有A 33，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，4种顺序，所以不同排法的种数共有4×A 66A 33＝480种．【答案】 D3．安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人都不能安排在10月1日和2日，不同的安排方法共有________种(用数字作答)．【解析】法一：(直接法)先安排甲、乙两人在后5天值班，有A 25＝20种排法，其余5天再进行排列，有A 55＝120种排法，所以共有20×120＝2 400种安排方法．法二：(间接法)不考虑甲、乙两人的特殊情况，其安排方法有A 77＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040种方法，其中不符合要求的有A 22A 55＋A 12A 15A 22A 55＝2 640种方法，所以共有5 040－2 640＝2 400种方法．【答案】 2 4004．有8人排成一排照相，要求A，B两人不相邻，C，D，E三人互不相邻，问共有多少种不同的排法？【解】先排没有限制条件的三人，有A33种不同的排法，在排A，B两人时，可以进行分类讨论：当A，B两人不相邻时，有A24种不同的排法，再用插空的方法排C，D，E三人，有A36种不同的排法，故此时共有A33A24A36种不同的排法；当A，B两人相邻时，有A14A22种不同的排法，再从C，D，E三人选择一人插到A，B中间，然后从剩余的5个空位中选择2个把剩下的两人排进去，有A13A25种不同的排法，故此时共有A33A14A22A13A25种不同的排法．因此，不同的排法共有A33A24A36＋A33A14A22A13A25＝8 640＋2 880＝11 520(种).。

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高中数学课时分层作业5综合法及其应用（含解析）新人教B 版
选修12
课时分层作业(五)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋b a ≤－2成立的一个充分不必要条件是(
) A ．a ·b >0 B ．a ·b <0
C ．a >0，b <0
D ．a >0，b >0
[解析] ∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2ab ≤－2.
∵a 2＋b 2>0，
∴ab <0，则a ，b 异号，故选C.
[答案] C
2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( )
A ．菱形
B ．梯形
C ．矩形
D ．平行四边形
[解析] ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →，
∴OA →－OB →＝OD →－OC →，
∴BA →＝CD →，
∴四边形ABCD 为平行四边形．
[答案] D
3．若实数a ，b 满足0<a 2ab ，
∴2ab <12.
而a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12，
又∵0<a B 是sin A >sin B 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] 若A >B ，则a >b ，
又a sin A ＝b
sin B ，∴sin A >sin B ；若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，
∴A >B .
[答案] C
5．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )
A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α
B ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β
C ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β
D ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
[解析] 对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直．
[答案] C
二、填空题
6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则
k ＝________.
[解析] 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧ λ＝2，3λ＝k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝2，k ＝6. [答案] 6 7．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． [解析] ∵a 2－c 2
＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c ，
又∵c b ＝6－27－3＝7＋36＋2
>1，∴c >b ，∴a >c >b . [答案] a >c >b
8．已知三个不等式：①ab >0；②c a >d b ；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．
[解析] 对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔
bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －ad ab >0，故①③⇒②.若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －ad ab
>0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．
[答案] 3
三、解答题
9．如图，四棱锥P ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求证：AF ∥平面PEC .
[证明] ∵四棱锥P ABCD 的底面是平行四边形，
∴AB CD .
又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，
∴CF AE .
∴四边形AECF 为平行四边形．
∴AF ∥EC .
又AF 平面PEC ，EC ⊂平面PEC ，
∴AF ∥平面PEC .
10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．
[证明] 由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3
，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ，又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝
a ＋c 2，代入上式得(a ＋c )24
＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2
＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ，
而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3
，从而△ABC 为等边三角形．
[能力提升练]
1．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y
的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.12
[解析] ∵a x ＝b y ＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3，
∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22＝1.故选C. [答案] C
2．在△ABC 中，tan A ·tan B >1，则△ABC 是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
[解析] 因为tan A ·tan B >1，
所以角A ，角B 只能都是锐角，
所以tan A >0，tan B >0,1－tan A ·tan B <0，
所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B
<0. 所以A ＋B 是钝角，即角C 为锐角．
[答案] A
3．若0<a <1,0a 2，b >b 2，
知a ＋b >a 2＋b 2，从而a ＋b 最大．
[答案] a ＋b
4．如图所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x
轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，求证：直线EF 的斜率为定值．
[证明] 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)，
∵MA ＝MB ，∴∠MAB ＝∠MBA ，
∴直线MF 的斜率为－k ，
∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．
由⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0＝k (x －y 20)，y 2＝x ，消去x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0.
解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝(1－ky 0)2k 2. 同理可得y F ＝1＋ky 0－k ，∴x F ＝(1＋ky 0)2k 2
. ∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k (1－ky 0)2k 2－(1＋ky 0)2
k 2 ＝－12y 0
(定值)． ∴直线EF 的斜率为定值．。